物化第八章习题

1 2 fr 中振动，式中 r 2 x 2 y 2 z 2 。该模型称为三维各向同性谐 2
振子模型，请给出其能级的表达式。 解：因为V r
1 2 fr = 0.5 f x 2 y 2 z 2 ，所以该振子的 Hamiltonian 算符为 2
d2 d2 d2 f 2 x y 2 z 2 H 2 2 2 2m dx dy dz 2 2 d 2 fx 2 2 d 2 fy 2 2 d 2 fz 2 2 2m dy 2 2 2m dz 2 2 2 m dx 2 = Hx H y Hz
即不影响波函数，能级整体改变 C。 8.3 一质量为 m，在一维势箱 0<x<a 中运动的粒子，其量子态为
x
（1） （2） （3）
2 x 3 x 0.866 sin 0.5 sin a a a 该量子态是否为能量算符 H 的本征态？
d 2 dx 2
（2）由于是能量本征态和的线性组合，而且是归一化的，因此若其本征值为1 与 2，则1=h /8ma ，2=3 h /8ma ，其得到1 概率为 0.5 =0.25，得到2 概率为 0.866 =0.75。 （3） 能量测量的平均值为
2 2 2 2 2 2 2
0.25 0.75 9
N2 KK g 2 s N2 KK g 2s 为 2.5。
-

2s
2 u 2
u
2 p g 2 p 有两个 键，一个单电子 键，键级为 2.5；
4 1
Байду номын сангаас
2s
2 u 2
u
2 p g 2 p u 2 p 有两个 键，一个三电子 键，键级
（2）具有动能 1eV 的中子：

h m 2 E0 m
1/ 2

6.626 1034 J s 1.674 1027 kg 2 11.602 1019 J 1.674 1027 kg
1/2
2.861 1011 m
（3）速度为 640m/s、质量为 15g 的子弹头：
1/ 2
1.266 109 m
具有动能 100eV 的电子：

h m 2 E0 m
1/ 2

6.626 1034 J s 9.109 1031 kg 2 100 1.602 1019 J 9.109 1031 kg
1/ 2
1.266 1010 m
+ -
8.9 在金属有机化合物的合成中 N2 常用作保护气体，写出 N2、N2 、N2 基态的电子 组态，并依此解释 N2 的特殊稳定性。 解：它们的电子组态为： N2
+
KK g 2 s u 2 s u 2 p g 2 p 有两个 键，一个 键，键级为 3； 2 2 4 2
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解：当势箱长 a 时，势函数为
V

C
x 0或 x 0 0 x a
边界条件不变，因此 Schrödinger 方程为
2 d 2 H 2mdx 2 C E
方程的解为 x
n 2h 2 2 n x ，其中能量 E C sin a a 8ma 2
则能量可表示为
E E1 E 2
2e 2 2e 2 2 n12 a0 n2 a0
（2）原来的波函数是不对的，因为它对于两个粒子交换不是反对称的。正确的波函 数应为


1 1s (1) (1) 1s (1) (1) 2 1s (2) ( 2) 1s (2) (2)
1 1s(1) (1) 1s(2) ( 2) 1s(1) (1) 1s( 2) (2) 2
《物理化学》
第八章 量子力学基础
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第八章
8.1
量子力学基础
同光子一样，实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长，即德
布罗意波长由式（8.0.2）给出。试计算下列波长。 （1eV=1.602×10 J，电子质量 9.109×10 kg，中子质量 1.674×10 kg， ） （1）具有动能 1eV，100eV 的电子； （2）具有动能 1eV 的中子； （3）速度为 640m/s、质量为 15g 的子弹头。 解：由式（8.0.2）
+
1， 2 1s1 11s2 2 ，这种说法对吗？为什么？请给出正确的基态波函数表达式。
解： （1）以上 Hamiltonian 算符可表示为
2 2 2e 2 2 2 2e 2 H 2 m 1 r 2m 2 r H1 H 2 1 2
8.4
h2 7h 2 8ma 2 8ma 2
1 g 重的小球在 1 cm 长的盒内，试计算当它的能量等于在 300 K 下的 kT 时
其量子数 n。这一结果说明了什么？k 和 T 分别为波尔兹曼常数和热力学温度。 解：因为
n 2h 2 kT 8ma 2
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第八章 量子力学基础
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x y z
所以 Schrödinger 方程为
H H x H y H z x y z E x E y E z x y


因为从上述三个方程可知，它们都与一维谐振子 Schrödinger 方程相同。所以它们的解 应为： E x
第八章 量子力学基础
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2 2 2e 2 2 2 2e 2 H 1 2 2m r1 2m r2
式中 m 为电子的质量，r1 和 r2 分别为电子 1 和电子 2 与核之间的距离。 （1）在上述近似下，写出 He 原子基态的能量表达式。 （2）如果 1s 为 He 的基态波函数（空间轨道） ，则 He 原子的基态波函数表示为
-19 -31 -27
h h 1 1/ 2 和动能公式 E0 m 2 得 2 E0 / m 。则 m P 2

（1）具有动能 1eV 的电子：
h m 2 E0 m
1/ 2

h m 2 E0 m
1/ 2

6.626 1034 J s 9.109 1031 kg 2 11.602 1019 J 9.109 1031 kg
4 2 1
从以上情况看，不论 N2 得到或失去一个电子，键级都减小 0.5，生成不稳定的状态， 所以 N2 有特殊的稳定性。
对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？
解：对波函数的分析可知 （1）由于能量算符： H

2 px 2d 2 2m 2mdx 2
2 2 2 x 3 3 x 0.866 sin Cons tan t 0.5 sin a a a a a 因此，不是能量算符 H 的本征态。
1 1 1 x h 0； E y y h 0； E z z h 0； 2 2 2
1 2 k m
其中
0
8.7 （略） 8.8 在忽略电子间相互作用的情况下，He 原子电子运动的哈密顿算符可近似表示 为
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所以
8ma 2 kT 2a n 2mkT h2 h

2 10 2 6.626 10 34
2 10 3 1.380 10 23 300 8.687 1019
这一结果说明了量子化效应不明显。 8.5 （略） 8.6 在质量为 m 的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的 球对称势场 V r

h 6.626 1034 J s 6.902 1035 m 3 1 m 15 10 kg 640m s
8.2 在一维势箱问题求解中，假定在箱内 V(x)=0。如果 V(x)=C0（C 为常数） ，是 否对其解产生影响？怎样影响？
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第八章 量子力学基础