高中数学巧学巧解大全

高中数学巧学巧解大全

第一部分 高中数学活题巧解方法总论

一、代入法

若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2

x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点

),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围

成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；

【巧解】联立2

x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)2

5

,21(Q ，

设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则2

25,221t y s x +=+=， 即25

2,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，

∴2)212(252-=-x y 化简可得8

112

+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，

且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即45

41<<-x ，

∴中点M 的轨迹方程为8112

+-=x x y （4

541<<-x ）.

【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双

曲线12

2

=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，

定点M )0,(1

m 。 过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在的曲线方程。

【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22

221x y -=，（1）垂

线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110

y y x x x y -=-+⎧⎨

-=⎩得垂足1111

(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y

所以111111

11()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩

解得1139341934

x y m x y x m y ⎧

--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩

由22

111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m

--+-=

即2212

()39

x y m --=为重心G 所在曲线方程

巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线

02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B

两点.，求△APB 的重心G 的轨迹方程.

巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为

2

3

的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求点M 的轨迹方程

二、直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项

特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

【例1】（2009年高考全国II 卷）已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x C 的右焦点为F ，

过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。若FB AF 4=，则C 的离心率为（ ）

（A ）

5

6

（B ）

5

7 （C ）

5

8 （D ）

5

9 【巧解】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(c F ，由FB AF 4=，得),(4),(2211y c x y x c -=-- ∴214y y -=，设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=

3

，

由⎪⎩

⎪⎨⎧

=--+=03

222222b a y a x b c y x 消去x 得：032)3(422

22=++-b y c b y a b ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y ， 将 214y y -=代入得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=---=-224

222222334)3(363a b b y a b c

b y 化简得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--

=-=)3(43)

3(32224222222a b b y a b c

b y ，∴)3(43)3(342

2422224a b b a b c b --=-， 化简得：)3(9)3(9162

2

2

2

2

2

a c a

b a

c +-=-=，∴223625a c =，25362=

e ，即5

6=e 。 故本题选（A ）

【例2】（2008年，四川卷）设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若

2)1(=f ，则=)99(f （ ）

（A ）13

（B ）2

（C ）

2

13

（D ）

13

2 【巧解】∵)(13)2(x f x f =

+，∴)()

(1313

)

2(13)4(x f x f x f x f ==+=

+