【步步高】高考数学理江苏大二轮总复习练习：专题九数学思想方法(含答案解析)

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2022届高考数学(理)二轮专题复习：高考思想方法训练 Word版含答案

高考思想方法训练1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：当a >1时，则集合A ＝{x |x ≤1或x ≥a }，则A ∪B ＝R ，可知a －1≤1，即a ≤2.故1<a ≤2；当a ＝1时，则集合A ＝R ，明显A ∪B ＝R .故a ＝1；当a <1时，则集合A ＝{x |x ≥1或x ≤a }．由A ∪B ＝R ，可知a －1≤a ，明显成立，故a <1；综上可知，a 的取值范围是a ≤2.故选B 项．答案：B2．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0.答案：B3．已知三棱柱的底面为正三角形，且侧棱垂直于底面，其侧面开放图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A.833B ．4 3 C.239 D ．43或833解析：当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833. 答案：D4．(2021·太原市模拟题)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过集点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：由题易知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：函数的定义域为(0，＋∞)，由于f (x )＝2x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝1x(4x 2－ax ＋1)．由函数在区间(0，＋∞)上不单调可知f ′(x )＝0有两个正根，即4x 2－ax ＋1＝0有两个正根．故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－a2－4×4×1>0，x 1＋x 2＝a 4>0，x 1x 2＝14>0，解得a >4.所以a 的取值范围为(4，＋∞)．答案：C6．(2021·昆明市质检)(1＋2x )3(2－x )4的开放式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32 D ．16解析：(1＋2x )3的开放式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r 3x r ，(2－x )4的开放式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k(－x )k＝(－1)k 24－k C k 4x k，所以(1＋2x )3(2－x )4的开放式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64.答案：B7．(2021·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞) 解析：方法1：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |1－3my2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1. 对于焦点在y 轴上的状况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.方法2：当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A. 答案：A8．已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e，e ＋1e解析：设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e，a ；设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1,0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.由于对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⊆[0，e]，解得1e ≤a ≤e.答案：A9．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意知，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：110．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由约束条件作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)．由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4，要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件，若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即2a ＋1≤4，得0<a ≤32.综上a ≤32.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，3211．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，由于y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 12．(2021·陕西八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF →＝mFB →，则m 的值为________．解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233⎝ ⎛⎭⎪⎫233舍去，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝23－23舍去.由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，则AF →＝(－2，－23)，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－233，由于AF →＝mFB →，所以m ＝3.答案：313．(2021·太原市模拟题)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，a ＝2b cos B ，b ≠c . (1)证明：A ＝2B ；(2)若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，求A .解析：(1)证明：∵a ＝2b cos B ，且a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin2B ，∵0<A <π，0<B <π，∴sin A ＝sin2B >0，∴0<2B <π， ∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，则B ＝C ，b ＝c ，这与“b ≠c ”冲突，∴A ＋2B ≠π， ∴A ＝2B .(2)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，∴a 2＋c 2－b 22ac＝sin C ，由余弦定理得cos B ＝sin C ，∵0<B <π，0<C <π，∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛看，∴A ≠π2；②当C ＝π2＋B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝A ＋2B ＋π2＝2A ＋π2＝π，得A ＝π4，B ＝π8，C ＝5π8，∴A ＝π4.14．(2021·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)． (1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1， ∴a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.15．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，m >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥1时，争辩函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋mx －mx.当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是[m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m ]． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数．F ′(x )＝－x －1x －mx，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，留意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，若0<x <1或x >m ，则F ′(x )<0，若1<x <m ，则F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，留意到F (1)＝m ＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．16．(2021·合肥市质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．解析：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45(1＋13＋4k 2)，∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)．。

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：10.3分类讨论思想(含答案解析)

第3讲分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞解析由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.2．(2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，FM ＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由FM ＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0，因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 高考必会题型题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. (2)当B A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B ⊆A ，包括B ＝∅和B ≠∅两种情况．解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素．变式训练1 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，∴S n ＝－12n 2＋212n ，当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n . 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧ －12n 2＋212n ，n ≤11，n ∈N *12n 2－212n ＋110，n ≥12，n ∈N *.题型二分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值．解函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)． (3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.点评本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值．变式训练2 (2016·云南玉溪一中期中)已知函数f (x )＝2e x －ax －2(x ∈R ，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2e x －x －2，f ′(x )＝2e x －1，f ′(1)＝2e －1，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e －1，又f (1)＝2e －3，所以所求的切线方程是y ＝(2e －1)x －2.(2)易知f ′(x )＝2e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，f (x )在R 上单调递增；若a >0，则当x ∈(－∞，ln a 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(ln a 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又f (0)＝0，所以若a ≤0，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．若a >0，则当ln a 2≤0，即0<a ≤2时， f (x )≥f (0)＝0在[0，＋∞]上恒成立，符合题意．当ln a 2>0，即a >2，则当x ∈(0，ln a 2)时，f (x )单调递减， f (x )<f (0)＝0，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．题型三根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是________．答案 [7,8]解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)．①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC (含边界)，如图(1)所示，此时，7≤z max<8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．变式训练3 设点F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值．解若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，又∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22，∴PF 21＋(6－PF 1)2＝20，又PF 1>PF 2，∴PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上知，PF 1PF 2的值为72或2. 高考题型精练1．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．答案 2或－1解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________．答案 4解析当PO ＝PF 时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当OP ＝OF 时，点P 的位置也有两个；对FO ＝FP 的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则FO ＝p ，FP ＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P 一共有4个．4．函数12log ,1,()2,1x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域为________．答案 (－∞，2)解析当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．5．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，－1]．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在． (2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4，综上得－7≤a ≤2.7．已知ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0，解得x <1a或x >1. 若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a)(x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a. 综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}． 8．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，T n 的取值范围是[－712，0)∪(0，56]．所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a e x，其中a 为常数，a ≤2. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )的极大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)a ＝1，f (x )＝x 2＋x ＋1e x，∴f (0)＝1， ∵f ′(x )＝(2x ＋1)e x －e x (x 2＋x ＋1)e 2x＝－x 2＋x e x ＝－x (x －1)e x， ∴f ′(0)＝0，则曲线在(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x －e x (x 2＋ax ＋a )e 2x＝－x [x －(2－a )e x]， f ′(x )＝0的根为0,2－a ，∵a ≤2，∴2－a ≥0，当a ＝2时，f ′(x )＝－x 2e x ≤0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)内单调递减，无极值；当a <2时，2－a >0，f (x )在(－∞，0)，(2－a ，＋∞)内单调递减，在(0,2－a )内单调递增；∴f (2－a )＝(4－a )e a－2为f (x )的极大值，令u (a )＝(4－a )e a －2(a <2)，u ′(a )＝(3－a )e a －2>0，∴u (a )在a ∈(－∞，2)上单调递增，∴u (a )<u (2)＝2，∴不存在实数a ，使f (x )的极大值为2.10．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1(a ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求所有实数a 的值．解 (1)f ′(x )＝a x －1＝a －x x(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )<0，∴f (x )的减区间为(0，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0得0<x <a ，由f ′(x )<0得x >a ，∴f (x )增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，而f (1)＝0，∴f (x )≤0在区间x ∈(0，＋∞)上不可能恒成立；当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(a)＝a ln a－a＋1，令g(a)＝a ln a－a＋1，依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，∴g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.。

2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：思想方法第5讲客观题的解法)

第5讲客观题的解法题型概述数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．方法一直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知M (－1,2)，N (1,0)，动点P 满足|PM →·ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y思路分析动点P 的轨迹方程→P 点满足条件→直接将P 点坐标代入化简即可答案 A解析设P (x ，y )，由题意得M (－1,2)，N (1,0)，O (0,0)，PM →＝(－1－x,2－y )，ON →＝(1,0)，PN →＝(1－x ，－y )，因为|PM →·ON →|＝|PN →|，所以|1＋x |＝(1－x )2＋y 2，整理得y 2＝4x .直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.方法二特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6思路分析 AM →·NM →的值→某种特殊情况下AM →·NM →的值→取▱ABCD 为矩形答案 C解析若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，所以AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则直线PM 与PN 的斜率之积等于________．思路分析直线PM ，PN 斜率之积→特殊情况下的k PM ·k PN →取P 点为椭圆短轴端点答案－34解析取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)，所以k PM ·k PN ＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法三排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．例3 (1)(2020·天津)函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为( )思路分析选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除答案 A解析令f (x )＝4x x 2＋1，则f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－4xx 2＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，排除C ，D.又当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B. (2)已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1(b >0)，直线l ：y ＝mx ＋1.若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞) 思路分析求b 的取值范围→取b 的特殊值→特殊情况验证排除答案 C解析注意到直线l 恒过定点(0,1)，所以当b ＝1时，直线l 与椭圆C 恒有公共点，排除D ；若b ＝4，则方程x 24＋y 2b＝1不表示椭圆，排除B ；若b >4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.(3)(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A ．当x >0时，f (x )＝e x (1－x )B ．f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)C ．函数f (x )有2个零点D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2思路分析观察选项，从易于判断真假的选项出发.答案 BD解析对于C ，当x <0时，令f (x )＝0⇒x ＝－1，∴f (x )有3个零点分别为－1,0,1，故C 错误；对于A ，令x >0，则－x <0，∴f (－x )＝e －x (1－x )，又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝e －x (1－x )，∴f (x )＝e －x (x －1)，故A 错误．∵A ，C 错误，且为多选题，故选BD.排除法使用要点：,(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.方法四构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．例4 (1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π思路分析求球O 体积→求球O 半径→构造正方体(补形)答案 D解析如图所示，构造棱长为2的正方体PBJA －CDHG ，显然满足题设的一切条件，则球O 就是该正方体的外接球，从而体积为6π.(2)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是______________．思路分析解f (x )>0→利用函数单调性(结合已知含f (x )的不等关系)→构造函数答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析构造函数g (x )＝f (x )x，则g ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2. 根据条件，g (x )为偶函数，且x >0时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (－1)＝g (1)＝0.∴当0<x <1时，g (x )>0，∴f (x )>0，同理当x <－1时，g (x )<0，∴f (x )>0，故使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题. 方法五估算法因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．例5 (1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm思路分析估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算答案 B解析头顶至脖子下端的长度为26 cm ，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm ，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm～178 cm之间，选B.(2)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3思路分析V三棱锥D－ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算答案 B解析等边三角形ABC的面积为93，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以13×93×4<V三棱锥D－ABC <13×93×8，即123<V三棱锥D－ABC<24 3.选B.估算法使用要点：(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.。

《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题10数学思想方.doc

第46练数形结合思想［思想方法解读］数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方而，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数Z间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象來直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合就是根据数学问题的条件和结论Z间的内在联系，既分析其代数意义，乂揭示其儿何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起來，关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的儿何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其儿何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学屮的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.常考题型精析题型一数形结合在方程根的个数中的应用例1方程smnx=l的解的个数是 .点评利用数形结合求方程解应注意两点⑴讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意采用数形结合.——―仗 xW0变式训练1若函数./(x)=］xT '''有且只有两个不同的零点，则实数&的取.lnx, x>0值范围是题型二利用数形结合解决不等式参数问题例2设函数/(X)=Q+P-©和g(x)岭+1,已知%e[-4,0]时，恒有/(x)Wg(x),求实数G的取值范围.点评利用数形结合解不等式或求参数的方法求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 (或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.变式训练2若存在正数x使2x(x~a)<\成立，则d的収值范围是_________________ .题型三利用数形结合求最值例3 (2014-北京)已知圆C：(X-3)2+O~4)2 =1 和两点 /(一加,0), B(m, 0)(加>0),若圆C上存在点使得Z4PB=90。

2021-2022年高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第三讲分类讨论思想理

2021年高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第三讲分类讨论思想理分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b]的最值一定是4ac －b 24a.(×)(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±22.(×) (6)已知f(x)＝x 2－4x ＋5，x ∈[0，3)，则f(x)max ＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(3)＝2.(×)1．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由2x 2－y 2＝2，得x 2－y22＝1.当l 无斜率时，|AB|＝2b 2a＝4，符合要求。

专题09 与隐零点有关的恒成立问题(解析版)

备战2022高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇专题九与隐零点有关的恒成立问题一、问题指引我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”(即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达)，基本解决思路是:形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数(参数)，技巧上反客为主。

二、方法详解一般是先用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在性定理说明有零点，但这个零点又解不出来，故称为隐藏的零点，把它设出来，再去解决问题。

类型一：隐零点与参变量分离相结合【例】（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知函数()ln f x x x =. （1）设实数12a e>（e 为自然对数的底数），求函数()f x 在[],2a a 上的最小值；（2）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值．【答案】（1）1e-；（2）3 【解析】【分析】（1）求得函数()f x 的定义域和导函数，对a 分成1a e ≥和112a e e<<两种情况讨论()f x 的单调区间，由此求得()f x 在区间[],2a a 上的最小值. （2）将不等式()()1f x k x k >--分离常数得到ln 1x x xk x +>-，构造函数ln ()(1)1x x x g x x x +=>-，利用导数求得()g x 取得最小值时对应的x 的取值范围，由此求得k 的最大值. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e=, 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 单调递减；当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增．当1a e≥时，()f x 在[,2]a a 单调递增，min [()]()ln ,f x f a a a == 当112a e e <<时，得12a a e <<，min 11[()]f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（2） ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立. 令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增. ∵(3)1ln30,(4)2ln 40,h h =-<=->∴所以()h x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，即00ln 20x x --=. 当0(1,)x x ∈时，0()()0'()0h x h x g x <=⇒<；当0(,)x x ∈+∞时，0()()0'()0h x h x g x >=⇒>； ∴()g x 在0(1,)x x ∈时单调递减；在0(,)x x ∈+∞时，单调递增； ∴0000min 0000(ln 1)(1)[()]()11x x x x g x g x x x x +-====--，由题意min 0[()]k g x x <=，0(3,4)x ∈. 又因为k Z ∈，所以k 的最大值是3.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.【类题展示】已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =(其中e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值；（2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值；【分析】（1）略；（2）分离参数得()ln ()11f x x x xk g x x x +<==--，确定()g x 有唯一零点0(3,4)x∈，由[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，确定满足条件的k 的最大正整数为3.【解析】（1）()'1ln f x a x =++，由()3f e =解得1a =；（2）()ln f x x x x =+，()ln ()11f x x x xk g x x x +<==--，22ln '()(1)x x g x x --=-，令()2ln h x x x =--，有1'()10h x x=->，那么()(1)1h x h >=-. 不妨设0()0h x =，由(3)0h <，(4)0h <，则可知0(3,4)x ∈，且00ln 2x x =-. 因此，当()0h x >时，()'0g x >，0x x >；当()0h x <时，()'0g x <，0x x <；即可知[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，所以0k x ≤，所以k 的最大正整数为3.【评注】求解关键是通过赋值缩小0x 的范围，然后把[]min ()g x 用0x 表示。

数学步步高大二轮2022答案

数学步步高大二轮2022答案1、13．在海上，一座灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于灯塔（）[单选题] *A．南偏西50°方向B．南偏西40°方向(正确答案)C．北偏东50°方向D．北偏东40°方向2、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案)C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.3、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B、33C、16D、44、12．如图，将一块三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（）[单选题] *A．直线没有端点，向两端无限延伸B．两点之间，线段最短(正确答案)C．经过一点有无数条直线D．两点确定一条直线5、8．(2020·课标Ⅱ)已知集合U={－2，－1,0,1,2,3}，A={－1,0,1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=( ) [单选题] *A．{－2,3}(正确答案)B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3}D．{－2，－1,0,2,3}6、下列说法正确的是（）[单选题] *Ａ、任何直线都有倾斜角(正确答案)B、任何直线都有倾斜角Ｃ、直线倾斜角越大斜率就越大Ｄ、直线与Ｘ轴平行则斜率不存在7、计算的结果是( ) [单选题] *A. -p2?(正确答案)B. p2?C. -p1?D. p1?8、40．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）[单选题] *A．﹣7(正确答案)B．﹣3C．1D．99、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]*A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定10、10.若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长[单选题] *A. 12(正确答案)B. 13C. 15D. 1411、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] *A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m12、下列运算正确的是（）[单选题] *A. a2?a3=a?B. （﹣a3）2=﹣a?C. （ab）2=ab2D. 2a3÷a=2a2(正确答案)13、6.若x是- 3的相反数，|y| = 5，则x + y的值为（）[单选题] *A.2B.8C. - 8或2D.8或- 2(正确答案)14、21、在中,为上一点,,且,则（）. [单选题] *A. 24B. 36C. 72(正确答案)D. 9615、下列各对象可以组成集合的是（）[单选题] *A、与1非常接近的全体实数B、与2非常接近的全体实数(正确答案)C、高一年级视力比较好的同学D、与无理数相差很小的全体实数16、手表倒拨1小时20分，分针旋转了多少度？[单选题] * -480°120°480°(正确答案)-120°17、计算(－a)?·a的结果是( ) [单选题] *A. －a?B. a?(正确答案)C. －a?D. a?18、△ABC中的边BC上有一点D，AB=13，BD=7，DC=5，AC=7，则AD的长（）[单选题] *A、8(正确答案)B、9C、6D、319、由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不允许有重复数字的三位数?（）[单选题]*A、125B、126C、60(正确答案)D、12020、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] *A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c221、下列说法有几种是正确的（）（1）空间三点确定一个平面（2）一条直线和直线外一点确定一个平面（3）两条直线确定一个平面（4）两条平行直线确定一个平面[单选题] *A、1B、2(正确答案)C、3D、422、二次函数y=3x2-4x+5的一次项系数是（）。

高考数学二轮复习专题强化训练数学思想方法和常用的

《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、选择题1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析取a ＝100，b ＝10，此时P ＝ 2，Q ＝32＝lg 1 000，R ＝lg 55＝lg 3 025，比较可知P <Q <R . 答案 B2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )． A ．8 B ．10 C ．12D ．2＋log 35解析用特殊法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可知B 正确．答案 B3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析当x >0时，可作出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图所示．由图示可得函数f (x )＝lnx －x 2＋2x (x >0)有两个零点．当x <0时，f (x )＝2x ＋1有零点x ＝－12.综上，可得f (x )有3个零点．答案 D4．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析由0<x <π2，得0<sin x <1，故由x sin x <1，可得x sin 2x <x sin x <1，即“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要条件；而若x sin 2x <1，则x sin x <1sin x ，但1sin x>1，故不能得到x sin x <1，所以“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要而不充分条件．答案 B5．函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )．解析函数有意义，需使e x －e －x≠0，故得其定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，故排除C ，D ；又因为y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以，当x >0时，函数为减函数，故选A. 答案 A6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝512πD ．x ＝π3解析由2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，代入验证可知使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝±1，只有x ＝512π，选C.答案 C7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( )．A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析令m ＝0，由f (x )＝0，得x ＝13，适合，排除A ，B.令m ＝1，由f (x )＝0，得x ＝1；适合，排除C. 答案 D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是( )． A ．①或② B ．①或③ C ．只有②D ．②或③解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②；取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．因此，可排除A ，C ，D ，选B.答案 B9．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于 ( )． A.203 B.234 C.125D.415解析选一个特殊位置(如图)，令OP ，OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9，得OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C 正确．答案 C10．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( )． A ．－5 B ．1 C ．2D ．3解析如图阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域．而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a ＝1时，封闭区域的面积是1；当a ＝2时，封闭区域的面积是32；当a ＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案 D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的周期是4π，所以排除A ；对于函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，而cos2×π3＋π3＝－1，故x ＝π3是此函数的对称轴，但此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，所以排除B ；对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为π，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，故x ＝π3是此函数的对称轴，又由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，知此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数，故选C.答案 C12．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )． A ．－1<a <0 B ．0<a <1 C ．1<a <3D ．3<a <6解析取a ＝±12，代入原不等式得3x 2－8bx ＋4b 2>0，解得x <23b 或x >2b ，不符合条件，从而排除A ，B.取a ＝4代入原不等式得15x 2＋2bx －b 2<0，解得－b 3<x <b5，0<b <5，解集中的整数解少于3个，从而排除D ，故选C. 答案 C 二、填空题13．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析用正方体ABCDA 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．答案 ①②④14．已知函数f (x )＝ln x －ax.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2，又x >1， ∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0恒成立，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递减．∴h (x )<h (1)＝－2<0. ∴即g ′(x )<0∴g (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )<g (1)＝－1.∴a >－1.答案 (－1，＋∞)15．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p ，q ，则1p ＋1q为________．解析若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ ∥x 轴，则p ＝q ＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .答案 4a16．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________．解析由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝－f (x ＋1)＝－(－f (x ))＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f (x ＋1)＝－f (x )，令x ＝－12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，而函数f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.根据函数f (x )在[－1,0]上为增函数及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，作出函数f (x )在[－1,0]上的图象，然后根据f (x )为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的．答案 ①②⑤ 三、解答题17．设函数f (x )＝x －2x－a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x ＝x 2－3x ＋2x2＝x －1x －2x2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞) 上，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0，x 1) x 1(x 1，x 2) x 2(x 2，＋∞) f (x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值f (x )在 ⎛⎪⎫0，a －a 2－8， ⎛⎪⎫a ＋a 2－8，＋∞上单调递增，在 ⎛⎪⎫a －a 2－8，a ＋a 2－8上单调递减．综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减．18．已知各项均为正数的等差数列{a n }的公差d 不等于0.a 1＝2，设a 1，a 3，a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2)将数列{a n }中与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1(n ≥2，n ∈N *)的值．解因为a 1，a 3，a 7成等比数列，{a n }是公差d ≠0的等差数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，整理得a 1＝2d .又a 1＝2，所以d ＝1，b 1＝a 1＝2，q ＝b 2b 1＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，b n ＝b 1·q n －1＝2n ，所以a n b n ＝(n ＋1)·2n .(1)用错位相减法，可求得{a n b n }的前n 项和T n ＝n ·2n ＋1.(2)新的数列{c n }的前2n－n －1项和为数列{a n }的前2n－1项和减去数列{b n }的前n 项和，所以S 2n －n －1＝2n－12＋2n2－21－2n1－2＝(2n－1)(2n －1－1)，所以S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.19．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x (a ∈R )．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求正数a 的值，并求出f (x )在[0,4]上的最值； (2)若f (x )在区间(0,2)上不单调，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，由题意，f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝2.当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，解得x <1或x >3；令f ′(x )<0，解得1<x <3.f (x )的增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，减区间为(1,3)．于是f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；在[3,4]上单调递增，因此f (x )在[0,4]上的最大值为max{f (1)，f (4)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，43＝43；f (x )在[0,4]上的最小值为min{f (0)，f (3)}＝min {}0，0＝0.(2)函数f (x )在区间(0,2)上不单调⇔函数f ′(x )在(0,2)内存在零点，而f ′(x )＝0的两根为a －1，a ＋1，所以0<a －1<2，或0<a ＋1<2，即1<a <3或－1<a <1，所以实数a 的取值范围是(1,3)∪(－1,1)．20．如图所示，已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝a 2上的射影依次为点D ，K ，E .(1)若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程； (2)连接AE ，BD ，证明：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于一定点． (1)解由题意，易知b ＝3，椭圆C 的右焦点F (1,0)，则c ＝1，所以a ＝2.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明由题意，知F (1,0)，K (a 2,0)．先探索：当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，此时四边形ABED 为矩形，由对称性，知AE ，BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.猜想：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (a 2，y 1)，E (a 2，y 2)．首先证明当m 变化时，直线AE 过定点N .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2a 2＋y2b2＝1，消掉x ，得(a 2＋b 2m 2)y 2＋2mb 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.则Δ＝4a 2b 2(a 2＋m 2b2－1)>0(a >1)，且y 1＋y 2＝－2mb 2a 2＋b 2m 2，y 1y 2＝b 21－a2a 2＋b 2m 2.又k AN ＝－y 1a 2－12－my 1，k EN ＝－y 21－a22，所以k AN －k EN ＝－y 1a 2－12－my 1－－y 21－a22- 11 - ＝a 2－12y 1＋y 2－my 1y 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝a 2－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mb 2a 2＋b 2m 2－m ·b 21－a 2a 2＋b 2m 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝2m 1－a2b 2－2m 1－a 2b 21－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1a 2＋b 2m 2＝0. 所以k AN ＝k EN .所以A ，E ，N 三点共线．同理可证B ，D ，N 三点共线．所以当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.。

【步步高】版高考数学江苏(文)考前三个月配套练习：9.1函数与方程思想(含答案解析)

第1讲函数与方程思想[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．2．函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．体验高考1．(2015·湖南)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点．③若a>1，则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b可能有两个公共点．综上，a<0或a>1.2．(2015·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案①③④⑤解析令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x －1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②错误．所有正确条件为①③④⑤.高考必会题型题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 (2016·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0 (a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0 ⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a－2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.点评函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想．方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题．变式训练1 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝错误!且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝错误!，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________．答案－7解析 g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，由题意知函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示．由图象知f (x )、g (x )有三个交点，故方程f (x )＝g (x ) 在x ∈[－5,1]上有三个根x A 、x B 、x C ，x B ＝－3，x A ＋x C2＝－2，x A ＋x C ＝－4，∴x A ＋x B ＋x C ＝－7.题型二函数与方程思想在不等式中的应用例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x<1的解集为________．答案 (0，＋∞)解析构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x·f ′(x )－e x·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝g (0)，所以f (x )e x <1，即g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练2 已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为________________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋(x －2)2>0，4(x －2)＋(x －2)2>0，解得x <－2或x >2.题型三函数与方程思想在数列中的应用例3 已知数列{a n }是首项为2，各项均为正数的等差数列，a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n (其中S n 是数列{a n }的前n 项和)，若对任意n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．解因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 因为S n ＝n (n ＋1)，所以b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1 ＝12n ＋1n＋3. 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.点评数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．变式训练3 (2016·杭州模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则S n 的最小值是________．答案 S 7解析由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1)，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7.题型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝±1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，也满足AP →＝3PB →，此时m ＝±12.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.则3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0，即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0，整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋2m 2－2＝0，当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1.综上，所求m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，－12∪⎣⎡⎭⎫12，1. 点评利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约．变式训练4 已知点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式，解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22 .高考题型精练1．关于x 的方程3x ＝a 2＋2a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－3，－2)∪(0,1]解析当x ∈(－∞，1]时，3x ∈(0,3]，要使3x ＝a 2＋2a 有解，a 2＋2a 的值域必须为(0,3]，即0<a 2＋2a ≤3，解不等式可得－3≤a ＜－2或0＜a ≤1.2．设函数f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ，若不等式f (x )≤0有解，则实数a 的最小值为________．答案 1－1e解析因为f (x )≤0有解，所以f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ≤0有解，a ≥x 3－3x ＋3－xe x ＝F (x )，只要a 大于等于f (x )的最小值，F ′(x )＝3x 2－3＋x －1e x ＝(x －1)(3x ＋3＋e －x )，令G (x )＝3x ＋3＋e －x ，G ′(x )＝3－e －x ，令3－e －x ＝0，则x ＝－ln 3，G (x )最小值G (－ln 3)＝6－3ln 3>0， F (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， F (x )的最小值为F (1)＝1－1e ，所以a ≥1－1e .所以实数a 的最小值为1－1e.3．已知f (x )＝x 2－4x ＋4，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，函数y ＝f n (x )的零点个数记为a n ，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 f 1(x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，有1个零点2，由f 2(x )＝0可得f 1(x )＝2，则x ＝2＋2或x＝2－2，即y ＝f 2(x )有2个零点，由f 3(x )＝0可得f 2(x )＝2－2或2＋2，则(x －2)2＝2－2或(x －2)2＝2＋2，即y ＝f 3(x )有4个零点，以此类推可知，y ＝f n (x )的零点个数a n ＝2n －1.4．已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，142解析问题等价于f (x )min ≥g (x )max . f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2，令f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]．当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时；g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，142. 5．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．答案 2 2解析可设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝x 1－cos 2B ，由余弦定理计算得cos B ＝4－x 24x ，代入上式得S △ABC ＝x 1－(4－x 24x)2＝128－(x 2－12)216.由⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，得22－2<x <22＋2.故当x ＝23时，S △ABC 有最大值2 2.6．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.7．设函数f (x )＝ln x ＋ax －1(a 为常数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； (2)若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，由f (x )＝ln x ＋a x －1得f ′(x )＝1x －a(x －1)2，由于曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，所以f ′(2)＝0，即12－a(2－1)2＝0，所以a ＝12.(2)因为f ′(x )＝1x －a(x －1)2＝x 2－(2＋a )x ＋1x (x －1)2，若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，则函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点．令φ(x )＝x 2－(2＋a )x ＋1，设x 2－(2＋a )x ＋1＝(x －α)(x －β)，可知αβ＝1，不妨设β>α，则α∈(0,1)，β∈(1，＋∞)，若函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，即y ＝φ(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，所以β>e ，φ(x )的图象如图所示．由φ(x )的图象可知φ(e)＝e 2－(2＋a )e ＋1<0，解得a >e ＋1e－2，所以实数a 的取值范围是(e ＋1e－2，＋∞)． 8．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R)，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a ，当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0在R 上恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立．∵当x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以MN ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12MN ·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 所以k 的值为1或－1.10．已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4. ② 由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意．舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n . (2)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n . 所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2 ＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。

【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题八数学思想方法(含答案解析)

高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想．一、函数与方程思想例1 (1)把一段长16的铁丝截成两段，分别围成两个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________．(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．答案 (1)8 (2)3－1解析 (1)设截成的铁丝其中一段长为x (0<x <16)，则围成的两个正方形面积之和y ＝(x4)2＋(16－x 4)2 (0<x <16)， ∴y ＝18[(x －8)2＋64]，故当x ＝8时，y min ＝8.即围成的两个正方形面积之和的最小值为8. (2)设F (－c,0)，A (m ，n )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋c×(－3)＝－1，3×m －c2＋n2＝0，解得A (c 2，32c )，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1，所以b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，所以(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，所以c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，所以e 4－8e 2＋4＝0，所以e 2＝4±23，所以e ＝3－1或e ＝3＋1(舍去)．即椭圆C 的离心率为3－1.思维升华函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1 (1)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )<xf ′(x )，则2f (1)________f (2)．(填“>”“<”“＝”)(2)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是__________________．答案 (1)< (2)y ＝2sin(2x ＋2π3) 解析 (1)由于f (x )<xf ′(x )，则(f (x )x )′＝f ′(x )x －f (x )x 2>0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递增函数，∴f (2)2>f (1)1，即f (2)>2f (1)． (2)依函数图象，知y 的最大值为2，所以A ＝2. 又T 2＝5π12－(－π12)＝π2，所以T ＝π，又2πω＝π，所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．将(－π12，2)代入可得sin(－π6＋φ)＝1，故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<π，所以φ＝2π3.所以函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋2π3)．二、数形结合思想例2 (1)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． (2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是__________．答案 (1)(0,2) (2)[7－1，7＋1]解析 (1)由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．(2)设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1.又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1. 思维升华数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围． (3)构建解析几何模型求最值或范围．(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)2 2解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)如图， S Rt △P AC ＝12P A ·AC＝12P A ，当CP ⊥l 时，PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴此时(P A )min ＝PC 2－AC 2＝2 2.∴(S 四边形P ACB )min ＝2(S △P AC )min ＝2 2.三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2的值为________．答案 (1)－74 (2)2或72解析 (1)由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.(2)若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72.思维升华分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．跟踪演练3 (1)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是____________．(2)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________________．答案 (1)32或5 (2)(－1,0)∪(0，＋∞) 解析 (1)因为m 是2和8的等比中项，所以m 2＝2×8＝16，所以m ＝±4. 当m ＝4时，圆锥曲线y 24＋x 2＝1是椭圆，其离心率e ＝c a ＝32；当m ＝－4时，圆锥曲线x 2－y 24＝1是双曲线，其离心率e ＝c a ＝51＝ 5.(2)因为{a n }是等比数列， S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0，即1－q n 1－q >0(n ＝1,2,3，…)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n >0，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0.②由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．四、转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．例4 (1)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．(2)定义运算：(ab )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(ab )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(ba )⊗x <0的解集为__________．答案 (1)[518，＋∞) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32(x ＋1x )在[1,4]上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在[1,4]上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518.(2)1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，由(－31)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.思维升华转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程、不等式问题求解．(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．跟踪演练4 (1)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．(2)已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．答案 (1)(－373，－5) (2)4解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)时恒成立，所以m ＋4≥2t －3t (t ∈[1,2])恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为(－373，－5)．(2)原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为(t 2－1)22a ≥1＋t 2－12－t＝t 2－2t ＋12＝(t －1)22对t ≥1恒成立，所以(t ＋1)2a ≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4.A 组专题通关1．在区间(－∞，t ]上存在x ，使得不等式x 2－4x ＋t ≤0成立，则实数t 的取值范围是________．答案 [0,4]解析由二次函数图象知：当t ≤2时，t 2－4t ＋t ≤0⇒0≤t ≤3，即0≤t ≤2；当t >2时，22－4×2＋t ≤0⇒t ≤4，即2<t ≤4.综上实数t 的取值范围是[0,4]．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为________．答案 32解析分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2(a ＋1)＝3.②①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32.3．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝________. 答案 42解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.4．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点G (0，c )．若双曲线上存在一点P满足PF ＝PG ，则双曲线的离心率的取值范围是__________．答案 (2，＋∞)解析由题意知线段FG 的中垂线y ＝－x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，联立方程，由Δ≥0化简可得b ≥a ，所以e ≥2，但是当e ＝2时，双曲线是等轴双曲线，此时线段FG 的中垂线与双曲线的渐近线y ＝－x 重合，显然不合题意．5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →.若点M 在圆C 上，则实数k ＝________. 答案 0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入C ：x 2＋y 2＝4，整理得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，所以，y 1＋y 2＝2kk 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，OM →＝OA →＋OB →＝(－2k 2＋1，2k k 2＋1)．由于M 点在圆C 上，所以(－2k 2＋1)2＋(2kk 2＋1)2＝4，解得k ＝0.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x的解的个数为________．答案 3解析由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．7．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝________. 答案－12或0解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线y ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．由图形可知斜率k 的值为0或－12.8．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________．答案 1或－12解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12.9．(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是__________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f (x )x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f (x )x ＜0⇔f (x )＞0.综上，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．10．将函数y ＝sin(4x －π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________．答案5π24解析把y ＝sin(4x －π3)的图象上所有的点向左平移m 个单位长度后，得到y ＝sin[4(x ＋m )－π3]＝sin(4x ＋4m －π3)的图象，而此图象关于y 轴对称，则4m －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得m ＝14k π＋5π24(k ∈Z )，又m >0，所以m 的最小值为5π24.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．答案 (10,12)解析作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．12．对任意x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 [1，＋∞)解析不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立⇔不等式x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0恒成立⇔Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ＝－3(y －1)2＋12(1－a )≤0，要使得上式恒成立，则有1－a ≤0成立，故a ≥1.13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案 160解析设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2(x ＋4x )×10，即y ＝80＋20(x ＋4x )(x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．B 组能力提高14．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，e 为自然对数的底数，若函数f (x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln xx ，且f (e)＝1e ，则不等式f (x )－x >1e －e 的解集是__________．答案 (0，e)解析设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＝ln xx ，g (x )＝(ln x )22＋a ，f (x )＝(ln x )22x ＋a x ，f (e)＝12e ＋a e ＝1e ⇒a ＝12，f (x )＝(ln x )22x ＋12x，令h (x )＝f (x )－x ＝(ln x )2－2x 2＋12x ，h ′(x )＝－2(ln x )2＋4ln x －4x 2－24x 2<0，h (x )递减，原不等式转化为，h (x )>h (e)，0<x <e.15．(2015·福建改编)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q ＝________. 答案 9解析由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n.(1)证明：数列{a nn }是等比数列；(2)求通项a n 与前n 项的和S n . (1)证明因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N *时，a nn≠0.又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常数，所以{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由(1)得a n n ＝12·(12)n －1，所以a n ＝n ·(12)n .∴S n ＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ，12S n ＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n ·(12)n ＋1， ∴12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1 ＝12－(12)n ＋11－12－n ·(12)n ＋1，∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n＝2－(n ＋2)·(12)n .综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n .17．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.。

【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：第一篇活用审题路线图(含答案解析)

审题即弄清题意，明确题目的条件与结论，审题是解题的基础，深入仔细的审题是正确快速解题的前提．审题不单存在于解题的初步，还要贯串于解题思路的全过程和解答后的反省回首．正确的审题要多角度地察看，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题本质，选择正确的解题方向．事实上，好多考生常常对审题不以为然，或不知从哪处下手进行审题，以致解题失误而丢分．本篇联合实例，教你正确的审题方法，给你制定一条 “审题路线图 ”，攻陷高考解答题．一审条件挖隐含题目的条件是解题的主因素材，充足利用条件和结论间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，也有隐含的，审察条件更重要的是充足发掘每一个条件的内涵和隐含信息，发挥隐含条件的解题功能．π π ω∈ (0,2)．例 1 已知函数 f(x)＝ 4sin(ωx－ ) ·cos ωx 在 x ＝处获得最值，此中44(1) 求函数 f(x)的最小正周期；π3 倍，(2) 将函数 f(x)的图象向左平移 36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为本来的纵坐标不变，获得函数y ＝ g( x)的图象，若 α为锐角， g(α)＝ 4－ 2，求 cos α.3审题路线图π化简(1)条件： f(x)＝ 4sin(ωx－ ) ·cos ωx――→4变形ππ条件： f(x) 在x ＝ 4 处获得最值3f(x)＝ 2sin(2 ωx－4)－2 ―――――――――――――→ω＝ 2k ＋ 2， k ∈ Z条件： 0<ω<2 32π―――――→ ω＝ 2―→ T ＝3左移 π36 个单位(2) f(x) 图象变换 ―――――――――――→横坐标伸长为本来的 3倍41x＋π g(α)＝3－ 2π2α为锐角π5和差公式g( x)＝ f() ―――――――→ sin(α－ )＝3―――――→cos(α－ )＝3――――→3366确立开方的符号6代入求得 cos α＝15－ 26π解 (1)f(x)＝ 4sin(ωx－4) ·cos ωx＝2 2sin ωx·cos ωx－ 2 2cos2ωx＝2(sin 2ωx－ cos 2ωx)－ 2π＝ 2sin(2 ωx－4)－2，π∵ f(x)在 x＝处获得最值，4π ππ∴ 2ω·－＝ kπ＋， k∈ Z ，4 423∴ ω＝ 2k＋，k∈ Z ，∵ω∈ (0,2)，即 0<2k＋3<2，∴－3<k<1，244又 k∈ Z ，∴ k＝ 0，则ω＝3，2π∴ f(x)＝ 2sin(3x－4)－2，2π∴T＝3.π(2) 将函数 f(x)的图象向左平移36个单位，ππ获得 h(x)＝ 2sin[3( x＋36)－4]－2π2，＝ 2sin(3 x－)－6再将 h(x)图象上各点的横坐标伸长为本来的 3 倍，纵坐标不变，获得πg(x)＝ 2sin(x－ )－ 2.6π4故 g(α)＝ 2sin(α－6)－ 2＝3－ 2，π2，sin(α－)＝63因为α为锐角，所以－ππ π<α－ < ，663所以 cos(α－π2)2＝5. )＝1－(633π π故 cos α＝ cos(α－＋ )66π π π π ＝ cos(α－ ) ·cos － sin( α－ ) ·sin6666＝5 3 2 115－ 23×2－× ＝6.3 2追踪操练 1在 △ ABC 中， a ，b ，c 分别为角 A 、B 、C 的对边，若 m ＝ (sin2B＋ C，1)，n ＝ (－22， cos 2A ＋ 1)，且 m ⊥ n. (1) 求角 A 的度数；(2) 当 a ＝ 2a 2＋b 2－c 23，且 △ABC 的面积 S ＝时，求边 c 的值和 △ ABC 的面积．4 3解 (1)因为 m ⊥ n ， 2B＋C所以 m ·n ＝－ 2sin＋ cos 2A ＋ 1＝ 1－ 2cos2A2＋ 2cos 2A － 12＝2cos A － cos A － 1＝ (2cos A ＋ 1)(cos A － 1)＝ 0.所以 cos A ＝－ 12或 1(舍去 )，又因为 A ∈ (0 °， 180°) .即角 A 的度数为 120°.a 2＋b 2－c 23，(2) 由 S ＝3及余弦定理得： tan C ＝43又因为 A ∈ (0 °， 180°)，所以 C ＝ 30°.a c又由正弦定理 sin A ＝ sin C 得 c ＝2,所以 △ ABC 的面积 1S ＝ acsin B ＝ 3.2二审结论会变换解题的最后目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因此解题的思想过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思虑的．审察结论，就是在结论的启迪下，探究已知条件和结论之间的内在联系和转变规律．擅长从结论中捕获解题信息，擅长对结论进行转变，使之逐渐凑近条件，进而发现和确立解题方向．例 2 已知函数 f(x)＝ aln x －8x －1x ＋ 1.(1) 当 a ＝ 2 时，求函数的单一区间与函数在 [1,3] 上的最值；(2) 设 h(x)＝ x2－ 2bx＋ 4， a＝－ 2，若关于随意的x1∈ [1,2] ，存在x2∈[2,3] ，使得f(x1) ≥h(x2)建立，试确立 b 的取值范围．审题路线图(1) 求函数 f(x)的单一区间和最值→ f′(x)的符号→ 求f′(x)(2)对随意 x1∈ [1， 2]，存在 x2∈[2 ，3]，使得 f(x1)≥h(x2)建立→ f(x1)min≥h(x2 )有解→求出 f( x1)的最小值，分别参数 b→再利用函数最值确立b的取值范围.8x－ 1解(1)当 a＝ 2 时， f(x)＝ 2ln x－x＋1 (x>0) ，f ′(x)＝2－92＝ 2(x＋ 1)2－9x2x(x＋ 1)x(x＋ 1) 2x2－ 5x＋ 2(2x－ 1)(x－ 2)＝ 2 ＝x(x＋ 1)2(x>0) ，x(x＋ 1)令 f′(x)>0 ，则 x>2 或 0<x<1 2，1令 f′(x)<0 ，则2<x<2，所以函数f(x)的单一递加区间为(0，12)和 (2，＋∞)，1单一递减区间为( ， 2)．当 x∈ [1,3] 时，可知函数 f(x)在 [1,2) 上单一递减，在 (2,3] 上单一递加，所以最小值为 f(2) ＝ 2ln 2－ 5.又 f(1) ＝－7， f(3) ＝ 2ln 3 －23，249且 f(3) － f(1)＝ 2ln 3 －4<0 ，所以 f(1)> f(3) ．所以函数 f(x)在 [1,3] 上的最小值为2ln 2 －5，最大值为－72.(2) 若关于随意的x1∈ [1,2] ，存在 x2∈ [2,3] ，使 f(x1) ≥h(x2)，则 f( x1)min≥h(x2)有解．又 a＝－ 2，则 f(x)＝－ 2ln x－8x－1，x＋129f′(x)＝－x－(x＋1)2<0，所以 f( x)在 [1,2] 上单一递减，f(x 1)min ＝ f(2)＝－ 2ln 2－ 5.所以 x 22－ 2bx 2＋ 4≤－ 2ln 2 － 5 有解，x 2＋ 9＋ 2ln 2转变为 2b ≥ 2有解，x 22设函数 g(x)＝ x ＋ 9＋2ln 2，x则 g(x) 在[2,3] 上单一递减，9＋ 9＋ 2ln 2所以 2b ≥g(x) min ＝ g(3) ＝，9＋ ln 2.即 b ≥3所以 b 的取值范围为 [ 9＋ ln 2，＋ ∞)．3追踪操练 2函数 f(x)＝ (ax 2＋ x)e x ，此中 e 是自然对数的底数， a ∈ R.(1) 当 a>0 时，解不等式f(x) ≤0；(2) 当 a ＝ 0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x)＝x ＋2 在 [t ， t ＋1]上有解．解 (1)因为 e x >0 ，所以不等式 f(x) ≤0即为 ax 2 ＋x ≤0，1又因为 a>0，所以不等式可化为x(x ＋ ) ≤0，所以不等式 f(x) ≤0的解集为 [ －1a ， 0]．(2) 当 a ＝ 0 时，方程即为 xe x ＝ x ＋ 2，x ＝ 0 不是方程的解，x2所以原方程等价于e －－1＝ 0.令 h(x) ＝e x－ 2－1. x因为 h ′(x)＝e x＋ 22>0 关于 x ∈ (－ ∞， 0)∪ (0，＋ ∞)恒建立， x所以 h(x)在 (－ ∞， 0)和 (0，＋ ∞)内是单一递加函数，又 h(1) ＝ e － 3<0， h(2) ＝e 2－ 2>0 ， h(－ 3)＝ e －3－ 1<0， 3－ 2>0，所以方程 f(x)＝ x ＋ 2 有且只有两个实数根，且分别在区间 [1,2] 和 [ － 3，－ 2]h(－ 2)＝ e 上，所以整数 t 的所有值为 { － 3,1} ．三审图形抓特色在一些数学高考试题中，问题的条件常常是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，所以在审题时，要擅长察看图形，洞悉图形所隐含的特别关系、数值的特色、变化的趋向．抓住图形的特色，运用数形联合的数学思想方法，是破解考题的重点．例 3 如图 (1)所示，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，∠ DAB＝ 60°.点 E、 F 分别在边 CD 、 CB 上，点 E 与点 C、 D 不重合， EF ⊥ AC， EF ∩AC＝ O.沿 EF 将△CEF 翻折到△ PEF 的地点，使平面 PEF⊥平面 ABFED ，如图 (2)所示．(1)求证： BD ⊥平面 POA ；(2) 当 PB 获得最小值时，求四棱锥P－BDEF 的体积．审题路线图(1)(2)(1)证明因为菱形 ABCD 的对角线相互垂直，所以 BD⊥ AC，所以 BD⊥ AO.因为 EF⊥ AC，所以 PO⊥ EF.因为平面PEF ⊥平面 ABFED ，平面 PEF ∩平面 ABFED ＝ EF ，且 PO? 平面 PEF，所以 PO⊥平面 ABFED .因为 BD? 平面 ABFED ，所以 PO⊥ BD .因为 AO∩PO＝ O，所以 BD ⊥平面 POA.(2) 解设AO∩BD＝H .因为∠ DAB＝ 60°，所以△ BDC 为等边三角形．故 BD＝ 4，HB ＝2，HC＝2 3.设 PO＝ x(0< x<2 3)，则 OH＝ 2 3－ x，OA＝ 4 3－ x.连接 OB，由 OH ⊥ BD，得 OB2＝(23－x)2＋ 22.又由 (1)知 PO⊥平面 BFED ，则 PO⊥ OB.所以 PB＝OB 2＋OP 2＝(23－x) 2＋ 22＋x2＝2(x－ 3) 2＋ 10.当 x＝3时， PB min＝ 10，此时 PO＝3＝ OH，1所以 V 四棱锥P－BDEF＝3×S 梯形BDEF×PO1×(32－32＝4×44×2 ) × 3＝3.3追踪操练 3如图，在四棱锥P— ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ，∠ ABC＝∠ ACD ＝90°，∠ BAC＝∠ CAD＝ 60°，E 为 PD 的中点， F 在 AD 上，且∠ FCD ＝30°.(1)求证： CE∥平面 PAB；(2)若 PA＝2AB＝ 2，求四周体 P—ACE 的体积．(1) 证明因为∠ ABC＝∠ ACD＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，所以∠FDC ＝30°，又∠ FCD ＝30°，所以∠ ACF ＝ 60°，所以 AF＝ CF ＝ DF ，所以 F 为 AD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以 EF∥ PA.而 AP? 平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB.又∠ BAC＝∠ ACF ＝ 60°，所以 CF∥ AB，可得 CF∥平面 PAB.又 EF∩CF＝ F，所以平面 CEF ∥平面 PAB，而 CE? 平面 CEF ，所以 CE∥平面 PAB.(2)解因为 EF∥ AP，所以 EF ∥平面 APC，又∠ ABC＝∠ ACD ＝ 90°，∠ BAC ＝ 60°，PA＝2AB ＝2，AC所以 AC＝ 2AB＝ 2，CD ＝＝23，所以 V P—ACE＝ V E—PAC＝ V F—PAC11＝V P—ACF＝·S△ACD·PA321 1 13·2＝23＝···2·23.3 2 2即四周体P — ACE 的体积为 233.四审构造定方案数学识题中的条件和结论，好多都是以数式的构造形式进行搭配和表现的．在这些问题的数式构造中，常常都隐含着某种特别关系，仔细审察数式的构造特色，对数式构造进行深入剖析，加工转变和我们熟习的数学构造联想比对，就能够找寻到打破问题的方案．例 4已知数列 { a n } 是公差不为零的等差数列， a 1＝ 2，且 a 2， a 4， a 8 成等比数列．(1) 求数列 { a n } 的通项；(2) 设 { b n － (－ 1)n a n } 是等比数列，且 b 2＝ 7， b 5＝ 71.求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .审题路线图(1) { a n } 是等差数列用基本量法―――――→ a n ＝ 2n(2) { b n －(－1) na n } 是等比数列 ―→n －1＋(－1) n可用分组求出 T nb n ＝3·2n ―――――→并项法乞降解 (1)设数列 { a n } 的公差为 d(d ≠ 0)，∵ a 1＝ 2，且 a 2 ，a 4， a 8 成等比数列， ∴ (3d ＋ 2)2＝ (d ＋ 2)(7d ＋ 2)，解得 d ＝ 2，故 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ＝2n.(2) 令 c n ＝ b n －( －1) n a n ，设 { c n } 的公比为 q.∵ b 2＝ 7， b 5＝ 71， a n ＝ 2n ，∴ c 2＝b 2－ a 2＝ 3， c 5＝ 81，∴ q 3＝ c 5＝ 27， q ＝ 3，∴ c n ＝ c 2q n －2＝3n －1. c 2n － 1n进而 b n ＝ 3＋ (－ 1) 2n.＝ (30 ＋31 ＋＋ 3n －1) ＋[ －2＋ 4－ 6＋＋ (－ 1)n 2n]，3n ＋ 2n － 1当 n 为偶数时， T n ＝，23n － 2n － 3当 n 为奇数时， T n ＝.2追踪操练 4(1)在 △ ABC 中，角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ， b ， c ，已知 bcos C ＋ccos B＝ 2b ，则ab ＝ ________.22(2) 已知 F 1，F 2 是双曲线 C ：x a 2－ yb 2＝ 1 (a>0 ，b>0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若 PF 1＋ PF 2＝ 6a ，且 △PF 1 F 2 最小的内角为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是 ______．答案 (1)2 (2) 2x ±y ＝ 0分析(1)方法一因为 bcos C＋ ccos B＝ 2b，222222a＋ b － c a ＋ c － b＝ 2b，所以 b·2ab＋ c·2aca化简可得＝ 2.方法二因为 bcos C＋ ccos B＝2b，所以 sin Bcos C＋ sin Ccos B＝2sin B，故 sin(B＋ C)＝ 2sin B，故 sin A＝ 2sin B，则 a＝ 2b，即a＝ 2. b(2)由题意，不如设 PF1 >PF 2，则依据双曲线的定义得， PF1－ PF2＝2a，又 PF1＋PF 2＝ 6a，解得 PF1＝ 4a， PF 2＝ 2a.在△ PF1F2中， F 1F 2＝ 2c，而 c>a，所以有 PF2<F1F2，所以∠ PF1F 2＝ 30°，所以 (2a)2＝ (2c)2＋ (4a)2－2·2c·4acos 30 °，得 c＝3a，所以 b＝c2－ a2＝2a，所以双曲线的渐近线方程为by＝± x＝± 2x，a即 2x±y＝ 0.五审图表找规律题目中的图表、数据包括着问题的基本信息，常常也示意着解决问题的目标和方向．在审题时，要仔细察看剖析图表、数据的特色和规律，经常能够找到解决问题的思路和方法．例 5 下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特色是每行每列都成等差数列，记第i 行第 j 列的数为 ai ，j (i， j ∈ N * )，则(1)a9,9＝ ________；(2)表中的数 82 共出现 ________次 .23456735791113471013161959131721256111621263171319253137审题路线图审察图表数据每行成ai， j ――――→ a1，9＝ a1，1＋ 8×1＝ 10等差数列每列成等差，＝ a 一般规律――――→，＋ 8×9＝ 82 ――――→数列a9 9 1982出现次数a i，j＝ (i ＋ 1)＋ (j－ 1) ·i＝ ij ＋ 1 ――――→ij ＋ 1＝ 82解的个数分析(1)a9,9表示第9行第 9列，第 1行的公差为 1，第 2 行的公差为 2，，第9行的公差为9，第 9 行的首项 b1＝ 10，则 b9＝ 10＋ 8×9＝ 82.(2)第 1行数构成的数列 a1，j(j ＝ 1,2， )是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列，所以 a1，j＝ 2＋ (j － 1) ·1＝ j ＋ 1；第 i 行数构成的数列a i，j(j ＝ 1,2， )是以 i＋ 1为首项，公差为 i 的等差数列，所以 a ，＝ (i ＋ 1)＋ (j － 1)i ＝ij ＋ 1，由题意得 a ，j ＝ ij ＋ 1＝ 82，即 ij ＝ 81，且 i ， j∈ N*，i j i所以 81＝81×1＝ 27×3＝ 9×9＝ 1×81＝ 3×27，故表格中82 共出现5 次．答案(1)82(2)5追踪操练 5(1)已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出：x123f(x)131x123g(x)321则 f(g(1)) 的值为 ________；知足 f(g(x))> g(f( x))的 x 的值为 ________．(2) 某校举行了由所有学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60 名学生，将其成绩分红六段 [40,50) ， [50,60) ，，[90,100]后，画出如下图的频次散布直方图．察看图形中的信息，回答以下问题：预计此次考试的及格率(60 分及以上为及格)为 ________ ，均匀分为________ ．答案(1)1 2 (2)75%71分析(1)第一空，因为g(1) ＝3，所以f(g(1)) ＝f(3)＝ 1.第二空，当x＝ 1 时， f(g(x))＝ f(g(1)) ＝ f(3) ＝ 1.g(f(x))＝ g(f(1))＝ g(1)＝ 3.此时 1<3，也即f(g(x))< g( f(x)) ，不切合题意．当 x ＝ 2 时， f(g(x))＝ f(g(2)) ＝ f(2) ＝ 3.g(f(x))＝ g(f(2))＝ g(3)＝ 1.此时 3>1，也即 f(g(x))> g(f(x)) ，切合题意．同理可解得 x ＝ 3 时，不切合题意．(2) 及格的频次是 (0.015＋ 0.03＋ 0.025＋ 0.005) ×10＝0.75，即及格率约为 75%.样本的均值为45×0.1＋ 55×0.15＋ 65×0.15＋ 75×0.3＋ 85×0.25＋ 95×0.05＝ 71，以这个分数估计整体的分数即得整体的均匀分约为71.六审细节更完美审题不单要从宏观上、整体上去剖析、去掌握，还要更为注意审察一些细节上的问题．比如括号内的标明、数据的范围、图象的特色等．因为标明、范围大多是对数学观点、公式、定理中所波及的一些量或分析式的限制条件．审察细节能合时地利用有关量的拘束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审察细节，更能表现审题的深刻性．2例 6 已知正项数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1＝ 1， S n ＋ 1＋ S n ＝ a n ＋ 1，数列 { b n } 知足 b n ·b n ＋1＝ 3a n ，且 b 1＝ 1.(1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式；(2) 记 T n ＝a n b 2＋ a n － 1b 4＋＋ a 1b 2 n ，求 T n . 审题路线图2在条件(1) S n ＋ 1＋ S n ＝ a n ＋ 1 ――→n ≥2时已知 { a n } 为 (a n ＋ 1＋ a n )( a n ＋1－ a n － 1)＝ 0 ――――→正项数列n ≥2时， a n ＋1－ a n ＝ 1 考证 n ＝ 1时{ a n } 为等差数列n n ≥2时――→ ―→ 求得 a n ―→ b n b n ＋ 1＝ 3a n ＝ 3 ――→的状况 b n＋1利用 b 1＝ 1分奇偶项求得 b nb n －1 ＝ 3 ――――→可求得 b 2＝ 3(2)由(1) 可得 b 2n ＝ 3n―→T n 可使用错位相减法求得―→ 对式子进行化简整理可利用 n ＝1， 2―――――→写出正确结果进行估量考证 2解(1)∵ S n ＋ 1＋ S n ＝ a n ＋ 1，①2S n ＋ S n － 1＝ an (n ≥ 2)，②22①－②得： a n ＋ 1＋ a n ＝ a n ＋ 1－ a n ，∴ (a n ＋1＋ a n )(a n ＋1－ a n － 1)＝ 0， ∵ a n ＋ 1>0 ，a n >0，∴ a n ＋ 1＋ a n ≠0，∴ a n ＋ 1－ a n ＝ 1(n ≥2)．又由 S2＋ S1＝ a22得 2a1＋ a2＝ a22，即 a22－ a2－ 2＝ 0，∴ a2＝ 2，a2＝－ 1(舍去 )．∴ a2－ a1＝ 1，∴{ a n} 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，∴a n＝ n.又∵ b n·b n＋1＝ 3a n＝3n，③b n－1b n＝ 3n－1 (n≥ 2)．④③得：b n＋1＝ 3(n≥2)．④b n－1又由 b1＝ 1，可求 b2＝ 3，故 b1， b3，，b2n－1是首项为 1，公比为 3 的等比数列， b2， b4，， b2n是首项为 3，公比为3 的等比数列．n －1n－1n∴ b2n－1＝ 3，b2n＝3·3 ＝ 3 .n 1∴ b n 3 2n(n为奇数 ), 32 (n为偶数 ).(2) 由 (1)得：T n＝ 3a n＋ 32a n－1＋ 33a n－2＋＋3n a1，⑤3T n＝ 32a n＋ 33a n－1＋ 34a n－2＋＋ 3n＋1a1，⑥2(a n－ a n－1)＋3n n＋1a1，⑥－⑤得： 2T n＝－ 3a n＋ 3 3 ( a n－1－ a n－2 )＋＋3(a2－ a1)＋ 3由 a n＝ n，∴2T n＝－2＋ 33n n＋ 1 3n＋3＋＋3＋3＝－3n＋32(1 －3n )1－ 39 1 n＋2，＝－ 3n－＋·322n＋233n9∴ T n＝4－2－4.追踪操练 6已知数列 { a n} 是各项均不为0 的等差数列，公差为 d，S n为其前 n 项和，且满足 a n2＝ S2n－1， n∈N * .数列 { b n} 知足 b n＝1， n∈N *， T n为数列 { b n} 的前 n 项和．a n·a n＋1(1) 求数列 { a n} 的通项公式；(2) 若对随意的n∈ N *，不等式λT<n＋8·(－1)n恒建立，务实数λ的取值范围．n解 (1)a21＝ S1＝ a1，∵ a1≠0，∴ a1＝1. ∵ a22＝ S3＝ a1＋ a2＋ a3，∴ (1＋ d)2＝ 3＋ 3d，解得 d＝－ 1 或 2.当 d＝－ 1 时， a2＝ 0 不知足条件，舍去，∴d＝ 2.∴数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2n － 1. (2) ∵ b n ＝ 1 ＝1a n a n ＋1 (2n － 1)(2n ＋ 1)＝ 1(1 － 1 )，2 2n － 1 2n ＋ 11 1 1 11 － 1)∴ T n ＝ (1－3 ＋－＋＋2n ＋ 123 52n － 1 ＝n .2n ＋ 1①当 n 为偶数时，要使不等式λT n 恒建立，只需不等式n <n ＋ 8·(－ 1)＋ 17 恒建立刻可．8∵ 2n ＋ n ≥8，等号在 n ＝ 2 时获得，∴ λ<25.②当 n 为奇数时，要使不等式λT <n ＋ 8·(－ 1)n 恒建立，只需不等式n－ 15 恒建立刻可．∵ 2n － 8随 n 的增大而增大，n∴ n ＝ 1 时， 2n － 8n 获得最小值－ 6，∴ λ<－ 21.综合①②可得 λ的取值范围是 ( －∞，－ 21)．审题打破练λ<(n ＋ 8)(2n ＋ 1)＝ 2n ＋ 8n nλ<(n － 8)(2n ＋ 1)＝ 2n － 8n nA 组专题通关1．已知会合 A ＝{ x|x 2－ x － 2<0} ， B ＝ { x|－ 1<x<1} ，则 A 与 B 的关系为 ________．答案 B A分析会合 A ＝ { x|x 2－ x － 2<0} ＝ { x|－ 1<x<2} ，会合 B ＝ { x|－ 1<x<1} ，所以 B 是 A 的真子集．2．已知公差为 d 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若S 5＝ 3，则a 5的值为 ________．S 3a 3答案179分析由等差数列乞降公式得S 5＝ 5a 1 ＋ 10d＋ 4d 17a 1＝ 17＝3?d ＝ 4a ，所以 a 5＝ a 1＝ .3＋ 3d1 a 3＋ 2d 19S 3a 1a 1 9a1113．如图给出的是计算 1＋ 3＋ 5＋＋2 017的值的一个流程图，则判断框内应填入的条件是____________ ．答案i≤1 009或 i<1 010分析由题意知，此题的框图作用是计算1＋1＋1＋＋1的值，其分母的通项为2i － 1，35 2 017令 2i － 1＝ 2 017 ，解得 i＝ 1 009 ，由此知， i≤1 009，循环，当 i >1 009 时，结束，故判断框内应填入的条件是 i ≤1 009或 i<1 010.4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________.答案5＋ 1 2分析设双曲线的方程为x2y2ba2－b2＝1(a>0，b>0)，取F(c，0)，B(0，b)，渐近线y＝a x，由两b b22225＋1条直线相互垂直的条件得－·＝－ 1，∴ b ＝ ac＝ c － a ，∴ e － e－ 1＝0，∴ e＝c a舍去 )．2(负值π5．设△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，此中 B＝3.设向量 m＝ (cos A，cos 2A)，12， 1)，当 m·n 获得最小值时，△ABC 的形状为 ________三角形．n＝ (－5答案锐角分析因为 m·n＝－12122265 cos A＋ cos 2A＝－5 cos A＋ 2cos A－ 1＝ 2(cos A－5cos A)－ 1＝ 2(cosA－3)2－43，所以当 cos A＝3时， m·n 获得最小值．5255此时13<3(0<A<π)，于是ππ<cos A＝26<A< . 253πππ又 B＝，所以 A＋ B> ，即C< .322所以△ ABC 为锐角三角形．→→6．已知 M 是△ ABC 内的一点 (不含界限 )，且 AB·AC＝23，∠ BAC ＝ 30°，若△ MBC ，△ MAB，1 49△ MCA 的面积分别为x，y， z，记 f(x，y， z)＝x＋y＋z，则 f(x，y，z)的最小值为 ________．答案 36分析 → →→ ∵AB ·AC ＝ |AB| → →∴ |AB| ·|AC|＝ 4，1S △ ABC ＝ 2·AB ·ACsin 30→·|AC| ·cos 30 ＝°2 3，＝°1＝ x ＋ y ＋ z ，14 9149 )(x ＋ y ＋ z)＝ 1＋ 4＋ 9 y 9x 4x ＋ 9y z 4z 4x y∴ f(x ，y ，z)＝＋＋＝ ( ＋＋＋＋＋ y ＋＋＝ 14＋( ＋ )x y z x y z x z z x y y x ＋ ( 9x z4z9yz ＋ x )＋ ( y ＋ z ) ≥ 14＋ 4＋ 6＋ 12＝36.e x 1, x1,7．设函数 f (x)1则使得 f(x) ≤2建立的 x 的取值范围是 ________．x 3 , x1,答案 (－ ∞， 8]分析因为题中所给的是一个分段函数，则当x －1≤2，解得 x ≤1＋ln 2 ，故 x<1 ；x<1 时，由 e 当 x ≥1时，由 x13＝ 8.故 1≤x ≤8，综合上述两种状况可得3≤2，解得 x ≤2x ∈ (－ ∞， 8]．8.如图，已知六棱锥 P — ABCDEF 的底面是正六边形， PA ⊥平面 ABC.给出以下结论：① CD ∥平面 PAF ；② DF ⊥平面 PAF ；③ CF ∥平面 PAB ；④ DF ∥平面PAB.此中正确结论的个数为 ______．答案 3分析因为六棱锥 P — ABCDEF 的底面是正六边形，所以 AF ∥ CD ，由线面平行的判断定理，得 CD ∥平面 PAF ，故①正确；由正六边形的特色易知 DF ⊥ AF ，因为 PA ⊥平面 ABCD ，所以 DF ⊥ PA ，由线面垂直的判断定理，得 DF ⊥平面 PAF ，故②正确； CF ∥ AB ，由线面平行的判断定理，得 CF ∥平面 PAB ，故③正确；连接 AC ，由正六边形的特色易知 DF ∥AC ，又AC ∩平面 PAB ＝ A ，故 DF 与平面 PAB 订交，故④不正确．故正确结论的个数是3.x ，数列 { a，若 a ＝1， S ＋＝ f(S*)．9．已知函数 f( x)＝ 2x ＋ 1 n } 的前 n 项和为 S n12n 1n )( n ∈ N (1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 T n ＝S 12＋ S 22＋＋ S n 2，当 n ≥2时，求证： 4T n <2－ 1.n (1) 解由题意可知， S n ＋1＝S n ，2S n ＋ 1两边取倒数得，1 ＝ 2S n ＋ 1 ＝1＋2，SS n S nn ＋1即1－1＝2，又1＝2，SS nS 1n ＋11所以数列 { S n } 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，故 1 ＝ 2＋ 2(n －1) ＝2n ，所以 S n ＝ 1，S n 2n当 n ≥2时， a n ＝ S n － S n － 1＝ 1 1 1 2n － 2(n － 1) ＝－ 2n(n － 1).1n ＝ 1，2，所以 a n ＝1－，n ≥2.2n(n － 1)21(2) 证明由 (1) 可知， S n ＝ 4n 2，当 n ≥2时， 1 2<1， 4n4n(n － 1)1 1 1 111所以 T n < (1＋ 1－＋－＋＋－ )422 3n － 1 n1即 4T n <2 － .n10．已知函数 f(x)＝ axln x － x ＋ 1.(1) 当 a ＝ 1 时，求 f(x)的单一区间；11 1(2) 求证：当 x>1 时， ln x － x － 1<2恒建立．(1) 解当 a ＝ 1 时， f(x)＝ xln x － x ＋1(x>0) ，1 f ′(x)＝ln x ＋x ·－ 1＝ ln x ，x由 f ′(x)>0 ，得 x>1，由 f ′(x)<0 ，得 0<x<1，所以 f( x)的递加区间是 (1，＋ ∞)，递减区间是 (0,1)．(2) 证明当 x>1 时， ln x>0 ，所以要证 1 － 1 < 1，ln x x － 1 2只需证 (x － 1)－ ln x<12(x － 1)ln x(x>1) ，1即证2(x ＋ 1)ln x － x ＋ 1>0(x>1) ，1令 F(x)＝ 2(x ＋ 1)ln x － x ＋ 1(x>1) ，1 1 1－ 1F ′(x)＝ ln x ＋(x ＋ 1) ·22x＝xln x － x ＋ 1(x>1) ，2x由 (1) ，知 x ＝ 1 是 f(x)＝ xln x － x ＋ 1 的独一极小值点，所以 f(x) ≥f(1) ＝ 0，所以 F ′(x)≥0，所以 F(x)在 (0，＋ ∞)上为增函数，所以当 x>1 时， F(x)>F(1)＝ 0，所以当 x>1 时， 1－1 <1恒建立．ln x x － 1 2B 组能力提升11． (2015 ·徽安 )如图，三棱锥P-ABC 中， PA ⊥平面 ABC ， PA ＝ 1，AB ＝1， AC ＝ 2，∠ BAC＝ 60°.(1) 求三棱锥 P-ABC 的体积；PM(2) 证明：在线段 PC 上存在点 M ，使得 AC ⊥ BM ，并求 MC 的值．解 (1)由题意知 AB ＝ 1， AC ＝ 2，∠ BAC ＝ 60°，1 3可得 S △ABC ＝ ·AB ·AC ·sin 60 ＝° 2.2由 PA ⊥平面 ABC ，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高．又 PA ＝ 1，所以三棱锥 P-ABC 的体积1 3V ＝ 3·S △ABC ·PA ＝ 6.(2) 在平面 ABC 内，过点 B 作 BN ⊥AC ，垂足为 N ，在平面 PAC 内，过点 N 作MN ∥ PA 交 PC 于点 M ，连接 BM .由 PA ⊥平面 ABC 知 PA ⊥ AC ，所以 MN ⊥AC.因为 BN ∩MN ＝ N ，故 AC ⊥平面 MBN ，又 BM? 平面 MBN ，所以 AC ⊥ BM .在 Rt △ BAN 中， AN ＝AB ·cos ∠ BAC ＝12，进而 NC ＝ AC －AN ＝32，由 MN ∥ PA ，得 PM MC ＝ NC AN＝1 3.12．已知椭圆x 2 y 2C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 经过D(2,0) ，E(1，3 2)两点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若直线 l ：y ＝ kx ＋ m 与椭圆 C 交于不一样两点 A ，B ，点 G 是线段 AB 中点，点 O 是坐标原→ →点，设射线 OG 交椭圆 C 于点 Q ，且 OQ ＝ 2OG .22a ．证明： 4m ＝ 4k ＋ 1；b ．求 △ AOB 的面积．4＝1，(1) 解a 2 a ＝ 2，由题意，得3解得12＝1，b ＝ 1.2＋4ba2∴椭圆 C 的方程为 x＋ y 2＝ 1.4(2)a.证明令 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，y ＝ kx ＋m ，由 2 2x ＋ 4y ＝ 4，消去 y ，得 (1＋ 4k 2) x 2＋ 8kmx ＋ 4m 2－ 4＝0.＝ (8km)2－ 4(1＋ 4k 2 )(4m 2－ 4)>0 ，－ 8km∴x 1＋ x 2＝ 1＋ 4k 2，4m 2－ 4 x 1x 2 ＝2 ，1＋ 4km 2<1＋ 4k 2，－ 8kmx 1＋ x 2＝ 1＋ 4k 2，即 ①4m 2－ 4 x 1x 2＝ 1＋ 4k 2 ，∴ y 1＋ y 2＝k(x 1＋x 2)＋ 2m＝ k(－ 8km)2 ＋2m ＝2m2. 1＋ 4k 1＋ 4kG(－ 4km m又由中点坐标公式，得 1＋ 4k 2， 1＋ 4k 2)．将 Q(－8km 2，2m 2)代入椭圆方程， 1＋4k 1＋ 4k有 16k 222 m2 2＋ 4m 2 2＝1，(1 ＋ 4k ) (1＋ 4k ) 化简得， 4m 2＝ 1＋ 4k 2.② b ．解由①②得 m ≠0，－8km 24m 2－ 4 且 |x 1－ x 2 |＝(2 ) － 4× 4k 21＋4k 1＋4 1＋ 4k 2－ m 2＝1＋ 4k 2，③1在 △ AOB 中， S △AOB ＝2|m||x 1－x 2|，④22 3m33∴△ AOB 的面积是 2 .。

2021-2022年高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第二讲数形结合思想理

2021年高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第二讲数形结合思想理数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化．它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数，合理用参数，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数形结合思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：1．集合及其运算问题(韦恩图与数轴)．2．用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等)．3．运用向量解决有关问题． 4．三角函数的图象及其应用问题．5．解析几何、立体几何中的数形结合问题．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f(x)|与y ＝f(|x|)的图象相同．(×) (2)函数y ＝af(x)与y ＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(×) (3)函数y ＝f(x)与y ＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)(4)若函数y ＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称．(√)(5)将函数y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f(－x －1)的图象．(×)1．(xx·沈阳三模)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b≤1，b ，a －b ＞1.设函数f(x)＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f(x)－c 的零点恰有两个，则实数c 的取值范围是(B )A.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B.(]－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x≤32，－x 2＋x ，x ＜－1或x ＞32，由y ＝f(x)－c 的零点恰有两个，即方程f(x)＝c 恰有两根，也就是函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝c 的图象有两个交点，如图所示，满足条件的c 为(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34.2．方程sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝14x 的实数解的个数是(B )A ．2B ．3C ．4D ．以上均不对解析：在同一坐标系内作出y 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4与y 2＝14x 的图象(如下图所示)．3．(xx·新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP＝x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则y ＝f(x)的图象大致为(B )解析：当x∈[0，π4]时，f(x)＝tan x ＋4＋tan x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x∈[π4，3π4]时，f(π4)＝f(3π4)＝1＋5，f(π2)＝2 2.∵ 22＜1＋5，∴f(π2)＜f(π4)＝f(3π4)，从而排除D ，故选B. 4．(xx·江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12．解析：作出函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0，3)的图象，可见f(0)＝12，当x ＝1时，f(x)极大＝12，f(3)＝72，方程f(x)－a ＝0在x∈[－3，4]上有10个零点，即函数y＝f(x)和图象与直线y ＝a 在[－3，4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0，3)的应该是4个交点，则有a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.一、选择题1．已知0＜a ＜1，则方程a |x|＝|log a x|的实根个数为(B ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个解析：判断方程的根的个数就是判断图象y ＝a |x|与y ＝|log a x|的交点个数，画出两个函数图象(如图所示)，易知两图象只有2个交点，故方程有2个实根．2．(xx·安徽卷)函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是(C )A ．a>0，b<0，c>0，d>0B ．a>0，b<0，c<0，d>0C ．a<0，b<0，c<0，d>0D ．a>0，b>0，c>0，d<03．定义在R 上的偶函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[3，4]时，f(x)＝x －2，则(C )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3C ．f(sin 1)＜f(cos 1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32解析：由f(x)＝f(x ＋2)知T ＝2为f(x)的一个周期，设x∈[－1，0]，知x ＋4∈[3，4]，f(x)＝f(x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f(x)的图象，如图所示：A ：sin 12＜cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12；B ：sin π3＞cos π3⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3；C ：sin 1＞cos 1⇒f(sin 1)＜f(cos 1)；D ：sin 32＞cos 32⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32.4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1、抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是(A )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：记抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，是F(1，0)，注意到直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，于是抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于|PF|，问题即转化为求抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离与它到焦点F(1，0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1，0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|5＝2.故选A.5．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是(C)A．5 B．8C.17－1D.5＋2解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，由抛物线的定义有d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.6．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(B)A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：解法一因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋23－2＝8，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，故f(x)在(0，1)内的零点个数是1.解法二设y 1＝2x ，y 2＝2－x 3，在同一坐标系中作出两函数的图象(如上图所示)，可知B 正确．7．(xx·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB ，则不等式f (x)≥log 2(x ＋1)的解集是(C )A ．{x|－1＜x≤0}B ．{x|－1≤x≤1}C ．{x|－1＜x≤1}D ．{x|－1＜x≤2}解析：令g(x)＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g(x)图象如图．由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴ 结合图象知不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．二、填空题8．当x∈(1，2)时，(x －1)2＜log a x 恒成立，则a 的取值范围为(1，2]．解析：在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象，若y ＝log a x 过(2，1)，则log a 2＝1，∴a ＝2.结合图形，若使x∈(1，2)时，(x －1)2＜log a x 恒成立，则1＜a≤2.三、解答题9．已知0＜x ＜32π，方程sin 2x ＋2sin xcos x ＋3cos 2x ＋a ＝0有3个实数根，求a的取值范围．解析：原方程可化为2＋sin 2x ＋cos 2x ＋a ＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－a －2. 令f(x)＝2sin(2x ＋π4)(0＜x ＜3π2)，则原方程有3个实根等价于y ＝f(x)与y ＝－a －2有3个交点．由图象可得－1＜－a －2≤1，∴a 的取值范围为[－3，－1)．10．已知圆C 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点，且圆心在x 的正半轴上，且直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为2 2.(1)求圆C 的标准方程；(2)从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．解析：(1)在椭圆x 22＋y 2＝1中，c 2＝a 2－b 2＝1，所以c ＝1，于是右焦点为(1，0)．设圆心为(t ，0)(t ＞0)，圆心到直线的距离为d ＝|t －1|2.注意到弦长、半径、弦心距满足：⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＝r 2－d 2，即⎝⎛⎭⎪⎫|t －1|22＋2＝(t －1)2，解之得t ＝3或t ＝－1(舍去)，半径r ＝3－1＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.(2)如图，不妨设P(x ，y)，由于|PM|2＝|PC|2－|CM|2，且|PM|＝|PO|，所以|PO|2＝|PC|2－|CM|2，也即|PC|2－|PO|2＝|CM|2＝4，于是(x －3)2＋y 2－(x 2＋y 2)＝4，即x ＝56，即点P 所在曲线方程为x ＝56.要使|PM|最小，由|PM|2＝|PC|2－4，只需|PC|最小，也即圆心到直线x ＝56的距离最小，可知点P 在x 轴上时满足题意，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，0.。

数学高考一轮复习数学思想方法专题练习(含解析)

数学2019届高考一轮复习数学思想方法专题练习（含解析）数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，以下是数学思想方法专题练习，请考生仔细练习。

一、选择题1.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数m等于()A.或-B.-或3C.-3或D.-3或3解析圆的方程(x-1)2+y2=3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径=+m|=2=或m=-3.答案C2.已知函数f(x)满足下面关系：①f (x+1)=f (x-1);②当x[-1，1]时，f (x)=x2，则方程f (x)=lg x解的个数是()A.5B.7C.9D.10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)=lg x，则x(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案C3.函数f(x)的定义域为R，f (-1)=2，对任意xR，f(x)2，则f (x)2x+4的解集为()A.(-1，1)B.(-1，+)C.(-，-1)D.(-，+)解析f(x)2转化为f(x)-20，构造函数F(x)=f (x)-2x，得F(x)在R上是增函数.又F(-1)=f (-1)-2(-1)=4，f (x)2x+4，即F(x)4=F(-1)，所以x-1.答案B4.(2019陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为() 甲乙原料限额A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，每天可获得利润为8万元，由已知可得目标函数z=3x+4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).则zmax=32+43=18(万元).答案D二、填空题5.(2019福建卷)若a，b是函数f(x)=x2-px+q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于________.解析由题意知，a+b=p，ab=q，∵p0，q0，a0，b0，在a，b，-2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b2;b，a，-2;-2，a，b;-2，b，a;成等比数列的情况有a，-2，b;b，-2，a.∵或解得或p=5，q=4，故p+q=9.答案96.若不等式|x-2a|x+a-1对xR恒成立，则a的取值范围是________.解析作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图，依题意知应有2a2-2a，故a.答案7.经过P(0，-1)作直线l，若直线l与连接A(1，-2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为________，________.解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，kPAkPB，而kPB0，kPA0，又kPA==-1，kPB==1，-11.又当01时，0当-10时，.故倾斜角的取值范围为.答案[-1，1]8.(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c 的最大值为________.解析双曲线x2-y2=1的渐近线为xy=0，直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行，故两平行线的距离d==.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为. 答案三、解答题9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.(1)求{an}的通项an;(2)求{an}前n项和Sn的最大值.解(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1=3，d=-2.所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2.所以n=2时，Sn取到最大值4.10.(2019安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(a0)，点O为坐标原点，点A 的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.(1)解由题设条件知，点M的坐标为，又kOM=，从而=.进而a=b，c==2b，故e==.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得=，又=(-a，b)，从而有=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2，所以=0，故MNAB.11.设函数f (x)=ax3-3ax，g(x)=bx2-ln x(a，bR)，已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解，求实数a解函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0，+)，(1)f(x)=3ax2-3a(1)=0，g(x)=2bx-(1)=2b-1，依题意得2b-1=0，所以b=.(2)x(0，1)时，g(x)=x-0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x(1，+)时，g(x)=x-0，即g(x1，+)上单调递增，所以当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=;当a=0时，方程F(x)=a2不可能有四个解;当a0，x(-，-1)时，f(x)0，即f(x)在(-，-1)上单调递减，x(-1，0)时，f(x)0，即f(x)在(-1，0)上单调递增，所以当x=-1时，f(x)取得极小值f(-1)=2a，又f(0)=0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)=a2不可当a0，x(-，-1)时，f(x)0，即f(x)在(-，-1)上单调递增，x(-1，0)时，f(x)0，即f(x)在(-1，0)上单调递减，所以当x=-1时，f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F(x)=a2有四个解，则所以，a的取值范围是.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

2022年高考数学(理)第二轮复习(江苏版)讲义：第19讲数学思想方法

第19讲数学思想方法(上)
金题精讲
题一：已知长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB
⋅的值为______；DE DC ⋅的最大值为______．
题二：有n 个小球(n 是大于2的整数)，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将每一堆小球任意分成两堆，分别求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都将这两堆小球再任意分成两堆，并分别求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为____________.
题三：已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是__________________. 题四：如图，已知四边形ABCD 是椭圆223412x y +=的内接平行四边形，且BC ，AD 分别经过椭圆的焦点1F ，2F .
(Ⅰ)若直线AC 的方程为20x y -=，求AC 的长；
(Ⅱ)求平行四边形ABCD 面积的最大值.
第19讲数学思想方法(上) 金题精讲
题一：1；4
题二：
(1)
2
n n
题三：2,1)
2
题四：(Ⅰ15(Ⅱ)6。