勾股定理专题复习经典一对一学案
《勾股定理》复习学案(单元复习)
《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。
2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。
3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。
4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。
5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。
北师大版八年级勾股定理一对一教案
勾股定理授课老师：沈龙学生：时间：20XX年月日课程大纲：一、认识勾股定理，简单的掌握勾股定理的基本内容二、勾股定理的逆定理的基本含义三、什么叫做勾股数？四、勾股定理的基本应用课程讲解考点一：勾股定理的认识与掌握一、勾股定理的发现过程2000年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯发现这个定理的。
那么毕达哥拉斯究竟发现了怎样的现象呢？那么你能从这里面发现怎样的关系呢？三个正方形的面积有怎样的关系呢/下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？那么，在上面的图形中我们除了看见正方形以外，你能看见其他的图形吗？你能用的边长表示几个正方形之间的面积关系么？好了，我们知道了在种图形中存在着我们所能找到的这种关系，那在其他的图形中式否也存在着类似的关系呢？问题一：请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？问题2：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？在网格纸上画出直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。
那么，我们所猜想的这个定律在锐角三角形和钝角三角形中是否是成立的呢？勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b , 斜边为c，那么a2+b2=c2随堂练习：1 在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知：a=6, b=8，求c(2)已知：b=5，c=13，求a2 在Rt△ABC中，已知：∠A=30°，a=2，求b,c;3 判断正误，并指出为什么？（1）△ABC的两边为3和4，求第三边解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。
（2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为54 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？考点二：勾股定理的逆定理及勾股数1 如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
勾股定理复习学案(2)
八年级数学课堂学习活动设计 设计人： 时间：勾股定理复习学案（2）一、学习目标：1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，2.熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题． 二、学习重点：重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用难点：在应用勾股定理以及逆定理解决问题时，直角三角形的确定三、学习过程 一、知识回顾：1.已知△ABC 是直角三角形，两直角边长分别为5,12，则斜边长为 .2、已知三边长分别为8，15，17则△ABC 为 三角形.3、勾股数 满足22b a =2c 的三个正整数，称为勾股数 请任意写出几组勾股数： ； ； . 二、合作探究：例1、已知：在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝13 cm ，高AD ＝12 cm ，求S △ABC ．例2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？例3、某风景区有2个景点A 、B(B 位于A 的正东方),为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A 、B 两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量，在点A 的北偏东60°方向、点B 的北偏西45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的小水潭，问小水潭会不会影响公路的修筑，为什么？参考数据：三、矫正补偿1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5 ，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：42.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（ ） A ．CD,EF,GH B ．AB,EF,GH C ．AB,CD,GH D ．AB,CD,EF3. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ） A ．一定不会 B ．可能会 C ．一定会 D ．以上答案都不对4.已知：如图，AD 是△ABC 的高，AB=10，AD=8，BC=12 . 求证： △ABC 是等腰三角形.四、 拓展提高5.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3， 且AB ⊥BC.求四边形 ABCD 的面积.小测试：1、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、42．如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）A 、60∶13B 、5∶12C 、12∶13D 、60∶1693、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1， 则AC =（ ）A 、6B 、6C 、5D 、43题图 4题图 5题 4．如图中字母A 所代表的正方形的面积为（ ） A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 645．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，求AC 2的值．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A•的正南方向260千米B 处有一台风中心，沿BC 的方向以15千米/时的速度向D 移动，已知AD•是城市A 距台风中心的距离最短，且AD=100千米，求台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？。
勾股定理复习经典学案
勾股定理复习学案考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在数轴上作出表示10的点．4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．考点二、利用列方程求线段的长5．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？6．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有8、若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2(a>b>0),则这个三角形是9、在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。
已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？四、灵活变通10、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．11、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm A D E B CAB12、．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？13、如图：带阴影部分的半圆的面积是-----------（ 取3）14、若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．复习第一步：：勾股定理的有关计算例1： 下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．勾股定理解实际问题例2． 图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm ）． 其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF 为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm ．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②． 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h ．与展开图有关的计算例3、如图，在棱长为1的正方体ABCD —A’B’C’D’的表面上，求从顶点A 到顶点C’的最短距离．复习第二步：1．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．例4：在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c ．例5：已知一个Rt △ABC 的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是例6：已知a ，b ，c 为⊿ABC 三边，a=6，b=8，b<c ，且c 为整数，则c= ．2．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；例7：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？选择题1．已知△ABC 中，∠A= ∠B= 3∠C ，则它的三条边之比为（ ）．2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．A ．6，7，8B ．5，6，7C ．4，5，6D ．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．6．在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c 的长为（ ）．7．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm9、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．10．一座桥横跨一江，桥长12m ，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m ，则小船实际行驶＿＿＿m ．11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿＿．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，中线BE ＝13，另一条中线AD2＝331，则AB ＝＿＿＿．13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．14．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，已知旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．15．如图4所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ．现将梯子的底端A 向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降到B′，那么BB′也等于1m 吗?16．在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n2－1，b ＝2n ，c ＝n2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．图3 O B ′图4 BA A ′。
勾股定理的复习导学案
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答案
BC=3
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于 斜边的平方。即，AC²+BC²=AB²。代入已知值， 4²+BC²=5²，所以BC=3。
进阶练习题
题目
在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√5，BC=2√5，则 AB的长度为多少？
答案
AB=3√5
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边 的平方。即，AC²+BC²=AB²。代入已知值， (√5)²+(2√5)²=5+20=25，所以AB=3√5。
通过勾股定理可以推导出直角三角形的 面积公式为$frac{1}{2}ab$，其中a和b 为直角边。
勾股定理与相似三角形的关系
勾股定理与相似三角形之间存在一定的联系。 如果两个直角三角形相似，那么它们的对应边长比例满足勾股定理。
勾股定理与三角函数的关系
勾股定理与三角函数之间存在密切的 联系。
在直角三角形中，三角函数（如正弦、 余弦、正切）可以用于描述角度和边 长之间的关系。
误解二
只有当直角三角形中两条直角边分别为3和4时，斜边才为5。实际上，勾股定理适用于任意直角三角形，只要满 足勾股定理的条件即可。
勾股定理应用中的单位问题
单位不统一
在应用勾股定理时，必须确保涉及的所有边长单位统一，否则会导致计算错误。
忽视单位换算
在涉及不同单位时，需要正确进行单位换算，以确保计算结果的准确性。
确保给定的三边满足勾股定理的条件 ，避免误解。
最新勾股定理专题复习(经典一对一学案)(1)
专题复习一 勾股定理第一课时本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：3121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
l321S 4S 3S 2S 15、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理专题复习(经典一对一学案)汇总
专题复习一勾股定理专题归类：专题一、勾股定理与面积1、______________________________________________________________________ 、在Rt^ABC 中，N C=90°,a=5,c=3,贝U Rt^ABC 的面积S= ____________________________2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：—3、直线I上有三个正方形a b、c,若a和c的面积分别为5和11,则b的面积为______________4、在直1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是贝y S1+S2+ S3+ S4 等于_____________ ■线I上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是S1、S2、S3、S4，D图15、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是______________ 。
2 2 26、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足：a +b +c +50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为_______________ 。
7、如图1, ACB =90，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？7、如下图，在？ABC中，/ABC =90，AB=8cm，BC=15cm，P是到？ABC三边距离相等的点，求点P 到？ABC三边的距离。
10、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上，已知AB=?3, BC=7,求：重合部分△ EBD的面积11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S i、S2、S3表示，则不难证明S i=S2+S3 .(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S i、5、S3表示，那么S1> S2> S3之间有什么关系？(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用$、S2、S3表示，请你确定Sp S2、&之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用$、S2、S3表示，请你猜想S1> S2> S3之间的关系?.①②专题二、勾股定理与折叠1、如图4,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠, 点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
《勾股定理》复习学案(期末复习)
第3题 第4题 《勾股定理》复习学案【知识点归纳】1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的 等于斜边c 的 ，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系 ，那么这个三角形是 三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。
★注意：1.勾股定理仅适用于 三角形；2.常见的勾股数（请举出几组）：3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。
【基础训练】1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2..以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)32，42，52 (D)8，9，103.如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为以∠B 为直角的直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图2中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝ ＋ 。
化简后即为 c 2＝ 。
5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米。
【本章小专题】☞专题一：勾股定理及应用1.计算下列直角三角形的边长（注意运用规律）：（1） （2） （3）2.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？3.波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？☞专题二：面积问题1.如图：以Rt △的三边长为边在外面作三个正方形M 、N 、P（1）若S M =5，S N =6，则S M +S N +S P = ；（2）若S P =10，则S M +S N +S P = 。
勾股定理的复习学案（第8、9课时）
勾股定理专题复习(经典一对一教案哟)
卓越教育教案专用学生授课时间：授课科目：数学教学课题勾股定理知识点解析（二）重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。
教师年级：初二课型:复习课一、作业检查作业完成情况：优□良□中□差□二、课前回顾对上次家庭作业进行检查并评讲三、知识整理知识点1.勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2）注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。
○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2 +c2 ；当∠B=90时，b2＝a2 +c2例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长；（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长（3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值知识点2.勾股定理的证明AC B图1CBA图2（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。
思路：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=知识点3.直角三角形的判别条件（1）如果三角形的三边长啊a ，b ，c ，满足a 2+b 2＝c 2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）注意：○1在判别一个三角式是不是直角三角形时，a 2+b 2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a 2+b 2＝c 2。
勾股定理复习学案1
勾股定理复习（一）学案一、学习目标1.熟练掌握勾股定理，理解原命题、逆命题、互逆命题和互逆定理的概念及关系。
2.进一步熟练掌握勾股定理的应用。
3.在探究提升的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。
二、重点难点重点：勾股定理的应用难点：灵活应用勾股定理。
三、学习过程（一）本章相关知识梳理1.勾股定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么。
公式的变形：（1）c2= , c= ;（2）a2= , a= ;（3）b2= , b= ;点拨：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；2.勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
点拨：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
3.互逆命题和互逆定理互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的恰为第二个命题的，而第一个命题的恰为第二个命题的，像这样的两个命题叫做．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的．互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是，那么它也是一个，称这两个定理互为，其中一个叫做另一个的逆定理.4.勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）（二）例题探究探究1：在直角三角形中，已知两边求第三边1.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管至少要做 cm 2.已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．探究2：勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想）3. 如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，试求CD 的长。
4. 如图 ，将一个长宽分别为8和4的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是多少？（三）当堂达标1．若一个三角形的两直角边分别为6 cm 和8 cm ，则它的斜边为___ cm 。
第十七章勾股定理复习导学案
一、第十七章: 《勾股定理》复习学案勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为, 斜边为, 那么。
直角三角形 b c a2+b2=c2 (数)（形） aa1、变形为: a= ；b= 。
设直角三角形的斜边为c, 两直角边为a和b, 求:（1）已知a=6, b=8, 则c= ;(2) 已知a=3, c=8, 则b= ;(3)已知b=4, c=8, 则a= ;二、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a, b, c满足 , 那么这个三角形是 . 2（1）已知三条线段长分别是8, 15, 17, 那么这三条线段能围成一个（）A.直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定（2）下列各组数不是股数的是（）A.5.12.13B.3.4.5C.8、6.17D.15.20、25三、勾股定理与正方形面积3.已知图中所有四边形都是正方形, 且A与C.B与D所成的角都是直角, 其最大正方形的边长为5, 则A, B, C, D四个小正方形的面积之和为4、是一株美丽勾股树, 其四边形正方形, ．若正方形A, B, C, D边长分别是3, 5, 2, 3, 则最大正方形E面积是5.在直线l上依次摆放着七个正方形(如上图所示). 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1.2.3, 正放置的四个正方形的面积依次是S1.S2.S3.S4, 则S1＋S2＋S3＋S4＝_______.四、木板能否通过门框6, 如图, 长4m, 宽3m薄木板（能或不能）从门内通过.7、门高2米, 宽1米, 现有为3米, 宽为2.2米薄木板能否从门框内通过？为什么？五、梯子移动问题8、一个5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上, 这时OB=3米, 如果底端B沿直线OB向右滑动1米到点D, 同时顶端A沿直线向下滑动到点C（如图所示）. 求AC.9、如图, 一个2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上, 这时梯子顶端A距离墙角O的高度为2米.①求底端B距墙角O多少米？②如果顶端A沿角下滑0.5米至C, 底端也滑动0.5米吗？六、折断问题10、如图, 一棵大树在离地面3m处折断, 树顶端离树底部4m, 则这棵树折断之前的高度是.11.如图, 一木杆在离地某处断裂, 木杆顶部落在离木杆底部8米处, 已知木杆原长16米, 求木杆断裂处离地面多少米？七、飞鸟问题12.如图, 有两棵树, 一棵高10m, 另一棵高4m, 两树相距8m. 一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖, 那么这只小鸟至少要飞行m13.有两棵树, 如图, 一颗高13米, 另一颗高8米, 两树相距12米, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一颗树的树梢, 至少飞了米。
中学数学勾股定理的复习教案
中学数学勾股定理的复习教案一、学习目标1.熟练掌握勾股定理的内容。
2.能对不同的勾股定理问题进行合理判断，并对相应问进行解决。
3.能解决空间基本图形的勾股定理问题。
二、知识点总结1.勾股定理的排列组合⑴若 A、B 为直角边，C 为斜边，则有 A²+B²=C²。
⑵若 A、C 为两条直角边，B 为斜边，则有 A²+C²=B²。
⑶若 B、C 为两条直角边，A 为斜边，则有 B²+C²=A²。
其中，⑴和⑵是等式的两种变形形式，而⑶则是勾股定理的两种不同定义形式。
2.应用问题⑴求出长度为多少的直角边？左图为已知斜边为 5，一条直角边为 3，问另一直角边长 B？右图为已知斜边长度 8，求其另一直角边长 A 与 B。
⑵判断图形是否为直角三角形？某几何图形各边长为 4、5、6，是否三角形？是否是直角三角形？三、教学流程1.引入⑴回忆勾股定理的知识点。
⑵引入教学主题：本次的复习将会了解如何应用勾股定理，解决一些勾股定理在几何图形中的应用问题。
2.教学重点⑴勾股定理的应用。
⑵怎样进行图形判断。
3.教学步骤与方法⑴教师出示勾股定理相关练习题讲解方法，可在小黑板上，或PPT等辅助教具上讲解。
⑵针对练习题，进行讲解解决步骤，同时加深同学们对勾股定理知识点的理解。
⑶介绍解决勾股定理在空间基本图形上的应用问题，如立方体、直角三角形等。
4.教学策略⑴合作学习：通过进行课堂练习，在小组合作完成教师留下的应用题目，在轮流发言的学习模式下达到合作学习的目的。
⑵讲授：通过教师的讲授，让学生更好地掌握勾股定理的知识点，同时，让学生更自主地思考题目及其解决方法。
⑶案例分析：通过案例分析，让同学们理解勾股定理在几何图形中的应用，能够遇到问题及时进行判断、解决。
5.教学提示在教学过程中，教师要注重对同学们的思维引导，同时营造积极、自信的课堂环境。
应遇到问题及时指导，但不应破坏学生自主思考、独立解决问题的机会。
北师大版_勾股定理复习学案1
勾股定理复习学案1【知识体系】1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么。
即直角三角形两直角边的等于。
2、勾股逆定理：如果直角三角形三边长a、b、c满足，那么这个三角形是三角形。
（且∠ =90°）注意：（1）勾股定理与其逆定理的区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。
（2）事实上，当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，①若a2+b2=c2，则∠C为直角；②若c2>a2+b2，则∠C为钝角；③若c2<a2+b2，则∠C为锐角。
（3）满足条件a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；…这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。
3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。
注意：（1）勾股数是一组数据，必须满足两个条件：①满足222cba=+；②三个数都为正整数。
（2）11～20十个数的平方值：【题型体系】题型一直角三角形中已知两边，求第三边。
例1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm，求：第三边的长。
例2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm,求第三边得长。
课堂训练1、已知△ABC 中，∠C=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .2、如图，求下列直角三角形中未知边的长度x= x=3、已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____.题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2c 与22b a +是否具有相等关系③ 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a +，则△ABC 不是直角三角形。
勾股定理复习导学案
第一单元 《勾股定理》的复习课导学案
一、知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，
那么这个三角形是直角三角形。
3、满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、典型例题
（2016•哈尔滨改编）甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30海里/小时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/小时的速度另一个方向航行,2小时后，甲船达到C 岛，乙船到达B 岛。
若两岛相距100海里，问：乙船航行的方向是南偏东多少度？
A B C
35°
⌒
(2014年安徽中考试题)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
（2015•资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
思考：（1）以直角三角形的三边为边向外作正方形，三个正方形的面积有何关系？
（2）以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，三个等边三角形的面积有何关系？
（3）以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积有何关系？
（4）以直角三角形的三边为直径向外作半圆，三个半圆的面积有何关系？。
勾股定理题型1对1授课案
西安龙文教育一对一授课案教师： 学生： 日期： 星期： 时段：Ca b c股勾：直角三角形较短的直角边 ：直角三角形较长的直角边 如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么同样也是勾股数组。
）3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五））有一个角为90°的三角形是直角三角形。
）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．l 32S 4S 3分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 12、S 3之间有什么关系？(不必证明)，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、、S 3之间的关系?.满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ 90，AC=15，高AD=12，则BC 的长为 25 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12-n ，b =2n ，c =12+n （、c 满足条件2a cb ac b 26241033822++=+++，试判断6CB直角边与斜边和斜边上的高的关系：a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（ ） 222h b = C.h b a 111=+ D. 222111hb a =+ 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c ，AC=b ，BC=a ，CD=h 2h c +，为三边的三角形是直角三角形B1C 处静止不动，如图a ，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点，昆虫乙如果沿途径1C E A →→爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。
勾股定理专题复习经典一对一学案
专题复习一 勾股定理第一课时本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足222的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在▲中，∠︒9053.，则▲的面积 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为且满足：22250=6810c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，810是斜边的高，求的长？l321S 4S 3S 2S17、如下图，在∆中，︒=∠90ABC ，8，15，P 是到∆三边距离相等的点，求点P 到∆三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，20米，15米，7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）ABCP9、如右图：在四边形中，2，1，∠60°，求四边形的面积。
10、如图2-3，把矩形沿直线向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知•3，7，求：重合部分△的面积11、如图①，分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 123 .DCBA图DCBA(1) 如图②，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠第二课时1、如图4，矩形纸片的边106为上一点，将矩形纸片沿折叠，点B 恰好落在边上的点G 处，求的长。
勾股定理复习(1对1辅导精品)
勾股定理复习一．知识纵横:勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）（右图）于公元前550年首先发现的。
但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
（左图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。
所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。
”。
《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。
第一章勾股定理综合复习学案北师大版八年级上册
第一章勾股定理综合复习恩江中学八年级数学备课组高秋秀一、教学目标：进一步熟练运用勾股定理和它的逆定理进行计算。
二、教学重难点：能灵活运用勾股定理的相关知识解决实际问题。
三、教学过程（一）知识点梳理勾股定理：1.直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的验证—通过从不同角度求同一图形的面积（常见图形如下）勾股定理的逆定理1、 如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（注意长边对的角是直角）2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.（二）精讲精练考点一、勾股定理的证明例1、 4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理， 你能说明其中的道理吗？•请试一试．考点二、勾股定理的应用求解 1 、若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长_________2、从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（ ）A. 5，9，12B. 5，9，13C. 5，12，13D. 9，12，173．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、折叠问题2、如图所示，在长方形ABCD 中，AB=16，BC=8，将长方形沿AC 折叠，使D落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，求AF 的长．考点四、最短路径【知识要点】1、内容：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；2、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。
第17章《勾股定理》复习(1) 导学案
科目：数学课题：17勾股定理的复习学习目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.一.复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立. 二次备课22222222,,bacacbbca+=-=-=2222,acbbca-=-=3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点． 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二.课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．二次备课。
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专题复习一 勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：
3、常见平方数：
121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=
289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1
、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？
7、如下图，在?ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，
BC=15cm ，P 是到?ABC 三边距离相等的点，求点P 到?ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，
请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）
9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
10、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，
BC=7，求：重合部分△EBD的面积
11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。
2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD
对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？
3、如图6，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=︒30
(1)求BE 、QF 的长
(2)求四边形QEFH 的面积。
专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度
1、如图7，铁路上A 、B 两站相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A 点，CB ⊥AB 于点B ，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多远的距离？
2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底C 为3米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E 处吗？请给出证明。
3、△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是（）
A 4,5,6,
B 5,7,12
C 12,13,15
D 14 ,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是。
3、下列是勾股数的一组是（）
A 2,3,4,
B 5,6,7,
C 9,40,41
D 10 24 25
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且a<b<c
（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论
（2）：当a=21时，求b,c的值
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、在四边形ABCD中，∠C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12
证明：AD⊥BD
2、CD 是▲ABC 中AB 边上的高，且CD 2=AD •DB ，试说明
∠ACB=︒90
3、在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点 且CF=
4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。
4、▲ABC 三边的长为a,b, c ，根据下列条件判断▲ABC 的形状
（1）：a 2
+b 2
+c 2
+200=12a+16b+20c ； （2）：a 3
-a 2
b+ab 2
-ac 2
+bc 2
-b 3
=0
5、试判断，三边长分别为2n 2+2n ，2n+1，2n 2
+2n+1（n 为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
6、如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ．
求证：AD 2=AC 2+BD 2
．
7、在▲ABC 中，BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=︒90，如下图(1)根据勾股定理可以得
出：a 2+b 2=c 2,若▲ABC 不是直角三角形，如图(2)与图(3)，请你类比勾股定理猜想a 2+b 2与c 2的关系，并且证明你的结论。
8、如图ABC ∆中，P AC AB BAC ,,90=︒=∠为BC 上任意一点，求证：
2222AP CP BP =+．
专题六、勾股定理与旋转
1、在等腰Rt ▲ABC 中，∠CAB=︒90，P 是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=7
求：∠CPA 的大小？
B
2、如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，
且∠DCE=45°。
求证：DE 2=AD 2+BE 2。
3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
4、已知，如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。
5、如图，在ABC ∆中，090B ∠=，M 为AB 上一点，AM=BC ，N 为AB 上一点，CN=BM ，连接AN 、CM 交于点P 。
求APM ∠的大小。
专题七、最短路线问题
1、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的
最短路线是多少？
2、有一个长方体盒子。
它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
4、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为,,，则
他所买的竹竿最大长度是多少？。