第十二章-4一阶线性微分方程
D12_4一阶线性
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
第七章
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一、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次线性方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次线性方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得
因此有
3) 原问题的解为
y 2(e 1) e
x
( x 1)
x 2 ( 1 e ), 0 x 1 y 2(e 1) e x , x 1
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二、伯努利 ( Bernoulli )方两边 , 得 n d y y P( x) y1 n Q( x) dx dz 1 n n d y 令 z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) (线性方程) dx 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法:
(3) ( y x ) dx 2 x d y 0 (4) 2 y dx ( y 3 x) d y 0
3
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作业
P281 1 (3) , (6) ;
7 (1) , (2)
2 (5) ; 6 ;
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备用题
1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 令 u x t 提示: f ( x) sin x f (u )d u
同济大学第五版高等数学下D12_4一阶线性1 2
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
高等数学第十二章微分方程
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
D12_4一阶线性
R t e L
K
R t e L
sin( t ) R 2 2 L2
稳态电流
Em
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二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
除方程两边 , 得 n d y y P( x) y1 n Q( x) dx dz 1 n n d y 令 z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) (线性方程) dx 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法:
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2. 设有微分方程 y y f ( x) , 其中
2 , 0 x 1 f ( x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
解: 1) 先解定解问题
的连续解.
利用通解公式, 得 dx dx 2e d x C1 ye
ln y P( x)d x ln C
故通解为
y C e P ( x )d x
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dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
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Em sin t di R i dt L L i t 0 0
解方程:
利用一阶线性方程解的公式可得
R L E
∼
K
C
P( x) d x P( x) d x 得 由初始条件 : 0 y e i t 0 Q ( x ) e d x C
高等数学之一阶线性微分方程
令z
y,
2
dz 4 2 z x2 , dx x
2
x 即 y x4 x C . 解得 z x C , 2 2
例6
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 x2
1. 2 yy 2 xy xe
;
1 x 2 1 y xy xe y , 解 2 dz dy 1( 1) 2 令z y y , 则 dx 2 y dx ,
分离变量法得 2 z sin 2 z 4 x C ,
将 z xy 代回,
所求通解为 2 xy sin(2 xy ) 4 x C .
dy 1 3. ; dx x y
dy du 解 令 x y u, 则 1, dx dx du 1 1 , 代入原式 dx u 分离变量法得 u ln(u 1) x C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x )dxdx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
P ( x ) dx dx Q( x )e
非齐次线性方程的通解 等于 相应齐方程的通解 与非齐次方程的一个特解之和 即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
n
n
z y1 n 代入即得 求出通解后，将
y
1 n
z (1 n ) P ( x ) dx dx C ). ( Q ( x )(1 n)e
e
( 1 n ) P ( x ) dx
dy 4 2 y x y 的通解. 例 5 求方程 dx x
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
高等数学 12-4一阶线性微分方程
当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n ≠ 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy + P ( x) y1− n = Q( x), dx dz dy 令z = y1−n , 则 = (1 − n) y − n ， dx dx dz + (1 − n) P ( x) z = (1 − n)Q( x), 代入上式 dx 两端除以y n，得 y − n
即 y = e v ( x ) e − ∫ P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C ⇒ u (x ) 常数变易法： 常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 实质 未知函数的变量代换.
新未知函数 u ( x) ⇒ 原未知函数 y ( x),
2
− P ( x ) dx 作变换 y = u ( x)e ∫ − P ( x ) dx P ( x ) dx y′ = u′( x)e ∫ + u ( x)[− P( x)]e ∫ , − P ( x ) dx 将y和y′代入原方程得 u′( x)e ∫ = Q( x),
备 注
1
教
一、线性方程 一阶线性微分方程的标准形式:
学
内
容
dy + P ( x ) y = Q( x ) dx
当Q( x) ≡ 0, 上方程称为齐次的. 当Q( x) ≡ 0, 上方程称为非齐次的.
例如
dy dx = y + x2 , = x sin t + t 2 , 线性的; dx dt
yy′ − 2 xy = 3, y′ − cos y = 1, 非线性的.
= Ce − x + 3 x 2 − 6 x + 6, 由 y | x =0 = 0, 得 C = −6,
一阶线性微分方程及其解法
2）解法 常数变易法
3）通解公式
y
e
P(
x )dx
[
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
C
]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
齐次的 通解
非齐次 的特解
关于通解公式要注意：
P(x)dx
y e ( Q(x)eP(x)dxdx C)
只表示某一 个函数
解 分离变量 d y ex d x, y
两端积分
dy y
ex
d
x
ln y ex C1,
C
y Ceex为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用: 衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其
它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变 的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中 铀含量M(t)随t的变化规律
,即
x yu
，故 dx u y du
dy
dy
代入得：
1 eu
u
y
du dy
1
u
0
这是关于变量u与x的可分离变量方程，
分离变量 ，并两边积分，得：
1 u
eu eu
du
1 dy y
故
ln(u eu ) ln y ln c
x
所以，原方程通解为 ：ye y x c
五、小结
解 v d M kM, (k 0)
dt
变量分离
dM kdt M
(这里显然有 d M 0) dt
两端积分 ln M kt lnt
高数第十二章 微分方程
可分离 变量的 微分方程
内容小结
1.通解不一定是方程的全部解 例如, 方程
( x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件(初始条件)定常数 .
28
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
d2x 程 2 k 2 x 0的解. 当 k≠0 时,求满足初始条 dt dx 0的特解. 件 x t 0 A, dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC 2 cos kt , dt d2x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt 13
y '' f ( x , y , y ') y | y , y ' | y ' x x 0 x x 0 0 0
几何意义:求过定点 ( x0 , y0 ) 且在定点的切线的斜 率为定值 y '0 的积分曲线.
12
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分方
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例 3)
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )
积分
y 2 xdx 即 y x 2 C ,
将 x 1时, y 2代入上式， 求得C 1,
故所求曲线方程为 y x 2 1 .
3
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
一阶线性微分方程.ppt
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程 令 y1n z;
思考题
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx
12-4 一阶线性微分方程
∫
1 dy y ln y
1 dy y ln y
1 1 [c + (ln y )2 ] = ln y 2
任意常数。 ， c 任意常数。
例3 设f ( x )有连续导数， f (0) = 0，且存在 有连续导数， 函数u( x , y ), 使得
du = y[ f ( x ) + 3e ]dx + f ( x )dy ,
y y
−y
c
为任意常数。 为任意常数。
∞ 2 n+1 n= 0
x 例6 证明幂级数 ∑ (2n + 1)! 在其收敛域内 y( x ) 满足方程 y ′ + y = e x , 并求 y( x ). 的和函数
解
x 考查 ∑ (2n + 1)! 易知其收敛域为( −∞ , +∞ )
∞
2 n+1
n= 0
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
− ln cos y
dy + C
]
2 sin y cos y dy + C = cos y[C − 2 cos y ]. = cos y ∫ cos y
练 习 题 一、求下列微分方程的通解 : 求下列微分方程的通解: 1、 1 、 y′ + y cos x = e −sin x ； 2、 2 、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0； dy 2 3、 3 、 ( y − 6 x ) + 2 y = 0. dx 二、 求下列微分方程满足所给初始条件 的特解: 的特解: dy 1、 1 、 + y cot x = 5e cos x , y x =π = −4;；
一阶线性微分方程
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx
2 3x2 x3
y
1,
y
x1
0.
三、设有一质量为 m 的 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正 比(比例系数为 k1 )的力作用于它,此外还受 一与速度成正比(比例系数为 k2 )的阻力作用,求质 点运动的速度与时间的函数关系 .
的通解求方程lnlnsin解方程dxdydxdy这是一个二阶线性方程由于其中不含变量y化成一阶线性方程其通解为截下的线段pq之长数值上等于阴影部分的面积求曲线dxdx一阶线性微分方程的通解也可写成dxdxdydxdz即化为一阶线性微分方程伯努利bernoulli方程的标准形式dxdy方程为非线性微分方程
练习题答案
一、1、y (xC)esinx；
2、2xlny ln2 yC；
3、xCy3 1 y2. 2
二、1、ysinx5ecosx 1；
2、2y
x3
1
x3ex2
1
.
三、v
k1 k2
t
kk1m 22 (1ekm0t
).
四、1、 xy xC；
2、xy22
C2 3
解 令zxy, 则dzyxdy,
dx
dx
d d x zyx(xs1 i2(n x) yx y)s1 i2zn ,
分离变量法得 2 z s2 iz n 4 x C ,
将zxy代回 ,
所求通解为 2 x s y 2 i x ) n 4 y x (C .
一阶线性微分方程
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的？我们已知，那么，三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程，将方程变形为很容易看出方程的左边，正好是求导之后的结果，xy 即两边同时积分得即（原方程的通解）例我们得到一个很重要的方法：积分因子法即对于如下的微分方程，关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子，我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行，故可令，得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程，I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为：方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要先求出对应的齐次微分方程的通解，然后做常数的变易并代回到原微分方程中去，通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程，积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以，可得e x3两边同时积分，可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
4一阶微分方程内容总结
常微分方程一阶微分方程内容小结1 微分方程的基本概念一主要内容1 一阶微分方程二1 一阶线性微分方程三1.微分方程的定义,0),,(='y y x F ),(y x f y =',0),,,,()(='n y y y x F ).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y通解：对n 阶微分方程，含有n 个独立的任意常数的解. 特解：不含任意常数的解.常微分方程 n 阶微分方程 微分方程的阶：方程中未知函数导数的最高阶数一阶微分方程 微分方程的解：满足微分方程的函数1.微分方程的定义定解条件（初值条件）：当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值的条件 )1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 2.微分方程的几何意义(,)dyf x y dx=线素场 通解：积分曲线族 特解：积分曲线,0),,,,()(='n y y y x F 初值问题（柯西问题）1）可分离变量的微分方程()().dyf xg y dx=称形如的方程为可分离变量方程()0,g y ≠若则()()dyf x dxg y =()()dyf x dx Cg y =+⎰⎰两端分别积分得.C 为任意常数000()=0,=y g y y y 若存在使得则也是方程的解.微分方程的通解.2）齐次微分方程()dy yf dx x=称形如的微分方程为齐次方程.dy duu xdx dx =+()du f u udx x-=代入得可分离变量方程.yu x=解出通解后将代入即得原方程的通解,y u x =作变换则3）可化为齐次微分方程的方程111222y a x b d dyf dx a x b y d ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭120d d ==当时，上式为齐次方程.11220,a b a b =（1）当11,u a x b y =+令则上方程化为12,d d 当至少有一个不为零时：111112()y a x b d dyf x d m a x b y d ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭11121()u d dua f x db mu d ⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭3）可化为齐次微分方程的方程111222y a x b d dyf x d a x b y d ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭11220,a b a b ≠（2）当则原方程化为1111122222a v b u a h b k d du f dv a v b u a h b k d ⎛⎫++++= ⎪++++⎝⎭11122200y a x b d x hy k a x b y d ++==⎧⎧⎨⎨=++=⎩⎩取为方程组的解，,x v h y u k =+⎧⎨=+⎩令1122a v b u duf dv a v b u ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭4）全微分方程(,)(,)0,(,)P QP x y dx Q x y dy x y Dy x ∂∂+==∈∂∂形如且满足的微分全微分方程恰方程称为（或当方程）.00(,)(,)x y x y 两边同时从到积分，得0(,)(,)x yx y P x y dx Q x y dy C+=⎰⎰00(,)C x y D 是任意常数，是区域内选定点的坐标.三、一阶线性微分方程1）一阶线性微分方程 ()()dyP x y Q x dx+=()0dyP x y dx+=齐次方程通解：(),P x dx y Ce-⎰=常数变异法()()P x dxy C x e -⎰=令()()().P x dx C x Q x e dx C ⎰⇒=+⎰通解为 ()P x dxy Ce -⎰=()()().P x dxP x dx e Q x e dx -⎰⎰+⎰()0Q x =：齐次方程.非齐次方程：()0Q x ≠：非齐次方程.三、一阶线性微分方程2）伯努利方程()(),(0,1)dy P x y Q x y dxαα+=≠,y α两边同除以1,u y α-=令)()1()()1('x Q u x P u αα-=-+'(1)',u y y αα-=-一阶线性方程 1.u y α-=得出通解后将代入,即得原方程的通解()()dy P x y Q x dx +=1()(),dy y P x y Q x dxαα--+=。
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dy 2. 解非齐次的方程(1) P( x) y Q( x) dx
dy Q( x) 讨论 y y P( x) dx,
两边积分
Q( x) ln y dx P( x)dx, y
Q( x) 设 dx可以求得为v( x), ln y v( x) P ( x) dx , y
作业
P276
P281
1 (4)
1 (7) 两种方法
即 y ev( x)e P( x) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比 C u( x)
dy 2. 解非齐次的方程(1) P( x) y Q( x) dx P( x) d x 即 作变换 y ( x) u ( x) e , 常数变易法: P( x) d x P( x) d x P( x) d x Q( x) P( x) u e u e P( x) u e
注意定义与齐次方程的区别。
如果Q ( x)不恒等于0，则称(1)为非齐次的，
1. 解齐次线性方程
dy P( x) y 0 dx
分离变量 两边积分得 ln y P( x)d x ln C
y C e P ( x )d x
故通解为
重要结论
齐次的一阶线性微分方程可直接通过分离 变量的办法求解，那非齐次的呢?
齐次方程通解
非齐次方程特解
非齐次线性方程的通解 等于 相对应的齐次线性方程的通解 加上 与非齐次线性方程的一个特解之和
dy 2 y 例 1 : 解方程 ( x 1) ; dx x பைடு நூலகம்1
dy 1 sin x 例 2 : 求方程 y 的通解 ; dx x x
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求微分方程的一个技巧：
第十二章 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
dy 方程 P( x) y Q( x) （ 1 ） dx 叫做一阶线性微分方程 。因为它关于 未知函数y及其导数是一次方程。 如果Q ( x) 0，则称方程(1)是齐次的， 或称(1)为齐次线性方程； 或称(1)为非齐次线性方程。
dy dx 1 将 f ( x, y )看做是 . dx dy f ( x, y )
即把变量x, y反过来看，将原来以以 x为自变 量y为未知函数的方程，看 作是以y为自变量 x为未知函数的方程。 (假设f ( x) 0)
dy cos y 例 3 : 求方程 的通解; dx cos y sin 2 y x sin y
即
P( x) d x dx C 两端积分得 u Q( x) e
P( x) d x y e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce Q( x) e 即 P( x) d x