数学分析 第三章 习题课

inf o
f ( x ).
四、两个重要极限
设 为某过程中的无穷小， 为无穷大，则
某过程
lim (1 ) lim (1

某过程
某过程
1
1

) e.

lim
sin

1;
五、常用等价无穷小量
当x 0时 : sin x～ x, tan x ～x, arcsin x～ x, arctan x ～x, x x 1 cos x ～ , ln( 1 x)～x, e 1～ x. 2
x - 1 [ x] x, xf ( x ) - 1 [ xf ( x )] xf ( x ),
x , 可设x 0,
1 [ xf ( x )] f ( x) - f ( x ), x x
x x
a
a
由迫敛性，得证。
例5
sin x lim x 0 x 1 lim x sin x 0 x
| D( x1 ) D( x2 ) | 1 0 ,
由Cauchy收敛准则，得证。
例3
1， x : 有理数 证明：D( x ) 0， x : 无理数
在任何点极限不存在。 证法三
a 1,
1 x0 , 取 0 | 1 a | 0, 2 0, 取x1 U o ( x0 , )为有理数，则
( 2) arctan2 x 用等价无穷小2 x 代换， 再将分母有理化，可得 极限 4。
(3) 分子分母同除 x , 可得极限 1。
(4) lim (sin x 1 sin x )
x
解
x1 x x1 x 原式 lim 2 sin cos x 2 2
| 2 sin x1 x x1 x x1 x cos || 2 |. 2 2 2
取M1 1, x1 S , 使x1 M1 , 取M 2 x1 2, x2 S , 使x2 M 2 ,
取M n xn1 n, xn S , 使xn M n ,
则{ xn } S递增, 且xn , ( n ).
证毕。
例8
例1
写出下列极限的精确定义：
x
(1) lim f ( x ) ,
( 3) lim f ( x ) ,
x x0
( 2) lim f ( x ) A.
x x0
(4) lim f ( x ) A.
x
解 (1) G 0 , M 0 ,x -M, 有f(x) G.
例3
1， x : 有理数 证明：D( x ) 0， x : 无理数
在任何点极限不存在。 证法一
x0 , 取{ x n }为有理数，使 xn x0 ,
取{ x n }为无理数，使 xn x0 ,
则D( x n ) 1 1,
D( x n ) 0 0,
| D( x1 ) a || 1 a | 0 ,
即 lim D( x ) a;
x x0
当a 1,
1 x 0 , 取 0 0, 2 0, 取x2 U o ( x0 , )为无理数，则
1 | D( x2 ) a || 0 1 | 0 , 即 lim D( x ) 1。 证毕。 x x0 2
lim x sin x
x 0
1,
0,
0, 不存在,
sin x lim 0,（o(1)•O(1)） x x 1 lim x sin 1, x x
x
lim x sin x
不存在, 0.
1 1 lim sin x 0 x x
1 1 lim sin x x x
n
解 由 | sin n2 1 | | sin n2 1 sin n sinn |
| sin n2 1 sin n | | sinn |
和差化积
2 2
为0
n 1 n n 1 n 2 | cos sin | 2 2
n2 1 n n2 1 n 2 | sin |2 2 2
f ( x ) O(1) L 0, 使 | f ( x ) | L. f ( x ) o( g( x )) f ( x ) O( g( x )), 反之不然。
o(1)+o(1)=o(1). O(1)+O(1)=O(1). O(1)· o(1)=o(1).
o(1)· o(1)=o(1). O(1)· O(1)=O(1).
一、函数的24类极限
lim f ( x ) x
第三章 “函数极限” 习题 课
, x , , , ; : xo , x0 0
: A, , , 。
函数在一点的极限（含单侧极限）与函数在 这点的定义无关。
x0
x0
函数在 x 0 无定义、有极限 y
x 7| x 2| 故| 2 | 14 | x 2 | . 4x 7 | 4x 7 |
1 x 0, 取 min{ , }, 0 | x 2 | , 有 | 2 | . 8 14 4x 7
x 即 lim 2. x2 4 x 7
x x
1 1 o 例11 证明g( x ) cos 在任意 U (0)上无界， x x 但x 0时不是无穷大量。
分析 若g( x )在某U o (0; )有界，即
M 0, x U o (0; ), 有 | g( x ) | M . 1 1 取 x0 , 只要n , 有x0 U o (0; ), 但 2 n 2 g( x0 ) 2n cos 2n 2n , M 而当n , 不可能 | g ( x0 ) | M . 2
2
六、求函数极限的一般方法
0 1. 对 型： 0
多项式 — —因式分解约去零因子 ， 根式 — —有理化约去零因子， 三角函数 — —利用 lim sin x 1， x0 x
2. 对 型：
其他 — —等价无穷小量代换。
分子分母同除“最大的 ”无穷大。
3. 利用两个重要极限。
4. 利用有界函数乘无穷小还是无穷小。
1 | | 0， ( x ) x 1 x
x1 x x1 x lim | 2 sin cos | 0. x 2 2
x1 x x1 x 从而 lim 2 sin cos 0. x 2 2
故原式=0。
例9
求 lim sin n2 1 .
由归结原则，D(x)在任意点 x0 没有极限。
例3
1， x : 有理数 证明：D( x ) 0， x : 无理数
在任何点极限不存在。 证法二
1 x0 , 取 0 , 0, 取x1 U o ( x0 , )为有理数， 2 取x 2 U o ( x0 , )为无理数，则
x 2. 例2 用定义证明： lim x2 4 x 7 证 | x 2| 7|x 2| .
4x 7 |4 x 7|
1 不妨设0 | x - 2 | , 则 8
1 3 4x 7 , 2 2
15 17 x , 8 8
1 | 4 x 7| , 2
1 n 1 n
2

lim sin n2 1 0.
n
例10 求
b lim ln( 1 a ) ln( 1 ) x x
x
变形
Байду номын сангаас
(a 1).
b lim ln[ a (1 a )] ln( 1 ) 解 原式 x x b x lim [( x ln a ln( 1 a )] ln( 1 ) x x b b x ln a lim x ln( 1 ) lim ln( 1 a ) ln( 1 ) x x x x ( 0 0) ( 0) x b b 第二个重要极限 b ln a lim ln( 1 ) 0 0 x x b ln a.
5、利用迫敛性。
七、证明极限不存在的方法
1. 利用归结原则。
} x0 , { x n } x0 , 但{ f ( xn )},{ f ( xn )} 找到两个数列{ xn )}发散。 不收敛同一个数；或 { f ( xn
2. 利用Cauchy收敛准则。
找到常数 0 0, 0, 找到两个点x , x, | x x | , 但 | f ( x ) f ( x) | 0 .
n n
Cauchy收敛准则：
x x0
lim f ( x ) A 0, 0, x, x U o ( x0 ; ), 有 | f ( x ) f ( x ) | .
单调有界必有单侧极限：
o (1) f在U ( x0 )单调递增、有界，则 lim f ( x ) x x0 xU ( x0 )
计算
1 x 3 (1) lim , 3 x 8 2 x
x
arctan 2 x ( 2) lim x 0 1 x 1
(4) lim (sin x 1 sin x ).
x
( 3) lim
x x x ， x1
解 (1) 分子分母同时有理化， 可得极限 - 2。
3. 证明左右极限不相等。
八、有界变量、无穷小量及其比较
f ( x) f ( x ) o( g( x )) lim 0. g( x )
f ( x ) o(1) lim f ( x ) 0.
f ( x) f ( x ) O( g( x )) L 0, 使 | | L. g( x )
o ( 2) 0, 0, x U ( x0 ; ),有 | f(x) A | .
( 3) G0 0, 0, x1 Uo ( x0 ; ),使 | f(x1 ) | G0 . (4) 0 0, M 0, x1 :| x1 | M, 使 | f(x1 ) A | 0 .

2
n
sin

2
.
n
原式 lim
sin 2 sin
n
n

lim
sin

2n

sin
n
2n
sin n
2

例7（P66.7）设数集S无上界. 试证明: 存在递增数列
{ xn } S , 使xn , ( n ).
证明
S无上界， M 0, x S , 使x M .
课后练习：
设
x , x : 有理数 f ( x) -x, x : 无理数
x x0 x 0
证明：若x0 0, lim f ( x )不存在；又lim f ( x )是否存在？
例4
证
[ xf ( x )] 已知： lim f ( x ) a , 证明： lim a. x x x
例 6求
解
lim cos
n

2
cos


2
2
cos

2
3
2
cos


2
n
sin 2 cos sin 2 cos cos 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 cos
3




2
cos

2 cos
n

2
2
2
cos

cos

2
2
2
3
sin

cos

2
3
23 cos
函数在x 0的函数值与极限值不等
x0
x
x0
函数在 x 0 有定义、无极限
函数在x 0的函数值与极限值相等
二、函数极限的性质
1、唯一性；2、局部有界性； 3、局部保号性；4、局部保不等式性； 5、迫敛性； 6、四则运算性。
三、函数极限存在的条件
归结原则：
x x0
lim f ( x ) A { xn } U o ( x0 ; ), 且 lim xn x0 , 有 lim f ( xn ) A.