四边形中常见辅助线的作法
中考数学 考点系统复习 第五章 四边形 方法技巧突破(五) 四边形中常见辅助线的作法
证明：(1)∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝CD，且∠BAE＝∠DCF， 又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)连接 BD 交 AC 于点 O，如解图． ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，且 O 为 AC，BD 中点， 又∵ AE＝CF，∴EO＝FO， ∴BD 与 EF 互相垂直且平分， 故四边形 BEDF 是菱形．
在 Rt△BCE 中，由勾股定理可得 BC＝8，
由矩形性质易知 OB＝OD，∴OF 为△BCD 的中位线，∴OF＝12BC＝4.
1
1
∴△ODE 的面积为2DE·OF＝2××4＝24.
4．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若 E 为 AB 的中点，若梯形 ABCD 的 面积为 34 个平方单位，则△ECD(阴影部分)的面积为 1 177 个平方单位．
5．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过 点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：BD＝BE； (2)若 BE＝10，CE＝6，连接 OE，求△ODE 的面积．
2．(2021 春·靖江期末)如图，在▱ABCD 中，BE 垂直平分 CD 于点 E，∠
BAD＝45°，AD＝6，则▱ABCD 的对角线 AC 的长为
( A)
A．6 5 B．4 5 C．10 3 D．10 2
3．(2021·随州)如图，在菱形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)证明四边形 BEDF 是菱形．
方法技巧突破(五) 四边形中常见 辅助线的作法
1．(2021 春·铜官区期末)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝
6，点 P 为斜边 AB 上一动点，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，PF⊥BC 于点 F，
相似四边形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
相似四边形中几种常见的辅助线作法(有
辅助线)
相似四边形中常见的辅助线作法（有辅助线）
相似四边形是指具有相同比例关系的四边形。
在研究相似四边形时，可以利用一些常见的辅助线作法来简化问题的分析和解决。
以下是几种常见的辅助线作法：
1. 完全相似定理：如果两个四边形的所有对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个四边形是相似的。
根据这个定理，我们可以直接判断两个四边形是否相似，而无需计算其边长和角度。
2. 高度定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的高度之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的高度，我们可以推导出它们的边长比例。
3. 中线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的中线之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的中线，我们可以推导出它们的边长比例。
4. 角平分线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的角平分线之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的角平分线，我们可以推导出它们的边长比例。
这些辅助线作法可以帮助我们在研究相似四边形时更加简化问题，减少计算量，并且提供了直接判断相似性的方法。
在实际应用中，可以根据具体问题的需求选择合适的辅助线作法。
希望以上内容对您有帮助！如有其他问题，请随时提问。
专题4——四边形中常见的辅助线的作法
A FED CBEDCBA F D CBA 专题四：四边形中常见的辅助线的作法-------------有关梯形问题解决梯形问题经常要根据条件添加辅助线，把梯形问题转化为较简单的三角形或平行四边形问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答．常用辅助线又如下几种：一、如图，从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形（如果是等腰梯形，所得的两个直角三角形是全等的，BE+FC=B C －AD.）例1：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝4cm ，BC ＝10cm ，∠B ＝45°.利用图中的提示求出梯形ABCD 的面积.例2：如图1，在梯形 中， 。
求证： 。
例3 ：如图，梯形中，， 、 为对角线，求证：二、 如图，平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如果是等腰梯形，平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和一个等腰三角形。
图1中：BE=BC －AD.图2中：DF=BC －AD ）图1 图2F E D C B AF EDCBA例1：已知：如图2，在梯形ABCD 中，。
求证：例2：已知，如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=12cm ，EF 是中位线，EF 与BD 交于G ，EG=4cm,GF=10cm 。
求梯形各角度数。
例3： 如图，梯形中，，为腰的中点，求证：。
分析： 与梯形ABCD 的面积关系不明显，如果利用梯形助三、 如图，延长的两腰交于一点E ，得到两个三角形。
（如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形）。
例1：已知：如图8，在梯形中，、N 分别是、AB 的中点。
求证：。
A BCD EGFE DCB A例2：如图，在梯形 中， ， ，梯形 的面积与梯形的面积相等．求证：.四、如图，移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线， 可以借助所得的平行四边形和三角形来研究。
BF=BC+AD.例1：已知：等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于点E ，求DE 的长。
初中几何常用辅助线做法
常用辅助线做法➢考点考向1. 与角平分线有关的辅助线2. 与线段长度相关的辅助线3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线4. 与中点相关的辅助线5. 构造一线三垂直（等角）6. 等面积法常见辅助线的作法总结1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)构造等腰三角形或作等腰三角形的高利用“三线合一”性质。
7)作三角形的中位线。
8)引平行线构造全等三角形。
9）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）10）构造三垂直模型。
✧考点一：与角平分线有关的辅助线（1）可向两边作垂线。
（2）可构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形【例1】已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．✧考点二：与线段长度有关的辅助线（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
八年级几何常见辅助线作法及例题(几何画板精确作图)
八年级几何常见辅助线作法及例题（几何画板精确作图）1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形.7.角度数为30度、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、等腰三角形“三线合一”法1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：2CE=BD.中考连接：（2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6二、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.ABC ∆例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.中考连接：（09崇文）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．三、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN 上，且2AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？中考连接：(2012年北京)如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
几何辅助线的常见做法
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
专题二：平行四边形常用辅助线地作法
专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1 •四边形的内角和与外角和定理：(1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° .2. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° ;(2) 任意多边形的外角和等于 360° .3. 平行四边形的性质:4、平行四边形判定方法的选择已知条件选择的判定方法 边一组对边相等 方法⑵,方法⑶ 一组对边平行 定义(方法D.方法⑶角经对角相等对角线方法⑷5、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形•E求证：OE 与AD 互相平分./ 飞说明：当已知条件中涉及到平行，且要求BC性质四边形ABCD 是平行四边形判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等; (3)两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补.证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形—:(2)利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点, AE=BF ED//AC，FG//AC交BC分别为D, G.求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问(3)利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知ADS^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE二CF ,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律,三角形、圆、四边形全都有,102条规律做题不愁!
初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律，三角形、圆、四边形全都有，102条规律做题不愁！颜老师说：人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
3月24日初中数学圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
除了上边方便记忆的顺口溜之外，颜老师还为大家整理了不同几何图形的做法及规律，有相交线、平行线、三角形、四边形及圆几部分，共102条规律，可以说做题时遇到的都包括在这里哦~线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n（吃2）个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出k n(n-1）条。
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形:全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。
平行四边形中常用辅助线地作法
26.如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．〔1〕求证：∠DAE＝∠DCE；
〔2〕当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？
27．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD.
23.如图5，在平行四边形 中， 平分 交 于点 ， 平分 交
于点 .
求证：〔1〕 ；
〔2〕假如 ，如此判断四边形 是什么特殊四边形，请证明你的结论.
24．如图。点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF．
25．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD与其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；
1．如图，：ABCD中， 的平分线 交边 于 ， 的平分线 交 于 ，交 于 ．求证： ．
2．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
〔1〕求证：△BEC≌△DEC；〔2〕延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。请探索BC与来自F有怎样的位置关系？并说明理由。
7.如图，BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论．
〔2〕连接BF、CE，假如四边形BFCE是菱形，如此△ABC中应添加一个条件
8．如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．求证：∠A＋∠C＝180°
常见辅助线的作法有以下几种
（IＩ）如图２,点M、N边AB、AＣ上，且当DMDN时，猜想（Ｉ)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;（IＩI）如图３,当M、N分别在边AＢ、ＣＡ的延长线上时,若AN=x,则Q=(用x、L表示）.
常见辅助线的作法有以下几种
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常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
五、旋转
例1正方形AＢCＤ中，E为BC上的一点，F为ＣＤ上的一点,BE+DF＝EF，求∠EAF的度数.
例２ Ｄ为等腰Rt△ＡＢＣ斜边AＢ的中点，DM⊥ＤN,DM,ＤN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时,求证ＤE＝ＤF。（２)若AＢ=2，求四边形DEＣF的面积。
例３如图，△ABＣ是边长为3的等边三角形，∠ＢDC是等腰三角形,且∠BDC＝１20，以D为顶点做一个６0度角，使其两边分别交AB于点M,交AＣ于点Ｎ,连接MＮ,则ＡMＮ的周长为；
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABＣ中，∠B=60°,△ABC的角平分线ＡD,CＥ相交于点O，求证：OE=OＤ
2、如图，△ABC中，AD平分∠BＡC，ＤG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）说明BE＝CＦ的理由;(2)如果AＢ=a，ＡC=b，求AE、ＢE的长．
初中数学做辅助线的方法总结
初中数学做辅助线的方法总结初中数学中，辅助线是解题的一种重要方法，可以帮助我们清晰地理解题意和问题，并找到解题的思路。
下面是关于初中数学做辅助线的方法总结。
一、直线法1.作垂线：当题目中出现垂直关系时，我们可以通过作垂线来解决问题。
例如，求两个直线的垂直平分线、两个线段的中垂线等。
2.作平行线：当需要证明两条直线平行时，可以通过作一条与已知直线平行的辅助线，再应用平行线的性质进行证明。
二、角度法1.作角平分线：当需要求一个角平分线时，可以通过作一个角的辅助线将该角分成两个相等的角，进而求出角平分线。
2.作等角：当题目中需要证明两个角相等时，可以通过作一条等角的辅助线，将两个角变成等角，然后再应用等角的性质进行证明。
三、三角形法1.作高：当需要求一个三角形的高时，可以通过作条辅助线，形成一个矩形或直角三角形，从而利用高的性质求解。
2.作中线：当需要求一个三角形的中线时，可以通过作条辅助线，形成一个平行四边形或直角三角形，从而利用中线的性质求解。
3.作角平分线：当需要求一个三角形的角平分线时，可以通过作条辅助线，将该角分成两个相等的角，进而求出角平分线。
四、平行四边形法1.作对角线：当题目中出现平行四边形时，可以通过作对角线来将该平行四边形分成两个相等的三角形，进而利用三角形的性质进行求解。
五、轴对称法1.关于对称轴作对称点：当题目中出现轴对称图形时，可以通过作关于对称轴的对称点，将原图形和对称点所成的线段连结起来，形成对称图形，从而利用对称性进行求解。
六、相似三角形法1.作比例：当需要求解两个三角形相似的比例时，可以通过作条辅助线，形成相似三角形，并利用相似三角形的性质求解。
七、图形拓展法1.分割图形：当需要对一个复杂的图形进行分析时，可以通过作一些辅助线，将复杂图形分割成若干个简单的图形，进而分别求解。
总之，在初中数学中，辅助线是解题的有力工具，可以帮助我们合理分析题目，找到解题的思路，解决数学问题。
辅助线的常见做法
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
初二几何辅助线添加方法
初中数学辅助线1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍;含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形;它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决;辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有：1在梯形内部平移一腰;2梯形外平移一腰3梯形内平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点;8过一腰的中点作另一腰的平行线;9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的;通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键;作辅助线的方法一：中点、中位线,延线,平行线;如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的;二：垂线、分角线,翻转全等连;如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生;其对称轴往往是垂线或角的平分线;三：边边若相等,旋转做实验;如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生;其对称中心,因题而异,有时没有中心;故可分“有心”和“无心”旋转两种;四:造角、平、相似,和、差、积、商见;如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关;在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法：第一,造一个辅助角等于已知角；第二,是把三角形中的某一线段进行平移;故作歌诀：“造角、平、相似,和差积商见;”五：面积找底高,多边变三边;如遇求面积,在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积,往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键;如遇多边形,想法割补成三角形；反之,亦成立;另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”;初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难,难点就在辅助线;辅助线,如何添把握定理和概念;还要刻苦加钻研,找出规律凭经验;三角形图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;线段垂直平分线,常向两端把线连;线段和差及倍半,延长缩短可试验;线段和差不等式,移到同一三角去;三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;四边形平行四边形出现,对称中心等分点;梯形问题巧转换,变为△和□;平移腰,移对角,两腰延长作出高;如果出现腰中点,细心连上中位线;上述方法不奏效,过腰中点全等造;证相似,比线段,添线平行成习惯;等积式子比例换,寻找线段很关键;直接证明有困难,等量代换少麻烦;斜边上面作高线,比例中项一大片;三角形中作辅助线的常用方法举例一．倍长中线1：已知△ABC,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图5-2, 求证EF ＝2AD; 二、截长补短法作辅助线;在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠ACB ＝2∠B,求证：AB ＝AC ＋CD; 三、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC ＝BD,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B, 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC,先证分别含有AD,BC 的三角形全等,有几种方案：△ADC与△BCD,△AOD 与△BOC,△ABD 与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角; 证明：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点,∵AD ⊥AC BC ⊥BD 已知∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° 垂直的定义 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE AAS∴ED ＝EC EB ＝EA 全等三角形对应边相等 ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC;当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件; 四、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决; 例如：如图8-1：AB ∥CD,AD ∥BC 求证：AB=CD;分析：图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解决; 证明：连接AC 或BD∵AB ∥CD AD ∥BC 已知∴∠1＝∠2,∠3＝∠4 两直线平行,内错角相等 在△ABC 与△CDA 中 ∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC∴△ABC ≌△CDA ASA∴AB ＝CD 全等三角形对应边相等五、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长;例如：如图9-1：在Rt △ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝90°,∠1＝∠2,CE ⊥BD 的延长于E ;求证：BD ＝2CE分析：要证BD ＝2CE,想到要构造线段2CE,同时CE 与∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长; 证明：分别延长BA,CE 交于点F;∵BE ⊥CF 已知∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° 垂直的定义在△BEF 与△BEC 中,ABC DEF25-图19-图DCBA E F 12A BCD18-图1234ABCD E17-图O∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE∴△BEF ≌△BECASA ∴CE=FE=21CF 全等三角形对应边相等∵∠BAC=90° BE ⊥CF 已知∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中∴△ABD ≌△ACF AAS ∴BD ＝CF 全等三角形对应边相等 ∴BD ＝2CE 六、连接已知点,构造全等三角形;例如：已知：如图10-1；AC 、BD 相交于O 点,且AB ＝DC,AC ＝BD,求证：∠A ＝∠D; 分析：要证∠A ＝∠D,可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等,而只有AB ＝DC 和对顶角两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB ＝DC,AC ＝BD,若连接BC,则△ABC 和△DCB 全等,所以,证得∠A ＝∠D; 证明：连接BC,在△ABC 和△DCB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(公共边已知已知CB BC DB AC DC AB∴△ABC ≌△DCB SSS∴∠A ＝∠D 全等三角形对应边相等七、取线段中点构造全等三有形;例如：如图11-1：AB ＝DC,∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB; 分析：由AB ＝DC,∠A ＝∠D,想到如取AD 的中点N,连接NB,NC,再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN,故BN ＝CN,∠ABN ＝∠DCN;下面只需证∠NBC ＝∠NCB,再取BC 的中点M,连接MN,则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM,所以∠NBC ＝∠NCB;问题得证;证明：取AD,BC 的中点N 、M,连接NB,NM,NC;则AN=DN,BM=CM,在△ABN 和△DCN 中 ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN∴△ABN ≌△DCN SAS∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC 全等三角形对应边、角相等 在△NBM 与△NCM 中∵⎪⎩⎪⎨⎧)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB∴△NMB ≌△NCM,SSS ∴∠NBC ＝∠NCB 全等三角形对应角相等∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB; 二 由角平分线想到的辅助线D BA110-图O 111-图D CBAM N口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等;对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种; ①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线,构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边;通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形;至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件; 与角有关的辅助线 一、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试;下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍; 如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE 、DF,则有△OED ≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件; 1-2,AB 21如图图1-2ADBCEF图2-1ABCDE F图示3-1ABCD HE如图所示,在直角梯形ABC D 中,∠A ＝90°,AB ∥DC,AD ＝15,AB ＝16,BC ＝17. 求CD 的长. 解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E.又AB ∥CD,所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17,CD ＝BE. 在R t △DAE 中,由勾股定理,得AE 2＝DE 2－AD 2,即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2如图,梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC 的取值范围;解：过点B作BM)(2121CH BGBC GH EF --==512=⨯=BE ED BD DH 6251252DHBC)(AD ABCD =⨯=⨯+=∴梯形S 25252522222100)25()25(AE CE AC ==+=+15cm20cm12cmDCEACD ABD S S S ∆∆∆==DBEABCD S S ∆=梯形2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=1612202222=-=-=DH BD BH )(15012)169(21212cm DH BE S DBE =⨯+⨯=⋅=∆150cA B DC E Hm 如图所示,四边形ABCD 中,AD 不平行于BC,AC ＝BD,AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状,并证明你的结论.解：四边形ABCD 是等腰梯形. 证明：延长AD 、BC 相交于点E,如图所示. ∵AC ＝BD,AD ＝BC,AB ＝BA, ∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA. ∴EA ＝EB.又AD ＝BC,∴DE ＝CE,∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°, ∴∠EDC ＝∠EAB,∴DC ∥AB.又AD 不平行于BC,∴四边形ABCD 是等腰梯形. 三、作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形;例9如图6,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,AB ⊥AD,BC=CD,BE ⊥CD 于点E,求证：AD=DE; 解：连结BD,由AD//BC,得∠ADB=∠DBE ； 由BC=CD,得∠DBC=∠BDC; 所以∠ADB=∠BDE;又∠BAD=∠DEB=90°,BD=BD, 所以Rt △BAD ≌Rt △BED, 得AD=DE;四、作梯形的高 1、作一条高例10如图,在直角梯形ABCD 中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC ⊥BD,垂足为F,过点F 作EF//AB,交AD 于点E,求证：四边形ABFE 是等腰梯形;证：过点D 作DG ⊥AB 于点G,则易知四边形DGBC 是矩形,所以DC=BG; 因为AB=2DC,所以AG=GB;从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA;又EF//AB,所以四边形ABFE 是等腰梯形; 2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD 中,AD//BC,AB=CD,∠ABC=60°,AD=3cm,BC=5cm, 求：1腰AB 的长；2梯形ABCD 的面积．解：作AE ⊥BC 于E,DF ⊥BC 于F,又∵AD ∥BC, ∴四边形AEFD 是矩形, EF=AD=3cm ∵AB=DC∵在Rt △ABE 中,∠B=60°,BE=1cmA B C D A B C D E A B C D E F∴AB=2BE=2cm,cm BE AE 33==∴2342)(cm AEBC AD S ABCD =⨯+=梯形例12如图,在梯形ABCD 中,AD 为上底,AB>CD,求证：BD>AC;证：作AE ⊥BC 于E,作DF ⊥BC 于F,则易知AE=DF; 在Rt △ABE 和Rt △DCF 中, 因为AB>CD,AE=DF;所以由勾股定理得BE>CF;即BF>CE; 在Rt △BDF 和Rt △CAE 中 由勾股定理得BD>AC 五、作中位线1、已知梯形一腰中点,作梯形的中位线;例13如图,在梯形ABCD 中,AB//DC,O 是BC 的中点,∠AOD=90°,求证：AB ＋CD=AD;证：取AD 的中点E,连接OE,则易知OE 是梯形ABCD 的中位线,从而OE=21AB ＋CD ①在△AOD 中,∠AOD=90°,AE=DE 所以AD OE 21=②由①、②得AB ＋CD=AD;2、已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,使问题转化为三角形中位线;例14如图,在梯形ABCD 中,AD//BC,E 、F 分别是BD 、AC 的中点,求证：1EF//AD ；2)(21AD BC EF -=;证：连接DF,并延长交BC 于点G,易证△AFD ≌△CFG则AD=CG,DF=GF由于DE=BE,所以EF 是△BDG 的中位线 从而EF//BG,且BG EF 21=因为AD//BG,AD BC CG BC BG -=-=所以EF//AD,EF )(21AD BC -=3、在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的;例15、在梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠BAD=900,E 是DC 上的中点,连接AE 和BE,求∠AEB=2∠CBE;解：分别延长AE与BC ,并交于F点∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F两直线平行内错角相等∠AED=∠FEC 对顶角相等DE=EC E点是CD的中点∴△ADE≌△FCE AAS∴ AE=FE在△ABF中∠FBA=900且AE=FE∴ BE=FE直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE例16、已知：如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E是CD中点,试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系解：AE=BE,理由如下：延长AE,与BC延长线交于点F．∵DE=CE,∠AED=∠CEF,∠DAE=∠F∴△ADE≌△FCE∴AE=EF∵AB⊥BC, ∴BE=AE．ABDCEF。
初中几何辅助线作法大全
线，角，相交线，平行线规律1.假如平面上有n (n ≥2)个点,其中任何三点都不在同一直线上,那么每两点画一款直线,一共可以画出12n (n －1)款.规律2.平面上地n 款直线最多可把平面分成〔12n (n +1)+1〕个部分.规律3.假如一款直线上有n 个点,那么在这个图形中共有线段地款数为12n (n －1)款.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段,这两款线段地中点地距离等于线段长地一半.例：如图,B 在线段AC 上,M 是AB 地中点,N 是BC 地中点.求证：MN =12AC 证明：∵M 是AB 地中点,N 是BC 地中点∴AM = BM =12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB +BN = 12AB + 12BC = 12(AB + BC )∴MN =12AC练习：1.如图,点C 是线段AB 上地一点,M 是线段BC 地中点.求证：AM =12(AB + BC ) 2.如图,点B 在线段AC 上,M 是AB 地中点,N 是AC 地中点.求证：MN =12BC 3.如图,点B 在线段AC 上,N 是AC 地中点,M 是BC 地中点.求证：MN =12AB 规律5.有公共端点地n 款射线所构成地交点地个数一共有12n (n －1)个.规律6.假如平面内有n 款直线都经过同一点,则可构成小于平角地角共有2n （n －1）个.规律7. 假如平面内有n 款直线都经过同一点,则可构成n （n －1）对对顶角.规律8.平面上若有n （n ≥3）个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形一共可作出16n (n －1)(n －2）个.规律9.互为邻补角地两个角平分线所成地角地度数为90o .规律10.平面上有n 款直线相交,最多交点地个数为12n (n －1)个.规律11.互为补角中较小角地余角等于这两个互为补角地角地差地一半.N M CB A MC BA N M CB A N MCB A规律12.当两直线平行时,同位角地角平分线互相平行,内错角地角平分线互相平行,同旁内角地角平分线互相垂直.例：如图,以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB ∥DE ,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形地两个三角形地一对内角平分线相交所成地角等于另两个内角和地一半.例：已知,BE ，DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ,若∠A = 45o ,∠C = 55o ,求∠E 地度数.解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ①∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠CBE ②①＋②得∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE ∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ,∴∠ABE =∠CBE ,∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A ＋∠C∴∠E =12(∠A ＋∠C )1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒E D C BA +=∠CDE∠ABC ∠BCD 2()E DCBA-=∠CDE ∠ABC∠BCD 3()E DC BA-=∠CDE∠ABC ∠BCD 4()E D CBA +=∠CDE ∠ABC∠BCD 5()EDCB A +=∠CDE∠ABC ∠BCD 6()EDCBANME DBCAH GFE D BCAHGFED BCAH GFEDBCA∵∠A =45o,∠C =55o,∴∠E =50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,假如直接证不出来,可连结两点或延长某边构造三角形,使结论中出现地线段在一个或几个三角形中,再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图,已知D，E为△ABC内两点,求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.证法（一）：将DE向两边延长,分别交AB，AC于M，N在△AMN中, AM＋AN＞MD＋DE＋NE①在△BDM中,MB＋MD＞BD②在△CEN中,CN＋NE＞CE③①＋②＋③得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE证法（二）延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有,①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时,常通过引辅助线,把求证地量（或与求证相关地量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点,求证：12(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC规律16．三角形地一个内角平分线与一个外角平分线相交所成地锐角,等于第三个内角地一半.例：如图,已知BD为△ABC地角平分线,CD为△ABC地外角∠ACE地平分线,它与BD地延长线交于D.求证：∠A = 2∠D证明：∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE地平分线∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE－∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形地两个内角平分线相交所成地钝角等于90o加上第三个内角地一半.例：如图,BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB, 求证：∠BDC = 90o＋12∠A证明：∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACBFGNMEDBA21C EDBA∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)= 180o－∠A 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A∴∠BDC = 90o＋12∠A规律18. 三角形地两个外角平分线相交所成地锐角等于90o减去第三个内角地一半.例：如图,BD，CD分别平分∠EBC，∠FCB, 求证：∠BDC = 90o－12∠A证明：∵BD，CD分别平分∠EBC，∠FCB∴∠EBC = 2∠1，∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB①2∠2 =∠A＋∠ABC②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o－(90o＋12∠A)∴∠BDC = 90o－12∠A规律19. 从三角形地一个顶点作高线和角平分线,它们所夹地角等于三角形另外两个角差（地绝对值）地一半.例：已知,如图,在△ABC中,∠C＞∠B, AD⊥BC于D, AE平分∠BAC.求证：∠EAD = 12(∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o－∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DACDCBA2121FEDCBAE D CBA∴∠EAD = 12〔180o －(∠B ＋∠C )〕－(90o －∠C ) = 90o －12(∠B ＋∠C )－90o ＋∠C= 12(∠C －∠B )假如把AD 平移可以得到如下两图,FD ⊥BC 其它款件不变,结论为∠EFD =12(∠C －∠B ).注意：同学们在学习几何时,可以把自己证完地题进行适当变换,从而使自己通过解一道题掌握一类题,提高自己举一反三，灵活应变地能力.规律20.在利用三角形地外角大于任何和它不相邻地内角证明角地不等关系时,假如直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证地大角在某个三角形外角地位置上,小角处在内角地位置上,再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点,求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ,∵∠BDC 是△EDC 地外角,∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ,并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 地外角,∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等地线段,构造全等三角形. 例：已知,如图,AD 为△ABC 地中线且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ,连结NE ，NF ,则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中,DN = DB∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中,EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF规律22. 有以线段中点为端点地线段时,常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知,如图,AD 为△ABC 地中线,且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ,使DM = DE ,连结CM ，FMABCDEF FE DCBA FABC DE D C B A 4321NFEDCBABD = CD ∠1 = ∠5ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2,∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF 和△MDF 中ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中,CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ,证法同上）规律23. 在三角形中有中线时,常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知,如图,AD 为△ABC 地中线,求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ,使DE = AD ,连结BE∵AD 为△ABC 地中线∴BD = CD在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线地方式截长法：在较长地线段上截取一款线段等于较短线段。
人教八年级上册 几何证明常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法
1 / 3几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。
待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。
证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。
在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.B CDAEA ED A FE DABCFE CA BD 第 1 题图A BF2 / 3ADBCE图2-1 求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
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时往往需要添加辅助线•下面介绍一些辅助线的添加方法.
和平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质， 为了利用这些性质往往需要添加辅
助线构造平行四边形•
平行四边形中常用辅助线的添法
心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造 两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的 某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）
知中点或中线应思考这种方法•
图3图4
、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题•
例4如图5,在厶ABC中，/ACB=90° , /BAC的平分线交BC于点D ,E是AB上一点，且AE=AC,
EF//BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形•
3•利用对角线互相平分构造平行四边形
例3如图3,已知AD是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方 法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换•寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添 辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四 边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，
因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG,
AC//BG，所以/1 =/4，因为AE=EF，所以/1 =/2,又/2=/3，所以/1=/4,所以BF=BG=AC.
说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形•当已
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度,
得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可
以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有
五：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，
而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面
积找底高，多边变三边”。
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
1•利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1如图1,已知点0是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:0E与AD互相平分.
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和口。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。
添加辅助线解特殊四边形题
分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边
形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形•根据AD是/BAC的平分线，AE=AC，可
通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.
说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线 构造平行四边形•
2•利用两组对边平行构造平行四边形
例2如图2,在厶ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求 证:ED+FG=AC.
分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形，得ED=HC,然后根据三角形全等，证明FG=AH.
证明：过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形，所以ED=HC,又
FG//AC,EH//BC,所以/AEH=/B,/A=/BFG,又AE=BF,所以△AEH◎△FBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.
说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决 问题•
分析：因为四边形OCDE是平行四边形，所以OC//ED,OC=DE,又由0是AC的中点，得出AO//ED,AO=ED,
则四边形AODE是平行四边形，问题得证•
证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，
所以OC//DE,OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0//ED,AO=ED,
所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分•
儒洋教育学科教师辅导讲义
课题
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等 于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等
的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。