杭州二中2013学年第二学期高三年级第五次月考 数学试卷

杭州二中2013学年高三年级第五次月考数学试卷
命题：金迪 审核：楼肇庆 注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。

本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求． 1设全集U 是实数集R ，{}
{}2
|4,|ln(2)0M x x N x x =≥=+≥，则N M C U ⋂)(=( )
A.{}|12x x -≤<
B.{}|2x x <
C.{}|12x x -<<
D.{}|2x x ≤
2.复平面内，复数20142013
2i
i z +=，则复数z 的共轭复数对应的点在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7
4.在3
8
(1)(1)x x -+的展开式中，含2
x 项的系数是n ，若
n
n n x a x a x a a nx +⋅⋅⋅+++=-2210)8(，则=+⋅⋅⋅++n a a a a 210( ) A.0 B.1 C.-1 D.7
15 5.α为平面，,m n 是两条不同直线，则//m n 的一个充分条件是（ ）
A.//m α且//n α
B.,m n 与平面α所成的角相等
C.m α⊥且n α⊥
D.,m n 与平面α的距离相等
6.设P 是不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≥-≥≥310
,0y x y x y x 表示的平面区域内的任意一点，向量)1,1(=→m ，)1,2(=→
n ，
若→
→→+=n m OP μλ（μλ,为实数），则μλ-的最大值为（ ）
A.4
B.3
C.-1
D.-2
7.已知三个不全相等的实数q p m ,,成等比数列，则可能成等差数列的是（ ）
A.q p m ，，
B.222q p m ，，
C.3
33q p m ，， D.q p m ，，
8.若关于x 的不等式2|3|2
<++a x x 至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是（ ）
开始 2
n
n =
否 n ＝3n +1
n 为偶数
k ＝k ＋1 结束
n ＝5，k ＝0 是 输出k n =1? 否
是
第11题
A.)32,32(-
B.)43,32(-
C.)43,43(-
D. )3
2
,43(- 9.若三棱锥BCD A -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等， 则动点P 的轨迹与三角形ABC 组成图形可能是（ ）
A. B. C. D.
10.21,F F 双曲线是122
22=-b
y a x 的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距
离为a 2，则离心率e 的取值范围是（ ）
A.)2,1(
B.]2,1(
C.),2(+∞
D.),2[+∞
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长 为2的正方形，则这个正四面体的体积为 ． 12.设]2
,2[π
π-
∈x ，)cos(cos x A =令，)sin(sin x B =，则 B A ,的大小关系为 ．
13. 在等差数列{n a }中，01>a ，10a ·
11a ＜0，若此数列的前10项和10S ＝36，前18项和 18S ＝12，则数列|}{|n a 的前18项和为_____________．
14.某人参加一档综艺节目，需依次闯关回答8道题，若回答正确，就获得一定的“家庭梦
想基金”且可选择拿着“家庭梦想基金”离开或继续答题（假设离开和继续答题的可能性 相等）；若回答错误，则此前积累的基金清零，且他离开此节目。

按规定，他有一次求助 亲友团的机会，若回答正确，也被视为答案正确，否则视为错误。

8道题目随机排列，且 他能答出其中5题，且另3题中，有2题亲友团能答对，则他能获得第5关对应的“家庭 梦想基金”的概率为 .
15.已知c
b
a
632==，Z k ∈，不等式
k c
b
a >+恒成立，则整数k 的最大值为 . 16.已知函数x x x f ln )(=，当012>>x x 时，给出以下几个结论： ①0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ；②
1)
()(2
121<--x x x f x f ；
③1221)()(x x f x x f +<+；④)()(2112x f x x f x <； ⑤当1ln 1->x 时，)(2)()(122211x f x x f x x f x >+
A C
B P A
C B P A C B P A C B P
其中正确的是 .
17.平面向量→
→→e b a ,,满足1||=→
e ，1=⋅→
→e a ，2=⋅→
→e b ，2||=-→→b a ，则→
→⋅b a 的最小值为 .
三．解答题:本大题有5小题，共72分 18．（本题满分14分）
已知函数21
()sin cos sin (0)2
f x x x x ωωωω=⋅+->，其相邻两个零点间的距离为2π．
（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）锐角ABC ∆中，1
(
),4,282
A f A
B AB
C π+==∆的面积为6，求BC 的值．
19.（本题满分14分）
某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间T （单位：年）有关.若1T ≤，则每台销售利润为0元；若1<T ≤3，则每台销售利润为100元；若3T >，则每台销售利润为200元.设每台该种电视机的无故障使用时间1,1T ≤<T ≤3,T >3这三种情况发生的概率分
别为12312,,,,P P P P P 又知是方程2
1060x x a -+=的两个根，且23P
P =. （1）求123,,,P P P 的值；
（II ）记ξ表示销售两台这种电视机的销售利润总和，写出ξ的所有结果，并求ξ的分布列； （III ）求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值. 20．（本题满分14分）
如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于,A B 的点，平面PAC ⊥平
面ABC ，2===AC PC PA ，4BC =，,E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ． （Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出||AQ 的值；若不存在，请说明理由．
21.（本题满分15分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，c 为半焦距，若以2F 为圆心，
c b -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且||PT 的最小值不小于)(2
3
c a -， （1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为)0(>k k 的直线
l 与椭圆相交于B A ,两点，若OB OA ⊥，求直线l 被圆2F 截得的弦长S 的最大值.
22.（本题满分15分） 已知函数2
ln )(x x a x f -=
（1）当2=a 时，求函数)(x f y =在]2,2
1[上的最大值；
（2）令ax x f x g +=)()(，若)(x g y =在区间)3,0(上不单调，求a 的取值范围； （3）当2=a 时，函数mx x f x h -=)()(的图像与x 轴交于两点)0,(),0,(21x B x A ，且
210x x <<，又)(x h y '=是)(x h y =的导函数，若正常数βα,满足条件1=+βα，
αβ≥，证明：0)(21<+'x x h βα
P y x
O T。