数值分析22数值积分和数值微分应用-PPT精品文档
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数值积分与数值微分ppt课件
a
,
x1
b
2
a
,
x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )
1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)
1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0
0
jn
(k
j)h
h
dt
jk
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b
a
)
C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)
b
6
a
(a2
(a
b)2
b2
)
b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)
b
数值分析课程课件 数值微分
f ( x1 ).
对上式两端求导，记 x1 x0 h
，有P1(x)
1 [ h
f
(x0 )
f
(x1)],
于是有下列求导公式：
P1( x0 )
1 h
[
f
(
x1
)
f ( x0 )];
P1( x1 )
1 h
[
f
(
x1
)
f ( x0 )],
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知，带余项的两点公式是(当n=1时)，
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知,带余项的三点求导公式(n=2)如 下：
f
' x0
1 [3 f 2h
x0 4 f
x1
f
x2
]
h2 3
f
" ,
f
' x1
1 2h
[
f
x0
f
x2
]
h2 6
f " ,
f 'x2
式
f (x) Pn(x) （3.5.1）
统称插值型的求导公式。
第三章 数值积分与数值微分
必须指出，即使f (x) 与Pn (x) 的值相差不多，导数的近似值 Pn(x)
与导数的真值 f (x) 在某些点仍然可能差别很大，因而在使用求导
公式(3.5.1)时应特别注意误差的分析。
依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为
Gh
G1
h
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
Cotes系数只与 j 和 n 有关, 与 f x 和积分区间 a , b
无关， 且满足:
1 C k
n
n
C n k
n
(n) 2 C j 1 j0
2、截断误差
Newton-Cotes公式的误差为:
1 ) f (n ( ) R (f) w (x ) dx n 1 a ( n 1 )! b n 2 n n h (n 1 ) f ( ) ( tj) dt , ( a ,b ) ( n 1 )!0 0 j
n ( u j ) du 2
据此可断定 R f 0 ,因为上述被积函数是个奇函数.
4、数值稳定性
现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分
( n ) I ( f ) ( b a ) C j f(xj) n j 0 n
I ( f ) f ( x)dx
a
b
0 , 1 ,2 , . . . n 时, 其中计算函数值 f x j 有误差 ，而 j j
计算 C
n
j
没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑,
j
则在 I n ( f ) 的计算中,由
引起的误差为
( n ) e ( b a ) C f ( x ) ( b a ) C j) j (f(xj) n j j 0 ( n ) j j 0 ( n ) ( b a ) C j j n
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来计 分的数值方法来帮 算积分有它的局限性。 忙啦。 那…… 怎么办呢？
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
数值分析学习课件
Ak =
∫ ∏
xn x0 i≠k
n 0
=∫
(t − i ) h (b − a )( − 1) n − k ∏ (k − i ) h × h dt = n k !( n − k )! i≠k
( x − xi ) dx ( x k − xi )
令
x =a+th
∫ ∏ (t − i )dt
n 0 i≠k
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k， ， 可查表得到。 可查表得到。与 f (x) 及区 均无关。 间[a, b]均无关。 均无关
2
n
机械求积
∫ f ( x ) dx ≈ ∑ A f ( x )
a k =0 k k
注：机械求积是将积分求值问题归结为函数值的计算。 机械求积是将积分求值问题归结为函数值的计算。
1.2 代数精度
如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能 准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则 次多项式就不准确成立， 准确成立，但对于 次多项式就不准确成立 称该求积公式具有m次代数精度 次代数精度。 称该求积公式具有 次代数精度。 例如：梯形公式和矩形公式都具有 次代数精度 次代数精度。 例如：梯形公式和矩形公式都具有1次代数精度。 一般，若要使得求积公式具有m次代数精度，只要令 一般， 次代数精度， 2 m 都能准确成立， 它对于 f ( x ) = 1, x, x ,L , x 都能准确成立，即
∫ f ( x ) dx = f (ξ )( b − a )
b a
1.1 数值积分的基本思想
思 只要对平均高度 提供一种算法， f (ξ ) 提供一种算法，相应地便获 路 得一种数值求积的方法。 得一种数值求积的方法。
《数值分析》PPT课件
它的近似解.
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
数值分析与程序设计_Chapter22
1/
2
称为Newton-Cotes积分系数。于
是得梯形积分公式：
b
a
f
(x)dx
b
a 2
f
(a)
f
(b)
T(f )
(2.6)
如果被积函数分别用 f(a), f(b)和 f((a+b)/2)来代替，可分 别得到左矩形、右矩形和中心矩形积分公式：
b
b
a f (x)dx a f (a)dx (b a) f (a),
S(x)
1
2
x xi xi1 xi
x xi1 xi xi1
2
yi
1
2
x xi1 xi xi1
x xi xi1 xi
2
yi1
(x
xi
)
x xi1 xi xi1
2
mi
(x
xi1
)
x xi xi1 xi
2
mi1
(1.35)
f (x) S(x), When x xi , i 0,1, 2, , n, then
lim I( f )
b a
f
(x)dxxi 0n1 i0f (xi )
xi
.
数值积分就是取定积分极限中的有限项的和，即
n1
I n ( f ) i f (xi ), i0
其中，xi 称为积分节点,αi 称为积分系数。
我们的任务就是确定积分系数αi ，使 I( f )≈In( f )。具 体地，就是用插值多项式近似代替被积函数 f(x) 来确定αi。
R(x)
dRn (x) dx
d dx
f (n1) ( )
(n 1)!
n i0
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
数值分析第四章数值积分与数值微分
称 f 为区间 a , b 的平均高度.
3、求积公式的构造
若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： Iffaba
中矩形公式： Iff a2bba
右矩形公式： Iffbba
左矩形公式： Iffaba
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分。
WhatI’st’tshseo Ocorimgipnlaelx that funwcteiocnan?!not
get it.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
(i) 对所有次数≤m次的多项式 Pm (x,)有
R (P m ) I(P m ) In(P m ) 0
(ii)存在m+1次多项式 Pm1(x),使得
R (P m 1 ) I(P m 1 ) In (P m 1 ) 0
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
( i )R ( x k ) I ( x k ) I n ( x k ) 0 ,( 0 k m )
f x xn1 的余项为零。
由于 f x xn1,所以 fn1xn1!
即得
R(f)hn2 n n (tj)dt 0
j0
引进变换 t u n ,因为 n 为偶数,故 n 为整数,
2
2
于是有
n
R(f)hn2
2 n
2
n (unj)du
且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需
铝板的长度L.
这个问题就是要求由函数 f xsinx
数值分析22数值积分与数值微分应用
z1 z2 z3
x1 x 3 x1 y1 y 2 y1 y 3 y1 z1 z 2 x 1 OP 1 ( P1 P 2 P1 P 3 ) z 3 z1
P3 P2 P4 P1
x1 x2 x3
O
z2 x 2 x1 z3
V5
1 2
x0 x 3 x1 x4 x2
O 1
x
n2 k(次)
102 152
202 542
402 1985
外推 694
T(秒)
误差
0.219
0.0028
3.187
7.1e-004
47.89
1.76e-004
4.344
6.52e-006
17/18
体积或表面积计算
P2 P3
V4
P1
1 6
y1 y2 y3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1
一阶向前差商
f ( a )
f ( a h ) f ( a ) h f ( a )
h
2
f ( a )
h
3
f
(3)
(a ) O (h )
4
2
3!
f (a ) f (a h) h
一阶向后差商
f ( a )
O (h)
10/18
f ( a h ) f ( a ) h f ( a ) f ( a h ) f ( a ) h f ( a )
所以
1
1
f ( x ) dx
Ak f ( x k )
k 0
5/18
例 证明多项式 w 2 ( x )
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一阶向前差商
f ( a h ) f ( a ) f ( a ) O ( h ) h
2 3
h h ( 3 ) 4 f ( a h ) f ( a ) h f ( a ) f ( a ) f ( a ) O ( h ) 2 3 !
p ( x ) ( 5 x 3 x ) 0 3 2 3 x0, 2 0 .7745067 5
3
x1 0
三点Gauss数值求积公式
1
1
f (x)dx
0 . 5556 f ( 0 . 7745 ) 0 . 8889 f ( 0 ) 0 . 5556 f ( 0 . 77 )
1
x x 2 x 1 1 dx 1 1x x x 1 x 0 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两点Gauss公式
1 1 f ( x ) dx f ( ) f ( ) 1 3 3
1
课件
6/18
6
1 , p , p 0 1 x Legendre多项式递推式 2 n 1 n p xp p n 1 n n 1 n 1 n 1 1 3 1 2 p (x ) ( 5 x 3 x ) p x ) ( 3 x 1 ) 3 2( 2 21
t D(t) 8.0 17.45 9.0 21.46 10.0 25.75 11.0 30.30 12.0 35.08
用数值微分求速率v(10)
40 35 30 25 20 15
8
9
10 课件
11
12
9/18
9
Tylor展开 方法
2 3 h h ( 3 ) 4 f ( a h ) f ( a ) h f ( a ) f ( a ) f ( a ) O ( h ) 2 3 !
课件 3
3/18
定义 如果求积结点x0, x1,· · · · · · ,xn,使插值型求积公式
1
1
f(x ) dx A x k f( k)
k 0
n
的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积 公式. 称这些求积结点为Gauss点. 定理7.2 如果多项式wn+1(x)=(x – x0) (x – x1)· · · (x – x n ) 与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交，即
0 . 5 ( t 1 ) s in s in x s in 0 . 5 ( t 1 ) 0 1 dx 0 x t 1 t 1 0 1
= 0.9460411 MATLAB函数: sinint(1)=0.946083070367183
课件
8/18
8
例.测得一个运动物体的距离D(t)数据如下
n
由于 Q(xk)= Q(xk)+wk+1(xk)P(xk) = f (xk)
所以
1
1
f( x ) dx A x k f( k)
k 0
课件
5/18
5
1 例 证明多项式 w 是[–1,1]上正交多项式. )x 2(x 3 1 1 w )dx 0 xw (x )dx 0 证: 显然 2(x 2 1 1
b
t∈[-1, 1]
1 b b a a b a f ( x ) dx f ( t ) dt a 1 2 2 2 b b a b a b a b a b a f ( x ) dx [ f ( ) f ( )] a 2 2 32 2 32
x12= x02
(3)-(1) ×x02
x02=1/3
1 1 x , x 0 1 3 3
课件
2/18
2
显然,A0=1,A1=1.代数精度为3的数值求积公式为
1 1 f ( x ) dx f ( ) f ( ) 1 3 3
1
对于[a, b]区间上的定积分,构造变换
b a b a x ( t) t 2 2
课件
7/18
7
例.用两点Gauss公式计算
1
0
sin x dx x
解:作变换 x = 0.5( t + 1 ), 则
1sin sin x 0 . 5 ( t 1 ) dx dt 0 x 1 t 1 1
取
1 t0 0.57735 3
1
1 t1 0.57735 3
) P ( x ) dx 0 w (x
1 n 1
1
则, wn+1(x)的所有零点x0, x1 ,· · · · · · , xn 是Gauss点
证明: 设f (x)是任意(2n+1)次多项式 , 由多项式除法
课件
4/18
4
f ( x ) w ( x ) P ( x ) Q ( x ) n 1
《数值分析》 22
Gauss型数值求积公式
正交多项式及其零点
数值微分方法
数值积分与数值微分应用
课件
1
高斯型数值求积公式
考虑两点插值型求积公式
( x ) dx A f ( x ) A f ( x ) 0 0 1 1 f
1 1
10 10 8 6 4 2
5
0
0
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
为使代数精度尽可能高,取 f(x)=1, x, x2, x3
A0 A1 2 A x A x 0 0 0 1 1 2 2 2 A0 x0 A1 x1 3 3 3 A0 x0 A1 x1 0
(1)
(2) (3) (4)
(4)-(2)×x02
其中,P(x) ,Q(x) 均为n次多项式. 两端积分，得
) dx ( x ) dx f(x Q
1 1 1 1
构造插值型求积公式,有
)dx 其中, A k lk (x 1
1
(x ) dx A Q (x ) Q
1 1 k 0 k k
n
插值结点为wn+1(x)的零点
2
得Gauss点 插值公式:
1
1 1 x , x 0 1 3 3 x x x x 0 1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 1 x x x x 1 0 1 0
x x 2 x 0 0 dx 1 1x x x 1 x 0 1 0