2020版高考数学一轮复习教案- 第8章 第3节 圆的方程
高中数学圆方程教案
高中数学圆方程教案
教学目标：
1. 掌握圆的一般方程和标准方程；
2. 理解不同参数对圆的位置、形状的影响；
3. 能够根据已知条件求解圆的方程。
教学内容：
1. 圆的一般方程和标准方程的表达；
2. 圆的圆心、半径和方程之间的关系；
3. 圆的位置、形状与参数之间的关系。
教学流程：
一、导入
教师引入圆的概念，讲解圆的定义及基本性质，激发学生对圆的兴趣。
二、讲解
1. 圆的一般方程和标准方程的表达形式；
2. 圆的圆心坐标和半径与圆的方程之间的关系；
3. 不同参数对圆的位置、形状的影响。
三、练习与实践
1. 给出不同圆的半径和圆心坐标，让学生求解圆的方程；
2. 给出圆的方程，让学生画出对应的圆图形。
四、总结与延伸
教师总结本节课的重点知识，并提出延伸思考题，拓展学生对圆方程的理解。
五、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生结合实际情况解决问题。
教学反馈：
教师根据学生的表现和作业情况，及时给予反馈与指导，以便学生及时纠正错误，提高学习效果。
教学资源：
1. 教科书《高中数学》；
2. PPT课件；
3. 相关练习题目。
教学评估：
通过课堂练习、作业表现以及考试成绩等多方面评估学生掌握情况，及时调整教学内容和方法，帮助学生提高学习效果。
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第3节 圆的方程
+
+Dx0+Ey0+F>0.
( √)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.( × )
2.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是
(
)
A.(2,2)
B.(1,3)
C.(-1,-2)
√
D.(0,-1)
解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;
(1)直角顶点C的轨迹方程;
解:(1)法一
设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,
所以 kAC·kBC=-1,又 kAC=
所以+·
-
,kBC=
+
-
,
=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为
点(0,0)和点(4,2)所连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和
点(4,2)所连线段的长,即 2R= (-) + (-) ,可得 R= ,所以圆的
2
2
方程为(x-2) +(y-1) =5.
③若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为
已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
[针对训练]
(1)经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的一般方程是(
2025年高考数学一轮复习-8.3圆的方程【课件】
A. x 2＋（ y －2）2＝1
B. x 2＋（ y ＋2）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y －3）2＝1
D. x 2＋（ y －3）2＝4
解析： 根据题意可设圆的方程为 x 2＋（ y － b ）2＝1，因为圆过
点 A （1，2），所以12＋（2－ b ）2＝1，解得 b ＝2，所以所求圆的
4. 若圆的方程为 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆
心坐标为
（0，－1） .
解析：圆的方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0化为标准方程为（ x ＋
2
2
3
3
）2＋（ y ＋1）2＝1－
，∵ r 2＝1－
≤1，∴ k ＝0时 r 最大.此
1. 以 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）为直径端点的圆的方程为（ x － x1）
（ x － x 2）＋（ y － y 1）（ y － y 2）＝0.
2. 圆心在任一弦的垂直平分线上.
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高中总复习·数学（提升版）
1. 以 A （3，－1）， B （－2，2）为直径的圆的方程是（
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1. 方程 x 2＋ y 2＋ ax ＋2 ay ＋2 a 2＋ a －1＝0表示圆，则 a 的取值范围是
（
）
A. （－∞，－2）
C. （－2，0）
B.
Байду номын сангаас
2
（－ ，0）
3
D.
2
（－2， ）
3
解析： 由方程表示圆的条件得 a 2＋（2 a ）2－4（2 a 2＋ a －1）
2019-2020学年高考数学一轮复习-圆的一般方程教案
2019-2020学年高考数学一轮复习 圆的一般方程教案教学目标：掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程 重点难点：会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.引入新课问题1．已知一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？建构教学1．圆的一般方程的推导过程．2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？3、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件为:例题剖析例1 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．巩固练习1．下列方程各表示什么图形？（1）0)2()1(22=++-y x ；（2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ；（4）02222=-++b ax y x ； （5）052422=+--+y x y x ．2．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直线x y =对称，那么必有（ ）A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．2P P B A O y x2A课堂小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．数学（理）即时反馈作业编号：011 圆的一般方程1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是 ．3．已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b=4．若圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，则D 、E 、F 的关系有 ．5．过圆x 2+y 2-6x +4y -3=0的圆心 ，且平行于x +2y +11=0的直线方程是 .6．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程是 ．7．若圆022222=++++b by x y x 关于直线0=+y x 对称，则=b ．8、已知圆C ：04514422=+--+y x y x ，若M 是圆C 上任意一点，)3,2(-Q ，则|MQ|的最大值为_____________，最小值为______________；9、圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程为____________．10．求过三点)51( -，A ，)55( ，B ，)26(- ，C 的圆的方程．11．已知一个圆经过A （4,2），B （-1,3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆的方程12、已知直线04=-+y x 和02=+-y kx 与x 轴、y 轴所围成的四边形有外接圆，求外接圆的方程13．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ，)03( ，A 的距离之比为21，那么点M 的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：h ttp://w /wxt/list.aspx?ClassID=3060。
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理(含解析)新人教A版
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点， 设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点， 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 考向二 空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三 异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析 如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析 如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形． 对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析 补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ， 如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。
新人教版2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第3节圆与方程课件理新人教A版
(2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a，2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0Байду номын сангаасx－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即|2a－2|＝|2a＋2|，解得
2
2
a＝0，
∴圆心坐标为(0，2)，圆
M
的半径为|2a－2|＝ 2
2，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
解析 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F
则F1＋＝10＋，D＋E＋F＝0，解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 4＋2D＋F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 法二 设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA＝1，kAB＝－1，所以 即 OA⊥AB，所以△OAB 是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 B
4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实
() A.(－1，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 因为点(1，1)在圆的内部，
B.(0，1) D.a＝±1
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 答案 A
5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，
径，则圆心为 C(1，0)，半径 r＝12|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2 2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线x－y＝0相切， ∴半径 r＝2|a2|＝ 2|a|.
又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到
高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第3讲圆的方程
第3讲第八章平面解析几何圆的方程教材回顾▼夯实基础1.圆的定义及方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）课本温故追根求源标准方程(x —a)2+(y —〃)2=以0>0)心：（…）,半径：丄_____一般方程x2+j2+£>x+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)111半径：|\/z>2+E2-4F心:2•点与圆的位置关系点M（x0,旳）与圆（x—af+（y—b）2=r2的位置关系: (1)若旳)在圆外，贝l|(x0—a)2+(yo—^)2(2)若旳)在圆上，贝!|(xo-a)2+(y o-^)2(3)若为)在圆内，贝!Kx0-«)2+(y0-^)2―\，1.辨明两个易误点⑴求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.(2)对于方程X2+J2+D X+£^+F=0表示圆时易忽视Z)2+ 炉一4尸＞0这一条件.2.求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.双基自测,1•圆心在丿轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(A ) A. x 2+(y-2)2=l B. x 2+(y+2)2=l C. (x-1)2+ (y~3)2= 1D. x 2+(y-3)2= 1\ (0—1) 2+ (b_2) —I,解得b=2,故圆的方程为x + (y —2)2=1.2.方程^2+j 2+ 4wx —2j + 5w=0(B ) （0 , b ）,则由题意知,1A•一 svl4r 1C. m<rD. m>l解析：S(W+4-4XSw>0,得m>l.43.圆心在丿轴上且经过点(3, 1)的方程是（B ）A. X2+J2+10J=0B. x2+/-10y = 0C. x2+j2+10x=0 D・ x2+j2—10x=0所以9 +(1—方)2=方「解得方=5.解析：设圆心为(0,b）9半径为八Jl!| r= \b\9x2+(y —bf=b)因为点(3, 1)所以圆的方程为x2+j2—10y=0.4.点(1, 1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内，则实数日的取值范围思’J .解析：因为点(1, 1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4, 所以一1<a<1.5.(必修2P124习题4.1 A组T4改编)圆C的圆心在x轴上, 并且过点4(-1, 1)和B(1, 3),则圆C的方程为(X—2)2+j2=10解析：设圆心坐标为C(a, 0),因为点A(-l, 1)和B(l, 3)在圆C所以IC4I= ICBI,即7(a+1)彳+1=7 (a—l) 解得a=2f所以圆心为C(2, 0), 半径IC4I=〈(2+1) 2+1=莎，所以圆C的方程为(X-2)2+/=10.典例剖析▼考点突破*考点一求圆的方程(1)经过卩(一2, 4)、0(3, 一1)两点，并且在兀轴上截得的弦 长等于6；(2)圆心在直线j=-4x±,且与直线Z ： x+y-l=0相切于 点 P(3, -2).［解］⑴设圆的方程为X 2+J 2+D X +E J +F=0, 将P 、0点的坐标名师导悟以例说法根据下列条件，求圆的方程:分别代入得2D-4E-F=20,①3D-E+F=-1Q.②又令J=O,得x2+Z)x+F=0e③设帀，兀2是方程③的两根, 由I X!-X2I=6,有Q2_4F=36，④由①②④解得D=—2, E=—4, F=_8 或D = _6, E= —,F=0・故所求x2+j2—2x—4y—8=0或x2+j2—6x—8j=0.(2站^沿^啟»1窘)2+Q—y o )2H >{yoH— 4X0》(3—XO )2+(—2—YO )2H?-IF +y o —一一—— 刍J求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程. (2)待定系数法:①若已知条件与(冷方)和半径/有关，则设圆的标准方 程，依据已知条件列出关于“，"厂的方程组，从而求出“,b,厂的值;②若已知条件没有明确给出般方 程，依据已知条件列出关于D, E, F 的方程组，进而求岀D, E, F的值.跟踪训练(2)若不同的四点 4(5, 0)、5(-1, 0)、C(-3, 3)、D(a 9 3) 共圆，求“的值.1.(1)已知圆心为C4(0，-6), 5(1, -5),且|心在直线％兀一丿+1=0上, ;解：（1）法一：设圆的方程为x2+j2+Dx+ Ey+F= 0（^+E2—4F>0）,则圆心坐标为（一£,—「(一6) 2_6E+F=0,由题意可得* I2 + (-5) 2+Z>-5E+F=0,— 2=0,D+E-IO=O,— 2=0,解得*二代入求得i 所以圆的方程为x2+j2+ 6x4- 4j—12= 0,标准方程为(x+ 3)2+ (y+ 2)2= 25.丄11 y+y= — 刁'即 x+y+5=0・法二：因为 A(0, —6), B(l, —5), 所以线段4B 的中点D 的坐标为g ，—因此线段AB 的垂直平分线I 的方程是直线AB 的斜率k AB = —5— ( — 6) iPox+j+5=0,圆心C的坐标是方程组, 的解,lx-j+l=Ox=— 3，解得宀b=_2,所以圆心C的坐标是（一3, -2）.圆的半径长r= IACI =yj (0+3) 2+ (-6+2) 2= 5,所以,心为C的的标准方程是(x+ 3)2+ (y+ 2f= 25.3(2)设过A 、B. C 三点的圆的方程为x 2 +J 2+D X + Ey+F= 0,分别代入A 、B. C 三点坐标，得25+5D+F=0,< l-D+F=0,5>+9-3D+3E+F=0,F=-5.解得D=-4,所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2+j2-4x-p-5 因为ZX 偽3）也在此圆上, 所以/+9—4«— 25—5=0.所以a=7或a= —3（舍去）. 即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题.高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度:(1)半径、面积型最值;⑵斜率型最值;⑶截距型最值;⑷距离型最值.鯉［2 （ 1）（2014-高考江西卷）在平面直角坐标系中分别是兀轴和V轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y_4= 0相切，则圆C面积的最小值为（A ）A 4 口3A•一兀B•一Ji5 4C. （6—2质）兀D.討（2）（2016-河南省豫西五校联考）已知M为圆C：X2+J2-4X 一14丿+45=0上任意一点，且点2（-2, 3）.①求IM0的最大值和最小值；②若M（〃，砒，求三|的最大值和最小值.加十2［解］⑴选A.因为ZAOB=90°,所以点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+j-4=0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x+j-4=0为准线的抛物线上，所以当且仅当O, C, D共线时，圆的直径最小为IODI.4 2=质，所以圆C的最小半径为恭，所以圆C面积的最小值为兀1114 亏•IIIf 12X0+0-41 又如=—^―(2)由圆C： x2+j2— 4x— 14y+ 45= 0,可得(x-2)2+(y-7)2 =8,所以圆心C的坐标为(2, 7),半径①I0C1= 7 (2+2) ?+ (7-3) j血所以IMei max= 40+20 = 60, IM0lmin= 40 —2\{2 = 2\[i.②可知表示直线MQ的斜率, 加十2设直线MQ的方程为丿一3=饥兀+2),YI — 3即 kx-y-V 2k-\- 3= 0,则—;—=k.m + 2 由直线M0与圆C 有交点,可得 2—书WEW2+V5,所以所以加+ 2的最大值为2+书, 1小值为2—书.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如“=巳形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(兀一a)2+® —耐?形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.通关练习2•已知实数x, y满足方程x2+j2— 4x+1= 0.⑴求j-x的j 【大值和最小值;(2)求x2+j2的最大值和最小值.解：原方程可化为(X—2)2+J2=3,表示以(2, 0)为圆心，\[3为半径的圆.(1)丿一兀可看作是直线丿=兀+方在丿轴上的截距，当直线y= x + b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时号解得―朋(如图1).所以y—x的最大值为一2+心,图2（2）X 2+J 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知 识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值（如图2）.又圆心到原点的距离为7 （2-0）牛（0一0） 2= 2, 所以x 2+j 2的最大值是（2+书）2=7+4\伎x 2+j 2的最小值 是（2—厉）2=7—4\月・1=1oyX2考点三与圆有关的轨迹问题已知圆X2+J2=4±一定点A(2, 0), B(l, 1)为圆内一点，P, 0为圆上的动点.(1)求线段4P中点的轨迹方程；(2)若ZPBQ=W ,求线段P0中点的轨迹方程.［解］⑴设AP 的中点为M(x, j),由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x-2, 2y).故线段AP 中点的轨迹方程为(x-l)2+j 2=l.⑵设 P0 的中点为 j),在 RtZ\PB0 中，I PN\ = \BN\, 设O 为坐标原点，连接ON (图略)，贝!|ON 丄P0,所以IOP|2 = \ON\2+\PN\2=ION?+\BN\29 所以 x 2+j 2+(x —l)2+(y —1)2=4.故线段中点的轨迹方程为x 2+j 2—X —J —1 = 0.因为P+J 2=4±,所以(2X -2)2+(2J )2=4.求与圆有关的轨迹方程的方法直接法L直接根据题设给定的条件列出方程（组）求解的方法定义法一根据圆（或直线）的定义列方程（组）求解的方法跟踪训练 3•已知直角三角形ABC 的斜边为AB,且A(-l, 0), B(3, 0),求：(1)直角顶点C 的轨迹方程; (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.解：⑴法一：设顶点eg j),因为AC 丄BC,且A 、B 、C 三点不共线，所以兀H3且兀H —1・所以~Z7i =— 1，即 /+丿2— 2x — 3= 0・JL eV因此，直角顶点c 的轨迹方程为x 2-\-y 2— 2x — 3= 0(X7^3且 兀工一1).又 kac=x+1法二设AB的中点为D,由中点坐标公式得n(l, 0),由直角三角形的性质知，ICDI=|lABI = 2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(l, 0)为圆心，2为半径长的圆(由于4B, C三点不共线，所以应除去与兀轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1)2+/= 4(xH 3且xH —1).⑵设点M(x, j),点C(x 0, jo)，因为B(3, 0), M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得兀=迴兰3工3且xHl), y由(1)知，点C 在圆(x-l)2+/= 4(x^3且兀工一1)上运动,将兀o=2x —3, yo=2y 代入该方程得(2x —4『+(2刃2=4,即 (X -2)2+J 2=1(X #：3且兀Hl).因此动点M 的轨迹方程为(兀 —2)2+J 2= 1(兀工 3 且 x#= 1).=Jo + O—2 ,于是有 x 0 = 2x —3, y 0=2y.拓展升华触类旁通考题溯源一一求圆的方程（2015•高考全国卷II）己知三点4（1, 0）,B（0,C（2,厉），则外接圆的圆心到原点的距离为（B.长为2的正三角形，其外接圆的圆心为 ［解析］法一:设圆的方程为X 2+J 2+Z)X +£J +F=0, ri+D+F=0, 则5 3+\^E+F=0, 解得 D= — 2, E=_誓法二 在平面直角坐标系兀Oy 中画出△4BG 易知△ABC 是边咼考题溯源 本题源于人教A 版必修2 P122例4 “求过三点M+3+ 2£>+ 应 + F= 0, •因此IODI =0(0, 0), Mi(l, 1), M2(4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标”.考题变式〔如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为方程为闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能解析:因为三角形三边所在的直线方程分别为x+2y—5=0,y—2= 0, x+j—4= 0,所以可得三角形的三个顶点分别是(1, 2), (2, 2), (3, 1). 设三角形外接圆的方x2+j2+Dx+Ey+F= 0,贝||D+2E+F=-5,< 2D+2E+F=一& 3D+E+F=-10,D= _3, 所以\E=-1, 、F=0,所以该三角形外接圆的方程为x2+j2—3x—y= 0,闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。
2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第8章第3节圆的方程含答案
第三节圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r为定值，a，b是参数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. ( )[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，所以圆的方程为x2＋y2＝2.] 3．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定A[将点(m2,5)代入圆方程，得m4＋25>24.故点在圆外，故选A.]4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.]5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1A[由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.]1. 过点A(1，－1)，B(－( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[AB的中垂线方程为y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，故选C.]2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________．(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 [过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.]3．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． x 2＋y 2－2x ＝0 [法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎨⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.]►考法1 【例1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx 的最大值为________，最小值为________．3 －3 [原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.(如图所示)所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. ►考法2 截距型最值问题【例2】 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ， t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. ►考法3 距离型最值问题【例3】 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．求|MQ |的最大值和最小值；[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |m ax ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题(1)如果实数x ，y 满足圆(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________． (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (2)7 [(1)(x ，y )在圆上，y ＋3x －1表示的是圆上的点(x ，y )与点(1，－3)连线的斜率，结合图象(图略)，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k ，切线方程为kx －y －3－k ＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k －3|1＋k2＝1，k ＝43，故取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. (2)切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.]【例4】 已知圆x 2Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.中点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9. 设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9，化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.1．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． [解] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4， 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
第8章 第3节 圆的方程
第三节圆的方程一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．00(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.3．常用结论以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (√) (2)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆． (×) (3)圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12．(×)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0内，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F＞0． (×)2．若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1B 解析：由题意知直线y ＝kx ＋3过圆心(1,1)， 即1＝k ＋3，解得k ＝－2.3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±1A 解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以－1<a <1.5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)5解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1求圆的方程——基础性(1)(2020·北京高三一模)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上．若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C．(x－2)2＋(y－4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝16D解析：因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)．因为圆C与x轴正半轴相切于点A，所以a>0且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝2，所以d＝|a－0－4|1＋1＝2，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．因为A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝16.(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A (－a,0)，B (a,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为________．2aλ|1－λ2| 解析：设P (x ，y )，由动点P 满足|P A ||PB |＝λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，所以(x ＋a )2＋y 2＝λ(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋2a (1＋λ2)1－λ2x ＋a 2＋y 2＝0， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋a (1＋λ2)1－λ22＋y 2＝a 2(1＋λ2)2(1－λ2)2－a 2，所以该圆半径r ＝a 2(1＋λ2)2(1－λ2)2－a 2＝2aλ|1－λ2|.求圆的方程的两种方法(1)几何法．通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(2020·重庆育才中学3月月考)圆C 以直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0上的定点为圆心，半径r ＝4，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝16B ．(x －2)2＋(y －2)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16A 解析：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0，可得(2x ＋y ＋2)m ＋(x ＋y )＝0，所以直线过⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，x ＋y ＝0的交点，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即直线过定点(－2,2)，则所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝16.故选A ．考点2 与圆有关的轨迹问题——综合性设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N 在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，可将点Q 的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．1．若动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16B 解析：设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.2．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，点C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |.求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．解：设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，设动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)． 由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y ≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．考点3 与圆有关的最值问题——综合性考向1 斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B．17－1 C．6－2 2 D．17A解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．1．设点P是函数y＝－4－(x－1)2图象上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．5－2解析：函数y＝－4－(x－1)2的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分．令点Q的坐标为(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝2a，y＝a－3，得y＝x2－3，即x－2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|12＋(－2)2＝5>2，故直线x －2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2.2．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y ＝0上，则|P A|＋|PQ|的最小值是________．25解析：因为圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r＝5为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故⎩⎪⎨⎪⎧m＋02＋n＋22＋2＝0，n－2m－0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－4，n＝－2.故A′(－4，－2)．所以|A′C|＝(2＋4)2＋(1＋2)2＝3 5.连接A′C交圆C于点Q，由对称性可知|P A|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2 5.。
第8章 第3节 直线与圆、圆与圆的位置关系
圆心(1,0)到直线 kx－y＋2＝0 的距离 d>2，即
|k＋2| k2＋1
>2，
解得
4 0<k<3.
答案：0，43
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判断直线与圆的位置关系常见的方法 1．几何法：利用 d 与 r 的关系判断． 2．代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用 Δ 判断． 3．直线与圆的位置关系要注意直线的特殊性．如直线是否 经过定点，斜率 k＝0 或不存在；点是在圆上、圆外或圆内，注意 利用方程思想时，方程根的正负与范围等．
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4．点与圆的位置关系：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交．若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相 交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题．
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时，r＝2；当 m>0 时，r<2.所以半径最大的圆的标准方程为
x2＋(y－1)2＝8.
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解法二：直线 mx－y＋2m－1＝0 化为 m(x＋2)－y－1＝0 恒过定点 P(－2，－1)，设 C(0,1)， 则 r≤|PC|＝2 2. ∴所求圆的标准方程为(x－0)2＋(y－1)2＝8. 答案：x2＋(y－1)2＝8
处理几何问题的思想. 难度：中低档.
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高三数学一轮复习第8篇圆与方程学案理
第四十九课时 圆与方程课前预习案1.掌握圆的定义及性质，圆的标准方程与一般方程，2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题。
1.圆的方程（1） 圆的定义：平面内 的点的集合（轨迹）叫做圆。
（2）圆的标准方程：圆心在),(b a c 、半径为r 的圆的标准方程是（3）圆的一般方程：当0422>-+F E D 时，方程 ①叫做圆的一般方程.它表示圆心为 ，半径为 的圆；当2240D E F +-=时，①表示点 ；当2240D E F +-<时，①不表示任何图形。
（4）求圆的方程的方法：待定系数法．．．．．，先定式，后定量。
如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式。
2.直线与圆的位置关系（1）设直线:0l Ax By C ++=圆222:()()C x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为（2）判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系①⇔直线与圆相交 ；②⇔直线与圆相切 ；③⇔直线与圆相离 方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，确定直线和圆的位置。
（3）过圆上一点的圆的切线方程设圆的标准方程222x y r +=,点M(x 0,y 0)为圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ; 设圆的标准方程为222:()()C x a y b r -+-=,点M(x 0,y 0)圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ;（4）求圆的切线的方法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .提醒：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x 轴的切线，即斜率不存在时的情况．（5）求直线和圆相交的弦长方法一：解半径、半弦、弦心距组成的直角三角形（注意解直角三角形算出的是弦长的一半）。
江苏省滨海中学2020届高三数学总复习教学案8.3圆的方程
8.3圆的方程重点集结1.圆的方程(1)标准式：，此中 r 为圆的半径， (a， b)为圆心．(2) 一般式：，此中圆心为，半径为.(3)参数式：①圆心在 O(0,0)，半径为 r 的圆的参数方程为．②圆心在 O2(a， b)，半径为 r 的圆的参数方程为．2．二元二次方程Ax2＋ Bxy＋ Cy2＋ Dx＋Ey＋ F＝ 0 表示圆的方程的充要条件是．基础自测1．方程 x2＋ y2＋ 4mx － 2y＋ 5m＝ 0 表示圆时， m 的取值范围为______________．2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程是________．3．点 P(2，－ 1)为圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 ______________．4．已知点 (0,0)在圆： x2＋ y2＋ ax＋ ay＋ 2a2＋ a－ 1＝ 0 外，则 a 的取值范围是________．5．过圆 x2＋ y2＝ 4 外一点P(4,2) 作圆的切线，切点为 A 、 B，则△ APB 的外接圆方程为________．考点研究【例 1】依据以下条件求圆的方程．(1)经过坐标原点和点P(1,1)，而且圆心在直线2x＋ 3y＋ 1＝ 0 上；(2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－ 1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程；变式 1：已知圆 C 的圆心在y 轴上，截直线l1： 3x＋ 4y＋ 3＝ 0 所得弦长为8，且与直线l2： 3x－ 4y＋ 37＝ 0 相切，求圆C的方程．【例 2】已知 x ， y ∈R 且知足 x 2＋ y 2－ 4x ＋ 3＝ 0，求：(1) y － x 的最值；(2) x 2＋ y 2 的最值 .变式 2: (1)若直线 l ：ax ＋ by ＋1＝ 0(a ≥ 0，b ≥ 0)一直均分圆M ：x 2＋ y 2＋ 4x ＋ 2y ＋ 1＝ 0 的周长，则 a 2＋ b 2－ 2a －2b ＋ 3 的最小值为 ________.(2) 设 P 为直线 3x － 4y ＋ 11＝ 0 上的动点，过点 P 作圆 C ： x 2＋y 2 －2x － 2y ＋ 1＝ 0 的两条切线，切点分别为 A ， B ，则四边形 PACB 的面积的最小值为 ________.【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ b(x ∈ R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为 C.(1) 务实数 b 的取值范围；(2) 求圆 C 的方程；(3) 问圆 C 能否经过定点 (其坐标与 b 没关 )？请证明你的结论．热门研习：1.经过圆 (x－ 1)2＋ (y＋1)2＝ 2 的圆心，且与直线2x＋ y＝ 0 垂直的直线方程是 ________．2.已知直线ax y 20与圆心为 C 的圆x1 2y a 24订交于A，B两点，且ABC 为等边三角形，则实数a_________.3. 圆心在直线2x y0 上，且与直线 x y 1 0 相切于点 2, 1 的圆的方程是.4.已知 A ( － 1,0),B (0,2)， P 为 (x － 1)2+y2=1上的动点，则PAB 的面积的最大值为.5.假如圆的方程为x2＋ y2＋ kx ＋ 2y＋ k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标是________．6.已知点P(a， b)对于直线l 的对称点为P′ (b＋ 1， a－ 1)，则圆C： x2＋ y2－ 6x－ 2y＝ 0对于直线l 对称的圆C′的方程为__________________________ ．7.点P(x，y)是圆x2＋ (y－ 1)2＝ 1 上随意一点，若点P 的坐标知足不等式x＋ y＋ m≥ 0，则实数 m 的取值范围是 ________．8.已知点 A(－ 3,0)，B (3,0)，动点 P 知足 |PA|＝ 2|PB|.(1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程；(2)若点 Q 在直线 l1： x＋ y＋ 3＝ 0 上，直线 l2经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点M，求 |QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．9.已知点 P(2，2)，圆 C：x2＋ y2－ 8y＝ 0，过点 P 的动直线l 与圆 C 交于 A ，B 两点，线段AB 的中点为M ， O 为坐标原点 .(1)求 M 的轨迹方程；(2)当 OP＝ OM 时，求 l 的方程及△ POM 的面积 .10.已知位于H(0,t)的直线y 轴左边的圆 C 与 y 轴相切于点 (0,1)，且被x轴分红的两段弧长之比为l 与圆C订交于M，N两点，且以MN 为直径的圆恰巧经过原点O.2:1 ，过点(1)求圆 C 的方程；(2)当 t=1 时，求直线(3)求 K OM的取值范围l 的方程..;。
2019-2020学年高考数学一轮复习-圆的标准方程导学案
2019-2020学年高考数学一轮复习 圆的标准方程导学案一、学习目标1． 掌握圆的标准方程及一般方程，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和 半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化；2．能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程．二、课前预习1．圆的定义(1)在平面内，到 的距离等于 的点的轨迹叫圆． (2)确定一个圆基本要素是 和 .2．圆的标准方程是 ，圆心 ，半径为 .3．圆的一般方程是 ，圆心坐标为 ，半径为 ．4．若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 .5．圆心在直线y x =上，半径为22且与x 轴相切的圆的方程 .三、课堂研讨例题1 根据下列条件分别求圆的方程：（1）圆222690x y x y ++++=关于直线50x y -+=对称的圆的方程；（2）经过65A （，），1B （0，）两点，并且圆心C 在直线3490x y ++=上的圆的方程； （3）直线2,==x x y 和0=y 围成的三角形内切圆的方程．备 注例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱22A P 的高度(精确到0.01米)(825≈28.72)．例题３ 在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈来 的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C ．（１）求实数b 的取值范围；（２）求圆C 的方程．四、学后反思检测案——圆的标准方程和一般方程 姓名：1． 圆222670x y x y +-++=的标准方程为2． 圆1)1(22=++y x 关于直线x y -=对称的圆方程为 ．3．若圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b = ．4．过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为________．课外作业——圆的标准方程和一般方程 姓名：1．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是 .2．圆()2225x y ++=关于坐标原点对称的圆的方程是 ． 3．与x 轴、y 轴都相切，并且过点()1,8的圆的圆心坐标为 .4．过点()()1,1,1,1A B --，圆心在直线20x y ++=上的圆的方程是 .5．已知一圆过(4,2)P -，(1,3)Q -两点，且在y 轴上截得线段的长为43，则圆的方程为 .6．已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=，点(0,1)A -、(0,1)B ，P 是圆C 上的动点，当22PA PB +取最大值时，点P 的坐标是________．7．已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，则点M 的坐标满足的关系式是 .8．已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+t y t x t y x 表示一个圆，（1）求t 的范围；⑵ 求面积最大的圆方程；⑶ 若圆关于直线02=-+y x 对称，求圆的方程.。
2020版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第三节 圆的方程教案(含解析)
第三节圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹)标准方程（x－a)2＋（y－b）2＝r2(r＞0)圆心:（a，b），半径:r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心：错误!，半径：错误!错误!2.点与圆的位置关系点M（x0，y0）与圆(x－a)2＋（y－b）2＝r2的位置关系：（1)若M(x0，y0）在圆外，则(x0－a）2＋(y0－b）2＞r2.(2）若M（x0，y0）在圆上，则（x0－a)2＋(y0－b）2＝r2。
（3)若M(x0，y0）在圆内,则（x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。
[小题体验］1．(2019·金华五校联考）在平面直角坐标系xOy中，以点（0,1)为圆心且与直线x－by ＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ）A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋（y－1)2＝2C．x2＋（y－1)2＝8 D．x2＋（y－1）2＝16解析：选B 法一：由题意可得圆心(0，1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≤错误!≤错误!,当且仅当b＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r＝错误!，此时圆的标准方程为x2＋（y－1)2＝2。
故选B。
法二:易知直线x－by＋2b＋1＝0过定点P（－1，2），如图，当圆M与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为错误!，此时圆的标准方程为x2＋（y－1)2＝2，故选B。
2．(2018·浙江五校联考）若点（2a，a＋1)在圆x2＋（y－1)2＝5的内部,则实数a的取值范围是( )A．（－1，1） B．（0，1)C.错误! D。
错误!解析:选A 因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1）2＜5，解得－1＜a＜1。
故实数a的取值范围是(－1,1)．3．(2018·湖州调研）若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆心C的坐标为________；圆C的一般方程是________．解析：已知圆x2＋y2＋2x＝0的圆心坐标是（－1，0）、半径是1,设圆C的圆心（a，b),则有错误!由此解得a＝1，b＝2，即圆心C的坐标为（1,2）,因此圆C的方程是（x－1)2＋（y －2）2＝1,即x2＋y2－2x－4y＋4＝0。
2020届高三数学一轮复习 《圆的方程》学案
《圆的方程》学案课前准备 【考纲要求】1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程和一般方程． 3．掌握点和圆的位置关系及判断方法． 【知识梳理】 1．圆的定义⑴在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． ⑵确定一个圆最基本的要素是 和 ．23．点(,)M x y 与圆()()x a y b r -+-=的位置关系3．22200()()x a y b r -+->；22200()()x a y b r -+-=； 22200()()x a y b r -+-<.【基础自测】1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（ ）A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)2x y +++= D ．22(1)(1)2x y -+-= 【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =∴圆的标准方程为22(1)(1)2x y -+-=．2．圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】∵圆22(1)2x y ++=的圆心为(1,0)-，∴圆心到直线的距离为d ==3．方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m ≤ B ．2m < C ．12m < D ．12m ≤ 【答案】C【解析】∵22424D E F m +-=-， 要使方程表示圆，则240m ->，∴ 12m <． 4．若点(1,1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则实数a 满足的条件是（ ）A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a >或1a <-D ．1a ≠±【答案】A【解析】∵点(1,1)在圆内，∴22(1)(1)4a a -++<，即11a -<<.课堂互动 【典例剖析】考点一 求圆的方程【例1】(2019伊春质检)过点(1,1)(11)A B --,，，且圆心在20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．22(3)(1)4x y -++= B ．22(3)(1)4x y ++-= C ．22(1)(1)4x y -+-= D ．22(1)(1)4x y +++= 【答案】C【解析】AB 的中垂线方程为y x =， 由20y xx y =⎧⎨+-=⎩，圆心坐标为(1,1)，∴圆的方程是22(1)(1)4x y -+-=.【方法技巧】求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(,)a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．【变式】（2018天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________． 【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵圆经过三点经过三点(0,0),(1,1),(2,0)，∴01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴圆的方程为2220x y x +-=． 考点二 与圆有关的最值问题【例2】已知实数x ，y 满足22410x y x +-+=， 求： （1）y x -的最小值；（2）yx 的最大值； （3）22x y +的取值范围．【解析】圆的方程可化为22(2)3x y -+=． （1）设y x m -=，即y x m =+， 当相切时，m 取得最大值或最小值．∴32=， 解得 26m =--或26m =-+．∴ y x -的最小值是26--．（2）原方程表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设yk x=，即y kx =， 当相切时，k 取得最大值或最小值，∴231k =+，解得 3k =或3k =-， ∴ yx的最大值是3．（3）设22d x y =+，则d 表示圆上的点到原点的距离，∵圆心到原点的距离为22(20)(00)2--+-=． ∴22r d r -≤≤+，∴2323d -≤≤+， ∴2743743d -≤≤+， ∴所求的范围是[743,743]-+．【方法技巧】求解与圆有关的最值问题的规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．【变式】(2019雅礼中学)设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为( )A ．6B ．4C ．2D ．22 【答案】B【解析】如图所示，圆心(3,1)M -与直线3x =-的最短距离为3(3)6MQ =--=， 又圆的半径为2，故所求最短距离为624-=． 考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】已知点(2,2)P ，圆C :2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM ∆的面积． 【解析】（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=,∴圆心为(0,4)C ,半径为4．设(,)M x y ,则(,4)CM x y =-u u u u r ,(2,2)MP x y =--u u u r,由题设知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r,∴(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=, 由于点P 在圆C 的内部,∴M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．（2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为圆心,2为半径的圆．由于OP OM =, ∴O 在线段PM 的垂直平分线上, 又P 在圆N 上,从而ON PM ⊥．∵ON 的斜率为3,∴l 的斜率为13-,直线l 的方程为1833y x =-+又22OM OP ==，O 到l 的距离为410，410PM =， ∴POM ∆的面积为165．【方法技巧】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．BAC N xyOP M【变式】（2019荆州质检）由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，60APB ∠=o，则动点P 的轨迹方程为 ． 【答案】224x y +=【解析】∵60APB ∠=o ，∴30AOP ∠=o，∴22OP OA ==,∴动点P 的轨迹方程为224x y +=．【课时作业】1．已知点(1,1)A -，(1,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．221x y +=B ．22x y +=C ．222x y += D ．422=+y x 【答案】C【解析】圆的方程为(1)(1)(1)(1)0x x y y -+++-=，即222x y +=.2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ） A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．22(3)1x y +-= 【答案】A【解析】设圆的方程是22()1x y b +-=，∵点(1,2)在圆上，∴21(2)1b +-=，解得2b =． ∴圆的方程是22(2)1x y +-=．3．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是（ ） A ．22100x y y ++= B ．22100x y y +-= C ．22100x y x ++= D ．22100x y x +-= 【答案】B【解析】圆心坐标为(0,)b ，半径为r ，则r b =， ∴圆的方程为222()x y b b +-=.∵点(3,1)在圆上，∴229(1)b b +-=，解得5b =. ∴圆的方程为22100x y y +-=.4．已知,x y 满足422=+y x ，则543+-=y x z 的取值范围是（ ） A ．[5,15]- B ．[10,10]- C ．[2,2]- D ．[0,3] 【答案】A【解析】2cos ,2sin x y θθ==，则6cos 8sin 510sin()5z θθθϕ=-+=++， ∴105105z -+≤≤+，515z -≤≤．5．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==-， ∴1AB CB k k ⋅=-，∴AB CB ⊥， 即ABC ∆为直角三角形，∴外接圆圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，∴外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，∴MN =6．在平面直角坐标系内，若曲线:C 22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞ 【答案】A【解析】圆C ：22()(2)4x a y a ++-=，∴020222a a a a ->⎧⎪<⎪⎨->⎪⎪>⎩，∴02a a <⎧⎪⎨>⎪⎩，∴2a <-．7．（2019重庆质检）曲线22(1)1(0)x y x +-=≤上的点到直线10x y --=的距离最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）A.B.2D. 【答案】C【解析】∵圆心1=>，1，最小值为点(0,0)到直线的距离为2，∴1122a b -=-=+． 8．圆心在直线2x =上的圆与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则该圆的标准方程为 . 【答案】22(2)(3)5x y -++=【解析】∵圆心在直线2x =,且与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --, ∴圆心为(2,3)-, r = ∴圆的标准方程为22(2)(3)5x y -++=.9．（2019枣庄二模）已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ． 【答案】22(2)2x y +-=【解析】设圆心坐标为(,2)a a -，半径为R ． ∵圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，=，∴11a a -=+．∴0a =，R ==∴圆M 的标准方程为22(2)2x y +-=．10．已知直线l 经过两点(2,1)，(6,3)． （1）求直线l 的方程；（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于点(2,0)，求圆C 的方程． 【解析】（1）由已知，直线l 的斜率311622k -==-， ∴直线l 的方程为20x y -=. （2）∵圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(2,)a a ， ∵圆C 与x 轴相切于(2,0)点， ∴圆心在直线2x =上，∴1a =， ∴圆心坐标为(2,1)，半径为1， ∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=.11．(2019潍坊质检) 已知圆224x y +=上一定点(2,0)A ，(1,1)B 为圆内一点，P Q ,为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=o，求线段PQ 中点的轨迹方程． 【解析】(1)设AP 的中点为(,)M x y ，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x -∵P 点在圆224x y +=上， ∴22(22)(2)4x y -+=，∴线段AP 中点的轨迹方程为22(1)x y -+=(2)设PQ 的中点为(,)N x y ，连接BN . 在Rt PBQ ∆中，PN BN =.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON PQ ⊥， ∴22222OP ON PNON BN =+=+，∴2222(1)(1)4x y x y ++-+-=.∴线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=.。
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第三节 圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初 步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x －a )2＋(y －b )2 ＝r 2(r ＞0)圆心(a ，b )，半径 r一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)D E 圆心(－ ，－，2)21半径 D 2＋E 2－4F22.点与圆的位置关系点 M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 的位置关系： (1)若 M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若 M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若 M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [常用结论] 1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程(1)同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中 a ，b 为定值，r 是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中 r 为定值，a ，b 是参数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. ()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－－1]2＋－1－12＝2 2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.]3．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24 的位置关系是()A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定A[将点(m2,5)代入圆方程，得m4＋25>24.故点在圆外，故选A.]4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 表示圆，则实数k的取值范围是()A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.] 5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1A[由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直|4a－3| 1线4x－3y＝0 相切，∴＝1，解得a＝2 或a＝－(舍去)．5 2∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.]求圆的方程1. 过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在x＋y－2＝0 上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[AB 的中垂线方程为y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0 的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.]2．已知圆心在直线y＝－4x 上，且圆与直线l：x＋y－1＝0 相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________．(x－1)2＋(y＋4)2＝8[过切点且与x＋y－1＝0 垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝3－12＋－2＋42＝2 2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.]3．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．x2＋y2－2x＝0[法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴Error!解得Error!∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.][规律方法]求圆的方程的方法1直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.2待定系数法①若已知条件与圆心a，b和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值.与圆有关的最值问题►考法1斜率型最值问题y 【例1】已知实数x，y 满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为x________，最小值为________．3－3[原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的y圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，xy所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，x|2k－0|此时＝3，解得k＝± 3.(如图所示)k2＋1y所以的最大值为3，最小值为－ 3.x►考法2截距型最值问题【例2】已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1 上，求x＋y 的最大值和最小值．[解]设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t 可视为直线y＝－x＋t 在y 轴上的截距，∴x＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，|2＋－3－t|即＝1，解得t＝2－1 或t＝－2－1.2∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.►考法3距离型最值问题【例3】已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点，且点Q(－2,3)．求|MQ|的最大值和最小值；[解](1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2 2.又|QC|＝2＋22＋7－32＝4 2，∴|MQ|ma x＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.[规律方法]与圆有关的最值问题的三种几何转化法1形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.2形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.3形如m＝x－a2＋y－b 2 形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.y＋3(1)如果实数x，y满足圆(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是x－1________．(2)由直线y＝x＋1 上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0 引切线，则切线长的最小值为________．4y＋3(1)[，＋∞)(2) 7[(1)(x，y)在圆上，表示的是圆上的点(x，y)与点3x－1(1，－3)连线的斜率，结合图象(图略)，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k，切线方程为kx－y－3－k＝0，圆心到直线|k－3| 4 4的距离等于半径，即＝1，k＝，故取值范围是，＋∞).3[ 1＋k23(2)切线长的最小值在直线y＝x＋1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)|3－0＋1|到直线的距离为d＝＝2 2，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝28－1＝7.]与圆有关的轨迹问题【例4】已知圆x2＋y2＝4 上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解](1)设AP 的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2,2y)．因为P 点在圆x2＋y2＝4 上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ 的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|.设O 为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[规律方法]求与圆有关的轨迹问题的四种方法1直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.2定义法：根据圆的定义列方程求解.3几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.4代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C 满足|AC|＝|AB|，求点C 与点P(1,4)所连线段的中点M 的轨迹方程．[解]由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3 为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，代入点C的轨迹方程得4x20＋4(y0－2)2＝9，9化简得x20＋(y0－2)2＝，49故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝.41．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2 6B．8C．4 6D．10C[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则Error!解得Error!∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2 6或y＝－2－2 6，∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)，∴|MN|＝4 6，故选C.]x2 y22．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1 的三个顶点，且圆心在x轴的16 4正半轴上，则该圆的标准方程为________．3 25x－2＋y2＝[由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，( 2)4(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，则Error!解得Error!3 25所以圆的标准方程为( 2＋y2＝.]x－2)43．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．Earlybird[解](1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由Error!可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.y21y y1y222又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.2 2 4y1 y2 －4因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，x1 x2 4所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝m2＋22＋m2.→→由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，1所以2m2－m－1＝0，解得m＝1 或m＝－.2当m＝1 时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.1 9 1当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，－，2 ( 2)485圆M的半径为，49 12 2 85圆M的方程为( ＋y＋＝.x－4) ( 2)16。