2-1概率论
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
二选一的概率计算公式
二选一的概率计算公式
摘要：
1.二选一概率计算的基本概念
2.二选一概率计算的公式推导
3.二选一概率计算的实际应用
正文：
【1.二选一概率计算的基本概念】
在概率论中，二选一问题指的是在两个互斥且完全覆盖的事件中选择一个。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是两个互斥且完全覆盖的事件。
计算这类问题的概率通常使用二选一的概率计算公式。
【2.二选一概率计算的公式推导】
二选一的概率计算公式可以简单地表示为：P(A) = A 的概率+ B 的概率，其中A 和B 是两个互斥且完全覆盖的事件，P(A) 表示事件A 发生的概率。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上是两个互斥且完全覆盖的事件。
假设正面朝上的概率为P(正面)，反面朝上的概率为P(反面)，则根据二选一的概率计算公式，P(正面) = P(正面) + P(反面)。
【3.二选一概率计算的实际应用】
二选一概率计算公式在实际问题中有广泛的应用，例如在概率论的教学、科研和工程应用等领域。
通过计算二选一问题的概率，可以帮助人们更好地理解概率论的基本原理，并为解决实际问题提供理论依据。
总之，二选一概率计算公式是概率论中的一个基本工具，它帮助我们计算在两个互斥且完全覆盖的事件中选择一个的概率。
概率论与统计1-2事件的关系和运算
独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件 下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑 了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全 概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算， 而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事 件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和 为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互 斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事 件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算 出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件 同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某 个事件B已经发生的情况下，另一 个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质， 包括非负性、规范性、可加性等 ，这些性质在概率论和统计中有 着广泛的应用。
概率论1-2资料
二、概率 1 概率的公理化定义
设E是随机试验， S是它的样本空间，对于S中的
每一个事件A，定义一个实数，记为P(A) ，
如果满足下列三个条件: 1o 非负性：对于每一个事件A,有P(A) ≥0
2o 规范性： 对于必然事件S,有 P(S)=1
3o 可列可加性： 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，
例：抛硬币出现的正面的频率
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n =5
nH fn(H)
2
0.4
3
0.6
1
0.2
5
1.0
1
0.2
2
0.4
4
0.8
2
0.4
3
0.6
3
0.6
表1Leabharlann n =50nH fn(H)
22
0.44
25
0.50
21
0.42
25
0.50
24
0.48
21
0.42
18
0.36
24
即对任意事件A，有 0≤ P(A)≤1 性质6（加法公式）
对任意两事件A、B，有
P(AU B) P(A) P(B) P(AB)
证 A B AB AB
且A与B-AB互不相容
P(AUB) P AU(B AB)
P( A) P(B AB) P( A) P(B) P( AB)
推广到三个事件和的概率为 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)- P(AC)
§3 事件的频率与概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道： 在一次试验中一个事件出现的可能性大小。
1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
概率论第二章
第二章随机变量及其分布习题全解习题2–11.一批产品中含有正品和次品，从中每次任取一件，有放回地连取3次，以X 表示取到的次品数．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)设该批产品的次品率为p ，求X 的取值概率．解有放回地连取3次，每次都可能取到次品，且取到次品的概率均为p .(1)X 的可能取值为0,1,2,3；对应事件的样本点为{0}{(,,)}X ==正正正{1}{(,,),(,,),(,,)}X ==次正正正次正正正次{2}{(,,),(,,),(,,)}X ==次次正次正次正次次{3}{(,,)}X ==次次次(2)每次取到次品的概率为p ，连取3次相当于3重伯努利试验，故33{}(1),0,1,2,3k k k P X k C p p k -==-=2.从自然数1,2,3,4中无放回地连取两个数，以X 表示两数之差的绝对值．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)求X 的取值概率．解从1,2,3,4中无放回地连取两个数，样本空间{(,)|,1,2,3,4}Ωi j i j i j ==≠；含有2412P =个样本点，各样本点等可能出现．(1)两数之差的绝对值X 可能取值1,2,3；对应事件的样本点为{1}{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}X =={2}{(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)}X =={3}{(1,4),(4,1)}X ==(2)根据X 取值所对应事件的样本点数，求得6{1}12P X ==，4{2}12P X ==，2{3}12P X ==可统一表示为4{},1,2,36kP X k k -===3.将一颗骰子连掷两次，以X 表示掷出的最大点数，求X 的可能取值及相应的取值概率．解一颗骰子连掷两次，其样本空间{(,)|,1,2,,6}Ωi j i j == 含有2636=个样本点，各样本点等可能出现．掷出的最大点数X 可能取值1,2,,6 ，对应事件{}{(,1),,(,),(1,),,(1,)}X k k k k k k k ==- 含有21k -个样本点，故X 的取值概率为21{},1,2,,636k P X k k -=== 4.某车站每60分钟发一班车，乘客在任意时刻随机到达车站．以X 表示乘客的候车时间，求(1)X 的可能取值范围；(2)乘客候车超过20分钟的概率．解考虑任一时间段内的前后两班车，发车间隔为60分钟．(1)如果乘客到达车站正好赶上前一班车发车，则候车时间0X =；否则要等后一班车，候车时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．(2)记前一班车发车时刻为0，乘客在发车间隔时间区间[0,60)内随机到达车站，候车超过20分钟意味着乘客在时间区间(0,40)内到达．根据几何概率有(0,40)402{20}603[0,60)P X >===区间的长度区间的长度5.向一个半径为1米的圆形靶子射击，设射击都能中靶，并且命中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比．以X 表示弹着点与圆心的距离，求(1)X 的可能取值范围；(2)命中靶上半径为x 的同心圆的概率．解考虑由弹着点确定的以X 为半径的同心圆．(1)因为射击都能中靶，故X 的可能取值范围为区间[0,1]．(2)对任一[0,1]x ∈，事件{0}X x ≤≤表示命中靶上半径为x 的同心圆，其概率为2{0},0P X x x λπλ≤≤=>由{01}X Ω≤≤=，有{01}1P X λπ≤≤==可得1λπ=，故命中靶上半径为x 的同心圆的概率为2{0},01P X x x x ≤≤=≤≤习题2–21.下列各表是否为离散型随机变量的分布律？(1)1010.10.50.6X P--(2)1230.10.30.5X P(3)2312311112222kX k P解根据分布律的基本性质判别：(1)否，因为{1}0.10P X =-=-<，不满足非负性．(2)否，因为31{}0.10.30.50.91k P X k ===++=≠∑，不满足规范性．(3)是，因为10,1,2,2k k >= ；且1112kk ∞==∑，满足分布律的基本性质．2.求下列随机变量X 的分布律中的常数a ．(1){},1,2,,aP X k k N N=== ；(2){},1,2,3,42k kaP X k k ===；(3){}2,1,2,k P X k a k === ．解根据分布律的规范性计算：(1)由11Nk a a N N N===∑，可得1a =．(2)由()4112341312248168kk ka a a ==+++==∑，可得813a =．(3)由1122lim 11n kn k a a a a ∞→∞=-==-∑，应有211a a =-，可得13a =．3.某射手用5发子弹射击目标，每次射击的命中率为p ．如果命中目标就停止射击，否则一直射击到子弹耗尽，求射击次数X 的分布律．解X 的可能取值为1,2,3,4,5．当5k <时，第k 次射击命中目标，前1k -次射击均未命中，有1{}(1),1,2,3,4k P X k p p k -==-=当5k =时，前4次射击均未命中，第5次射击可能命中也可能不中，有454{5}(1)(1)(1)P X p p p p ==-+-=-综上求得X 的分布律为23412345(1)(1)(1)(1)X Ppp pp p p pp ----4.袋内有1个白球和2个黑球，从中每次任取一球，连取两次，以X 表示取到白球的次数．求下列两种情况下X 的分布律．(1)第一次取球后不放回；(2)第一次取球后放回．解袋内仅有一个白球，无放回取球至多取到一次，有放回取球至多取到两次．(1)无放回取球时，X 的可能取值为0,1．根据超几何分布，有21223{},0,1k kC C P X k k C -===计算得到X 的分布律为011233X P(2)有放回取球时，X 的可能取值为0,1,2．根据二项分布，有()()2211{}1,0,1,233kkk P X k Ck -==-=计算得到X 的分布律为012441999X P5.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，以X 表示取得第r 次成功时的试验次数，求X 的分布律．解X 的可能取值为,1,r r + ．事件{}X k =意味着第k 次试验为成功，且前1k -次试验中有1r -次成功，故X 的分布律为11(1)(1)111{}(1)(1),,1,r r k r r r k rk k P X k C p p p C p p k r r ---------==-=-=+ 6.数轴上一质点从原点出发，每次以概率p 向右移动或以概率1p -向左移动一个单位，且各次移动相互独立．以n X 表示第n 次移动后质点的坐标，求n X 的分布律．解事件{}n X k =表示经过n 次移动后质点的坐标为k ．将n 次移动视作n重伯努利试验，设其中有i 次向右移动，j 次向左移动，则有,i j n i j k +=-=，故k 与n 的奇偶性相同，且,22n kn k i j +-==由此求得n X 的分布律为222(1),,2,4,,{}0,n k n k n kn n C p p k n n n nP X k ++-⎧⎪-=--+-+==⎨⎪⎩其他7.某车间共有9台机床，各台机床在工作中开动的概率均为0.2，且工作状态相互独立．如果供给该车间的电力至多允许6台机床同时开动，求出现电力不足状况的概率．解以X 表示同时开动的机床数，则X 服从二项分布(9,0.2)B ，分布律为99{}0.2(10.2),0,1,,9k k k P X k C k -==-= 当6X >时将出现电力不足状况，出现的概率为999977{6}{}0.20.80.0003k k k k k P X P X k C -==>====∑∑8.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为8的泊松分布，求该种商品月初应准备多少库存，才能有99%以上的把握保证当月不脱销．解以X 表示当月销售量，则X 服从泊松分布(8)P ，分布律为88{},0,1,2,!k P X k e k k -===设月初准备库存为n ，要有99%以上的把握保证当月不脱销，应有88{}0.99!k nk P X n e k -=≤=≥∑查泊松分布表可得15n =．9.设某交叉路口在t 分钟内通过的汽车数服从参数与t 成正比的泊松分布，已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率．解以t X 表示t 分钟内通过的汽车数，则t X 服从泊松分布()P t λ，分布律为(){},0,1,2,!k tt t P X k e k k λλ-===根据1分钟内没有汽车通过的概率1{0}0.20!P X e λλ-===可得ln 5λ=，故2分钟内最多有一辆汽车通过的概率为112ln5220(2ln 5)1{1}{}(12ln 5)!25k k k P X P X k e k -==≤====+∑∑10.一批种子的发芽率为0.995，从中任取600粒做发芽试验，用泊松分布近似计算600粒种子中没有发芽的比例不超过1%的概率．解每粒种子不发芽的概率为10.9950.005p =-=，以X 表示600粒种子中没有发芽的种子数，则X 服从二项分布(600,0.005)B ，分布律为600600{}0.005(10.005),1,2,,600kk k P X k C k -==-= 用参数6000.0053np λ==⨯=的泊松分布(3)P 近似计算，有33{},1,2,,600!k P X k e k k -=≈= 故600粒种子中没有发芽的比例不超过1%，即6X ≤的概率为6633{6}{}0.9665!k k k P X P X k e k -==≤==≈=∑∑11.设某厂共有100台设备，各台设备的状态相互独立，且发生故障的概率均为0.01．求下列两种情况下，设备发生故障而不能得到及时修理的概率．(1)配备5名维修工，每人负责20台设备；(2)配备3名维修工，共同负责100台设备．解如果同一时刻发生故障的设备数超过相应负责的维修工数，则故障不能得到及时修理．(1)以,1,2,,5i X i = 分别表示5名维修工各自负责的20台设备中同时发生故障的设备数，则i X 相互独立，均服从二项分布(20,0.01)B ．当任一1i X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为{}{}()555111512020{1}1{1}1{1}10.010.990.0815iiii i i kkkk PX P X P X C ===-=>=-≤=-≤=-=∏∑ (2)以X 表示100台设备中同时发生故障的设备数，则X 服从二项分布(100,0.01)B ．当3X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为331001000{3}1{3}1{}10.010.990.0184k kk kk P X P X P X k C =-=>=-≤=-==-=∑∑12.设一天内进入某商场的顾客数服从参数为λ的泊松分布，每位顾客购物的概率为p ，且各位顾客是否购物相互独立．以X 表示一天内在该商场购物的顾客数，求X 的分布律．解以Y 表示一天内进入商场的顾客数，则Y 服从泊松分布()P λ，有n 位顾客进入商场的概率为{},0,1,2,!nP Y n e n n λλ-===在进入商场的n 位顾客中，购物的顾客数X 服从二项分布(,)B n p ，故在Y n =的条件下，X k =的条件概率为{|}(1),0,1,2,,k k n k n P X k Y n C p p k n-===-= 根据全概率公式，求得X 的分布律为(1){}{}{|}(1)![(1)]!()!!(),0,1,2,!nk kn kn n kn kk kn k k k p n kk pP X k P Y n P X k Y n e C p p n e p p e p ek n k k p e k k λλλλλλλλλλ∞∞--==---∞-=-======⋅--==-==∑∑∑即X 服从参数为p λ的泊松分布．习题2–31.下列函数是否为随机变量的分布函数？(1)0,1(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩；(2)0,01(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩；(3)21(),1F x x x=-∞<<+∞+．解根据分布函数的基本性质判别．(1)是，因为()F x 满足非减性，规范性和右连续性．(2)否，因为1(10)1(1)2F F +=≠=，不满足右连续性．(3)否，因为()F x 在(0,)+∞内递减，且()0F +∞=，不满足非减性和规范性．2.设下列函数为随机变量X 的分布函数，求常数,a b ．(1)01(),1111x F x ax b x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪>⎩，，；(2)()arctan ,F x a b x x =+-∞<<+∞；(3)0()sin ,1x a F x x a x b x b ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，，．解根据分布函数的基本性质分析计算．(1)根据()F x 的右连续性，应有(10)0(1)(10)1(1)F a b F F a b F -+=-+==-+==+=由此可得12a b ==．(2)根据()F x 的规范性，应有()02F a bπ-∞=-=，()12F a bπ+∞=+=由此可得11,2a b π==．(3)根据()F x 的右连续性和非减性，应有(0)sin 0()(0)1sin ()F a a F a F b b F b +===+===且()F x 在(,]a b 上单调非减，由此可得2,2,0,1,2,2a kb k k πππ==+=±± ．3.设离散型随机变量X 的分布律为210112X Paa -求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据分布律的非负性和规范性，应有210,12a a a ≥++=由此可得312a -=，故X 的分布律为10113123222X P---并由分布律求得X 的分布函数为0,11,102()3,0121,1x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩4.某设备在试运行过程中，有3个独立的部件可能需要调准，其概率分别为0.1,0.2和0.3．以X 表示需要调准的部件数，求X 的分布律和分布函数．解记第i 个部件需要调准的事件为,11,2,3i A =．则123123123123123123123123{0}{}0.90.80.70.504{1}{}0.0560.1260.2160.398{2}{}0.0140.0240.0540.092{3}{}0.10.20.30.006P X P A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A ===⨯⨯====++====++====⨯⨯= 综上求得X 的分布律为01230.5040.3980.0920.006X P根据分布律求得X 的分布函数为0,00.504,01()0.902,120.994,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩5.设离散型随机变量X 的分布函数为0,00.2,01()0.5,120.8,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩求：(1)X 的分布律；(2)概率{03}P X <<；(3)条件概率{03}P X X ><解根据分布函数求出分布律，再计算有关概率．(1)由()F x 的间断点及{}()(0)P X x F x F x ==--，求得X 的分布律为01230.20.30.30.2X P(2)根据X 的分布律求得{03}{1}{2}0.30.30.6P X P X P X <<==+==+=(3)按条件概率的定义及X 的分布律，可得{03}0.6{03}0.75{3}0.8P X P X X P X <<><===<习题2–41.设随机变量X 的密度函数为sin 0()20x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其他求概率{}63P X ππ≤≤，并求分布函数()F x ．解根据密度函数()f x ，所求概率为{}336631()sin 632PX f x dx xdx ππππππ-≤≤===⎰⎰注意到密度函数()0f x =的区间上积分为零，求得分布函数为0200,0()()sin ,02sin ,20,01cos ,021,2xxx F x f t dt tdt x tdt x x x x x πππππ-∞⎧<⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎩⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰2.设随机变量X 的密度函数为,01()0,a x x f x <<⎧=⎨⎩其他求：(1)常数a ；(2)常数c ，使{}{}P X c P X c <=>；(3)分布函数()F x .解(1)根据密度函数的规范性，有12()13f x dx a xdx a +∞-∞===⎰⎰由此可得32a =．(2)由{}{}1{}P X c P X c P X c <=>=-<，有2{}1P X c <=，故32031{}()22ccP X c f x dx xdx c -∞<====⎰⎰由此可得314c =．(3)由密度函数3,012()0,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求得分布函数为01030,03()(),0123,120,0,011,1xx x F x f t dt t dt x t dt x x x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩⎰⎰⎰3.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x ae x -=-∞<<+∞求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据密度函数的规范性，有0||0()21x x x f x dx ae dx ae dx ae dx a +∞+∞+∞---∞-∞-∞==+==⎰⎰⎰⎰由此可得12a =．由密度函数||1()2x f x e -=，求得分布函数为001,02()()1,021,0211,02x t xxt t x x e dt x F x f t dt e dt e dt x e x e x -∞-∞--∞-⎧<⎪==⎨⎪+≥⎩⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩⎰⎰⎰⎰4.设随机变量X 的分布函数为2,0()0,0x a be x F x x -⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩求常数,a b ；并求密度函数()f x ．解根据分布函数的右连续性和规范性，有(00)(0)0a b F F +=+==，()1F a +∞==由此可得1,1a b ==-．由分布函数21,0()0,0x e x F x x -⎧->⎪=⎨≤⎪⎩求导得到密度函数为22,0()()0,0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩5.设随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，已知()0.8F a =，求()F a -的值，并求概率{0}P X a ≤≤和{}P X a >．解对任意的x ，由()()f x f x -=可得()()()()1()1()xxxxF x f t dt f u du f u du f u du F x -+∞-∞+∞-∞-==--==-=-⎰⎰⎰⎰特别地，当0x =时，有(0)1(0)F F =-，即(0)0.5F =．根据以上结果，分别求得()1()10.80.2{0}()(0)0.80.50.3{||}()[1()]0.2(10.8)0.4F a F a P X a F a F P X a F a F a -=-=-=≤≤=-=-=>=-+-=+-=6.设随机变量X 服从区间(0,5)上的均匀分布，对X 进行3次独立观测，求至多有一次观测值小于2的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,055()0x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其他在每次观测中，观测值小于2的概率为221{2}()0.45P X f x dx dx -∞<===⎰⎰以Y 表示3次观测中观测值小于2的次数，则(3,0.4)Y B ，故所求概率为11330{1}{}(0.4)(0.6)0.648k k k k k P Y P Y k C -==≤====∑∑7.设随机变量X 服从区间(2,6)-上的均匀分布，求一元二次方程20t X t X ++=有实根的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,268()0x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他方程20t X t X ++=有实根的充分必要条件为24X X ≥，即0X ≤或4X ≥，故所求概率为622411{4}{0}{4}0.588P X X P X P X dx dx -≥=≤+≥=+=⎰⎰8.设某元件的使用寿命X (单位:小时)服从参数0.002λ=的指数分布，求：(1)该元件在使用500小时内损坏的概率；(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率；(3)该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.0020.002,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩由此分别求得(1)该元件在使用500小时内损坏的概率为5000.0021{500}0.0021x P X e dx e --<==-⎰(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率为0.00221000{1000}0.002x P X e dx e +∞-->==⎰(3)根据指数分布的无记忆性，该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率为0.0021500{1000|500}{500}0.002x P X X P X e dx e +∞-->>=>==⎰9.设顾客在银行排队等候的时间X (单位:分)服从参数0.1λ=的指数分布．某顾客每周去一次银行办理业务，如果等候时间超过20分钟就离开，求该顾客一个月内至少有一次未办成业务的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.10.1,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩故等候时间超过20分钟的概率为0.1220{20}0.1x P X e dx e +∞-->==⎰该顾客一个月内去银行4次，以Y 表示未办成业务的次数，则2(4,)Y B e - ，至少有一次未办成业务的概率为24{1}1{0}1(1)P Y P Y e -≥=-==--10.设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，已知{}0.9P X c μ-≤=，求{}P X c μ->．解由2(,)X N μσ 可知，其密度函数曲线关于x μ=对称，有{}{}P X c P X c μμ-<-=->根据已知条件{}0.9P X c μ-≤=，可以求得(){}{}{}2{}21{}2(10.9)0.2P X c P X c P X c P X c P X c μμμμμ->=->+-<-=->=--≤=⨯-=11.设随机变量X 的密度函数为24481(),8x x X f x e x π++-=-∞<<+∞求：(1)X 服从何种分布；(2)概率{2}P X <-，{2}P X >，{44}P X -≤≤；(3)满足{}0.95P X c ≤>的常数c 的允许值．解X 的密度函数可表为222(2)4482211()822x x x X f x e eππ+++--⋅==⋅(1)对照正态分布2(,)N μσ的密度函数22()21()2x f x eμσπσ--=可知2(2,2)X N - ．(2)将X 标准化，查标准正态分表求得{}{}{}2{2}0(0)0.522{2}1{2}121(2)0.022822{44}13(3)(1)(3)(1)10.842X P X PX P X P X P X P X P ΦΦΦΦΦΦ+<-=<==+>=-≤=-<=-=+-≤≤=-<<=--=+-=(3)根据题意，要满足{}()222{}0.95222X c c P X c P=Φ+++≤=≤>反查标准正态分表可得2 1.652c +≥，故 1.3c ≥．12.设某车床加工的产品的直径服从正态分布2(100,0.2)N ，如果产品直径在1000.3±之间为合格，求该车床加工的产品的合格率．解以X 表示该车床加工的产品的直径，则2(100,0.2)X N ．根据产品标准，当99.7100.3X ≤≤时为合格，故产品的合格率为{}99.7100100100.3100{99.7100.3}0.20.20.2(1.5)( 1.5)2(1.5)10.8664X P X PΦΦΦ---≤≤=≤≤=--=-=13.设某车间每名工人每月完成的产品数服从正态分布2(3000,50)N ，按规定全车间有3%的工人可获超产奖，求获奖者每月至少要完成的产品数．解以X 表示每名工人每月完成的产品数，则2(3000,50)X N ．记获奖者每月至少要完成的产品数为c ，根据获超产奖的比例，有{}()30003000{}1{}15050300010.0350X c P X c P X c Pc Φ--≥=-<=-<-=-=由此可得()30000.9750c Φ-=，反查标准正态分布表得30001.8850c -=故获奖者每月至少要完成的产品数3094c =．14.设某课程的考试成绩服从正态分布2(75,)N σ，并且95分以上所占比例为2.5%．以达到60分为及格，求该课程的考试及格率．解以X 表示该课程考试成绩，则2(75,)X N σ ．根据95分以上比例，有{}()75957520{95}1{95}110.025X P X P X PΦσσσ-->=-≤=-≤=-=由此可得()200.975Φσ=，反查标准正态分布表得201.96σ=即201.96σ=，故该课程的考试及格率为{}()()()756075{60}1{60}115151 1.470.929X P X P X PσσΦΦΦσσ--≥=-<=-<=--===习题2–51.设随机变量X 的分布律为210120.10.150.20.250.3X P--求Y X =和(1)Z X X =-的分布律．解根据X 的分布律，有2101221012(1)620020.10.150.20.250.3X X X X P---将相同的取值合并，分别求得Y X =和(1)Z X X =-的分布律为0120.20.40.4Y P，0260.450.450.1Z P2.设随机变量X 的分布律为1{},1,2,2kP X k k ===求()sin2Y X π=的分布律．解相应于X 的取值，有()1,41sin 0,2,1,2,3,21,43X n Y X X n n X n π-=-⎧⎪====⎨⎪=-⎩根据X 的分布律，分别计算Y 的取值概率，有4111211431112{1}{41}21511{0}{2}2318{1}{43}215n n n n n n n n n P Y P X n P Y P X n P Y P X n ∞∞-==∞∞==∞∞-===-==-==========-==∑∑∑∑∑∑综上求得()sin2Y X π=的分布律为101258151515Y P-3.设随机变量X 的密度函数为21(),(1)f x x x π=-∞<<+∞+定义X 的函数110,1111X Y X X -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，求Y 的分布律．解根据X 的密度函数，分别计算Y 的取值概率，有121212111{1}{1}(1)411{0}{11}(1)211{1}{1}(1)4P Y P X dx x P Y P X dx x P Y P X dx x πππ--∞-+∞=-=≤-==+==-<<==+==≥==+⎰⎰⎰综上求得Y 的分布律为101211444Y P-4.设随机变量X 的密度函数为||,11()0,X x x f x -<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =服从的分布．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <时，有(){}0Y F y P Y y =≤=；当1y ≥时，有(){}1Y F y P Y y =≤=；当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有2(){}{}{}||yY yF y P Y y P X y P y X y x dx y-=≤=≤=-≤≤==⎰综上求得2Y X =的分布函数为0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩由此可知2(0,1)Y X U = ．5.设随机变量X 服从区间(1,1)-上的均匀分布，求||X Y e -=的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,112()0,X x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(1,1)-可知||X Y e -=的取值区间为1(,1]e -．当1y e -≤或1y >时，有()0Y f y =．当11e y -<≤时，在X 的取值区间(1,1)-上，有||ln 11ln (){}{}{||ln }{1ln }{ln 1}11221ln 1()()X Y y y Y Y F y P Y y P e y P X y P X y P y X dx dxy f y F y y---=≤=≤=≥-=-<≤+-≤<=+=+'==⎰⎰综上求得||X Y e =的密度函数为11,1()0,Y e y yf y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在1y =处不可导，取(1)0Y f =．6.设随机变量X 服从区间(),22ππ-上的均匀分布，求sin Y X =的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,22()0,X x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(),22ππ-可知sin Y X =的取值区间为(1,1)-．在X 的取值区间(),22ππ-上，函数sin y x =严格单调且可导，其反函数为arcsin x y =，按公式求得sin Y X =的密度函数为2(arcsin )|(arcsin )|,11()0,11110X Y f y y y f y y y π'-<<⎧=⎨⎩⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩其他其他7.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求(0)Y a X b a =+>的分布函数和密度函数．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,xX e x f x x λλ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,+)∞及0a >，可知Y a X b =+的取值区间为(,)b +∞．当y b ≤时，有(){}0,()()0Y Y Y F y P Y y f y F y '=≤===；当y b >时，在X 的取值区间(0,+)∞上，有{}0()()(){}{}01()()Y y bx a y b ay b aY Y F y P Y y P a X b y y bP X e dxa ef y F y eaλλλλλ------=≤=+≤-=<≤==-'==⎰综上求得Y a X b =+的分布函数和密度函数为()()1,()0,,()0,y b a Y y b a Y e y bF y y b e y b af y y b λλλ----⎧⎪->=⎨⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩8.设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，求X Y e =的密度函数．解根据标准正态分布的定义，X 的密度函数为221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<+∞由X 的取值区间(,)-∞+∞可知X Y e =的取值区间为(0,)+∞．在X 的取值区间(,)-∞+∞上，函数x y e =严格单调且可导，其反函数为ln x y =，按公式求得X Y e =的密度函数为2(ln )2(ln )|(ln )|,0()001,020,0X Y y f y y y f y y e y y y π-'>⎧=⎨≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，9.设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，证明(0)Y c X d c =+≠仍服从均匀分布．证仅证明0c >的情形．根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,()0X a x b b af x ⎧<<⎪-=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(,)a b 及0c >，可知Y c X d =+的取值区间为(,)ac d bc d ++．在X 的取值区间(,)a b 上，函数y c x d =+严格单调且可导，其反函数为y dx c-=，按公式求得Y c X d =+的密度函数为()(),()01,()0,XY y d y d f ac d y bc d c c f y ac d y bc d b a c '--⎧+<<+⎪=⎨⎪⎩⎧+<<+⎪-=⎨⎪⎩，其他其他由此即知(,)Y c X d U ac d bc d =+++ ．同理可证，对于0c <的情形，有(,)Y c X d U bc d ac d =+++ ．10.设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，证明X Y e -=和1X Z e -=-均服从区间(0,1)上的均匀分布．证根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,0xX e x f x x ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,)+∞可知，X Y e -=和1X Z e -=-的取值区间均为(0,1)．在X 的取值区间(0,)+∞上，函数x y e -=和1x z e -=-均严格单调且可导，其反函数分别为ln x y =-和ln(1)x z =--，按公式分别求得X Y e -=和1X Z e -=-的密度函数为(ln )|(ln )|,01()01,010,[ln(1)]|[ln(1)]|,01()01,010,X Y X Z f y y y f y y f z z z f z z '--<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩'----<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩，其他其他，其他其他由此即知(0,1)X Y e U -= ，1(0,1)X Z e U -=- ．总习题二1.从五个数1,2,3,4,5中任取三个数，以X 表示取到的最大数，求X 的分布律．解从1,2,3,4,5中任取三个数，共有3510C =种不同取法．可能取到的最大数3,4,5X =，相应的概率为2135{},3,4,5k C P X k k C -===计算得到X 的分布律为345136101010X P2.电台每小时报时一次，某人睡觉醒来不知时间而等待电台报时，求等待时间不超过15分钟的概率．解以分钟为单位．如果醒来时恰好电台报时，则等待时间0X =；否则等待时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．等待时间不超过15分钟意味着在时间区间[45,60)内醒来．根据几何概率有[45,60)151{15}604[0,60)P X ≤===区间的长度区间的长度3.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，将试验进行到成功和失败都出现为止．以X 表示试验次数，求X 的分布律．解设事件k A 为“第k 次试验首次成功”，k B 为“第k 次试验首次失败”，2,3,k = ．则事件{}k k X k A B == ，且k k A B =∅，故X 的分布律为11{}()()()(1)(1),2,3,k k k k k k P X k P A B P A P B p p p p k --===+=-+-=4.设随机变量X 的分布律为21010.512X Paa --求常数a ，并求X 的分布函数．解根据分布律的非负性和规范性，有21200.5(12)1a a a -≥⎧⎪⎨+-+=⎪⎩由此可得112a =-．根据X 的分布律1010.51.5221X P---求得X 的分布函数为0,10.5,10()20.5,011,1x x F x x x ⎧<-⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪≥⎩5.设自动生产线经过调整后出现次品的概率为0.01p =，生产过程中出现次品时立即调整生产线，以X 表示两次调整之间所生产的合格品数，求：(1)X 的分布律；(2)两次调整之间能以0.9的概率保证至少生产多少个合格品．解X 的可能取值为0,1,2, ．事件{}X k =表示连续生产k 个合格品后，第1k +个产品出现次品而需调整生产线．(1)X 的分布律为{}(0.99)0.01,0,1,2,k P X k k ==⨯=(2)两次调整之间至少生产k 个合格品的概率为{}{}(0.99)0.01(0.99),0,1,2,i k i ki kP X k P X i k ∞∞==≥===⨯==∑∑要以0.9的概率保证至少生产k 个合格品，应有(0.99)0.9k =，由此解得ln 0.910.48ln 0.99k ==故两次调整之间以0.9的概率保证至少生产10个合格品．6.对目标进行500次射击，设每次射击命中的概率为0.01，且每次射击命中与否相互独立，用泊松分布近似计算至少命中2次的概率．解以X 表示命中次数，则(500,0.01)X B ，至少命中2次的概率为15005000{2}1{1}1(0.01)(10.01)kk kk P X P X C -=≥=-≤=--∑根据500n =，0.01p =，由参数5np ==λ的泊松分布近似求得155{2}110.040.96!k k P X e k -=≥≈-=-=∑7.设在任一长为t 年的时间间隔内的地震发生次数()N t 服从参数为λt 的泊松分布，以T 表示距下次地震发生的间隔年数．求：(1)三年内发生地震的概率；(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率；(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率．解根据题意，t 年内地震发生次数()N t 的分布律为(){()},0,1,2,!k tt P N t k e k k -===λλ记间隔年数T 的分布函数为()F t ，则当0t <时，有(){}0F t P T t =≤=；当0t ≥时，注意到{}T t >等价于{()0}N t =，有(){}1{}1{()0}1tF t P T t P T t P N t e -=≤=->=-==-λ综上可得T 的分布函数为1,0()0,0te t F t t λ-⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(1)三年内发生地震的概率为3{3}(3)1P T F e -≤==-λ(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率为36{36}{6}{3}(6)(3)P T P T P T F F e e --<≤=≤-≤=-=-λλ(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率为3633{6,3}{36}{6|3}1{3}1{3}P T T P T e e P T T e P T P T e----≤><≤-≤>====->-≤λλλλ8.某型号元件的使用寿命X 服从参数为λ的指数分布，用若干该型号元件组成一个系统，设各元件损坏与否相互独立．以Y 表示系统的寿命，求下列两个系统寿命Y 的密度函数．(1)由n 个该型号元件组成的串联系统；(2)由n 个该型号元件组成的并联系统．解以i X 表示第i 个元件的使用寿命．由题意知i X 独立同分布，记其分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，则1,0,0(),()0,00,0xxe x e x F xf x x x ---≥>⎧⎧==⎨⎨<≤⎩⎩λλλ(1)对于串联系统，其寿命Y 的分布函数为()11(){}1{}1{}11{}1[1()]Y nni i i i nF y P Y y P Y y P X y P X y F y ===≤=->=->=--≤=--∏∏求导得到密度函数为1,0()()[1()]()00nλyn Y Y nλe y f y F y n F y f y y -->⎧'==-=⎨≤⎩，(2)对于并联系统，其寿命Y 的分布函数为1(){}{}[()]nnY i i F y P Y y P X y F y ==≤=≤=∏求导得到密度函数为11(1),0()()[()]()00λy n λyn Y Y nλe e y f y F y n F y f y y ----->⎧'===⎨≤⎩，9.设电源电压X 服从正态分布2(220,25)N ，某电子元件当电压低于200V 时损坏的概率为0.1；当电压在200240V V 时损坏的概率为0.001；当电压高于240V 时损坏的概率为0.2，求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V V 的概率．解设事件A 为“该电子元件损坏”，记电压状态123{220},{220240},{240}B X B X B X =<=≤≤=>由2(220,25)X N ，有{}()220220220{}252525X x x P X x PΦ---≤=≤=查标准正态分布表可得()()()123(){200}0.810.80.212(){200240}120.2120.576(){240}1{240}10.80.212P B P X P B P X P B P X P X ΦΦΦ=<=-=-==≤≤=-⨯==>=-≤=-=(1)根据全概率公式，该电子元件损坏的概率为31(){}(|)0.10.2120.0010.5760.20.2120.064i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑(2)根据贝叶斯公式，该电子元件损坏时，电压在200240V V 的概率为2222(,){}(|)0.0010.576(|)0.009()()0.064P A B P B P A B P B A P A P A ⨯====10.设某门课程的考试成绩服从正态分布2(70,10)N ，如果规定优秀的比例为5%，求获得优秀的最低分数．解设获得优秀的最低分数为c ．由考试成绩2(70,10)X N ，以及优秀比例为5%，应有{}()707070{}1{}110.05101010X c c P X c P X c P---≥=-<=-<=-=Φ由此可得()700.9510c -=Φ，反查标准正态分布表得70 1.6510c -=故获得优秀的最低分数86.5c =．11.设非负随机变量X 的密度函数为()X f x ，求Y X =的密度函数．解由X 的取值区间[0,)+∞可知Y X =的取值区间为[0,)+∞．当0y =时，可取()0Y f y =．当0y >时，在X 的取值区间(0,)+∞上，函数y x =严格单调且可导，其反函数为2x y =，按公式求得Y X =的密度函数为222()(),0()002(),00,0X Y X f y y y f y y y f y y y '>⎧=⎨≤⎩>⎧=⎨≤⎩，12.设随机变量X 的密度函数为1||,11()0,X x x f x --<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =的密度函数．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <或1y ≥时，有()0Y f y =．当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有20(){}{}{}(1||)2(1)21()()1,01Y yyy Y Y F y P Y y P X y P y X y x dx x dx y yf y F y y y-=≤=≤=-≤≤=-=-=-'==-<<⎰⎰综上求得2Y X =的密度函数为11,01()0,Y y yf y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在0y =处不可导，取(0)0Y f =．。
概率论与数理统计第八章假设检验习题解答
1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。
设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X～N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25.3--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α（4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512=--==å=i iX Xn S x查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.0501304.025.3252.3||2-<=-=n t t α（5）故在α = 0.01下，接受假设H 02．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(21»-=l ω，这样的矩形称为黄金矩形。
这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。
现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。
下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。
设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：μ = 0.618H 1：μ≠0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为)1(~618.0--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α （4）n=20 α = 0.05，计算知0925.0)(11,6605.01121=--===åå==ni ini ix xn S xnx ，)1(055.2200925.0618.06605.0||,0930.2)1(22-<=-==-n t t n t αα（5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。
概率论-1-2随机事件间的关系及运算
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件，复合事件，必然事件， 不可能事件都是随机事件
学习了事件的运算及运算律，运算的 目的是什么？
用简单事件表示复合事件（复合事件分解 成简单事件）
(*)2. 概率论与集合
S 样本空间，必然事件
互为对立事件
二、随机事件间的关系及运算
事件是集合，就可以用集合间的关系和运 算来处理,我们结合 p4 图来学习：
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
二、随机事件间的关系及运算（续）
1. 包含关系 子事件 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
(2) 三个事件都出现;
(3)三个事件至少有一个出现;
(4) 不多于一个事件出现; (5) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (6) A, B, C 中恰好有两个出现.
解(1) ABC; (2) ABC; (3) A B C;
(4) ABC ABC ABC ABC;
(5) ( A B) C; (6) ABC ABC ABC.
复合事件—由若干个基本事件组合而成的事件.
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
高等教育：概率论第1章1-2
A3 A2 A3 A2 第三次击中但第二次未击中
A1 A2
前两次都未击中目标 A1 A2
A2 A3
后两次至少有一次未击中目标 A2 A3
A1A2 A1A3 A2 A3
至少有两次击中目标
1.2 随机事件的概率及其性质
1.2.1 概率的统计定义
试验一 ： 皮尔逊(pearson)投掷硬币试验
8 解：(1) P(B A) P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)
10 1 22
(2) P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A) 1 1 1 23 6
(3) P(B A) P(B) P(AB) 1 1 3 28 8
第1章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其关系
1.1.1 样本空间与随机事件 概率论把观察客观事物的过程称为试验，而把
满足下列三个条件的试验称为随机试验：
1.可重复性 2. 可观察性 3.不确定性
样本点：随机试验的每一个可能结果称为一样本点。 以 e 表示；
样本空间：随机试验的所有结果组成的集合。
记作：A B
(2)事件的相等：若A B且 B A，即A和B的样本点完全相同。 记作：A B
(3) 事件的并(和)--和事件: 事件A和事件B至少有一个发生，这
一事件称为A与B的和事件。记为 A B 或 A B 推广1：有限个 A1 A2 ... An 或 A1 A2 ... An 推广2：可列个 A1 A2 ... An ...
1、交换律：A∪ B＝B ∪ A，AB＝BA 2、结合律：(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，
概率论与数理统计第二章1-2
解：若要每蚕养活k只小蚕，则每蚕至少产卵k个， 用Am记每蚕的产卵数为m这一事件(m k),用B记 每蚕养活k只小蚕这一事件。
p( Am )
e
m
m!
;
p(B | Am ) Cmk pk (1 p)mk
根据全概率公式，所求概率
p(B) p( Am ) p(B | Am )
mk
p(B) p( Am ) p(B | Am ) mk
❖ 随机变量的函数一般也是随机变量
❖ 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量。
例 S = {儿童的发育情况 } X— 身高, Y — 体重, Z— 头围.
各随机变量之间可能有一定的关系, 也 可能没有关系—— 即相互独立。
离散型
随机变量 分类
非离散型
其中一种重要的类型为 连续型随机变量
第二节 离散型随机变量及其分布律
其中xk项的系数为：
Cnk pk qnk
b(k; n, p)
可以验证：
n
n
b(k; n, p) Cnk pk qnk ( p q)n 1
k 1
k 1
例2 按规定，某种型号电子元件的使用寿 命超过1500小时的为一级品。已知某一大 批产品的一级品率为0.2，现在从中随机的 抽查20只。问20只元件中恰有k只 (k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
例1 车间中正在工作的车床数
例2 某电话总机每天接到的呼叫次数
例3 考查电脑寿命
例4 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个变量来描述
1, 次品 X 0, 正品
共同特点：试验结果能用一个数来表示， 这个数随试验结果的不同而变化。
第一节 随机变量
随机变量 ( random variable )
概率论与数理统计2-1 一维随机变量及其分布 (3)
五、连续型随机变量 六、典型的连续型 随机变量及其分布
回
停 下
五、连续型随机变量 连续型随机变量
1. 密度函数 对于随机变量X， 定义 对于随机变量 ，若存在非负可积函 使得X 数 p(x) ( x∈R), 使得 的分布函数 ∈
F ( x) = ∫
或概率密度. 数,或概率密度 或概率密度
1 , 2 ≤ x ≤ 5, p( x ) = 3 0, 其它.
表示“ 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 即 A={ X >3 }.
由于 P ( A) = P { X > 3} = ∫
51
3
2 dx = , 3 3
进行3次独立观测中 设Y 表示对 X进行 次独立观测中 观测值大于 进行 次独立观测中, 3的次数 的次数, 的次数 则
P {a < X ≤ b} = P { a < X < b } = P{a ≤ X < b}
= P{a ≤ X ≤ b}
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º
P( A) = 0 P( A) = 1
A= ∅ A= Ω
的分布函数为： 例1 设连续型随机变量X的分布函数为： F( x) = A+ Barctan x − ∞ < x < ∞
1 x − 1 − e 2000 , F ( x) = 0,
x ≥ 0, x < 0.
(1) P { X > 1000}= 1 − P { X ≤ 1000} = 1 − F (1000)
1 − 1 − e 2000x , x ≥ 0, F ( x) = 0, x < 0.
概率论1-2
随机事件的概率
一、概率的定义（及性质） 二、典型例题：古典与几何概型 三、小结
一、概率的定义
1. 概率的统计定义
试验 序号
1 2 3 4 5 6
n5
n 50
f
nH
2 3
nH
f
n 500 f nH
7
0.44 251 22 0.502 1 在 25 处波动较大 0.50 249 0.498 随n的增大, 频率 2 f 呈现出稳定性 0.2 1 21 0.42 256 0.512 5 1.0 0.494 25 0.50 247 1 在 处波动较小 1 2 24 0.48 0.2 251 0.502 波动最小 2 18 0.36 262 0.524 0.4 4 0.8 0.54 258 0.516 27 0.4 0.6
证明 由图可得
A B A ( B AB), 且 A ( B AB) ,
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB).
A AB
B
又由性质 4 得 P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
x yt
阴影部分面积 p 正方形面积
t
T
x
T (T t ) T2
2
2
t 2 1 (1 ) . T
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 概率的主要性质
(1) 0 P ( A) 1, P ( S ) 1, P ( ) 0;
( 2) P ( A) 1 P ( A);
《概率论》 第二章 基本定理
第一节
基本定理
加法定理
定理1 若A1 , A2 ,, An是两两互斥的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
概率的可加性 推论1 对任一事件A，有 P ( A) 1 P ( A). 推论2 若A，B为任意两事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB)
12 0.12 100 12 12 P ( B A) 0.15 P ( A B ) 0.6 80 20 P ( AB ) P ( AB ) ， P ( B A) . 注 可看出 P ( A B ) P( B) P ( A)
P ( AB )
二、乘法定理
定理1 若 P(A)>0，则有 P ( AB ) P ( A) P ( B A). 若 P(B)>0，则有 P ( AB ) P ( B) P ( A B). 即有 P ( AB) P ( A) P ( B A) P ( B) P ( A B).
实际上依经验也可知道A、B是相互独立的.
又如： 一批产品共n件,从中抽取2件, 设Ai ={第i 件是合格品} i=1,2 (1)若抽取是有放回的,则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.
(2)若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.
定理3 若事件A与B独立,则A与B, A与B, A 与B 中的 每一对事件都独立. 证
例4（传染病模型）已知一罐中盛有m个白球， n个黑球。现从中任取一只，记下颜色后放回， 并同时加入与被取球同色球a个，试求接连取球 3次，3次均为黑球的概率. 解 设 Ai ( i 1,2,3) 表示事件“第i次取到黑球”， 则所求即为 P ( A1 A2 A3 ) . P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
概率论1-1、2
三. 事件之间的关系及运算
随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算
事件
事件之间的关系与事件的运算
集合
集合之间的关系与集合的运算
给定一个随机试验，设S为其样本空间，事件Ａ， Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是S的子集．
BA
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B A
✓ 一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面17}
BA
相等事件（Equal）
B A且 A B A=B
S B A
事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
AB=Φ
S A
如A={1,2,3},B={1,3,5}, C={4,5}
A与C是互不相容的。
B
A与B是相容的。
5. 事件的对立
AB , AUB S
—— A 与B 互相对立
每次试验 A、 B中有且
只有一个发生
B A S
A
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互不相容” 是不同的概念。若A 与B 互相对立则A 与B 一定互
随机试验：抛掷两颗骰子
Rolling two die 随机试验
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 试验的样本点和基本事件
样本空间 S＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4）， （1，5），（1，6），...，（6，1），（6， 2），...，（6，6）｝．
随机事件
概率的定义和基本性质(二)
概率的定义和基本性质（二）引言概述：概率是概率论研究的基本概念，也是统计学中重要的概念之一。
它用来描述事件发生的可能性大小，并在统计推断和决策制定中起着关键作用。
本文将进一步介绍概率的定义和基本性质，以帮助读者更好地理解和应用概率理论。
正文内容：一、概率的定义1. 频率定义：概率是基于大量实验的观察结果，通过事件发生的频率来估计其发生的可能性。
2. 古典定义：概率是基于等可能性假设，通过事件发生的总数与样本空间的大小之比来估计其发生的可能性。
3. 主观定义：概率是基于个人主观判断和经验，通过主观分配可能性大小来估计事件发生的可能性。
二、概率的基本性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，表示事件发生的可能性不会是负数。
2. 零和性：对于必然事件，其概率值为1，表示该事件一定会发生。
3. 互斥性：对于两个互斥事件，其概率值之和为1，表示这两个事件有且只能发生一个。
4. 加法法则：对于两个不互斥事件，其概率值之和为两个事件发生概率之和减去两个事件同时发生的概率。
5. 乘法法则：对于两个独立事件，其概率值之积为两个事件发生概率之积。
三、条件概率和独立性1. 条件概率：给定一个条件下，事件发生的概率。
表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 乘法法则的条件形式：根据条件概率定义，可以将乘法法则扩展为条件形式。
3. 独立性：表示两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
4. 独立性的判定：根据条件概率和乘法法则，可以通过计算条件概率来判断事件之间的独立性。
四、事件的关系与运算1. 事件的包含与不包含关系：一个事件发生必然导致其包含事件的发生，而不包含事件的发生则不一定导致该事件的发生。
2. 事件的并与交运算：事件的并运算表示多个事件中至少有一个事件发生的情况，交运算表示多个事件同时发生的情况。
3. 事件的补运算：事件的补运算表示不发生该事件的情况。
4. 事件的差运算：事件的差运算表示一个事件发生，而另一个事件不发生的情况。
概率2-1
概率论
二. 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品， 在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽 样，以 X 表示取出次品的只数， （1）求 X 的 分布律， （2）画出分布律的图形。
解： X的所有可能取值为： 0,1,2 X
3 C13 22 P { X 0} 3 C15 35 2 1 C13C 2 12 P { X 1} 3 C15 35
例如，“电视机的寿命”，实际中 常遇到的“测量误差”等.
概率论
随 机 变 量
离散型随机变量
连续型随机变量
概率论
例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不 出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数， 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.
概率论
（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在 试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先 肯定它将取哪个值.
（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于 是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值 也有一定的概率. 称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X= X(e) 为
简记为 r.v.
概率论
“重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变. “独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
概率论
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数， 则
n k n k P { X k } p 1 p k
k 0,1,, n
P 易证：（1） ( X k ) 0
m=9件
5 k
概率论
练习题
一. 一袋中有 4 只乒乓球，编号为 1、2、 3、4、在其中同时取三只，以 X 表示取出的 三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分 布律
概率论与随机过程：2-1 随机变量及其分布函数
例3 设有函数 F(x)
F(x)
sin
x 0
0 x
其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解： 注意到函数 F(x)在[ 2, ]上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
练：设连续型随机变量X的分布函数为
第二章教学计划（第1次课）
教学内容：
1.随机变量及其分布函数； 2.离散型随机变量及其分布。 教学目的及目标：
1.理解随机变量、分布函数、分布律的概念； 2.能对实际问题建立适当的随机变量，会求其分布函数； 3.能熟练求离散型随机变量的分布律，熟练掌握三种重要的
离散型分布; 4. 熟练掌握分布函数、分布律的性质及二者间的关系,并能熟
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大 事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研 究，就由对事件及事件概率的研究转变为对随机变 量及其取值规律的研究.
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
对于随机试验，要求能够定义适当的随机变量表示 试验结果。
（*）例3: 考虑“测试灯泡寿命”这一试验。试验结 果本身是用数字描述的，令X表示灯泡的寿命 （以小时计），则X是随机变量，定义域为样本 空间 ={t|t≥0}，值域为RX=[0，+∞）。 {X＜500}：“任取出的灯泡的寿命小于500小时”；
随机变量的分布：对一个随机变量的统计规律性
的完整描述。
2、引入随机变量的意义
随机变量实际上就是定义域为事件域，值 域为实数集或其子集的一种实值函数.
ω.
X(ω)
Ω
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C
3 5
P{X=1}= X Pk
1 2 C2 C3
C
3 5
2 1 C 2C 3 P{X=2}= 3 C5
故X的分布律为
0 1 2 1/10 6/10 3/10
最多取到1个 白球的概率？
P{ X 1}
例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组
信号灯,每组信号灯以p的概率禁止汽车通过,X表 示汽车首次停下时已通过的信号灯组数(设各组信 号灯的工作相互独立),求 X 的分布律. 解: 由题意, X 的可能取值为0,1,2,3,4. 用p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率 X 0 1 2 3 4 Pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
若(n+1)p不是整数
若(n+1)p是整数
例8 连续抛一枚均匀硬币100次,求正面出现的最可 能次数．连续抛一枚均匀硬币99次,求正面出现的最 可能次数．
例9 某车间新进10台机器,各台机器独立工作, 且在一年内各自出故障的概率为0.1,求一年内 最大概率出故障的机器台数,并求其发生的概率.
0.387
P{ X 1} P ( ABC ABC ABC ) 0.29
P{ X 2} P ( ABC ABC ABC ) 0.44
P{ X 3} P ( ABC ) 0.21
所以X的分布律为 X Pk 0 1 2 3
0.06 0.29 0.44 0.21
三、常见离散型随机变量及其分布律
2.二项分布与伯努利试验
若在一次实验中只考虑两个结果:事件A发 生,事件A不发生,这样的试验称为伯努利实验.
在相同的条件下将伯努利试验独立地重复
进行n次,每次试验中事件A发生的概率均为p, 则称这n次试验为n重伯努利试验(或伯努利概型). n重伯努利实验的特点：
A (1)每次试验的结果只有两个： , A; (2)事件A在每次试验中发生的概率相同,都是p:
k n k
n k
k
k!
e , k 0,1, 2,...
一般要求n>20, p<0.1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例6 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各
个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率
都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分 布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意, X ～ b(6,1/3), 于是X的分布律为:
四、小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需 将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件
用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此
随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
(0-1)分布 二项分布 泊松分布 超几何分布
设备 m 解 设需配备 人.记同一时刻发生故障的 台数为 X , 那末, X ~ b(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 , 使得 m
P{ X m} 0.01.
k 3
由泊松定理得
3 e 3 e 0.01, P{ X m } k m 1 k ! k m 1 k !
3. 泊松分布:在n重贝努利试验中，若n很大，p
很小，则X就近似服从泊松分布，分布律为
P{ X k }
k e
k!
, k 0,1, 2, ,
其中=np.
其中 > 0 为常数,则称X服从参数为 的泊松分布,
记为 X～ ( ).
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
第 二 章
随 机 变 量 及 其 分 布
§2.1 随机变量 离散型随机变量
一、随机变量的概念 二、离散型随机变量及其分布律 三、常见离散型随机变量及其分布律 四、小结
一、随机变量的概念
定义1 设E为随机试验,S为样本空间,对任何e∈S,
有唯一确定的实数X(e)与之对应,称X(e)为
随机变量.
(1) 掷一颗骰子,出现的点数. (2) 抛一枚硬币,观察它正反面出现的情况. (3) 抛一枚硬币三次,观察它正反面出现的情况. (4) 公交车站某时刻的等车人数.
例4 甲、乙、丙三人对同一目标各自独立进行射击, 每人射击一次,各人击中目标的概率依次为0.7，0.6， 0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标, X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
说明(1)随机变量与普通的函数不同
普通一元函数是定义在实数轴上的,而随机 变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不 一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的 值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律. (3)随机变量的引入,化简了随机事件的表示,每个 随机事件都可用一个数集来表示.
1.(0-1)分布：若随机试验的结果只有两个，X=1
表示一个结果，X=0表示另一个结果，则X服从(01)分布，分布律为：
X pk
0 1 p
1 p
其中0< p <1.
或
P{ X k } pk (1 p)1 k (k 0, 1)
说明： （0-1)分布是最简单的一种分布,任何一 个只有两种可能结果的随机现象,都可用(0-1)分 布来描述.比如新生婴儿是男还是女、产品是正 品还是次品、明天是否下雨、种籽是否发芽等.
k 1 2 P{ X k } C 6 3 3 k 6 k
k 0,1,...,6
(2) P{ X 5} P{ X 5} P{ X 6}
13 1 2 1 C 3 3 3 729
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 (1 p)n
例5
某人进行射击, 设每次射击的命中率为 .02, 0
解 设击中的次数为X ,
独立射击 400 次, 试求至少击中两次的概 . 率
则 X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
k P{ X k } C400 (0.02)k (0.98)400k , k 0,1,,400.
二、离散型随机变量及其分布律
设X是一随机变量,如果X的所有可能取值是有限
个或可列个,则称X为离散型随机变量.
这时X的所有可能取值可写成一列： 1 , x2 ,, xk ,. x 设X为离散型随机变量,X所有可能取值为
x1 , x2 ,, xk ,. 称X取各个可能值的概率
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
因此 P { X 2} 1 P { X 0} P { X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
这个结果很接近于1,在实际中具有两方面的意义: (1)一个事件尽管在一次试验中发生的概率 很小,但当试验次数很多且独立进行时,那么这一 事件的发生是肯定的,所以不能轻视小概率事件. (2)小概率事件在一次试验中几乎是不可能 发生的(通常称为实际推断原理或小概率事件). 定理1(泊松定理) 设 pn
例3 设Ｘ为离散型随机变量,其分布律为
Ｘ １ 1 2 ２ 1 4 ３
1 8
４
pk
a
求(1)a ; (2) P{X<3}.
1 1 1 1 解 (1)由分布律的性质得 a 1 ∴ a 2 4 8 8
3 . (2) P{ X 3} P{ X 1} P{ X 2} 4
(0 k M N , n N )
则称X服从参数为N,M,n的超几何分布, 记为X ~ h(N, M,n). 说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到. 一般地,若N个元素分为A, B 两类, A类元素的个 数为 M ( M N ) ,从N个元素中任取n个,这 n个 元素中含有A类元素的个数X服从超几何分布.
k n k
n k
, k 0,1, 2,n
二项分布
n1
(0-1)分布
易知： pk 0; (1)
k (2) Cn pk (1 p)n k 1 k 0
n
P{ X 0} (1 p)n 全不成功（A都不发生）的概率：
全成功的概率：
P{ X n} pn
至少成功一次的概率：
(0,1)分布
n1
二项分布
n 10 , p 0.1
泊松分布
备份题有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 解 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B(1000,0.0001), 所求概率为 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}
(3)各次试验相互独立； (4)试验共进行了n次.
例：有放回抽取产品50次，已知每次抽到正品 的概率为0.8， X表示抽取到正品的件数. 求抽取到20件正品的概率？
在n重伯努利试验中，以X表示事件A发生的次数, 则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布. 记作X ~ b(n, p).分布律为