1机械振动(川大聂娅老师物理)解析

j1
A1 x
-A1
(2) 若j (2k 1) ,( k 0,1,
)，
x1 A1 cos( t j1 ) x2 A2 cos[ t j1 (2k 1) ] A2 cos( t j1 )
two oscillators have opposite phase (out of phase). 步调相反——反相

m = 5×10 -3 kg 弹簧振子 k = 2×10 -4 N· m -1 s -1 t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m·
完成下述简谐振动函数 已知 x0 = 0 v0 相应的旋转矢量图为
k m
0.2 (rad· s−1)
x0 2
v0
0.2
2 (m) (SI)
v0

振子质量 振动系统：如 水平弹簧振子 弹簧劲度 简谐振动函数 振子运动速度 系统的 动能 系统的 势能
x1 A1 cos( t j1 ) 同频率的简谐振动 x2 A2 cos( t j 2 )
j (t j2 ) (t j1 ) j2 j1
相位差等于初相差
与时间 t 无关
分析： (1) 若j 2k ,( k 0,1,
) ，即 j 2 j1 2k
为常量，其比值亦为常量。令 即
简谐振动动力学方程
单摆：
X
对于给定的弹簧振子 为常量，其比值亦为常量。令
简谐振动动力学方程
该微分方程的解 通常表成余弦函数
A
简谐振动函数
A
为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。
简谐振动的速度 简谐振动的加速度
A
A
应用转动定律，同理也可求得单摆的振动函数
注意
j
t1 t
x
－5.0
j
t1
2s /2
(3) 由相量图可知

t=0
j
－5.0
t2
10
2 j 3
t t 2 t1
x
j
5.0

t1 另，解析法：
2 / 3 4 s /2 3
2 10 4 x 10.0cos( t ) 5 t1 2, t 2 t s 2 3 3 3
M(t ) M(t )M(t )
x0 A cos j
t 以匀角速 t 逆时针转动 M ( t ) t t T t 时刻的
振动相位
t tt t A
A
O
循环往复 M 0 M ((T 0 )) 周期 T 初相 初相 j
jj
( t﹢j )
M(t )
M(t )
X M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标
例如：电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场 中的磁感应强度随时间作周期性变化 —— 电磁振动或 电磁振荡等。 掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。
简谐振动（simple harmonic motion)亦称简谐运动
是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振 动的重要基础。这里主要讨论简谐振动 SHM。
x1 A1 cos( t j1 ) x2 A2 cos( t j1 2k ) A2 cos( t j1 )
two oscillators have same phase (in phase). 步调相同——同相
A 2
x
A1
A2 o - A2
x2
x1
同相
T t
O
2 x 10.0cos( t ) cm 2 3
2 j 3
2 rad/s T 2

(1) t = 1.0 s 时物体的位移
2 x 10.0cos( 1.0 ) 8.66 cm 2 3
(2) 画出相量图


t=0 t2
5.0 10
第一次到达
j
*阻尼振动 受迫振动和共振 *damped vibration forced vibration and resonance
11 .1
simple harmonic motion
机械振动 vibration or oscillation 位置附近所作的往复运动。
物体在它的平衡
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某 一数值附近随时间作周期性变化。
x0
X
A
A
旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动 A 其 速率 振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
A
t j
t j
O
A

X
旋转矢量端点 M 的加速度 为法向加速度，其大小为
A
振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）
A
t j
O
X
A
A
结论： 借助于匀速率圆周运动来研究简谐振动
The projection of circular motion onto a straight line is SHM. 参考圆 radius--amplitude angular speed--angular frequency initial angular displacement – initial phase 矢径 A
x
o j A
x
两个分振动同相
o
T
A A1 A2 合振幅达最大值 j j2 j1 x ( A1 A2 )cos(t )
A
，不是指振动开始，而是指计时零点。
时质点的运动状态 位置 速度
初始条件即为 由 和
A A
求给定振子的振幅 A
A
A
由 和
消去 得 求给定振子的初相
A
A A
消去 A 得
值，
但由于 在 [ 0 ~ 2 ) 范围内，同一正切值对应有两个 因此，还必须再根据 和 的正负进行判断。
简谐振动的运动函数
A
简谐振动的速度
A
振幅 A ： X 周期 的最大绝对值
A
弹簧振子 单 摆 相位 ：
运动状态要由位置 和速度
A
： 完成一次全振动 所需要的时间
频率 ： 角频率
是界定振子在时刻
：
的运动状态的物理量 的正负取决于
同时描述，而
和
A 一定的相
A 一定的运动状态 [0, 2 ] 或 [ , ]
初相
所谓
：是
时，振子的相位。
x
A1 A2 - A2
x1 x2
x2 比 x1 超前 2
T
j2 0 j1 / 2
O x
o
t
-A1
注意：领先、落后以 j 的相位角来判断
质量为 10g 的物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A = 10cm，周期 T = 4.0s，t = 0 时位移 x0 = –5.0cm，且物 体朝 –x 方向运动，求 (1) t = 1.0s 时物体的位移；
振动 A 曲线
A
A
简谐振动的加速度
A
A
最大 a is ahead of x . v is ahead of x /2 and 最大 最大
A
A
Uniform Circular Motion ( Rotating Vector ) method
简谐振动函数
x = A cos ( t﹢j ) 旋转矢量 A
矢端的投影从x=0向X轴的负方运动 即 v0 ，与 已知 X~ t 曲线一致
SI
相差
phase difference
(1) 对同一简谐振动，相差(不同时刻)可以给出两振动 状态间变化所需的最短时间。j ( t j ) ( t j )
2 1
x(t1 ) A cos( t1 j ) x(t2 ) A cos( t2 j )
(2) t = 0 之后何时物体第一次到达 x = 5.0cm 处； (3) 第二次和第一次经过 x = 5.0cm 处的时间间隔。
分析：据已知可画出 t = 0 时振幅矢量图

t=0
A = 10cm t=0时
10
j
-5.0 O
x
A x0 = –5.0cm ； 2
且朝 –x 方向运动
T 4.0 s

x A1 A2 o - A2 -A1
j2
O A2
j1
A1
x
x1
反相
T t
x2
(3) 当 j 为其他值时，二者不同相。 超前和落后 Oscillation2 is ahead of oscillation1 若j j2 j1 0 , 则 x2 比 x1 较早达到同方向的 极大值，称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。 Oscillation1 is behind of oscillation2
F
x
x
mM F G 3 x R
是简谐振动
试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧 振子与水平弹簧振子的动力学方程和运动函数相同。
选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在为置坐标 处所受弹性力
合外力 平衡点
小球 在受力平衡点 受弹性力大小
动力学方程
微分方程 的解：
运动函数
A
均与水平弹簧振子结果相同
（以 x = 0处为零势点）
振动角频率
A A A A A A
系统的 机械能
均随时间而变且能量相互转换 能 变为零 变到最大时 量 变到最大时 变为零 系统的机ห้องสมุดไป่ตู้能 守恒。
A
时 间
11.1.2
Superposition of simple harmonic motion
1. Superposition of two SHM in same direction with same frequencies（两个同方向、同频率简谐振动的合成）

Φ A
O
j
x
—— 振幅矢量 ( 旋转矢量 )
summary 1. 若物体处于正的极大位移处，则在相量图中， 振幅矢量与x轴的夹角为零，即与x轴正向重合。 2. 若物体处于负的极大位移处，则在相量图中， 振幅矢量与x轴的夹角为 ，即与x轴负向重合。
3. 若物体处于平衡位置，则在相量图中，振幅矢 vm 量与x轴垂直。
只要满足方程
d2 x Kx 0 2 dt
不管 x 是什么物理量，它的变化就一定是简谐振 动的形式，其角频率就等于 x 的系数的平方根。
K
思考：地球，M、R 已知，中间开一遂道；小球 m， 从地表附近掉入隧道，问，小球是否作简谐振动？
mM x F G 2 x
Mx M 4 R 3 4 x3 3 3
2 3 or 2 2


v0 v0
O x
vm
4. 一般情况下，物体处于任一位置处，在相量图中， 振幅矢量均对应两个位置。

o
v 0 振幅矢量位于x轴上方； v 0 振幅矢量位于x轴下方。
x
x
如何根据振动曲线判断振动的初相？
x A
3 j or 2 2 t T
正X向
反X向
X
水平光滑面，弹簧劲度
物体在任一位 置受的弹性力
质量可忽略，物体质量
以物体受力为零的平衡位置为坐标原点
以铅垂方向
单摆在任一角位置 所受的重力矩为
为摆角参考轴线
取摆幅很小
则
恢复力
或
恢复力矩
质点在恢复力或恢复力矩的作用下的运动即为简 谐振动——简谐振动的动力学定义
X
对于给定的弹簧振子
则 得
j t
(t t2 t1 )
x
A
A2
a
b

3
tb

o
j
t
A
j x 0 A ta A
2
A
3 1 t T T 2 6
(2) 对于两个同频率的简谐振动，相差表示它们之间 步调上的差异。（解决振动合成问题） Phase difference of two SHM with same frequency
机械振动
本章内容
Contents
chapter 11
简谐振动的描述 description of simple harmonic motion 简谐振动的能量 energy of simple harmonic motion 简谐振动的合成 superposition of simple harmonic motion
同在 x 轴 且 相同 合振动
用旋转矢量法求合振动的函数
合成初相 与计时起始时刻有关 与计时起 分振动初相差 始时刻无关，但它对合成振幅 属相长还是相消合成起决定作用
续上
分振动 合振动
其中，合振幅
；
若
若
则
为合振幅可能达到的最大值
若 则
则
为合振幅可能达到的最小值
若
则
若
为其它值，则
处于
与
之间
例如
x1 A1 cos( t ) x2 A2 cos(t )
难点
o -A
x A o -A A A/2 o -A x

j 0
T t
o
A
A/2
x
j 3 t T
简谐振动的
曲线
0.04
1 0.04 2
完成下述简谐运动函数

A = 0.04 (m) T = 2 (s)
v0
t=0 A =/2
= 2 / T = (rad /s )
0.04


2
A 从 t = 0 作反时针旋转时