数学北师大版高中必修5解三角形的进一步讨论
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（以上解答过程详见课本第 9 10 页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当
b sin A a b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[ 随堂练习 1]
A 为锐角且
（1）在 ABC中，已知 a 80 ， b 100 ， A 450 ，试判断此三角形的解的情况。
（2）在
（2）已知 ABC满足条件 a cosA b cosB ，判断 ABC的类型。
（答案：（ 1） ABC是钝角三角形 ；（ 2） ABC是等腰或直角三角形）
例 3． 在 ABC中， A 600 ， b 1 ，面积为 3 ，求
a bc
的值
2
sin A sin B sin C
分析：可利用三角形面积定理 S 1ab sin C 1ac sin B 1bc sin A 以及正弦定理
从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ . 探析新课
[ 探索研究 ] ：例 1． 在 ABC中，已知 a,b, A，讨论三角形解的情况
分析：先由 sin B 则 C 1800 ( A B)
b sin A a 可进一步求出 B； 从而 c a sin C A
分析：由余弦定理可知
a2 b2 c 2 a2 b2 c 2 a2 b2 c2
A是直角 A是钝角
A是锐角
ABC是直角三角形 ABC是钝角三角形
ABC是锐角三角形
（注意： A是锐角 ABC是锐角三角形 ）
解： 72 52 32 ，即 a2 b 2 c 2 ，
∴ ABC是钝角三角形 。
[ 随堂练习 2]
（1）在 ABC中，已知 sin A:sin B:sin C 1:2:3 ，判断 ABC的类型。
解等情形；（ 2）三角形各种类型的判定方法； （ 3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ . 课后作业：（ 1）在 ABC 中，已知 b 4 ， c 10 ， B 300 ，试判断此三角形的解的情
况。 （2）设 x、 x+1、 x+2 是钝角三角形的三边长，求实数
x 的取值范围。
（3）在 ABC中， A 600 ， a 1 ， b c 2 ，判断 ABC的形状。
2
2
2
a
b
c
abc
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
解：由 S
1bc sin A 2
3 2
得c
2，
则 a2 b 2 c2 2bc cos A =3，即 a 3 ，
学习参考资料
word 整理版
从而
abc
sin A sin B sin C
Ⅲ . 课堂练习
a2 sin A
有两解或一解或无解等
情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
教学难点： 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、教学方法： 探析归纳，讲练结合
四、教学过程
Ⅰ. 课题导入
[ 创设情景 ] 思考：在 ABC中，已知 a 22cm， b 25cm， A 1330 ，解三角形。
（由学生阅读课本第 9 页解答过程）
1．当 A 为钝角或直角时，必须 a b 才能有且只有一解；否则无解。
2．当 A 为锐角时，
wenku.baidu.com
如果 a ≥ b ，那么只有一解；
如果 a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若 a bsin A，则有两解；
（2）若 a bsin A，则只有一解；
在某些条
学习参考资料
word 整理版
（3）若 a b sin A，则无解。
ABC中，若 a 1， c
1 ，
C 400 ，则符合题意的 b 的值有 _____个。
2
（3）在 ABC中， a xcm ， b 2cm， B 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x 的取值范围。
（答案：（ 1）有两解；（ 2） 0；（3） 2 x 2 2 ）
例 2． 在 ABC中，已知 a 7， b 5 ， c 3 ，判断 ABC的类型。
word 整理版
第三课时 § 2． 1．3 解三角形的进一步讨论
一、教学目标
1、知识与技能： 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或
无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2、过程与方法： 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定
（1）在 ABC中，若 a 55 ， b 16 ，且此三角形的面积 S 220 3 ，求角 C
（2）在
ABC中，其三边分别为
a、b、 c，且三角形的面积 S
a2 b2 c2
，求角 C
4
（答案：（ 1） 600 或 1200 ；（ 2） 450 ）
Ⅳ . 课时小结： （ 1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无
（4）三角形的两边分别为 3cm， 5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 7x 6 0 的根，
求这个三角形的面积。 五、教后反思：
学习参考资料
理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3、情感态度与价值观： 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和
三角函数的关系， 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，
从而从本质上
反映了事物之间的内在联系。
二、教学重点： 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
b sin A a b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[ 随堂练习 1]
A 为锐角且
（1）在 ABC中，已知 a 80 ， b 100 ， A 450 ，试判断此三角形的解的情况。
（2）在
（2）已知 ABC满足条件 a cosA b cosB ，判断 ABC的类型。
（答案：（ 1） ABC是钝角三角形 ；（ 2） ABC是等腰或直角三角形）
例 3． 在 ABC中， A 600 ， b 1 ，面积为 3 ，求
a bc
的值
2
sin A sin B sin C
分析：可利用三角形面积定理 S 1ab sin C 1ac sin B 1bc sin A 以及正弦定理
从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ . 探析新课
[ 探索研究 ] ：例 1． 在 ABC中，已知 a,b, A，讨论三角形解的情况
分析：先由 sin B 则 C 1800 ( A B)
b sin A a 可进一步求出 B； 从而 c a sin C A
分析：由余弦定理可知
a2 b2 c 2 a2 b2 c 2 a2 b2 c2
A是直角 A是钝角
A是锐角
ABC是直角三角形 ABC是钝角三角形
ABC是锐角三角形
（注意： A是锐角 ABC是锐角三角形 ）
解： 72 52 32 ，即 a2 b 2 c 2 ，
∴ ABC是钝角三角形 。
[ 随堂练习 2]
（1）在 ABC中，已知 sin A:sin B:sin C 1:2:3 ，判断 ABC的类型。
解等情形；（ 2）三角形各种类型的判定方法； （ 3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ . 课后作业：（ 1）在 ABC 中，已知 b 4 ， c 10 ， B 300 ，试判断此三角形的解的情
况。 （2）设 x、 x+1、 x+2 是钝角三角形的三边长，求实数
x 的取值范围。
（3）在 ABC中， A 600 ， a 1 ， b c 2 ，判断 ABC的形状。
2
2
2
a
b
c
abc
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
解：由 S
1bc sin A 2
3 2
得c
2，
则 a2 b 2 c2 2bc cos A =3，即 a 3 ，
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从而
abc
sin A sin B sin C
Ⅲ . 课堂练习
a2 sin A
有两解或一解或无解等
情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
教学难点： 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、教学方法： 探析归纳，讲练结合
四、教学过程
Ⅰ. 课题导入
[ 创设情景 ] 思考：在 ABC中，已知 a 22cm， b 25cm， A 1330 ，解三角形。
（由学生阅读课本第 9 页解答过程）
1．当 A 为钝角或直角时，必须 a b 才能有且只有一解；否则无解。
2．当 A 为锐角时，
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如果 a ≥ b ，那么只有一解；
如果 a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若 a bsin A，则有两解；
（2）若 a bsin A，则只有一解；
在某些条
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（3）若 a b sin A，则无解。
ABC中，若 a 1， c
1 ，
C 400 ，则符合题意的 b 的值有 _____个。
2
（3）在 ABC中， a xcm ， b 2cm， B 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x 的取值范围。
（答案：（ 1）有两解；（ 2） 0；（3） 2 x 2 2 ）
例 2． 在 ABC中，已知 a 7， b 5 ， c 3 ，判断 ABC的类型。
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第三课时 § 2． 1．3 解三角形的进一步讨论
一、教学目标
1、知识与技能： 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或
无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2、过程与方法： 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定
（1）在 ABC中，若 a 55 ， b 16 ，且此三角形的面积 S 220 3 ，求角 C
（2）在
ABC中，其三边分别为
a、b、 c，且三角形的面积 S
a2 b2 c2
，求角 C
4
（答案：（ 1） 600 或 1200 ；（ 2） 450 ）
Ⅳ . 课时小结： （ 1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无
（4）三角形的两边分别为 3cm， 5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 7x 6 0 的根，
求这个三角形的面积。 五、教后反思：
学习参考资料
理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3、情感态度与价值观： 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和
三角函数的关系， 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，
从而从本质上
反映了事物之间的内在联系。
二、教学重点： 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，