19.3.3一次函数与二元一次方程(组)的关系
《一次函数与二元一次方程的关系》PPT
2 b=----.
探究学习二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
x+y=1
1、解方程组
-x+y=1
2、在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和 y=-x+1的图像。
y=-x+1
y
7 y=x+1
6 5 4 3
2
1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
-1
x+y=1 -x+y=1
2x+y=4 ①
x
2x-3y=12 ②
解： 由①得: y 2x 4
由②得: y 2 x 4 3
o
作出图象：
观察图象得：交点为(3,-2)
∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=2/3x - 4 y
y=-2x+4
巩固提高题
乘坐智慧快车
老师为了教学，需要在家上网查资料。电信公司 提供了两种上网收费方式：
21.5 一次函数与二元一次方程的关系
学习目标：
1、理解一次函数与二元一次方程的关系 2、理解一次函数与二元一次方程组的关系
探究学习一： 探究一次函数与二元一次方程的关系
1、二元一次方程y-x=1有多少个解？你能
写出方程的几组解吗? PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
二元一次方程(组)与一次函数(基础)知识讲解
二元一次方程（组）与一次函数（基础）【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】【高清课堂：391660 一次函数与一次方程（组），知识要点】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a c y x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知3=x ，2-=y 和0=x ，1=y 是二元一次方程03=++by ax 的两个解，则一次函数b ax y +=的解析式为（ ）A.、32--=x y B 、x y = C.、3+-=x y D 、 33--=x y【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P （﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x ，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax ﹣6过点P （﹣4，﹣2），则关于x 、y 的方程组的解是 ．【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。
19.3.3 一次函数与二元一次方程(组 公开课一等奖课件
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
总结1：两个一次函数图象的交点坐标↔二元一次方程组的解． 再想想：不通过画图象你能求出直线y＝3x＋9与直线y＝2x－7的交点坐标吗？ 让学生先思考再进行讨论． 师：前面讲过，两条直线的交点坐标就是方程组的解，如果我们能先求出方程 组的解，它不就是两直线的交点坐标嘛．
学生悄然大悟，连连点头．
让学生自己写出求解过程． 总结2：二元一次方程组的解↔两个一次函数图象的交点坐标．
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
一次函数与二元一次方程(组)的关系
用方程 解 行程问题
A、B 两地相距150千米，
1 时后乙距A地
甲、乙两人骑自行车分别从A、
120千米,即乙的速
B 两地同时相向而行。假设他 叶费扬
度是 30千米/时
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
方程X＋Y＝5与函数Y＝－X＋5有何联系？
以方程X＋Y＝5的解为坐标的点组成 的图象与一次函数Y＝5－X的图象相同。
知识源于悟
益智的“机会”
师:通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与一次 函数图象的关系吗?
生:二元一次方程的解就是一次函数图象的点的 坐标;一次函数图象上的点的坐标就是二元一次 方程的解.
4
-3
2
-O 1
-1 -1
2
3
4
x
｛ x+y=5
x=2
的解
2x-y=1
y=3
2)交点坐标(2,3)与方程组
-2 -3 4-
X=Y=5的； 解有什5 么关系？
2X-Y=1。
｛ ｛ 方程组 X=Y-5； 的解是
X=2；
2X-Y=1。
Y=3。
在同一直角坐标系中一次函数Y=5-X 和Y=2X-1的图象有交点，交点坐标是 （2，3）。
100
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
80
问 经过多长时间两人相遇 ?
60
图象表示
l2
l1
徐立峰 可以分别作出两人 s 与t 之间的关系图象， 找出交点的横坐标就行了！
你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做， 看看和你的结果一致吗？
一次函数与二元一次方程的关系
二元一次方程组与一次函数 1 （导学案 ）超化二初中 崔松敏学习目标：1、知道二元一次方程（组）与一次函数关系.2、能根据一次函数图像求二元一次方程组近似解.3、经历探索新知过程，体会数形结合思想，提高归纳概括能力.学习重点：1、二元一次方程和一次函数的关系.2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.学习难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.学习过程：复习引入新课解下列二元一次方程组：（1） ⎩⎨⎧=-=+123242y x y x （2）⎩⎨⎧=+=-732123y x y x 探究新知：学生看课本P 238----239 的内容，5分钟后，1.自主解决：（若不能独立解决，可以俩人商量解决）（1）你们能否将方程转化为一次函数的形式呢？如果能，请你在平面直角坐标系中画出它的图象。
（2）直线上任意一点的坐标一定是方程的解吗？是否任意的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式呢？是否所有直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解呢？（3）在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x 和y=2x －1的图像，这两个图像有交点吗？交点的坐标与方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解有什么关系？你能说明理由吗？2.小组合作解决：（1）二元一次方程与一次函数有什么关系？（2）二元一次方程方程组与一次函数有什么关系？解二元一次方程组的方法有哪几种？（3）有图像法解二元一次方程组的解题步骤是什么？(4）有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？一次函数y=2－x ，y=5－x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？ 学生展示后教师点拨：(1)以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=-bc x b a +的图像相同。
(2)二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可看做两个二元一次函数y=-1111b c x b a +和y=-2222b c x b a +的图像的交点。
一次函数和二元一次方程的关系
21.5 一次函数和二元一次方程的关系教材分析：直角坐标系是联系代数和几何的桥梁，是数形结合思想的典型体现，本节主要是学习把数量关系（方程）用几何图形表示出来，初步感受利用直角坐标系解二元一次方程组。
教学建议：1．本节对于“二元一次方程组的解(x，y)对应的点都在一条直线上”及“这条直线上的点的坐标确定的数对都是该方程组的解”应当通过描点、观察获得，这是一种感性认识，并不要求学生把它作为理论来掌握。
因此，在教学中应注重指导学生观察，经历感性认识的过程。
2．例题的教学应当正面讲解思路，不必要求学生动手做，可按以下过程展开：(1)分析总体思路：两个方程的解对应的点分别在两条直线上，作出这两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，所以是方程组的解。
(2)具体步骤：①可以提问——几个点能确定一条直线?(学生会答出：2个)那么需要取方程的几组解可以作出这2个点?②说明方程组的解的选取原则应该简便、易算且描点方便、连线准确(若取的两点太近，则连线会误差较大，例如，(0，0)与(15，10)就太近)。
通过例题的教学，使学生初步了解利用直角坐标系解二元一次方程组的过程。
教学设计思想：通过学习用画图的方法求二元一次方程组的解，进一步体会二元一次方程（组）的解与点的坐标的关系，从“数”——二元一次方程（组）的解与“形”——直线，两方面结合，进一步树立数形结合的意识和能力。
重点：根据平面直角坐标系求二元一次方程（组）的近似解难点：准确画图，使近似解的误差尽量变小教具：多媒体课件教学目标：1、表述二元一次方程与直线的关系；2、用观察的方法认识二元一次方程组的解（x,y）在直角坐标系中对应的点都在一条直线上；3、能根据平面直角坐标系求二元一次方程（组）的近似解教学设计：先看具体例子．对于二元一次方程x＋y=0，可以求出它的一些解并列表如下：x －3 －1 0 1 3 4y 3 1 0 －1 －3 －4按(x，y)组成有序实数对：(－3，3)，(－1，1)，(0，0)，(1，－1)，(3，－3)，(4，－4)．在直角坐标系中，描出以这些有序实数对为坐标的点。
一次函数与二元一次方程的关系
21.5一次函数与二元一次方程的关系 一、学习目标：⒈体会一次函数与二元一次方程的关系． 2.感悟数学知识之间的内在联系3.认识到通过建立两个变量的一次等式（即二元一次方程），就可以得到他们之间的一次函数关系。
二、预习导学 【知识回顾】： 1、看图回答下列问题 当x_____________时，y 1＞y 2； 当x_____________时，y 1＝y 2； 当x_____________时，y 1＜y 2；三、自主探究【活动一】二元一次方程与一次函数的关系。
同学们想一想，动手做一做 ⑴方程5=+y x 的解有多少个？写出其中的几个．⑵在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，你认为这些点在一条直线上吗？ 如果在一条直线上，它们在哪条直线上？请说明理由。
⑶在一次函数x y -=5的图象上任取一点，它的坐标适合方程5=+y x 吗？⑷以方程5=+y x 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数x y -=5的图象相同吗？【活动二】1.二元一次方程2x －y=1可以转化为y=___________. 想一想：（1）是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？（2）将关于x 、y 的二元一次方程ax by c +=转化为y=__________________。
2、在坐标系中画出一次函数y=2x －1的图象.想一想：1）直线y=2x －1上任意一点（x ，y ）一定是方程2x －y=1的解吗？____________。
（2）是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解？____________。
【小结1：】.【活动三】二元一次方程组与一次函数的关系。
1、在同一坐标系中画出3855y x =-+，观察它与y=2x －1的交点坐标为（_____，_____）； 2、方程组35821x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是x y =⎧⎨=⎩想一想：交点坐标是方程组的解吗？为什么？ 3、当自变量x=_______时，函数3855y x =-+与y=2x －1的值相等，且此时函数值为______。
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用函数方法解答如何选择计费方式更省钱 解：方式一费用： y1 = 0.3x + 30
方式二费用： y2 = 0.4x
当 x = 400分时，y1 =y2 ， 方式一方式二一样 当 x >400 分时，y1＞y2 ，方式二省钱 当 0≤x＜400分时，y1＜y2 ，方式一省钱
2 b=----.
探究学习二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
x+y=1
1、解方程组
-x+y=1
2、在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和 y=-x+1的图像。
y=-x+1
y
7 y=x+1
6 5 4 3
2
1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
-1
x+y=1 -x+y=1
21.5 一次函数与二元一次方程的关系
学习目标：
1、理解一次函数与二元一次方程的关系 2、理解一次函数与二元一次方程组的关系
探究学习一： 探究一次函数与二元一次方程的关系
1、二元一次方程y-x=1有多少个解？你能
写出方程的几组解吗? PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
一次函数与二元一次方程式的关系
一次函数与二元一次方程式的关系作者：洪飞来源：《初中生之友·中旬刊》2010年第12期一个二元一次方程组对应两个一次函数，也对应着两条直线，从“数”的角度上看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这时函数值是多少；从“形”的角度上看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标,如一次函数y=-2x+4与y=x-图像的交点为（3，－2），则x=3，y=-2。
就是二元一次方程组2x+y=4，3x-2y=13。
的解，反之也成立。
例1 在同一个坐标系内表示方程y=k1x+b1，y=k2x+b2的直线的图像l1、l2如图1所示，则方程组y=k1x+b1，y=k2x+b2。
的解是（）。
A.x=-2y=2B.x=-2y=3C.x=-3y=3D.x=-3y=4因为二元一次方程的解在坐标系中表示为一直线上所有的点，所以我们可把l2向左上方延长，如图2所示，则l2与直线l1的交点坐标为（－2，3），所以（－2，3）即为方程组y=k1x+b1，y=k2x+b2。
的解，答案选B。
点（－2，3）是l1、l2的交点，所以点（－2，3）既在l1上，又在l2上，所以x=-2，y=3。
既满足方程y=k1x+b1，又满足方程y=k2x+b2。
例2 k为何整数时，函数y=-x++与函数y=-x+的交点位于第四象限?并求出此时k为正整数时，两直线与x轴所围成的三角形的面积。
求两条直线的交点坐标，就是解由其解析式组成的二元一次方程组。
解方程组y=-x++，y=-x+。
得x=，y=。
∴两直线的交点坐标为（，）。
又∵这个交点在第四象限，∴＞0，＜0。
解得-＜k＜2。
∵ k为整数，∴ k＝－1，0，1时，两直线的交点位于第四象限。
当k为正整数时，k=1。
此时，两直线分别为：y=－x+和y=－x+。
其交点坐标为C（，-），且这两条直线与x轴的交点坐标分别为A(，0)和B（，0）。
∴ AB＝。
∴ S△ABC＝•AB•-＝。
例3 两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图3中给出的数据信息，解答问题：（1）求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度。
探索一次函数和二元一次方程(组)的关系。
一、授课背景1．按初中新课程标准教学的要求，开展探究性学习。
2．时逢珠海市教材改革——新人教版的第三年，打破传统教学模式，把枯燥的数学结合多媒体变成形式多样，生动形象的多元化学习模式。
这些都是新教材改革的宗旨。
二、教学思想与理念本教学设计是一个在传统教材中没有出现、而在新人教版新增内容下的教学设计。
课程教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的学习起引导、帮助和促进作用。
课程以活动为核心驱动学习，调动学生积极性，主动学习，引导学生多思考，发动学生多讨论，鼓励学生多动手，让学生在活动和问题中寻求数学知识和结论，并在问题中得以运用、解决。
数形结合是数学的重要思想。
一次函数与二元一次方程正是通过函数图象有机的结合，体现其思想的精髓。
本人用分组活动，让学生在自己的探究中发现二元一次方程的解和一次函数图象上的点两者之间的关系，从而得出相关结论。
接着进一步探索二元一次方程组的公共解和一次函数图象的交点之间的关系。
最后，引导同学们利用这种关系，用函数图象解方程组。
本教学设计从学生角度出发，创设主动学习的环境、研究性学习的情景、协作学习的气氛，引导学生自主探索和开展协作学习，并在老师的帮助下完成教学目标，达到培养学生自主学习能力、提高学生对数学兴趣的目标。
三、教材分析本节课内容是初中义务教育课程标准实验教科书“《数学》八年级上册（人民教育出版社出版）第十一章第三节的内容。
”本节课是学生在学习完一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的联系之后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，是对一次函数及其相关内容更深入更全面的学习。
课本安排了两个内容：一是探索一次函数与二元一次方程（组）关系，二是综合运用函数、方程和不等式来解决实际问题。
由于学生已经具备了初步的数形结合的思想解决问题的能力，因此我在引导学生得到一次函数与二元一次方程（组）关系的基础上，让学生自己从数和形两个角度去探究一次函数与解二元一次方程组的关系。
一次函数与二元一次方程的关系
6.4 一次函数与二元一次方程的关系教学目标1、初步理解二元一次方程与一次函数的关系2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 教学过程（一） 创设情境，1．方程x+y=5的解有多少个？0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩是这个方程的解吗？ 2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y ＝5+-x 的图像上吗？3．在一次函数y=5+-x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？4．以方程x+y =5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y =5+-x 的图像相同吗？（二）探索新知 例1 （1）．解方程组5,2 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）．上述方程移项变形转化为两个一次函数y=5+-x 和y=2x 1-,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像．（3）．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？例2 （1）你能求出方程组321643x y x y -=⎧⎨-=⎩的解吗？将方程组内的两个方程移项变形为两个一次函数，并在坐标系内分别作出这两个函数的图像，你有什么发现？（2）你能求出方程组321642x y x y -=⎧⎨-=⎩的解吗？将方程组内的两个方程移项变形为两个一次函数，并在坐标系内分别作出这两个函数的图像，你有什么发现？（3）你能求出方程组321662x y x y -=⎧⎨-=⎩的解吗？将方程组内的两个方程移项变形为两个一次函数，并在坐标系内分别作出这两个函数的图像，你有什么发现？ （4）你能用函数的观点分析一下二元一次方程组的解的情况吗？（三）拓展应用例3（2008河北)如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．四、巩固练习：1、 如果点（－１，a ）在一次函数3+-=x y 的图像上，那么二元一次方程3=+y x 的一个解是⎩⎨⎧=-=_____1y x2、以方程的3x-y=2解为坐标的所有点都在一次函数 的图像上．3、方程组⎩⎨⎧-=--=+22142y x y x 的解是下面哪两个一次函数图象的交点（ ）A.4121-=x y 和121-=x y B. 4121--=x y 和121+=x y C. 4121--=x y 和121-=x y D. 4121-=x y 和121+=x y4、方程组 ⎩⎨⎧=+=+12335y x y x 无解，由此可知一次函数y=-x+5与y=-x+4的图像（ ）A.相交B.重合C.平行D.无法判断5、 如图，直线1l 与2l 的交点坐标是6、 图中的两条直线1l ，2l 的交点坐标可以看做方程组 的解7、 用作图像的方法解方程组22,2 2.x y x y -=-⎧⎨-=⎩8、已知等腰三角形周长为20,写出底边长y 关于腰长x 的函数解析式(x 为自变量),并写出自变量取值范围,画出函数图象.9、已知A(8，0)及在第一象限的动点P(x ，y)，且x+y=10，设△OPA 的面积为S 。
一次函数与二元一次方程的关系
叫2-3名学生交流学习收获。
坦诚交流自己学习收获。重申重点知识。
通过学生谈收获了解学生本节课学习情况，以便及时反思教学中的得与失。
2
1/2x+1/3y=6
提出问题。指出学习目标：今天我们要从这两个问题着手来探究一次函数与二元一次方程（组）的关系。
产生求知欲望，交流预习时自主探索结果。
通过设置问题1,，帮助学生体会二元一次方程与一次函数的对应关系；通过问题2帮助学生感受一次函数退图象上的点与二元一次方程的解的对应关系，为探究二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系做好铺垫。
一次函数与二元一次方程（组）教学设计
教学内容
冀教版八年级数学下册P106-P108
授课年级
八年级
教学时数
1课时
备课教师
张玉娟
课题
一次函数与二元一次方程（组）
课型
问题解决课
教学目标
知识与技能
1、理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系。
2、会用画图象的方法解二元一次方程组。
过程与方法
通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数观点去认识问题的方法。
从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。
小组代表发言，展示讨论结果
通过两个问题的探讨，从数与形的角度去认识一次函数与二元一次方程组的关系。
8
巩固练习当堂检测
巩固练习
1. 看图像解方程组
方程组
的解是,由此可知,一次函数y=2x-1与y=-3x+4的图象必有一个交点,且交点坐标是。
2.由方程的图像
（2）任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数的形式吗？一定有一条直线与这个二元一次方程对应吗？该直线上的任意一点的坐标都是这个二元一次方程的解吗？
一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与二元一次方程(组)［要点再现］一般地，每个二元一次方程组都对应两个 ，于是也对应两条 。
从“数”的角度看，解方程组相当于 ；从“形”的角度看，解方程组相当于 。
因此，一次函数与二元一次方程（组） 有密切的联系。
［基础闯关］1． 请在同一直角坐标系内作出一次函数32+-=x y 与正比例函数x y 2=的图象，直线32+-=x y 与直线x y 2=的交点坐标是 _______，方程组 ⎩⎨⎧=+-=x y x y 232的解是______，你能从中“悟”出些什么？ 2． 右图中的两条直线1l 、2l 的交点坐标是 ，可以看作方程组的解。
3． 右图中两条直线1l 和2l 和交点坐标 可以看作下列方程组中（ ）的解。
（A ）⎩⎨⎧+=+=212x y x y （B ）⎩⎨⎧-=+-=533x y x y（C ）⎩⎨⎧-=+-=112x y x y （D ）⎩⎨⎧-=+=513x y x y4.如图, 直线42-=x y 和直线13+-=x y 交于一点, 则方程组⎩⎨⎧=+=-1342y x y x的解是( ) A. x=0, y=1 B. x=0,y= -2C. x=1,y= -2D.x=2,y=04．利用函数图象解二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-5332y x y x［能力提升］1．如图所示，甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的A ，B 两地相向而行，s （千米）表示汽车与A 地的距离，t （分）表示汽车行驶时间，1l 与2l 表示两辆汽车的s 与t 的关系。
（1）1l 表示哪辆汽车到A 地的距离与行驶时间的关系？（2）汽车乙的速度是多少？ （3）2小时后，甲，乙两辆汽车相距多少千米？ （4）行驶多长时间后，甲、乙两辆汽车相遇？ （5）甲、乙相遇时，距A 地多远？列二元一次方程组1、以绳测井，若将绳三折测之，绳多一尺；若将绳四折测之，绳少一尺，绳长，井深各几何？2、用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？3、一、二两班共有110名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为90%，如果一班学生的体育达标率为95%，二班的达标率为84%，那么一、二两班的学生数各是多少？4、甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发2.5时作相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在早出发3时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？5、某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花住宿费1510元，两种客房各租住了多少间？6、小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数分别是多少？7、小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了16分，已知小颖在上坡上的平均进度是4.8千米/时，而她在下坡路上平均速度是12千米/时，小颖上坡、下坡各用了多长时间？8、某商店准备用两种价格分别为每千克18元和每千克10元的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是每千克15元，现在要配制这种杂拌糖果100千克，需要两种糖果各多少千克？。
一次函数与二元一次方程的关系
21.5一次函数与二元一次方程的关系学习目标1．理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系，能根据一次函数的图像求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集2．通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系重点：理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系。
难点：根据一次函数的图像求一元一次方程的解和一次不等式的解集，发展学生数形结合的思想和辩证思维能力。
相关知识链接：（1）2x －y=1是方程，可变形成y= 的形式，它是。
（2）二元一次方程2x －y=1有解。
以每一组解的x 的值为横坐标，y 的值为纵坐标描出的各点，这些点都都在函数的图像上。
反之，函数y=2x-1的图像上各点的横纵坐标都是方程2x －y=1的。
研学训练一：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。
1．在直角坐标系中画出一次函数y=2x －1的图像。
2.问题：1）解方程：2x-1=02）已知一次函y=2x-1，当 x=时，y=0？思考：这两个问题之间有何联系呢？3．观察图像可以看出，一次函数y=2x-1的图像与x 轴交点坐标为（21，0）,而21正是方程2x-1=0的解。
小结：任何一个一元一次方程都可以化简为kx+b=0的形式，所以解一元一次方程kx+b=0，都可转化为求函数 y=kx+b 中y=0时的x 的值。
从图像上看，就是一次函数y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标的值。
4. 根据上面一次函数y=2x-1的图像，你能说出一元一次不等式2x-1>0和2x-1<0的解集吗？当2x-1>0,就是函数y=2x-1中函数值y>0，观察图像可知，当图像在x 轴上方时y>0；同样地，图像在x 轴下方时y<0。
因为函数y=2x-1的图像与x 轴交于点（21，0）所以，要使y>0，即2x-1>0,应有x>21；要使y<0,即2x-1<0,应有x<21.小结：任何一个一元一次不等式都可化简为kx+b>0(或kx+b<0)的形式，所以一元一次不等式 kx+b>0 (或kx+b<0) 的解集就是使 y=kx+b 取正值（或负值）时x 的取值范围。
二元一次方程与一次函数的关系
第五章二元一次方程组教学目标是：（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；（2）会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组；（3）通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想.教学重点是：（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；（2）判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.教学难点是：从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.三、教学过程设计本节课设计了四个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：新课讲解，练习提高；第三环节：课堂小结；第四环节：布置作业.第一环节：导入（一）情境1实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程.这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程2-=，若x y老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：()+=-.x y121（二）情境2实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？仍请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言），老师注意引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程8x y+=和5334+=.x y在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚.目的：通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.设计效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.第二环节：新课讲解，练习提高内容：（一）二元一次方程概念的概括提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？从而归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程.教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：①含有两个未知数；②所含未知数的项的最高次数是一次.再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：1.下列方程有哪些是二元一次方程：（1）093=-+y x ，（2）012232=+-y x ，（3）743=-b a ，（4）113=-y x ，（5）()523=-y x x ，（6）152=-n m . 2.如果方程13221=-+-n m m y x 是二元一次方程，那么m ＝ ，n ＝ .（二）二元一次方程组概念的概括师提请学生思考：上面的方程2121()x y x y -=+=-， 中的x 含义相同吗？y 呢？（两个方程中x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x 、y 的含义分别相同.）由于x 、y 的含义分别相同，因而必同时满足2x y -=和()121x y +=-，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成()⎩⎨⎧-=+=-.121,2y x y x ，从而得出二元一次方程组的概念：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：⎩⎨⎧=-=+;03,332y x y x ⎩⎨⎧=+=+.8,835y x y x 注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习：判断下列方程组是否是二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+=-;1253,12y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+;53,12y x y x （3）⎩⎨⎧=+=-;153,37z y y x （4）⎩⎨⎧==;2,1y x （5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-;1283,52y x y x （6）⎩⎨⎧=+=-.325,132b ab b a （三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念1.6,2x y ==适合方程8x y +=吗？5,3x y ==呢？4,4x y ==呢？你还能找到其他x ,y 值适合8x y +=方程吗？2. 5,3x y ==适合方程5334x y +=吗？2,8x y ==呢？3.你能找到一组值x ,y 同时适合方程8x y +=和5334x y +=吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.由学生回答上面3个问题，老师作出结论：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.如x =6, y =2是方程x + y =8的一个解，记作⎩⎨⎧==2,6y x ；同样，⎩⎨⎧==3,5y x 也是方程8x y +=的一个解，同时⎩⎨⎧==3,5y x 又是方程5334x y +=的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例如，⎩⎨⎧==3,5y x 就是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+3435,8y x y x 的解. 然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程13=-y x 的解？（A ）⎩⎨⎧==;3,2y x （B ）⎩⎨⎧==;1,4y x （C ）⎩⎨⎧==;3,10y x （D ）⎩⎨⎧-=-=.2,5y x 2.二元一次方程2832=+y x 的解有：⎩⎨⎧==._____,5y x ⎩⎨⎧-==.2_____,y x ⎩⎨⎧=-=._______,5.2y x ⎪⎩⎪⎨⎧==.37_____,y x …… 3.二元一次方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2,102的解是（ ） （A ）⎩⎨⎧==;3,4y x （B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x （D ）⎩⎨⎧==.2,4y x 4.以⎩⎨⎧==2,1y x 为解的二元一次方程组是（ ） （A ）⎩⎨⎧=-=-;13,3y x y x （B ）⎩⎨⎧-=+-=-;53,1y x y x （C ）⎩⎨⎧-=+-=-;553,32y x y x （D ）⎩⎨⎧=+-=-.53,1y x y x5.二元一次方程6=+y x 的正整数解为 .6.如果⎩⎨⎧==2,1y x 是⎩⎨⎧=-=+n y x m y x 3,2的解，那么m ＝ ，n ＝ . 7.写出一个以⎩⎨⎧-==3,2y x 为解的二元一次方程组为 . （答案不唯一） 第三环节：课堂小结内容：1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值.目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.设计效果：本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与整理本节课的知识效果明显.第四环节：布置作业习题5.1第五环节：板书设计认识二元一次方程组1二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程.2二元一次方程组定义：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.3 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.。
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教学内容 知识与 技能 教 学 目 标
19.3.3 一次函数与二元一次方程(组)的关系 1． 学会利用函数图象解二元一次方程组。 2． 通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性。 1． 经历观察、 思考等数学活动， 发展合情推理能力， 能有条理地、 清晰地阐述观点。 2． 体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题 和解决问题，提高解决实际问题的能力。 3． 体会解决问题的策略 就来解决 这些问题。 提出问题，创设情境
个性化修改
二、 导入新课 引导学生思考，讨论，并试着用图象法解一下上面这个方程组， 检验是否确实是它的解。 你能归纳出图象法求解二元一次方程组的具体方法吗？ P97 例 3 归纳：通过以上活动，使我们清楚看到函数在解决变量关系问
题时的优越性，但在确定分界点位置时，又要借助方程来准确 求值。 联系以前所学方程（组） ，不等式与函数都是基本的数学模型， 它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决实际问 题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使 用。 练习 可用两种方法加以解决。 三、 课时小结 1． 一次函数与二元一次方程 (组)的关系。2.利用函数图象 解二元一次方程组。 四、 课后作业 习题 板书设计：一次函数与二元一次方程(组)的关系
板书设计
一次函数与二元一次方程(组) 的关系
课后反思
本节课，学生已经掌握二元一次方程（组）和一次函数的基础知识，在作 一次函数图象时，学生已建立初步的数（代数表达式）形（图象）结合的意识， 在此认知基础上， 教师在知识关键点上为学生创设合理的问题情境以调动学生 的内驱力。首先设计了一个具体问题，要求学生思考其具体解法，在解法的交 流中，必有学生不满足于图像解法的近似结果，因而需要寻求图象对应的代数 表达式，这样就十分自然地过粗到一次函数代数表达式的确定问题，然后再通 过一定的例、习题加以巩固。教学时始终以小组讨论为主，为学习过程中给学 生深刻的、充实的经历和体验为目的，体验丰富完整的学习过程。
过程与 方法
情 感 态 1． 积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲。 度 与 价 2． 养成实事求是的态度及独立思考的习惯。 值观 教学重点 3． 积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲。 4． 养成实事求是的态度及独立思考的习惯。 教学难点 教学准备 教学时间 灵活运用函数知识解决相关实际问题。
一课时
教学过程