2014-2015年福建省福州八中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A．9 B．8 C．10 D．72．（5分）掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）A．P（M）=，P（N）=B．P（M）=，P（N）=C．P（M）=，P（N）=D．P（M）=，P（N）=3．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.85x+a，则a=（）A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.94．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=4x5﹣3x4+6x﹣9，当x=﹣3时的值时，需要乘法运算和加法运算的次数分别为（）A．4，2 B．5，3 C．5，5 D．5，45．（5分）双曲线方程为x2﹣3y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．（0，2） B．（，0）C．（，0）D．（，0）6．（5分）准线为x=2的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x7．（5分）甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（）A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件8．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）A．i＞100 B．i≤100 C．i＞50 D．i≤509．（5分）直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）执行如图程序，当输入39，24时，输出的结果是．12．（4分）已知F1、F2为椭圆C：=1 的左、右焦点，点P在椭圆C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=．13．（4分）若2014（5）化为六进制数为abcd（6），则a+b+c+d=．14．（4分）为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图所示），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数为．三、解答题：（共3小题，共34分）15．（10分）已知条件p：函数y=lg（﹣x2+8x+20）的定义域；条件q：{x|1﹣m ≤x≤1+m，m＞0}，若￢p是￢q充分不必要条件，求实数m的取值范围．16．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆（x+2）2+（y﹣1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．一、选择题：（共2小题，每小题5分，共10分）18．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”19．（5分）已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x+m•2x+1=0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2 B．m≥2 C．m≤﹣2 D．m≤﹣2或m≥2二、填空题：（共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的椭圆或双曲线．若其中经过点M、N的椭圆的离心率分别是e M，e N，经过点P，Q的双曲线的离心率分别是e P，e Q，则它们的大小关系是（用“＜”连接）．21．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线方程为．三、解答题：（共3小题，共32分）22．（10分）已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．23．（10分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．24．（12分）已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M、N为圆C2与x轴的两个交点．（1）求抛物线C1的方程；（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论．2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A．9 B．8 C．10 D．7【解答】解：从72人，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为72÷8=9，故选：A．2．（5分）掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）A．P（M）=，P（N）=B．P（M）=，P（N）=C．P（M）=，P（N）=D．P（M）=，P（N）=【解答】解：记掷一枚均匀的硬币两次，所得的结果为事件I，则I={（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）}，则事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；∴M={（正，反）、（反，正）}，事件N：至少一次正面朝上，∴N={（正，正）、（正，反）、（反，正）}，∴P（M）=，P（N）=．故选：D．3．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.85x+a，则a=（）A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9【解答】解：由题意可知==2，==4.5．因为回归直线方程经过样本中心，所以4.5=0.85×2+a，解得a=2.8．故选：C．4．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=4x5﹣3x4+6x﹣9，当x=﹣3时的值时，需要乘法运算和加法运算的次数分别为（）A．4，2 B．5，3 C．5，5 D．5，4【解答】解：f（x）=（（（（4x﹣3）x）x）x+6）x﹣9，∴当x=﹣3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为5，3．故选：B．5．（5分）双曲线方程为x2﹣3y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．（0，2） B．（，0）C．（，0）D．（，0）【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣3y2=1，∴a2=1，b2=，∵c2=b2+a2=，∴它的右焦点坐标为（，0），故选：C．6．（5分）准线为x=2的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x【解答】解：∵准线方程为x=2∴﹣=2p=﹣4∴抛物线方程为y2=﹣8x故选：B．7．（5分）甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（）A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解答】解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立．甲推不出乙；但是乙能推出甲．因而A、C、D都是不正确的．故选：B．8．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）A．i＞100 B．i≤100 C．i＞50 D．i≤50【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+，i=4，第二圈：S=+，i=6，第三圈：S=++，i=8，…依此类推，第50圈：S=，i=102，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i≤100，故选：B．9．（5分）直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选：A．10．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选：A．二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）执行如图程序，当输入39，24时，输出的结果是15．【解答】解：执行程序，有a=39，b=24，c=15，a=24，b=15；c=9，a=15，b=9；满足条件b＜10，退出循环，输出a的值为15．故答案为：15．12．（4分）已知F1、F2为椭圆C：=1 的左、右焦点，点P在椭圆C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=．【解答】解：∵椭圆方程为=1，∴a=2，b=1，c=．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=4①，由余弦定理得，12=m2+n2﹣2mncos60°=m2+n2﹣mn②，①2﹣②，可得|PF1|•|PF2|=mn=，故答案为：．13．（4分）若2014（5）化为六进制数为abcd（6），则a+b+c+d=4．【解答】解：五进制”数为2014转化为“十进制”数为：2×53+0×52+1×51+4=259．（5）将十进制数259转化为6进制数：259÷6=43 (1)43÷6=7…1，7÷6=1…1，1÷6=0…1，∴将十进制259化为6进制数是1111，（6）则a+b+c+d=4，故答案为：4．14．（4分）为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图所示），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数为80．【解答】解：由茎叶图知，从该校200名授课教师中抽取20名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数为8人，由此估算估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数为80人．故答案为：80．三、解答题：（共3小题，共34分）15．（10分）已知条件p：函数y=lg（﹣x2+8x+20）的定义域；条件q：{x|1﹣m ≤x≤1+m，m＞0}，若￢p是￢q充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由﹣x2+8x+20＞0可得p：A={﹣2＜x＜10}因为若￢p是￢q充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件由于q：B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}所以B⊊A，由解得0＜m＜3．16．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据数据的频率之和为1，得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，∴a=0.03；（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成绩不低于60分的人数为500×0.85=425人（Ⅲ）数学成绩在[40，50）的学生人数：40×0.005×10=2人，数学成绩在[50，60）的学生人数：40×0.01×10=4人，设数学成绩在[40，50）的学生为A，B；数学成绩在[90，100）的学生为a，b，c，d；从6名学生中选两名学生的结果有：{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．共15种；其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有：{A，B}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}共7种；∴抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为．17．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆（x+2）2+（y﹣1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（1）由于|PF1|+|PF2|=2a==6，则a=3，由PF1⊥F1F2，则|PF2|2﹣|PF1|2=|F1F2|2=（）2﹣（）2=20，即有2c=2，则c=，b2=a2﹣c2=9﹣5=4，即b=2．故椭圆C方程为：=1；（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由圆的方程（x+2）2+（y﹣1）2=5，可知圆心M为（﹣2，1），可设直线l的方程为：y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程，可得，（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0，由于A，B关于点M对称，则=﹣2，解得k=，代入判别式△=（36k2+18k）2﹣4（4+9k2）（36k2+36k﹣27）＞0，则成立．所以直线l的方程为y=（x+2）+1，即8x﹣9y+25=0．一、选择题：（共2小题，每小题5分，共10分）18．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”【解答】解：∵当p、q中有一个是假命题则p∧q为假命题；当p、q中两个都是真命题时则为真命题；∴若p∧q为假命题，则p，q均为假命题是错误的．故选：B．19．（5分）已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x+m•2x+1=0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2 B．m≥2 C．m≤﹣2 D．m≤﹣2或m≥2【解答】解：由已知，命题¬p是假命题，则命题p是真命题，由4x+m•2x+1=0得m=﹣≤﹣=﹣2，当且仅当x=0是取等号．所以m的取值范围是m≤﹣2故选：C．二、填空题：（共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的椭圆或双曲线．若其中经过点M、N的椭圆的离心率分别是e M，e N，经过点P，Q的双曲线的离心率分别是e P，e Q，则它们的大小关系是e M ＜e N＜e Q＜e P（用“＜”连接）．【解答】解：由题意可知：所有的双曲线的焦距一定为|AB|=10，即2c=10，∴c=5，各点的对应表：（指经过该点的圆的半径）由椭圆的第一定义得到：对过M点的椭圆：|PA|+|PB|=2a=3+10=13，∴a=，e M=；对过N点的椭圆：|PA|+|PB|=2a=5+7=12，∴a=6，e N=；由双曲线的第一定义得到：对过P点的双曲线：||PA|﹣|PB||=2a=|7﹣3|=4，∴a=2，=；对过Q点的双曲线：||PA|﹣|PB||=2a=|3﹣8|=5，∴a=，e Q==2．∴e M＜e N＜e Q＜e P；故答案为：e M＜e N＜e Q＜e P．21．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线方程为x2﹣=1．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x=﹣2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F∴双曲线的右焦点坐标为F（2，0），∴双曲线的左焦点坐标为F′（﹣2，0）∵|PF|=5∴点P的横坐标为3代入抛物线y2=8x，不妨设P（3，2）∴根据双曲线的定义，|PF'|﹣|PF|=2a 得出=2a∴a=1，∵c=2∴b=∴双曲线方程为x2﹣=1故答案为：x2﹣=1三、解答题：（共3小题，共32分）22．（10分）已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立可得△=4a2﹣16＜0，∴P：﹣2＜a＜2由函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数可得5﹣2a＞1，则a＜2q：a＜2．若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q中一个为真，一个为假①若p真q假，则，此时a不存在②若P假q真，则⇒a≤﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2]．23．（10分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是可得，解得n=2．（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）=．②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）=1﹣．24．（12分）已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M、N为圆C2与x轴的两个交点．（1）求抛物线C1的方程；（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论．【解答】解：（1）由已知，设抛物线方程为x2=2py，则代入P（2，2），可得p=1，∴抛物线C1的方程为x2=2y；（2）设圆的圆心M（a，b），则圆的半径为，∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2=2=2，∵a2=2b，∴|MN|=2；∴|MN|是一定值．。