西安交大高数考试2012

合集下载

西安交通大学高等数学期中考题 (2)

一、解答下列各题（每小题7分，共70分）１．设函数()xy y x f 2arcsin ,=，求),(y x df 。

214２．设由方程09222=--++z xy y x 可确定),(y x z z =，求)1,2,1(-∂∂x z，)1,2,1(2-∂∂∂y x z 。

３．求曲面122-+=y x z 在点A(2,1,4)处的切平面和法线方程。

４．求曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 2sin 2在0=t 时的切线与法平面方程。

５．交换累次积分的次序：⎰⎰--+=111122),(y y dx y x f dy I ，其中),(y x f 是连续。

６．计算二重积分： ⎰⎰≤+++=222)1sin (2a y x dxdy y x I 。

７．设空间立体Ω是由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成，已知它的密度为2),,(z z y x f =，试计算它的质量。

８．求函数22z yx u -=在点A ()1,1,2-处的方向导数的最大值。

９． 10．（工科分析做①其他做②）①设Txy ey x y x f ),(),(22+=求)1,1(),1,1(df Df ；②设方程组⎩⎨⎧-==+22222vu xy uv y x ，确定了函数),(),,(y x v v y x u u ==，求x vx u ∂∂∂∂,。

二、（8分）设函数),(2x y y x f z =，其中),(y x f 二阶偏导数连续，求yx zx z ∂∂∂∂∂2,。

三、（8分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，试讨论该函数),(y x f 在点)0,0(的连续性、可微性。

四、（7分）求曲面221y x z ++=在点M ()3,1,1-的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积。

五．（7分）设函数),,(z y x f 在闭球体3:222≤++Ωz y x 上有连续的偏导数，且满足条件①在Ω上1=∂∂xf，1=∂∂yf，1-=∂∂z f ，②11)1,1,1(=f ，试求函数),,(z y x f 并证明Ω∈∀≤≤),,(,13),,(7z y x z y x f 。

2012年高考数学理科陕西卷(含答案解析)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项：1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）.1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I( )A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1y x =+B .3y x =-C .1y x =D .||y x x = 3.设,a b ∈R ,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知圆C ：22+4=0x y x -,l 是过点(3,0)P 的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能 5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )A .5 B .5 C .25D .356.从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲, m 乙,则( )A .x x <甲乙,m m >乙甲B .x x <甲乙,m m <乙甲C .x x >甲乙,m m >乙甲D .x x >甲乙,m m <乙甲 7.设函数()e x f x x =,则( ) A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( ) A .10 种 B .15 种 C .20 种 D .30 种9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若2222a +b =c ,则cos C 的最小值为 ( ) A .3B .2 C .12D .12-10.右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000NP =B .41000NP =C .1000MP =D .41000MP =姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------第二部分（共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分,共25分）. 11.观察下列不等式213122+< 221151233++< 222111712344+++< ……照此规律,第五个．．．不等式为 . 12.5()a x +展开式中2x 的系数为10,则实数a 的值为 . 13.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米.水位下降1 米后,水面宽米.14.设函数ln , 0,()21, 0,x x f x x x >⎧=⎨--⎩≤D 是由x 轴和曲线=()y f x 及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .B .（几何证明选做题）如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直, 垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB =g .C .（坐标系与参数方程选做题）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）.16.（本小题满分12分）函数π()sin()1(0,0)6f x A x A ωω=-+>>的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设(0,)2πα∈,()22f α=,求α的值.17.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比；（Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ,21,,k k k S S S ++成等差数列.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线（b 不垂直于π）,c 是直线 b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不需证明）.19.（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.（Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =u u u r u u u r,求直线AB的方程.20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.21.（本小题满分14分）设函数()=++(,,)n n f x x bx c n b c ∈∈+N R .（Ⅰ）设2,=1,=1n b c -≥,证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；（Ⅱ）设=2n ,若对任意12,[1,1]x x ∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下,设n x 是()n f x 在（12,1）内的零点,判断数列23,,,n x x x L L 的增减性.办理业务所需的时间（分）12345频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1理科数学答案解析又由相交弦定理得=155DE AE EB =⨯=g ，5DF BD ∴=g．a c ∴⊥；ac ∴⊥；。

高数上终考题

西安交通大学往届高等数学（上册）期终考题汇编2010-1-19一、填空题（每小题5分，共15分）1．在抛物线2x y =上与直线20x y +=垂直的切线方程是 .2．设⎩⎨⎧>-≤=0)1(0e )(2x x b x x f ax 在),(+∞-∞上可微，则=a ,=b . 3．设)(x f 的定义域为),0(+∞，已知32)(,1)1(x x f f ='=，则=)4(f .二、单项选择题（每小题5分，共15分）1．设)(x f 在a x =处取得极值且满足⎰+='+''1)()(2)(x at f dt e x f x f ，则)(x f 在a x =处( ).A. 必取极大值B. 必取极小值C. 不可能取极值D. 是否取极值不能确定. 2．设a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑.( ).A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性与数a 的取值有关 3. 设x x g x x x f 2sin )(),1ln(2)(=-=,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A. 同阶但非等价无穷小B. 等价无穷小C. 高阶无穷小D. 低阶无穷小. 三、解答下列各题（每小题6分，共24分）1．设)1(1ln )1arctan(22>---=x x xx y ，求1d lim d x y x +→.2. 设⎪⎩⎪⎨⎧+==--⎰)1(e d e 2 0 22t y u x t t u ，求122d d =t x y . 3. 求不定积分x xx d )1ln(e e ⎰+. 4．求微分方程222x y y x +='的通解四．解答下列各题（每小题8分，共40分）1.（说明：学习《工科分析》者做(1)，其余的做(2)）(1) 讨论级数nxn n -∞=∑21在)0)(,[>+∞δδ上的一致收敛性,并求和.(2) 求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域及和函数. 2. 设函数⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1)(x x x f 在]2,0[上将)(x f 展成以4为周期的正弦级数，并指出级数在5=x 处的值.3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=⎰0,00,d sin )1(sin )( 02x x t t x x f x ，求)(x f '，并讨论)(x f '在0=x 点处的连续性. 4．计算反常积分20e d (1e )xx x I x -+∞-=+⎰.5. 一抛物线c bx ax y ++=2通过)2,1(),0,0(两点，且0<a 确定c b a ,,的值与x 轴所围图形D 的面积最小？并求此图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（6分）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)(>'x f ，若极限a x a x f a x --+→)2(lim 存在，证明在),(b a 内存在点ξ，使)(2d )( 22ξξf xx f a b b a=-⎰.2008年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1．计算极限x x x e x x 30sin 2)2(lim ++-→ 2．设.,5arctan log 22π+-=x x e y x求.dy 3．设).20(cos sin cos ln π<<⎩⎨⎧-==t tt t y t x 求.322π=t dx y d 4．判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性. 5．计算反常积分.ln 12dx x x ⎰∞+ 6．计算不定积分.cos sin 23dx xxx ⎰ 7．计算定积分.)1(102⎰+x e dx 8．求微分方程0)()1(32=++++dy y y x dx y 的通解. 9．将函数⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1)(x x x f 在]2,0[上展成以4为周期的正弦级数.10．求由曲线72+=x y 及532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二、（9分）证明：当0≥x 时，有).1ln(2arctan 41]1)1ln(2[)1(22x x x x x +-≥+-++三、（9分）设抛物线)0(2<+=a bx ax y 通过点)3,1(M ，为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小，试确定a 和b 的值. 四、（8分）设一车间空间容积为10000立方米，空气中含有%12.0的二氧化碳（以容积计算），现将含二氧化碳%04.0的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间，同时按1000立方米每分钟的流量抽出混合气体，问输入新鲜空间10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五、（8分）求幂级数∑∞=+0!21n nnx n n 的收敛域及其和函数. 六、（6分）设函数)(x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数，且)0()(lim>=→a a xx f x ，证明：∑∞=--11)1()1(n n n f 条件收敛. 2007年1月一、解答下列各题1.计算极限02lim .1cos 2x x→- 2.设cos(3)x y e x -=-，求dy .3.求曲线20213(2)123ln(1)t x du u y t t ⎧=++⎪+⎨⎪=-++⎩⎰在3x =处的切线方程. 4.判定级数143nn n ∞=+∑的敛散性. 5.计算反常积分1+∞⎰ 6.计算不定积分. 7.将10/2()0/2x f x x πππ≤≤⎧=⎨<≤⎩展开成以2π为周期的傅里叶正弦级数，并求此级数分别在32x π=和52x π=两点的收敛值. 8.将函数()ln f x x =展开为2x -的幂级数，并指出其收敛域.9.求微分方程7/2(1)2(1)x y y x '+-=+的通解. 10.求抛物线25x y =与21x y =+所围图形的面积.二、设2301(),0(),0x t f t dt x F x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f t 是可导函数，为了使()F x 在0x =点处连续，试确定k 值，并对所确定的k 值，讨论()F x 在0x =点的可导性.三、（9分）在曲线(0)x y e x -=≥上求一点00(,)x x e-，使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.四、半径为R 的半球形水池充满水，将水从池中抽出，并抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时，试问此时水面下降的深度H 为多少？五、求函数项级数20(1)nn xx ∞=+∑收敛性及和函数，并证明对任意0αβ<<，此级数在闭区间[,]αβ上一致收敛，但在其收敛域内不一致收敛.六、已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且(0)1f =并满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰求()f x '并证明：()1(0).x e f x x -≤≤≥2006年1月一、解答下列各题1.计算极限30tan sin lim.x x xx →- 2.设1arctan(tan )22x y =，求dy . 3.设2,0(),1,0xe xf x x x -⎧≥=⎨+<⎩求21(1).f x dx --⎰ 4.判定级数221112n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性. 5.设()y y x =由方程tan()y x y =+所确定，求y '. 6.计算不定积分22(1).1x xe dx e++⎰ 7.将()2||,[,]f x x x ππ=+∈-展开成以2π为周期的傅里叶级数.8.将函数21()32f x x x =++展成4x +的幂级数，并指出收敛区间.9.求微分方程43xxy y x e '-=的通解.10.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一个平面图形，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体的体积最大. 二、试证明不等式：当0x >时，1(01).x x αααα-≤-<< 三、设221()x t f x e dt -=⎰，求1().xf x dx ⎰四、一物体在某一介质中按3x ct =作直线运动，已知介质的阻力与物体速度的平方成正比，计算物体由0x =移动到x a =时克服阻力所作的功. 五、（注意：学习《工科分析》者做第（1）题，其余的做第（2）题）（1）证明：级数1nx n ∞-=在区间[,)(0)δδ+∞>上一致收敛，而在(0,)+∞上不一致收敛.（2）求级数01(1)3nn n ∞=+∑的和.六、设()0,[,],f x x a b ''>∈证明：1()()()().22b a a b f a f b f f x dx b a ++≤≤-⎰ 2005年1月一、、解答下列各题1. 计算极限()0sin 1lim sin x x e x x x x x →-+-. 2。

陕西省西安市八校2012届高三联考(三)数学(理科)试题

西安市教育学会教研信息专业委试卷类型；A员会启用前机密★2012届高三卷西安地区陕西师大附中西安高级中学西安高新一中西安交大附中八校联考西安市八十三中西安一中西安市铁一中西安中学西工大附中2012届高三年级数学(理科)试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（）A.1-B. 1C.D.2. 已知直角ABC ∆中，(1,1),(2,)AB AC k ==，则实数k 的值为（）A.2-B. 2C.0D. 2-或03. 已知条件:p 关于x 的不等式210x mx ++>（m R ∈）的解集为R ；条件:q 指数函数()f x (3)x m =+为增函数，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B.1 Ｃ.23 D. 135. 某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为（） A. 6 B. 12 C. 18 D. 246. 若函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是（）A. (0,1)B. (0,1)(1,2) C. D. )+∞7. 在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，21n n n a a a ++=-（*n N ∈），则2007a =（）A. 1B. 5C. 4D. 1-8. 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及两条直线2212:,a a l x l c c =-=，其中c =12,l l 分别交x 轴与,C D 两点。

陕西省西安市八校2012届高三联考数学(文科)试题

西安市教育学会教研信息专业委试卷类型；A员会启用前机密★2012届高三卷西安地区陕西师大附中西安高级中学西安高新一中西安交大附中八校联考西安市八十三中西安一中西安市铁一中西安中学西工大附中 2012届高三年级数学(文科)试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题:1p x ≤；命题:||1q x ≤，则命题p 是命题q 成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 复数z 的实部为1，虚部为2，则1z=（） A. 1255i - B. 1233i - C. 1255i + D. 1233i + 3. 点(2,0)A 在直线:cos sin 10l x y θθ++= (0)θπ<<上，则直线l 的斜率为（）A. 3B.C.D. 3- 4. 已知,m n 表示两条直线，,αβ表示两个平面，若,,,m n m αβα⊥⊥∥ 则（）A. n β∥B. n α∥ Ｃ. n α⊥ D. m β∥5. 把函数sin(2)2y x π=+的图像向右平移3π个单位，得到函数（） A. cos(2)3y x π=+ B. 2cos(2)3y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. 2cos(2)3y x π=- 6. 已知函数22(,0]()log (0,)x x f x x x ⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有一个实根，则实数m 的取值范围是（）A. (,0)[1,)-∞+∞B. (,0](1,)-∞+∞C. (0,1]D. [0,1)7. 一个圆台的三视图和相关数据如右图所示，则该圆台的母线长为（）A. 2cmB.C.D.8. 在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0),(2,0),(1,1),(0,2),(2,2)A B C D E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率的概率是（） A. 15 B. 25 C. 35 D. 459. 椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F -和2(1,0)F ，若该椭圆C 与直线30x y +-=有公共点，则其离心率的最大值为（）A. 12B. 6C. 5D. 1010. 已知向量(,8)a mx =，(22,)b x x =+-，(1,0)c =，函数()1f x a b =⋅+，()g x a c =⋅. 若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（）A.(0,2)B. (0,8)C. (2,8)D.(0,4]第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（一）必做题（11~14题）11. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，需随机选出45名学生进行调查.现采取分层抽样的方法从男生中任意抽取25人，那么应该在女生中任意抽取人.12. 若0.8P =，则按右侧程序框图运行时，得到的n =13. 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的13，最少10名男职工，则该公司最少能招聘名职工.14. 以下四个命题中：①若等比数列{}n a 满足：32,a = 58a =，前n 项和为n S ，则82552S =.②若,0,x R x ∈≠ 则1 2.x x+≥ ③集合{(,)|10}A x y x y =++=，{(,)|10}B x y x y =-+=，则集合{1,0}.AB =- 其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）（二）选择题（考生在A 、B 、C 三小题中选做一题，多做按所做第一题评分）15. A.（不等式选讲）函数()f x =的定义域为B.（坐标系与参数方程）已知极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的参数方程为35415x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的最短距离为 .C.（几何证明选讲）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B ，1PB =，则AC =三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. （本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，112a =-，且8911,,a a a 依次成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的公差；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值，并求出此时的n 值17.（本小题满分12分）已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是直角三角形，且90ACB ∠=，PA ⊥平面ABC ， 1PA AC BC ===，D 是线段PC 的中点，如图所示.（Ⅰ）证明：AD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求三棱锥P ABD -的体积.18.（本小题满分12分）2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示. 问；（Ⅰ）时速在[50,60)的汽车大约有多少辆？（Ⅱ）如果每个时段取中值来代表这个时段的平均速度，如时速在[50,60)的汽车其速度视为55，请估算出这2000辆汽车的平均速度.19.（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(6sin ,6cos ),a x x b x x == ()()f x a b a =⋅-. （Ⅰ）若[0,]2x π∈，求函数()f x 单调递减区间和值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，AB a =，AC b =.若()2f x =，求ABC ∆的面积.20.（本小题满分13分）已知ABC ∆的两个顶点,B C 的坐标分别为(1,0)-和(1,0)，顶点A 为动点，如果ABC ∆的周长为6.（Ⅰ）求动点A 的轨迹M 的方程；（Ⅱ）过点(2,0)P 作直线l ，与轨迹M 交于点Q ，若直线l 与圆222x y +=相切，求线段PQ 的长.21. （本小题满分14分）已知函数321()(1) 1.32a f x x x a x =+--+ （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线610x y ++=平行，求出这条切线的方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）对任意的1x <-，恒有()1f x <，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D B A D C B二、填空题11. 20 12. 4 13. 14 14. ①15. A.(,1][3,)-∞+∞ B. 25C. 三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16. （Ⅰ）由7811,,a a a 依次成等差数列知2111(8)(7)(10)a d a d a d +=++即221110641770a d d a d d +=+，整理得2160a d d +=.因为0d ≠，所以16a d =-. 从而2d =，即数列{}n a 的公差为2 ------------------6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知212(1)13n S n n n n n =-+-=- 因为221316913(),24n n n -=--且n N +∈，所以当6n =或7时，213n n -有最小值42-. 因此，n S 的最小值为42-，此时的n 为6或7.解法二：由（Ⅰ）可知数列{}n a 的通项公式为214n a n =-，令0n a ≤，得7n ≤.据数列{}n a 单调递增可知：其前6项均为负项，第7项为0，从第8项开始均为正项，所以，67S S =，且均为n S 最小值，最小值为42-，此时的n 为6或7.17. （Ⅰ）证明：因为PA AC =，D 是线段PC 的中点，所以AD PC ⊥ （1）因为BC AC ⊥，BC PA ⊥，所以BC ⊥平面PAC可得BC AD ⊥ （2）由（1）（2）得AD ⊥平面PBC ----------------------------------------------------6分（Ⅱ）因为点D 是线段PC 的中点，所以点D 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离的一半。

2012年陕西卷文科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学本试卷共23题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题 1 ．集合{|lg 0}Mx x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =（）A ．(1,2)B ．[1,2)C (1,2]D ．[1,2]2 ．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A ．1y x =+B ．2y x =−C ．1y x=D ．||y x x =3 ．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,534 ．设,R a b ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的( )）充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5 ．下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q 的程序框图,则图中空白框内应填入（）A ．q =N M B ．q =M NC ．q =NM N + D ．q =M M N+1 2 3 4 5 6 2 5 0 2 3 3 1 2 4 4 8 9 5 5 5 7 7 8 8 9 0 0 1 1 4 7 9 1 7 86 ．已知圆22:40C xy x +−=,l 过点(3,0)P 的直线,则A l 与C 相交B ．l 与C 相切 C l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能7 ．设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos 2θ等于A2B 12C ．0D ．-18 ．将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为9 ．设函数f(x)=2x+lnx 则（）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 10．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b(a <b),其全程的平均时速为v,则（）A ．B ．C<v<2a b+ D ．v=2a b +二、填空题11．设函数则．12．观察下列不等式213122+< 231151233++<,222111512343+++<……照此规律,第五个．．．不等式为 13．在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a ,b,c,若a =2 ,B=6π则b= ______14．右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.()0102x x f x x ≥=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，()()4=f f −15．若存在实数x 使|||1|3x a x −+−≤成立,则实数a 的取值范围是______ 16．如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=________17．直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为_______三、解答题18．已知等比数列{}n a 的公比为q=-12. (1)若3a=14,求数列{}n a 的前n 项和; (Ⅱ)证明:对任意k N +∈,ka ,2k a+,1k a+成等差数列19．函数()sin()16f x A x πω=−+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值20．直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中,AB=A A 1 ,CAB ∠=2π(Ⅰ)证明11B A C B ⊥;(Ⅱ)已知求三棱锥11C A AB − 的体积21．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(Ⅱ)这两种品牌产品中,,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率。

陕西省西安市八校2012届高三数学联考试题(三)理科word版

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（） A.1- B. 1 C.2- D.22. 已知直角ABC ∆中，(1,1),(2,)AB AC k ==，则实数k 的值为（）A.2-B. 2C.0D. 2-或03. 已知条件:p 关于x 的不等式210x mx ++>（m R ∈）的解集为R ；条件:q 指数函数()f x (3)xm =+为增函数，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B.1 Ｃ.23D.135. 某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为（）A. 6B. 12C. 18D. 24 6. 若函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是（）A. (0,1)B. (0,1)(1,2)C. (1,2)D. [2,)+∞7. 在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，21n n n a a a ++=-（*n N ∈），则2007a =（） A. 1 B. 5 C. 4 D. 1-8. 如图，已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>及两条直线2212:,aal x l cc=-=，其中22c a b=-，且12,l l 分别交x 轴与,C D 两点。

2012年陕西高考数学试题(理数)

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 17.（本小题满分 12 分）设 {an } 的公比不为 1 的等比数列，其前 n 项和为 S n ，且 a5 , a3 , a4 成等差数列．（1）求数列 {an } 的公比；
（2）证明：对任意 k ∈ N + ， S k +2 ,
S k , S k +1 成等差数列．
【答案】 2 6 【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0,0），设 l 与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A（-2，-2），B（2，-2）设抛物线的解析式为 y = ax 2 ，则有 − 2 = a × (− 2) ，∴ a = − ∴抛物线的解析式为 y = −
2a1 (1 − q k ) 1− q =
，
证法二：对任意 k ∈ N + ， 2S k =
Sk + 2 + Sk +1 =
a1 (1 − q k + 2 )
1− q
+
a1 (1 − q k +1 )
1− q
a1 ( 2 − q k + 2 − q k +1 )
1− q
，
2S k − ( S k + 2 + S k +1 ) =
【解析】观察不等式的左边发现，第 n 个不等式的左边= 1 +
右边=
2(n + 1) − 1 1 1 1 1 1 11 ，所以第五个不等式为 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 < . n +1 2 3 4 5 6 6
．
12. ( a + x) 5 展开式中 x 2 的系数为 10，则实数 a 的值为【答案】1

西安交大高等数学考试题目

西安交大高等数学（I II ）第一学期期中试题2007-11-3一．解答下列各题（每小题6分,共60分）. 1．设)0(1ln )1arctan(22>--+=x x x x y ，求dxdy 。

2．求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t t y t t x 223123所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。

3．设函数)(x y y =由方程0arctan =--y y x 所确定，求dxdy.4．求极限：2)2(sin ln lim 2ππ-→x xx 。

5．设)(x f 具有连续的二阶导数，且6)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ，试求极限：420)(sin lim x x f x →。

6．求函数321arccos )1ln(e xx x y ++-+=的微分dy 。

7．求函数993)(23+--=x x x x f 的单调区间和极值。

8．求极限：)2211(lim 222nn n nn n n n x +++++++++∞→ 。

9．已知当0→x 时，ααkx x =)(与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，求k 和α的值。

10．一圆形铝片加热时，随着温度的提高而膨胀，设该圆片在温度为t 度时，半径为)1(0at r r +=，其中a r ,0为常数，求在1t 度时圆片面积对温度t 的变化率。

二．(9分) 试证明：在区间)21,0(内，恒有不等式：0)1ln()21(arctan )2(22>++--+x x x x x 成立。

三．（9分）从半径为R 的圆上裁下中心角为t 的扇形，卷成一个圆锥面，问当t 取何值时，补上底面后所围成的圆椎体体积最大？。

四．（9分）设函数1)cos()2sin(lim )(212+++=-∞→n n n x bx a x x x f π，其中b a ,为常数，+∈N n ，π20<<a ，①求函数)(x f 的表达式（无极限符号）；②试确定常数b a ,，使)1())lim ),1()(lim 11-==-→→f x f f x f x x 。

西安交大历年大一下学期期中考试(高数大学物理)试题及答案 pro

极值的必要条件：设 n 元函数 f 在点 x 。可微，且 x 。为 f 的极值点，则必有
f ( x0 , y0 ) 0
微分公式：
df ( x0 ) f ' ( x0 )x
微分运算法则：
f g在x处可微，并且 D( f g )( x) Df ( x) Dg ( x) f , g 在x处可微，并且 D f , g ( x) ( f ( x))T Dg ( x) ( g ( x))T Df ( x) uf在x处可微，并且 D(uf )( x) uDf ( x) f ( x) Du ( x) 若f:R R 3 ,g:R R 3，则向量积f g在处可微，并且 D( f g )( x) Df ( x) g ( x) f ( x) Dg ( x)
（）

f（x，y）d =
a y（ 1 x）
b
y2 （x）
f（x，y）dydx=
f（x，y）dxdy c x1 （y）
d
x2 （y）
极坐标下二重积分的计算法
（）
f（x，y）d = f（ cos， sin） d d =
（）

=

d
b
f（ cos， sin） d （ 1 ） f（ cos， sin） d （ 1 ）
含参数的切线方程：
4
x x(t0 ) x(t0 )

y y(t0 ) y (t0 )

z z (t0 ) z (t0 )

弧长计算公式：
s || r (t ) || dt

2 2 2 x(t ) x(t ) x(t ) dt

2012年陕西省高考数学试卷(理科)附送答案

2012年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A．（0，2]B．（0，2） C．（1，2]D．（1，2）2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|3．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能5．（5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m 甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m 甲＞m乙D．，m甲＜m乙7．（5分）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点8．（5分）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A． B． C． D．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为．12．（5分）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为．13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．14．（5分）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为．15．（5分）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF ⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．三、解答题16．（12分）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．17．（12分）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．18．（12分）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）19．（12分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．20．（13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．21．（14分）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设x n是f n（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，x n的增减性．2012年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A．（0，2]B．（0，2） C．（1，2]D．（1，2）【分析】根据集合的基本运算，进行求解即可．【解答】解：M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N={x|1＜x≤2}，故选：C．2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D3．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．4．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C 内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．5．（5分）（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z 轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A6．（5分）（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m 甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m 甲＞m乙D．，m甲＜m乙【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．【解答】解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D8．（5分）（2012•陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种【分析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×=6种情形；第三类：五局为止，共有2×=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C9．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．10．（5分）（2012•陕西）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A． B． C． D．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M 若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N 第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜12．（5分）（2012•陕西）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为1．【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a的值．【解答】解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，所以=10，解得a=1，故答案为：1．13．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．14．（5分）（2012•陕西）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF ⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．【分析】A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．【解答】解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4，故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．三、解答题16．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．【分析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．17．（12分）（2012•陕西）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．【分析】（1）设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{a n}的公比；（2）对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0，从而得证．【解答】（1）解：设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2∵q≠1，∴q=﹣2（2）证明：对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0∴对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．18．（12分）（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【分析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．【解答】证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为a⊥b，所以，又因为a⊂α，n⊥α，所以，故，从而a⊥c证法二如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题19．（12分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．【分析】（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．【解答】解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x20．（13分）（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．21．（14分）（2012•陕西）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设x n是f n（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，x n的增减性．【分析】（1）根据f n（）f n（1）=（﹣）×1＜0，以及f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当﹣1≤﹣＜0时、当0≤﹣≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出f n（x n）和f n+1（x n+1）的解析式，再由当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n（x n+1），且f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，从而得出结论．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，由f n+1（x n）f n+1（1）（x）的零点在（x n，1）内，从而有x n＜x n+1（n≥2），由此得出结＜0可得f n+1论．【解答】解：（1）由于n≥2，b=1，c=﹣1，f n（x）=x n+bx+c=x n+x﹣1，∴f n（）f n（1）=（﹣）×1＜0，∴f n（x）在区间内存在零点．再由f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．当＞1时，即b＞2或b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．当﹣1≤﹣＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣=≤4 恒成立．当0≤﹣≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣=≤4 恒成立．综上可得，﹣2≤b≤2．（3）证法一：在（1）的条件下，x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，则有f n（x n）=+x n﹣1=0，f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1=0．∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n 当x n+1（x n）．+1由（1）知，f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，f n+1（x n）f n+1（1）=（+x n﹣1）×1=+x n﹣1＜+x n﹣1=0，（x）的零点在（x n，1）内，∴x n＜x n+1（n≥2），故数列x2，x3，…，x n单故f n+1调递增数列．。

西安交通大学02-03年高等数学下册期末考试试题及答案

一、解答下列各题(每小题5分，共25分)1．设z y eu xcos sin =，求全微分du .2．求曲线t x 2sin =，t t y cos sin =，t z 2cos =在对应于4π=t 的点处的切线和法平面方程.3．计算曲线积分⎰+-Lx xdy dx e y 2)3(，式中L 是曲线x e y =上从)1,0(到),1(e 的一段.4．求函数206922+-++-=y x y xy x z 的极值. 5．求微分方程xxe y y 33=+''的一个特解. 二、解答下列各题(每小题6分，共24分)1．在x 轴上求一点，使它到点)2,1,0(-M 的距离等于它到平面9236=-+z y x 的距离. 2．函数),(y x z z =由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定，求yzx z ∂∂∂∂,. 3．改变二次积分⎰⎰⎰⎰-+x xdy y x f dx dy y x f dx 2 0211 0),(),(的积分次序，其中),(y x f 连续.4．计算曲面积分⎰⎰∑+++-++-+dxdy z y x dzdx z y x dydz x z y )()()(,其中∑是由1||,1||,1||≤≤≤z y x 所确定的立体的表面外侧.三、（9分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z I 2，其中Ω由z z y x 2222≤++所确定. 四、（9分）求半径为R 的质量分布均匀的半球面的重心坐标.五、（9分）求微分方程034=+'-''y y y 的积分曲线方程，使其在点)2,0(与直线0922=+-y x 相切.六、（9分）设曲面方程为0),(=--by z ax z F （b a ,为正常数）.),(v u F 具有一阶连续的偏导数，且022≠+v u F F ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量. 七、（9分）求微分方程)ln 1(ln x y y y x -+''=''满足e y y ='=)1( ,2)1(的特解.八、（6分）设L 是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为D ，n是L 的单位外法线向量，),(y x u 是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证：⎰⎰⎰∂∂+∂∂=∂∂D L dxdy y uxu ds n u )(2222一、解答下列各题(每小题6分，共60分)1．设点)2,6,3(-p 为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.2．求过点)3,2,1(-M 的平面，使它与平面03:=--+z y x π垂直，且与直线z y x L ==:平行.3．设2y xz =，求dz .4．在曲面2223y x z +=上求一切平面，使该切平面垂直于直线123-==z yx . 5．求曲线)ln(sin ,,t z ty tx ===ππ上，对应2π=t 点处的切线方程.6．改变二次积分⎰⎰⎰⎰-+x x dy y x f dx dy y x f dx 4042020),(),(的积分次序，其中),(y x f 连续.7．计算⎰⎰⎰Ω=zdV I ，其中积分域Ω是：z z y x2222≤++.8．计算曲线积分⎰+-L yx ydx xdy 22，其中L 是椭圆周212222-=+x y x 正向. 9．计算曲面积分⎰⎰∑dS y ||，其中∑为锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的部分曲面.10. 求微分方程211x y y x +=+'的通解. 二、（7分）求函数206922+-++-=y x y xy x z 极值. 三、（7分）函数),(y x z z =由方程0),(=--z y z x F 所确定，其中),(v u F 具有连续的一阶偏导数，且0≠'+'v u F F ，求yz x z ∂∂+∂∂. 四、（7分）设∑为上半球面221y x z --=的外侧，计算曲面积分。

2012年6月8日全国各地高考理科数学试题及参考答案陕西卷

2012年全国各地高考数学试题陕西省高考理科数学试题一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分).1. 集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则MN =( C )(A) (1,2) (B) [1,2) (C) (1,2] (D) [1,2] 2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )(A) 1y x =+ (B) 3y x =- (C) 1y x=(D) ||y x x = 3. 设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的( B )(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4. 已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( A )(A)l 与C 相交 (B) l 与C 相切 (C)l 与C 相离 (D) 以上三个选项均有可能 5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( A )(D) 356. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( B ) (A) x x <甲乙,m甲>m 乙 (B) x x <甲乙,m 甲<m 乙 (C) x x >甲乙,m 甲>m 乙(D) x x >甲乙,m 甲<m 乙7. 设函数()xf x xe =,则( D )(A) 1x =为()f x 的极大值点 (B)1x =为()f x 的极小值点 (C) 1x =-为()f x 的极大值点 (D)1x =-为()f x 的极小值点8. 两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( C )(A) 10种 (B)15种 (C) 20种 (D) 30种9. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( C )2 (C) 12 (D) 12- 10. 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( D )(A) 1000NP = (B) 41000NP =(C) 1000MP =(D) 41000MP =二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 观察下列不等式213122+<231151233++<, 222111712344+++<……照此规律,第五个．．．不等式为 2222211111111++234566+++<. 12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为 1 。

2012年陕西省高考数学试卷(理科)教师版

2012 年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题．（分）（ 2012?陕西）会合2≤4} ，则 M ∩N=（）1 5 M={ x| lgx ＞0} ，N={ x| x A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（1，2]D ．（1，2）【剖析】依据会合的基本运算，进行求解即可．【解答】解： M={ x| lgx ＞ 0} ={ x| x ＞1} ，N={ x| x 2≤ 4} ={ x| ﹣2≤ x ≤ 2} ，则 M ∩N={ x| 1＜ x ≤ 2} ，应选： C ．2．（5 分）（2012?陕西）以下函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．y=D ．y=x| x|【剖析】依据函数奇偶性和单一性的性质分别进行判断即可．【解答】解： A ．y=x+1 为非奇非偶函数，不知足条件．B ．y=﹣x 2是偶函数，不知足条件．C ．y= 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不知足条件．D ．设 f （ x ） =x| x| ，则 f （﹣ x ） =﹣ x| x| =﹣f （ x ），则函数为奇函数，当 x ＞0 时， y=x| x| =x 2，此时为增函数，当 x ≤0 时， y=x| x| =﹣x 2，此时为增函数，综上在 R 上函数为增函数．应选： D ．3．（5 分）（2012?陕西）设 a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则 “ ab=0是”“复数为纯虚数 ”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件【剖析】利用 “ab=0与”“复数为纯虚数 ”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．【解答】解：因为 “ab=0得” a=0 或 b=0，只有 a=0，而且 b ≠0，复数为纯虚数，不然不可立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0 而且b≠ 0，所以ab=0，所以 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab=0是”“复数为纯虚数”的必需不充足条件．应选： B．4．（5 分）（2012?陕西）已知圆 C： x2+y2﹣ 4x=0，l 为过点 P（3，0）的直线，则（）A．l 与 C 订交B．l 与 C 相切C．l 与 C 相离D．以上三个选项均有可能【剖析】将圆 C 的方程化为标准方程，找出圆心 C 坐标和半径 r，利用两点间的距离公式求出 P 与圆心 C 间的长，记作 d，判断获得 d 小于 r，可得出 P 在圆C 内，再由直线 l 过 P 点，可得出直线 l 与圆 C 订交．22∴圆心 C（ 2， 0），半径 r=2，又 P（3，0）与圆心的距离 d==1＜2=r，∴点 P 在圆 C 内，又直线 l 过 P 点，则直线 l 与圆 C 订交．应选： A．ABC﹣A1B1C1，5．（5 分）（2012?陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱CA=CC1=2CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．x 轴、y 轴和z 【剖析】依据题意可设CB=1， CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为轴成立如图坐标系，获得 A、B、B1、C1四个点的坐标，进而获得向量与的坐标，依据异面直线所成的角的定义，联合空间两个向量数目积的坐标公式，能够算出直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值．【解答】解：分别以 CA、CC1、CB为 x 轴、 y 轴和 z 轴成立如图坐标系，∵ CA=CC，∴可设，1=2CB CB=1 CA=CC=21∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（ 0， 2，﹣ 1），=（﹣ 2，2，1）可得?=0×（﹣ 2）+2×2+（﹣ 1）× 1=3，且= ，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线 AB1夹角，设直线 BC 与直线 AB 夹角为θ，则 cosθ==11应选： A．6．（5 分）（2012?陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（以下图），设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为 m甲，m乙，则（）A．甲＜乙，m 甲＞m 乙B．甲＜乙，m 甲＜ m 乙．甲＞乙，m甲＞m乙D．甲＞乙，m甲＜ m乙C【剖析】直接求出甲与乙的均匀数，以及甲与乙的中位数，即可获得选项．【解答】解：甲的平均数甲== ，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为 20，乙的中位数为29，所以 m 甲＜m 乙应选： B．7．（5 分）（2012?陕西）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1 为f（ x）的极大值点B．x=1 为 f （x）的极小值点C．x=﹣ 1 为 f （x）的极大值点D．x=﹣1 为 f（x）的极小值点【剖析】由题意，可先求出 f ′（ x）=（x+1） e x，利用导数研究出函数的单一性，即可得出 x=﹣1 为 f（x）的极小值点【解答】解：因为 f （x） =xe x，可得 f ′（x）=（x+1）e x，令 f ′（x） =（ x+1）e x=0 可得 x=﹣1令 f ′（x） =（ x+1）e x＞0 可得 x＞﹣ 1，即函数在（﹣ 1，+∞）上是增函数令 f ′（x） =（ x+1）e x＜0 可得 x＜﹣ 1，即函数在（﹣∞，﹣ 1）上是减函数所以 x=﹣ 1 为 f （x）的极小值点应选： D．8．（ 5 分）（ 2012?陕西）两人进行乒乓球竞赛，先赢三局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况（各人胜败局次的不一样视为不一样情况）共有（）A．10 种B．15 种C．20 种D．30 种【剖析】依据分类计数原理，全部可能情况可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类乞降即可得结果【解答】解：第一类：三局为止，共有 2 种情况；第二类：四局为止，共有 2× =6 种情况；第三类：五局为止，共有2×=12 种情况；故全部可能出现的情况共有2+6+12=20 种情况应选： C．9．（5 分）（2012?陕西）在△ ABC中，角 A，B，C 所对边长分别为a， b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【剖析】经过余弦定理求出 cosC的表达式，利用基本不等式求出 cosC的最小值．【解答】解：因为 a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知， c2=2abcosC，cosC==．应选： C．10．（ 5 分）（2012?陕西）如图是用模拟方法预计圆周率π的程序框图，P表示预计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．【剖析】由题意以及框图的作用，直接推测空白框内应填入的表达式．【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法预计圆周率π的程序框图， M 是圆周内的点的次数，当 i 大于 1000 时，圆周内的点的次数为 4M ，总试验次数为 1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．应选 D．法二：随机输入xi∈（ 0，1），yi∈（ 0，1）那么点 P（ xi， yi）组成的地区为以O（0，0），A（1，0）， B（ 1， 1），C（0，1）为极点的正方形．判断框内 x2i+y2i≤1，假如，谈谈明点P（ x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（ x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第 2 个判断框i＞1000，是入算此落在位内的点的个数那么的面 / 正方形的面 =M，一共判断了，1000 个点即π12÷1=∴π=（π的估）即行框内算的是故： D．．二、填空：把答案填写在答卡相的后的横上（本大共小 5 分，共 25 分）11．（ 5 分）（2012?西）察以下不等式：5 小，每①1+＜；②1+ +＜；③1+ + +＜；⋯照此律，第五个不等式1+ + + + +＜【剖析】由中所的三个不等式出它的共性：平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序n+1子与不等式序 n 的关系是 2n+1，分母是不等式的序即可获得通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+＜，1++＜，⋯．左式子是正整数的平方，右分式中的分n+1，得出第 n 个不等式，得出左式子是正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序n+1的平方右分式中的分子与不等式序n 的关系是 2n+1，分母是不等式的序n+1，故能够出第n 个不等式是1+⋯+＜，（n≥2），所以第五个不等式1++ ++ +＜故答案：1++ ++ +＜12．（5 分）（ 2012?西）若（a+x）5睁开式中x2的系数10，数a=1．【剖析】直接利用二式定理的睁开式的通公式，求出x2的系数是10，获得方程，求出 a 的．【解答】解：（ a+x）5睁开式中x2的系数，因（ a+x）5睁开式中x2的系数10，所以=10，解得a=1，故答案： 1．13．（ 5 分）（2012?西）如是抛物形拱，当水面在l ，拱离水面米．2米，水面 4 米．水位降落 1 米后，水面2【剖析】先成立直角坐系，将 A 点代入抛物方程求得m，获得抛物方程，再把 y= 3 代入抛物方程求得x0而获得答案．【解答】解：如成立直角坐系，抛物方程x2=my，将 A（2， 2）代入 x2=my，得 m= 2∴x2= 2y，代入 B（x0， 3）得 x0= ，故水面2 m．故答案： 2 ．14．（5分）（2012?陕西）设函数，＞，D 是由 x 轴和曲线 y=f，（x）及该曲线在点（ 1，0）处的切线所围成的关闭地区，则z=x﹣2y 在 D 上的最大值为 2．【剖析】先求出曲线在点（ 1，0）处的切线，而后画出地区D，利用线性规划的方法求出目标函数 z 的最大值即可．【解答】解：当 x＞ 0 时， f ′（x）= ，则 f ′（1）=1，所以曲线 y=f（x）及该曲线在点（ 1，0）处的切线为 y=x﹣1， D是由 x 轴和曲线 y=f（ x）及该曲线在点（ 1， 0）处的切线所围成的关闭地区如以下图暗影部分．z=x﹣2y 可变形成 y= x﹣，当直线 y= x﹣过点 A（0，﹣ 1）时，截距最小，此时 z 最大．最大值为2．故答案为： 2．15．（5 分）（2012?陕西）（考生注意：请在以下三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数 x 使| x﹣a|+| x﹣1| ≤3 成立，则实数 a 的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EF ⊥DB，垂足为 F，若 AB=6，AE=1，则 DF?DB= 5 ．C．（坐标系与参数方程）直线2ρ cos θ与=1圆ρ =2cos相θ交的弦长为．【剖析】 A；利用表示数轴上的x 到 a 的距离加上它到 1 的距离，它的最大值等于 3，作图可得实数 a 的取值范围．B；利用订交弦定理AE?EB=CE?ED，AB⊥CD可得 DE=；在Rt△ EDB中，由射影定理得： DE2=DF?DB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为一般方程分别为：x= ，（x﹣1）2+y2=1，进而可得订交弦长．【解答】解： A．∵存在实数 x 使| x﹣ a|+| x﹣1| ≤3 成立，而 | x﹣a|+| x﹣ 1| 表示数轴上的 x 到 a 的距离加上它到 1 的距离，又最大值等于 3，由图可得：当表示a 的点位于 AB之间时知足 | x﹣ a|+| x﹣1| ≤ 3，∴﹣ 2≤a≤ 4，故答案为：﹣ 2≤a≤4．B；∵ AB=6， AE=1，由题意可得△ AEC∽△ DEB， DE=CE，∴DE?CE=AE?EB=1×5=5，即 DE= ．在 Rt△EDB中，由射影定理得： DE2=DF?DB=5．故答案为： 5．C；∵ 2ρ cos θ，=1∴ 2x=1，即 x= ；2ρθ得：2+y2，又圆ρ=2cosθ的一般方程由ρx=2 cos=2x ∴（ x﹣ 1）2+y2，=1∴圆心（ 1， 0）到直线 x= 的距离为，∴订交弦长的一半为=，∴订交弦长为．故答案为：．三、解答题16．（ 12 分）（2012?陕西）函数（ A＞ 0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（ 1）求函数f（ x）的分析式；（ 2）设，，则，求α的值．【剖析】（1）经过函数的最大值求出数的分析式．（ 2）经过，求出A，经过对称轴求出周期，求出ω，获得函，经过α的范围，求出α的值．【解答】解：（1）∵函数 f（ x）的最大值为∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为3，∴ A+1=3，即 A=2，， = ， T=π，所以ω=2．故函数的分析式为y=2sin（2x﹣（ 2）∵，所以）+1．，∴，∵，∴＜∴∴．，＜，17．（ 12 分）（ 2012?陕西）设{ a n} 是公比不为 1 的等比数列，其前n 项和为S n，且 a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列 { a n} 的公比；（ 2）证明：对随意k∈ N+，S k+2，S k， S k+1成等差数列．【剖析】（1）设{ a n} 的公比为 q（q≠0，q≠1），利用 a5，a3，a4成等差数列联合通项公式，可得，由此即可求得数列 { a n} 的公比；（2）对随意 k∈ N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（ S k+2﹣ S k）+（ S k+1﹣ S k）=a k+2+a k+1 +a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣ 2）=0，进而得证．【解答】（1）解：设 { a n } 的公比为 q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴ 2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得 q=1 或 q=﹣2∵q≠ 1，∴ q=﹣2（2 ）证明：对任意 k ∈ N+， S k+2+S k+1﹣ 2S k= （ S k+2﹣ S k） + （ S k+1﹣ S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣ 2） =0∴对随意 k∈ N+，S k+2，S k， S k+1成等差数列．18．（ 12 分）（2012?陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线， b 是π外的一条直线（ b 不垂直于π）， c 是直线 b 在π上的投影，若 a⊥b，则 a ⊥c”为真．（2）写出上述命题的抗命题，并判断其真假（不需要证明）【剖析】（1）证法一：做出协助线，在直线上结构对应的方向向量，要证两条直线垂直，只需证明两条直线对应的向量的数目积等于 0，依据向量的运算法例获得结果．证法二：做出协助线，依据线面垂直的性质，获得线线垂直，依据线面垂直的判定定理，获得线面垂直，再依据性质获得结论．（ 2）把所给的命题的题设和结论互换地点，获得原命题的抗命题，判断出你命题的正确性．【解答】证明：（1）证法一：如图，过直线b 上任一点作平面α的垂线n，设直线 a， b， c，n 对应的方向向量分别是，，，，则，，共面，依据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为 a⊥b，所以，又因为 a? α， n⊥α，所以，故，进而a⊥ c证法二如图，记 c∩b=A，P 为直线 b 上异于点 A 的随意一点，过 P 做 PO⊥π，垂足为 O，则 O∈ c，∵PO⊥π， a? π，∴直线 PO⊥a，又 a⊥b，b? 平面 PAO，PO∩b=P，∴ a⊥平面 PAO，又 c? 平面 PAO，∴ a⊥ c（ 2）抗命题为：a 是平面π内的一条直线， b 是π外的一条直线（b 不垂直于π）， c 是直线 b 在π上的投影，若 a⊥c，则 a⊥b，抗命题为真命题19．（ 12 分）（ 2012?陕西）已知椭圆C1：+y2，椭圆C2以 C 的长轴为短轴，=11且与 C1有同样的离心率．（ 1）求椭圆 C2的方程；（ 2）设 O 为坐标原点，点A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，=2，求直线AB 的方程．【剖析】（1）求出椭圆：的长轴长，离心率，依据椭圆C2以 C1的长轴为短轴，且与C1有同样的离心率，即可确立椭圆C2的方程；（ 2）设A，B 的坐标分别为（x A， y A），（x B， y B），依据，可设AB 的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B 的横坐标，利用，即可求得直线 AB 的方程．【解答】解：（1）椭圆：∵椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且与的长轴长为 4，离心率为C1有同样的离心率∴椭圆C2的焦点在y 轴上， 2b=4，为∴ b=2，a=4∴椭圆 C2的方程为（ 2）设 A，B 的坐标分别为（；x A，y A），（ x B，y B），∵∴ O， A，B 三点共线，当斜率不存在时，=2不可立，∴点A，B 不在y 轴上当斜率存在时，设AB 的方程为y=kx将 y=kx 代入，消元可得（1+4k2） x2=4，∴将 y=kx 代入，消元可得（2）x2，∴4+k=16∵，∴=4 ，∴，解得 k=±1，∴AB的方程为 y=± x20．（ 13 分）（2012?陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假定顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对过去顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间12345（分）频次0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）预计第三个顾客恰巧等候 4 分钟开始办理业务的概率；（2）X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的散布列及数学希望．【剖析】（1）设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频次预计概率，可得Y 的分布列，A 表示事件“第三个顾客恰巧等候4 分钟开始办理业务”，则时间 A 对应三种情况：①第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟，由此可求概率；（ 2）确立 X 全部可能的取值，求出相应的概率，即可获得X 的散布列及数学期望．【解答】解：设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频次预计概率，得Y 的散布以下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1） A 表示事件“第三个顾客恰巧等候 4 分钟开始办理业务”，则时间 A 对应三种情况：①第一个客理所需 1 分，且第二个客理所需的3分；②第一个客理所需的 3 分，且第二个客理所需的1 分；③第一个和第二个客理所需的均 2 分．所以 P（ A） =0.1×0.3+0.3× 0.1+0.4× 0.4=0.22（ 2） X 全部可能的取： 0，1，2．X=0 第一个客理所需的超 2 分，所以 P（X=0） =P（Y＞2）=0.5；X=1第一个客理所需的 1 分且第二个客理所需超 1 分，或第一个客理所需的 2 分，所以 P（X=1）=0.1× 0.9+0.4=0.49；X=2两个客理所需的均 1 分，所以 P（X=2）=0.1× 0.1=0.01；所以 X 的散布列X012P0.50.490.01EX=0×0.5+1× 0.49+2× 0.01=0.51．21．（ 14 分）（ 2012?西）函数 f n（x）=x n+bx+c（n∈N+， b， c∈R）（ 1） n≥2，b=1， c= 1，明： f n（x）在区，内存在独一的零点；（2） n=2，若随意 x1， x2∈[ 1，1] ，有 | f2（ x1） f 2（x2） | ≤ 4，求 b 的取范；（ 3）在（ 1）的条件下，x n是 f n（x）在，内的零点，判断数列x2，x3，⋯，x n?s 的增减性．【剖析】（ 1）依据f（n）f（n1）=（）×1＜0，以及f（n x）在区，内增，可得f n（ x）在区，内存在独一的零点．（ 2）当 n=2，由意可得函数 f2（x）在 [ 1，1] 上的最大与最小的差M≤4，分当＞1、当≤ ＜ 0 、当 0≤ ≤ 1 三种状况，分求1得 b 的取范，再取并集，即得所求．（ 3）法一：先求出 f n（x n）和f n+1（x n+1）的分析式，再由当x n+1∈，，f n（x n） =0=f n+1（x n+1） =+x n+11＜+x n+11=f n（x n+1），且f n（x）在区，内增，故有x n＜x n+1，进而得出．法二： x n是 f n（x）=x n+x 1 在，内的独一零点，由f n+1（x n） f n+1（ 1）＜0 可得 f n+1（x）的零点在（ x n， 1）内，进而有x n＜x n+1（n≥2），由此得出．【解答】解：（1）因为 n≥2，b=1，c= 1， f n（x）=x n+bx+c=x n+x 1，∴ f n（）f n（1）=（）× 1＜0，∴ f n（ x）在区，内存在零点．再由 f n（ x）在区，内增，可得 f n（ x）在区，内存在独一的零点．（2）当 n=2，函数 f 2（ x） =x2+bx+c，随意 x1，x2∈[ 1，1] ，有 | f2（x1） f2（x2） | ≤ 4，故函数 f2（ x）在 [ 1，1] 上的最大与最小的差 M ≤4．当＞1，即＞或 b＜2 ， M=| f2（1）f2（1）| =2| b|＞4，与b 2相矛盾．当 1≤ ＜ 0 ，即 0＜ b≤ 2 ， M=f 2（ 1）=≤ 4 恒成立．当 0≤ ≤1 ，即 2≤b≤0 ，M=f2（ 1）=≤4 恒成立．上可得， 2≤b≤2．（ 3）法一：在（ 1）的条件下， x n是 f n（x）=x n +x 1 在，内的独一零点，有 f n（x n）= f n+1（x n+1）=+x n1=0，+x n+11=0．当 x +∈n1，，f（ x ）=0=f （x）=n n n+1 n+1+x +1＜n1+x1=f（x）．n+1n n+1由（1）知，f n（x）在区，内增，故有x n＜x n+1，故数列x2，x3，⋯，x n增数列．法二： x n是 f n（x）=x n+x 1 在，内的独一零点，f n+1（x n） f n+1（1）=（+x n1）× 1=+x n1＜+x n1=0，故 f n+1（ x）的零点在（ x n，1）内，∴ x n＜x n+1（n≥2），故数列 x2，x3，⋯，x n增数列．。

2012年陕西省高考数学试卷文科答案与解析

2012年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）2）M∩N=（陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x≤4}，则20121．（5分）（?2] [1，（1，2] D．1，2）B．[1，2）C．（A．对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．考点：计算题．专题：N．M∩先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出分析：2解答：，x≤2}N={x|x ≤4}={x|﹣2≤，解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1} ，x≤2}∴M∩N={x|1＜．故选C属于基础题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，点评：本题．）分）（2012?陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（2．（52=x|x| yy=x+1 D．C ．．A．B ﹣xy=考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）（2012?陕西）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图）（，则该样本的中位数、众数、极差分别是（如图所示）．A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53考叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差专算题分析接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可解答：由题意可知茎叶图共3个数值，所以中位数为11个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．4．（5分）（2012?陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件充分必要条件C．D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；，所以ab=0，0=a复数﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．5．（5分）（2012?陕西）如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q ）的程序框图，则图中空白框内应填入（．A．B．C．D．q=q=q= q=考点：循环结构．专题：计算题．分析：通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．解答：解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入．故选D．本题考查循环框图的应用，考查计算能力．点评：22）3，0）的直线，则（：Cx+y﹣4x=0，l为过点P（（6．5分）（2012?陕西）已知圆相切与．lC A．l与C相交 B 上三个选项均有可能D．以l与C相离C．线与圆的位置关系．：直考点计：算题．专题，利用两点间的距离公式求出C坐标和半径r 分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心Pl过，可得出P在圆C内，再由直线间的长，记作P与圆心Cd，判断得到d小于r 相交．与圆点，可得出直线lC22解答：=4）+y，解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2 r=2，0（2，），半径C∴圆心又P（3，0）与圆心的距离d= ，2=r＜=1 点，l过P内，又直线在圆∴点PC 与圆则直线lC相交．．A故选．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式以及点与圆的位置关系直线与圆的位置关系的关系来确定时线与圆相交；d=时，直线与圆相切；时，直线与圆相离表示圆心到线的距离为圆的半径7．（5分）（2012?陕西）设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）0 C．D．．﹣1．AB考倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系专算题分析两向量的坐标，以及两向量垂直根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积，得2co的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，22cosθ﹣1的值代入即可求出值．解答：解：∵=（1，cosθ），=（﹣1，2cosθ），且两向量垂直，2 =0，，即﹣1+2cosθ?∴=02．θ﹣1=0则cos2θ=2cosC 故选熟练掌握公式此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数公式，点评：及法则是解本题的关键．所示的几何体，截去两个三棱锥，得到图2?陕西）将正方体（如图1所示）（8．5分）（2012 ）则该几何体的左视图为（A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．解答：解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD在右侧的射影是正方形的对角线，1BC在右侧的射影也是对角线是虚线．1如图B．．B故选．点评题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力9．（5分）（2012?陕西）设函数f（x）=+lnx，则（）A．B．x=为f（x）的极小值点x=为f（x）的极大值点D．x=2为=2为f（x）的极大值点C．f（x）的极小值点x考用导数研究函数的极值专算题；压轴题分析求出其导函数，并找到导函数大和小对应的区间，即可求出结论解答：解：∵f（x）=+lnx；∴f′（x）=﹣+=；x＞2?f′（x）＞0；0＜x＜2?f′（x）＜0．∴x=2为f（x）的极小值点．故选：D．点评：本题主要考察利用导数研究函数的极值．解决这类问题的关键在于先求出其导函数，并求出其导函数大于0和小于0对应的区间．10．（5分）（2012?陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．B．C．D．a＜v＜v= ＜v＜v=考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v==∵0＜a＜b＞a+b∴．∴=∵v﹣a==a＞∴v综上可得，A 故选比较法中的比差法在比较大小中的点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，应用．分，二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5 共25分）．4=，则f（f（﹣4））=?11．（5分）（2012陕西）设函数发f（x）数的值．函考点：计算题．专题：））的值．（﹣4 4），然后再求ff（利分析：用分段函数先求f（﹣解答：解：因为函数，所以f（﹣4）==16，所以f（f（﹣4））=f（16）==4．故答案为：4．点评：本题考查函数的值的求法，注意分段函数的定义域的应用，考查计算能力．12．（5分）（2012?陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数由分析：和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号的关系2n+，分母是不等式的序n+，得出个不等式，即可得到通式，再n=，即可得出第五个不等解答：由已知中的不等1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性13．（5分）（2012?陕西）在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=2．余弦定理．考点：计算题．专题：即可．分析：由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b解答：2222×=4．2×2 ×2accosB=2b解：由余弦定理可知=a+c﹣+﹣2因为b是三角形的边长，所以b=2．故答案为：2．点评：本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2012?陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．物线的应用．抛：考点．算题；压轴题．计专题，得到抛物线方程，再y建立直角坐标系，点代入抛物线方程求分析进而得到答案代入抛物线方程求解答=m：如图建立直角坐标系，设抛物线方程=m，）代2m2=，，﹣3）得xx=﹣2y，代入B（x∴00m．故水面宽为2故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．15．（5分）（2012?陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF?DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE?EB=CE?ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射2影定理得：DE=DF?DB=5，即得答案；22，从而可得=11）+y﹣C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x 相交弦长．3成立，﹣a|+|x﹣1|≤|xA解答：解：．∵存在实数x使的距离加上它到1的距离，xa|+|x而|x﹣﹣1|表示数轴上的到a ，3≤1|﹣a|+|x﹣|x之间时满足AB的点位于a，由图可得：当表示3又最大值等于故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE?CE=AE?EB=1×5=5，即DE=．2在Rt△EDB中，由射影定理得：DE=DF?DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；222 x+y=2x，θ的普通方程由ρ=2ρcosθ得：又圆ρ=2cos22）+y=1，∴（x﹣1x=的距离为，，∴圆心（10）到直线∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2012?陕西）已知等比数列{a}的公比为q=﹣．n（Ⅰ）若a=，求数列{a}的前n项和；n3（Ⅱ）证明：对任意k∈N，a，a，a成等差数列．k+1+kk+2考点：等比数列的前n项和；等差关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：2（Ⅰ）由a==aq，以及q=﹣可得a=1，代入等比数列的前n项和公式，运算131求得结果．2代q=﹣1），把（a+a）为2q﹣q﹣（化简∈（Ⅱ）对任意kN，2a﹣k+1+k+2k入可得2a﹣（a+a）=0，故a，a，a成等差数列．k+1kk k+1k+2k+2解答：2解：（Ⅰ）由a==aq，以及q=﹣可得a=1．131∴数列{a 项和n的前}nn k+1﹣﹣=+a）=2aq∈N，2a﹣（a（Ⅱ）证明：对任意k1k +k+2k+12．（2q﹣q﹣1）2成等差a，a，+a）=0，故a2a把q=﹣代入可得2q﹣q﹣1=0，故﹣（a k+1k+1kk k+2k+2数列．项和公式的应n本题主要考查等差关系的确定，等比数列的通项公式，等比数列的前点评：用，属于中档题．）的最大值＞0＞0，ω（A17．（12分）（2012?陕西）函数，3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为为）求函数f（x）的解析式；1（，则，求α的值．（2）设考y=Asix）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值专角函数的图像与性质分析）通过函数的最大值求，通过对称轴求出周期，求，得到函数的解析式（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．﹣故函数的解析式为y=2sin（2x．+1），所以（2）∵，∴，∵∴，∴，∴．）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简φx+ω（y=Asin题考查由本点评：求值，考查计算能力．分）（2012?陕西）直三棱柱ABC﹣ABC中，AB=AA18．（12，∠CAB=．1111⊥BA；（Ⅰ）证明：CB11﹣ABA的体积．（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C11考线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积专算题；证明题分析）连A，根AB是直三棱柱，得到平AB⊥平AB，AA，可A⊥平AB，从而AB，再在正方AB中AB最后根据线面垂直的判定定理得B⊥平AC所CB1（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC==1，又因为直三棱柱ABC﹣ABC中，AC=AC=1且AC⊥平面ABBA，得到AC是三棱锥C﹣ABA11111111111的高，且它的长度为1．再根据正方形ABBA面积得到△ABA的面积，最后根据111锥体体积公式，得到三棱锥C﹣ABA的体积为．11解答：解：（I）连接AB，1∵ABC﹣ABC是直三棱柱，111∴平面ABC⊥平面ABBA，11又∵平面ABC∩平面ABBA=AB，AC⊥AB，11∴AC⊥平面ABBA，11?平面ABBA，∴AC⊥BA，∵BA 1111∵矩形ABBA中，AB=AA，111∴四边形ABBA是正方形，11∴AB⊥BA，11又∵AB、CA是平面ACB 内的相交直线，11∴BA⊥平面ACB，11?平面ACB，∴CB⊥∵CBBA；1111（II）∵AB=2，BC=，∴Rt△ABC中，AC==1∴直三棱柱ABC﹣ABC中，AC=AC=1 11111又∵AC∥AC，AC⊥平面ABBA，1111∴AC是三棱锥C﹣ABA的高．1111∵△ABA的面积等于正方形ABBA 面积的一半111．2=2=AB∴三棱锥C﹣ABA的体积为V=C×A=．×1111点评：本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，证明线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点，属于中档题．19．（12分）（2012?陕西）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：计算题；数形结合．分析：（Ⅰ）先从频数分布图中得到甲品牌产品寿命小于200小时的个数，与总数相比求出频率，即可得到概率；（Ⅱ）先求出已使用了200小时的产品总数，再找到是甲品牌的个数，二者相比即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为：=，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为：．（Ⅱ）根据抽样结果寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，．小时的产品是甲品牌的频率是200所以在样本中，寿命大于用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为：．点评题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力是对基础知识的考察，解题的关键在于能读懂频数分布直方图．2C的长轴为短轴，且与C，椭圆以C+y（13分）2012?陕西）已知椭圆C：=120．（1211有相同的离心率．的方程；）求椭圆C（12=2，求直线2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C和C上，AB的方程．（21线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质考专合题；压轴题．分析：的长轴为短轴，C离心率，根据椭圆C以1（）求出椭圆的长轴长，12且与C有相同的离心率，即可确定椭圆C的方程；21（2）设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），根据，可设AB的方程BABA，即可求得A，B的横坐标，利用和为y=kx，分别与椭圆CC联立，求出21的方程．直线AB解答：的长轴长为4，离心率为（解：1）椭圆∵椭圆C以C的长轴为短轴，且与C有相同的离心率121∴椭圆C的焦点在y轴上，2b=4，为2a=4 ，∴b=2；C的方程为∴椭圆2（2）设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），BABA∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx22 x=4，∴1+4k将y=kx代入，消元可得（）22 =16，∴x4+k代入将y=kx，消元可得（），=4，∴∵．∴，解得k=±1，A的方程yx点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．n R），c∈（n∈N，b（14分）（2012?陕西）设函数f（x）=x+bx+c21．+n）内存在唯一的零点；）在区间（，1﹣1，证明：f（x）设（1n≥2，b=1，c=n的最小值和最大值；1，求b+3c（1）|≤，）设n为偶数，|f（﹣1）|≤1|f（2|f，有，1]∈[﹣1 的取值范围．，求bx）|≤4（x，若对任意（3）设n=2x，x）﹣f（222211数恒成立问题；函数零点的判定定理；简单线性规划的应用考算题；证明题；综合题；压轴题专：分析：n，再用导数）＜0）f（1）x=x+x﹣1，易求f（1（）当b=1，c=﹣1，n≥2时，f（nnn判断f（x）的单调性即可使结论得证；（2）解法一，由题意知，即，作出图，用线性规划的知识即可使问题解决；解法二，由﹣1≤f（1）=1+b+c≤1，即﹣2≤b+c≤0①，﹣1≤f（﹣1）=1﹣b+c≤1，即﹣2≤﹣b+c≤0②，由①②可求得：﹣6≤b+3c≤0，问题即可解决；解法三由题意知，解得b=，c=，b+3c=2f（1）+f（﹣1）﹣3，由﹣6≤b+3c≤0，可得答案；2∈[﹣1，1]，有|f（x）﹣f（x）|，f（3）当n=2时，（x）=x+bx+c，对任意xx≤4，222121等价于在[﹣1，1]上最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论解决即可．n解答：解：（1）当b=1，c=﹣1，n≥2时，f（x）=x+x﹣1n∵f（）f（1）=（﹣）×1＜0，nn内存在零点，f（x）在区间∴n n1﹣又当x∈（，1）时，f′（x）=nx+1＞0，n∴f（x）在（，1）上单调递增，n∴f（x）在区间内存在唯一的零点；n）解法由题意，由图象知b+3c在点（0，﹣2）取到最小值﹣6，在点（0，0）处取到最大值0，∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；解法二由题意知﹣1≤f（1）=1+b+c≤1，即﹣2≤b+c≤0，①﹣1≤f（﹣1）=1﹣b+c≤1，即﹣2≤﹣b+c≤0，②①×2+②得：﹣6≤2（b+c）+（﹣b+c）=b+3c≤0，当b=0，c=﹣2时，b+3c=﹣6；当b=c=0时，b+3c=0；∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；解法三由题意知，解得b=，c=，∴b+3c=2f（1）+f（﹣1）﹣3，∵﹣1≤f（﹣1）≤1，﹣1≤f（1）≤1，∴﹣6≤b+3c≤0，当b=0，c=﹣2时，b+3c=﹣6；当b=c=0，时，b+3c=0；∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；2|f]，有﹣[1，1∈，≤4（x）|对任意f（3）当n=2时，（x）=x+bx+c，x，x（x）﹣f2112222，据此分类讨论如下：4上最大值与最小值之差M≤等价于在[﹣1，1]，与题设矛盾；＞4f（﹣1）|=2|b|1，即（i）当＞1|b|＞2，M=|f（）﹣22（ii）当﹣1≤﹣＜0，即0＜b≤2时，M=f≤4恒成立，（1）﹣f（﹣）=22（iii）当0≤恒成立，≤4 ﹣≤1，即﹣2≤b≤0时，M=f（﹣1）﹣f（﹣）=22．2≤b≤2综上所述，﹣．点评题考查函数恒成立问题，考查函数零点存在性定理的应用，考查线性规划的应用，也考查不等式的性质，考查绝对值的应用，渗透转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想的考查，综合性极强，运算量大，难度高，属于难题．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 西安交通大学高等数学（下册）期末考试
2012-7-13(A) 一．计算下列各题（每小题6分，共60分） 1．求曲线()(cos ,sin ,tan )2
t
r t t t = 在点(0,1,1)处的切线方程. 2．求曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程.
3．设f 是连续函数,
交换下列积分次序 2
1 2d (,)d x x f x y y -⎰⎰.
4．求微分方程450x
x x ++= 的通解. 5．设L 为圆周22(0)x y ax a +=>,
计算线积分L s ⎰.
6. 已知(2,sin )z f x y y x =-,(,)f u v 具有连续二阶偏导数,求2,z z x x y
∂∂∂∂∂. 7. 计算sin d d D
x x y y ⎰⎰,其中0,,2D x y y ππ===是由及2x y =所围的平面区域. 8. 设有一物体,由曲面224y x z --=与)(3
122y x z +=所围成,已知它在任意点(,,)x y z 处的密度z μ=,求此物体的质量.
9. 计算曲线积分
[cos d (sin )d ]x L e y x y y y +-⎰,其中L 是sin y x =从(0,0)A 到点(,0)B π的弧段.
10. 计算第二型面积分⎰⎰∑Λ++Λ+Λy
x z x z y z y x d d )1(d d d d ，其中∑为曲面
221y x z --=在xoy 平面上方部分,方向取上侧.
二、（10分）学工科分析者作(1),其余作(2)
(1)求线性微分方程组d d x Ax t = 的通解,其中111242335A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
. (2)求微分方程324t x
x x e -+= 的通解. 三.（8分）计算第一型曲面积分d z S ∑⎰⎰,其中曲面∑
是圆锥面z =上介于平面1
z =于2z =之间的部分.
四. （12分）设微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y ，
（1）证明：若,0)()(1=++x Q x P 则方程有一特解x
e y =；若,0)()(=+x xQ x P 则方程有一特解x y =.
（2）根据（1）的结论，求0)1(=+'-''-y y x y x 的通解和满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解. （3）求1)1(=+'-''-y y x y x 满足初始条件1]1)(ln[lim
0-=-→x
x y x 的特解. 五.(10分)求函数z y x u ++=,在条件 222222220x y z ax ay az a ++---+=)
0(>a 下的最小值，并证明:若∑为曲面22222222x y z ax ay az a ++=++-
, 35()d 108x y z S a π∑
++≥⎰⎰ .。