基于统计分析技术的有限元模型修正研究

估计多项式系数
β 0
,
β i
,
β ij
,
β ii
,
本研究采用最小二乘
法;
4)检验响应面模型精度 , 符合要求则进行设计参
数修正 ,不符合则回到 1;
响应面的精度检验依照以下的公式 [6 ] :
N
∑[ yRS ( j) - y ( j) ]2
R2
=1 -
j=1 N
(3)
∑[ y ( j) - y ]2
优化问题即可 。
2 GARTEUR 有限元模型的修正
法国国家航天研究院 (ONERA )于九十年代设计 制造了 GARTEUR 飞机模型 [ 2 ] (图 1) 。该模型被欧洲 航空科技组织作为评估试验分析技术与模型修正技
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第 3期
费庆国等 :基于统计分析技术的有限元模型修正研究
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术的基准模型 。 该模型翼展 2m ,机身长 1. 5m ,主体结构为由铝
制 ,总重 44kg。机翼上表面有一层含约束的粘弹性阻 尼材料 。该模型含有真实飞机的主要振动模态特征 , 包含若干密集模态 。
图 1 GARTEUR飞机模型
采用 结构 动 力 学 工 具 箱 SD T[ 13 ] ( Structural D y2 nam ics Toolbox)建立有限元模型 。有限元模型含 74 个梁单元 , 5个集中质量单元 ,共 420个自由度 。机翼 与机身连接 、垂尾与平尾连接采用弹簧单元 ,垂尾与 机身连接采用刚性单元 。
2 4
振动与冲击
2005年第 24卷
欧洲航空科技组织采用的基准模型 ———GARTEUR 飞 机模型为例 ,采用实测数据对其有限元模型进行了修 正。
1 理论基础
基于统计分析技术的有限元模型修正方法是统
计分析与有限元模型修正技术结合的产物 ,其主要步 骤如下 :
1)特征抽取 :选择结构的特征量或者定义指示因 子 。此处特征量 (指示因子 )不限于现有模型修正采 用的线性系统特征量 ,如模态频率等 ,也可以是诸如 冲击问题的峰值加速度 、时间历程的有效值 ( RM S) 等;
摘 要 采用统计学的方差分析和回归分析技术研究模型修正的有关问题 ,主要包括基于方差分析的参数筛选 、
基于回归分析的响应面拟合和利用响应面进行模型修正三个方面 。目前工程上采用的基于灵敏度分析的参数挑选方法 根据参数在某设计点处的灵敏度进行挑选 ,而基于方差分析的参数筛选是从全局的角度 ,在整个设计空间上挑选对特征 量有显著影响的设计参数 。基于响应面的修正方法 ,首先在参数的整个设计空间范围内利用回归分析技术 ,以显式的响 应面模型逼近特征量与设计参数间复杂的隐式函数关系 ,然后在其基础上进行迭代修正 。提出的方法不但可以应用于 线性 、低频等现有的模型修正方法适用的范围 ,而且易于推广到非线性 、冲击等现有修正方法较少涉及的领域 。此外 ,现 有的方法由于每次迭代都需要调用有限元分析软件进行计算 ,在缺少软件接口的情况下 ,较难实现工程应用 。这种方法 只在准备样本数据时需要进行有限元分析 ,修正过程中无需调用 ,因而利于工程应用 。 GARTEUR 飞机模型有限元模型 的修正结果验证了方法的有效性 。
j=1
N
∑ E IS E
= 13
N
[ y ( j)
j=1
-
yRS ( j) ]2
(4)
其中 , yRS代表响应面模型的计算值 , y 代表真值 (有限
元分析的计算结果 ) , y代表真值的平均值 。
1. 4 参数修正
模型修正可归结为以下的优化问题 :
M in | |
R ( p)
|
|
2 2
,
R
(
p)
= { fE } - { fA ( p) }
1. 3 响应面拟合
令系统的特征量 y为因变量 , xi , i = 1, 2, …, k代
表方差分析筛选出的 k个设计参数 , 假设以下关系成
立:
k
k
∑ ∑∑ ∑ y
=
β 0
+
β i
xi
+
β ij
xi
xj
+
β x2 ii i
(2)
i =1
i
j
i =1
其中 ,且 xi : [ xli , xui ], xli , xui 分别为设计参数 xi 取值范
关键词 : 模型修正 ,试验设计 ,方差分析 ,回归分析 ,响应面法 中图分类号 : O326 文献标识码 : A
0 引 言
有限元法是目前工程上广泛采用的结构计算模 型建模方法 ,精确的有限元模型对于结构动态响应预 测以及动态设计至关重要 。有限元建模过程中存在 的众多不确定性因素导致有限元模型必然存在误 差 [ 1 ] ,而试验结果可以较为准确地反映结构动态特 性 ,因此可以利用试验结果对有限元模型进行修正 。 在航空工程中 ,设计规范规定 ,有限元模型必须通过 振动模态试验或者地面振动试验来检验 [ 2 ] 。
由于响应面模型可以逼近任何数量性的自变量 与因变量之间的函数关系 ,所以 ,如果采用对应的特 征量 ,那么本文的方法可以推广到非线性 、冲击等现 有模型修正方法较少涉及的领域 。
本文首先介绍了应用统计分析技术的有限元模 型修正方法 ,包括主要的步骤及其理论基础 。然后以
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围的上下限 。β0 ,βi ,βij,βii为待定系数 , 根据以下步骤
确定 :
1)采用试验设计确定增加的样本点 ;
2)通过有限元分析计算样本数据 y1 , y2 , …, yN 和
xij, i = 1, 2, …, k, j = 1, 2, …, N;
3)将设计参数与特征量的样本数据代入 ( 2)式 ,
对有限元模型存在明显不确定性的 11个设计参 数进行筛选 ,包括刚性单元长度 、部件的弯曲与扭转 刚度等 ,考虑到阻尼材料的影响 ,将机翼的材料的密 度也作为待修正参数 ,详见表 1。
表 1 候选设计参数及方差分析多指标综合结果
参数 A B C D E F G H I J K
参数描述 机翼密度 机翼扭转刚度 垂尾弯曲刚度 机翼弯曲刚度 (绕 y轴 ) 机身弯曲刚度 机翼弯曲刚度 (绕 z轴 ) 机翼水平位置 机翼垂直位置 垂尾与机身联接单元长度 螺栓间单元长度 垂尾与平尾联接单元长度
计以及 D 最优设计等 。 1. 2 参数筛选
方差分析的基本思想是将样本数据的总偏差平
方和分解为各因素以及误差的偏差平方和 , 然后求出 F值 ,应用 F 值检验法 [5 ]进行假设检验 , 找出显著性 参数 。
假设对有限元模型的设计参数 (因素 ) A 进行 F 检验 ,统计量为 [ 5 ] :
FA
4)参数修正 :修改现有的设计参数型有限元模型 修正方法 。即对每次迭代获得的新的设计参数 ,将其 代入响应面模型而不是有限元模型来计算特征量 。
1. 1 试验设计 基于方差分析的参数筛选和基于回归分析的响
应面拟合都是对样本数据进行操作 。利用试验设计
方法 ,可以用较少的样本点数 (降低有限元分析的计 算量 )保证较高的响应面模型的精度 。可供选择的试 验设计方法包括正交设计 、拉丁方设计 、中心复合设
近三十年来 ,虽然有限元模型修正技术得到了长 足的发展并有一些成功的应用 [ 1 - 3 ] ,但在以下几方面 仍存在问题 :首先 ,如何选择待修正参数 ,即如何从众 多的存在不确定性因素的设计参数中挑选修正的对 象 。工程上较实用的是灵敏度分析结合工程判断的 方法 。然而 ,局部灵敏度分析只反映了参数在某设计 点处的灵敏度 ,因而以它为依据选择参数不尽合理 ; 其次 ,现有的设计参数型方法以迭代计算为基础 ,每 次迭代都需要调用有限元限元软件进行分 析 ,在缺少软件接口的情况下 ,现有的模型修正方法 难以与大型有限元分析软件集成 ,因而不利于工程应 用 ;最后 ,目前所发展的模型修正方法大多只适用于 线性系统 、低频情况 ,随着结构及工况日益复杂 ,需要 发展适用于非线性 、高频甚至冲击情况的模型修正方 法 [4]。
(5)
s. t VLB Φ p Φ VUB
其中 p代表设计参数 , { fE } , { fA }代表特征量 , 分别是 分析与试验的结果 , VLB , VUB 是设计空间的边界 , R
代表特征量的残差 :
R = GΔp
(6)
其中 Δp为设计参数的修改量 , G 代表灵敏度矩阵 。
以响应面模型计算灵敏度矩阵 ,代入 ( 6)并求解 ( 5)的
= SA Se
/ /
fA fe
～ F ( fA , fe )
(1)
式中 SA 为因素引起的偏差平方和 , Se 为误差的偏差
平方和 , fA 、fe 分别为因素 A 和偏差的自由度 。
对于给定的显著性水平 α, F 检验的法则为 : 若
FA Ε F1 -α ( fA , fe ) , 则认为设计参数 A 影响显著 , 否则 认为不显著 。
本研究采用方差分析技术进行设计参数筛选 。 通过对设计参数的显著性检验 ,从全局的角度 ,在参 数的设计空间上挑选对特征量 (因变量 )有显著影响 的设计参数 (自变量 ) ,然后利用回归分析技术 ,以显 式的多项式模型逼近特征量与设计参数间复杂的隐 式函数关系 ,最终利用响应面模型替代有限元模型进 行迭代运算 。由于本方法只在准备样本数据时需要 利用有限元软件进行计算分析 ,修正过程中无需调 用 ,因而易于工程应用 。