09年高考数学复合函数的导数课件资料讲解
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《复合函数的导数》课件
复合函数的导数
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
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复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
高考数学一轮复习课件：复合函数的导数
高考数学一轮复习课件 复合函数的导数
CONTENTS
目录
• 复合函数导数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数导数的应用 • 高考真题解析 • 练习题及答案解析
CHAPTER
01
复合函数导数的基本概念
复合函数的定义
总结词
理解复合函数的概念是掌握复合函数导数的基础。
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成的函数。简单来说，如果函数y=f(u)和函数u=g(x)存在，且g(x)有定义 域和值域，那么由这两个函数可以组成一个新的函数y=f(g(x))，这就是一个复合函数。
$f'(x) = frac{2}{x}$
答案及解析
解析5
利用对数函数的导数公式，对内部进行求导。
答案6
$f'(x) = e^xcos x - e^xsin x$
解析6
利用乘积法则，分别对每一项求导，然后合并同类项。
THANKS
感谢观看
CHAPTER
02
复合函数的求导法则
链式法则
链式法则
对于复合函数$f(g(x))$，其导数 为$f'(g(x)) cdot g'(x)$。
应用场景
当一个复合函数由多个函数嵌套而 成时，链式法则是求导的关键。
示例
若$f(x) = sin(x^2)$，则$f'(x) = 2x cos(x^2)$。
乘积法则
答案及解析
1 2
解析2
利用幂函数的导数公式，对根号下的部分进行求 导。
答案3
$f'(x) = -frac{1}{x^2}$
3
解析3
利用幂函数的导数公式，对分母进行求导。
CONTENTS
目录
• 复合函数导数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数导数的应用 • 高考真题解析 • 练习题及答案解析
CHAPTER
01
复合函数导数的基本概念
复合函数的定义
总结词
理解复合函数的概念是掌握复合函数导数的基础。
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成的函数。简单来说，如果函数y=f(u)和函数u=g(x)存在，且g(x)有定义 域和值域，那么由这两个函数可以组成一个新的函数y=f(g(x))，这就是一个复合函数。
$f'(x) = frac{2}{x}$
答案及解析
解析5
利用对数函数的导数公式，对内部进行求导。
答案6
$f'(x) = e^xcos x - e^xsin x$
解析6
利用乘积法则，分别对每一项求导，然后合并同类项。
THANKS
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CHAPTER
02
复合函数的求导法则
链式法则
链式法则
对于复合函数$f(g(x))$，其导数 为$f'(g(x)) cdot g'(x)$。
应用场景
当一个复合函数由多个函数嵌套而 成时，链式法则是求导的关键。
示例
若$f(x) = sin(x^2)$，则$f'(x) = 2x cos(x^2)$。
乘积法则
答案及解析
1 2
解析2
利用幂函数的导数公式，对根号下的部分进行求 导。
答案3
$f'(x) = -frac{1}{x^2}$
3
解析3
利用幂函数的导数公式，对分母进行求导。
《复合函数求导》课件
《复合函数求导》PPT课 件
本课件将详细介绍复合函数求导的概念和方法，并提供实例演练，帮助你掌 握这一重要的数学技巧。
什么是复合函数
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入而构成的函数。 复合函数的定义：设有函数y=f(u)，u=g(x)，则g(x)为f(u)的函数，称为复合函数，记作y=f(g(x))。 复合函数的示例：如sin(x^2)、e^(-2x)。
怎样对复合函数求导
1
链式法则的公式
2
若有f(u)和g(x)为可导函数，则(f(g(x)))'
= f'(u) * g'(x)。
3
链式法则的含义
链式法则是求解复合函数导数的重要 方法。
链式法则的应用
通过链式法则，我们可以将复杂的复 合函数求导问题简化为简单的导数计 算。
实例演练
实现链式法则的步骤
- 确定外函数和内函数- 分别求导外函数和内函数
2 复合函数求导的注意事项
注意在求导过程中使用链式法则，正确处理连锁关系。
3 复合函数求导的练习题提示
多做练习，加深对链式法则的理解和掌握。
实例演练2
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=cos(u)，g(x)=x^2-1。
实例演练1
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=u^2，g(x)=5x^3。
实例演练3
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=ln(u)，g(x)=2x+1。
总结
1 复合函数求导的考点
了解复合函数的概念和求导方法。
本课件将详细介绍复合函数求导的概念和方法，并提供实例演练，帮助你掌 握这一重要的数学技巧。
什么是复合函数
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入而构成的函数。 复合函数的定义：设有函数y=f(u)，u=g(x)，则g(x)为f(u)的函数，称为复合函数，记作y=f(g(x))。 复合函数的示例：如sin(x^2)、e^(-2x)。
怎样对复合函数求导
1
链式法则的公式
2
若有f(u)和g(x)为可导函数，则(f(g(x)))'
= f'(u) * g'(x)。
3
链式法则的含义
链式法则是求解复合函数导数的重要 方法。
链式法则的应用
通过链式法则，我们可以将复杂的复 合函数求导问题简化为简单的导数计 算。
实例演练
实现链式法则的步骤
- 确定外函数和内函数- 分别求导外函数和内函数
2 复合函数求导的注意事项
注意在求导过程中使用链式法则，正确处理连锁关系。
3 复合函数求导的练习题提示
多做练习，加深对链式法则的理解和掌握。
实例演练2
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=cos(u)，g(x)=x^2-1。
实例演练1
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=u^2，g(x)=5x^3。
实例演练3
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=ln(u)，g(x)=2x+1。
总结
1 复合函数求导的考点
了解复合函数的概念和求导方法。
复合函数的导数(PPT)3-2
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
科学家调查了该天体的轨道是如何转变为几乎圆形的轨道，通过对轨道演化的时间计算，发现如果海卫一冰壳之下是液态海洋的话，那么至今这片海洋依然 存在。最新的研究计算了海卫一表层冰壳厚度是如何影响潮汐耗散以及地下海洋的结晶化过程，结果显示假如海卫一的冰壳厚度较薄，那么潮汐力作用就很 明显加热效应也会越强，反之冰壳较厚的话，海卫一就会更加坚固，潮汐力产生的热效应较弱但即便是液体海洋也将会是富含氮的海洋此外海卫一的岩质核 心的具体大小还是个未知数，这将决定内核放射性同位素衰变释放的热量科学家认为海卫一的地下海洋可以作为外星生命的栖息地，虽然仍然有许多争论， 比如木卫二就是外星生命栖息地的候选者之一，即便海卫一生命出现的概率远小于木卫二欧罗巴，但也不能将其排除。研究人员推测海卫一地下海洋或存在 硅基生命，它们并不是以碳元素作为基础，还没有足够的研究揭示硅烷在特殊行星环境下的行为，[]其他相关编辑海王星俘获海卫一大小与冥王星相仿，围 绕海王星； 股票知识：https:// ； 旋转的方向和海王星自转的方向相反，所处的位置恰好在海王星的内层卫星和外层卫星轨道之间。 太阳系中的其他行星也有逆行卫星，但大小都比不卫一，轨道也没这么独特。因此，海卫一的来源成为一个谜。美国天文学家日报告说，海卫一很可能原先 是围绕太阳旋转的一个双星系统的一部分，遇到海王星后被其俘获。这一观点发表在新一期《自然》杂志上。加州大学圣克鲁斯分校的艾格诺和马里兰大学 的汉密尔顿认为，海卫一原先所属的双星系统，类似于冥王星与其卫星冥卫一的关系，即双方质量相差不太大，无所谓谁围绕谁旋转，实际上是双星围绕它 们的公共质心旋转，而这个公共质心又围绕太阳旋转。但是，当这个双星系统与海王星近距离相遇时，海王星的引力便破坏了双星体系，其中的一个星体被 海王星俘获。由于双星系统的残余影响和海王星的引力共同作用，海卫一的轨道旋转方向就变成和海王星自转方向相反。研究人员指出，近年来天文学家在 太阳系中发现了多个双星系统，特别是在太阳系外围盛产小行星的柯伊伯带有%的小行星构成双星系统，地球附近的小行星也有%属于双星系统，小行星双 星系统遇到海王星这样的大质量行星的概率相当大。此前曾有天文学家猜测，海卫一的奇特运行轨道可能是它和海王星的其他卫星碰撞所致。但艾格诺等人 指出这种碰撞既要大到足以改变海卫一的轨道，又不能太大以致海卫一被撞毁，其发生概率很小，冥王星（小行星序号：Pluto；天文代号：?，Unicode编 码：U+7）是柯伊伯带中的矮行星。冥
科学家调查了该天体的轨道是如何转变为几乎圆形的轨道，通过对轨道演化的时间计算，发现如果海卫一冰壳之下是液态海洋的话，那么至今这片海洋依然 存在。最新的研究计算了海卫一表层冰壳厚度是如何影响潮汐耗散以及地下海洋的结晶化过程，结果显示假如海卫一的冰壳厚度较薄，那么潮汐力作用就很 明显加热效应也会越强，反之冰壳较厚的话，海卫一就会更加坚固，潮汐力产生的热效应较弱但即便是液体海洋也将会是富含氮的海洋此外海卫一的岩质核 心的具体大小还是个未知数，这将决定内核放射性同位素衰变释放的热量科学家认为海卫一的地下海洋可以作为外星生命的栖息地，虽然仍然有许多争论， 比如木卫二就是外星生命栖息地的候选者之一，即便海卫一生命出现的概率远小于木卫二欧罗巴，但也不能将其排除。研究人员推测海卫一地下海洋或存在 硅基生命，它们并不是以碳元素作为基础，还没有足够的研究揭示硅烷在特殊行星环境下的行为，[]其他相关编辑海王星俘获海卫一大小与冥王星相仿，围 绕海王星； 股票知识：https:// ； 旋转的方向和海王星自转的方向相反，所处的位置恰好在海王星的内层卫星和外层卫星轨道之间。 太阳系中的其他行星也有逆行卫星，但大小都比不卫一，轨道也没这么独特。因此，海卫一的来源成为一个谜。美国天文学家日报告说，海卫一很可能原先 是围绕太阳旋转的一个双星系统的一部分，遇到海王星后被其俘获。这一观点发表在新一期《自然》杂志上。加州大学圣克鲁斯分校的艾格诺和马里兰大学 的汉密尔顿认为，海卫一原先所属的双星系统，类似于冥王星与其卫星冥卫一的关系，即双方质量相差不太大，无所谓谁围绕谁旋转，实际上是双星围绕它 们的公共质心旋转，而这个公共质心又围绕太阳旋转。但是，当这个双星系统与海王星近距离相遇时，海王星的引力便破坏了双星体系，其中的一个星体被 海王星俘获。由于双星系统的残余影响和海王星的引力共同作用，海卫一的轨道旋转方向就变成和海王星自转方向相反。研究人员指出，近年来天文学家在 太阳系中发现了多个双星系统，特别是在太阳系外围盛产小行星的柯伊伯带有%的小行星构成双星系统，地球附近的小行星也有%属于双星系统，小行星双 星系统遇到海王星这样的大质量行星的概率相当大。此前曾有天文学家猜测，海卫一的奇特运行轨道可能是它和海王星的其他卫星碰撞所致。但艾格诺等人 指出这种碰撞既要大到足以改变海卫一的轨道，又不能太大以致海卫一被撞毁，其发生概率很小，冥王星（小行星序号：Pluto；天文代号：?，Unicode编 码：U+7）是柯伊伯带中的矮行星。冥
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
高等数学第九章第四节多元复合函数的求导法则课件.ppt
tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
xfy12z
f2f2, u
fy12f
2
2 f u v
,
例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
说明: 若定理中
复合函数求导PPT课件
在书写时不要把 写成 ,两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 的求导. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间 变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
因为k立.
例6:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x) 解:
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法 则.
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以 证明: 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: ,故 为 奇函数. 同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数 的导函数也是周期函数. 证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x). 两边同时对x求导得: 即 也是以T为周期的周期函数.
备用
在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线 问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限 的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切 线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们 不便去过多的去研究. 下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任 意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.) 例子:求椭圆 在点 处的切线方程. 解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得: 于是所求切线方程为:
复合函数的导数(第四课时) (2)
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
复合函数的导数
[知识要点]:
1.由几个函数复合而成的函数,叫复合函数,函数
是由和复合而成的.
2.设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数
,则复合函数 在点 处也有导数,且
,或写作
[激活思维]:
例1指出下列函数的复合关系:
变式引申:1.若 则 , .
2.函数 是由哪些函数复合而成的?
例2 (2003年青岛市)求 的导数.
变式引申:1.求函数 的导数.
例3求下列函数的导数.
变式引申:1.设 ,则 等于
2.函数 的导数是
[分级训练]:
A.基础训练
1.函数 是由 复合而成,其中 是中间变量,由于 ,
,因而
2.设 ,则
3.设函数 ,则
4.设 ,且 则 .
B.能力培养
5.设 ,则 .
6.曲线 在点 处的切线方程为
.
7.写出函数 的复合过程.
8.设 ,求曲线在点 处的切线方程.
C.综合提高
9.已知函数 在R上可导,函数
,则 .
10.求曲线 在点 处的切线方程.
[备选练习]:1.设 ,则2.求 Nhomakorabea数 的导数.
第 页
第□讲
复合函数的导数
[知识要点]:
1.由几个函数复合而成的函数,叫复合函数,函数
是由和复合而成的.
2.设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数
,则复合函数 在点 处也有导数,且
,或写作
[激活思维]:
例1指出下列函数的复合关系:
变式引申:1.若 则 , .
2.函数 是由哪些函数复合而成的?
例2 (2003年青岛市)求 的导数.
变式引申:1.求函数 的导数.
例3求下列函数的导数.
变式引申:1.设 ,则 等于
2.函数 的导数是
[分级训练]:
A.基础训练
1.函数 是由 复合而成,其中 是中间变量,由于 ,
,因而
2.设 ,则
3.设函数 ,则
4.设 ,且 则 .
B.能力培养
5.设 ,则 .
6.曲线 在点 处的切线方程为
.
7.写出函数 的复合过程.
8.设 ,求曲线在点 处的切线方程.
C.综合提高
9.已知函数 在R上可导,函数
,则 .
10.求曲线 在点 处的切线方程.
[备选练习]:1.设 ,则2.求 Nhomakorabea数 的导数.
第 页
复合函数及其求导法则PPT课件
复合函 ＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为
数的求 导法则
yx′＝ yu′·ux′ .即y对x的导数等 于
y对u的导数与u对x的导数的乘积
.
-
9
-
10
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成 的．
①y＝a3x＋2 ③y＝log2(x2－2x＋3)
-
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1)
• 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是 外层函数y＝f(u)的定义域的子集．
• 2．求复合函数的导数处理好以下环节
• (1)中间变量的选择应是基本函数结构；
• (2)关键是正确分析函数的复合层次；
• (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地 求导；
• (4)善于把一部分表达式作为一个整体；
⑥y＝4 3－lnx
11
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
-
12
[例 2] 求下列函数的导数
(1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4)
(3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1
(5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
[解析] y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3
3x－π6，即 6
3x－2y－
-
3π＋2＝0.
22
-
23
复合函数的求导法则ppt课件
1 － 2a = 2b －4
ab 5. 2
解(2): ab a b
ab (a b)2 25 .
2
2
16
16
再见!
17
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
10
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ; 3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
13
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1
kPA
a
b
2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x yu' u'x (sin u)' x ' cos u cos x .
11
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3x 1)2
解出a即可。
15
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),
复合函数求导课件
思考？如何求函数
y ln x 2
的导函数：
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ( ( x )), 令u ( x ), 若y f (u )是中间变量u的函数， u ( x )是自变量x的函数，则称 y f ( ( x ))是自变量x的复合函数.
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 ) 注意：
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
例4 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)
5
因为
5u 4 , u yu x 3,
4 4 4 y y u 5 u 3 5 ( 3 x 2 ) 3 15 ( 3 x 2 ) 所以 x u x
2 (B) 例2 求函数 y ln(1 x ) 的导数
解：设 因为
y ln u
则
u 1 x2
1 3 解：y (ln x ) [(ln x) ] 3 ( x ) 3(ln x) 2 (ln x) x 1 2 3 3 3 2 1 2 3 3x 3(ln x) (ln x) [1 (ln x) 2 ] x x x x x
3 3
(B) 例12 求下列函数的导数
3 y cos( x ) (A)2.
2 3 解：y (cosx3 ) sin x3 ( x3 ) 3x sin x
(B)3. y e
sin
1 x
1 x
sin 1 x
1 1 1 e cos ( ) 解： y e (sin ) x x x 1 1 sin 1 1 sin 1 x e ( 2 ) cos e x cos 1 x x x x2
高三数学 优秀教学《复合函数的导数》课件
2.复合函数的导数:
设函数 u ( x ) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 yu f (u) ,则复合函数 y f [ ( x )] f [ ( x )] f ( u) ( x ). 在点x处也有导数,且 yx y u u x ; 或记 x 在书写时不要把 f x[ ( x)]写成 f [ ( x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 ( x ) 的求导.
sin x ) 解: y 3(tan x) (tan x) 3 tan x ( cos x sin x 3 cos x cos x sin x( sin x) 3( ) cos x cos 2 x sin x 2 1 2 4 3( ) 3sin x sec x. 2 cos x cos x
ln x; ' x x 1 y e ln x e x
x
6 y x 2 2 cos x;
y 2 x 2 sin x
x 8 y ; 1 x
1 y 2 (1 x)
'
前课复习
3.例如求函数y=(3x-2)2的导数？
2
2
y 'x y ' [ 3x 2 ]' 9 x 12 x 4 ' 18 x 12
12 . 5 (1 3 x ) 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x
4(1 sin2 x )3 2 sinx cos x 4(1 sin2 x )3 sin2 x .
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3tan2 x(sinx) coxs
3 (c sio x x n )2sco x cso x c s s 2 o x ix s (n six )n
3(csionxxs)2co12sx
3si2nxse4xc
(4) y(2x23) 1x2
解: y(2x23) 1x2
1
(2x23)1(x2)2
y
1
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在利用复合函数的导数重新加以证明: 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得: f ( x ) x ) ( f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,故 f (x)为 奇函数.
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
解: (1 )y f(x 2 )(x 2 ) 2 x f(x 2 );
(2 )yf(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
例6:求函数
x2 f(x)
1
x1 的导数.
3x1 x1
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达
式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用
定义来讨论分段点的可导性.
解:当x≠1时,
f(x)23x
x1
x. 1
又 而
x l 1 if fm ( (x x ) ) fx l( 1 1 ) ifm (x )x 2 f1 (1 )2 2 ,故f(x)在x=1处连续.
=40π(cm)2/s.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
1
例4:在曲线 y 1 x2上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知: 切线斜率 k f(x 0 ) (1 1 x 2 )|x x 0 (1 2 x x 0 2 0 )2 0 , x 0 0 . 把x0=0代入曲线方程得:y0=1.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[(x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[(x)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
设函数 u(x)在点x处有导数 ux (x),函数y=f(u)在
(3)y(1si2n x)4
解:设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则:
yxyuuvvx
(u4)u(1v2)v(sx i)n x 4u32vcoxs
4(1si2n x)32six n co xs
4(1si2n x)3si2n x
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:
(1) y(2x3x1)4
x
解: y4(2x3x1)3(2x3x1)
x
x
4(2x3x1 x)3(6x2x 1 21)
(2) y 5 x
1 x
解:
y1(
x
4
) 5(
x )
51x 1x
1(
x
4
)55 1x1 源自1x)214x5
(1
6
x) 5
5
(3)y=tan3x;
解: y3(taxn )2(taxn )
lim lim li(x m 1 ) 2 ;
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
f(x ) f( 1 ) 3 (x 1 ) 2
lim lim li3 m 3 ;
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
f(x)f(1) f(x)1 lim lim ,
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1)y(2x1)5 解:设y=u5,u=2x+1,则:
yx yuux
(u5)u(2x1)x
5u4 2 5(2x1)42
10(2x1)4
1 (2) y (13x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
yx yuux
(u4)u(13x)x
4u5(3)
12 (1 3x)5
点x的对应点u处有导数yuf(u),则复合函数 yf[(x)]
在点x处也有导数,且 yxyuux;或记 fx [(x) ]f(u)(x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu2u,ux3,从而 yxyuux1x 81.2 结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
(3)y[f(si2nx)f(c2oxs)] f(si2nx)(s2ixn)f(c2oxs)(c2ox)s f(si2nx)2sinxcoxsf(c2oxs)2coxs(sinx) sin2x[f(si2nx)f(c2oxs)].
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
3.4复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
4x(1x2)2
(2x2
3)
1(1x2)12
2x
2
4x
1x2
x(2x23)
1x2
6x3 x . 1 x2
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 R t = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 S t |R 1 0 2 R R t |R 1 0 212 0
同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数 的导函数也是周期函数.
证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得: f(x T )x ( T )f(x )即, f(xT)f(x).
f(x) 也是以T为周期的周期函数.
3 (c sio x x n )2sco x cso x c s s 2 o x ix s (n six )n
3(csionxxs)2co12sx
3si2nxse4xc
(4) y(2x23) 1x2
解: y(2x23) 1x2
1
(2x23)1(x2)2
y
1
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在利用复合函数的导数重新加以证明: 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得: f ( x ) x ) ( f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,故 f (x)为 奇函数.
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
解: (1 )y f(x 2 )(x 2 ) 2 x f(x 2 );
(2 )yf(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
例6:求函数
x2 f(x)
1
x1 的导数.
3x1 x1
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达
式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用
定义来讨论分段点的可导性.
解:当x≠1时,
f(x)23x
x1
x. 1
又 而
x l 1 if fm ( (x x ) ) fx l( 1 1 ) ifm (x )x 2 f1 (1 )2 2 ,故f(x)在x=1处连续.
=40π(cm)2/s.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
1
例4:在曲线 y 1 x2上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知: 切线斜率 k f(x 0 ) (1 1 x 2 )|x x 0 (1 2 x x 0 2 0 )2 0 , x 0 0 . 把x0=0代入曲线方程得:y0=1.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[(x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[(x)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
设函数 u(x)在点x处有导数 ux (x),函数y=f(u)在
(3)y(1si2n x)4
解:设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则:
yxyuuvvx
(u4)u(1v2)v(sx i)n x 4u32vcoxs
4(1si2n x)32six n co xs
4(1si2n x)3si2n x
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:
(1) y(2x3x1)4
x
解: y4(2x3x1)3(2x3x1)
x
x
4(2x3x1 x)3(6x2x 1 21)
(2) y 5 x
1 x
解:
y1(
x
4
) 5(
x )
51x 1x
1(
x
4
)55 1x1 源自1x)214x5
(1
6
x) 5
5
(3)y=tan3x;
解: y3(taxn )2(taxn )
lim lim li(x m 1 ) 2 ;
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
f(x ) f( 1 ) 3 (x 1 ) 2
lim lim li3 m 3 ;
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
f(x)f(1) f(x)1 lim lim ,
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1)y(2x1)5 解:设y=u5,u=2x+1,则:
yx yuux
(u5)u(2x1)x
5u4 2 5(2x1)42
10(2x1)4
1 (2) y (13x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
yx yuux
(u4)u(13x)x
4u5(3)
12 (1 3x)5
点x的对应点u处有导数yuf(u),则复合函数 yf[(x)]
在点x处也有导数,且 yxyuux;或记 fx [(x) ]f(u)(x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu2u,ux3,从而 yxyuux1x 81.2 结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
(3)y[f(si2nx)f(c2oxs)] f(si2nx)(s2ixn)f(c2oxs)(c2ox)s f(si2nx)2sinxcoxsf(c2oxs)2coxs(sinx) sin2x[f(si2nx)f(c2oxs)].
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
3.4复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
4x(1x2)2
(2x2
3)
1(1x2)12
2x
2
4x
1x2
x(2x23)
1x2
6x3 x . 1 x2
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 R t = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 S t |R 1 0 2 R R t |R 1 0 212 0
同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数 的导函数也是周期函数.
证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得: f(x T )x ( T )f(x )即, f(xT)f(x).
f(x) 也是以T为周期的周期函数.