【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练41
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练30含答案
题组层级快练 (三十 )1．对于非零向量a，b，“a＋b＝ 0”是“a∥b”的 ()A ．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件答案A剖析若 a＋b＝0，则 a＝－ b，因此 a∥b；若 a∥b，则 a＝λb，a＋b＝0不用然成立，故前者是后者的充分不用要条件．2．设a是任向来量，e是单位向量，且a∥e，则以下表示形式中正确的选项是 () aA ．e＝|a|B．a＝ |a|eC．a＝－ |a|e D．a＝±|a|e答案D剖析对于 A ，当a＝ 0 时，a没有意义，错误；|a|对于 B， C， D 当a＝0 时，选项 B， C，D 都对；当 a≠0时，由 a∥e 可知， a 与 e 同向或反向，选 D.→→→3．(2015 北·京东城期中 )已知 ABCD 为平行四边形，若向量AB＝a， AC＝b，则向量 BD 为()A ．a－b B．a＋bC．b－ 2a D．－a－b答案C→ →→4.以下列图，在正六边形ABCDEF 中， BA＋ CD ＋ EF＝ ()→A ． 0 B.BE→→C.ADD.CF答案D→→→→→→→→→剖析由于 BA＝DE ，故 BA＋ CD＋ EF＝ CD ＋ DE＋EF ＝CF .5．(2015 广·东惠州二中模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，→→→3OA－OB且 OP＝，则()2A．点 P 在线段 AB 上B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上C．点D．点答案剖析P 在线段 AB 的延长线上P 不在直线 AB 上B→→ →3→1→ →1→→→1→ →→→3OA－ OB1 OP2＝2OA－2OB ＝ OA＋2(OA－ OB)＝ OA＋2BA，即 OP－ OA ＝ AP＝2＝→BA，因此点P 在线段 AB 的反向延长线上，应选 B.→→6．在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 均分∠ ACB.若CB＝a，CA ＝b， |a|＝ 1， |b|＝ 2，则→CD＝ ()1221A. 3a＋3bB.3a＋3b3443C.5a＋5bD.5a＋5b答案B剖析由内角均分线定理，得|CA| |AD |→→→→2→→2→→|CB|＝|DB |＝2.∴CD ＝ CA＋ AD＝CA＋3AB＝CA＋3(CB－ CA)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.故B正确．→→7．已知向量i与j不共线，且 AB＝i＋ m j，AD ＝n i＋j，若 A， B，D 三点共线，则实数m，n 应该满足的条件是 ()A ． m＋ n＝ 1B． m＋n＝－ 1C． mn＝ 1D． mn＝－ 1答案 C→→剖析由 A， B， D 共线可设 AB＝λAD ，于是有i＋ m j＝λ(n i＋j)＝λn i＋λj.又i，j不共线，λn＝ 1，因此即有 mn＝1.λ＝ m，→ →8．O 是平面上必然点， A，B，C 是该平面上不共线的三个点，一动点 P 满足： OP＝OA ＋→→λ(AB＋ AC)，λ∈ (0，＋∞ )，则直线 AP 必然经过△ ABC 的 ()A ．外心B．内心C．重心D．垂心答案C剖析取BC中点M.→→→ →OP＝ OA＋λ(AB ＋AC)，→→→→OP－ OA＝λ(AB ＋AC)，→→AP＝ 2λAD.∴A， P，D 三点共线，∴ AP 必然经过△ ABC 的重心， C 正确．→→→9．在四边形ABCD 中， AB＝a＋ 2b，BC＝－ 4a－b，CD ＝－ 5a－3b，则四边形ABCD 的形状是 ()A ．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案C→→→→→剖析由已知 AD＝ AB＋ BC＋ CD＝－ 8a－ 2b＝ 2(－4a－b)＝ 2BC.→ →→→∴AD ∥BC.又 AB与 CD 不平行，∴四边形 ABCD 是梯形．→10．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)的充要条件是 AP＝→ →λ(AB＋ AD )，则λ的取值范围是 ()A ．λ∈ (0,1)B．λ∈ (－ 1,0)C．λ∈ (0，2D．λ∈ (－2， 0) 2)2答案A剖析以下列图，∵点 P 在对角线 AC 上 (不包括端点 A， C)，→→→→→→→ →∴AP＝λAC＝λ(AB ＋AD)．由 AP 与 AC同向知，λ>0. 又 |AP|<|AC|，→|AP|＝λ<1，∴λ∈(0,1) ．反之亦然．∴→|AC|→→→11．设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同样的四点，若A1 A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4→1＋1＝ 2，则称 A3，A4调停切割 A1， A2.已知平面上的点＝μA1 A2(μ∈R )，且C， D 调停切割点λ μA， B，则以下说法正确的选项是()A ． C 可能是线段AB 的中点B． D可能是线段AB 的中点C． C，D可能同时在线段AB 上D．C，D不可以能同时在线段AB的延长线上答案D剖析若 A 成立，则λ＝ 1，而 1＝ 0，不可以能；同理 2 μB 也不可以能；若C 成立，则0<λ<1，且 0<μ<1，1＋ 1>2，与已知矛盾；若λ μC，D同时在线段AB 的延长线上时，λ>1，且μ>1，1＋1λ μ<2，与已知矛盾，故C，D 不可以能同时在线段AB 的延长线上，故 D 正确．12.以下列图，以下结论不正确的选项是________．→33①PQ ＝2a＋2b；→3 3②P T ＝－2a－2b；→31③PS＝2a－2b；→3④PR＝a＋b.2答案②④2→→33剖析由 a＋b＝3PQ，知PQ＝2a＋2b，①正确；由→33→ →PT＝2a－2b，从而②错误；PS＝PT＋→ 3 1→ → 3 1b，故PS＝2a－2b，③正确；PR＝PT＋2b＝2a＋2b，④错误．故正确的为①③.→ →13.以下列图，已知∠B＝ 30°，∠ AOB＝ 90°，点 C 在 AB 上， OC⊥AB，用 OA和 OB来表示→→向量 OC，则 OC等于 ________．答案剖析3→1→4OA＋ OB4→→→→1→→1→→ 3→1→OC＝ OA＋ AC＝ OA＋4AB＝ OA＋4(OB－ OA)＝4OA＋4OB.→→→14．设a和b是两个不共线的向量，若AB＝ 2a＋k b， CB＝a＋b， CD＝ 2a－b，且 A， B，D 三点共线，则实数 k 的值等于 ________．答案－ 4→ →→→ → →剖析∵A， B，D 三点共线，∴ AB∥BD .∵AB＝ 2a＋ k b， BD＝ BC＋ CD ＝a－ 2b，∴k＝－ 4.故填－ 4.→→→15．已知 O 为△ ABC 内一点，且 OA＋ OC＋ 2OB＝ 0，则△ AOC 与△ ABC 的面积之比是________．答案1∶ 2剖析以下列图，取 AC 中点 D.→→→∴OA＋OC＝ 2OD.→→∴OD＝ BO.∴O 为 BD 中点，∴面积比为高之比．16．已知向量a＝ 2e1－ 3e2，b＝ 2e1＋ 3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－ 9e2.问可否存在这样的实数λ，μ，使向量 d＝λa＋μb 与 c 共线？答案当λ＝－ 2μ时共线剖析∵d＝λ(2 e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2.要使 d 与 c 共线，则应有实数k，使d＝ k c.即(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2＝ 2k e1－ 9k e2.2λ＋ 2μ＝2k，即得λ＝－ 2μ.－ 3λ＋ 3μ＝－ 9k，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－ 2μ，就能使 d 与 c 共线．17．以下列图，已知点G 是△ ABO 的重心．→→→(1)求 GA＋ GB＋GO；→→→→(2)若 PQ 过△ ABO 的重心 G，且 OA＝a，OB＝b， OP＝m a， OQ＝ n b，求证：m 1＋1n＝ 3.→→→答案(1)GA＋ GB＋ GO＝ 0 (2)略剖析(1) 以下列图，延长OG 交 AB 于 M 点，则M 是AB的中点．→→→∴GA＋GB＝ 2GM.∵G 是△ABO 的重心，→→∴GO＝－ 2GM .→→→∴GA＋GB＋ GO＝ 0. (2)∵M 是 AB 边的中点，→ 1 →→1∴OM ＝2(OA ＋ OB)＝2(a＋b)．→ 2→1又∵G 是△ABO 的重心，∴ OG＝3OM＝3(a＋b)．→→→111∴PG＝OG－ OP＝3(a＋b) －m a＝(3－ m)a＋3b.→→→而PQ ＝OQ － OP＝ n b－ m a，∵P， G， Q 三点共线，→→∴有且只有一个实数λ，使得PG＝λPQ.∴(1－m)a＋1 ＝λn－λm 33bba.∴(1－m＋λm)a＋ (1－λn)b＝0.3313－ m＋λm＝ 0，1 ＋1＝ 3.∵a 与 b 不共线，∴消去λ，得1m n3－λn＝ 0.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练28
题组层级快练(二十八)1．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( ) A ．25 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2014·江西文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B.13 C ．1 D.72 答案 D解析 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2(sinB sin A )2－1＝2(b a )2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×(32)2－1＝72. 3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋394 答案 B解析 由余弦定理，得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB cos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3.故BC 边上的高是AB sin60°＝332.选B. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .5．(2015·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)答案 A解析 由a sin A ＝b sin B ＝b sin2A ，得b ＝2cos A .π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3.又2A <π2， 所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.6．(2015·江西七校一联)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 答案 D解析 sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．7．(2015·东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B ，则B ＝( )A.π6B.π4 C.π3 D.3π4答案 C解析 由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝ac ＋b ⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3，故答案为C.8．(2015·济宁一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．3 答案 C解析 ∵c sin A ＝3a cos C ， ∴sin C sin A ＝3sin A cos C .即sin C ＝3cos C .∴tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B .∴sin A ＋sin B ＝sin(2π3－B )＋sin B＝3sin(B ＋π6)．∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6.∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C.9．(2014·新课标全国Ⅱ理)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.故选B.10．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 答案34或32解析 如图所示，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32.而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.11．(2014·广东理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 答案 2解析 方法一：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b .化简可得ab＝2.方法二：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B . 故sin(B ＋C )＝2sin B .故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即ab＝2.12．(2014·天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．答案 －14解析 由已知及正弦定理，得2b ＝3c .因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14. 13．(2015·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin(90°－B 2)．∴2sin B ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27解析 由正弦定理可得AB sin C ＝BC sin A ＝3sin60°＝2，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，AB ＋2BC ＝2(sin C ＋2sin A )＝2[sin C ＋2sin(120°－C )]＝2(3cos C ＋2sin C )＝27sin(C ＋φ)(其中cos φ＝27，sin φ＝37)．∴当C ＋φ＝90°，即C ＝90°－φ时，AB ＋2BC ＝27sin(C ＋φ)取得最大值27.15．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．16．(2014·安徽文)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．答案 cos A ＝13，a ＝22或cos A ＝－13，a ＝2 3解析 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝ 2.故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8.所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12.所以a ＝2 3. 17．(2015·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围． 答案 (1)23π (2)(3，2]解析 (1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m ·n ＝2sin B ，|m |＝sin 2B ＋(1－cos B )2＝2－2cos B ＝2|sin B 2|.∵0<B <π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m |＝2sin B2.又∵|n |＝2，∴cos θ＝m ·n |m |·|n |＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12. ∴B 2＝π3，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－(a ＋c 2)2＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时，取等号．∴(a ＋c )2≤4，即a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．1．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 答案 1∶1∶ 3解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴a ∶b ∶c ＝sin30°∶sin30°∶sin120°. ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3.2．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 由cos C ＝13，得sin C ＝223.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝4 3.∴b ＝2 3.3．(2013·山东理)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． 答案 (1)a ＝c ＝3 (2)10227解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )． 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 5．(2013·新课标全国Ⅰ理)如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 答案 (1)72 (2)34解析 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得P A 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理，得3sin150°＝sin αsin (30°－α).化简得3cos α＝4sin α，所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 6．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 解析 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由AB sin C ＝ACsin B，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．。
高考调研数学答案2016
高考调研数学答案2016【篇一：【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练82】>(第二次作业)3273a．0 c．2 答案 c111263111111532333692．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数x的均值是( )55a. 650 3答案 c114555解析至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－)(1－)＝1.∴x～b(30)，∴e(x)＝30339999＝5033．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )1a.481 12答案d解析设投篮得分为随机变量x，则x的分布列为6当且仅当3a＝2b时，等号成立．4．设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________.12416403d．10 b．1 d．31答案 2解析 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的均值为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7a4，则7?a1－a4?2＋?a2－a4?2＋?＋?a7－a4?2711＝4d2＝1，d＝225．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．1答案 252p＋1－p22126．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶211段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，334(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；答案 (1) (2)99解析(1)记“该选手通过初赛”为事件a，“该选手通过复赛”为事件b，“该选手通过决赛”为事211件c，则p(a)p(b)＝，p(c)＝.33421433214339212399953111211212.1515515338．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x(单位：mm)对工期的影响如下表：求： (1)工期延误天数y的均值与方差；(2)在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 6答案 (1)均值为3，方差为9.8 7解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：p(x300)＝0.3，p(300≤x700)＝p(x700)－p(x300)＝0.7－0.3＝0.4，p(700≤x900)＝p(x900)－p(x700)＝0.9－0.7＝0.2，p(x≥900)＝1－p(x900)＝1－0.9＝0.1. 所以y的分布列为(2)由概率的加法公式，得p(x≥300)＝1－p(x300)＝0.7. 又p(300≤x900)＝p(x900)－p(x300)＝0.9－0.3＝0.6，由条件概率，得p(y≤6|x≥300)＝p(x900|x≥300)＝p?300≤x900?0.66＝. 0.77p?x≥300?6故在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 79．为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”．比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为a，b，c，d，e五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：(1)1人，其成绩等级为“a或b”的概率；(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选3人，记x表示抽到成绩等级为“a或b”的学生人数，求x的分布列及数学期望e(x)．1答案 (1) (2)1346解析 (1)根据统计数据可知，从这30名学生中任选1人，其成绩等级为“a或b”的频率为＝3030101. 3031故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“a或b”的概率约为3(2)由已知得，随机变量x的可能取值为0,1,2,3， 10238故随机变量x的分布列为279927讲评新课标高考的数学试题对概率与统计内容的考查已经悄然发生了变化，其侧重点由以往的概率及概率分布列的问题，变为统计与概率及分布列知识的综合，包括统计案例分析．书．现某人参加这个选修课的考试，他a级考试成绩合格的概率为，b级考试合格的概率为.假设各级考32试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；答案 (1)33解析设“a级第一次考试合格”为事件a1，“a级补考合格”为事件a2；“b级第一次考试合格”为事件b1，“b级补考合格”为事件b2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为a1b1，注意到a1与b1相互独立， 2113231故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为3即该考生参加考试的次数的期望为3【篇二：2016届浙江省高三调研考试数学(理)试题】>数学(理科)姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练20
题组层级快练(二十)1．设f (x )＝x 3＋x ，则f (x )d x 的值等于( )A ．0B ．8C ．2⎠⎛02f (x )d xD.⎠⎛02f (x )d x答案 A解析2．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛011d x ＝x | 10＝1.3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋m (m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f (x )d x 等于( )A ．2 B.163 C ．6 D ．7答案 B解析 f (x )＝(x ＋1)2＋m －1，∵f (x )的最小值为－1，∴m －1＝－1，即m ＝0.∴f (x )＝x 2＋2x . ∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝(13x 3＋x 2)| 21＝13×23＋22－13－1＝163. 4．(2015·福建莆田一中期末)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )答案 D解析 当x ∈[0，π2]时，y ＝sin x 与y ＝cos x 的图像的交点坐标为(π4，22)，作图可知曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x＝0，x ＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝π4，x ＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.5．(2015·东北三校一联) sin 2x2d x ＝( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B6．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案 D解析 a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3| 20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4| 20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x | 20＝1－cos2<2，∴c <a <b . 7．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t(3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)| t 0＝t 3＋t －5t 2＝5，所以(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.8．(2015·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x答案 A解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x ，选A.9．(2015·南昌一模)若⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )| a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2. 10．(2014·湖北理)若函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 对于①，sin 12x cos 12x d x ＝12sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②， (x ＋1)(x －1)d x＝(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x ·x 2d x ＝x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数，选C.答案 2π＋112．(2015·陕西五校二联)定积分(|x |－1)d x 的值为________．答案 －113．(2015·海淀一模)函数y ＝x －x 2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________． 答案 16解析 由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)| 10＝12－13＝16.14．(2015·安徽六校联考)已知a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(1－a x )5的展开式中x －3的系数为________．答案 －80解析 由a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x | π0＝－(cosπ－cos0)＝2，则x－3的系数为C 35(－a )3＝10×(－2)3＝－80.15.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (2,0)，B (2,4)，C (0,4)，曲线y ＝ax 2经过点B ，现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 ∵y ＝ax 2过点B (2,4)，∴a ＝1.16．求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积． 答案 23解析 y ＝±x －1，y ′x ＝±12x －1.∵过点(2,1)的直线斜率为y ′|x ＝2＝12，直线方程为y －1＝12(x －2)，即y ＝12x .同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示．由抛物线y 2＝x －1与两条切线y ＝12x ，y ＝－12x 围成的图形面积为：S ＝S △AOB －2⎠⎛12x －1d x ＝12×2×2－2×23×(x －1)32|21＝2－43(1－0)＝23.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练44含答案
题组层级快练(四十四)1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1)答案 B解析 将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中，得y ＝1.因为点(－2，t )在直线上方，所以t >1. 2．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的取值范围是( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或b >－5C ．－8≤b <－5D ．b ≤－8或b ≤－5 答案 C解析 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4>3×3＋b ，4≤3×4＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b <－5，b ≥－8.即－8≤b <－5.故选C.3．(2014·天津理)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 画出可行域，不难发现在点A (1,1)处目标函数z ＝x ＋2y 有最小值z min ＝3.选B.4．(2014·新课标全国Ⅰ文)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7, 则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3答案 B解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12.代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝ －5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.5．(2015·东北三校一联)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14表示的区域如下图所示，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当－a >0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，当a ＝－1时，线段AC 上的所有点都是最优解；当－a <0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a ＝3时，线段BC 上的所有点都是最优解．故选B 项．6．(2015·陕西西工大附中适应性训练)设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥2，x ＋y ≥4，x ≤5，则点P (x ＋y ，x－y )所在区域的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 作出不等式组表示的线性区域如图①所示．可知x ＋y ∈[4,8]，x －y ∈[2,6]，且当x ＋y ＝4时，x －y 可以取到[2,6]内的所有值；当x ＋y ＝8时，x －y ＝2，即△ABC 所表示的区域如图②所示，则S △ABC ＝12×4×4＝8，故C 正确．7．(2015·湖南常德期末协作考试)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2≤1，x －y －1≥0，则z ＝yx －2的最小值为( ) A ．3＋ 2 B ．2＋ 2 C.34 D.43答案 C解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z ＝yx －2＝y －0x －2表示在可行域取一点与点(2,0)连线的斜率，可知过点(2,0)作半圆的切线，切线的斜率为z ＝yx －2的最小值，设切线方程为y ＝k (x －2)，则A 到切线的距离为1，故1＝|k －2|1＋k 2.解得k ＝34.8．(2014·北京理)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12答案 D解析 作出可行域，平移直线y ＝x ，由z 的最小值为－4求参数k 的值．作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0. ∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D 项．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2答案 B解析 画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z .令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.10．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ＋2≥0，x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为__________，z 的最大值为________．答案252，5 解析 图像的三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2,3)，所以面积为252.因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y ，得x ＝2，y ＝3时有z max＝5.11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >9－7a ，3－a >1－3a .所以a >1.12．(2015·威海一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2，则M (x ，y )所在平面区域的面积为________．答案 e 2－2解析 画出平面区域，如图所示．M (x ，y )所在平面区域的面积为⎠⎛02e x d x －S △AOB ＝e x | 20－12×2×1＝e 2－e 0－1＝e 2－2. 13．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．答案 －9解析 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3.∴点A 的坐标为(－k 3，－k 3)．则z 的最大值为－k 3＋3(－k 3)＝－43k .令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.14．(2015·南昌一模)营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？答案 应预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．1．(2013·山东理)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然当点M 与A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( )答案 B解析 方法一：可转化为①⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0.由于(－2,0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0.两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5答案 B解析 画出不等式组表示的平面区域如图所示，由目标函数得y ＝－23x ＋z －13，根据目标函数的几何意义，显然当直线y ＝－23x ＋z －13在y 轴上的截距最大时z 最大，故在图中的点A处目标函数取得最大值，点A (3,1)，所以z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.4．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)答案 A解析 由顶点C 在第一象限且与A ，B 构成正三角形可求得点C 坐标为(1＋3，2)，将目标函数化为斜截式为y ＝x ＋z ，结合图形可知当y ＝x ＋z 过点C 时z 取到最小值，此时z min ＝1－3，当y ＝x ＋z 过点B 时z 取到最大值，此时z max ＝2，综合可知z 的取值范围为(1－3，2)．5．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2答案 B解析 方法一：不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20.又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立． 方法二：把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.6．(2015·安徽六安中学调研)已知双曲线x 2－y 2＝4的两条渐近线与直线x ＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3B.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3答案 A解析 双曲线x 2－y 2＝4的两条渐近线方程为y ＝±x ，与直线x ＝3围成一个三角形区域时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3，故选A.7．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设甲、乙两种肥料分别生产x 车皮和y 车皮，则利润z ＝10 000x ＋5 000y .由题意得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0.作出可行域(图略)，当目标函数z ＝10 000x ＋5 000y 经过点A (2,2)时，z 取得最大值．即z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000，所以甲、乙两种肥料都生产2车皮时，可获得最大利润30 000元．。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮温习题组层级快练40含答案
题组层级快练(四十)1．(2014·天津文)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6. ∵S 22＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)． ∴4a 21－4a 1＋1＝4a 21－6a 1⇒a 1＝－12.2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，b 6·b 8＝b 27＝16，故选D.3．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－22答案 C解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0， 则有a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q 2－2q －1＝0，q ＝1± 2. 又q >0，因此q ＝1＋ 2.所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.选C.4．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( )A ．3n ＋4B ．6n ＋2C ．6n ＋4D ．2n ＋2答案 C解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2， 则d 1＝a 6－a 26－2＝84＝2，d 2＝b 6－b 26－2＝124＝3. ∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.∴数列{a n }为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{b n }为1,4,7,10,13,16,19,22，…. ∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列． ∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.5．已知数列{a n }，{b n }知足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64答案 D解析 依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1.两式相除，得a n ＋2a n＝2. 所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列． 而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32. 又因为a n ＋a n ＋1＝b n ， 所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1 C ．3 D ．4答案 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.7．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的持续三项，则数列{b n }的公比为________．答案 12或1解析 设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 23＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得(a 1＋4d )d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d .当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4别离为－4d ，－2d ，－d ，所以等比数列{b n }的公比为12.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．答案 13解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0.∴q ＝13.9．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________.答案 2n－1,10解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝1－2n1－2＝2n－1.当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1,4，第3次生成的数为1,2；－4,7，第4次生成的数为－1,4；－2，5；4，－1；－7,10.故T 4＝10.10．(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n)，….若n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．答案 23(4n－1)解析 P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k)，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n －1＝21－4n1－4＝23(4n－1)． 11．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8.{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；(2)现别离从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的大体事件，并求这两项的值相等的概率．答案 (1)a n ＝n ，b n ＝2n －1(2)29解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)别离从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，取得的大体事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的大体事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.12．(2014·湖北)已知等差数列{a n }知足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是不是存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．答案 (1)a n ＝2或a n ＝4n －2 (2)当a n ＝2时，不存在，当a n ＝4n －2时，存在，n 最小值为41解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )．化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 现在不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋4n －2]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)．现在存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在知足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在知足题意的n ，其最小值为41.13．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每一年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每一年植树面积都比上一年减少a 亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N )年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式． 答案 (1)该林场第6年植树的面积为80a 亩 (2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32a [32n－1]，1≤n ≤5，n ∈N ，211a ＋166a －nan －52，6≤n ≤10，n ∈N解析 (1)该林场前5年的植树面积别离为16a,24a,36a,54a,81a . ∴该林场第6年植树的面积为80a 亩． (2)设第n 年该林场植树的面积为a n 亩， 则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －1×16a ，1≤n ≤5，n ∈N ，86－n a ，6≤n ≤10，n ∈N .∴当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋(32)n －1×16a＝16a [1－32n]1－32＝32a [(32)n－1](亩)．当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋[80a ＋86－n a ]n －52＝211a ＋166a －nan －52(亩)．∴所求S n 的表达式为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32a [32n－1]，1≤n ≤5，n ∈N ，211a ＋166a －nan －52，6≤n ≤10，n ∈N .14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n . 答案 (1)a n ＝n ＋1 (2)略 (3)略解析 (1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1. (2)∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴{b n }是以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n .∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)] ＝23n ＋1(－2n －1)<0.∴c n ＋1<c n .1．若正项数列{a n }知足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 013，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 013·1010B ．2 013·1011C ．2 014·1010D ．2 014·1011答案 A解析 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }为公比是10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 013·1010，选A.2．气象局用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起持续利用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，利用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指利用的这台仪器的平均耗资最少)，一共利用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天答案 B解析 由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，能够得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．设一共利用了n 天，则利用n 天的平均耗资为3.2×104＋5＋n ＋4910n2n ＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n 20时取得最小值，现在n ＝800，故选B. 3．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了2个伙伴；第二天3只密蜂飞出去，各自找回了2个伙伴，…，若是那个找伙伴的进程继续下去且都能找回2个伙伴，第五天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 243解析 第一天有1＋2只，第二天有a 2＝3a 1＝9只，第三天有a 3＝3a 2＝27只，……，故第n 天为a n ＝3n ，则a 5＝35＝243只．4．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．答案 10 100解析 由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×2＋2002＝10 100.5．为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年改换10 000辆燃油型公交车，每改换一辆新车，则淘汰一辆旧车，改换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每一年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每一年比上一年多投入a 辆．(1)求通过n 年，该市被改换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时刻完成全数改换，求a 的最小值． 答案 (1)S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋nn －12a (2)147解析 (1)设a n ，b n 别离为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量， 依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n n －12a .所以通过n 年，该市被改换的公交车总数 S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －12a .(2)若用7年的时刻完成全数改换，则S (7)≥10 000，即256×[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥3 08221.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练52
题组层级快练(五十二)1．已知两条不同直线l 1和l 2及平面α，则直线l 1∥l 2的一个充分条件是( ) A ．l 1∥α且l 2∥α B ．l 1⊥α且l 2⊥α C ．l 1∥α且l 2⊄α D ．l 1∥α且l 2⊂α答案 B解析 l 1⊥α且l 2⊥α⇒l 1∥l 2.2．(2013·浙江文)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 答案 C解析 A 项中，直线m ，n 可能平行，也可能相交或异面，直线m ，n 的关系是任意的；B 项中，α与β也可能相交，此时直线m 平行于α，β的交线；D 项中，m 也可能平行于β.故选C 项．3．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8,12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为( )A ．10B ．20C ．8D ．4答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，F ，G ，H 分别是BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1.∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .5．(2015·安徽阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条答案 D解析 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N ，P ，Q 分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH ，平面MNPQ 均与平面BDD 1B 1平行．平面EFGH 和平面MNPQ 中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．6．如图所示，在四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案 ①③7．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.8．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .9．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．10.如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 答案 (1)略 (2)略 解析 (1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE .又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB . 故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点， ∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23. 又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且A 1G ⊂平面A 1GH ，HG ⊂平面A 1GH ，BF ⊄平面A 1GH ，BE ⊄平面A 1GH ， ∴BF ∥平面A 1GH ，BE ∥平面A 1GH .又∵BF ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .11.(2013·福建文)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (3)求三棱锥D －PBC 的体积． 答案 (1)略 (2)略 (3)8 3 解析 方法一：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3.在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理，得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD .从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°， 得PD ＝4 3.正视图如图所示．(2)取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 中点， ∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3， ∴MN ∥CD ，MN ＝CD .∴四边形MNCD为平行四边形．∴DM∥CN.又DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴DM∥平面PBC.(3)V D－PBC＝V P－DBC＝13S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝43，所以V D－PBC＝8 3.方法二：(1)同方法一．(2)取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形．∴DE∥BC.又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△P AB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)同方法一．12.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?答案当M为AC中点时，BM∥平面AEF.解析方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊12EC .∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ . ∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF .∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF .又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．13．(2015·邯郸上学期二模)如图所示，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，AC 和BD 交于点G .(1)求证：AE ∥平面BFD ； (2)求三棱锥C －BFG 的体积． 答案 (1)略 (2)13解析 (1)证明：由题意可知G 是AC 的中点，连接FG . ∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF . ∵EB ＝BC ，∴F 是EC 的中点．在△AEC 中，FG ∥AE ，又∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD .(2)∵BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF . 又∵BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE . ∵AE ∥FG ，∴FG ⊥平面BCF . ∵G 是AC 的中点，F 是CE 的中点， ∴FG ＝12AE ＝1.∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE . ∴∠CBE ＝90°.∴在Rt △BCE 中，BF ＝12CE ＝CF ＝ 2.∴S △CFB ＝12×2×2＝1.∴V C －BGF ＝V G －BCF ＝13S △CFB ·FG ＝13×1×1＝13.14．(2014·安徽文)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． 答案 (1)略 (2)18解析 (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC . 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD . 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高． 由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4. 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK ，得GK ＝12PO .即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK ＝4＋82×3＝18.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练22
题组层级快练(二十二)1．cos2 015°＝( )A ．sin35°B ．－sin35°C ．sin55°D ．－sin55°答案 D解析 cos2 015°＝cos(5×360°＋215°)＝cos215°＝cos(270°－55°)＝－sin55°. 2．tan240°＋sin(－420°)的值为( )A ．－332B ．－32C.32D.332答案 C3．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)的值等于( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案 D解析 f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.故选D.4．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是() A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.5．(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝( )A ．tan xB ．sin xC ．cos x D.1tan x答案 D解析 (tan x ＋1tan x )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos xsin x ＝1tan x .6．若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1答案 A解析 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m . 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1，∴选A. 7．若A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( ) A.255B ．－255 C.55 D ．－55答案 B解析 cos 2(A ＋π4)＝[22(cos A －sin A )]2 ＝12(1－sin2A )＝45. 又cos A <0，sin A >0，∴cos A －sin A <0. ∴cos(A ＋π4)＝－255. 8．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2答案 A解析 由3sin α＝－cos α，得tan α＝－13. 1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 9．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12答案 D解析 ∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4.∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin2θ＝4.∴sin2θ＝12. 10．(2015·河北唐山模拟)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22B. 2 C ．－22 D ．－ 2 答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3.∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3. ∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3. ∴2tan 2α－22tan α＋1＝0.∴tan α＝22，故选A. 11．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 12．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)的值是( ) A ．0B.32 C ．1D.12答案 A解析 依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2<α<0，因此α＝－π3，故cos(α－π6)＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0. 13．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________． 答案 －35解析 由sin θ＝55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35. 14．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________． 答案 3解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34.又因为α∈(0，π2)，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 15．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________．答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1.16．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 答案 13，7 解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3. 即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13. 又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7. 17．(2015·浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos(α－π4)＝________. 答案 －74，34 解析 sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0. ∴cos(π4＋α)＝－1－(34)2＝－74. cos(α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34. 18．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值． 答案 55－95解析 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15. ∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95. ∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355. 与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2. ∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95. 19．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos(3π2＋α)－sin α·1＋cos α1－cos α－1. (1)化简f (α)； (2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值． 答案 (1)f (α)＝sin α＋cos α (2)－1225，－75解析 (1)f (α)＝sin α－sin α·(1＋cos α)21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α. (2)方法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425. ∴sin α·cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75. 方法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧ sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎨⎧ sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎨⎧ sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.1．已知cos A ＋sin A ＝－713，A 为第四象限角，则tan α等于( ) A.125B.512 C ．－125 D ．－512答案 C解析 ∵cos A ＋sin A ＝－713，① ∴(cos A ＋sin A )2＝(－713)2，∴2cos A ·sin A ＝－120169. ∴(cos A －sin A )2＝(cos A ＋sin A )2－4cos A sin A .∵A 为第四象限角，∴cos A －sin A ＝1713.② ∴联立①②，∴cos A ＝513，sin A ＝－1213. ∴tan A ＝sin A cos A ＝－125，选C. 2．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 答案 32解析 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练26
题组层级快练(二十六)1．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案 A解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos(x －π3)，则T ＝2π.2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.3．函数y ＝sin(π4－x )的一个单调递增区间为( )A ．(3π4，7π4)B ．(－π4，3π4)C ．(－π2，π2)D ．(－3π4，π4)答案 A解析 y ＝sin(π4－x )＝－sin(x －π4)，故由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，解得2k π＋34π≤x ≤2k π＋74π(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin(π4－x )的单调增区间为[2k π＋34π，2k π＋74π](k ∈Z )．4．(2015·湖南洛阳模拟)若函数y ＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.23π C.32π D.53π 答案 C解析 sin(－x 3＋φ3)＝sin(x 3＋φ3)观察选项．当φ＝32π时，等式恒成立．5．函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x 是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．6．函数g (x )＝sin 22x 的单调递增区间是( ) A ．[k π2，k π2＋π4](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π4](k ∈Z )C ．[k π2＋π4，k π2＋π2](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋π2](k ∈Z )答案 A7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.8．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0)B ．[－3,0)C ．(0，32]D ．(0,3] 答案 C解析 由于y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.9．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝sin x cos x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝cos 2x －sin 2x 答案 D解析 因为对任意x ∈R 有f (x )＝f (－x )且f (x －π)＝f (x )，所以f (x )为偶函数且f (x )的最小正周期为π.故A ，C 错．B 项中，f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x 为奇函数，故B 错，D 项中，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ，满足条件，故选D.10．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 答案 B解析 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π. 令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z .则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z . 令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎡⎦⎤π12，712π，故B 正确．画出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．11．(2015·南昌大学附中)设f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f (x )是偶函数的充要条件是( ) A ．f (0)＝1 B ．f (0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f (x )＝±cos ωx .而f ′(x )＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.12．(2015·北京顺义一模)已知函数f (x )＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数； ②函数f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f (x )的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由已知得，f (x )＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f (2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f (5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.13．(2013·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.14．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.15．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 答案2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin(3x ＋φ＋π3)是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.16．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x )＝cos x －a sin x ，∵x ＝5π3为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－a sin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233(－12sin x ＋32cos x ) ＝233sin(x ＋2π3)． 17．(2013·安徽理)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．18．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．答案 (1){x ∈R |x ≠k π，k ∈Z } T ＝π (2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )解析 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )． 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．1．(2013·浙江理)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 f (x )是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )；φ＝π2时，f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin ωx 为奇函数．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.2．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析 由题意知，f (x )在π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f (x )的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f (π2)>f (π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f (x )＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．3．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M 答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g (x )＝M cos(w x ＋φ)＝M sin(w x ＋φ＋π2)＝M sin[w (x ＋π2w )＋φ]，∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T2，可知，g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b －a 2得到的．∴得到g (x )图像如图所示．选C.4．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间．答案 (1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )(2)[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )解析 f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．5．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 答案 (1)12 (2)T ＝π，⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z 思路 (1)由sin α＝22与α的取值范围，求出cos α或α的值；再代入函数f (x )，即可求出f (α)的值．(2)利用二倍角公式与辅助角公式，化简函数f (x )，再利用周期公式，即可求出函数f (x )的最小正周期；利用正弦函数的单调性，即可求出函数f (x )的单调递增区间．解析 方法一：(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，∴cos α＝22.∴f (α)＝22⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练9
题组层级快练(九)1．下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝(13)1－xC ．y ＝(12)x －1 D ．y ＝3|x |答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x 的值域是正实数，∴y ＝(13)1－x 的值域是正实数．2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3.∴f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |> 2 D ．|a |< 2答案 C4．(2015·成都二诊)若函数f (x )＝(a ＋1e x －1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( )A ．－1B ．1C ．－12D.12 答案 D5．(2015·唐山一中模拟)函数y ＝(12)x ＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )答案 A解析 函数y ＝(12)x ＋1的图像如图所示，关于y ＝x 对称的图像大致为A 选项对应图像．6．若函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定答案 A解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 7．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( ) A ．－112B ．0C ．2D ．10答案 C解析 设t ＝2x ，∵x ∈[0，＋∞)，∴t ≥1. ∵y ＝3t 2－t (t ≥1)的最小值为2， ∴函数f (x )的最小值为2.8．(2015·山东师大附中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R 答案 B9．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝sin ax 的部分图像，其中a >0且a ≠1，则下列所给图像中可能正确的是( )答案 D解析 若a >1，则y ＝a x 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa <2π；若0<a <1，则y ＝a x 是减函数，且y＝sin ax 的周期T ＝2πa>2π.10．(2015·四川绵阳一诊)计算：23×31.5×612＝________. 答案 6解析 原式＝2×312×(32)13×1216＝2×312×313×2－13×316×213＝2×312＋13＋16×2－13＋13＝6.11．若指数函数f (x )＝a x 在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.答案 12或32解析 当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 是减函数，∴a －a 2＝a 2，∴a ＝12.12．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 答案 m <n解析 由于0<a <1，所以f (x )是减函数，再由f (m )>f (n )知m <n . 13．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．答案 m ≤－214．若0<a <1,0<b <1，且a log b (x －3)<1，则实数x 的取值范围是________． 答案 (3,4)解析 ∵log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4.15．(2015·沧州七校联考)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析 f (1)＝a 2＝19，a ＝13，f (x )＝⎩⎨⎧(13)2x －4， x ≥2，(13)4－2x， x <2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．16．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14? 答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x ∈[1a ，a ]，即t ∈[1a，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a)．∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时，t ∈[a ，1a]．∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上是增函数，∴y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.17．(2015·山东济南期末)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．答案 (1)m ＝－1 (2)[2，＋∞)解析 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0， ∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．18．(2015·烟台上学期期末)已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R .(1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )>2－x 成立，求实数k 的取值范围．答案 (1)k ＝－1 (2)(0，＋∞) 解析 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )．∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x ，即2x ＋k ·2－x >2－x 成立，∴1－k <22x 对x ≥0恒成立，∴1－k <(22x )min .∵y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x )min ＝1，∴k >0.∴实数k 的取值范围是(0，＋∞)．1．在如图中曲线是指数函数y ＝a x ，已知a 的取值为2，43，310，15，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a依次为( )A.43，2，15，310 B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43， 2 答案 A2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－|x |＋1，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(－1,2]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案 A解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝－2x ＋k 的图像，数形结合即可．。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练46含答案
题组层级快练 (四十六 )1．如是2015 年元宵灯展中一款五角星灯旋所成的三个形，照此律，下一呈出来的形是()答案A解析五角星角上的两花灯依次按逆方向亮一，故下一个呈出来的形是 A.2．已知 a1＝ 3，a2＝ 6，且 a n＋2＝ a n＋1－ a n， a2 016＝ ()A ． 3B．－ 3C． 6D．－ 6答案B解析∵a1＝ 3，a2＝ 6，∴a3＝ 3，a4＝－ 3，a5＝－ 6， a6＝－ 3，a7＝ 3，⋯，∴{ a n}是以 6周期的周期数列．又 2 016＝ 6× 335＋ 6，∴a2 016＝ a6＝－ 3. B.3．定一种运算“ *：” 于自然数n 足以下运算性：①1]()A ． n B． n＋ 1C． n－ 1D． n2答案A解析由 (n＋ 1)*1 ＝ n*1 ＋ 1，得 n*1 ＝(n－ 1)*1 ＋ 1＝ (n－2)*1 ＋ 2＝⋯＝ 1]4．出下面比推理命(其中Q有理数集，R数集，C复数集 )①“若 a， b∈R， a－ b＝ 0? a＝ b”比推出“若 a，b∈C， a－b＝ 0? a＝ b”．②“若 a， b∈R， a－ b>0 ? a>b” 比推出“若 a， b∈C， a－b>0 ? a>b”．③“若 a，b，c，d∈R，复数 a＋ bi＝ c＋ di? a＝ c，b＝ d”比推出“若 a，b，c， d∈Q，a＋ b 2＝c＋ d 2? a＝ c， b＝ d”．其中比获取的正确的个数是()A．0B．1C ． 2D ． 3答案C解析提示：①③正确．5． 察以下各式： a ＋ b ＝ 1，a 2＋ b 2＝ 3， a 3 ＋b 3＝4， a 4＋ b 4＝ 7，a 5＋ b 5＝ 11，⋯，a 10＋ b 10＝ ()A ．28B ． 76C ． 123D ． 199答案 C解析a n ＋b n ＝ f(n)， f(3) ＝ f(1) ＋ f(2)＝ 1＋3＝ 4；f(4) ＝ f(2)＋ f(3) ＝ 3＋ 4＝ 7；f(5) ＝ f(3)＋ f(4) ＝ 11.通 察不 f(n)＝ f(n －1)＋ f(n － 2)(n ∈N * ，n ≥ 3)， f(6) ＝ f(4)＋ f(5)＝ 18；f(7)＝ f(5) ＋ f(6)＝ 29；f(8)＝ f(6)＋ f(7)＝ 47；f(9) ＝ f(7)＋ f(8) ＝ 76； f(10)＝ f(8) ＋ f(9)＝ 123.因此 a 10＋b 10＝123.6．(2015 ·宁模 )在平面几何中有以下 ：正三角形 ABC 的内切 面 S 1 ，外接面 S ，S 1 ＝1，实行到空 可以获取 似 ：已知正周围体P － ABC 的内切球体2S 24V 1，外接球体V 2，V 1＝()V 21 1 A. 8B.91 1 C.64D.27答案DV 11 解析正周围体的内切球与外接球的半径之比1∶3，故体 之比 V 2＝27.7．已知 x ∈ (0，＋∞ )， 察以下各式：14 x x 4x ＋ x ≥ 2， x ＋x 2 ＝2＋ 2＋ x 2≥ 3，27 x ＋ x x 27x ＋ 3 ＝ 3 ＋ ＋ 3 ≥ 4，⋯，x 3 3 x比有 x ＋ an ≥ n ＋1(n ∈ N *)， a ＝ ()xA ． nB ． 2nC ． n 2D ． n n答案 D解析第一个式子是 n ＝ 1 的情况，此 a ＝ 1，第二个式子是 n ＝ 2 的情况，此 a ＝4，第三个式子是 n ＝3 的情况，此a ＝ 33， 可以知道a ＝n n .1 n8．已知 a n ＝ ( ) ，把数列 { a n } 的各 排成以下的三角形：3a 1 a 2 a 3a 4a 5a 6 a 7a 8 a 9⋯⋯A(s ，t)表示第 s 行的第 t 个数，A(11,12) ＝()1 671 68A ．(3)B ． (3)1 111 1 112C ． (3)D ． (3)答案 D解析三角形所 元素的个数1,3,5， ⋯ ，那么第 10 行的最后一个数 a 100，1 112.第 11 行的第 12 个数 a 112，即 A(11,12)＝ ( )39．(2015 ·州 ) △ ABC 的三 分a ，b ，c ，△ ABC 的面 S ，内切 半径2Sr ，r ＝. 比 个 可知： 周围体 ABCD 的四个面的面 分 S 1，S 2，S 3，S 4，a ＋b ＋ c内切球半径 r ，周围体 ABCD 的体 V ， r ＝ ()V2VA.＋S ＋S ＋SB. ＋S ＋S ＋SS 123 4S 12343V4VC.＋S ＋S ＋SD.＋S ＋S ＋SS 1 234S 1234答案 C解析周围体 ABCD 的内切球的球心 O ， 球心 O 到四个面的距离都是 r ，因此周围体 ABCD 的体 等于以 O 点，分 以四个面 底面的四个三棱 的体 的和， 周围体ABCD 的体1V ＝ ( S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4)r ，3因此 r ＝3V，故 C.S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 410．(2015 河·北冀州中学期末)如 所示，坐 上的每个 元格的 1，由下往上的六个点： 1,2,3,4,5,6的横、 坐 分 数列{ a n }( n ∈ N * )的前 12 ，以下表所示：a 1 a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按这样律下去， a2 013＝ ()A．501B． 502C． 503D． 504答案D解析由 a1，a3，a5，a7，⋯成的数列恰好数列 { x n} ，即 x n＝ a2n－1，当 n 奇数，n＋ 1x n＝.因此 a2 013＝x1 007＝ 504.211．在平面上，若两个正三角形的的比1∶ 2，它的面比1∶ 4.似地，在空中，若两个正周围体的棱的比1∶ 2，它的体比 ________．答案1∶ 8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它的面之比是相似比的平方．同理，两个正周围体是两个相似几何体，体之比相似比的立方．∴它的体比1∶8.12．数列 { a n} 是以 d 公差的等差数列，数列 { b n} 是以 q 公比的等比数列．将数列 { a n } 的相关量或关系式入“ LHQ 型比器”左端的入口，“ LHQ 型比器”后从右端的出口出数列{ b n} 的相关量或关系式，在右的“？” 是________．答案B n＝ b1× (q)n－1解析注意比的关系：＋→× ，÷→ 开方，×→ 乘方，0→ 1，因此B n＝b1× (q)n－1.13．已知数列 { a n} 等差数列，有等式a1－ 2a2＋ a3＝ 0，a1－3a2＋ 3a3－ a4＝ 0， a1－ 4a2＋6a3－ 4a4＋ a5＝0.(1)若数列 { a n} 等比数列，通比，有等式________；(2)通，写出等差数列{ a n} 的前 n＋ 1a1，a2，⋯，a n，a n＋1之的关系 ________．答案－ 2－33－1－46－4a5＝ 1(1) a1a2 a3＝ 1， a1a2a3a4＝ 1， a1a2 a3a4012(－1)n n(2)C n a1－ C n a2＋ C n a3－⋯＋C n a n＋1＝ 0解析因等差数列与等比数列之的区是前者是加法运算，后者是乘法运算，因此比律是由第一运算化到高一运算，从而解出第(1)；通察，已知等式的系数与二式系数相同，解出第(2) ．2233414．已知2＋3＝ 23，3＋8＝ 38，4＋15＝44 ，⋯，若6＋a＝ 6a，(a， t 均正数 )，比以上等式，可推a，t 的，15t ta＋ t＝ ________.答案 41解析依照中所列的前几的律可知其通n＋n＝ nn，因此当 n 22n － 1n － 1＝6 a＝ 6， t＝ 35，a＋ t＝ 41.15.如所示，在平面上，用一条直截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝ a2＋ b2.空中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条棱两两垂直的三棱，若三个两两垂直的面的面分面的有 ________．S1， S2， S3，截面面S，比平答案S2＝ S21＋ S22＋ S23解析建立从平面形到空形的比，在由平面几何的性比推理空立体几何的性，注意平面几何中点的性可比推理空几体中的性，平面几何中的性可比推理空几何中面的性，平面几何中面的性可比推理空几何中体的性．所以三角形比空中的三棱，段的度比形的面，于是作出猜想：S2＝S21＋ S22＋ S23.16． (2015· 日照段山)二空中的一度(周 )l＝ 2πr，二度(面 )S＝πr2，察S′＝ l ；三空中球的二度(表面) S＝4πr2，三度(体 )V＝ 43πr3，察V′＝S.已知四空中“超球”的三度V＝ 8πr3，猜想其四度W＝________.答案 2πr 4解析据归纳猜想可知 (2 πr 4 )′ ＝ 8πr 3 ，因此四维测度 W ＝ 2πr 4.17． (2014 陕·西理 )观察解析下表中的数据：多面体 面数 (F)极点数 (V)棱数 (E)三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10立方体6812猜想一般凸多面体中 F ， V ， E 所满足的等式是 ________．答案 F ＋V －E ＝2解析三棱柱中 5＋ 6－ 9＝ 2；五棱锥中 6＋ 6－ 10＝ 2；立方体中 6＋ 8－ 12＝ 2，由此归纳可得 F ＋ V －E ＝ 2.18．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：22① s in 13°＋ cos 17°－ sin13 cos17° °；②sin 215°＋ cos 215°－ sin15 cos15° °；③sin 218°＋ cos 212°－ sin18 cos12° °；④ s in 2(－ 18°)＋ cos 248°－ sin( － 18°)cos48 ；°22°－ sin( － 25°)cos55 .°⑤sin (－ 25 °)＋ cos 55 (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依照 (1)的计算结果，将该同学的发现实行为一个三角恒等式，并证明你的结论．答案(1)3(2)sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 344 解析 方法一： (1)选择②式，计算以下：sin 215°＋ cos 215°－ sin15 cos15° °＝1－ 11 32sin30 ＝°1－ 4＝ 4.223(2)三角恒等式为 sin α＋cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4.证明以下：sin 2α＋cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ s in 2α＋ (cos30 cos °α＋ sin30 sin °α)2－ sin α(cos30 °cos α＋ sin30 °sin α)2323 123 12＝sin α＋ 4cos α＋2 sin αcos α＋ 4sin α－ 2 sin αcos α－ 2sin α＝ 3sin 2α＋ 3cos 2α＝ 3. 444方法二： (1)同解法一．(2)三角恒等式为223sin α＋cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4. 证明以下：sin 2α＋cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)1－ cos2α 1＋ cos 60°－ 2α ＝ ＋－ sin α·(cos30 °cos α＋ sin30 °sin α) 2 21 1 1 1 3 12 ＝ 2－ 2cos2α＋ 2＋2(cos60 cos2°α＋ sin60 sin2°α)－ 2 sin αcos α－ 2sin α1 1 1 1 3 3 1 ＝ 2－ 2cos2α＋ 2＋4cos2α＋ 4 ·sin2α－ 4 sin2α－ 4(1－ cos2α)＝1－11＋134cos2α－ 4 4cos2α＝4.1．分形几何学是数学家伯努瓦 ·曼得尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题供应了崭新的思路，依照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．易知第三行有白圈 5 个，黑圈 4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比方第一行记为(1,0)，第二行记为 (2,1)，第三行记为 (5,4)．(1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________；(2)照此规律，第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为 ________．n －1 n －1－ 1(1)(14,13)(2)(3＋ 1，3答案22)(n ∈ N *)解析 (1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律：一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈，一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈，因此第 4 行的白圈个数为 5× 2＋ 4×1＝ 14，黑圈个数为 5× 1＋4× 2＝ 13，因此第四行的白圈与黑圈的“ 坐标 ”为 (14,13)．(2)第 n 行中的白圈和黑圈 数3n－1个， “ 坐 ” (a n,3n － 1－ a n )， 第 n ＋ 1 行中的白圈和黑圈 数 3n 个， “ 坐 ” (a n ＋ 1,3n－ a n ＋1) ＝ (a n ＋ 3n －1,2× 3n －1－a n )，即 a 1＝ 1，a n＋ 1＝ a n ＋ 3n －1? a n ＝3n －1＋ 13n －1＋ 1 3n －1－ 1)(n2 ，从而获取第 n 行中的白圈、黑圈的 “ 坐 ” ( 2 ，2∈N * )．2． (2013 ·湖北理 )古希腊 达哥拉斯学派的数学家研究 各种多 形数．如三角形数n n ＋ 11 2 1 1,3,6,10，⋯，第 n 个三角形数 2 ＝ n ＋ n. 第 n 个 k 形数 N(n ， k)(k ≥ 3)，以下22列出了部分 k 形数中第 n 个数的表达式：三角形数1 21N(n,3)＝ n＋ n ，22正方形数 N(n,4)＝ n 2，五 形数3 21N(n,5)＝ n－ n ，22六 形数 N(n,6)＝ 2n 2－ n ，⋯⋯可以推 N(n ， k)的表达式，由此 算 N(10,24)＝ ________.答案1 000解析 方法一：已知式了可化 ：1 21 3－2 24－ 3N(n,3) ＝2n ＋ 2n ＝2 n ＋2 n ，24－ 2 2 4－ 4N(n,4) ＝n ＝ 2 n ＋ 2 n ，3 2－ 1 5－ 224－ 5N(n,5) ＝2n ＋ 2 n ＝ 2 n ＋2 n ，26－2 2 4－6N(n,6) ＝2n － n ＝ 2 n ＋ 2 n ，由 推理，可得k － 2 24－ kN(n ， k)＝n＋n ，22 24－ 2 4－ 24故 N(10,24) ＝ × 102＋ × 10＝ 1 100－ 100＝ 1 000.2 2方法二：由 意，N(n ，k)＝ a k n2＋ b k n(k ≥ 3)，其中数列 { a k } 是以 12 首 ， 12 公差的等差数列，数列{ b k} 是以 1为首项，－21为公差的等差数列，因此2N(n,24)＝ 11n2－ 10n，当n＝ 10时， N(10,24)＝ 11× 102－ 10× 10＝ 1 000.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练10含答案
题组层级快练 (十 )11．(2015 四·川泸州一诊 )2lg2 － lg25的值为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 4答案B剖析2lg2 － lg 1＝ lg(2 2÷1)＝ lg100 ＝2，应选 B.25252．(log 29) ·(log 34)＝ ()11 A. 4 B.2 C． 2D． 4答案D剖析22lg3 lg2原式＝ (log 23 ) ·(log 32)＝ 4(log 23) ·(log 32)＝4· ·＝4.lg2 lg31 3．(2015 石·家庄一模 )已知 a＝32， b＝ log 11， c＝ log 21，则 ()233A ． a>b>c B． b>c>a C． c>b>a D． b>a>c答案A1111剖析因为 32>1,0<log<1， c＝ log2 <0，所以 a>b>c，应选 A.3234．已知函数 f(x)＝ 2＋ log 2x， x∈ [1,2] ，则函数 y＝f(x)＋ f(x2)的值域为 ()11A ． [4,5]B．[4，2 ]13C．[4，2 ]D． [4,7]答案B剖析y＝ f(x) ＋ f(x2 )＝ 2＋ log2x＋ 2＋ log 2x2＝ 4＋ 3log 2x，注意到为使得y＝ f(x)＋ f( x2)有意211义，必有1≤ x ≤ 2，得 1≤ x≤2，从而 4≤ y≤2 .5．(2014 四·川文 )已知 b>0， log 5b＝ a，lg b＝ c,5d＝ 10，则以低等式必然成立的是 ()A ． d＝ ac B． a＝ cdC． c＝ ad D． d＝ a＋ c答案B剖析由已知得 5a＝ b,10c＝ b，∴5a＝ 10c,5d＝ 10，∴5dc＝ 10c，则 5dc＝ 5a，∴dc＝a，应选 B.－1,3 x ，则 ( )6．若 x ∈ (e 1)， a ＝ lnx ， b ＝2ln x ， c ＝ ln A ． a<b<c B ． c<a<b C ． b<a<c D ． b<c<a答案 C剖析1,2，a<c ，因由 x ∈(e －1)，得－ 1<ln x<0 ，a －b ＝－ lnx>0，a>b ，a － c ＝ lnx(1－ ln x)<0 此有 b<a<c ，选 C.7．若点 (a ， b)在 y ＝ lg x 图像上， a ≠1，则以下点也在此图像上的是 () A ． (1， b)B ． (10a,1－ b)aC ． (10， b ＋ 1)D ． (a 2,2b)a答案 D剖析当 x ＝ a 2 时， y ＝ lga 2＝ 2lga ＝2b ，所以点 (a 2,2b)在函数 y ＝ lgx 图像上．8．设 log b N ＜ log a N ＜0， N ＞ 1，且 a ＋ b ＝ 1，则必有 ( )A ． 1＜ a ＜ bB ． a ＜ b ＜1C ． 1＜ b ＜ aD ． b ＜ a ＜ 1答案 B剖析∵0＞ log a N ＞ log b N? log N b ＞ log N a ，∴a ＜ b ＜1.9．若 0<a<1，则在区间 (0,1)上函数 f(x)＝ log a (x ＋ 1)是 ()A ．增函数且 f( x)>0B ．增函数且 f( x)<0C ．减函数且 f( x)>0D ．减函数且 f( x)<0答案D剖析∵0<a<1 时， y ＝ log a u 为减函数，又 u ＝ x ＋ 1 增函数，∴ f(x)为减函数；又 0<x<1 时，x ＋ 1>1 ，又 0<a<1，∴f(x)<0. 选 D.|log2 x|10．函数 f(x) ＝2 的图像大体是 ( )答案Cx ， x ≥ 1，剖析∵f( x)＝2|log2 x|＝ 1∴选C.x ， 0<x<1 ，11．设 a ＝ log 3π， b ＝ log 23， c ＝ log 3 2，则 ()A ． a ＞ b ＞ cB ． a ＞ c ＞bC ． b ＞ a ＞ cD ． b ＞ c ＞a答案A13＜log 22＝ 1，∴a ＞ b.又 b＝2log 2 3剖析∵a ＝ log 3π＞ log 33＝ 1， b ＝ log 2 ＝(log 23)2＞ 1，∴bc12log 32＞ c.故 a ＞b ＞ c.选 A.1＞1的解是()12．若 0＜ a ＜ 1，则不等式 log a xA ． x ＞ aB ． a ＜ x ＜1C ． x ＞ 1D ． 0＜ x ＜a答案 B剖析易得 0＜ log a x ＜ 1，∴a ＜ x ＜ 1.13．若 log a (x ＋1)>log a (x － 1)，则 x ∈ ________， a ∈ ________.答案(1，＋∞ ) (1，＋∞ )14．若 log a (a 2＋ 1)＜ log a 2a ＜ 0，则实数 a 的取值范围是 __________．答案(1， 1)2剖析∵a 2＋ 1＞1， log a (a 2＋ 1)＜ 0，∴0＜ a ＜ 1.1又 log a 2a ＜ 0，∴2a ＞1，∴a ＞2.∴实数 a 的取值范围是1(2， 1)．15．若函数f(x)＝ log a (x ＋ 1)(a>0，且a ≠ 1)的定义域和值域都是[0,1] ，则 a ＝ ________.答案2剖析f(x)＝ log a (x ＋ 1)的定义域是 [0,1] ，∴0≤x ≤ 1，则1≤ x ＋ 1≤ 2.当 a>1 时， 0＝ log a 1≤ log a (x ＋ 1)≤ log a 2＝ 1，∴a ＝ 2；当 0< a<1 时， log a 2≤ log a (x ＋ 1)≤ log a 1＝ 0，与值域是 [0,1] 矛盾．综上， a ＝ 2.log 2x ， x>0， 且关于 x 的方程 f(x)＋ x － a ＝0 有16．(2015 广·东韶关调研 )已知函数 f(x)＝3x ， x ≤ 0，且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 ________．答案 a>1剖析如图，在同一坐标系中分别作出y＝ f(x)与 y＝－ x＋ a 的图像，其中 a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a>1 时，直线y＝－ x＋ a 与 y＝ log 2x 只有一个交点．17．设函数f(x)＝ |lgx|，(1)若 0<a<b 且 f(a)＝f(b)．证明： a·b＝ 1；(2)若 0＜ a＜ b 且 f(a)＞ f(b)．证明： ab＜1.答案略剖析(1) 由 |lga|＝ |lgb|，得－ lga＝ lgb.∴ab＝1.(2)由题设 f(a)＞ f(b) ，即 |lga|＞ |lgb|.上式等价于 (lga)2＞ (lg b)2，即 (lg a＋ lgb)(lg a－ lgb)＞0， lg(ab)lg ab＞ 0，由已知b＞a＞ 0，得a0＜b＜1.a∴lg ＜0，故 lg( ab)＜ 0.∴ab＜ 1.18．已知函数f(x)＝ log a(x＋ 1)－ log a (1－x) ，a>0 且 a≠ 1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a>1 时，求使f(x)>0 的 x 的取值范围．答案(1){ x|－ 1< x<1} (2)奇函数(3){ x|0<x<1}剖析(1) f(x)＝ log a( x＋1)－ log a(1－ x)，x＋ 1>0 ，则解得－ 1<x<1.1－ x>0，故所求定义域为{ x|－ 1< x<1} ．(2)f(x)为奇函数．证明以下：由(1) 知 f(x)的定义域为 { x|－ 1<x<1} ，且 f(－ x)＝ log a(－ x＋ 1)－ log a(1＋ x)＝－ [log a(x＋ 1)－ log a (1－ x)]＝－ f(x)．故 f(x)为奇函数．(3)由 f(x)>0 ，得 log a(x＋ 1)－ log a(1 －x)>0.∴log a(x＋ 1)>log a(1－ x)．又 a>1，x＋ 1>0，∴ 1－ x>0，解得0<x<1.x＋ 1>1－ x，所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{ x|0<x<1} ．若 a>0 且 a≠1， x>y>0，n∈N*，则以下各式：n n n1① (log a x)＝ nlog a x；② (log a x)＝ log a x；③ log a x＝－ log a；④xlog a nx；x－ y x＋ y.⑥log a＝－ log ax＋y x－ yn1log a xlog a x＝n log a x；⑤n＝其中正确的有 ________．答案③⑤⑥。
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题组层级快练(四十一)1．若a ，b ∈R ，下列命题中①若|a |＞b ，则a 2＞b 2；②若a 2＞b 2，则|a |＞b ；③若a ＞|b |，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b |.其中正确的是( )A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④ 答案 C解析 条件|a |＞b ，不能保证b 是正数，条件a ＞|b |可保证a 是正数，故①不正确，③正确．a 2＞b 2⇒|a |＞|b |≥b ，故②正确，④不正确．2．(2015·宁波十校联考)设a ∈R ，则a >1是1a<1的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a >1或a <0.即a >1⇒1a <1，而1a<1 a >1，故选A. 3．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －bB ．(a b)12 C ．(a b)a －b D ．(b a )a －b 答案 D解析 方法一：(特殊值法)取a ＝2，b ＝1，代入验证．方法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1.∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<b a<1. 由指数函数性质知，D 成立．4．(2013·北京改编)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B ．a |c |>b |c |C.1a <1bD.a c 2＋1>b c 2＋1答案 D解析 方法一：(特殊值法) 令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入A ，B ，C ，D 中，可知A ，B ，C 均错，故选D.方法二：(直接法)∵a >b ，c 2＋1>0，∴a c 2＋1>b c 2＋1，故选D. 5．(2013·天津文)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．6．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>0答案 C解析 由题意知c <0，a >0，则A ，B ，D 一定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C.7．设a >b ，则下列不等式恒成立的为( )A ．(a ＋c )4>(b ＋c )4B ．ac 2>bc 2C ．lg|b ＋c |<lg|a ＋c |D ．(a ＋c )13>(b ＋c )13 答案 D解析 应用不等式的性质可以判断每个不等式成立与否，但要注意每个选项上来看都是对的，因此需要我们利用性质认真判别．当a >b ，a ＋c 与b ＋c 为负数时，由0>a ＋c >b ＋c ，得 0<－(a ＋c )<－(b ＋c )．所以0<[－(a ＋c )]4<[－(b ＋c )]4，即(a ＋c )4<(b ＋c )4.所以A 不成立；当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴B 不成立；当a >b ，得a ＋c >b ＋c ，但若a ＋c ，b ＋c 均为负数时，|a ＋c |<|b ＋c |，即lg|a ＋c |<lg|b ＋c |.故C 不恒成立．故选D.8．设a ，b ∈(－∞，0)，则“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C 解析 ∵(a －1a )－(b －1b )＝(a －b )(1＋1ab )，又1＋1ab >0，若a >b ，则(a －b )(1＋1ab )>0，所以a －1a >b －1b成立；反之，若(a －b )(1＋1ab)>0，则a >b 成立．故选C. 9．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1B ．log 12b <log 12a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <1答案 C解析 方法一：特值法．取b ＝14，a ＝12. 方法二：0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b >log 12a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.10．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 一方面，若0<ab <1，则当a <0时，0>b >1a ，∴b <1a 不成立；另一方面，若b <1a，则当a <0时，ab >1，∴0<ab <1不成立，故选D.11．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 C解析 a －b ＝ln23－ln326<0⇒a <b ， a －c ＝ln25－ln5210>0⇒a >c ，∴c <a <b . 12．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定答案 B解析 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2， 而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 13．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是______．答案 12<a <1 解析 ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∵log a (2a )<log a 1，∴2a >1，∴a >12，∴12<a <1. 14．已知a <0，－1<b <0，则a ，ab ，ab 2的大小关系是________．答案 a <ab 2<ab解析 ∵a －ab ＝a (1－b )<0，∴a <ab .∵ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2.∵a －ab 2＝a (1－b 2)<0，∴a <ab 2.综上，a <ab 2<ab .故填a <ab 2<ab .15．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z >y >x解析 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x .z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，故z 2>y 2，即z >y ，故z >y >x .16．若a >1，b <1，则下列两式的大小关系为ab ＋1____a ＋b .答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b )，＝1－a －b ＋ab ＝(1－a )(1－b )，∵a >1，b <1，∴1－a <0,1－b >0，∴(1－a )(1－b )<0，∴ab ＋1<a ＋b .17．已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小． 答案a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝ (a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a >0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小．答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 当a >1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1.又y ＝log a x 为增函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1.又y ＝log a x 为减函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．综上，对a >0且a ≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．19．求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；(2)(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．答案 略证明 (1)a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .(2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－a 2c 2－2acbd －b 2d 2＝(ad －bc )2≥0，∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．1．已知a ，b ，c ，d 为实数，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则在a ，b ，c ，d 中( )A ．有且仅有一个为负B ．有且仅有两个为负C ．至少有一个为负D ．都为正数答案 C解析 假设a ，b ，c ，d 均非负，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1，得a ，b ，c ，d 均在[0,1]中，所以ac ＋bd ≤a ＋b ＝1，但这与已知ac ＋bd >1矛盾，故假设不成立，从而a ，b ，c ，d 中至少有一个为负，即D 错误，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝－1，则可排除A ；再取a ＝3，b ＝－2，c ＝1，d ＝0，则可排除B ，故选C.2．若a ，b 为实数，则1a ＜1b成立的一个充分而不必要的条件是( ) A ．b ＜a ＜0B ．a ＜bC ．b (a －b )＞0D ．a ＞b 答案 A解析 由a >b ⇒1a ＜1b 成立的条件是ab ＞0，即a ，b 同号时，若a ＞b ，则1a ＜1b ；a ，b 异号时，若a >b ，则1a ＞1b. 3．如果一辆汽车每天行驶的路程比原计划多19 km ，那么在8天内它的行程s 就超过2 200 km ，如果它每天行驶的路程比原计划少12 km ，那么它行驶同样的路程s 得花9天多的时间，这辆汽车原计划每天行驶的路程(km)范围是________．答案 (256,260)解析 这辆汽车原计划每天行驶的路程为x km ，则⎩⎪⎨⎪⎧8(x ＋19)>2 200，9(x －12)<8(x ＋19)，解之得256<x <260. 4．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的________条件．答案 充分不必要解析 因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足；反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．5．设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)答案 ①④解析 对于①，若a －b ≥1，则a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1；又a >0，b >0，于是有a ＋b >a －b ≥1，此时(a ＋b )·(a －b )>1，这与“a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1”相矛盾，因此a －b <1，①正确．对于②，取a ＝2，b ＝23，有1b －1a＝1，此时a －b >1，因此②不正确．对于③，取a ＝9，b ＝4，有|a －b |＝1，但此时|a －b |＝5>1，因此③不正确．对于④，由|a 3－b 3|＝1，得|a －b |(a 2＋ab ＋b 2)＝1，|a －b |(a 2＋ab ＋b 2)>|a －b |(a 2－2ab ＋b 2)＝|a －b |3，于是有|a －b |3<1，|a －b |<1，因此④正确．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．答案 4解析 方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有4a 1＋4×32d ≥10，即2a 1＋3d ≥5；5a 1＋5×42d ≤15，即a 1＋2d ≤3，注意到a 4＝a 1＋3d ＝－(2a 1＋3d )＋3(a 1＋2d )≤－5＋3×3＝4，因此a 4的最大值为4.方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ S 4≥10，S 5≤15，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3. 求a 4＝a 1＋3d 最值．属于线性规划问题，平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥5，x ＋2y ≤3，求目标函数z ＝x ＋3y 最大值．目标函数z 是一组斜率为－13的平行线，直线越向上z 值越大，直线离开平面区域的最后一个点的坐标为(1,1)，所以z max ＝1＋3＝4.。