2019届广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题(解析版)

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广东省2019届高三上学期期末联考数学文试题(解析版)

广东省2019届高三上学期期末联考数学文试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1，2，3，，，则A. B. 1，2，C. D. 3，【答案】A【解析】解：，，，，．故选：A．求解一元二次不等式化简集合N，然后直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.若复数z满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知向量，，若，则x的值为A. 1B. 2C. 3D.【答案】D【解析】解：即解得故选：D．利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程，求出x．本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量的数量积公式．4.已知双曲线C：的焦距为6，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线C：的焦距为6，可得：，解得，所以，可得．故选：B．利用双曲线的方程，转化求解焦距即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5.若，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，故选：C．根据两角和差的正切公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式是解决本题的关键．6.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元【答案】D【解析】解：设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：．解得．故选：D．设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，能求出结果．本题考查该教师目前的月退休金的求法，考查条形图和折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.已知函数，则下列命题中的真命题是A. 函数的周期是B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数在上单调递增【答案】C【解析】解：函数，可得的周期为，则A错误；由，，可得，，则B错误；由，即有，，可得的图象关于点对称，则C正确；由，，可得，，而，则D错误．故选：C．由正弦函数的周期公式可判断A；由正弦函数的对称轴方程可判断B；由正弦函数的对称中心可判断C；由正弦函数的增区间可判断D．本题考查三角函数的图象和性质，考查周期性、对称性和单调性的判断，考查运算能力，属于基础题．8.已知等差数列的公差不为零，前项和为，若，则A. B. C. 7 D.【答案】A【解析】解：等差数列的公差不为零，前项和为，，，解得，．故选：A．由等差数列的公差不为零，前项和为，，求出，由此能求出的值．本题考查等差数列的前7项和与第7项的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由三视图可知，该组合体由四分之一球体和半圆锥组成，故其体积为：，故选：D．关键是根据三视图明确原图为四分之一球体和半圆锥的组合体，求解容易．本题考查了由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.已知函数的定义域是R，其导函数是，且，则满足不等式的实数t的集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，，则为R上的增函数，由，得，即，则，．满足不等式的实数t的集合是．故选：C．构造函数，求导可知在R上为增函数，把转化为，则，求解对数不等式得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．11.已知椭圆E：的离心率为，一直线与椭圆E交于P，Q两点，且线段PQ的中点坐标为，则直线PQ的斜率为A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：设，，椭圆E：的离心率为，，可得，可得：，，相减可得：，可得．故选：B．设出PQ的坐标，利用平方差公式转化求解直线PQ的斜率．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．12.已知数列是首项为，公比为的等比数列，为数列的前n项乘积，则使取得最大值的n等于A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】解：数列是首项为，公比为的等比数列，可得，，由于，10，上式为负值，不能取得最大值；当时，，当时，，由．则使取得最大值的n等于11．故选：C．根据等比数列的首项与公比，写出它的通项公式，讨论n的取值和正负，由比较法和排除法即得结果．本题考查等比数列通项公式的应用以及乘积最值问题问题，是基础题目．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数，则______．【答案】1【解析】解：根据题意，，则，又由；则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得，计算可得的值即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期，属于基础题．14.已知实数x，y满足不等式组，若，则z的最小值为______．【答案】【解析】解：画出实数x，y满足不等式组的平面区域，如图示：由得：，通过图象得过时，z最小，z的最小值是：，故答案为：．画出满足条件的平面区域，将转化为，通过图象转化求解即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．15.拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外内侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形如图所示，以等边的三条边为边，向外作3个正三角形，取它们的中心A，B，C，顺次连接得到，图中阴影部分为与的公共部分，则往中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为______．【答案】【解析】解：设等边的边长为3a，则的边长为6a，等边的边长为a，则，阴影部分的面积阴影．由测度比为面积比可得：往中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为．故答案为：．设等边的边长为3a，则的边长为6a，等边的边长为a，分别求出阴影部分的面积与的面积，由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型，关键是求阴影部分的面积，是基础题．16.已知正方体的棱长为2，AC交BD于O，E是棱的中点，则直线OE被正方体外接球所截得的线段长度为______．【答案】【解析】解：正方体内接于球，，，设正方体的中心为G，，到OE的距离．则直线OE被正方体外接球所截得的线段长度为．故答案为：．由题意画出图形，求出正方体外接球的半径，再求出球心到OE的距离，利用勾股定理求解．本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足．求角B的大小；若，求的取值范围．【答案】本题满分为12分解：．又由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，可得：，解得：，为锐角，可得，．，，，，，，锐角三角形中，，可得：，，即的取值范围为：【解析】由正弦定理，余弦定理化简已知可解得：，结合B为锐角，可得，可求B的值．由正弦定理可得，，利用两角和与差的正弦函数公式可求，结合A的范围，可得的范围，利用正弦函数的图象和性质可求取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质，两角和与差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18.今年七月，某品种西瓜销售火爆，当日最高气温越高，西瓜价格越高，小王计划向商贩购近该品种西瓜若干，他通过对七月份前6天的数据进行研究，发现价格单位：元千克与当日最高气温单位：呈线性相关，整理相关数据得到表：根据参考数据建立y关于x的线性回归方程；若某日最高气温为，估算购买8千克的该种西瓜所需的金额精确到元如果最高气温达到以上，气象部门将发布高温橙色预警已知这6天中达到以上的有4天，现从这6天中随机取2天，求恰在一天发布了高超色预警的概率．附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的量小二乘估计分别为，．【答案】解：，．．．关于x的线性回归方程为；取，得，估算购买8千克的该种西瓜所需的金额为元．设这6天中达到以上的4天为a，b，c，d，小于等于的2天为m，n，则从这6天中随机取2天的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．其中恰在一天发布了高超色预警的有8个．故恰在一天发布了高超色预警的概率．【解析】由所给数据求得的值，则线性回归方程可求；取，求得y值，乘以购买量得答案；利用枚举法列出基本事件情况，求出恰在一天发布了高超色预警的事件数，再由古典概型概率公式求解．本题考查线性回归方程的求法，训练了古典概型概率公式的应用，是中档题．19.在多面体AFCDEB中，BCDE是边长为2的正方形，，平面平面BCDE，，．求证：平面CFE；求该多面体的表面积．【答案】证明：是边长为2的正方形，，平面平面BCDE，，．，平面ABCF，，，平BCDE，平面BCDE，，是正方形，，，平面CEF．解：，，，，，，该多面体的表面积：正方体梯形．【解析】推导出，平面ABCF，，从而平BCDE，进而平面BCDE，，由BCDE是正方形，得，由此能证明平面CEF．求出，，，从而求出，该多面体的表面积：．正方体梯形本题考查线面垂直的证明，考查多面体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知抛物线C：，直线l：，点A在抛物线C上运动但不在直线l上．判断直线：与抛物线C的位置关系，并说明理由；若轴，且直线AB与直线l交于点P，，垂是为探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】解：由直线方程和抛物线方程，可得，由，可得方程无解，则直线与抛物线相离；设，直线AB：代入直线l：，可得，由AQ：，代入直线l：，可得Q的横坐标为，由E在直线l上，可得．则是定值．【解析】联立直线和抛物线方程，运用判别式法即可判断；设出A的坐标，可得直线AB：，代入直线l的方程可得P的坐标，求得AQ的方程，联立直线l的方程可得Q的横坐标，由两点的距离公式，化简整理可得定值．本题考查直线和抛物线的位置关系的判断，注意联立直线方程和抛物线方程，考查两直线的位置关系和交点，以及探究性问题解法，考查运算能力，属于中档题．21.设函数．求的单调区间；若函数的图象在处的切线斜率在时单调递增，求k的最小值．【答案】解：，．函数在内单调递减，在单调递增．．，函数的图象在处的切线斜率，．函数的图象在处的切线斜率在时单调递增，，在上恒成立．，．解得．的最小值是．【解析】，利用导数研究其单调性即可得出．，根据函数的图象在处的切线斜率，由函数的图象在处的切线斜率在时单调递增，可得，在上恒成立即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知极坐标系中，点，曲线C的极坐标方程为，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数．求直线l的极坐标方程与曲线C的参数方程；求线段MN的中点P到直线l的距离的最大值．【答案】解：直线l的参数方程为为参数．直线的普通方程为，直线l的极坐标方程为，即．曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方，即．曲线C的参数方程为，为参数．设，，点M的极坐标化为直角坐标为，则，点P到直线l的距离，当时，等号成立，点P到l的距离的最大值为．【解析】由直线l的参数方程，求出直线的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程；由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标，由此能求出曲线C的参数方程．设，，点M的极坐标化为直角坐标为，则，点P到直线l的距离，由此能求出点P到l的距离的最大值．本题考查直线的极坐标方程、曲线的参数方程，考查点到直线的距离的最大值求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，．求不等式的解集；当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】解：函数，，不等式可化为或或，解得或或，即，不等式的解集为；当时，恒成立，的解集包含，由得的解集为，，，即，解得，的取值范围是．【解析】去掉绝对值，化简函数，把不等式化为或或，求出解集，再取它们的并集．时恒成立，得出的解集包含，由得的解集，列不等式组求得a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题含答案

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分）又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分）在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分）（2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分）（2）由，且当时，，当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，（11分）令，∵ ，∴ ，在上单调递增，∴ ，解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ，推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分）（3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分）由于右边大于，则，即，考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分）当时，，代入（**）式得，解得；当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

广东省潮州市2019-2020学年高三上学期期末数学(文)试题(解析版)

潮州市2019--2020学年度第一期期末高三级数学质量检测卷（数学）文科本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则A. 1,1a b ==B. 1,1a b =-=C. 1,1a b ==-D. 1,1a b =-=-【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为()a i i b i +=+，即1ai b i -+=+，因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-，故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.2.设集合S={x|x 2+2x=0,x ∈R},T={x|x 2-2x=0,x ∈R},则S∩T 等于( )A. {0}B. {0,2}C. {-2,0}D. {-2,0,2} 【答案】A【解析】集合运算问题需先对集合进行化简,明确集合中所含具体元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故选A.3.已知函数f(x)=2211{1x x x ax x +<+≥，，若f （f （0））=4a ，则实数a 等于 A. 12 B. 45 C. 2 D. 9【答案】C【解析】((0))(2)4242f f f a a a ==+=∴= ，选C.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4.“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则可知{}n a 是常数列，所以充分性成立；若{}n a 是0n a =常数列，则{}n a 不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选A ． 5.函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A. 0,0b c <>B. 0,0b c >>C. 0,0b c ><D. 0,0b c <<【答案】C【解析】【分析】根据定义域及特殊点可判断.【详解】解：∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ，且点M 的纵坐标为正，∴20b y c =>，故0b >，()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <.故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.6.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩小于139分钟运动员人数为（）A. 4B. 2C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】由系统抽样的定义，所抽取的样本编号成等差数列，由此可知小于139分的能抽取的人数．【详解】共有35人，抽取7人，每5人中抽取一个，小于139分的有10人，应制取2人．故选：B ．【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的定义是解题基础．一般系统抽样制取出的样本的编号是成等差数列的．7.若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan a =（） A. 3-B. 2-C. 2D. 3 【答案】D【解析】【分析】已知式分子分母同除以cos α，化为tan α的等式，解之可得．【详解】∵sin cos 1sin cos 2αααα+=+，∴tan 11tan 12αα-=+，解得tan 3α=．故选：D ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系．在出现sin ,cos αα的齐次式可常常用弦化切的方法，直接转化为为tan α的关系式，然后求解． 8.若实数,x y 满足1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值和最小值分别为( ) A. 1,1-B. 2,2-C. 1,2-D. 2,1-【答案】B【解析】【分析】由不等式组作出可行域，令2z x y =+，数形结合求出z 的最大值和最小值．【详解】解：由1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟作可行域如图，令2z x y =+，则2y x z =-+，由图可知，当2y x z =-+过(1,0)A 时，截距z 最大，最大值为2102z =⨯+=；当2y x z =-+过(1,0)C -时，截距z 最小，最小值为2102z =-⨯+=-．2x y ∴+的最大值和最小值分别为2，2-．故选：B ．【点睛】本题考查线性规划问题，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．属于中档题．9.在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-u u u r u u u r 中，则该四边形的面积为（） A. 5 B. 25 C. 5 D. 10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =u u u r u u u r 分为四个小直角三角形算面积. 【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.10.如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ABCD ⊥底面，则下列结论中不正确的是（）A. AC SB ⊥B. AD SC ⊥C. 平面SAC ⊥平面SBDD. BD SA ⊥【答案】D【解析】【分析】由底面正方形及SD ABCD ⊥底面，确定线线间的垂直关系，判断各个结论的正确性．【详解】SD ABCD ⊥底面，SB 在平面ABCD 的射影AC 与BD 垂直，则SB BD ⊥，A 正确； SC 在平面ABCD 的射影DC 与AD 垂直，则SC AD ⊥，B 正确；利用上述垂直可得AC ⊥平面SBD ，从而有平面SAC ⊥平面SBD ，C 正确；若BD SA ⊥，则BD 垂直SA 在平面ABCD 内的射影DA ，这是不可能的，D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查空间的线线的垂直与面面垂直的判断，掌握三垂线定理及其逆定理是解题基础．11.已知双曲线22x a －22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A. 5B. 3C. 3D. 5 【答案】A【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2p x =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．12.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2222,b b c a bc =+-=，若BC边上的中线AD =，则ABC ∆的外接圆面积为（）A. 4πB. 7πC. 12πD. 16π【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出A ，由2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r 平方后可求得AB 即c ，再由已知求得a ，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵222b c a bc +-=， ∴2221cos 22b c a A bc +-==，3A π=．又D是BC 中点，∴1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴222211()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2217(22cos 2)43c c π=+⨯⨯+，解得4c =， ∴222222cos 24224cos 123a b c bc A π=+-=+-⨯⨯=，a = ∴24sin sin 3a R A ===，2R =， ∴24S R ππ==．故选：A ．【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，考查向量的线性运算．解题关键是是利用向量线性运算把AD u u u r表示为1()2AB AC +u u u r u u u r ，平方后易求得4c =．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线3ln 1y x =+在点()1,1处的切线方程为 ___________ .【答案】320x y --=【解析】【分析】求出函数在1x =时的导数，得切线斜率，从而写出切线方程．【详解】由题意3'()f x x=，∴'(1)3f =，切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=．故答案为：320x y --=．【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象在某点处的切线，只要求出导数，即为该点处的切线斜率，由点斜式得出直线方程．14.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．【答案】6π-. 【解析】分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+；(2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 15.若数列{}n a 满足111n na a +=-，82a =，则1a =_____________．【答案】12【解析】【分析】本题通过递推式直接将8a 代入在依次类推则可得出1a ．【详解】因为111n na a +=-，所以111n n a a +=-，所以765811111111,12,1122222a a a a =-=-==-==-=，通过观察上式得112a =．【点睛】本题考察递推式的应用，若在选择填空题中遇到则可以通过一次类推或找规律求解．16.已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，直线,,AB BC AC 的斜率分别为3,6,12，则ABC ∆的重心坐标为 _______________ . 【答案】735(,)18432【解析】【分析】设出三点坐标，由直线斜率公式写出斜率，化简后可求得三点坐标，从而得重心坐标．【详解】设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ，则 A B AB A B y y k x x -=-，即2244A B AB A B y y k y y -=-，4A B AB y y k +=，即43A B y y +=①，同理412A C y y +=②，46B C y y +=③，由①②③联立可解得12A y =，56B y =，16C y =-，设重心为00(,)G x y ，则017()318A B C y y y y =++=．22201135()()33444432C A B A B C y y y x x x x =++=++=． ∴重心坐标735(,)18432．故答案为：735(,)18432．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，已知直线斜率，可设出抛物线上点的坐标，利用点在抛物线上，及斜率公式可得A B y y +，同理可得,A C B C y y y y ++，这样可求得三个点的纵坐标，可以你入抛物线方程求得相应的横坐标．从而求出重心坐标．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试卷考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.【答案】（1）22n a n =+；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k .【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =，∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+；（2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.18.如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】453. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCM S =⨯⨯=V . 所以四面体的体积145323N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．19.某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为60%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数x （x ∈N ，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x m m Z ∈∈时表示该地区下雨，当[]1,9x m ∈+时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下 332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出m 的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量（单位：mm ）如下表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.经研究表明：从2011年开始至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y 与年份t 成线性回归，求回归直线y bt a ∧∧∧=+，并计算如果该地区2020年（10t =）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）参考公式：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt tt==--==--∑∑. 参考数据：()()9158iii tty y =--=-∑，()()7154iii t t y y =--=-∑，()29160i i t t =-=∑，()21752i i t t=-=∑.【答案】（1）5m =，概率为12；（2）回归直线方程为：$29179306y t =-+，2020年清明节有降雨的话，降雨量约为20.02mm ．【解析】【分析】（1）根据每天下雨概率可求得m ，在所给20组数确定表示3天中恰有2天下雨的组数，然后计算概率；（2）计算,t y ，根据所给数据求出回归直线方程中的系数，得回归直线方程，令10x =可得2020年的预估值．【详解】（1）由160%10m +=得5m =，即05:表示下雨，69:表示不下雨，所给20组数中有714，740，945，593，491，272，073，951，169，027共10组表示3天中恰有两天下雨，∴所求概率为101202P ==.（2）由所给数据得5t =，25y =，()()()1215829ˆ6030nii i ni i tty y bt t ==---===--∑∑，ˆˆa y bt=-2917925()5306=--⨯=， ∴回归直线方程：$29179306y t =-+， 10t =时，$291791211020.023066y =-⨯+=≈， ∴2020年清明节有降雨的话，降雨量约为20.02mm ．【点睛】本题考查抽样方法中的随机数表法，考查回归直线方程及应用，只要根据所给数据计算即可．本题还考查学生的数据处理能力． 20.已知函数()()ln f x x a x a R =-∈. （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()(),0,xeg x e mx x =-∈+∞，求证：当1m £时，()0g x ≥【答案】（1）增区间是(,)a +∞，减区间是(0,)a ；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）0m ≤时，()0g x ≥成立，在01m <≤时，变形为x e e mx ≥，取对数得ln ln x m e x ≥+，分离参数：ln ln x e x m -≥，由（1）可求得()ln h x x e x =-的最小值，从而证得结论成立．【详解】（1）()f x 定义域是(0,)+∞，'()1a x af x x x-=-=，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，()f x 递减，(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 递增，∴增区间是(,)a +∞，减区间是(0,)a ；（2）0x >时，0m ≤时， ()0xeg x e mx =-≥显然成立，当01m <≤时，()0xe g x e mx ≥⇔≥ln ln x m e x ⇔≥+ln ln x e x m ⇔-≥，由（1）()ln h x x e x =-在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上递增，∴()()ln 0h x h e e e e ==-=极小值，也是(0,)+∞上的最小值，∴()()0h x h e ≥=，而01m <≤时，ln 0m ≤，∴0x >时，ln ln x e x m -≥恒成立，∴()0g x ≥. 综上1m £时，()0g x ≥.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明函数不等式.求函数的单调区间，就是求出导函数'()f x 后，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；第（2）小题不等式的证明，首先对0m ≤这种显而易见的情形说明，然后在01m <≤时，把不等式变形，通过取对数化为证明ln ln x e x m -≥，而()ln h x x e x =-可用第（1）结论求出最小值，这样就非常容易地完成证明.也符合出题者的意图.21.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q. （i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当TF PQ最小时，求点T 的坐标.【答案】(1)22162x y +=；（2）证明见解析，(3,0)T - 【解析】【分析】（1）由题意2c =，又222,a a b c ==+，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：()223420m y my +--=.（ⅰ）设PQ的中点为()00,M x y ，求出,OM OT k k ，只要OM OT k k =，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF可得：2|TF PQ =3⎫≥=.再根据取等号的条件，可得T 的坐标.详解】（1）2c =，又22222,6,162x y a b a =⇒==∴+=.（2）椭圆方程化为2236x y +=.（ⅰ）设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：()223420m y my +--=.设PQ 的中点为()00,M x y ，则002226,33m y x m m ==-++ 又TF 的方程为()02y m x -=-+，则3x =-得y m =，所以003OM OT y mk k x ==-=，即OT 过PQ 的中点，即OT 平分线段PQ. （ⅱ）)2213m PQ m +==+，又TF =，所以2212|m TF PQ ++⎫===≥=. 当1m =±时取等号，此时T 的坐标为()3,1T -±.【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x t C y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【答案】（1）cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+,(α为参数,02απ<<)（2）过坐标原点【解析】【详解】（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．23.设函数1()|(0)f x x x a a a=++-（1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）52+．【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围. 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔11232a a a -<-<-a <<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。

潮州市2019届高三数学上学期期末教学质量检测试题含答案文

广东省潮州市2019届高三数学上学期期末教学质量检测试题文（含）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. R D.【答案】D求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．故选：D．本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.复数z满足为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】C把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．故选：C．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设命题，则是A. B.C. D.【答案】C因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选C.4.已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为2，3，，，回归直线方程为，若，，则A. B. C. D.【答案】B首先求得样本中心点，然后利用线性回归方程的性质求解实数a的值即可．【详解】，，因为线性回归直线经过样本中心点，则，即，．故选：B．线性回归直线经过样本中心点．5.下列函数在区间为单调递增函数的是A. B. C. D.【答案】D利用基本函数的单调性逐个判断即可.【详解】，，在都为单调递减函数，在为单调递增函数．故选：D．本题考查基本函数的单调性，熟记简单函数的单调性是关键.6.已知函数，则A. 2019B.C. 2D. 1【答案】B根据自变量所在的范围代入相应的式计算即可得到答案.【详解】函数，，．故选：B．本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.7.在等比数列中，已知，且，，成等差数列则的前5项和为A. 31B. 62C. 64D. 128【答案】B设等比数列公比为q，由，可得根据，，成等差数列，可解得，再求和即可.【详解】设等比数列的公比为q，，，，解得．又，，成等差数列，，，解得的前5项和为，故选：B．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题.8.已知向量、，满足，，且，则在上的投影为A. B. C. D. 4【答案】C根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．故选：C．本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，若图中，则该几何体的体积为A. 2B. 1C. 4D. 6【答案】A根据三视图知几何体为四棱锥，且侧棱垂直于底面，由图中数据可求该几何体体积．【详解】根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，画出直观图，如图所示；由图中数据，计算几何体的体积为：．故选：A．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.10.已知函数，则A. 0B. 7C.D. 4【答案】B推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．故选：B．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.若双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A渐近线为，时，，所以，即，，，故选A．12.平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A. B. C. D.【答案】C利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，故选：C．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的最大值为______．【答案】首先利用诱导公式和辅助角公式化简函数式，即可求出函数的最大值．【详解】函数，当时，函数的最大值为，故答案为：．本题考查诱导公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质的应用，属于基础题.14.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，此时，故答案为：．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.设数列的前n项和为，已知，且对任意正整数n都有，则______【答案】对任意正整数n都有，可得，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】对任意正整数n都有，，即，．数列是首项与公差都为1的等差数列．，解得．故答案为：．本题考查由数列递推关系求通项公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）已知，的面积为1，求边.【答案】（1）；（2）.(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）∵bcosA+asinB=0∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π∴（2）∵，S△ABC=1，∴即：又由余弦定理得：故：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，单位：克中，经统计得频率分布直方图如图所示．经计算估计这组数据的中位数；现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率．某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所以芒果以10元千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元个收购，高于或等于250克的以3元个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）268.75；（2）；（3）见.试题：（1）根据频率分布直方图和中位数的定义求解．（2）有分层抽样可得，应从内抽取4个芒果，从内抽取2个芒果，列举出从6个中任取3个的所有可能情况，然后判断出这个芒果中恰有个在的所有情况，根据古典概型概率公式求解．（3）分别求出两种收购方案中的获利情况，然后做出选择．试题：（1）由频率分布直方图可得，前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为，则有，解得．故中位数为268.75.（2）设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率．（3）方案A：．方案B：由题意得低于250克：元；高于或等于250克元故的总计元．由于，故B方案获利更多，应选B方案．：利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19.如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见（2）试题：（1）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题：（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面.因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2..三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20.已知椭圆：与抛物线：相交于，两点的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、均异于点A、．Ⅰ求的方程．Ⅱ若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.Ⅰ由抛物线的顶点，可得椭圆下焦点为即得c值，由，可得，代入抛物线得b，再利用，可得椭圆的方程．Ⅱ依题意知直线l的方程为，分别与椭圆、抛物线的方程联立得点M，N的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，，由，知，代入抛物线得，得，，的方程为．Ⅱ依题意知直线l的方程为，与联立消去y得：，则，得，，由，得，由，得，则，得，，点A在以MN为直径的圆外，，又，，解得，综上知．本题考查椭圆与抛物线的方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数.其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若对于任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见；（2）.试题：（1）求导得到区间上单调递减，上单调递增；（2）直接求导，对分类讨论，得到.试题：（1），令其为，则所以可得即单调递增，而，则在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增（2），另，可知.，令，①当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，∵，∴时，，时，.可知此时满足条件.②当时，结合对应二次函数的图像可知，，单调递增，∵，∴时，，时，.可知此时不成立.③当时，研究函数.可知.对称轴.那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时.所以不满足条件.综上所述：.22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线在极坐标系中的方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1）；（2）试题：（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，再根据，化为极坐标方程．（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．试题：（Ⅰ）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程为再化为极坐标方程是．（Ⅱ）直线的直角坐标方程为由求得或可得直线与曲线的交点坐标为，，所以弦长为．考点：极坐标、参数方程23.已知函数.（1）求的解集；（2）若的最小值为,正数满足，求证：.【答案】（1）；（2）见.试题：（1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题：（1）由图像可知：的解集为. （2）图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即.。

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潮州市2015-2016学年第一学期期末高三级教学质量检测数学（文科）卷一、选择题（12小题，共60分）1、已知集合A ＝{}|03x x <<，B ＝{}|11x x <<－，则集合A B 为A 、［0,1）B 、（0,1）C 、［1,3）D 、（1,3） 2、已知复数133iz i+=-，则z 的虚部为 A 、 B 、－ C 、1 D 、－13、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则(8)f -值为 A 、3 B 、13 C 、－13D 、－3 4、在等差数列{}n a 中，首项1a ＝0，公差d ≠0，若1237k a a a a a =+++⋅⋅⋅+，则k ＝ A 、22 B 、23 C 、24 D 、255、执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝2，b ＝2，那么输出的a 的值为 A 、4B 、16C 、256D 、3log 66、已知||1,||2,()a b a b a ==⊥-，则向量a b 与的夹角为 A 、2πB 、3πC 、4πD 、6π7、将函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位后，所得图象的一条对称轴方程是A 、4x π=B 、4x π=-C 、8x π=D 、8x π=-8、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为90°，则双曲线的离心率为A 、43B C D9、已知4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，则tan()4πα-= A 、17- B 、－7 C 、17D 、710、右图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的体积是A 、8B 、C 、16D 、16311、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点恰为抛物线28y x =的焦点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为A 、2213y x -= B 、221412x y -= C 、2213x y -= D 、221124x y -=12、已知函数322()23(0)3f x x ax x a =-++>的导数'()f x 的最大值为5，则在函数()f x 图象上的点（1，f （1））处的切线方程是A 、3x －15y ＋4＝0B 、15x －3y －2＝0C 、15x －3y ＋2＝0D 、3x －y ＋1＝0二、填空题（20分）13、已知,x y 满足约束条件：210y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值等于＿＿＿14、在区间［－3,5］上随机取一个数a ，则使函数2()24f x x ax =++无零点的概率是＿ 15、在△ABC 中，已知,43C b π==，△ABC的面积为，则c ＝＿＿＿16、已知一个长方体的长、宽、高分别是5，4，3，则该长方体的外接球的表面积等于＿＿三、解答题 17、（本小题满分12分）若n S 是公差为不为等差数列{}n a 的前n 项和为，且124,,S S S 成等比数列。

2019-2020学年广东省潮州市高三(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a ，b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则( ) A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a =，1b =-D ．1a =-，1b =-2．（5分）设集合2{|20S x x x =+=，}x R ∈，2{|20T x x x =-=，}x R ∈，则(S T =I) A ．{0}B ．{0，2}C ．{2-，0}D ．{2-，0，2}3．（5分）已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+⎩…，若((0))4f f a =，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．94．（5分）“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数2()()x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0b <，0c >B ．0b >，0c >C ．0b >，0c <D ．0b <，0c <6．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩小于139分钟运动员人数为( ) A ．4B ．2C ．5D ．37．（5分）若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan (α= )A ．3-B ．2-C ．2D ．38．（5分）若实数x ，y 满足1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟，则2x y +的最大值和最小值分别为( )A ．1，1-B ．2，2-C ．1，2-D ．2，1-9．（5分）在四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r，则该四边形的面积为( )A ．5B ．25C ．5D ．1010．（5分）如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC SB ⊥B ．AD SC ⊥ C ．平面SAC ⊥平面SBDD ．BD SA ⊥11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为( ) A ．25B ．23C ．43D ．4512．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2b =，222b c a bc +-=，若BC 边上的中线7AD =，则ABC ∆的外接圆面积为( ) A ．4πB ．7πC ．12πD ．16π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）曲线31y lnx =+在点(1,1)处的切线方程为．14．（5分）已知函数sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的一条对称轴为3x π=，则ϕ的值是．15．（5分）数列{}n a 满足111n na a +=-，82a =，则1a = ． 16．（5分）已知抛物线24y x =上有三点A ，B ，C ，直线AB ，BC ，AC 的斜率分别为3，6，12，则ABC ∆的重心坐标为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试卷考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．若6k b a =，求k 的值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明//MN 平面PAB ；（Ⅱ）求四面体N BCM -的体积．19．（12分）某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为60%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数(,09)x x N x ∈剟表示是否下雨：当[0x ∈，]()m m Z ∈时表示该地区下雨，当[1x m ∈+，9]时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出m 的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量（单位：)mm 如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．时间2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年经研究表明：从2011年开始至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y 与年份t 成线性回归，求回归直线ˆˆˆybt a =+，并计算如果该地区2020年(10)t =清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01)参考公式：121()()ˆˆˆ,()nii i nii tt y y bay bt tt ==--==--∑∑．参考数据：91()()58i i i t t y y =--=-∑，71()()54i i i t t y y =--=-∑，921()60i i t t =-=∑，721()52i i t t =-=∑．20．（12分）已知函数()()f x x alnx a R =-∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()x e g x e mx =-，(0,)x ∈+∞，求证：当1m „时，()0g x …．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．①证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； ②当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x C y βββ=⎧⎨=⎩为参数）上，对应参数分别为βα=与2(02)βααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 23．设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->．（Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f（3）5，求a的取值范围．2019-2020学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a ，b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则( ) A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a =，1b =-D ．1a =-，1b =-【解答】解：()a i i b i +=+Q ， 1ai b i ∴-=+， 1a ∴=，1b =-，故选：C ．2．（5分）设集合2{|20S x x x =+=，}x R ∈，2{|20T x x x =-=，}x R ∈，则(S T =I) A ．{0}B ．{0，2}C ．{2-，0}D ．{2-，0，2}【解答】解：分析可得，S 为方程220x x +=的解集，则2{|20}{0S x x x =+==，2}-，T 为方程220x x -=的解集，则2{|20}{0T x x x =-==，2}，故集合{0}S T =I ，故选：A ．3．（5分）已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+⎩…，若((0))4f f a =，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．9【解答】解：Q 函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+⎩…，((0))4f f a =，0(0)212f ∴=+=，((0))f f f =（2）2224a a =+=，解得2a =．实数a 等于2．故选：C ．4．（5分）“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则数列{}n a 为常数列，且0n a ≠，则反之当0n a =时，满足数列{}n a 为常数列，但数列{}n a 不是等比数列，即“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选：A ．5．（5分）函数2()()x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0b <，0c >B ．0b >，0c >C ．0b >，0c <D ．0b <，0c <【解答】解：函数的定义域为{|}x x c ≠-，即0c p -=>，则0c <，排除A ，B ， 2(0)0bf c=>，得0b >，故选：C ．6．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩小于139分钟运动员人数为( ) A ．4B ．2C ．5D ．3【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为15，所以成绩小于139的中共有10名运动员，抽取人数为11025⨯=；故选：B ． 7．（5分）若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan (α= )A ．3-B ．2-C ．2D ．3【解答】解：Qsin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan 11tan 12αα-=+，可得tan 3α=．故选：D ．8．（5分）若实数x ，y 满足1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟，则2x y +的最大值和最小值分别为( )A ．1，1-B ．2，2-C ．1，2-D ．2，1-【解答】解：由1111x y x y -+⎧⎨--⎩剟剟作可行域如图，令2z x y =+，则2y x z =-+，由图可知，当2y x z =-+过(1,0)A 时，截距z 最大，最大值为2102z =⨯+=；当2y x z =-+过(1,0)C -时，截距z 最小，最小值为2102z =-⨯+=-． 2x y ∴+的最大值和最小值分别为2，2-．故选：B ．9．（5分）在四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r，则该四边形的面积为( )A ．5B ．25C ．5D ．10【解答】解：因为在四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r ，0AC BD =u u u r u u u rg ，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又22||125AC =+=u u u r，22||(4)225BD =-+=u u u r，该四边形的面积：11||||525522AC BD =⨯⨯=u u ur u u u r g ．故选：C ．10．（5分）如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC SB ⊥B ．AD SC ⊥ C ．平面SAC ⊥平面SBDD ．BD SA ⊥【解答】解：由四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，知：在A 中，SD ⊥Q 底面ABCD ，AC SD ∴⊥， Q 四棱锥S ABCD -的底面为正方形，AC BD ∴⊥， SD BD D =Q I ，AC ∴⊥平面SBD ，SB ⊂Q 平面SBD ，AC SB ∴⊥，故A 正确；在B 中，Q 四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， AD CD ∴⊥，AD SD ⊥，SD CD D =Q I ，AD ∴⊥平面SDC ，SC ⊂Q 平面SCD ，AD SC ∴⊥，故B 正确；在C 中，SD ⊥Q 底面ABCD ，AC SD ∴⊥， Q 四棱锥S ABCD -的底面为正方形，AC BD ∴⊥， SD BD D =Q I ，AC ∴⊥平面SBD ，AC ⊂Q 平面SAC ，∴平面SAC ⊥平面SBD ，故C 正确；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，DS b =，则(0D ，0，0)，(B a ，a ，0)，(A a ，0，0)，(0S ，0，)b ， (DB a =u u u r ，a ，0)，(SA a =u u r，0，)b -，Q 20DB SA a =≠u u u r u u rg ，BD ∴与SA 不垂直，故D 错误．故选：D ．11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为( ) A ．25B ．23C ．43D ．45【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，即点(2,1)--在抛物线的准线上，又由抛物线22y px =的准线方程为2px =-，则4p =，则抛物线的焦点为(2,0)；则双曲线的左顶点为(2,0)-，即2a =；点(2,1)--在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得1b =；则5c =225c =故选：A ．12．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2b =，222b c a bc +-=，若BC 边上的中线7AD =，则ABC ∆的外接圆面积为( )A ．4πB ．7πC ．12πD ．16π【解答】解：222b c a bc +-=Q ，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，(0,)A π∈．3A π∴=．由D 是BC 的中点，可得：1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，∴2221(2)4AD AB AC AB AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，217(422cos )43c c π∴=++⨯，化为：22240c c +-=，解得4c =． 2222424a ∴+-=⨯，解得23a =． 2324sin sin 3a R A π∴===，解得2R =．ABC ∴∆的外接圆面积24R ππ==．故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线31y lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 320x y --= ．【解答】解：由31y lnx =+，得3y x'=， 1|3x y =∴'=，∴曲线31y lnx =+在点(1,1)处的切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=．故答案为：320x y --=．14．（5分）已知函数sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的一条对称轴为3x π=，则ϕ的值是 6π-．【解答】解：Q 函数sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的一条对称轴为3x π=，2()32k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=-∈，又||2πϕ<， 6πϕ∴=-，故答案为：6πϕ=-．15．（5分）数列{}n a 满足111n n a a +=-，82a =，则1a = 12．【解答】解：由题意得，111n na a +=-，82a =，令7n =代入上式得，8711a a =-，解得712a =；令6n =代入得，7611a a =-，解得61a =-；令5n =代入得，6511a a =-，解得52a =； ⋯根据以上结果发现，求得结果按2，12，1-循环， 8322÷=⋯Q ，故112a =故答案为：12． 16．（5分）已知抛物线24y x =上有三点A ，B ，C ，直线AB ，BC ，AC 的斜率分别为3，6，12，则ABC ∆的重心坐标为 35(432，7)18．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减得121212()()4()y y y y x x -+=-，所以直线AB 的斜率1212124AB y y k x x y y -==-+，因为1243y y +=，同理可得：234BCk y y =+，134AC k y y =+，234263y y +==，1341123y y +==，所以12376y y y ++=，所以316y =-，256y =，112y =，所以31144x =，225144x =，1116x =，因此12335144x x x ++=，所以ABC ∆的重心坐标35(432，7)18，故答案为：35(432，7)18．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试卷考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．若6k b a =，求k 的值．【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，1210a a +=，432a a -=，可得1210a d +=，2d =，即14a =，2d =，42(1)22n a n n =+-=+；（2）等比数列{}n b 的公比设为q ，23b a =，37b a =．可得18b q =，2116b q =，解得14b =，2q =，若6k b a =，则43222k ⨯=+，解得63k =．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明//MN 平面PAB ；（Ⅱ）求四面体N BCM -的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC 中点E ，连结EN ，EM ， N Q 为PC 的中点，NE ∴是PBC ∆的中位线 //NE PB ∴，又//AD BC Q ，//BE AD ∴，3AB AD AC ===Q ，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，122BE BC AM ∴===， ∴四边形ABEM 是平行四边形，//EM AB ∴，∴平面//NEM 平面PAB ， MN ⊂Q 平面NEM ，//MN ∴平面PAB ．解：（Ⅱ）取AC 中点F ，连结NF ， NF Q 是PAC ∆的中位线， //NF PA ∴，122NF PA ==，又PA ⊥Q 面ABCD ，NF ∴⊥面ABCD ，如图，延长BC 至G ，使得CG AM =，连结GM ，//AM CG =Q ，∴四边形AGCM 是平行四边形，3AC MG ∴==，又3ME =Q ，2EC CG ==， MEG ∴∆的高5h =，11452522BCM S BC h ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=，∴四面体N BCM -的体积114525233N BCM BCM V S NF -∆=⨯⨯=⨯⨯=．19．（12分）某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为60%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数(,09)x x N x ∈剟表示是否下雨：当[0x ∈，]()m m Z ∈时表示该地区下雨，当[1x m ∈+，9]时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下332 714 740 945 593 468 491 272 073 445992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出m 的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量（单位：)mm 如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．经研究表明：从2011年开始至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y 与年份t 成线性回归，求回归直线ˆˆˆybt a =+，并计算如果该地区2020年(10)t =清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01)参考公式：121()()ˆˆˆ,()nii i nii tt y y bay bt tt ==--==--∑∑．参考数据：91()()58i i i t t y y =--=-∑，71()()54i i i t t y y =--=-∑，921()60i i t t =-=∑，721()52i i t t =-=∑．【解答】解：（1）每天下雨的概率为60%，用随机数(,09)x x N x ∈剟表示是否下雨：当[0x ∈，]()m m Z ∈时表示该地区下雨，当[1x m ∈+，9]时，则5m =，根据随机数表知该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的基本事件为： 714，740，945，593，491，272，073，951，027共9个，故所求的概率值为920P =；（2）由91()()58i i i t t y y =--=-∑，921()60i i t t =-=∑，计算回归系数5829ˆ0.976030b-==-≈-，又91159i i t x ===∑，91112252599i i y y ===⨯=∑，计算ˆ25(0.97)529.85a=--⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.9729.85yt =-+；计算10t =时，ˆ0.971029.8520.15y=-⨯+=，预测该地区2020年(10)t =清明节有降雨的话，降雨量为20.15mm ．20．（12分）已知函数()()f x x alnx a R =-∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()x e g x e mx =-，(0,)x ∈+∞，求证：当1m „时，()0g x …．【解答】解：（1）()1a x af x x x-'=-=，0x >，0a >，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递递增；（2）证明：由()x e g x e mx =-，(0,)x ∈+∞，当0m „时，()0g x …显然成立；当01m <„时，()0g x …成立，即x e e mx …，即x lnm elnx +…，即x elnx lnm -…，构造函数()h x x elnx =-，根据（1）知，()h x 在(0,)e 递减，(,)e +∞递增， ()h x 由最小值h （e ）0e elne =-=，故()0h x …，综上，所以原命题成立．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．①证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； ②当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．【解答】解：（1）依题意有22224c a a b c =⎧⎪=⎨⎪-==⎩解得2262a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=．（2）设(3,)T t -，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，PQ 的中点为0(N x ，0)y ， ①证明：由(2,0)F -，可设直线PQ 的方程为2x my =-，则PQ 的斜率1PQ k m=．由22222(3)420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，所以222122122168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ⎧⎪=++=+>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩V g ，于是1202223y y m y m +==+，从而20022262233m x my m m -=-=-=++，即2262(,)33m N m m -++，则直线ON 的斜率3ON mk =-，又由PQ TF ⊥知，直线TF 的斜率011132TF PQt k k m-==-=--+，得t m =．从而33OT ON t mk k ==-=-，即OT ON k k =，所以O ，N ，T 三点共线，从而OT 平分线段PQ ，故得证． ②由两点间距离公式得||TF =由弦长公式得12||||PQ y y =-=所以2||||TF PQ ==，令1)x x =…，则2||2)||TF x PQ x ==+22x =时，取“=”号），所以当||||TF PQ 最小时，由2221x m ==+，得1m =或1m =-，此时点T 的坐标为(3,1)-或(3,1)--．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x C y βββ=⎧⎨=⎩为参数）上，对应参数分别为βα=与2(02)βααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解答】解：（1）依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos2,2sin 2)Q αα，因此(cos cos2,sin sin 2)M αααα++．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2(sin 2sin x y ααααα=+⎧⎨=+⎩为参数，02)απ<<．（2）M 点到坐标原点的距离2)d απ=<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 23．设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->．（Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （3）5<，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：a >Q ，1111()|||||()()|||2f x x x a x x a a a a a a a =++-+--=+=+=厖，故不等式()2f x …成立．（Ⅱ）f Q （3）1|3||3|5a a=++-<，∴当3a >时，不等式即15a a+<，即2510a a -+<，解得3a <<．当03a <„时，不等式即165a a-+<，即210a a -->3a <„．综上可得，a 的取值范围．。

广东省潮州市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

广东省潮州市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若P ={x|x <4}，Q ={x|x 2<4}，则 ( )A. P ⊆QB. Q ⊆PC. P ⊆∁R QD. Q ⊆∁R P 2. 设i 是虚数单位，复数1+ai 2−i 为纯虚数，则实数a 为( )A. 12B. 2C. −12D. −23. 已知函数f(x)={log 2x,x ≥1x 2+3,x <1则f(f(−1))= ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }为递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5. 函数f(x)=ax+b (x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A. a >0，b >0，c <0B. a <0，b >0，c >0C. a <0，b >0，c <0D. a <0，b <0，c <06. 从1，2，3，4中任取不同的数字构成一个两位数，则这个数小于20的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 23 7. 在四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，则该四边形的面积为( ) A. √5 B. 2√5 C. 5 D. 108. 若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为( )A. 0B. 3C. 4D. 59. 设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X,Y,Z ，则下列等式中恒成立的是( )A. X +Z =2YB. Y (Y −X )=Z (Z −X )C. Y 2=XZD. Y (Y −X )=X (Z −X )10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)在左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为5，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−3,−6)，则双曲线的焦距为() A. 2√3 B. 2√5 C. 4√3 D. 4√511.已知函数f(x)={−x 2+2x,x≤0ln(x+1),x>0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]12.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面积为2，则三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为()A. 32π3B. 4π3C. 64πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线，则k的值为__________．14.已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若a1=6，a4+a6=4，则S5=______．15.函数y=3sinx−4cosx在x=θ处取得最大值，则sinθ=__________．16.已知圆O：x2+y2=1和点A(−2,0)，若定点B(b,0)(b≠−2)和常数A满足：对圆O上任意一点M，都有MB=λMA，则：(1)b=________；(2)λ=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若0<A<π2，a=6，且△ABC的面积S=7√33，求△ABC的周长．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中AB．点，AA1=AC=CB=√22(1)求证：BC1//平面A1CD；(2)求锐角二面角D−A1E−C的平面角．19.已知函数f(x)=ax2−x−ln(ax)(a≠0,a∈R)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)讨论函数f(x)零点的个数．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过点(1,12)作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆C 的右焦点和上顶点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程和离心率；(Ⅱ)点P 为椭圆C 上任意一点，求△PAB 面积的最大值．21. 2019年4月21日至28日世界乒乓球锦标赛在匈牙利布达佩斯举办，中国乒乓球队热身选拔赛中，种子选手A 与非种子选手B 1，B 2，B 3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手A 获胜的概率分别为34，23，12，且各场比赛互不影响．(Ⅰ)若A 至少获胜两场的概率大于23，则A 入选征战锦标赛的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？(Ⅱ)求A 获胜场数X 的分布列和数学期望．22. 选修4--4；坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：{x =2cosβy =2sinβ(β为参数)上，对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于基础题．解：由于P ={x |x <4}，C R P ={x |x ≥4}，Q ={x |x 2<4}，C R Q ={x |x ≤−2}∪{x |x ≥2}，所以Q ⊆P ，P 不包含于C R Q ，Q 不包含于C R P ．故选B ．2.答案：B解析：本题考查复数的概念及运算，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a 的值．解：复数1+ai 2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a+2ai+i 5，因为它是纯虚数，所以{2−a =02a +1≠0，解得a =2．故选B ．3.答案：B解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．先求出f(−1)=4，从而f(f(−1))=f(4)，由此能求出f(f(−1))的值．解：∵函数f(x)={log 2x,x ≥1x 2+3,x <1， ∴f(−1)=(−1)2+3=4，f(f(−1))=f(4)=log 24=2．故选B ．4.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：∵{a n }是等比数列，∴若“a 1<a 2”，则“数列{a n }不一定是递增数列”如{−1,1，−1，1}，充分性不成立，若“数列{a n }是递增数列”，则“a 1<a 2”成立，即必要性成立，故“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的必要不充分条件，故选C ．5.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键．分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值进行判断即可．解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边，所以−c >0，得c <0，f(0)=bc 2>0，∴b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−b a ，即函数的零点x =−b a >0，∴a <0，综上a <0，b >0，c <0，故选C ．6.答案：A解析：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A 42种结果，两位数小于20的为：12，13，14共3种结果．得到概率．解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A 42=12种结果，两位数小于20的为：12，13，14共3种结果．故这个数小于20的概率P =312=14．故选A ． 7.答案：C解析：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．解：因为在四边形ABCD 中，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+22=√5， |BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−4)2+22=2√5，该四边形的面积：12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√5×2√5=5．故选C ．8.答案：C解析：本题主要考查线性规划的应用，属于基础题，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．解：不等式组{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由{2x −y =0x +y =3解得{x =1y =2，故当目标函数z =2x +y 经过点A(1,2)时，z 取得最大值，z max =2×1+2=4．故选C ．9.答案：D解析：本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题目．解：取等比数列1，2，4，令n =1得X =1，Y =3，Z =7代入验算，只有选项D 满足．故选D ．10.答案：D解析：解：已知双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−3,−6)，即点(−3,−6)在抛物线的准线上，又由抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−p 2，得p =6，则抛物线的焦点为(3,0)．则双曲线的左顶点为(−2,0)，即a =2；点(−3,−6)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y =±2x ，即b a =2，可得b =4．则c =√a 2+b 2=√20=2√5，则焦距为2c =4√5．故选：D ．点(−3,−6)在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=6，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点(−3,−6)在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，则双曲线的焦距可求．本题考查双曲线与抛物线的性质，灵活运用双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−3,−6)是关键，是中档题．11.答案：D解析：本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题.由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．解：由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2−2x，求其导数可得y′=2x−2，因为x≤0，故y′≤−2，故直线l的斜率为−2，故只需直线y=ax的斜率a介于−2与0之间即可，即a∈[−2,0]．故选D．12.答案：A解析：本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．由题意画出图形，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=4x，再由∠ABC=30°，得三角形ABC外接圆的半径r=x，求出球心到平面ABC的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．解：如图，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=4x，∵∠ABC=30°，∴三角形ABC外接圆的半径r=x，∵PA⊥平面ABC，PA=4x，∴O到平面ABC的距离为d=12PA=2x，设球O的半径为R，则R=√r2+d2=√x2+4x2≥√2×2=2，当且仅当x=√2时“=”成立．∴三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为43π×23=32π3．故选：A．13.答案：1e解析：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵y=lnx，∴y′=1x，设切点为(m,lnm)，得切线的斜率为1m ，所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为： y −lnm =1m (x −m)．它过原点，∴−lnm =−1，解得m =e ，∴k =1e故答案为1e ．14.答案：20解析：解：设{a n }是等差数列的公差为d ，∵a 1=6，a 4+a 6=4， ∴2×6+8d =4，解得d =−1．则S 5=6×5−5×42=20．故答案为：20．设{a n }是等差数列的公差为d ，由a 1=6，a 4+a 6=4，可得2×6+8d =4，解得d ，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：35解析：解：y =3sinx −4cosx =2+42(√32+42−√32+42=5sin(x −φ)(其中tanφ=43)，依题意，θ−φ=2kπ+π2(k ∈Z)，故θ=2kπ+π2+φ(k ∈Z)，则sinθ=cosφ=√32+42=35，故答案为：35．利用辅助角公式可得y =3sinx −4cosx =5sin(x −φ)(其中tanφ=43)，结合题意可得θ=2kπ+π2+φ(k ∈Z)，从而可求得答案．本题考查同角三角函数间的基本关系，着重考查辅助角公式求最值的应用，求得θ=2kπ+π2+φ(tanφ=43,k∈Z)是关键，属于中档题．16.答案：−12；12解析：本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．(1)利用|MB|=λ|MA|，可得(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入，即可求得b；(2)取(1,0)、(−1,0)分别代入，即可求得λ．解：(1)设M(x,y)，则∵|MB|=λ|MA|，∴(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入可得(1−b)2=λ2(1+2)2，(−1−b)2=λ2(−1+2)2，∴b=−12，λ=12．(2)由(Ⅰ)知λ=12．故答案为：−12，12．17.答案：解：(Ⅰ)由2asinB=√3b及正弦定理asinA =bsinB，得sinA=√32，因为0<A<π，所以A=π3或2π3；(Ⅱ)由0<A<π2得，由△ABC的面积S=7√33得，所以bc=283，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得b2+c2−bc=36，即(b+c)2=36+3bc=64，解得b+c=8，故三角形周长为a+b+c=6+8=14.解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)由2asinB=√3b及正弦定理asinA =bsinB可得sinA=√32，再结合0<A<π，即可得A的大小；(Ⅱ)由0<A<π2得，根据△ABC的面积S=7√33即可得bc=283，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得b2+c2−bc=36，从而求得b+c，即可得△ABC周长．18.答案：解：(1)证明：设AB=2，AA1=AC=CB=√2，则AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，结合该棱柱为直棱柱，可建立以C为坐标原点，分别以CB，CA，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．可得C1(0,0，√2)，B(√2,0，0)，A(0,√2,0)，D(√22,√22,0)，A1(0,√2,√2)，C(0,0，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,0)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,√2)，设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√22x +√22y =0√2y +√2z =0，取x =2，则m⃗⃗⃗ =(2,−2,2)，又BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0，√2)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√2+0+2√2=0，即有BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ，则BC 1//平面A 1CD ；(2)B 1(√2,0，√2)，D(√22,√22,0)，A 1(0,√2,√2)，由题意可得E(√2,0，√22)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,−√22,√22)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，√22)， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√2,−√22)，设平面A 1DE 的法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√22x 1−√22y 1+√22z 1=0√2x 1−√2y 1−√22z 1=0，取y 1=1，可得：x 1=1,z 1=0，则n ⃗ =(1,1，0)，设平面A 1CE 的法向量为k ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{k ⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0k ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√2x 2+√22z 2=0√2x 2−√2y 2−√22z 2=0，取z 2=2，可得：x 2=−1,y 2=−2，则k ⃗ =(−1,−2,2)，则cos <n ⃗ ，k⃗ >=n⃗⃗ ⋅k ⃗ |n ⃗⃗ |⋅|k⃗ |=√2⋅√1+4+4=−√22，由<n ⃗ ，k ⃗ >∈[0,π]，可得<n ⃗ ，k ⃗ >=3π4．则锐角二面角D −A 1E −C 的平面角为π4．解析：本题考查线面平行的证明和二面角平面角的求法，注意运用向量法，运用向量数量积和夹角公式，考查运算能力，属于中档题．(1)以C 为坐标原点，分别以CB ，CA ，CC 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设AB =2，求出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设平面A 1CD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，运用向量垂直条件：数量积为0，取x =2，求出法向量，即可得证；(2)由题意可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，分别设平面A 1DE 的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面A 1CE 的法向量为k ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，运用向量垂直条件：数量积为0，可得法向量，再由向量夹角公式，即可得到所求平面角．19.答案：解：(1)当a >0时，f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1−1x =2ax 2−x−1x，令2ax 2−x −1=0得：x 1=1−√1+8a4a<0，x 2=1+√1+8a4a>0，∴f(x)的单调递增区间为(1+√1+8a4a,+∞)，当a <0时，f(x)的定义域为(−∞,0)，f′(x)=2ax −1−1x=2ax 2−x−1x，当1+8a ≤0即a ⩽−18时，f(x)的单调增区间为(−∞,0)，当1+8a >0，即−18<a <0时，f′(x)=2a x(x −x 1)(x −x 2)(x 2<x 1<0)，f(x)的单调递增区间为(−∞,1+√1+8a4a)和(1−√1+8a4a,0)，(2)由(1)知当a ⩽−18时，f(x)在(−∞,0)内单调递增，f(1a )=0，故f(x)只有一个零点x =1a ，当−18<a <0时，f(x)在x =x 2处取极大值，x =x 1处取极小值，由a =x 1+12x 12知x 1<−1，而1a <x 2<14a <x 1<−1，则f(x 2)>f(1a )=0，f(x 1)=ax 12−x 1−ln (ax 1)=1−x 12+ln(2x 1x1+1)，∵x 1<−1，∴2x 1x1+1−1=x 1−1x 1+1>0，∴f(x 1)>0，∴当a <0时，函数f(x)只有一个零点x =1a ，当a >0时，令g(a)=f(1)=a −1−lna ， g ′(a)=a−1a，g(a)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，g(a)min =g(1)=0，∴g(a)=f(1)≥0(当且仅当a =1时，等号成立)， i)a >1时，1>√8a+1+14a>1a ，f(1a )=0，f(1)>0，由(1)函数单调性知，f(√8a+1+14a)<0，所以函数在(√8a+1+14a,1)存在零点，∴f(x)在(0,+∞)有两个零点． ii)0<a <1时，1<√8a+1+14a<1a ，f(1a )=0，f(1)>0，同理可得函数在(1,√8a+1+14a)存在零点，∴f(x)在(0,+∞)有两个零点． iii)a =1时，f(1a )=f(1)=0，函数在(0,+∞)有一个零点．综上所述，当a <0或a =1时，函数有一个零点，当a >0且a ≠1时，函数有两个零点．解析：本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，函数的零点问题，综合性较强，属于难题． (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间； (2)求出函数的最小值，通过讨论a 的范围，从而求出函数的零点的个数即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意，Q(1,12)，可知：c =1，k OQ =12，则k AB =−2，所以直线AB 的方程是y =−2(x −1)，即y =−2x +2，即b =2．所以a 2=b 2+c 2=5，故椭圆的标准方程为x 25+y 24=1．椭圆的离心率e =ca =√55;(Ⅱ)设与直线AB 的平行的直线方程为y =−2x +t ，代入椭圆方程得24x 2−20tx +5t 2−20=0，由△=0得t =±2√6，故当t =−2√6时，点P 到直线AB 的最大距离为d =√6+1)√5，又因为A(1,0)，B(35,45)，所以|AB|=√5，故△PAB 积的最大值12|AB|d =12√5×√6+1)√5=2(√6+1)5．解析：(Ⅰ)由题意可知：c =1，k OQ =12，则k AB =−2，由此能求出椭圆的标准方程．(Ⅱ)设与直线AB 的平行的直线方程为y =−2x +t ，代入椭圆方程，由△=0得t =±2√6，故当t =−2√6时，求出点P 到直线AB 的最大距离，即可求△PAB 面积的最大值．本题考查椭圆的方程与性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.答案：(本小题满分12分)解：(1)记：“种子选手A 与非种子选手B i 的对抗赛获胜”为事件A i (i =1,2，3)“种子选手A 至少获胜两场”为事件C ，P(C)=P(A 1A 2A 3+A 1−A 2A 3+A 1A 2−A 3+A 1A 2A 3−)=1724>23 选手A 最终入选．(2)X 的可能值为0，1，2，3． P(X =0)=14×13×12=124，P(X =1)=34×13×12+14×23×12+14×13×12=624； P(X =2)=34×23×12+34×13×12+14×23×12=1124，P(X =3)=34×23×12=624所以，X 的分布列为：所以，X 的数学期望为：E(X)=0×124+1×624+2×1124+3×624=2312．解析：(1)记：“种子选手A 与非种子选手B i 的对抗赛获胜”为事件A i (i =1,2，3)，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．(2)X 的可能值为0，1，2，3.求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，互斥事件以及对立事件的关键的求法．考查计算能力．22.答案：解：(I)根据题意有：P(2cosα,2sinα)，Q(2cos2α,2sin2α)，∵M 为PQ 的中点，故M(cosα+cos2α,sin2α+sinα)，∴求M 的轨迹的参数方程为：{x =cosα+cos2αy =sinα+sin2α(α为参数，0<α<2π)．(II)M 到坐标原点的距离d =√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π)．当α=π时，d =0，故M 的轨迹过坐标原点．解析：(I)根据题意写出P ，Q 两点的坐标：P(2cosα,2sinα)，Q(2cos2α,2sin2α)，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；(II)利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d =√x 2+y 2=√2+2cosα，再验证当α=π时，d =0，故M 的轨迹过坐标原点．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点间的距离公式的应用，轨迹方程，属于基础题．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2，解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)． (2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ，当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=” 当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2；当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题． (1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。

广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题扫描版含答案

潮州市2018—2019学年度第一期期末高三级教学质量答案卷文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．．2．，3．4．，在直线上，故.5．对于有6．，所以7．设等比数列公比为，所以.且，，所以．8．，，由得所以，投影为. 9．该几何体为四棱锥且平面，，由得体积10．由得，且．故11．双曲线渐近线方程为，当时，所以由得，，.12．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．；14．；15．；16．．13．14．把改写为，当且仅当动直线过点时，取得最大值为．15．切线斜率，切线的方程即, 则圆心到切线的距离.16．由，得，即，又，所以数列是等差数列，所以，即三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（1）解：∴由正弦定理得：---2分-------3分-----4分又.........................5分∴--------6分(2)，即：--------8分又由余弦定理得：--11分故：-------12分18.解：（1）该样本的平均数为……2分（2）抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个.设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. …3分从这6个芒果中选出2个的情况共有:，，共计15种……5分其中恰有一个在内的情况有共计8种，因此概率.…………8分（3）方案A：………9分方案B：低于250克：元高于或等于250克元总计元………11分由，故B方案获利更多，应选B方案. ……12分19．解（1）证明：取CE中点M，连接MF，MB因为F为DE中点，所以MF//CD，且………2分因为AB//CD，且,所以AB//NF且AB=MF所以四边形ABMF是平行四边形………3分所以AF//BM ………4分又平面BCE，平面BCE所以AF//平面BCE ………6分（2）因为，所以. ………7分因为，所以，所以，………8分因为,平面，平面,所以平面. ………9分因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2.………10分. ………11分三棱锥的体积. ………12分20．解：（1）∵抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，∴，………1分又，得，………2分∴，的方程为；………4分（2）依题意知直线的方程为，……5分联立消去得：，则，得，，………7分由，得，由，得，则，得，，………9分∵点A在以MN为直径的圆外，即，……10分∴，又，∴，解得，综上知. ………12分21．解：（1），令其为，则所以可得即单调递增，………………………2分而，则在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增. ………………4分（2），另，可知，，令，. ………………6分①当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，，时，，时，，可知此时满足条件. ………………8分②当时，结合对应二次函数的图像可知，可知，单调递增，，时，，时，，，可知此时不成立. …………10分③当时，研究函数，可知，对称轴，那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时，所以不满足条件.综上所述：. …………12分22．解：（1）由，平方和得 (2)分所以曲线的普通方程为，……………3分即，将代入方程化简得．所以曲线的极坐标方程是．………………5分（2）由得因为故直线的直角坐标方程为，……………7分由得直线与曲线的交点坐标为，…8分所以弦长．…10分23．(本小题满分10分)解：（1）当时，………2分由得，当时，………4分由得，当时，………6分由得，综上所述，当时，解集为………7分（2）由图像可知的最小值为，由均值不等式可知，…8分当且仅当时，“”成立，即. …10分。

2018-2019学年广东省潮州市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．R D．（1，2）2．（5分）复数z满足（﹣2﹣i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．2+i3．（5分）设命题p：∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，则￢p是（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1B．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，lnx＞x﹣1C．￢p：∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣1D．￢p：∃x0∈（0，+∞），lnx0≤x0﹣14．（5分）已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为A（x i，y i）（i＝1，2，3，…8，），回归直线方程为＝x+a，若x i＝6，y i＝2，则a＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）下列函数在区间（0，1）为单调递增函数的是（）A．y＝﹣x3+1B．y＝cos x C．y＝log x D．y＝x﹣6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝（）A．2019B．C．2D．17．（5分）在等比数列{a n}中，已知a4＝8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．则{a n}的前5项和为（）A．31B．62C．64D．1288．（5分）已知向量、，满足||＝，||＝2，且（﹣）⊥，则在上的投影为（）A．﹣3B．﹣2C．D．49．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中x＝1，则该几何体的体积为（）A．2B．1C．4D．610．（5分）已知函数f（x）＝+1，则f（3）+f（2）+f（1）+f（0）+f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）＝（）A．0B．7C．﹣7D．411．（5分）若双曲线的渐近线与直线y＝﹣1所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）在单位圆O上，设∠xOP＝α，若α∈（），且sin（α+）＝，则x0的值为（）A．B．C．﹣D．﹣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）函数f（x）＝sin（+x）+sin x的最大值为．14．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z＝+y的最小值为．15．（5分）曲线f（x）＝2x﹣在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2＝R2相切，则R＝．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，且对任意正整数n都有＝﹣1，则S n＝三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A+a sin B＝0．（1）求角A的大小；（2）已知，△ABC的面积为1，求边a．18．（12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400）（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300，350）内的概率．（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？19．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点．（1）证明：AF∥平面BCE；（2）若，求三棱锥B﹣CEF的体积．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：y＝x2﹣1相交于A（﹣1，0），B（1，0）两点C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程．（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．21．（12分）已知函数．其中（a∈R）（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x＞0，都有f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）＝2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|3x﹣6|．（1）求f（x）＜2的解集；（2）若f（x）的最小值为T，正数a，b满足，求证：．2018-2019学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），B＝{x|＞0}＝{x|x﹣1＞0}＝（1，+∞），∴A∩B＝（1，2）．故选：D．2．【解答】解：由（﹣2﹣i）z＝|3+4i|＝5，得z＝，∴．故选：C．3．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣1．故选：C．4．【解答】解：∵，∵，样本中心点经过线性回归方程，则：，即，∴．故选：B．5．【解答】解：y＝﹣x3+1，y＝cos x，在（0，1）都为单调递减函数，在（0，1）为单调递增函数．故选：D．6．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（2）＝log32﹣1，∴f（f（2））＝f（log32﹣1）＝．故选：B．7．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a4＝8a1，∴a1q3＝8a1，a1≠0，解得q＝2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）＝a1+a3，∴2（2a1+1）＝a1（1+22），解得a1＝2∴{a n}的前5项和为＝62，故选：B．8．【解答】解：∵，；∴；∴；又；∴；∴在上的投影为．故选：C．9．【解答】解：根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱P A⊥底面ABCD，底面ABCD是直角提醒，画出直观图，如图所示；由图中数据，计算几何体的体积为：V＝××（1+2）×2×2＝2．故选：A．10．【解答】解：∵函数f（x）＝+1，∴f（﹣x）+f（x）＝+1+＝2，且f（0）＝＝1．故f（3）+f（2）+f（1）+f（0）+f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）＝3×2+1＝7．故选：B．11．【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，令y＝﹣1可得x＝±，由渐近线与直线y＝﹣1所围成的三角形的面积为2，可得•1•＝2，即有b＝2a，则c＝＝a，即有e＝＝．故选：A．12．【解答】解：∵α∈（），∴α+∈（，π），∵sin（α+）＝，∴cos（α+）＝﹣，则x0＝cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣+＝﹣，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：数f（x）＝sin（+x）+sin x＝cos x+＝，当（k∈Z）时，函数f（x）的最大值为，故答案为：．14．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：B（2，﹣4）由z＝+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点（2，﹣4）时，直线的截距最小，此时z最小，此时z＝﹣3，故答案为：﹣3．15．【解答】解：f（x）＝2x﹣的导数为f′（x）＝2+，可得切线的斜率为k＝3，切点为（1，1），即有在x＝1处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣1），即为3x﹣y﹣2＝0，由切线与圆x2+y2＝R2相切，可得d＝＝R，可得R＝．故答案为：．16．【解答】解：对任意正整数n都有＝﹣1，∴＝﹣＝﹣1，即﹣＝1，＝1．∴数列{}是等差数列，首项与公差都为1．∴＝1+n﹣1＝n，解得S n＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【解答】（本小题满分12分）（1）解：∵b cos A+a sin B＝0∴由正弦定理得：sin B cos A+sin A sin B＝0﹣﹣﹣（2分）∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴cos A+sin A＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵，∴tan A＝﹣1﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又0＜A＜π…（5分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）方法1：解：∵，S△ABC＝1，∴即：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又由余弦定理得：﹣﹣（11分）故：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）方法2：∵，S△ABC＝1，∴即：…①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又…②由①②解得：…（9分）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝10﹣﹣（11分）故：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】解：（1）∵[100，250）的频率为（0.002+0.002+0.003）×50＝0.35，[250，300）的频率为0.008×50＝0.4，∴该样本的中位数为：250+＝268.75．（4分）（2）抽取的6个芒果中，质量在[250，300）和[300，350）内的分别有4个和2个．设质量在[250，300）内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在[300，350）内的2个芒果分别为a，b．从这6个芒果中选出3个的情况共有12种，分别为：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，a），（A，B，b），（A，C，D），（A，C，a），（A，C，b），（A，D，a），（A，D，b），（A，a，b），（B，C，D），（B，C，a），（B，C，b），（B，D，a），（B，D，b），（B，a，b），（C，D，a），（C，D，b），（C，a，b）（D，a，b），共计20种，其中恰有一个在[300，350）内的情况有：（A，B，a），（A，B，b），（A，C，a），（A，C，b），（A，D，a），（A，D，b），（B，C，a），（B，C，b），（B，D，a），（B，D，b），（C，D，a），（C，D，b）共计12种，∴这3个芒果中恰有1个在[300，350）内的概率．（8分）（3）方案A：方案B：低于250克：（0.002+0.002+0.003）×50×10000×2＝7000元高于或等于250克（0.008+0.004+0.001）×50×10000×3＝19500元总计7000+19500＝26500元由25750＜26500，故B方案获利更多，应选B方案．（12分）19．【解答】证明：（1）证法一：取CE的中点M，连接FM，BM．因为点F为棱DE的中点，所以FM∥CD且，因为AB∥CD且AB＝2，所以FM∥AB且FM＝AB，所以四边形ABMF为平行四边形，所以AF∥BM，因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．证法二：在平面ABCD内，分别延长CB，DA，交于点N．因为AB∥CD，CD＝2AB，所以A为DN中点．又因为F为DE的中点，所以AF∥EN．因为EN⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE．证明法三：取棱CD的中点G，连接AG，GF，因为点F为棱DE的中点，所以FG∥CE，因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以FG∥平面BCE；因为AB∥CD，AB＝CG＝2，所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG∥BC，因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG∥平面BCE；又因为FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE；因为AF⊂平面AFG，所以AF∥平面BCE．解：（2）因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC．因为，所以CD2+CE2＝DE2，所以CD⊥CE，因为BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE．因为点F为棱DE的中点，且CD＝4，所以点F到平面BCE的距离为 2.．三棱锥B﹣CEF的体积＝．20．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣1的顶点为（0，﹣1），即椭圆的下焦点为（0，﹣1），∴c＝1，由AB＝2，知x B＝1，代入抛物线得B（1，0），得b＝1，∴a2＝b2+c2＝2，∴C1的方程为．（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y＝k（x﹣1），与联立消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣2＝0，则，得，，由，得x2﹣kx+k﹣1＝0，由△＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2＞0，得k≠2，则x N•x B＝k﹣1，得x N＝k﹣1，y N＝k（k﹣2），∵点A在以MN为直径的圆外，即，∴，又A（﹣1，0），∴＝＝，解得k＜4，综上知k∈（﹣∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．21．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝2（x﹣1）lnx，f′（x）＝2lnx+＝2lnx﹣+2，∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）设g（x）＝2（x﹣1）lnx﹣（x2﹣x﹣1+）（x＞0），则g′（x）＝2lnx﹣+3﹣2x+，g″（x）＝+﹣2﹣＝＝﹣≤0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递减，又g′（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）＝0，即2（x﹣1）lnx≤（x2﹣x﹣1+）在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x＝1时取等号．由（1）可知2（x﹣1）lnx≥0，∴x2﹣x﹣1+≥0，显然当x＝1时，a取任何数都成立，当x≠1时，＜1，即﹣＞﹣1，∵2（x﹣1）lnx+a（x2﹣x﹣1+）≤0恒成立，∴a≤﹣恒成立，∴a≤﹣1．所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，再化为极坐标方程是ρ＝4cosθ．﹣﹣﹣﹣（5分）（2）∵直线l的直角坐标方程为x+y﹣4＝0，由求得，或，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），所以弦长为＝2．﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解（1），如图示：由图象可知：f（x）＜2的解集为．（2）证明：由图象可知f（x）的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当a＝b时，“＝”成立，即．。

广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题(解析版)

1
1
8
，
∑�� = 1�� = 2
8
，则�� = ( )
1
A. 8
【答案】B
B.
‒8
1
C. 4
D.
‒4
1
‒
【解析】解：
∵ ��1 + … + ��8 = 6 ∴ �� = 4
‒
3
‒
，
∵ ��1 + … + ��8 = 2 ∴ �� = 4
{
��3�� ‒ 1,�� ≥ 0
1 ,�� 2019
<0
，
∴ ��(��(2)) = ��(��32 ‒ 1) = 2019
1
．
故选：B．推导出��(2) = ��32 ‒ 1，从而��(��(2)) = ��(��32 ‒ 1)，由此能求出结果．
B. ‒ 2
C. 2
D. 4
∵ |⃗| = 3
��
，
(⃗ ‒ ⃗) ⊥ ⃗
��
��；
∴ (⃗ ‒ ⃗) ⋅ ⃗ = ⃗2 ‒ ⃗ ⋅ ⃗ = 3 ‒ ⃗ ⋅ ⃗ = 0
��
；
∴⃗⋅⃗=3
��
�� = 3 × 2 × (1 + 2) × 2 × 2 = 2 故选：A．

广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题

广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合[0,4]A =，2{|40}B x x x =+≤，则A B =A ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x ->成立的充分不必要条件是A ．10x -<<或1x >B ．01x <<C ．1x >D ． 2x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m β⊂，n β⊂，//m α，//n α，则//αβ 6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．右图给出计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 A ．10i > B ．10?i > C ． 9?i ≤ D ．9i ≤题8图9．已知回归直线的斜率的估计值是23.1，样本中心点为(4,5)，若解释变量的值为10，则预报变量的值约为A ．163.B ．173.C ．1238.D ．203.10．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，()b f =１，2(2)c f =--，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本题共4小题，满分共20分，把答案填在答题卷相应的位置上．11．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到12．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．13．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_______．14．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2c o s c o s c o s b A c A a C =＋，则c o s A =________．三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；（2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-． …… 2分22cos sin cos 2x x x =-=．……… 5分∴当22()x k k Zππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 7分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分．主视图俯视图左视图（2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， ……… 10分 ∴11tan tan 34tan()2141tan tan143x x x πππ+++===--． ……… 12分 16．（本题满分12分）设事件A 表示“关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根”．（1）若a 、{1,2,3}b ∈，求事件A 发生的概率()P A ；（2）若a 、[1,3]b ∈，求事件A 发生的概率()P A ．解：（1）由关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根，得0∆≥．∴22440a b -≥，故22a b ≥，当0a >，0b >时，得a b ≥．…… 2分若a 、{1,2,3}b ∈，则总的基本事件数（即有序实数对(,)a b 的个数）为339⨯=．事件A 包含的基本事件为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6个．∴事件A 发生的概率62()93P A ==； ………… 7分（2）若a 、[1,3]b ∈，则总的基本事件所构成的区域{(,)|13,13}a b a b Ω=≤≤≤≤，是平面直角坐标系aOb 中的一个正方形（如右图的四边形BCDE ），其面积2(31)4S Ω=-=． ………… 9分事件A 构成的区域是{(,)|13,13,}A a b a b a b =≤≤≤≤≥，是平面直角坐标系aOb 中的一个等腰直角三角形（如右图的阴影部分），其面积21(31)22A S =⨯-=．故事件A 发生的概率21()42A S P A S Ω===． …… 12分17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M 、(1,0)N ，若动点P 满足6||M N M P N P =⋅．（1）求动点P 的轨迹C ；（2）在曲线C 上是否存在点Q ，使得MNQ ∆的面积32MNQ S ∆=？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-，(3,0)MN =-，(1,)NP x y =-． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=． ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分．（2）设曲线C 上存在点00(,)Q x y 满足题意，则32MNQ S ∆=． ……… 9分 ∴013|||22|MN y =⋅，又||3MN =，故0|1|y =． ……… 11分又2200143x y +=，故2200184(1)4(1)333y x =-=-=． ……… 12分 ∴362380±=±=x ． ……… 13分∴曲线C 上存在点(,1)Q ±±使得MNQ ∆的面积32MNQ S ∆=．…… 14分 18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD 中//AD BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，x AE =．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点．（1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D BCF -的体积()f x 的函数式．（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ……２分∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ，∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF，故DH EG ⊥． …… ４分∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥． ………… ６分又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BHDH H =，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥． ………… ８分（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE GH ，……１０分 ∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF -的高DH AE x ==． …………１１分又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ………… 1２分 ∴三棱锥D BCF -的体积19．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和2n n S an b =+，若112a =，256a =．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设21n n ab n n =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）由1112S a ==，得112a b =+；由21243S a a =+=，得4423a b =+．∴223a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故21n n S n =+； ………… 4分（2）当2n ≥时，2232212(1)(1)(1)11(1)n n n n n n n n n n a S S n n n n n n----++-=-=-==+++．…… 7分由于112a =也适合221n n n a n n +-=+． ……… 8分 ∴221n n n a n n +-=+； ……… 9分（3）21111(1)1n n a b n n n n n n ===-+-++． ……… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ 1111nn n =-=++． ……… 14分 20．（本题满分14分）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是14-．（1）求()f x 的解析式；（2）实数0a ≠，函数22()()(1)g x xf x a x a x =++-，若()g x 在区间(3,2)- 上单调递减，求实数a 的取值范围．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24a f x ax ax a x =-=--．又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； …… 4分（2）2232222322()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-．∴22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+． ………… 6分由'()0g x =，得3a x =，或x a =-，又0a ≠，故3aa ≠-．………… 7分当3a a >-，即0a >时，由'()0g x <，得3aa x -<<． ………… 8分 ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴323a a -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得36a a ≥⎧⎨≥⎩，故6a ≥（满足0a >）； ……… 10分当3a a <-，即0a <时，由'()0g x <，得3ax a <<-． ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴332aa ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩，解得92a a ≤-⎧⎨≤-⎩，故9a ≤-（满足0a <）． ……… 13分综上所述得9a ≤-，或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞． ……… 14分。

2019年广东省潮州市国立高级中学高三数学文期末试题含解析

2019年广东省潮州市国立高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的部分图象如图1所示，则A. B.C. D.a>1, 0<b<1图1参考答案：A【知识点】指数与指数函数由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴-1＜b＜0【思路点拨】根据指数函数的图象和性质即可判断2. 已知函数，则= ( ）、、、、参考答案：B3. 已知定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点的和为（）A. B. C.D.参考答案：D4. 如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且．点，分别为棱，的中点，是侧面内一动点，且满足.则当点运动时，的最小值是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：【知识点】点、线、面间的距离计算G11B解析：以为直径在平面内作圆，该圆的半径为，再过引的垂线，垂足为，连接，所以，其中的长为棱长4，因此当最小时，就取最小值，点到圆心的距离为3，所以的最小值为：，所以的最小值为：，故选B.【思路点拨】由是侧面内一动点，且满足，想到以为直径在平面内作圆，点在圆上，在中，，当最小时，就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.5. 己知函数f（x）=，则f（5）的值为A．B．C．1 D．参考答案：C6. 已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B略7. 已知等比数列中，公比，且，，则= （）A．2 B．3 C．6D．3或6参考答案：B8. 设，则“” 是“且”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：B9. 如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是A．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个B．与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长C．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省参考答案：A10. 已知定义在上的函数的图象关于点对称，且时，成立，（其中是的导函数），，，则的大小关系是（）A． B． C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知某算法的流程图如右图所示，则输出的结果是_____________.参考答案：略12. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知四边形ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝AA1＝1，CD＝2，E为BB1的中点，则直线AD与直线CE所成角的正切值为▲．参考答案：13. 已知等差数列()中，，，则数列的通项公式；______．参考答案：,14. 对于集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n=2时，集合N={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2-1）=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=参考答案：15. 在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为．参考答案：在等腰梯形ABCD中,由,得,,,所以.考点：平面向量的数量积.16. 曲线与直线有两个不同交点的充要条件是 .参考答案：知识点：直线与圆的位置关系解析：表示上半圆，圆心（0,1），半径为2，左边边界点为（-2,1），直线过定点（2,4），当直线过（-2,0）时，二者有两个交点，此时当直线与圆相切时，二者有一个交点，此时结合图像知：若二者有两个交点，则。

2019年高三上学期期末统考数学(文)试题含答案

2019年高三上学期期末统考数学（文）试题含答案xx．1本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间l20分钟．注意事项：选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。

一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分。

把正确答案涂在答题卡上。

1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8 }，B={1，3，5，7}，则=A．{5} B．{1，3，7}C．{2，8} D．{1，3，4，5，6，7，8}2．已知复数，则=A．2B．C．2 D．3．已知向量a=(1，k)，b=(2，2)，且a+b与a共线，那么a·b的值为A．1 B．2 C．3 D．44．已知双曲线(a>0，b>0)的一个顶点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为A．B．C．D．5．已知数列{}为等差数列，，，则=A．1 B．2 C．3 D．46．已知，命题p：，<0；则A．p是假命题，：，B．p是假命题，：，C．p是真命题，：，D．p是真命题，：，7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A．6.5B．7C．7.5D．8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，求实数m的值为A．2 B．0 C．-1 D．-29．若函数(a>0且a≠1)在R上既是奇函数又是增函数，则的图象是10．设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为A．B．C．D．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11广告费x(万元) 3 4 5 6销售额y(万元) 25 30 40 45根据上表可得回归直线方程，若广告费用为10万元，则预计销售额为万元。

广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题(精品解析)

广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. R D.【答案】D【解析】【分析】求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.复数z满足为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学至少有一人站在两端的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】五名同学站成一排照相，共有种排法、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，由此能求出A、B两位同学至少有一人站在两端的概率．【详解】五名同学站成一排照相，共有种排法．A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，、B两位同学至少有一人站在两端的概率为．故选：C．【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，涉及到的知识点有有条件的排列问题以及古典概型概率公式，属于简单题目.4.下列函数在区间上是增函数的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数在上的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项，对于A，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；对于B，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；对于C，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；对于D，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．5.已知随机变量，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．【详解】，且，，且，．故选：B．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6.等比数列中，若，且成等差数列，则其前5项和为（）A. 30B. 32C. 62D. 64【答案】C【解析】【分析】设等比数列{a n}的公比为q，a4＝8a1，可得a1q3＝8a1，解可得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）＝a1+a3，解可得a1，由等比数列前n项和公式计算可得答案．【详解】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，∵a4＝8a1，∴a1q3＝8a1，a1≠0，解得q＝2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）＝a1+a3，∴2（2a1+1）＝a1（1+22），解得a1＝2；则其前5项和S562；故选：C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式即可．7.已知命题是P：“”是“”的充要条件，q：，使得；则A. 为真命题B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】C【解析】由指数函数的单调性可得：函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，由不等式有解问题，存在时，，即命题q是真命题，得结果.【详解】因为函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，即命题P是真命题，因为存在时，，即命题q是真命题，即为真命题，故选：C．【点睛】本题考查了指数函数的单调性及不等式有解问题，属简单题目.8.已知函数的图象经过点，则A. 2019B.C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】由函数的图象经过点，可得，进而可得答案．【详解】因为函数过点，所以，解得：，所以，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，函数求值，难度不大，属于基础题．9.已知函数，则A. 0B. 7C.D. 4【答案】B【解析】【分析】推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，故选：C．【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．11.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x的值为A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，利用体积转化求解即可．【详解】三视图对应的几何体的直观图如图：几何体的体积为：，解得．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用双曲线的定义和条件，求得，，由直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．【详解】双曲线C与圆在第一象限相交于点A，可得，由，可得，，由，可得，即为，即有，即有．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，此时，故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14.已知向量、，满足，，且，则在上的投影为______．【答案】【解析】【分析】根据得，在上的投影为．【详解】，，，，在上的投影为，故答案为：．【点睛】本题平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．15.过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为______．【答案】【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程．【详解】，，当时，，即曲线在点处的切线斜率为，与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2，直线过点，所求直线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．16.设数列的前n项乘积为，对任意正整数n都有，则______．【答案】【解析】【分析】对任意正整数n都有，时，，化为：时，，可得：利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】对任意正整数n都有，时，，化为：．时，，可得：．．可得：．．故答案为：．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四棱锥中，，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(Ⅰ)先证明CD⊥BC．CD⊥CE，得到CD⊥平面BCE．再证明平面BCE⊥平面CDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，采用向量法求解二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)证明：因为,，所以.因为,所以,所以,因为,所以平面.又平面,所以平面平面.(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的法向量为,则,即,令, 解得,即,显然平面的一个法向量为,所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定和求二面角的余弦值，考查了空间想象能力以及计算能力；求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.18.已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】【试题分析】（1）由于，所以的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线的斜率存在时，设出直线方程和点的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，求得其纵截距为，即过.验证当斜率不存在是也过.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.【试题解析】解：（1）由已知得：，所以又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点轨迹方程是.（2）当存在时，设直线，，则，联立直线与椭圆得，得，∴，∴，所以直线，所以令，得，，所以直线过定点，（当不存在时仍适合）所以的面积，当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值是.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点，而圆心恰好是，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆.19.已知函数．求的解集；若的最小值为T，正数a，b满足，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题解析：（1）由图像可知：的解集为.（2）图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即.。

2019年广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题及答案

高考数学精品复习资料2019.5广东潮州20xx 高三上期末教学质量检测数学文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效．参考公式：棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合[0,4]A =，2{|40}B x x x =+≤，则A B =A ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．44．不等式10x ->成立的充分不必要条件是A ．10x -<<或1x >B ．01x <<C ．1x >D ． 2x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m β⊂，n β⊂，//m α，//n α，则//αβ 6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． B ． 2 C ． 3 D ． 48．右图给出计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件A ．10i >B ．10?i >C ． 9?i ≤D ．9i ≤9．已知回归直线的斜率的估计值是23.1，样本中心点为(4,5)，若解释变量的值为10，则预报变量的值约为A ．163.B ．173.C ．1238.D ．203. 10．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，()b f =１，2(2)c f =--，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本题共4小题，满分共20分，把答案填在答题卷相应的位置上．11．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，则高二的学生人数为______．高一高二高三女生600 y 650 男生 x z750 12．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．13．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_______．14．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2cos cos cos b A c A a C =＋，则cos A =________．开始0,2,1S n i ===1S S n=+2n n =+ 1i i =+否输出S结束是题8图主视图俯视图232左视图三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；（2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）设事件A 表示“关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根”．（1）若a 、{1,2,3}b ∈，求事件A 发生的概率()P A ；（2）若a 、[1,3]b ∈，求事件A 发生的概率()P A ． 17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M 、(1,0)N ，若动点P 满足6||MN MP NP =⋅．（1）求动点P 的轨迹C ；（2）在曲线C 上是否存在点Q ，使得MNQ ∆的面积32MNQ S ∆=？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD 中//AD BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，x AE =．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点．（1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；体积()f x 的函（2）当x 变化时，求三棱锥D BCF -的数式．19．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和2n n S an b =+，若112a =，256a =．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设21nn a b n n =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．（本题满分14分）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是14-．（1）求()f x 的解析式；（2）实数0a ≠，函数22()()(1)g x xf x a x a x =++-，若()g x 在区间(3,2)-上单调递减，求实数a 的取值范围．答案及评分标准：10~1：CCDD C ；BBBC A ；11．1200；12．；13．83；14．１２．1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}AB =．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0) ，则4p =．4．由10x ->，得1x >，显然21x x >⇒>；1x >⇒/2x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．6．由0AB CD +=，得AB CD DC =-=，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅，故0DB AC =⋅，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直． 7．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数． ∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>． 8．考查循环结构终止执行循环体的条件．9．由样本中心点为(4,5)在回归直线上，得回归方程是 1.230.08y x =+．将10x =代入，可以得到预报变量的值约为1238.．10．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，()(1)b f g ==１，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=，故a c b >>．11．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =，故高二的学生人数为1200y z +=．12．作出可行域及直线：20x y -=，平移直线至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．13．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，则3232a=，故4a =，底面积1423432S =⨯⨯=，故43283V Sh ==⨯=． 14．由2cos cos cos b A c A a C =+．得2sin cos sin cos cos sin B A C A C A =+，故2sin cos sin()B A A C =+．又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =． 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-． …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=． ……… 5分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 7分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣分．（2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， ……… 10分 ∴11tan tan 34tan()2141tan tan143x x x πππ+++===--． ……… 12分 16．解：（1）由关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根，得0∆≥．∴22440a b -≥，故22a b ≥，当0a >，0b >时，得a b ≥．…… 2分若a 、{1,2,3}b ∈，则总的基本事件数（即有序实数对(,)a b 的个数）为339⨯=．事件A 包含的基本事件为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6个．∴事件A 发生的概率62()93P A ==； ………… 7分（2）若a 、[1,3]b ∈，则总的基本事件所构成的区域{(,)|13,13}a b a b Ω=≤≤≤≤，是平面直角坐标系aOb 中的一个正方形（如右图的四边形BCDE ），其面积2(31)4S Ω=-=． ………… 9分事件A 构成的区域是{(,)|13,13,}A a b a b a b =≤≤≤≤≥，是平面直角坐标系aOb 中的一个等腰直角三角形（如右图的阴影部分），其面积21(31)22A S =⨯-=．故事件A 发生的概率21()42A S P A S Ω===． …… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-，(3,0)MN =-，(1,)NP x y =-． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅，得223(4)6(1)()x x y --=-+-， ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=． ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分．abBO1C1E33DabBO1C1E33D（2）设曲线C 上存在点00(,)Q x y 满足题意，则32MNQ S ∆=． ……… 9分 ∴013|||22|MN y =⋅，又||3MN =，故0|1|y =． ……… 11分又2200143x y +=，故2200184(1)4(1)333y x =-=-=． ……… 12分∴362380±=±=x ． ……… 13分 ∴曲线C 上存在点26(,1)3Q ±±使得MNQ ∆的面积32MNQ S ∆=．…… 14分 18．（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， …… ２分 ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ，∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥． …… ４分 ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥． ………… ６分又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BHDH H =，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥． ………… ８分（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE GH ，……１０分 ∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF -的高DH AE x ==． …………１１分又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ………… 1２分 ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+………… 1４分19．解：（1）由1112S a ==，得112a b =+；由21243S a a =+=，得4423a b =+． ∴223a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故21n n S n =+； ………… 4分（2）当2n ≥时，2232212(1)(1)(1)11(1)n n n n n n n n n n a S S n n n n n n----++-=-=-==+++．…… 7分由于112a =也适合221n n n a n n +-=+． ……… 8分∴221n n n a n n +-=+； ……… 9分（3）21111(1)1n n a b n n n n n n ===-+-++． ……… 10分 ∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ 1111nn n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24a f x ax ax a x =-=--．又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =． ∴2()f x x x =-； …… 4分（2）2232222322()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-．∴22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+． ………… 6分由'()0g x =，得3a x =，或x a =-，又0a ≠，故3aa ≠-．………… 7分当3a a >-，即0a >时，由'()0g x <，得3aa x -<<． ………… 8分 ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴323a a -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得36a a ≥⎧⎨≥⎩，故6a ≥（满足0a >）； ……… 10分当3a a <-，即0a <时，由'()0g x <，得3ax a <<-． ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴332aa ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩，解得92a a ≤-⎧⎨≤-⎩，故9a ≤-（满足0a <）． ……… 13分综上所述得9a ≤-，或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞． ……… 14分。

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2019届广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则A．B．C．R D．【答案】D【解析】求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2．复数z满足为虚数单位，则A．B．C．D．【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．设命题，则是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选C.4．已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为2，3，，，回归直线方程为，若，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】首先求得样本中心点，然后利用线性回归方程的性质求解实数a的值即可．【详解】，，因为线性回归直线经过样本中心点，则，即，．故选：B．【点睛】线性回归直线经过样本中心点．5．下列函数在区间为单调递增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用基本函数的单调性逐个判断即可.【详解】，，在都为单调递减函数，在为单调递增函数．故选：D．【点睛】6．已知函数，则A．2019 B．C．2 D．1【答案】B【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】函数，，．故选：B．【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.7．在等比数列中，已知，且，，成等差数列则的前5项和为A．31 B．62 C．64 D．128【答案】B【解析】设等比数列公比为q，由，可得根据，，成等差数列，可解得，再求和即可.【详解】设等比数列的公比为q，，，，解得．又，，成等差数列，，，解得的前5项和为，故选：B．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题.8．已知向量、，满足，，且，则在上的投影为A．B．C．D．4【答案】C【解析】根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于基础题.9．某几何体的三视图如图所示，若图中，则该几何体的体积为A．2B．1C．4D．6【答案】A【解析】根据三视图知几何体为四棱锥，且侧棱垂直于底面，由图中数据可求该几何体【详解】根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，画出直观图，如图所示；由图中数据，计算几何体的体积为：．故选：A ．【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.10．已知函数，则A ．0B ．7C ．D ．4【答案】B 【解析】推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．故选：B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与直线1y =-所围成的三角形面积为A B C D 【答案】A【解析】渐近线为b y x a =±， 1x =-时， b y a =±，所以12122b a⨯⨯=，即2b a =，c =， ce a==A ．12．平面直角坐标系xOy 中，点在单位圆O 上，设，若，且，则的值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，故选：C ．【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．二、填空题【答案】【解析】首先利用诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，即可求出函数的最大值．【详解】函数，当时，函数的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查诱导公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质的应用，属于基础题.14．已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时，故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】【解析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．设数列的前n项和为，已知，且对任意正整数n都有，则______【答案】【解析】对任意正整数n都有，可得，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】即，．数列是首项与公差都为1的等差数列．，解得．故答案为：．【点睛】本题考查由数列递推关系求通项公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）已知，的面积为1，求边.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）∵bcosA+asinB=0∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π∴（2）∵，S=1，∴△ABC又由余弦定理得：故：【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．18．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，单位：克中，经统计得频率分布直方图如图所示．经计算估计这组数据的中位数；现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率．某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元个收购，高于或等于250克的以3元个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）268.75；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图和中位数的定义求解．（2）有分层抽样可得，应从况，然后判断出这个芒果中恰有个在的所有情况，根据古典概型概率公式求解．（3）分别求出两种收购方案中的获利情况，然后做出选择．试题解析：（1）由频率分布直方图可得，前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为，则有，解得．故中位数为268.75.（2）设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率．（3）方案A：．方案B：由题意得低于250克：元；高于或等于250克元故的总计元．由于，故B 方案获利更多，应选B 方案．点睛：利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和； (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19．如图，在四棱锥E ABCD -中， //,90AB CD ABC ∠=︒, 224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.（1）证明： //AF 平面BCE ；（2）若4,120,BC BCE DE =∠=︒=B CEF -的体积.【答案】（1）见解析（2）3【解析】试题分析：（1）取CE 的中点M ，连接,FM BM ，根据三角形中位线定理可得//FM CD ，从而可得四边形ABMF 为平行四边形， //AF BM ，利用线面平行的判定定理可得//AF 平面BCE ；（2）由//,90AB CD ABC ∠=︒得CD BC ⊥，由勾股定理可得CD CE ⊥，从而得CD ⊥平面BCE ， F 到平面BCE 的距离为2，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯ 3=.试题解析：（1）取CE 的中点M ，连接,FM BM . 因为点F 为棱DE 的中点，所以//FM CD 且122FM CD ==，因为//AB CD 且 2AB =，所以//FM AB 且FM AB =，所以四边形ABMF 为平行四边形，所以//AF BM ，因为AF ⊄平面BCE ， BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE .（2）因为//,90AB CD ABC ∠=︒，所以CD BC ⊥.因为4,2,CD CE DE ===222CD CE DE +=，所以CD CE ⊥，因为BC CE C ⋂=, BC ⊂平面BCE ， CE ⊂平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =，所以点F 到平面BCE 的距离为2.11sin 42sin12022BCE S BC CE BCE ∆=⋅∠=⨯⨯︒=三棱锥B CEF -的体积123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯ 123=⨯=【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20．已知椭圆：与抛物线：相交于，两点的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、均异于点A、．Ⅰ求的方程．Ⅱ若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】Ⅰ由抛物线的顶点，可得椭圆下焦点为即得c值，由，可得，代入抛物线得b，再利用，可得椭圆的方程．Ⅱ依题意知直线l的方程为，分别与椭圆、抛物线的方程联立得点M，N 的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，，由，知，代入抛物线得，得，，的方程为．Ⅱ依题意知直线l的方程为，与联立消去y得：，则，得，，由，得，由，得，则，得，，点A在以MN为直径的圆外，，又，，解得，综上知．【点睛】本题考查椭圆与抛物线的方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数.其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若对于任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求导得到区间上单调递减，上单调递增；（2）直接求导，对分类讨论，得到.试题解析：（1），令其为，则所以可得即单调递增，而，则在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增（2），另，可知.，令，①当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，∵，∴时，，时，. 可知此时满足条件.②当时，结合对应二次函数的图像可知，，单调递增，∵，∴时，，时，.可知此时不成立.③当时，研究函数.可知.对称轴.那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时.所以不满足条件.综上所述：.22．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线在极坐标系中的方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，再根据，化为极坐标方程．（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．试题解析：（Ⅰ）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程为再化为极坐标方程是．（Ⅱ）直线的直角坐标方程为由求得或可得直线与曲线的交点坐标为，，所以弦长为．【考点】极坐标、参数方程23．已知函数.（1）求的解集；（2）若的最小值为,正数满足，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题解析：（1）由图像可知：的解集为.（2）图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即.。