数学：2.1.4《两条直线的交点》课件(苏教版必修2)
苏教版高中数学必修2课件 2.1.4 两条直线的交点课件1
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的
坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次
l 方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线
的交点．
1 和 l2
思考：若方程组没有公共解呢，两直线应是 什么位置关系？
据此，我们有
Байду номын сангаас
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0
《2.1.4 两条直线的交点（2）》 课件
问题：
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程 对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那 么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否 有解有没有关系，如果有，是什么关系？
设两条直线方程为：
L1： A1x+B1y+C1=0 L2： A2x+B2y+C2=0
（ 为任意实数）表示的直线有什么特点？
结论：此方程表示经过直线 l1 和 l2 交点 的直线系方程．(除去直线l1 )
练习：
１．求经过两条直线 2x 3y 3 0和 x y 2 0
的交点，且与直线 3x y 1 0 垂直的直线 l 的
方程．
分析： 方法（１）普通方法 求交点，求斜率．利用点斜式写出方程 方法（２）；利用过两直线交点的直线系方程
（１）求平衡价格和平衡需求量： （２）若要使平衡需求量增加４万件，
政府对每件商品应给予多少元补贴？
分析：市场平衡
价格和平衡需求 平
量实际上就是两
衡 需
相应直线交点的 求
横坐标和纵坐 量
标．即为相应方
程组的解．
y
高中数学2.1.4两条直线的交点课件苏教版必修
[规范解答] 法一
2x＋y－8＝0， 由 x－2y＋1＝0，
得交点 M(3,2)，(2 分)
由题意知直线在 x 轴、y 轴上的截距存在且不为零， x y 可设直线 l 的方程为 ＋ ＝1(ab≠0) a b 3 2 a＋b＝1， 由题意得 1 1|a |· |b |＝2. 2 (4 分)
．
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解 无解 有唯一解 有无数组解 交点个数 0个 1个 无数个 直线的位置关系 平行 相交 重合
3.直线系方程 (1)平行于直线 Ax＋By＋C＝0 的直线： Ax＋By＋m＝0(m 为参 数且 m≠C)． (2)垂直于直线 Ax＋By＋C＝0 的直线：Bx－Ay＋m＝0(m 为参 数)． (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交 点的直线： (A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 为参数且这些直线中 不包含 l2)．
解 法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0， 令 m＝0，得 x－3y－11＝0； 令 m＝1，得 x＋4y＋10＝0.
x－3y－11＝0， 解方程组 x＋4y＋10＝0，
得两直线的交点为(2，－3)．
将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得 (2m－1)×2 ＋(m＋3)×( － 3) － (m －11) ＝ 4m－ 2 － 3m－ 9 －m ＋11＝0. 这表明不论 m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 法二 将已知方程中的实数 m 设为未知数，整理为(2x＋y－ 1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 由于 m
(8 分)
3 2 ＋ ＝1， 即a b ab＝1
3 2 ＋ ＝1. 或a b ab＝－1.
高中数学 2.1.4 两条直线的交点课件 苏教版必修2
第一页，共11页。
教学(jiāo xué)目标:
知识目标：会求两条直线(zhíxiàn)的交点. 能力目标：理解两条直线的三种位置关系（平行、 相交、重合）与相应的直线方程(fāngchéng)所组成 次方程(fāngchéng)组的解（无解、有惟一解、有无 的对应关系. 情感态度与价值观：通过学习两直线得位置关 系与它们所对应得方程组的解的对应关系，渗 透转化的数学思想.
该方程表示过直线l1和l 2的交点的直线
第十页，共11页。
课堂(kètáng)小结
对直线之间位置关系的研究可以转化(zhuǎnhuà 方程的研究。从两条直线的平行、相交、重合 问题转化(zhuǎnhuà)为方程组是否有解、有唯一 数个解的问题。
第十一页，共11页。
的交点坐标为-1, -2 .
又直线经过原点，所以直线l的方程为
y-0 x-0 -2 - 0 -1 - 0 即 2x- y 0
第七页，共11页。
例3 .某商品的市场需求量y1 （万件）、市场供应量y2 （万件）与市场价格x（元/件）分别(fēnbié)近似地满
足下列关系:y1=-x+70, y2=2x-20 当y1 = y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的
解：（1）因为方程组
2x 3x
2yy7700的解为
x y
3 1
因此直线l1和l2相交，交点坐标为3, 1。
第五页，共11页。
解：（2）方程组
2x 4x
6y 4 0 12y 8 0
有无数组解，
这表明直线l1和l2重合。
解：（3）方程组
4 2
x x
2 y
y4 30
0
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
o
(3)
直线L1,L2
唯一解
解方程组 无穷多解
L1,L2相交
L1,L2重合
L1,L2平行
无解
问题二：如何根据两直线的方程系 数之间的关系来判定两直线的位置 关系？
观察刚刚解过的三组方程对应系数比的特点：
3x+2y-7=0 2x-3y+4=0 3x+2y-6=0 6x+4y-15=0
3 6 ＝ 2 4 6 15
y= x
练习
求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－ 7=0的交点，且垂于直线x+3y－5=0的 直线方程。
解：解方程组 x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
在同一坐标系中分别作出下列各组的直线： 并观察它们的位置关系 ⑴3x+2y－7＝0和2x－3y+4＝0 ⑵3x+2y－6＝0和6x+4y－15＝0 ⑶3x－2y－7＝0和6x－4y－14＝0
y
2x-3y+4=0
y 6x+4y-15=0
o
o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0
x
(1)
y
(2) 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x
例1：求下列两条直线的交点：L1：3x+4y－ 2=0；L2：2x+y+2=0 解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
Y
苏教版数学必修2课件：第2章 2.1.4 两条直线的交点
y＝kx＋3k－2， 1 当k≠－4时，由 x＋4y－4＝0，
x＝12－12k， 1＋4k 得 7k－2 y＝ ， 1＋4k
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12－12k>0， 1＋4k ∵点P在第一象限，∴ 7k－2 >0， 1＋4k 2 ∴7<k<1.
【精彩点拨】根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断．
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【自主解答】
2x＋y＋3＝0， x－2y－1＝0，
(1)由方程组
x＝－1， 得 y＝－1，
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
x＋y＋2＝0， (2)解方程组 2x＋2y＋3＝0，
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．( √ ) (2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次 方程的解为坐标的点都在直线上．( √ ) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1 ＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．( × ) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－ A2B1≠0.( √ )
① ②
①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程组无解． ∴两直线无公共点，l1∥l2.
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2x－3y＋5＝0， (3)解方程组 4x－6y＋10＝0，
① ②
①×2得4x－6y＋10＝0， ∴①和②可以化为同一方程， 即l1与l2是同一直线，l1与l2重合．
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第四章 平面解析几何初步
苏教版高一数学必修2电子课本课 件【全册】
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1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高一数学必修2电子课本课 件【全册】来自 1.3 点、线、面之间的位置关系
苏教版高一数学必修2电子课本 课件【全册】目录
0002页 0126页 0273页 0303页
第三章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 第四章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程
第三章 立体几何初步
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1.1 空间几何体
高中数学 第二章 2.1.4两条直线的交点配套课件 苏教版
出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－l2：6x＋8y－10＝0.
解
(1)解方程组x3－x＋y＝3y0－10＝0 ，得xy＝＝5353
.
所以，l1 与 l2 相交，交点是 M53，53.
一组 无数组 无解
两条直线 l1，l2 的公共点个数 直线 l1，l2 的位置关系
一个 无数个 零个 相交 重合 平行
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2.1.4
探究点二 直线交点的应用
例 1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交 点：
(1)l1：2x－y＝7；l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3. 解 (1)因为方程组23xx－＋y2－y－7＝7＝00 的解为xy＝＝3－1 ，
相交 重合 平行
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2.1.4
[问题情境] 由于任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那 么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否 有解有何联系？
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2.1.4
探究点一 直线的交点与方程组的解的关系 问题 1 为什么说求两条直线的交点，就是求这两个直线方
解 由方程组32xx＋ ＋4y＋y－22＝＝00，， 解得xy＝ ＝－ 2，2， 即两直线的交点为(－2,2)． 设所求直线为 2x－5y＋m＝0，将点(－2,2)代入，得 2×(－2)－5×2＋m＝0，解得 m＝14. 故所求直线方程为 2x－5y＋14＝0.
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2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
当方程组无解时，说明l1与l2 平行 ．
[小问题·大思维]
1．已知平面上A、B、C三点的坐标，能否用解方程
组的办法来解决三点是否共线的问题？
提示：能．联立直线AB、BC的方程，若方程组有 唯一解，则A、B、C三点不共线；若方程组有无 数个解，则A、B、C三点共线．
2．如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数？ 提示：法一：列出方程组，看有几组解，有几组解就 有几个交点．当方程组易解时此法才有效． 法二：当列出的方程组不易解时，可分别画出图像，
2x＋3y－7＝0， (1)解方程组 5x－y－9＝0，
x＝2， 得 y＝1.
所以交点坐标为(2,1)，所以 l1 与 l2 相交．
2x－3y＋5＝0， (2)解方程组 4x－6y＋10＝0，
① ②
①× 得 4x－6y＋10＝0. 2 因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线， l1 与 l2 重合．
m－5都恒过一个定点．
证明：法一：取 m＝1，直线为 y＝－4； 1 再取 m＝ ， 直线为 x＝9. 2 两直线的交点为 P(9，－4)． 将点 P 的坐标代入原方程左端得 (m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)× 9－(2m－1)× 4＝m－5. 故不论 m 为何实数，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x ＋(2m－1)y＝m－5 上，即此直线过定点(9，－4)．
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组 解，所以两直线重合． 2x－6y＝0， (3)解方程组 1 1 y＝3x＋2， ②× 6－①得3＝0，矛盾， 方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行. ① ②
[研一题] [例2] 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋
苏教版高中数学必修2课件 2.1.4 两条直线的交点课件
① ②
方 法 技 巧
教
学 方
①×2 得 4x－6y＋10＝0，
当 堂
案
设
∴①和②可以化为同一方程，
双 基
计
达
课
即 l1 与 l2 是同一直线，l1 与 l2 重合．
标
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
判定两直线的位置关系，可以转化为求方程组解的情 巧
前
自 主
过定点(－3，－1)．
课 时
导
作
学
过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 业
课 堂
交点的直线可设为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
互
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
利用方程组判断两条直线的位置关系
y＝－(21)解，方程组2x＋x＋y＋2y＋2＝3＝0，0，
① ②
当 堂 双 基 达 标
课
前 自
①×2－②得：1＝0 矛盾，
课
主
时
导
∴方程组无解．
作
学
业
课
∴两直线无公共点，l1∥l2.
堂
互
动
探
究
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苏教版高中数学必修二2.1.4 两条直线的交点.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.1.4 两条直线的交点【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 1：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线________，交点坐标为____________．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解 交点 两直线位置关系无解 两直线____交点 平行有唯一解两条直线 有____个交点相交有无数个解 两条直线有______个交点重合一、填空题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是__________． 2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是____________．3．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________． 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为__________．5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是__________． 6．两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则a 的取值范围是____________． 7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．9．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．二、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．已知三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4，不能构成三角形，求实数m的值．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．2．1．4 两条直线的交点 答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．方程组的解交点 两直线位置关系无解两直线无交点 平行有唯一解 两条直线 有1个交点 相交 有无数个解两条直线有 无数个交点重合作业设计 1．平行解析 化成斜截式方程，斜率相等，截距不等． 2．2x ＋y －8＝0解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．3．－1解析 首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1． 4．±6解析 2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6．5．0或－1解析 l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1． 6．－1<a <2 解析已知ax ＋y －4＝0恒过定点 A (0,4)．直线x －y －2＝0与x 轴交点为B (2,0)，与y 轴交点为C (0，－2)．k AB ＝4－00－2＝－2，直线ax ＋y －4＝0的斜率k ＝－a ，如图知－2<k <1，即－2<－a <1，∴－1<a <2． 7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2． 8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0． ① 由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程5x －y －14＝0． ② 联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 (1)当l 1、l 2、l 3相交于同一点时， 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4mx ＋y ＝0解得l 1、l 2的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m ， 又点A 在l 3上，∴2·44－m －3m ·－4m 4－m＝4，解得m ＝23或m ＝－1．(2)若l 1∥l 2，则m 4＝11，得m ＝4．若l 1∥l 3，则24＝－3m 1，得m ＝－16．若l 2∥l 3，则m 2＝1－3m ，得m 2＝－23，无解．综上可知，使l 1、l 2、l 3不能构成三角形的m 的值为－1、－16、23、4．。
必修2第四章第1.4节两条直线的交点课件
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教学目标：1、会求两条直线的交点 2、理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与 相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有 惟一解、有无数个解）的对应关系。 重点：会求两条直线的交点 难点：理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合） 与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、 有惟一解、有无数个解）的对应关系。 教法：引导、探索、应用 教学手段：PPT
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复习回顾：
1、两条直线的位置关系：
2、两条直线平行的条件：
3、两条直线垂直的条件：
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问题情境：
解下列方程组,并分别在同一坐标系中画出每一方 程组中的两条直线,观察它们的位置关系.
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课堂小结
两直线方程联立方程组的解的情况与两直线 的位置关系的联系 把握以形论数、就数构形、数形结合的数学 思想。
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作业：
P90
3、4、6、7。
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数学应用：
例1 求经过原点且经过下面直线的交点的直线方程. l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0
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变式1:求经过直线l1:x-2y+2=0与l2:2x-y-2=0的交点且 与直线3x+y-1=0平行的直线l方程.
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x 1 y 1 0 2 2 x y 20 x 1 y 1 0 2
2021-2022数学苏教版必修2 第2章2.1.4 两条直线的交点 课件(39张)
得
x＝185， y＝－143.
∴两直线交点坐标为(185，－143)． (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝x3＋23， 即 l2：x－3y＋2＝0. ∵21＝－ －63＝42，∴两直线重合．
(3)法一：∵k1＝1－ 2， k2＝－ 21＋1＝－( 2－1)＝1－ 2.∴k1＝k2.
又 b1＝3，b2＝ 22＋1，b1≠b2，∴l1∥l2.
第2章 平面解析几何初步
2．1.4 两条直线的交点
学习导航
第2章 平面解析几何初步
1.了解用代数法求解两条直线的交点的思路．
学习 目标
2.理解两直线的位置关系与二元一次方程组的 解之间的联系．(难点) 3.掌握应用二元一次方程组的解讨论研究两条
直线的位置关系的方法．(重点)
通过把两直线交点坐标的问题转化为两直线对
学法 指导
应的二元一次方程组解的问题，加深对解析法 的理解及对数形结合思想的感悟；通过对一般 形式的直线方程组解的讨论，提高对分类讨论
思想的掌握.
1．两直线的位置关系与二元一次方程组的关系
设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y ＋C2＝0. 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点 的坐标一定是这两个方程的____公__共__解______；反之，如果这 两个二元一次方程只有_____一__个_______公共解，那么以这个
(链接教材 P95 练习 T4)
[解]
法一：由x＋3y－3＝0 x－y＋1＝0
，得x＝0 y＝1
.
∴直线 l1 与 l2 的交点坐标为(0,1)， 又由与直线 2x＋y－3＝0 平行，可得斜率为 k＝－2.代入点斜
2－1x＋y＝3，
苏教版高中数学必修二2.1.4两条直线的交点.doc
2.1.4两条直线的交点1.若a b ≠,则直线10,10ax by bx ay ++=++=的交点为11,a b a b ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭2.过直线230,290x y x y -+=+-=的交点和原点的直线方程为y x =3.过直线22100,3420x y x y -+=+-=的交点且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为2537y x =-+ 4.过直线280,210x y x y +-=-+=的交点且平行于直线4370x y --=的直线方程为4360x y --=5.直线,y mx n y nx m =+=-的交点为()1,1-,则,m n 分别是0,1m n ==-6.直线()()()12,112y m x y m x -=--=+-的交点为()2,17.三条直线280,4310,210ax y x y x y ++=+=-=围成三角形,则a 的范围是8413a a a ≠≠-≠且且 8.直线()314y mx y m x =+=-+与相交,则m 的范围是12m ≠ 9.直线2,221y x t y x t =-=+-交点个数为0,则t 的范围是 13t ≠ 10.已知直线()()210,1110ax ay a x a y ++=--+-=垂直,则3a =-;垂足是27,1530⎛⎫- ⎪⎝⎭ 11.已知直线()()12:3453,:258l m x y m l x m y ++=-++=,当m 为何值时, 12l l 与(1)相交;(2)平行(3)垂直?解：（1）()()3580,1,7m m m m ++-≠≠-≠-解得12l l 与相交（3）()()1323450,3m m m +++==-，12l l 与垂直 （2）121,m l l =与重合;当m=-7时12l l 与平行12.三角形的一个顶点()3,4A -,且这个三角形的两条高所在直线方程分别是2360,230x y x y -+=++=,顶点,B C 的坐标.解：不妨设点B ，C 分别在直线2360,230x y x y -+=++=上。
高中数学 2.1.4两条直线的交点教案 苏教版必修2
2.1.4 两条直线的交点1．掌握两直线交点的求法；2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系．教材分析及教材内容的定位：本节内容研究相交情形下两直线交点的求解，以及用方程组的解，判定两条直线的位置关系，充分体现数形结合思想，内容比较基础，但所体现的思想比较重要．教学重点：判定两条直线是否相交，求交点坐标．教学难点：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：如何判定两条直线的平行或垂直？2．情境问题：直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？——垂直——垂足的坐标能否求出？如何求？二、学生活动1．思考并回答：（1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？（2）已知l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)（3）由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？（4）请试着总结求两条直线交点的一般方法.2．总结归纳：求两条直线的交点就是求解联立的方程组；3．讨论总结：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系（若有一组，则两条直线相交；若无解，则两条直线平行；若有无数多组，则两条直线重合）．也可以直接通过两条直线的斜率来判断位置关系：若斜率不等，则两条直线相交，若斜率相等，且直线不重合，则两条直线平行讨论如何判断两条直线的关系；三、建构数学1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解；2．指导讨论总结两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系；3．归纳总结解题过程中的运用的思想方法（数形结合）．四、数学运用1．例题．例1 分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，判断它们的位置关系．如相交，求出它们的交点：（1）l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；（2）l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3例2 已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围．例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．例4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20．当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？2．练习．（1）经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________（2）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．（3）求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．（4）在例4中，若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．两直线交点的求法；2．二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系；3．交点系方程的应用；4．数形结合思想的应用．。
高中数学 2.12.1.4 两条直线的交点课件 苏教版必修2
接
∴所求直线的斜率为－2，
∴所求直线方程为y－2＝－2(x＋2)即
2x＋y＋2＝0.
第十八页，共24页。
变式 训练
方法二 依题意可设所求直线l的方程为：
2x＋y＋2＋λ(3x＋4y－2)＝0.
∵直线l与直线x－2y＋3＝0垂直，
栏 目
链
接
∴(2＋3λ)×1＋(1＋4λ)×(－2)＝0⇒λ＝0.
故所求直线方程为2x＋y＋2＝0.
＝0的交点且与直线(zhíxiàn)3x＋y－1＝0平行的直线
(zhíxiàn)l的方程．
栏
目
链
接
分析：可先求出交点坐标，再利用点斜式求方程，也
可利用直线(zhíxiàn)系方程表示出所求的方程，再结合两直
线(zhíxiàn)平行的条件求解．
第十四页，共24页。
解析：方法一
由方程组2xx＋－y＋3y－2＝3＝0 0，
变式 训练
由两点式可得直线AB′的方程为
y－2 －6－2
＝
－x－ 1－33，
栏
即2x－y－4＝0.
目 链
接
∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0；
反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.
第二十四页，共24页。
栏
目
∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，
链
接
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，得λ＝121.
从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
第十六页，共24页。
规律(guīlǜ)总结：两条直线的交点坐标就是直线方程组的
解．本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，
再根据平行直线斜率相等，由点斜式求解；而方法二则采用了
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不能
三、新课引入:
讨论下列二元一次方程组解的情况:
x y 1 0 (1) x y 1 0
(2) x y 1 0
一组解
x0 y 1
一个公共点
(0,1)
无数个
x y 1 0
无数组
x y 1 0 (3) x y 1 0
平行，求该直线方程。
15 x 5 y 16 0
3、若直线 l经过两条直线 2 x 3 y 3 0
x y 2 0的交点，且与直线 3 x y 1 0
垂直，求该直线方程。
5 x 15 y 18 0
l 2 的方程分别为 4、已知直线 l 1 ，
3)一条光线从点（ A 2， 3）发出，经x轴 反射后，通过点（ B 1 ，），求反射 6 光线所在的直线方程。
思考与练习
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上也绝对不能输。慕容凌娢狠狠地瞪了韩哲轩一眼。“那就等你长高了再打吧。”百蝶毫不留情的揭穿了慕容凌娢。“百蝶你是不是有 急事？”“你怎么知道？”“我……”“别说又是猜得。”“好吧，我最讨厌解释了。”韩哲轩有些后悔自己话多了。“如果你没有急 事，去找夏桦的时候干嘛那么着急，不是说等我出来了再进去的吗？”“怎么，难不成……”百蝶一脸坏笑，小声对韩哲轩说，“难不 成你翻到隔壁老王家了……”“又不是所有的隔壁都住着老王。”“要不就是隔壁小黑家？”“不是。”“那就是正好砸到了楼下小 白？”在明白了被‘出卖’的其实是夏先生之后，慕容凌娢也加入了损韩哲轩的行列，他和百蝶果然都好心机……“怎么可能啊，脑洞 真大。”韩哲轩无奈的叹了口气，完全是一副无法沟通的表情。似乎是因为成功黑了韩哲轩的缘故，慕容凌娢感到心情极其舒畅，兴高 采烈地来到了醉影楼。……这就是古代的青楼啊，慕容凌娢由衷的感叹，比想象中的华丽多了！尽管天色还没有完全暗下来，醉影楼里 已经是灯火通明。门前还站着几个身材很正点的女子，各个是浓妆艳抹，婀娜多姿。一看就是在拉客。慕容凌娢不禁脑补出那些女子拉 客时的情景。“大爷，常来玩啊～”“大爷～”“小美女～”……“古代的青楼，都是这么有钱吗？”慕容凌娢问道。“谁告诉你这是 青楼啊！”百蝶生气的问，旁边的韩哲轩已经笑得不停了。“哈哈哈……其实我也感觉这里是和青楼很像……百蝶还总是狡 辩……”“本来就不是青楼嘛。”百蝶无语的瞟了两人一眼，“你们两个真是的，小小年纪，思想居然这么不纯洁……如果真是青楼， 我怎么会让你来呢。”“十五岁在这个年代都已经算是成年了。”“就是就是。”慕容凌娢第一次和韩哲轩站在了同一立场，“百蝶姐 姐也没有多大吧？最多二十岁吧？”“大得多得多。”“不会吧，百蝶姐姐你到底多大？”“轻易问别人年龄可不太礼貌啊。”韩哲轩 此时的笑容显得别有深意，“这种事情还是不知道的好，太毁三观了。”(古风一言)那时，谁笑逍遥引风骚 。而今，谁盼君归千里外。 第017章 百蝶是楼主“百蝶姐姐也没有多大吧？我觉得最多有二十岁。”“大得多得多。”“不会吧，百蝶姐姐你到底多大？”“轻易 问别人年龄可不太礼貌啊。”韩哲轩此时的笑容显得别有深意，“这种事情还是不知道的好，太毁三观了。”“不过你这个样子好像也 很不礼貌啊。”慕容凌娢本以为百蝶会生气，没想到她只是很坦然的站在一旁看自己斗嘴。这不科学啊！每个女生都会在意自己的年龄 吧？尤其是在被别人谈论的时候。“给你讲过故事。”韩哲轩不等慕容凌娢反应过来就已经开始说了，“从前有座山，山上有座庙，庙 里住着一直
两条直线的交点
一、复习提问:
两 条 直 线 方 程
两条直线斜率都不存在
平行、重合
化为 斜截 式方 程
垂直 A1A2+B1B2=0 垂直 一条直线斜率不存在，另一斜率为0
求 两 直 线 的 斜 率
A1B2-A2B1=0 k1= k2 k1≠k2
平行、重合
相交
K1.K2= - 1
两直线平行、垂直的条件
无 解
没有公共点
例1：分别判断下列各组直线的位置关系，若 相交，求出它们的交点：
: 2x （1） l1
y7 0 l2 : 3x 2 y 7 0 : 2x 6 y 4 0 （2）l1 l2 : 4 x 12 y 8 0 : 4x 2 y 4 0 l2 : 2 x y 3 0
l1 : y k1x b1
l2 : y k2 x b2
k1 k2且b1 b2
l1平行于l2
l1垂直于l2
k1k2 1
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
l1平行于l2
l1垂直于l2
A1B2 A2 B1 0且B1C2 B2C1
或AC 1 2 A2C1
A1 A2 B1B2 0
l1与l2重合 AB 1 2 A2 B1 0且BC 1 2 B2C1
二、基础训练:
A
1.两条不重合直线l1、l2 ,下列命题不正确的是( ) A. 若l1//l2，则斜率相等 B. 若斜率相等，则l1//l2 C. 若l1//l2则倾斜角相等 D. 若倾斜角相等，则l1//l2。
结论：此方程表示经过直线 l1 和 l2 交点 的直线系方程．(除去直线l2 )
巩固练习：
1 0 x y 1 0 和 x ky k 2 相交于一点，则k的值等于 0.5
1、若三条直线
2x 3 y 8 0
2 x 3 y 3 0 ， l 2、若直线 经过两条直线 x y 2 0 的交点，且与直线 3 x y 1 0
1
相交于点 ( 3,1)
重合
各组直线的位置关系：
（1）
l1 : 2x y 7 0 l2 : x y 1 0
:x （4） l1
相交
y 1 0 l2 : x 1 0
相交
: x 2y 1 0 （2）l1 l2 : 2x 4 y 2 0
（3）
（5）
重合
l1 : y 1 0 l2 : 2 x 1 0
相交
l1 : x y 1 0 平行 l2 : x y 1 0
发散思维：
已知直线 l1 : A1x B1 y C1 0 和 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交，那么方程 ( A1x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0 （ 为任意实数）表示的直线有什么特点？
2.如果原点在直线l上的射影为点(a,b)，则直线l的方程为( ) 2 2 2 2 A. bx+ay=a +b B. ax+by=a +b 1 C. bx-ay=a2-b2 D. ax-by=a2-b2 a 2或a
B
2
3.已知l1：(a+1)x+(2-a)y-3=0， l2：(a-2)x+(5a-1)y+2=0， （1）当a为何值时， l1 ⊥l1？ （2）两直线能否平行
Ax 3 y C 0
2x 3 y 4 0
且直线 l 1 l 2 的交点在 y 轴上，求C 的值。
C 4
五、课堂小结:
本节课我们得到了什么？ 归纳总结：
1、两条直线的位置关系
相交
2、过直线 l1：A1 x B1 y C1 0和l2：A2 x B2 y C 2 0 的交点的直线系方程为 ：
二元一次方程组的解 一解 无数 无解
重合 平行
A1 x B1 y C1 m ( A2 x B2 y C 2 ) 0
六、作业布置:
创新作业
1）求过定点（ P 3， 4）且在两坐标 轴上截距相等的直线方程。
2）一条直线经过（ A 2，），并且与 2 两坐标轴围成的三角形面积为1 ，求 此直线方程。