晶面指数
第二章 晶向指数和晶面指数333
一组平行晶面的晶面间距d 列关系： 斜方晶系
hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下
d hkl
1 h k l a b c
2 2 2
四方晶系
d hkl
1 h2 k 2 l a2 c
2
立方晶系
d hkl
a h2 k 2 l 2
hu1 kv1 lw1 0 hu2 kv2 lw2 0
v1 w1 w1 v1 u1 v1
故:
h： k ： l v w ： v v ： u v 2 2 2 2 2 2
h : k : l (v1w2 v2 w1 ) : (w1u2 w2u1 ) : (u1v2 u2v1)
[0001], [1010], [1210], [0111]
4、求(1)由晶面(121)与[100]所决定的晶带轴指数
和(100)与(010)所决定的晶带轴指数.
(2) 由晶向[001]与[111]所决定的晶面指数 和[010]与[100]所决定的晶面指数.
5、已知室温下α-Fe的点阵常数为0.286nm， 分别求（100）、（110）、（123）的晶面间距。
[110] [1120]
● 不同晶轴中晶向指数和晶面指数转换
六方晶系按三轴晶系和四轴晶系所得的 晶面指数和晶向指数可相互转换
晶面指数: (hkil) →(hkl)
晶向指数: [uvtw] → [UVW] U=u-t，V=v-t，W=w
(i=-(k+l)
u=1/3(2U-V)，v=1/3(2V-U)，t=-(u+v)，w=W
4 i
(1 1 00)
(1 1 02)
( 2110 ) (10 1 2)
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
晶面指数
C D
B
A
o
4
晶向族——晶体中因对称关系而等同的各组晶向为一个
晶向族<uvw>
<111>
5
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
晶向族？ <100> <110> <111>
6
2.1.2.2 晶面指数的标定
步骤：
2.1 晶体学基础 2.1.1空间点阵和晶胞 2.1.2 晶向指数和晶面指数
(1)在点阵中设定参考坐标系，不能将
( 1 ) 回转对称轴
3次轴
简单立方晶体 <111>
38
2.1.3 晶体的对称性
2.1.3.1 对称元素
a.宏观对称元素
2.1 晶体学基础 2.1.1空间点阵和晶胞 2.1.2 晶向指数和晶面指数
( 2 ) 对称面
晶体通过某一平面作镜像反映而能复 原，则该平面称为对称面或镜面，用符号 m表示。
对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分 面或者为多面角的平分面，且必定通过晶 体几何中心。
50
b.微观对称元素
（2） 螺旋轴
回转轴+平移=螺旋轴
由回转轴和平行于该轴的平移
所构成。晶体结构可绕此轴转 360°/n同时沿轴平移一定距离 而复原，此轴称为n次螺旋轴
点1绕轴转360°/3= 120°，沿 轴平移c/3至点2，晶体复原，此 轴称为3次螺旋轴
左（右）旋: 左(右)手四指指向螺旋线旋转方向 左旋 左(右)手拇指指向螺旋线前进方向 下移
39
2.1.3 晶体的对称性
2.1.3.1 对称元素
a.宏观对称元素
( 2 ) 对称面
与m对应的对称 操作是反映
晶面指数_六方晶系的晶面指数标定
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
2
得出： d110 =0.41nm, d200=0.37nm
（4）衍射方向（衍射角θ）的确定
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
h2 ＋ k2 ＋ l2 1 h2 k 2 l 2 ＝ 2 2 2 2 a2 d a b c d＝/（2sin） 4a2 已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长，可确定衍射方向； 反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的 大小、形状。【物相分析】 ∴ sin2 ＝ 2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
a、b、c为晶胞参数
[ 了解 ]
单斜
1 h2 k2 l2 2hl cos 2 2 2 2 2 2 d hkl a sin b c sin ac sin 2
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
在材料科学中的应用
材料性能预测
通过晶面指数，可以预测材料的某些性能，如硬度、热导率、电导率等。不同晶面在不同程度上影响材料的性能， 因此了解晶面指数对材料性能的影响有助于材料的设计和优化。
材料合成与制备
在材料合成与制备过程中，晶面指数的标定可以帮助确定最佳的合成条件和制备工艺，从而获得具有特定性能的 材料。
03
晶面指数通常由一组数字表示，这些数字代表了晶 体中原子或分子的相对位置和排列。
晶面指数的表示方法
晶面指数通常用符号“hkl”表示，其 中h、k、l分别代表三个方向的晶格常 数。
在六方晶系中，晶面指数的表示方法 略有不同，通常用符号“αβγ”来表 示，其中α、β、γ分别代表三个方向 的晶格常数。
根据六方晶系的特性，应用特 定的计算规则得出晶面指数。 例如，对于(100)晶面，其指数 为[0001]；对于(110)晶面，其 指数为[1-100]；对于(111)晶面， 其指数为[11-1]。
03
晶面指数标定方法
标定原理
晶体结构
六方晶系晶体具有特定的晶体结构，晶面指数标定是确定晶体结 构的重要步骤。
六方晶系的特点
01
六方晶系是一种常见的晶体结构，其特点是晶体中的原子或分 子呈六方排列。
02
六方晶系具有三个相互垂直的轴，分别是a轴、b轴和c轴，每个
轴上都有相应的晶格常数。
六方晶系中的晶面指数表示方法较为特殊，需要特别注意。
03
02
六方晶系晶面指数计算
晶面指数计算规则
确定晶轴
首先需要确定晶体的晶轴，通常选择 三个相互垂直的晶轴，分别为a、b、 c轴。
在其他领域的应用
表面工程与处理
在表面工程与处理领域，晶面指数的 标定可以帮助了解材料的表面性质和 行为，如表面能、润湿性、吸附性能 等，从而优化表面处理工艺。
晶向指数和晶面指数
晶向指数和晶面指数为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
1.晶向指数晶向指数的确定步骤如下：1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。
2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。
3)在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。
4)将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指数。
2.晶面指数晶面指数标定步骤如下：1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；3)取各截距的倒数；4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为( h k l )。
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。
另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。
3. 六方晶系指数六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，这时取a1，a2，c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴与a1，a2轴相垂直，如图2.13所示。
但这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系的对称性，为了更好地表达其对称性，根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l)四个指数来表示。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。
前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述（见图2.14），晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
材料科学基础第一章晶面和晶向指数
• 顶点到面心方向<112>：
[112]、[112]、[1 1 2]、[1 12] [121]、[12 1]、[121]、[1 21] [211]、[21 1]、[2 1 1]、[211]
§1-6 六方晶系的晶面和晶向指数
一、晶面指数
c
E
D
F A
C B
E’ F’
A’ a
D’
C’ b
B’
首先用三指数来表示六方晶胞 的六个侧面：
Total: 12
{123} (123) (1 23) (123) (123) (132) (1 32) (132) (132) (231) (231) (231) (23 1) (213) (213) (2 1 3) (213) (312) (312) (3 1 2) (312) (321) (321) (321) (32 1) Total: 4×3！=24
如何定义面密度和面堆积密度？
面密度
晶面上原子数 晶面面积
(010)
1 (0.334nm)2
8.961014
atoms/cm2
面堆积密度
晶面上原子所占面积 晶面面积
(010)
1 ( r2 )
(2r)2
0.79
（020）面？
由于（020）面上没有原子，所以（020）面的面 密度和面堆积密度都是0。
(3). c 轴：[0001]
六方晶系的晶向的确定方法：
Fc E
• 另外一些特殊的晶向：
D
B
可以由简单的晶向求出，如：
AB AC CB [1100] [0001] [1101] a3
O
C a2
[2110] a1
A [1010] [1120 ]
晶面间距和晶面指数的关系-概述说明以及解释
晶面间距和晶面指数的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述晶面间距是研究晶体结构和性质的重要参数之一，而晶面指数则是描述晶体晶面排列规律的指标。
晶面间距和晶面指数之间存在着密切的关系。
在晶体中，晶面是由原子或者离子按一定的排列顺序组成的。
晶体中的每个原子或者离子都占据了晶体的一个晶胞，而晶面间距则是指相邻两个晶面之间的距离。
通常情况下，晶面间距可以通过测量晶体的晶胞参数来进行计算。
而晶面指数是一种用来描述晶面排列规律的参数。
晶面指数是用一组整数表示晶面与晶轴或平面之间的交点坐标的比值，它可以反映出晶面在晶体中的位置和排列方式。
根据晶面的倾斜和晶面之间的夹角关系，可以用晶面指数来描述晶体晶面的倾斜程度和晶面之间的空间排列关系。
晶面间距和晶面指数之间存在着一定的关系。
晶面间距与晶面指数的关系可以通过晶体的晶胞参数和晶面的倾斜情况来推导和计算。
晶面间距的计算需要考虑晶体的晶胞参数和晶面的倾斜情况，而晶面指数的计算则依赖于晶面在晶轴或者平面上的交点坐标。
研究晶面间距和晶面指数的关系对于理解晶体的结构和性质具有重要的意义。
通过对晶面间距和晶面指数的研究，可以揭示晶体中原子或离子的排列规律，进而解释晶体的物理和化学性质。
此外，晶面间距和晶面指数还可以用于晶体的鉴定和表征，在材料科学和矿物学等领域有着广泛的应用。
综上所述，本文将重点探讨晶面间距和晶面指数的关系，通过详细介绍晶面间距和晶面指数的定义与计算方法，进而深入研究晶面间距与晶面指数之间的联系和相互影响。
最后，将对晶面间距与晶面指数的关系进行总结，并展望其在晶体研究中的未来应用前景。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织结构进行说明，列出各个章节的标题和内容简介。
下面是文章结构部分的一个例子：1.2 文章结构本文将以晶面间距和晶面指数之间的关系为主题展开讨论。
文章主要分为以下几个部分：2.正文2.1 晶面间距的定义与计算方法本部分将介绍晶面间距的定义以及如何计算晶面间距。
110和112晶面指数
110和112晶面指数
【原创实用版】
目录
1.110 晶面指数的定义和性质
2.112 晶面指数的定义和性质
3.110 和 112 晶面指数的应用领域
4.110 和 112 晶面指数的计算方法
5.110 和 112 晶面指数的结论和展望
正文
1.110 晶面指数的定义和性质
110 晶面指数，又称为晶面取向，是由三个整数（h, k, l）来表示晶体中的特定平面。
在晶体学中，110 晶面指数是一个重要的概念，它能够描述晶体结构的特征，以及晶体在不同方向上的性质。
2.112 晶面指数的定义和性质
112 晶面指数与 110 晶面指数类似，也是由三个整数（h, k, l）来表示晶体中的特定平面。
112 晶面指数描述了晶体在不同方向上的结构特征，对于研究晶体的性质和应用具有重要意义。
3.110 和 112 晶面指数的应用领域
110 和 112 晶面指数广泛应用于材料科学、晶体学、半导体技术等领域。
在材料科学中，晶面指数对于研究材料的力学性能、磁性、光学性能等方面具有重要作用。
在半导体技术中，晶面指数可以影响材料的电学性质，进而影响器件的性能。
4.110 和 112 晶面指数的计算方法
计算 110 和 112 晶面指数的方法通常采用晶体结构的对称性和空
间群理论。
具体步骤包括：首先确定晶体的空间群，然后根据空间群的对称性确定晶体中的特定平面，最后用三个整数（h, k, l）表示该平面的晶面指数。
5.110 和 112 晶面指数的结论和展望
110 和 112 晶面指数是描述晶体结构的重要参数，对于研究晶体的性质和应用具有重要意义。
晶面指数-六方晶系的晶面指数标定
O
Y
●
X
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。
• 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
1 d2
hkl
h2 a2
k2 b2
l2 c2
a、b、c为晶胞参数
单斜
[ 了解 ]
1 d2
hkl
h2 a 2 sin 2
k2 b2
l2 c2 sin 2
2hl cos ac sin 2
三斜
1
1
d
2 hkl
(1 2 cos cos
cos
cos2
cos2
六角晶体的晶面指数
六角晶体的晶面指数六角晶体是一种具有六个等边三角形晶面的晶体结构。
它的晶面指数可以用来描述晶体的晶面方向和倾斜程度。
在本文中，我们将探讨六角晶体的晶面指数及其相关性质。
让我们来了解一下晶面指数的概念。
晶面指数是用来表示晶体表面的一组数字，它们代表了晶体中原子排列的方向和间距。
对于六角晶体而言，晶面指数由三个整数(hkl)表示，其中h、k、l是与晶面平行的轴上的截距。
这些整数可以是正、负或零，代表了晶面与轴的交点位置。
六角晶体的晶面指数具有一些特殊的性质。
首先，六角晶体的晶面指数中的任意两组(hkl)和(h'k'l')之间存在一种特殊的对称关系。
这种对称性使得六角晶体的晶面指数具有一定的规律性，可以通过一组晶面指数推导出其他相关的晶面指数。
六角晶体的晶面指数还可以用来确定晶体的晶面间距。
晶面间距是指晶体中相邻晶面之间的距离，它与晶面指数之间存在一种简单的数学关系。
通过计算晶面间距，我们可以了解晶体中原子的排列方式以及晶体的结构特征。
六角晶体的晶面指数还可以用来确定晶体的晶面倾斜角度。
晶面倾斜角度是指晶体中相邻晶面之间的倾斜程度，它与晶面指数之间也存在一种数学关系。
通过计算晶面倾斜角度，我们可以了解晶体中晶面的排列方式以及晶体的对称性。
总结起来，六角晶体的晶面指数是描述晶体晶面方向和倾斜程度的重要参数。
它们可以用来推导晶体的其他晶面指数，确定晶体的晶面间距和倾斜角度，进而揭示晶体的结构特征和对称性。
通过深入研究六角晶体的晶面指数，我们可以更好地理解晶体的性质和行为，为材料科学和晶体学领域的研究提供重要的理论基础。
希望本文对您对六角晶体的晶面指数有所帮助，谢谢阅读！。
六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶向指数
设晶向指数在三轴坐标系 [UVW] 用三轴坐标，则R=Ua1+Va2+WC （1） 四轴坐标系中为[uvtw]
在平面上表示一个点只用两个坐标，则
u+v+t=0 t=-(u+v) a1+a2+a3=0
(2) （3）
任一晶向中为 ua1+va2+ta3+wC （4）
六方晶系的晶向指数
（3）式代入(4)，得到晶向的四轴指数
OR=ua1+va2-t(a1+a2)+wC
在W平=面w上表示一（个6点）只用两个坐标，则
） =(u-t)a1+(v-t)a2+wC [采[将取bU采四U晶用[六O-（六采四晶 a根四[UUW11UUUU晶====R,用（a用轴面三方3个用轴面据轴+1uuuu==VVVV）1面a,----a1a坐 指 轴 晶 柱 a坐 指立 坐∞u、tttt2WWWW1）的1式1aw,+∞标数坐系面标数 体标;;;;、a、、1a式晶代2,]]]]+VVVV3系上标的的系上 几系aaa、====v=[面入222====a中不，晶指中不 何中0t、C、、2=vvvv指(----4-为-为能则面数为能 ，为aaat()（tttt数(u，333a晶明指可明 在[R[[+uuu及及及；；；；16：=v得vvv轴确数确确 三+）)UtttCCC（awww到],表和定表 维a四四四2代a]]]11)晶1示晶为示空+个个个0+入、w0V向等向等 间晶晶晶（）Caa的（22同指同 中轴轴轴6+夹）四3W晶数晶 独aaa）角式轴111C面面 立、、、1，指的2（aaa0得数222坐º1，、、、）标Caaa轴333⊥之之之不a间间间1会，的的的超C夹夹夹过⊥角角角三a2均均均个为为为，111可222000证ººº明
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如何确定晶面指数
首先确定该晶体属于何种晶系，然后找出对称型，再确定晶轴，然后根据各晶面与晶轴在空间的相交方位判断晶面符号
晶面指数标定步骤如下：
1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；
2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；
3)取各截距的倒数；
4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为( h k l )。
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。
另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h、k、l 均为奇数，则
；否则，。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h+k+l=偶数，则
；否则，。