有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式
无序与有序分拆的双射关系
ｎ＝ ＋∑ ：０ ＋∑ｒｌ ｒ ｌ ｂ 叫做 正整 数 的 Ｆｏｅｉｓ ｒｂｎｕ 一 分拆 ． 引理 … 设 ｃ ０ ） 示 将 正 整 数 凡分 拆 成 （， 表
拆相关问题的一个恒等式 （ 即下述的引理… ）并 ，
（ ｏ ｋ 交替 出现 的无序分拆数． ｍｄ ） ２ 例 当 ｎ＝ ｋ＝３时 ， 含 最 大 分 部 量 为 ３ ５， 恰
× ５—１＝１ ， 部 数 为 奇 数 ， 分 部 量 ５与 ２ ４分 各 （ ｏ ） 替 出现 的无 序 分 拆 ：４，４＋ｌ ｏ ｒ ｄ６ 交 １ １ １＋８ １ ，４
＋ ５＋２ １ ，４＋１ １＋２，１ ４＋１ １＋８＋５＋２ 也 共 ５ ， 个．
对 应 的 ， 结论 成 立 ． 故
例
当 ＝ ５时 ， 分拆成分部量为奇数的有 ５
序 分拆 ： １ ＋ １ ５， ＋１ ３， ＋３＋１３＋１ ， ， ＋１ １＋１＋１＋
１＋１ 共 ５个 ． ，
再如 ， １＝ ， 取 ７ ４ ４的分 部量为奇数 的有 序分 ，
对 其进行 了一定 的研 究 ． 近 郭 育 红 和 黄凤 英 最
分部量为奇数 的有序分拆 数 ； （ ， ） ｃ ０ ｎ 表示将正
整数 １分 拆 成 恰 含 ｍ 个 分 部 量 且 分 部 量 为 奇 数 １ ， 的有 序分拆 数 ； Ｅ Ｏ 表示 将 正 整 数 ｎ分 拆 成 最 大 分 部量 为 ｎ的 ‘ 一 ’无 序 分拆数 ； Ｅ 奇 偶 Ｏ 表示有 ｍ个 分部 量且 最大分 部 量 为 ｎ的 ‘ 一偶 ’无 序 奇 分拆 数 ； ｃ （ ，）＝Ｄ ： 并且 ｃＯ 凡 ：Ｏ 则 ０ｎ Ｅ ， （ ，） Ｅ．
数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
正整数有序分拆的几个计数公式及n-colour有序分拆的一些新的组合性质
若正 整数 无 序 分 拆 的 一 个 分 部量 是 ， 则 可 对 该 ｚ ，
分部 量着 种色 ， 并分 别 记 ／ 色 为 ： ｌ ， ２ 种 ２ ２ ／ ， … ，
且 分 部量 的次 序为 ： ＜ ２ １ ＜ ２ ＜ ３ ＜ ３ ＜ ３ 。 。 。
＜ ４ ｌ＜ ４ ２＜ …
收稿 日期 ：０ ９０－０ ２ ０—９２ ．
在 的无序 分拆 中分部 量分 别 以奇数 和偶 数交替 出现 ， 最 小分 部量 是奇 数 的无序 分拆 ． 且
ｃ（ ＝ ２ － ） ＇１ ￣ ｃ（ ） ＝ ， ．
＋ １ ＋ ２ ，ｌ １ ＋ １ ＋ １ 共 ２ １ ｌ１ ＋ ｌ ｌ １ １个 ． ２０ ０ ３年 ， ａｗａ Ａ ６ 出 了正 整数 的无 Ａｇ ｒ ｌ ＫＬ 给
序分 拆 和 有序 分 拆 相 关 的一 个 恒 等 式 ： 正整 数
Ｊ ｎ ２ １ ａ． ０ ０
文 章 编 号 ：１ ７－９ Ｘ（０ ０ ０ —０ ５０ ６ ２６ １ ２ １ ） １０ ２ －４
－
正 整 数 有 序 分拆 的 几 个计 数 公 式及 ｃ ｌ 有 序 分拆 的一 些 新 的组 合 性 质 ｏｏ ｒ ｕ
郭 育 红
（ 河西 学院 数学系 ， 甘肃 张掖 ７ ４ ０ ） ３ ０ ０
２ ＋ １ ＋ １ ，２ １ ＋ １ ，１ １ ＋ １ ＋ １ 共 １ ｌ ｌ ｌ２ ＋ ｌ ｌ １ ＋ ｌ ｌ １ ３ 个． ０ ０年 ， ａｗａＥ ２０ Ａ Ｋ Ａｇ ｒ ｌ 又 拓 广 了 正 整 数 的 ‘ ２ ｏｏ ｒ ／ｃｌｕ 无 序分拆 ， 出了正 整数 的 ，ｃ ｌｕ 有 序 － 给 ｚ ｏｏ ｒ — 分拆．
第 ２ ４卷 第 １ 期 ２１ ０ ０年 １月
口诀教你巧解初中数学
口诀教你巧解初中数学导语：初中数学，对于很多同学来讲是学习上的一大难点，有的同学将大量的时间与精力都花费在对数学的学习上，可是成效却并不令人满意。
那么，怎样才能更快的学好初中数学呢？其实，掌握好的技巧与方式至关重要。
以下是关于初中数学解题方法的口诀公式：一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。
恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。
（a-b）2n+1＝-（b-a）2n+1（a-b）2n＝（b-a）2n平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
与有序分拆和无序分拆相关的几个新的恒等式
个 数 ” 随后 ， 学 界 产 生 了许 多 有 趣 的分 拆 恒 等 ． 数
式 一 引．
然而 ， 分拆恒 等式 的研究 中 ， 正整数 的无序 在 对
分拆与有序分拆相关的恒等式的讨论相对 比较少． ２０ ０ ３年 ， Ｇ Ｒ Ｌ 发现 了这类 问题 的 一个 Ｅ ｌｒ Ａ Ａ ＷＡ ｕ ｅ 型恒 等式 ， 并且 分别用分 析 和组 合方法 给 出了证 明．
中图 分 类 号 ： ５ Ｏ１７ 文 献 标 志码 ： Ａ
Ｅ Ｌ Ｒ给 出 了正整 数 的无 序 分拆 的第一 个 恒 ＵＥ 等式 ¨ ， 将 正整 数 分 拆 成 各 部分 为奇 数 的分 拆 Ｊ即“
的个数等 于将该正 整数分 拆成各 部分相异 的分拆 的
定义 ２ 设 ｎ为正 整数 ， 在 ｎ的有序分拆 ｎ＝ 若 ｎ ｎ ＋ ＋… ＋ 中 ， ｒ 部 分分 别 以奇 数 和偶 数 其 个 交 替 出现 ， 且部 分 ｎ 是 奇 数 ， 称这 个 有 序 分拆 为 则 ｎ的“ 一 ” 奇 偶 有序 分拆． 定义 ３ 设 ｎ为正 整数 ， 若在 ｎ的有序 分拆 ｎ＝ 凡 ＋ｎ ＋… ＋ 中 ， ｒ 部 分 分别 以偶 数 和奇 数 其 个 交替 出现 ， 部分 ｎ 偶数 ， 称 这 个 有序 分 拆 为 且 是 则 ｎ的 “ 一奇 ” 序分拆． 偶 有 定义 ４ 设 ｎ为 正整 数 ， 在 ｎ的 各部 分 互异 若
１
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ ０ ００ １ ； １９ １６ ） 高等学校博士学科点专项科研基金资助项 目（ ０ ７５ ４０ ） ２ ００ ７ ０６ 作者简介： 邢林燕 （９ ９ ， ， １７ 一） 女 广东揭阳人， 华南师范大学 ２ ０ 级 （０ ９ ） ０６ ２０ 届 硕士研究生 ， 揭阳职业技术学院讲师 ， 主要研究方 向： 组合数学 ，
【组合数学】04-基本计数问题
【组合数学】04-基本计数问题1. 基本计数1.1 统⼀模型 本篇来讨论⼏个基本的计数问题，这些问题虽然都有各⾃的模型，但本质上却有着内在的联系，因此我们先建⽴⼀个统⼀的模型。
现在有元素集E,F，它们的元素都有内在的结构，建⽴映射E→F，问题是这样的映射有多少个？满射和单射有多少个？ 所谓有内在的结构，就是元素间的拓扑结构，我们所说的映射个数，严格讲是在拓扑同构意义下的等价类的个数。
拓扑结构种类繁多，⽆法⼀⼀研究，本篇只探讨两个基本的拓扑结构，下⼀篇会做更⼀般性的讨论。
这个模型虽然对本章作⽤有限，但可以从更⾼的视⾓思考看待问题的本质，⽽且各个问题间联系也⼀⽬了然。
两个基本拓扑结构分别是：⽆序结构和有向链表。
⽆序结构中的元素是离散的、⽆差别的，在拓扑同构下可以互相替换。
有向链表中的元素是完全区分的，它的拓扑同构只有⾃⾝，当然只有⾃⾝的拓扑结构不⽌这⼀个，这⾥只要强调完全区分性，所谓有向链表可以当做是给每个元素编了号。
以下设E,F都是有限集，且记|E|=m,|F|=n。
1.2 模型1：可区分→可区分 可完全区分的结构⽐较简单，先来看E,F都是有向链表的情况，E,F分别纵向排列，E→F就是⼀般的函数定义。
对E的每个元素都有n 个值可以映射，由乘法原理便知映射⼀共有n m种。
这个结构有⼀个更常⽤、更直观的模型，考察由n个字母组成的集合S，⽤这些字母组成长度为m的单词x1x2⋯x m。
这个单词也被称S上的m元可重复排列，或m元字。
不难证明它和模型1的等价性，故S上的m元字有n m个。
现在对映射添加⼀些限制，⽐如假设E的第k个元只能取某n k个值，由乘法定理知可以有n1n2⋯n m个m元字。
再限制每个元素的映射不能相同，或者说字中没有重复字母，第k个元素只能取n−k+1个值。
这其实就是我们熟悉的n个元素中选m个元素的排列数P(n,m)（式（1）），其中表达式x(x−1)⋯(x−k+1)简记为(x)k，也叫做x的降k阶乘（x不要求是⾃然数）。
中科大-组合数学复习知识点
中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。
若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。
若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。
定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。
解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。
有关第二类stirling数的一些递推关系式
非空子集合的分拆数目就叫做第二类stirling数, 记作S2(n,r).
(1)S2(n,0)=0,S2(n,1)=1,S2(n,2),S2(n,n-1), S2(n,n)=1.(课本) (2) n≥4时,S2(n,n-2); 当n≥6时,S2(n,n-3); n≥8时,S2(n,n-4); n≥10时,S2(n,n-5); n≥12时,S2(n,n-6).
展示论文
• 论文格式:一篇完整的论文应包括题目、摘 要、关键词、论文的内容、参考文献。 • 注意事项: (1)题目: 应当简明、具体、确切地反映出本文 的特定内容. (2)摘要:是一篇论文的浓缩和精华.主要说明文 章主要用什么方法解决了什么问题,得到什 么结论.还有阐述一下其研究意义.结构要严 谨，表达要简明.
提取方法,解决问题
方法: 可以通过类比,迁移,归纳等形式去提取重要的 解决问题的方法. 举例:
对于研究正整数的分拆问题的基本方法大致有两种： (1)分析方法：即利用超几何级数构造出正整数的分 拆数的生成函数, 从而利用级数的分析性质来研究 正整数的分拆数的代数, 组合性质; (2)组合方法：即利用正整数分拆的 Ferrers图表示形 式, 将 Ferrers 图作几何变换, 进而建立一种一一 对应关系来研究分拆数的性质.
1. 选择自己有兴趣的相关领域;
2. 在该领域中发现问题; 3. 研究和解决问题;
4. 整理成文.
一.科学. 它主要包括以下内容: (1)计数问题: 如整数分拆,Stirling数
(2)存在性问题: 如鸽笼原理,四色猜想
(3)设计问题: 如组合设计,编码理论 (4)最优化问题: 如最短路问题,最大流问题
发现问题是写论文的一个重要的环节,是解 决问题的前奏.所以我们要具有敏锐的眼光 和灵活的头脑,善于思辨、习惯于归纳整理. 下面是发现问题的一般步骤:
一些对相邻部分限制的分拆和有序分拆的等式
一些对相邻部分限制的分拆和有序分拆的等式本文的主要结果是一些关于对相邻部分进行限制的分拆和有序分拆的等式,其中包括两个关于overpartition的Rogers-Ramanujan型等式,由Andrews给出的两个Rogers-Ramanujan型等式的组合证明,一个揭示了anti-lecture hall 有序分拆和overpartition之间的深层关系的等式,以及对首部分限制的lecture hall分拆的生成函数式。
欧拉分拆定理被看作是第一个分拆定理,它指出把n分成不同部分的分拆的个数等于n的奇分拆的个数。
欧拉分拆定理预示着大量的更深的分拆等式。
正如我们看到的,欧拉分拆定理涉及的是相邻部分的差不小于1的分拆,追寻这个思路,欧拉定理之后的一大类分拆等式研究了对相邻的部分之差或者是相邻的整数在分拆中出现次数进行限制的分拆。
涉及"2-distinct"分拆的Rogers-Ramanujan等式是这一大类分拆等式中最著名的一个。
Schur,Gordon, Gollnitz, Bailey, Slater, Andrews等数学家都在发现和证明Rogers-Ramanuj an型等式中做出重要工作。
Baxter, Andrews, Forrester等人将Rogers-Ramanuj an型恒等式介绍到了物理学中,展示了它在统计力学的hard hexagon模型中的重要应用。
在本文的第二章中我们研究了一些Rogers-Ramanujan型等式。
首先我们发现了两个新的关于overpartition的Rogers-Ramanujan型等式,并且通过应用Andrews的一个转换公式给出了它们的代数证明。
进一步地,我们通过考虑overpartition的连续Durfee剖分给出了其中一个等式的组合解释。
另外,我们还给出了由Andrews发现的两个Rogers-Ramanujan-Gordon型等式的对合证明。
关于有序分拆积求和的一些研究
关于有序分拆积求和的一些研究近年来，分拆积（Splitting Summands，SS）一直受到学者们的关注，且在许多领域都有被广泛应用，特别是有序分拆积（Ordered Splitting Summands，OSS）在各种研究领域中都大有可为。
有序分拆积是指给定的函数的固定总和的情况下，分拆积的求和顺序对函数的值有影响的情况。
因此，有序分拆积的本质是一种排序问题。
近年来，有序分拆积的研究也有着持续的发展，得到了广泛的应用。
有序分拆积主要应用于动态规划、多能源最优化、供应链设计、关节优化、运输及其它等领域，且常被使用于两个重要点：一是确定给定函数最优分拆积序列，二是计算函数固定总和时的最优分拆积和。
因此，有序分拆积求和的难点是给定函数的固定总和情形下的最优分拆积序列的确定及最优值的求解。
主要研究方法大致可分为三大类：枚举法、迭代法和现代运筹学方法。
枚举法是将函数分拆积的全部可行方案枚举出来，通过计算、比较以找出最优结果，但这种方法数值计算量较大，计算负担很重。
迭代法主要由两种方法：局部搜索算法及大规模约束最优化。
局部搜索算法基于单步搜索策略，在满足约束条件的情况下，采用启发式的思路，通过动态贪心算法或其他启发式算法，给出一个让总值更加最优的分拆积序列；虽处理过程简单，但在多目标优化中，其精度及最终结果有一定局限性。
大规模约束最优化在约束优化方法上进行改进，采用计算机解题技术，以减少解题时间与内存占用，从而改善有序分拆积求和的结果。
最后，现代运筹学方法也可根据解题变化趋势调整参数，使得求解过程变得更加简便，可减少有序分拆积求和的运算非常。
总的来说，论文研究了有序分拆积与求和的关系。
分拆积有着实际的意义，在多个领域得到了广泛的应用，而有序分拆积的求和则是一类复杂的排序优化问题，研究者也在不断地进行改进，以期找到更为精确的解题方案。
§ END OF DOC。
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式
有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式2010年5月第33卷第3期四川师范大学(自然科学版)JournalofSichuanNormalUnivemity(NaturalScience)May,2010V o1.33.No.3有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式庞荣波(聊城大学东昌学院,山东聊城252000)摘要:自从欧拉对正整数的分拆进行正式研究后,现在该问题已成为组合数学,图论,数论研究的一个重要课题.近年来,一些国内外数学研究者对研究有序分拆与无序分拆提出了新的思路和方法.在研究正整数的无序分拆与有序分拆相关问题的基础上,利用Agarwal的组合法和Frobenius 一分拆,获得了一些无序分拆与有序分拆之间的恒等式,并给出了一些有序分拆的分拆数计算公式,此结论进一步丰富和发展了正整数分拆理论.关键词:无序分拆;有序分拆;分拆恒等式中图分类号:O157.1文献标志码:A文章编号:1001—8395(2010)03—0312—05 doi:10.3969/j.issn.1001—8395.2010.03.0081定义2003年A.K.Agarwal…发现了正整数有序分拆与无序分拆相关问题的一个恒等式,并且分别用分析法和组合法给出证明.最近郭育红和黄凤英等[3利用Agarwal的组合法也得到了一些关于有序分拆与无序分拆之间的恒等式.本文在参考其他相关文献(见文献[4—13])的基础上,对上述问题进行了研究,最后得到了一些新的分拆性质定理,较为系统地阐述了有序与无序分拆之间存在的恒等式.首先,给出一些相关的定义.定义1[1正整数n的奇一偶无序分拆是指在n的元序分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现,且最小分部量是奇数的无序分拆.定义2[1】一个2行非负整数矩阵f??…其中aI>a2>…>ar≥o'6,bl62…O,/>b2>…>b,≥o,且凡=r十∑口+∑b叫做正整数的Frobenius一分拆.例如,无序分拆仃=7+7+5+4+4+1对应的Fr.benius一分拆为(:53,2).定义3[3]一个k一弯(即k—bend)是指在第一行和第一列各有k个点的一个向右弯曲的图.例如,7r3:5+4+2对应的Ferrers图为:00000000OO00O0OO0OO并且给出无序分拆仃,=a1+a2+…+a,,它与一个有r个连续的弯,即a一弯,a一弯,…,a,一弯的Ferrers图一一对应.2主要结果2.1有序分拆与无序分拆的恒等式文献[2]给出了下面两个引理:引理1将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数等于恰含最大分布量为n,且满足Frob.nis一分拆f?b.z…?1(其中6是奇数,\blbz…6,,为偶数)的自共轭无序分拆数.引理2将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数等于最大分布量为2n一1,并且各分布量为看3(rood4)的奇无序分拆数.根据上述两个引理,可以得到下面的新推论:推论1恰含最大分布量为,且满足Frobenius收稿日期:2009一l2—25基金项目:国家自然科学基金(10871116)和山东省自然科学基金(Y2006A04)资助项目作者简介:庞荣波(1969一),男,讲师,主要从事分拆理论,算法优化设计的研究第3期庞荣波:有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式313一分拆f61b2…Dr1(其中6是奇数,为偶数)\b1b2…b,,的自共轭无序分拆数等于最大分布量为2n一1,并且各分布量为3(mod4)的奇无序分拆数上面引理中讨论了将正整数n分拆成分布量为偶数的有序分拆数的问题,那么对于任意正整数n的有序分拆数又会怎样呢?本文将给出一些新的结论.定理1凡的有序分拆数等于恰含最大分布量几,并且各分布量互不相同的无序分拆数.证明(组合法)设仃是一个最大分部量为n,各分部量互不相同的无序分拆.在该分拆对应的Ferrers图中作两条轴线轴,Y轴,使得这两条轴线分别在距离最下一行和最左一列一个单位处,从而得到一个坐标平面.然后在每行的最右一个点分别做Y轴的平行线,再从左向右确定这些平行线中每一条距前一条的距离(y轴也要考虑).即设从左到右这些平行线与轴的交点的横坐标分别为,:,…,(其中仃的分部数不妨设为m).由于,:一1,3一2,…,一一1都不等于零,并且=n.于是l+(2一1)+(3一2)+…+(m一m—1)就是正整数n的一个有序分拆.由于这种对应是一一的,所以定理的结论成立.例1取n=4,4的有序分拆为:4,1+3,3+1,2+2,2+1+1,1+2+l,1+1+2,1+1+1+1,共8个.恰含最大分布量为4且各分布量互不相同的无序分拆为:4,4+3,4+2,4+1,4+3+2,4+3+1,4+2+1,4+3+2+1,也共8个.定理2恰含最大分布量为n,且满足Frob.i.一分拆f?b.2…?1的自共轭无序分\blb2…b,/ 拆数等于恰含最大分布量为n,并且各分布量互不相同的无序分拆数.证明给出一个最大分布量为n,并且各分布量互不相同的无序分拆,设7r,=a,+a+…+a(其中a=凡),它与一个有r个连续的弯的Ferrers图一一对应.而这r个连续的弯的Ferrers图是自共轭的,故定理的结论成立.例2由上例知恰含最大分布量4且各分布量互不相同的无序分拆为共8个.恰含最大分布量为4,且满足Frobenius一分拆fb2…1与上\61b2…br/面一一对应的自共轭无序分拆为:(;),(33), (31),(,(22),(22(;,(;22,也共8个.推论2/1,的有序分拆数等于恰含最大分布量为凡,且满足Frobenius一分拆(:::)的自共轭无序分拆数.事实上,上面提到的文献[2]中的两个引理是定理1,2中当为偶数时的特例.作为另外的特例情况,我们来看一下对于任意奇数n分拆成分布量为奇数的无序与有序分拆情况.定理3设rl,为奇数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为n,且满足ius一分拆6b,2r)(其=n-1为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆数.证明在恰含最大分部量为n,且满足Fr0beniuS一分拆2(其=n-1为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆中取出其第一行b,b,…,b,(它们是奇偶交替出现且最前一个与最后一个为偶数), 让其中每个数都加1得到b1+1,b2+1,…,b,+1(它们也是奇偶交替出现,b1+1=n),再以b+1作为Ferrers图中的第i行,然后在Ferrers图中作两条轴线轴,Y轴,使得这两条轴线分别在距离最下一行和最左一列一个单位处.然后在每行的最右一个点分别做Y轴的平行线,再从左向右确定这些平行线中每一条距前一条的距离(Y轴也要考虑).假设从左到右这些平行线与轴的交点的横坐标分别为1=b,+1,2=b1+1,…,,=bl+1,由于各分部量互不相同且奇偶交替出现,所以,:一,3一2,…,,一r-1都为奇数,并且=.于是1+(2一1)+(3一2)+…+(,一1)就是正整数n的一个有序奇分拆.由于这种对应是一一的,所以定理的结论成立.例3取n=5,5的奇有序分拆:5,1+1+3,314四川师范大学(自然科学版)33卷1+3+1,3+1+1,1+1+1+1+1,共5个.而恰含最大分部量为5,且满足Frobenius一分拆f?b,2…6r1(其中6.=4,6互不相同且奇偶,0102…or/交替出现,r为奇数)与之一一对应的自共轭无序分拆:(),f43201,也共5个.,432l0/定理4恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆(:2)(鼽n-1为b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆数等于分部量互不相同,恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.证明给出一个分部量互不相同,恰含最大分部量为2凡一1,其他分部量一3和1(rood4)交替出现, 且最小分部量;1(rood4)的—个奇无序分拆,由结论1知:给出—个不重复的奇的无序分拆,必有一个自共轭的Ferrers图与之——对应,由于该Ferrers图中的各弯点数都是;3和1(rood4)交替出现的,故可得到一个与之一一对应的恰含最大分部量为n,且满足beni一分拆2㈡(其…?为偶数,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆.例4取n=5,由上例知恰含最大分部量为5,且满足Frobenius一分拆(:::2,===::)c其中b,=4,b互不相同且奇偶交替出现,r为奇数)的自共轭无序分拆共5个.而分部量互不相同,最大分部量为9,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)与之一一对应的奇无序分拆:9,9+7+5,9+7+1,9+3+1,9+7+5+3+l,也共5个.推论3设n为奇数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于各分部量互不相同,最大分部量为2一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.我们再看看将偶数拆分为奇数和的问题,以下的证明同前面的基本类似.定理5将偶数分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆f?b,2…?1(其中6.:n一1为奇数,6,0102…0r/互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)的自共轭无序分拆数.例5取n=6,6的分部量为奇数的有序分移:1+5,5+1,3+3,1+1+l+3,1+3+1+1,1+1+3+1,3+1+1+1,1+1+1+1+1+1,共8个.而恰含最大分部量为n,且满足Frobenius一分拆(:::,2===::)(其中其中6=5互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)与之一一对应的自共轭无序分:(三),(),(三),(44;吕),,(44l0),(22三),f54320/,也共8个.\5432l0/定理6设n为偶数,将n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量;1(rood4)的奇无序分拆数.例6取n=6,由上例知6的分部量为奇数的有序分拆数是8.而分部量互不相同,恰含最大分部量为11,其他分部量一3和1(rood4)交替出现,且最小分部量1(rood4)与之一一对应的奇无序分拆:11+9,11+5,11+1,1l+9+7+5,11+9+7+1,11+9+3+1,11+5+3+1,11+9+7+5+3+1,也共8个.推论4恰含最大分部量为n,且满足Fr.benius一分拆(::,2:::::)c其中6-=凡一为奇数,b互不相同且奇偶交替出现,r为偶数)的自共轭无序分拆数等于分部量互不相同,恰含最大分部量为2n一1,其他分部量;3和1(rood4)交替出现,且最小分部量1(mod4)的奇无序分拆数.上面讨论了n为奇数和偶数时分拆成分部量为奇数的有序分拆数与相应的元序分拆之间的关系,那么对于任意自然数n分拆成分部量为奇数时第3期庞荣波:有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式315 又将如何?我们给出如下的定理:定理7将任意自然数/7,分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为/l,且满足Frobenius一分拆(:::2,===::)(其中bi互不相同且奇偶交替出现)的自共轭无序分拆数.定理8将任意自然数分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于恰含最大分部量为的奇一偶无序分拆数.例7取n=6,已经知道6分拆成分部量为奇数的有序分拆数是8.恰含最大分部量为6的奇一偶无序分拆有:6+5,6+3,6+1,6+5+4+3,6+5+4+1,6+5+2+1,6+3+2+1,6+5+4+3+2+1.也是8个.推论5恰含最大分部量为n的奇一偶无序分拆数等于恰含最大分部量为//,,且满足Frobenius一分拆(bl:2,===(其中互不相同且奇偶交rbi替出现)的自共轭无序分拆数.下面我们在给出n分拆成恰含/77.个分布量的相关定理:定理9将/7,分拆成恰含/7/,个分布量的有序分拆数等于恰含m个分布量,各分部量互不相同且最大分布量为n的无序分拆数.例8取n=5,5的恰含3个分布量的有序分拆为:1+1+3,1+3+1,3+1+1,2+2+1,2+1+2,1+2+2,共6个.恰含3个分布量,且最大分布量为5的无序分拆为:5+4+3,5+4+2,5+3+2,5+4+1,5+3+1,5+2+1,也共6个.定理1O将n分拆成恰含m个分布量的有序分拆数等于恰含最大分布量为n,并且满足Fr.benius一分拆(6bj:2,:::::)(其中bl:n一1,r=m)的无序分拆数.例9取n=5,由上例知5的恰含3个分布量的有序分拆共6个.而恰含最大分布量为5,并且满~_Frobenius-分拆b1.20,2(其-4,分拆6,…6:)其中6=4,r=3,的无序分拆为:(:),(:),(三21),(三330),(三,(三l0),也共6个.推论6恰含最大分布量为n,并且满足Frobenius一分拆(:::,2:::::)c其中bl=n一1,r=m)的无序分拆数等于恰含m个分布量,各分部量互不相同且最大分布量为n的无序分拆数. .由此可知文献[2]中定理2.1和2.2是定理9,l0的特殊情况.2.2有序分拆计数公式文献[1]给出了正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数递推公式,即: 设正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数为0,则0的递推公式为0+2=0+1+0,其中,0:=0=1.同样利用排列组合我们可以推得下面几个有序分拆数:定理11设偶数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数为0:,则D:+:30;+:一D:,其中,De=3,D;=1.例100:=30;一O;=9—1=8,即6分拆成分部量为奇数的有序分拆有8个.同样可知D;.=30;一O;=3(3D;一0i)一D;=3(3X8—3)一8=55,即1O分拆成分部量为奇数的有序分拆有55个.定理12设将奇数/7,分拆为分部量为奇数的有序分拆数为0:,则o=3D:+:一0:,其中,O=2,O=1.侈411O;=30;一O;=3(30;一O)一O;=3(3×2—1)一2=13,即将7分拆为分部量为奇数的有序分拆有l3个:7,1+1+5,1+5+1,5+1+1,1+3+3,3+1+3,3+3+1,1+1+1+1+3,3+1+l+1+1,1+3+1+1+1,1+1+3+1+1,1+1+1+3+1,1+1+1+1+1+1+1.而O;=30;一O=3×13一(3O;一O)=39—5=34,即将9分拆为分部量为奇数的有序分拆数是34.定理13设将偶数t'2分拆为分部量为偶数的有序分拆数为,则+:=2E:,其中E;=1.316四川师范大学(自然科学版)33卷椤912=2=4=8=8,即将8多拆2,2+2+4,4+2+2,2+4+2,2+2+2+2.为分部量为偶数的有序分拆有8个:8,4+4,2+6,6+参考文献[1]AgarwalAK.AnanalogueofEuler'sidentityandnewcombinatorialpropertiesofn—colourcompositions[J].ComputationalandAppliedMathematics,2003,160:9—15.[2]郭育红.与正整数的元序分拆和有序分拆相关的一些恒等式[J].数学,2007,50(3):707—710.[3]黄凤英,柳泊廉.与有序分拆相关的一些恒等式[J].数学,2009,52(2):403—408.[4]王立欣,何文杰,于新凯,等.正整数rt的m一分拆及其应用[J].应用数学与计算数学,2000,1:31—36.[5]Gessell,StantonD.Applicationsofq—Lagrangeinversiontobasichypergcometrieseries[J].TranssAmMathSoc,1983,227(1):73—201.[6]郭育红,张先迪.整边三角形与正整数的一类分拆数[J].四川大学:自然科学版,2009,46(1):17—20.[7]陈芳,黄益如.经典Lueas—Fibonaeci数列的上,下界公式研究[J].应用数学与计算数学,2007,1:116—120.[8]庞荣波.正整数分拆中的特殊恒等式[J].山西师范大学:自然科学版,2009,32(4):15—18.[9]AlladiK.DiscreteMath,1999,196:1—11.[10]Man$ollFT,SunY.Onthenumberofcombinatorieswithoutcertainseparations[J].Euro 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PartitionIdentityandCountingFormulaebetweenPartitionsandCompositions PANGRong—bo(Collegeo,Dongchang,IockUn/vers,L/aocheng252000,Shandong)Abstract:AfterLeonhardEulerstudiedformallythepartitionofpositiveinteger,thisproblemhasalreadybecomeanimportant topicintheresearchofthecombinatorialmathematics,graphtheory,numbertheory.Recently ,somemathematicalresearcher8athome andabroadputforwardnewideasandmethodsaboutpartitionsandcompositions,onthebasis ofrelatedproblemsbetweenpartitionsandcompositionsofpositiveintegers,byusingAgarwal'ScombinatorialmethodandFroben ius—partitionstudyingsomeidentitiesbe- tweenpartitionsandcompositionsandcountingformulaeofthecompositionsaregiven.Thec onclusionenrichedandpromotedthepatti-tionofpositiveintege.Keywords:partition;compositions;partitionidentity2000MSC:05A17;11P82(编辑余毅)。
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关于正整数有序分拆的一些恒等式和n-colour有序分拆的两个组合性质郭育红【摘要】This paper discusses some relations between partitions and compositions of integers. As main results, some identities between partitions and compositions are obtained. Further, two combinatorial properties of the n-colour compositions, involving Fibonacci numbers and the number of compositions of n in with no part 1 appearing, are also presented.% 研究了正整数的无序分拆与有序分拆的关系。
给出了正整数的无序分拆与有序分拆的一些恒等式。
并且利用菲波拉契数与正整数 n 分拆成不含分部量1的有序分拆数的关系给出了n-colour有序分拆的两个组合性质。
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2012(000)005【总页数】6页(P590-594,613)【关键词】分拆恒等式;n-colour有序分拆;组合性质;菲波拉契数【作者】郭育红【作者单位】河西学院数学系,甘肃张掖 734000【正文语种】中文【中图分类】O157关于正整数无序分拆的第一个恒等式是由Euler[1]给出的.即:“将正整数分拆成分部量为奇数的分拆数等于将正整数分拆成互不相同的分部量的分拆数”.分拆恒等式一直吸引着数学工作者,同时也产生了许多丰富的结果[2-3].如著名的Rogers-Ramanujan恒等式曾是分拆理论中非常重要而有趣的一部分内容.然而,在分拆恒等式的研究中,对于与正整数的无序分拆和有序分拆相关的恒等式讨论的却相对比较少.2003年,文献[4]发现了与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一个恒等式,并且分别用分析和组合方法给出了证明.文献[5-7]的作者相继讨论了一些与正整数的无序分拆和有序分拆相关的恒等式.本文第二节在文献[5]的基础上利用Agarwal的组合方法又给出了一些关于正整数有序分拆的恒等式.在第三节,利用菲波拉契数与正整数的n-colour有序分拆的关系又得到了正整数的n-colour有序分拆的两个组合性质.首先,给出几个定义:定义 1.1[8]一个2行非负整数矩阵:叫做正整数n的Frobenius-分拆.正整数的任意一个无序分拆都能表示成Frobenius-分拆.事实上,在无序分拆的Ferrers图中,假设主对角线上有r个点.将这r个点删掉,然后将主对角线右上方的点分别按各行计算,并将各行的点数仍以Ferrers图中行排列的顺序排成矩阵的第一行;同样将主对角线下方的点分别按各列计数,将各列的点数仍以Ferrers图中列排列的顺序排成矩阵的第二行,如果在Ferrers图中第r行(列)没有点就用“0”计.于是就得到与该无序分拆对应的Frobenius-分拆.定义 1.2[4]正整数n的“奇-偶”无序分拆是指在n的无序分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现,且最小分部量是奇数的无序分拆.定义 1.3[5]正整数n的一个“奇”无序分拆是指其分部量为互不相同的奇数的无序分拆.定义 1.4[5]正整数n的一个“偶”无序分拆是指其分部量为互不相同的偶数的无序分拆.定义 1.5[4]一个k-弯是指在第一行和第一列各有k个点的向右弯曲的图.例如,下图就是一个3-弯:在文献[4-5]中已经证明了下述定理:定理 1.1[4]将正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于将正整数分拆成最大分部量为n的“奇-偶”无序分拆数.定理 1.2[5]将偶数n分拆成分部量为偶数的有序分拆数等于将正整数分拆成最大分部量为n的“偶”无序分拆数.注本文中未加说明的概念或符号的含义与文献[2]中的相同.给出下面的定理:定理 2.3 正整数n的有序分拆数等于最大分部量为2n−1的“奇”无序分拆数. 证明将定理 2.2中最大分部量为 n且满足 Frobenius-分拆的自共轭无序分拆对应的Ferrers图中的每一个k-弯拉直就得到最大分部量为2n−1的“奇”无序分拆数.例 4 取n=4,则最大分部量为7的“奇”无序分拆有:文献[9-10]拓广了正整数无序分拆的概念,给出了正整数的n-colour无序分拆.即在正整数ν的无序分拆中对于每一个分部量n着n种不同的颜色.他们将这n种不同的颜色用下标表示为:n1,n2,…,nn.类似正整数的有序分拆,文献[11]又定义了n-colour有序分拆.即在n-colour无序分拆中考虑了分部量的顺序.例如,3有8个n-colour有序分拆:关于n-colour有序分拆的许多性质见文献[10-11].文献[11]给出了下述结果:引理 3.1[11]设C(m,ν)和C(ν)分别表示正整数ν分成m个分部量的n-colour有序分拆数和ν的所有n-colour有序分拆数;c(m,q)和c(q)分别表示c(m,ν)和c(ν)的生成函数.则其中,Fn表示第n个Fibonacci数.文献[4]利用正整数有序分拆和无序分拆的关系以及菲波拉契数与n-colour有序分拆的关系给出了n-colour有序分拆的一些组合性质.在这一节中,将利用菲波拉契数以及文献[5]给出的正整数不含分部量1的有序分拆的组合性质给出n-colour有序分拆的两个组合性质.首先给出下面引理.于是,得到ν的n-colour有序分拆的两个组合性质:定理 3.1 正整数ν的n-colour有序分拆数等于2ν+1不含分部量1的有序分拆数. 证明由引理3.2知2ν+1不含分部量1的有序分拆数等于第2ν个菲波拉契数F2ν,又由引理3.1的(4)式可知ν的n-colour有序分拆数等于F2ν,故正整数ν的n-colour有序分拆数等于2ν+1不含分部量1的有序分拆数.由引理3.3和定理3.1就得到下面的性质:定理 3.2 正整数ν的n-colour有序分拆数等于最大分部量是2ν+1,各分部量≠1且相邻分部量之差≥2的无序分拆数.证明由引理3.3知2ν+1不含分部量1的有序分拆数等于最大分部量为2ν+1,各分部量≠1且相邻分部量之差≥2的无序分拆数,又由定理3.1可知2ν+1不含分部量1的有序分拆数等于正整数ν的n-colour有序分拆数,故正整数ν的n-colour 有序分拆数等于最大分部量是2ν+1,各分部量≠1且相邻分部量之差≥2的无序分拆数.【相关文献】[1]MacMahon P A.Memoir on the compositions ofnumbers[J].Philos.Trans.Roy.Soc.London A,1894, 184:835-901.[2]Andrews G E.The Theory of Partitions[M].Cambridge:Cambridge University Press,1998.[3]Alladi k.A Variation on a theme of Sylvester-a smoother road toGollniz(Big)theorem[J].Discrete Math., 1999,196:1-11.[4]Agarwal A K.An analogue of Euler′s identity and new combinatorial properties of n-colour compositions[J]. putational and Applied Mathematics,2003,160:9-15.[5]郭育红.与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一些恒等式[J].数学学报,2007,50(3):707-710.[6]黄凤英,柳柏濂.与有序分拆相关的一些恒等式[J].数学学报,2009,52(2):403-408.[7]邢林燕,尤利华.与无序分拆和有序分拆相关的几个新的恒等式 [J].西南师范大学学报:自然科学版, 2010(1):20-23.[8]Frobenius G.Uper die Charakter der Symmetrischen Gruppe[M].Berlin:Sitzber.Press,1900.[9]Agarwal A K.Rogers-Ramanujian identities for n-color partitions[J].J.Number Theory,1988,28(3):299-305.[10]Agarwal A K,Andrews G E.Rogers-Ramanujian identities for partitions with“N copies N”[J]bin. Theory Ser-A,1987,45(1):40-49.[11]Agarwal A K.n-colour compositions[J].Indian J.Pure Appl.Math.,2000,31(11):1421-1427.。
组合数学-第七节：整数的分拆
2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。
在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。
分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在2.7节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。
定义2.6.1正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥L （2.6.1） 的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。
如果表达式（2.6.1）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。
反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。
这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。
n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。
例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。
在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。
而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。
2.6.1 有序分拆在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。
定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆：12k n n n n =+++L ，等价于方程：12k x x x n +++=L 。
的正整数解()12,k n n n L ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
正整数n的k部绝对m-分拆性质探讨
正整数n的k部绝对m-分拆性质探讨庞荣波【摘要】The new concept of absolute m-partion of positive integer n is ing the methods of combination,analysis and generating function,some properties of the absolute partion are proposed. Meanwhile,the relation of the partions and compositions of the absolute partion is discussed,and the count-ing formulate of the compositions is given.Finally,a mistake in paper [Wang Lixin,2000]is pointed out and is corrected.%提出了n的k 部绝对m-分拆的概念，运用组合法、分析法、母函数对其进行研究，得到了一些k 部绝对m-分拆的性质定理，同时也将无序分拆与有序分拆的探讨引入到n 的k 部绝对m-分拆中，给出了k 部绝对m-分拆的有序分拆与相应的无序分拆的关系以及k 部有序绝对m-分拆的分拆数的计算。
还指出了〔王立欣，2000〕中的一个错误，并对其进行了更正。
【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】5页(P61-65)【关键词】k部绝对m-分拆;有序分拆;分拆恒等式【作者】庞荣波【作者单位】聊城大学东昌学院教务处，252000，山东省聊城市【正文语种】中文【中图分类】O157.11 引言在研究正整数分拆时，经常要涉及到一些有限制的正整数分拆，如要求对于相邻分部量之间的差值加以限制的问题，像著名的Rogers-Ramaunjan分拆[1]等.在2000年，何文杰等[2]给出了将两相邻分部量之差推广到一般的正整数m，从而得到正整数m-分拆的概念，并说明了n的真m-分拆在二分图的(整)和图研究中的应用，解决了1994年Harary F[3]提出的确定完全二部图kr，s的和数与整和数.另外，无序分拆与有序分拆之间的关系也是近几年提出的新课题，相应研究也取得了一定的进展，参见文献[4-7]等.本文将对正整数m-分拆进一步细化提出n 的k部绝对m-分拆的概念，并对其进行研究，同时也将无序分拆与有序分拆的探讨引入到n的k部绝对m-分拆中.规定：Q(n，k)表示n的k部分部量互不相同的无序分拆数；pk(n，m|≥i)表示n 的最小分部量不小于i的k部无序m-分拆数.下面先给出基本的定义和引理：定义1[2] 设m，n为任意正整数且m≤n.正整数n的一个分拆被称作正整数n的一个m-分拆，如果它满足下列两个条件：(1) n=n1+n2+…+nk；(2) n1≥1，ni≥ni-1+m (i=2，3，…，k).pk(n，m)表示n的一个恰好有k个分部的m-分拆.引理[8]2 主要结果2.1 关于文献[2]的错误改进在文献[2]中的定理5给出：设m，n(其中m≤n)为任意正整数，n的k部有序m-分拆的个数为此定理是错误的.例如，7的2部有序2-分拆：(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)共有4个，而用此式算出7的2部有序2-分拆有个.错误原因在于：作者将n的k部有序m-分拆与的k部有序分拆之间错误的建立了一一对应关系，实际上n的k部无序m-分拆的各分部量都是互不相同的，而的k 部无序分拆的各分部量有可能相同，故其相应的有序分拆不能建立一一对应关系. 对于n的k部有序m-分拆数的显式求解式“并非易举”，我们给出下面的定理. 定理1 n的k部有序m-分拆数等于证明对于一个n的k部无序m-分拆来说，其有k个互不相同的部分，他们形成的有序排列是k!个，再有引理1知，结论正确.2.2 n的k部绝对m-分拆定义2 设m，n为任意正整数且m≤n.正整数n的一个分拆被称作正整数n的一个绝对m-分拆，如果它满足下列两个条件：(1) n=n1+n2+…+nk；(2) n1≥1，ni>ni-1+m (i=2，3，…，k).用(n，m)表示n的有k个分部的绝对m-分拆数.pp(n，m)表示n的所有绝对m-分拆数.2.2.1 n的k部无序绝对m-分拆定理2 设m，n(其中m≤n)为任意正整数，则有下式成立：证明 (1) 设(n1，n2，…，nk)是n的一个k部绝对m-分拆，由n的k部绝对m-分拆的定义可知，(n1，n2-m，n3-2m，…，nk-(k-1)m))必是的一个分部量互不相同的k部分拆.反之，若(n1，n2-m，n3-2m，…，nk-(k-1)m))为的一个分部量互不相同的k部分拆，(n1，n2，n3，…，nk)必是n的一个k部绝对m-分拆.于是可知：n的k部绝对m-分拆与的分部量互不相同的k部分拆存在一一对应关系.(2) 设(n1，n2，…，nk)是n的一个k部绝对m-分拆，由n的k部绝对m-分拆的定义可知，(n1，n2-(m+1)，n3-2(m+1)，…，nk-(k-1)(m+1))必是的一个k 部分拆.在结合(1)的论述可知：n的k部绝对m-分拆与的k部分拆存在一一对应关系.综上所述，故知结论成立.定理3 设m，n(其中m≤n)为任意正整数，n的绝对m-分拆至多有k0个分部，其中.证明显然，1，(m+2)，(2m+3)，…，((k-1)m+k)为的一个k部绝对m-分拆，对固定的m，只有当时，n的绝对m-分拆才可能有k个分部.这时有k2(m+1)+k(1-m)-2n≤0，于是可得：记k0为最大的k，则定理4 ，规定：证明由定理2与定理3即可得证.定理，，证明设n=n1+n2+…+nk为n的一个k部绝对m-分拆，分两种情况进行讨论：(1)当n1=1时，n-1=n2+…+nk，其中n2≥m+2，即该表达式表示n-1的最小分部量为n2的k-1部绝对m-分拆.记为.(2)当n1>1时，n-k=(n1-1)+(n2-1)+…+(nk-1)，该表达式表示为n-k的k部绝对m-分拆.记为.故有，.定理6 n的k部绝对m-分拆的母函数是：证明由定理2知：，，k).又由于Q(n，k)的母函数为，则定理得证.2.2.2 n的k部有序绝对m-分拆定理7 n的k部有序绝对m-分拆分拆数等于的k部分部量互不相同的有序分拆数. 证明由定理2知：n的k部绝对m-分拆与的分部量互不相同的k部分拆存在一一对应关系.故可知结论成立.定理8 n的k部有序绝对m-分拆数等于恰含最大分部量为且相邻分部量之差以及最小分部量都互不相同的k部无序分拆数.证明任给一个恰含最大分部量为且相邻分部量之差以及最小分部量都互不相同的k部无序分拆，设为，其中，在该分拆对应的Ferrers图中作两条轴线x轴，y轴，使得这两条轴线分别在距离最下一行和最左一列一个单位处，从而得到一个坐标平面.然后在每行的最右一个点分别做y轴的平行线，再从左向右确定这些平行线中每一条距前一条的距离(y轴也要考虑).即设从左到右这些平行线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xk.由于xl，x2-x1，x3-x2，…，xk-xk-1都互不相同，并且于是x1+( x2-x1)+( x3-x2)十…+( xk-xk-1)就是将正整数分拆k个分部且分部量互不相同的有序分拆，由于这种对应是一一的，所以恰含最大分部量为且相邻分部量之差以及最小分部量都互不相同的k部无序分拆数等于分拆成k个互不相同的分部的有序分拆数.再由定理7知结论成立.定理9 n的k部有序绝对m-分拆数等于恰含最大分部量为且满足Frobenius-分拆(其中bi-1-bi以及bk都互不相同，i=2，3，…，k)的k部的自共轭无序分拆数. 证明任给一个恰含最大分部量为且相邻分部量之差以及最小分部量都互不相同的k部无序分拆，设为，其中，它与一个有k个连续的弯的Ferrers图一一对应.而这个k个连续的弯的Ferrers图是自共轭的，故定理的结论成立.下面讨论关于n的k部有序绝对m-分拆数的计算公式，k部有序绝对m-分拆数难以给出显式形式，我们可以通过递推公式来解决.定义3 所谓最大一组n的k部绝对m-分拆是指k部分拆中最小分部量取最大值时的n的绝对m-分拆.定理10 n的绝对m-分拆中最大一组分拆的最小分部量证明设n的绝对m-分拆的最小分部量为a，则a，a+(m+1)，a+(2m+2)，…，a+((k-1)m+(k-1))为一个k部绝对m-分拆，对固定的m，只有当时，n才可能有k部绝对m-分拆.所以，取就可得证.定理 11 对于给定的正整数m，k(其中m≤n，k<n)，则有其中证明 (1) 设为最小分部量，n=i+n2+…+nk为n的一个k部绝对m-分拆，则n-i-(k-1)(m+1)=(n2-(m+1))+(n3-(m+1))…+(nk-(m+1))，此为n-i-(k-1)(m+1)的一个k-1部绝对m-分拆，其中n2-(m+1)≥i.当i取遍小于等于的所有值时，就有，成立.(2)对于上述的n=i+n2+…+nk，则n-ki-(k-1)m=(n2-m-i))+(n3-m-i))…+(nk-m-i)，此为n-ki-(k-1)m的k-1部绝对m-分拆，当i取遍小于等于的所有值时，就有，m)成立.定理证毕.定理12 对于给定的正整数m，n的2部有序绝对m-分拆数为，n的3部有序绝对m-分拆数为.证明由定理2可知当k=2时，当k=3时，通过定理11，12我们可以知道：k部绝对m-分拆数总可转化成相应的k-1部绝对m-分拆数之和，并最终归结到3或2部绝对m-分拆来解决.也可通过定理2将n的k部绝对m-分拆数转化为的k部分拆来解决.定理13 n的k部有序绝对m-分拆数为k!•，m)或.证明由定理2和定理11很显然可知结论正确.例子取n=24，m=2，k=4，则或，即24的4部绝对2-分拆数是2，分别为(1，4，7，12)，(1，4，8，11).那么24的4部有序绝对2-分拆数是2×4!=48.参考文献：[1] Jeremy Lovejoy．Ramanujan-Type Congruences for Three Colored Frobenius Partitions [J]. Joural of Number Theory，2000，85：283-290. [2] 王立欣，何文杰，于新凯，等．正整数n的m-分拆及其应用[J]．应用数学与计算数学学报，2000，14(1)：31-36.[3] Harary F．Sum graph over all the integesr[J]．Discret Math，1994，124：99-105.[4] Agarwal A K . An analogue of E uler’s identity and new Combinatorial properties of n-colour compositions[J]. Computational and Applied Mathematics，2003，160：9-15.[5] 庞荣波．有序与无序分拆的分拆恒等式与计数公式[J].四川师范大学学报(自然科学版)，2010，33(3)：312-316.[6] 郭育红．与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一些恒等[J]．数学学报，2007，50(3)：707-710.[7] 黄凤英，柳泊廉．与有序分拆相关的一些恒等式[J]．数学学报，2009，52(2)：403-408.[8] 郭育红．正整数的分拆及其应用[D]．成都：电子科技大学硕士学位论文，2006.。
关于完备分拆的计数
关于完备分拆的计数
柳柏濂
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1991(000)001
【摘要】本文给出完备分拆个数的计数显式和含部分数最小的完备分拆的充要条件。
【总页数】3页(P114-116)
【作者】柳柏濂
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O157
【相关文献】
1.关于正整数的完备分拆的界 [J], 普昭年
2.正整数有序分拆的几个计数公式及n-colour有序分拆的一些新的组合性质 [J], 郭育红
3.关于正整数n的完备分拆的一些探讨 [J], 付香
4.有序分拆与无序分拆的分拆恒等式与计数公式 [J], 庞荣波
5.完备图分拆为带一条弦的(2k—1)-长圈(英文) [J], 单秀玲;康庆德
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正整数的无序分拆
正整数的无序分拆这一篇主要来介绍有关无序分拆的计数问题。
比如，4 可以表示成如下形式：4=44=3+14=2+24=2+1+14=1+1+1+1因此，4 的无序分拆数就是5。
那么，对于一个任意给定的正整数n，其无序分拆数是多少呢？下面我将用三个算法来分别解决这个问题。
算法一：仔细观察上面4 的分拆，可以发现，对于一个分拆，由于是无序的，因此对这个分拆起决定作用的就是这个分拆中的最大数。
那么这个最大数与正整数n 的无序分拆数之间有什么关系呢？设一个分拆中的最大数是m，那么对于n 的无序分拆，当最大数是m 时，分拆数就等于”n-m 的分拆数“。
之所以要加一个引号，是因为并不是真正的n-m 的分拆数。
因为对于n 来说，分拆的最大数是m，因此，n-m 的分拆中的最大数就不能超过m。
记F(n,m) 表示n 的分拆中最大数为m 的分拆个数，根据上面的分析，可以得到如下公式：那么，n 的分拆总数F(n) 可以用如下公式计算：初始条件：F(n,1)=F(n,n)=1。
算法二：在算法一中，F(n,m) 表示n 的分拆中最大的数就是m，那么，我们能不能放宽一下限制呢？记F(n,m) 表示n 的分拆中最大的数不超过m。
(1) m=n：也就是n 的分拆中，最大数不超过n 的个数。
当然，最大数为n 的分拆只有一个，也就是它自己。
除了这一个之外，最大数就不可能为n 了，最多是n-1 而已。
因此，求出n 的分拆中最大数是n-1 的分拆个数，再加上n=n 这一个分拆，就是F(n,n)。
即F(n,n)=1+F(n,n-1)。
(2) n<m：要把n 分拆，但最大数m 却超过n，这是不可能的。
(3) n>m：在n 的分拆中，如果最大数最大可以为m，那么这不外乎分拆中有一个或若干个m，或者是根本就没有m。
比如，在 4 的分拆中，说最大数最大可以到2，那么因为4=2+2=2+1+1=1+1+1+1，于是有m=2 的就是2+2 与2+1+1，完全没有 2 的则是1+1+1+1。
简便运算拆数法
简便运算拆数法的公式拆数法也称为分拆法，是指将一个数分解成几个较小的数的和或积的方法。
在数学中，拆数法被广泛应用于解决各种问题，如求一个数的因数、判断一个数是否是质数、分解质因数等等。
在本文中，我们将介绍拆数法的公式及其应用。
一、拆数法的基本公式1.拆数法求和公式拆数法求和公式是指将一个数分解成两个或更多个较小的数相加的方法。
例如，将数24分解成10和14，可以得到24=10+14。
一般地，对于任意正整数n，n可以表示为两个正整数a和b的和，即：n=a+b其中，a和b是n的因数。
这个公式的证明很简单。
假设n有两个因数a和b，那么n可以表示为a倍某个数和b倍另一个数的和，即：n=ka+lb其中，k和l是正整数。
现在我们将k和l分别表示成n/a和n/b的商和余数，即：k=n/al=n/b代入上式得：n=a(n/a)+b(n/b)化简，得：n=a+b因此，任何一个正整数n都可以表示成两个正整数的和。
2.拆数法求积公式拆数法求积公式是指将一个数分解成两个或更多个较小的数相乘的方法。
例如，将数24分解成3和8，可以得到24=3×8。
一般地，对于任意正整数n，n可以表示成两个正整数a和b的积，即：n=ab其中，a和b是n的因数。
这个公式的证明也很简单。
假设n有两个因数a和b，那么n可以表示为a倍某个数和b倍另一个数的积，即：n=ka×lb其中，k和l是正整数。
现在我们将k和l分别表示成n/a和n/b的商和余数，即：k=n/al=n/b代入上式得：n=(n/a)a×(n/b)b化简，得：n=ab因此，任何一个正整数n都可以表示成两个正整数的积。
二、拆数法的应用拆数法是数学中一种非常基础的技巧，可以在许多数学问题中得到应用。
下面我们将介绍一些常见的拆数法应用。
1.求一个数的因数假设要求一个正整数n的所有因数，可以使用拆数法求和公式将n分解成两个正整数a和b的和，然后找出a和b的所有因数，这些因数就是n的所有因数。
数字分列公式
数字分列公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数字分列公式是数学中常见的一种表达形式，通常用来描述数字之间的规律和关系。
通过数字分列公式，我们可以轻松地找出任意位置上的数字值，从而更好地理解数字序列中的规律和特点。
本文将介绍数字分列公式的基本概念、应用及实例，希望能够帮助读者更好地理解和应用数字分列公式。
数字分列公式的基本概念是什么呢？其实，数字分列公式就是一个以特定规律排列的数字序列，通常由一个起始值开始，然后根据一定的规则或公式进行递推生成后续的数字。
在数字分列公式中，常见的规则包括等差数列、等比数列等，这些规则都可以用简单的公式来表示。
通过数字分列公式，我们可以计算出数列中的任何一个位置上的数字值，而不必一个一个地进行递推计算，从而节省时间和精力。
在实际应用中，数字分列公式经常被用来解决各种问题，比如数列求和、数列求平均值等。
通过分析数字序列的规律和特点，我们可以利用数字分列公式来简化计算过程，从而更快地得到结果。
数字分列公式也可以帮助我们更深入地理解数字序列中隐藏的规律和性质，从而推断未知的数字或预测未来的趋势。
下面我们来看一个实际的例子，通过数字分列公式来解决问题。
假设有一个等差数列，首项为1，公差为2，求该数列的第n项的值。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，我们可以很容易地得到该数列的第n项的值。
代入a1=1，d=2，n即可得到an的值。
比如当n=5时，an=1+(5-1)×2=9，所以该数列的第5项的值为9。
通过数字分列公式，我们可以轻松快速地求解这类问题。
除了等差数列，等比数列也是常见的数字分列公式。
在等比数列中，每个数与它的前一个数的比值是一个常数，这个常数称为公比。
通过等比数列的通项公式an=a1×r^(n-1)，我们可以计算出等比数列的任何一项的值。
同样地，通过数字分列公式，我们可以轻松解决等比数列的各种问题，比如求和、求平均值等。
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ｎ的有 序分拆 数又会 怎 样 呢 ？ 文 将 给 出一 些 新 的 本
结论．
面一应 自轭序拆 ： ， ） 一对 的共无分为（ （ ， ；３ ） （１ ，（２） ３） ，（ ，（２ （ ， ２ ， ８ ； （ 也 个 ； 共．
拆与无序分拆相关问题 的一个恒等式 ， 并且分别用 分析法和组合法给出证 明． 最近郭育红 和黄凤英 等［利用 Ａ ａ ａ的组合法也得到了一些关于有序 ３ ｇｒ ｌ ｗ 分拆与无序分拆 之 间 的恒 等式 ． 文在 参考 其 他相 本
关文献（ 见文献［ — ３ ） ４ １］ 的基础上， 对上述问题进行
的ｒｎ一拆（５ ． Ｆｅｓ 为 ３ ） 。ｉ 分 ： ， ｂｕ ２
定 义 ３３ 一个 ｋ一弯 （ ｋ—ｂｎ ） ［ ］ 即 ｅ ｄ 是指在第
一
பைடு நூலகம்
根据上 述两个 引理 ， 以得 到下 面的新推 论 ： 可 推论 １ 恰含最大分布量为 ， 且满足 Ｆｏｅｉｓ ｒｂｎｕ
行 和第一 列各有 ｋ个点 的一 个 向右弯 曲 的 图． 例
中 图分 类 号 ： １７ １ Ｏ ５ ． 文献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １— ３ ５ ２ １ ）３— ３２— ５ １０ ８９ （０ ０ ０ ０ １ ０
ｄ ｉ１ ．９ ９ｊｉ ｎ １０ — ３５ ２ １ ．３ ０８ ｏ：０ ３６ ／． ｓ． ０ １ ８ ９ ．０ ０ ０ ．０ ｓ
、 ｆ … 其 ａ＞２ …＞ｒ ｏ Ｆｂｉ一拆？ ． ？ 其 ６ 奇 ， ｂ ？ ？ 中Ｉ ａ＞ ａ ＇ ≥ ６ ｒ ｎ 分 ｆ ｚ… 中 数 ｏ 。ｓ ｂ １ 是 （
ｌ ６ ２ … Ｏ， ／
＼ ｌ ｂ … ６ ， ｂ ｚ ，
＞ ２ … ＞ ， ， ＝ 十∑口＋∑ｂ叫 ｂ＞ ｂ≥ｏ 且凡 ｒ 做
数 的无序分拆与有序分拆相关 问题 的基础上 ， 利用 Ａ ａ ａ的组合 法和 Ｆｏｅｉ 一 ｇｒ ｌ ｗ ｒ ｎ ｓ 分拆 ， ｂ ｕ 获得了一些 无序
分拆与有序分拆之间的恒等式 ， 给出了一些有序分拆 的分拆数计算公 式 ， 并 此结论进 一步丰 富和发展 了正 整数分拆理论．
关键词 ： 无序分拆 ； 有序分拆 ； 分拆恒等式
１ 定 义
２０ ０３年 Ａ ．Ａ ａｗｌ 发 现 了正 整数 有序 分 ．Ｋ ｇｒａ…
如 ， ３：５＋４＋２对应 的 Ｆ ｒ ｒ 图为 ： ７ ｒ ｅｒ ｓ ｅ
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ Ｏ Ｏ ０ Ｏ Ｏ
２ 主 要 结果
２１ 有序分 拆与无 序分拆 的恒等 式 文 献 ［ ］ ． ２ 给
出 了下 面两个 引理 ：
现， 且最小分部量是奇数的无序分拆． 定 义 ２１ ［ 一 个 ２ 行 非 负 整 数 矩 阵 】
引理 １ 将正 整数 ｎ 分拆成 分布量 为偶数 的有 序分拆数 等于恰 含最大分 布量为 ｎ ，且 满 足
正整 数 的 Ｆｏ ｅｉｓ一分拆 ． ｒｂｎｕ 例如 ， 无序分 拆 仃 ＝７＋ ７＋５＋ ４＋１ 应 ４＋ 对
为偶数 ）的 自共轭 无序分拆 数． 引理 ２ 将正 整数 ｎ 分拆 成分 布量为偶 数的有 序分 拆数等 于最大 分布量 为 ２ ｎ一１并 且 各分 布量 ，
为 看 ３ ｒ ｄ４ （ ｏ ）的奇无 序分拆 数． ｏ
第３ 期
庞荣波 ： 有序分拆 与无 序分拆 的分拆 恒等式与计数公式
３３ １
一
分 ｆ ｂ … ｂｒ其 ６ 奇 ， 偶 ） 拆 ｂ２… Ｄ 中 数 为 数 ＼ ２ ｂ ６ １ １ （ 是 ， ，
１
的 自共轭无序分拆 数等于最 大分布量 为 ２ ｎ一１并且 ，
各分布量为 ３ ｍ ｄ ） （ ｏ 的奇无序分拆数 ４ 上 面 引理 中讨 论 了将 正 整 数 ｎ分 拆 成 分 布 量
２１ ０ ０年 ５月
四川 师范大学学报 （ 自然科学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｕｎＮ ｒ ａ Ｕ ｉｅ ｔ（ ａ ｒ ｃｅｃ ） ｏｒａ ｏ ｃ ａ ｏｍ ｎｖｍｉ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅ Ｓｈ ｌ ｙ ｕｌ ｎ
Ｍ ａ ２０１ ｙ， ０ Ｖｏ． ３． ． １３ Ｎｏ ３
收 稿 日期 ：０９一ｌ ２ ２０ ２— ５
基金项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７ １６ 和 山东省 自然科学基金（ ２ ０ Ａ ４ 资助项 目 １８ １ １ ） Ｙ ０６ ０ ） 作者简介 ： 庞荣波（ ９９ ） 男 ， １６一 ， 讲师 ， 主要从事分拆理论 、 算法优化设计的研究
第３ ３卷
第３ 期
有序分拆与无序分拆 的分拆恒等式与计数公式
庞 荣波
（ 聊城大学 东 昌学院 ，山东 聊城 ２２０ ５ ００）
摘要 ： 自从欧拉对正整数的分拆进行正式研究后 ， 现在该 问题 已成为组合数 学 、 图论 、 数论研究 的一个
重要课题． 年来 ， 近 一些 国 内外 数 学 研 究 者 对研 究 有 序 分 拆 与 无 序 分拆 提 出 了新 的思 路 和 方 法 ． 研 究 正 整 在
推 论 ２ ／的有 序分 拆数 等 于恰含 最 大分 布量 １ ，
了研究 ， 最后 得到 了一些 新 的分拆 性质 定理 ， 为系 较
并 且 给 出无 序分拆 仃 ，＝ａ ＋ａ ＋… ＋ａ， １ ２ ，它与一 个 有 ｒ 连续 的弯 ， ａ 个 即 一弯 ， 一弯 ， ，， ａ … ａ 一弯 的
Ｆ ｒ ｒ 图一一对应． ｅｒ ｓ ｅ
统地 阐述了有序与无序分拆之 间存在 的恒等式 ． 首 先 ， 出一些 相关 的定 义 ． 给 定 义 １１ 正整数 ｎ ［ 的奇 一偶无序 分拆是 指在 ｎ的元序 分 拆 中分 部 量分 别 以奇 数 和偶 数 交 替 出