[精品]2016年四川省广元市高考数学一模试卷及解析答案word版(理科)

2016年四川省广元市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．3．（5分）若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）4．（5分）已知α=sin150°，b=tan60°，c=cos（﹣120°），则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a5．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣26．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，则“f（﹣x）=f（x）”是“φ=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是（）A．2+2B．2+C．3+D．1+28．（5分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣19．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种10．（5分）对任意实数a、b定义运算⊗：a⊗b=，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，3]B．[﹣3，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，1）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为．12．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．13．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=a2=1，且a n+2﹣a n=1，则数列{a n}的前100项和为．15．（5分）已知定义域为I的函数f（x），若存在开区间（a，b）⊆I和正的常数c，使得任意x∈（a，b）都有﹣c＜f（x）＜c，且对任意x∉（a，b）都有|f（x）|=c恒成立，则称f（x）为区间I上的“Z型”函数，给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=；③f（x）=|sinx|；④f（x）=x+cosx，其中是区间I上的“Z型”函数的是（只需写出序号即可）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系C=3+x，每日的销售S（单位：万元）与日产量x的函数关系式为S=．已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求此最大值．18．（12分）目前，埃博拉病毒在西非并逐渐蔓延，研究人员将埃博拉的传播途径结合飞机航班数据，埃博拉的潜伏时间等因素，计算出不限飞情况下，亚洲国家中印度、中国、阿联酋、黎巴嫩在一个月后出现输入性病例的概率分别是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出现输入性病例是彼此独立的．（1）求上述四国中恰有1个国家出现输入性病例的概率；（2）从上述四国中任选两国调研疫情，求恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩），一国选在中国和印度的概率；（3）专家组拟按下面步骤进行疫情调研，每一步若出现输入性病例，若出现则留下来研究，不在进行下一步调研；第一步，一次性选中国和印度两个国家同时进行调研；第二步，在阿联酋和黎巴嫩两个国家中随机抽取1个国家进行调研第三步，对剩下的一个国家进行调研．求该专家组调研国家个数的分布列和期望．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=，siniA=，求△ABC的面积．20．（13分）已知定圆M：（x﹣3）2+y2=16和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q．（Ⅰ）讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．（Ⅱ）若定点A（5，0），试求△QMA的面积的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN 的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．2016年四川省广元市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：∵过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，即＜0，即＜0，解得﹣2＜a＜1，故选：A．4．（5分）已知α=sin150°，b=tan60°，c=cos（﹣120°），则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【解答】解：α=sin150°=sin（180°﹣30°）=sin30°=，b=tan60°=，c=cos（﹣120°）=cos（90°+30°）=﹣sin30°=﹣．∴b＞a＞c，故选：B．5．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，由，解得，即A（﹣2，2），同时A也在直线x+k=0时，即﹣2+k=0，解得k=2，故选：C．6．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，则“f（﹣x）=f（x）”是“φ=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=sin（ωx+φ+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，解得ω=2．∴f（x）=sin（2x+φ+），若“f（﹣x）=f（x）”，则φ+=，解得φ=kπ+，k∈Z．∴“f（﹣x）=f（x）”是“φ=”的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是（）A．2+2B．2+C．3+D．1+2【解答】解：∵、、均为单位向量，且满足•=0，∴（++）•（+）=++2++=2+•（2+）=2+||•|2|cos＜，2＞=2+cos＜，2＞，∴当cos＜，2＞=1时，（++）•（+）的最大值是2+．故选：B．8．（5分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选：D．9．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【解答】解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A 33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选：C．10．（5分）对任意实数a、b定义运算⊗：a⊗b=，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，3]B．[﹣3，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，1）【解答】解：解x2﹣1﹣（4+x）≥1得x≤﹣2或x≥3，∴f（x）=，做出f（x）的函数图象，如图所示：∵y=f（x）+k有三个零点，∴﹣1＜﹣k≤2，即﹣2≤k＜1．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为2．==a r，【解答】解：T r+1令3﹣=0，解得r=2．∴=60，a＞0，解得a=2．故答案为：2．12．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为10．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．13．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为k＞4．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案为：k＞4．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=a2=1，且a n+2﹣a n=1，则数列{a n}的前100项和为2550．【解答】解：a n﹣a n=1，可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差+2为1．又a1=a2=1，∴S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=50×1++50×1+=2550．故答案为：2550．15．（5分）已知定义域为I的函数f（x），若存在开区间（a，b）⊆I和正的常数c，使得任意x∈（a，b）都有﹣c＜f（x）＜c，且对任意x∉（a，b）都有|f（x）|=c恒成立，则称f（x）为区间I上的“Z型”函数，给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=；③f（x）=|sinx|；④f（x）=x+cosx，其中是区间I上的“Z型”函数的是①（只需写出序号即可）【解答】解：①当x∈（1，3）时，f（x）=4﹣2x，则﹣2＜f（x）＜2；当x∈[3，+∞）时，f（x）=﹣2，当x∈（﹣∞，1]时，f（x）=2，∴|f（x）|=2；即满足对任意的x∈（1，3）都有﹣C＜f（x）＜C，且对任意的x∉（1，3）都有|f（x）|=C恒成立，即①为R上的“Z型”函数，故正确；②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，故不存在对任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故不是“Z型”函数，错误；③根据函数的图象知函数为周期函数，虽然有最值，但不符合题中的条件，不满足对任意的x∈（a，b）都有﹣C＜f（x）＜C，且对任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故错误．故答案为：①．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．17．（12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系C=3+x，每日的销售S（单位：万元）与日产量x的函数关系式为S=．已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求此最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y=当x=2时，L=3，即：3=2×2++2∴k=18；（Ⅱ）当x≥6时，L=11﹣x为单调递减函数，故当x=6时，L max=5，当0＜x＜6时，L=2x++2=2（x﹣8）++18≤6，当且仅当2（x﹣8）=（0＜x＜6），即x=5时，L max=6，综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．18．（12分）目前，埃博拉病毒在西非并逐渐蔓延，研究人员将埃博拉的传播途径结合飞机航班数据，埃博拉的潜伏时间等因素，计算出不限飞情况下，亚洲国家中印度、中国、阿联酋、黎巴嫩在一个月后出现输入性病例的概率分别是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出现输入性病例是彼此独立的．（1）求上述四国中恰有1个国家出现输入性病例的概率；（2）从上述四国中任选两国调研疫情，求恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩），一国选在中国和印度的概率；（3）专家组拟按下面步骤进行疫情调研，每一步若出现输入性病例，若出现则留下来研究，不在进行下一步调研；第一步，一次性选中国和印度两个国家同时进行调研；第二步，在阿联酋和黎巴嫩两个国家中随机抽取1个国家进行调研第三步，对剩下的一个国家进行调研．求该专家组调研国家个数的分布列和期望．【解答】解：（1）P=0.1×（1﹣0.2）3+（1﹣0.1）×0.2×（1﹣0.2）2×3=0.4096．（2）P==．（3）第一步出现输入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）=0.28；若第一步没有出现输入性病例而第二步出现输入性病例的概率=（1﹣0.1）×（1﹣0.2）×0.2×2=0.288．若第一步及第二不没有出现输入性病例而第三步出现输入性病例的概率=1﹣0.28﹣0.288=0.432．列出表格：∴E（ξ）=2×0.28+3×0.288+4×0.432=3.142．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=，siniA=，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．∴﹣=sin2A﹣sin2B，…2分可得：cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，可得：sin（2A﹣）=sin（2B﹣）， (4)分∵△ABC中，a≠b，可得A≠B，∴2A﹣+2B﹣=π，∴A+B=，可得：C=…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=，∵sinA=，可得：A=，B=，…8分∴sin=sin（+）=，…10分∵c=，由正弦定理，可得：a=，…11分=acsinB=…12分∴S△ABC（注：解法较多，酌情给分，直接sin=sin75°=的也给分）20．（13分）已知定圆M：（x﹣3）2+y2=16和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q．（Ⅰ）讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．（Ⅱ）若定点A（5，0），试求△QMA的面积的最大值．【解答】解：（I）∵Q是线段PA的中垂线上的点，∴QA=PQ，（1）若A在圆M外部，则|QA﹣QM|=|PQ﹣QM|=PM=4，MA＞4，∴Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线；（2）若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q的轨迹为点M；（3）若A在圆M内部，则MA＜4，QM+QA=QM+QP=4，∴Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆；（4）若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，∴Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆．综上，Q点轨迹可能是①②④⑥四种情况．（II）∵（5﹣3）2+02＜16，∴A点在圆M内部，且不与圆心M（3，0）重合，∴Q轨迹是以M，A为焦点的椭圆，设此椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，MA=2c=2，QA+MM=PM=2a=4，∴c=1，a=2，∴b=．∴当Q为椭圆短轴端点时，△QMA的面积取得最大值，△QMA面积最大值为=．21．（14分）已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN 的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）b=1时，函数F（x）=g（x）﹣f（x）=1+lnx﹣﹣x，x＞0，则F′（x）=﹣ax﹣1=﹣因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax2+x﹣1＞0，有x＞0的解．①a＞0时，y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0有解；②a＜0时，y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0的解；则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，．综上所述，a的取值范围为（﹣，0）∪（0，+∞）；（Ⅱ）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，则点P、Q的横坐标为，C1点在P处的切线斜率为，C2点Q处的切线斜率为假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2即，则∴．设，则①令．则因为t ＞1时，r'（t ）＞0，所以r （t ）在（1，+∞）上单调递增． 故r （t ）＞r （1）=0 则．这与①矛盾，假设不成立．故C 1在点P 处的切线与C 2在点Q 处的切线不平行．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。