高考数学一轮复习 11-3课时作业

课时作业(六十二)

一、选择题

1．在(ax －1)7

展开式中含x 4

项的系数为－35，则a 为( ) A ．±1 B ．－1 C ．－12

D ．±1

2

答案 A

解析 由通项公式可得C 73

(ax )4

(－1)3

＝－35x 4

，∴C 73a 4

(－1)3

＝－35，∴a 4

＝1，∴a ＝±1. 2．在(1＋x )5

＋(1＋x )6

＋(1＋x )7

的展开式中，x 4

的系数是通项公式为a n ＝3n －5的数列的( )

A ．第20项

B ．第18项

C ．第11项

D ．第3项

答案 A

解析 ∵x 4

的系数是

C 54

＋C 64

＋C 74

＝C 51

＋C 62

＋C 73

＝5＋15＋35＝55， 则由a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.

3．在(x ＋1)(2x ＋1)……(nx ＋1)(n ∈N *

)的展开式中一次项系数为( ) A ．C n 2

B ．

C n ＋12

C ．C n

n －1

D.12

C n ＋13 答案 B

解析 1＋2＋3＋…＋n ＝

n ·n ＋1

2

＝C n ＋12

4．设(5x －x )n

的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3

项的系数为( )

A ．500

B ．－500

C ．150

D ．－150

答案 C

解析 N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2

， ∴(2n )2－2n ＝240,2n

＝16，n ＝4. 展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C 4r ·(5x )4－r

·(－x )r

＝(－1)r

·C 4r

·5

4－r

·x 4－r

2

.

令4－r

2

＝3，即r ＝2，此时C 42

·52

·(－1)2

＝150.

5．如果(x 2

－12x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系

数之和是( )

A ．0

B ．256

C ．64 D.1

64

答案 D

解析 解法一 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧

C n 3

>C n

4

C n 3>C n

2

，

∴5

，∴n ＝6. 令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝1

64

.

解法二 由题意知，只有第4项的二项式系数最大，∴n ＝6， 令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝1

64

.

6．(2011·广东珠海)二项展开式(2x －1)10

中x 的奇次幂项的系数之和为( ) A.1＋3

10

2

B.1－310

2

C.310

－12

D ．－1＋310

2

答案 B

解析 设(2x －1)10

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a 10x 10

，令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，再令x ＝－1，得310

＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，两式相减可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3

10

2

，故选B.

7．已知(1－2)10＝a ＋2b (a ，b 为有理数)，则a 2－2b 2

＝( ) A ．(1－2)20

B ．0

C ．－1

D ．1

答案 D

解析 在二项式(a ＋b )n 与(a －b )n

的展开式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数，根据这个特点，当(1－2)10

＝a ＋2b 时，必有(1＋2)10

＝a －2b ，故a 2

－2b 2

＝(a ＋2b )(a －2b )＝(1－2)10

(1＋2)10＝1.

二、填空题

8．(x ＋2)10

(x 2

－1)的展开式中x 10

的系数为________． 答案 179

解析 (x ＋2)10

(x 2

－1)＝x 2

(x ＋2)10

－(x ＋2)10

本题求x 10

的系数，只要求(x ＋2)10

展开式中x 8

及x 10

的系数T r ＋1＝C 10r x

10－r

· 2r

取r ＝2，r ＝0得x 8的系数为C 102×22

＝180；

x 10的系数为C 100＝1，

∴所求系数为180－1＝179.

9．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n

的展开式中x 的一次项的系数，则32

a 2＋33

a 3＋…＋3

18

a 18

的

值为____________．

答案 17 解析 由通项C n r 3n －r

(－1)r

x r

2

知，展开式中x 的一次项的系数为a n ＝C n 23

n －2

，所以32a 2＋33

a 3

＋…

＋318

a 18

＝32

(21×2＋22×3＋23×4＋…＋217×18

)＝17. 10．(2010·湖北卷，理)在(x ＋43y )20

的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 答案 6

解析 注意到二项式(x ＋

4

3y )20

的展开式的通项是T r ＋1＝c 20r ·x

20－r

·(

4

3y )r

＝

C 20r ·3r 4

·x 20－r ·y r .当r ＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x ＋4

3y )20的

展开式中，系数是有理数的项共有6项．

11．(2011·安徽江南十校)a 4(x ＋1)4

＋a 3(x ＋1)3

＋a 2(x ＋1)2

＋a 1(x ＋1)＋a 0＝x 4

，则a 3－

a 2＋a 1＝________.

答案 －14

解析 [(x ＋1)－1]4

＝a 4(x ＋1)4

＋a 3(x ＋1)3

＋a 2(x ＋1)2

＋a 1(x ＋1)＋a 0，∴a 3－a 2＋a 1＝(－C 41

)－C 42

＋(－C 43

)＝－14.

12．(1－3a ＋2b )5

展开式中不含b 项的系数之和是________． 答案 －32

解析 令a ＝1，b ＝0，即得不含b 项的系数和(1－3)5

＝－32. 三、解答题

13．二项式(1＋sin x )n

的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为5

2

，求x 在[0,2π]内的值． 答案

π6或5π

6

解析 二项式(1＋sin x )n

的展开式中，末尾两项的系数之和C n

n －1

＋C n n

＝1＋n ＝7，∴n ＝6，

系数最大的项为第4项，T 4＝C 63(sin x )3＝52，∴(sin x )3

＝18

，