【全国百强校】安徽省淮北市第十二中学2017届高三上学期第一次月考理数(解析版)

安徽省淮北市第十二中学2017届高三上学期第一次月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3A =，集合{}3,5B =，则()U A C B ⋂=（ ）A ．{}2,3,5B ．{}1,4,6C ．{}2D ．{}5 【答案】C考点：集合的补集运算. 2.已知1sin 3α=，且α为第二象限角，则tan α=（ ） A． BC．．- 【答案】A 【解析】试题分析：因1sin 3α=,且α为第二象限角,故322cos -=α,则42tan -=α,故应选A.考点：同角三角函数的关系. 3.函数()f x =的定义域为（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-⋃+∞D ．()1,2 【答案】D 【解析】试题分析：由题设⎪⎩⎪⎨⎧>++->-020122x x x ,解之得21<<x ,故应选D.考点：二次不等式组的解法.4.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-【答案】B 【解析】试题分析：因|)(|)(,0)1(x f x f f ==,故()0f x >可化为)1(|)(|f x f >,由于()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-是单调递增函数,故1||>x ,即1-<x 或1>x ,应选B.考点：函数的简单性质及运用. 5.函数()36xf x =的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 【答案】B考点：函数零点的概念及运用.6.若函数()log 01a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由题设可得3=a ,所以xy -=3的图象与答案A 不符；3x y =与答案B 相符,应选答案B.考点：指数函数对数函数幂函数的有关知识与运用. 7.下列叙述正确的是（ ）A ．命题：x R ∃∈，使3sin 20x x ++<的否定为：x R ∀∈，均有3sin 20x x ++<B ．命题：若21x =，则11x x ==-或的逆命题为：若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠C ．已知n N ∈，则幂函数37n y x -=为偶函数，且在()0,x ∈+∞上单调递减的充要条件为1n =D ．函数2log 3x my x+=-的图像关于点()1,0中心对称的充分必要条件为1m =± 【答案】C考点：命题的否定及函数的图象和性质的运用.8.函数()22,0,0x x e x x f x e x x -⎧+≥=⎨+<⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 取值范围是（ ） A ．(][),11,-∞-⋃+∞ B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．[]1,1- 【答案】D 【解析】试题分析：因)(0,0,0,)(0,)()(2222x f x x e x x e x x e x x e x f x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=⎪⎩⎪⎨⎧<--+≥--+=---,故函数)(x f 是偶函数,则原不等式可化为)1(2)(2f a f ≤,即)1()(f a f ≤,又当0>x 时,函数)(x f 是单调递增函数,故)1()(f a f ≤可化为1||≤a ,即11≤≤-a ,应选D.考点：函数的奇偶性和单调性的综合运用. 9.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为M ，下列结论中正确的是（ ） A ．函数M 关于直线6x π=对称 B ．图像M 关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增 D ．由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可得M 【答案】C考点：正弦函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的图象为背景设置了一道正误判断的问题.题中提供的几个函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像的问题要逐一验证.对于答案A,将6x π=代入可得0)33sin(2)6(=-=πππf ,不是最大值,故不正确;对于答案B,将6π-=x 代入()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得01)33sin(2)6(≠-=--=-πππf ,故不正确;对于答案D, 将函数3sin 2y x=的图象向右平移3π个单位长度可得xx x y 2sin 3)2sin(3]3)3(2sin[3-=-=--=πππ.通过逐一验证不难知道答案A,B, D 都是不正确的,从而使得问题获解.10.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足：①()()2f x f x -= ；②()()22f x f x +=-； ③当[]12,1,3x x ∈时，()()12120f x f x x x -≥-，则()2014f 、()2015f 、()2016f 满足（ ）A ．()()()201420152016f f f >>B ．()()()201620152014f f f >>C ．()()()201620142015f f f =>D ．()()()201620142015f f f =< 【答案】D 【解析】试题分析：由()()22f x f x +=-可得)()4(x f x f =+,即函数)(x f 是周期为4的周期函数且函数)(x f在区间]3,1[上是单调递增,由题设可得)0()2()2014(),3()1()2015(),0()2016(f f f f f f f f ===-==,故应选D.考点：函数周期性单调性及运用. 11.已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．(]1,1- C ．(),1-∞ D ．[)1,1- 【答案】B考点：函数的图象和性质的综合运用.【易错点晴】函数的图象是函数的定义域和值域在平面直角坐标系中具体体现,是数形结合的平台和桥梁.本题考查的是函数图象在确定函数的图象交点中运用问题.解答时充分利用题设中所提供的有效信息进行分析和判断,其目的是检测运用所学知识分析问题和解决问题的能力及运用数形结合的思想解答问题思维意识.解答本题的关键是能认识到四个根之间具有1,24321=-=+x x x x 这两个关系,从而将问题进行化归为求函数)10(12<<+-=x x y 的值域问题.12.函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()xf x f x '<-成立，若()()2211,lg 3lg 3,log log 44a b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 大小关系（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 【答案】A 【解析】试题分析：由题设可得0)()(/<+x f x xf ,则)()(x xf x F =是(),0x ∈-∞单调递减函数,所以)41(log ),3(lg ),3(2F c F b F a ===,而41log 3lg 32>>,所以b a c >>,故应选A.考点：导数及函数的单调性的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先构造函数)()(x xf x F =,再运用求导法则对函数)()(x xf x F =进行求导,先借助题设推得)()(x xf x F =是(),0x ∈-∞单调递减函数,然后再运用函数的单调性推断出c a b >>,从而选答案A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知()()1f x x x =+，则()()11f f ''-=____________． 【答案】9考点：分段函数的导函数及运用．14.化简()()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin tan 2πππαπαααππαπαπααπα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----++ ⎪⎝⎭___________． 【答案】1-【解析】试题分析:()()()()()()11sin 2cos cos cos sin cos sin cos 229cos sin sin tan cos sin 3sin sin tan 2πππαπαααααααπααααπαπαπααπα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫----++ ⎪⎝⎭1=-,故应填1-.考点：诱导公式及同角三角函数的关系的运用．15.已知函数()()()()0222x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩，若关于x 的方程()()0f x kx k =>有且只有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是____________．【答案】考点：函数的零点与函数图象的关系及运用．【易错点晴】函数的图象是函数的定义域和值域在平面直角坐标系中具体体现,是数形结合的平台和桥梁.本题考查的是函数图象在确定函数的零点问题中的运用问题.解答时充分利用题设中所提供的有效信息画出函数kx y =与函数2)]2(1[1---=x y 的图象及kx y =与函数2)]4(1[1---=x y 进行分析和判断,其目的是找出两函数的临界点.进而结合图象确定参数的取值范围是42126<<k ,从而使得问题获解.16.已知集合{}()1|349,|46,0,A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+=∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=___________.【答案】[]2,5-考点：绝对值不等式、基本不等式及集合的求交集运算等知识的综合运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知集合{}2|540A x x x =-+≤，集合{}2|290B x x x k =-+≤．（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)[]1,4A =；(2) 7k ≥. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件分类建立不等式组求解；(2)借助集合相等建立方程探求. 试题解析：（1）}41|{≤≤=x x A .（2）由题设可知不等式x x k 922+-≤在]4,1[上恒成立.令]4,1[,92)(2∈+-=x x x x h ,由于对称轴49=x ,则792)1()(min =+-==h x h ,所以7≤k . 考点：集合与二次函数的有关知识及综合运用． 18.（本题满分12分）已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++． （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】(1) π=T ；(2)2)(,21)(min max =+=x f x f .考点：三角变换的有关知识及综合运用．19.（本题满分12分）已知命题:p 关于x 的方程220x mx --=在[]0,1x ∈有解，命题()221:log 22q f x x mx ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在 [)1,x ∈+∞单调递增；若p ⌝为真命题，p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 考点：命题的真假及复合命题的有关知识及综合运用．【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.求解时先将命题q p ,分别翻译出来,再依据题设条件建立不等式组进行求解.由题设可得命题1:-≤m p 和43:<m q ,因为p ⌝为真命题，p q ∨是真命题,所以43:<m q 和1:->⌝m p 同时成立,所以可以求得实数m 的取值范围是431<<-m .20.（本题满分12分） 设()121log 1axf x x x -=+-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在()1,x ∈+∞上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[]34，上的每一个x 值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1a =-；(2)增函数，理由见解析；(3)158m <.【解析】试题分析：(1)借助题设条件分类建立方程求解；(2)运用单调性的定义推证；(3)借助不等式恒成立运用函数思想探求. 试题解析： （1）∵()121log 1axf x x x -=+-为奇函数，∴()()0f x f x -+=对定义域内的任意x 都成立， ∴112211log log 011ax axx x x x +--++=---， ∴11111ax axx x +-=---，解得1a =-或1a =（舍去）（3）令()()[]1,3,42xg x f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]3,4x ∈上是减函数，∴由（2）知()()[]1,3,42xg x f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭是增函数，∴()()min 1538g x g ==，∵对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，即()m g x <恒成立，∴158m <考点：函数的奇偶性单调性等有关知识的综合运用． 21.（本题满分12分） 设函数()1ln 1af x x ax x-=-+-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）当13a =时，设函数()25212g x x bx =--，若对于[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈，使()()12f x g x ≥成立， 求实数b 的取值范围．【答案】(1)2-=y ；(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）若对于[][]121,2,0,1x x ∀∈∀∈，使()()12f x g x ≥成立⇔()g x 在[]0,1上的最小值不大于()f x 在[]1,2上的最小值23-（*）,又()()[]222552,0,11212g x x bx x b b x =--=---∈， ①当0b <时，()g x 在[]0,1上为减函数，()()min520123g x g ==->-⎡⎤⎣⎦与（*）矛盾， ②当01b ≤≤时，()()2min512g x g b b ==--⎡⎤⎣⎦，由252123b --≤-及01b ≤≤得， 112b ≤≤ ③当时，在[]0,1上为减函数，()()min7721212123g x g b ==-<-<-⎡⎤⎣⎦， 综上，取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭考点：导数与函数的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求指定点处的切线的方程.解答时借助题设中的条件1=a ,然后求导运用导数的几何意义求出切线的斜率为,运用直线的点斜式方程求出切线的方程为2-=y ；第二问借助题设条件,将问题转化然后再求其最大值和最小值,进而使得问题简捷巧妙获解. 22.（本小题满分12分） （1）讨论函数()22xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，()220x x e x -++>； （2）证明：当[)0,1a ∈时，函数()()20x e ax ag x x x--=>有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函 数()h a 的值域．【答案】(1)()f x 在(),2-∞-，()2,-+∞上单调递增，证明见解析；(2) 证明见解析，21,24e ⎛⎤⎥⎝⎦.（2）()()()()()22222x x e a x x g x f x a x x -+++==+，由（1）知，()f x a +单调递增，对任意[)()()0,1,010,20a f a a f a a ∈+=-<+=≥， 因此，存在唯一(]00,2x ∈，使得()00f x a +=，即()00g x '=， 当00x x <<时，()()()0,0,f x a g x g x '+<<单调递减；当0x x >时，()()()0,0,f x a g x g x '+>>单调递增。