新湘教版数学九年级上册课件：第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程
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湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
湘教版九年级数学 2.2 一元二次方程的解法(学习、上课课件)
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法学习Leabharlann 标1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的解（根） 直接开平方法 配方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的解（根）
知1－讲
概念
使一元二次方程左、右两边相等的未知数 的值叫作一元二次方程的解 . 一元二次方 程的解也叫作一元二次方程的根 .
知1－练
感悟新知
1-1.判断下列方程后面括号内的数是不是方程的解． 知1－练 (1) x2 － 5x － 6 ＝ 0(－ 1， 2， 6)； 解：当x＝－1时，x2－5x－6＝1＋5－6＝0，所以 x＝－1为方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝2时，x2－5x－6＝4－10－6＝－12≠0，所以 x＝2不是方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝6时，x2－5x－6＝36－30－6＝0，所以x＝6 为方程x2－5x－6＝0的解．
感悟新知
知2－讲
特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ◆不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ◆只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是
x2＝p中p ≥ 0.
感悟新知
例2 [月考·西安莲湖区]解方程： (1) 16x2 ＝ 25； (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0；
知2－讲
2. 方程x2＝p 的解(根)的情况： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1＝－ p，x2＝ p； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3)当p<0时，方程没有实数根.
感悟新知
知2－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤1：将方程变成左边是( ax+b) 2，右边是非负数的 形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无 实数根). 步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程. 步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为 一元二次方程的两个根.
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法学习Leabharlann 标1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的解（根） 直接开平方法 配方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的解（根）
知1－讲
概念
使一元二次方程左、右两边相等的未知数 的值叫作一元二次方程的解 . 一元二次方 程的解也叫作一元二次方程的根 .
知1－练
感悟新知
1-1.判断下列方程后面括号内的数是不是方程的解． 知1－练 (1) x2 － 5x － 6 ＝ 0(－ 1， 2， 6)； 解：当x＝－1时，x2－5x－6＝1＋5－6＝0，所以 x＝－1为方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝2时，x2－5x－6＝4－10－6＝－12≠0，所以 x＝2不是方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝6时，x2－5x－6＝36－30－6＝0，所以x＝6 为方程x2－5x－6＝0的解．
感悟新知
知2－讲
特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ◆不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ◆只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是
x2＝p中p ≥ 0.
感悟新知
例2 [月考·西安莲湖区]解方程： (1) 16x2 ＝ 25； (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0；
知2－讲
2. 方程x2＝p 的解(根)的情况： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1＝－ p，x2＝ p； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3)当p<0时，方程没有实数根.
感悟新知
知2－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤1：将方程变成左边是( ax+b) 2，右边是非负数的 形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无 实数根). 步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程. 步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为 一元二次方程的两个根.
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件
A、5x2-4x-4=0 B、x2-5=0 C、5x2-2x+1=0
D、5x2-4x+6=0
已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
例一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积 为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元二 次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一 般形式.
30
x
x
单位：cm
15
方程X2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未 知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
①方程两边都是整式
开启智慧
你能找到使
X2+3x=4两
②只含有一个未知数 边相等的x
的值吗？
③未知数的最高次数是2次
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解（或根）.
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 ，的形式，我们把
ax2+bx+c=0
(a，b，c为常数，想a一≠0想）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗 ？
其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项，常数 项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数.
我们已经学过哪些方程？ 你能各举一个例子吗？ 其中 “元 ” “次” 指的是什么意思？
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
D、5x2-4x+6=0
已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
例一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积 为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元二 次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一 般形式.
30
x
x
单位：cm
15
方程X2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未 知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
①方程两边都是整式
开启智慧
你能找到使
X2+3x=4两
②只含有一个未知数 边相等的x
的值吗？
③未知数的最高次数是2次
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解（或根）.
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 ，的形式，我们把
ax2+bx+c=0
(a，b，c为常数，想a一≠0想）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗 ？
其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项，常数 项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数.
我们已经学过哪些方程？ 你能各举一个例子吗？ 其中 “元 ” “次” 指的是什么意思？
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
一元二次方程的解法(直接开平方法)课件湘教版九年级数学上册
实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共14张PPT)
解：设路宽为x m，则耕地的长应该为(30－x)m，宽应该为(20－ x)m，根据面积公式，得(30－x)(20－x)＝500.整理，得x2－50x＋ 100＝0
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1
湘教版九年级上册数学课件-2.2一元二次方程的解法(第1课时)
当堂练习
1.下列解方程的过程中，正确的是（D ）
(A) x2=-2,解方程，得x=± 2
(B) (x-2)2=4,,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是 x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9, x2＝－9； (3)(x＋1)2=4 . 解：x1＝1, x2＝－3.
一 元 降次
两个一
二次
元一次
方 程 直接开平方法 方程
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根.
例1：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察， 有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看 作一个整体，再用整体思想代入求值．
练一练
1.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值 为_______．
2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
湘教版数学九年级上册一元二次方程课件
湘教版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
1 课堂讲授 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般情势 利用一元二次方程建立实际问题模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
随着人们经济收入的不断提高，汽车产业的快速发展， 汽车已越来越多地进入了普通家庭，据某市交通部门统计， 前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆， 你能算出该市两年来汽车拥有量的年平均增长率是多少吗?
x2 2500 = 0
①
知1－导
解：(2) 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
根据等量关系，可以列出方程
75 ( 1 + x )2 = 108.
化简，整理得
25x2 + 50 x - 11 = 0.
②
方程①②中有几个未知数? 它们的左边是 x 的 几次多项式?
总结
知1－讲
1. 定义：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而 左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样 的方程叫作一元二次方程.
知2－讲
知识点 2 一元二次方程的一般情势
1. 一般情势：关于x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ( a ≠ 0 )， 这种情势叫做一元二次方程的一般情势 .其中ax2 是二次 项，bx 是一次项，c 是常数项.
2. 特殊情势：
知2－讲
例2 把下列一元二次方程化成一般情势，并写出它们的 二次项系数、一次项系数及常数项. (1) (x+1)(x－2)＝4； (2) 2(x－3)(x+4)＝x2－10； (3) (2x+1)(x－2)＝5－3x；
知3－讲
例3 【中考·巴中】某种品牌运动服经过两次降价，每件 零售价由560元降为315元.已知两次降价的百分率相 同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x， 下面所列的方程中正确的是( B ) A. 560 ( 1+x )2 = 315 B. 560 ( 1－x )2 = 315 C. 560 ( 1－2x )2 = 315 D. 560 ( 1+x2 ) = 315
第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
1 课堂讲授 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般情势 利用一元二次方程建立实际问题模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
随着人们经济收入的不断提高，汽车产业的快速发展， 汽车已越来越多地进入了普通家庭，据某市交通部门统计， 前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆， 你能算出该市两年来汽车拥有量的年平均增长率是多少吗?
x2 2500 = 0
①
知1－导
解：(2) 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
根据等量关系，可以列出方程
75 ( 1 + x )2 = 108.
化简，整理得
25x2 + 50 x - 11 = 0.
②
方程①②中有几个未知数? 它们的左边是 x 的 几次多项式?
总结
知1－讲
1. 定义：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而 左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样 的方程叫作一元二次方程.
知2－讲
知识点 2 一元二次方程的一般情势
1. 一般情势：关于x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ( a ≠ 0 )， 这种情势叫做一元二次方程的一般情势 .其中ax2 是二次 项，bx 是一次项，c 是常数项.
2. 特殊情势：
知2－讲
例2 把下列一元二次方程化成一般情势，并写出它们的 二次项系数、一次项系数及常数项. (1) (x+1)(x－2)＝4； (2) 2(x－3)(x+4)＝x2－10； (3) (2x+1)(x－2)＝5－3x；
知3－讲
例3 【中考·巴中】某种品牌运动服经过两次降价，每件 零售价由560元降为315元.已知两次降价的百分率相 同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x， 下面所列的方程中正确的是( B ) A. 560 ( 1+x )2 = 315 B. 560 ( 1－x )2 = 315 C. 560 ( 1－2x )2 = 315 D. 560 ( 1+x2 ) = 315
湘教版数学九年级上册课件：第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午1时1分22.4.1301:01April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三1时1分3秒01:01:0313 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(6+x)(6-x)=0. 由此得出 6+x=0 或 6-x=0.
解得 x1 6 ，x2 6 .
（3） (x+3)2-16=0 ，
解 原方程可以写成
(x+3)2-42 = 0， 把方程左边因式分解，得
(x+3+4)(x+3-4)=0. 由此得出 x+7=0 或 x-1=0.
解得 x1 ， x2 （4） (1-2x)2-3=0 ，
（2）36-x2=0； （4）(1-2x)2-3=0.
（1） 9x2-49=0 ，
解
原方程可以写成
(3x)2-72 = 0， 把方程左边因式分解，得
(3x+7)(3x-7)=0. 由此得出 3x+7=0 或 3x-7=0.
解得
x1
7 3
，x2
7 3
.
（2） 36-x2=0 ，
解
原方程可以写成
62-x2 = 0， 把方程左边因式分解，得
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
对于实际问题中的方程 x2 -2500=0 而言，x2=-50是否 符合题意？
答：x2=-50不合题意，因为圆的半径不可能为负数， 应当舍去 . 而x1=50符合题意，因此该圆的半径为50 cm.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
(6+x)(6-x)=0. 由此得出 6+x=0 或 6-x=0.
解得 x1 6 ，x2 6 .
（3） (x+3)2-16=0 ，
解 原方程可以写成
(x+3)2-42 = 0， 把方程左边因式分解，得
(x+3+4)(x+3-4)=0. 由此得出 x+7=0 或 x-1=0.
解得 x1 ， x2 （4） (1-2x)2-3=0 ，
（2）36-x2=0； （4）(1-2x)2-3=0.
（1） 9x2-49=0 ，
解
原方程可以写成
(3x)2-72 = 0， 把方程左边因式分解，得
(3x+7)(3x-7)=0. 由此得出 3x+7=0 或 3x-7=0.
解得
x1
7 3
，x2
7 3
.
（2） 36-x2=0 ，
解
原方程可以写成
62-x2 = 0， 把方程左边因式分解，得
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You made my day!
我们，还在路上……
对于实际问题中的方程 x2 -2500=0 而言，x2=-50是否 符合题意？
答：x2=-50不合题意，因为圆的半径不可能为负数， 应当舍去 . 而x1=50符合题意，因此该圆的半径为50 cm.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
湘教版九年级数学上册《根据平方根的意义解一元二次方程》课件
A．x－6＝－4
B．x－6＝4
C．x＋6＝4
D．x＋6＝－4
8．方程－4x2＋1＝0 的解是( C )
A．x＝12
B．x＝－12
C．x＝±12
D．x＝±2
9．方程(x－4)2＝11 的根为( B )
A．x1＝－4＋ 11，x2＝－4－ 11 B．x1＝4＋ 11，x2＝4－ 11 C．x1＝ 11＋4，x2＝ 11－4 D．x1＝4＋ 11，x2＝－4－ 11
知识点一：一元二次方程的根的定义
1．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值
为( A ) A．2
B．0
C．0或2
D．0或－2
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则下列
结论正确的是( B )
A．a＋b＋c＝1
B．a＋b＋c＝0
C．a－b＋c＝0
D．a－b＋c＝1
范围是( B )
A．m≥－34
B．m≥0
C．m≥1
D．m≥2
知识点二：根据平方根的意义解一元二次方程
6．方程 x2－3＝0 的根是( D )
A．x＝3
B．x1＝3，x2＝－3
C．x＝ 3
D．x1＝ 3，x2＝－ 3
7．一元二次方程(x＋6)2＝16 可转化为两个一元一次方程，其中
一个一元一次方程是 x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D )
(1)按照这个规定请你计算57
6的值； 8
(2)按照这个规律请你计算：当 x2－4x＋4＝0 时，xx＋ －11
5 解：(1)7
68＝5×8－6×7＝－2
22xx－3的值.
(2)由 x2－4x＋4＝0 得 x＝2，xx＋－11 22xx－3＝31 41＝3×1－4×1＝－1
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共11张PPT)
我们可以建立方程的模型来计算 人行道的宽度，如图所示，设 人行道的宽度为x，则草坪的边 长为 35－2x m.
根据题意，可以列方程
(352x)2900.
此方程通过移项，可以写成
(352x)29000.
问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校
还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别为3m/s和
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含 有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次 方程.它的一般形式是
a x 2 b x c 0 ( a ,b ,c 是 常 数 项 ， a 0 )
其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
练习
如果左边一列中的方程是右边一列中所说的类型， 那么用线把它们连结起来：
路程为 3t m, 2t 10.01t2
小亮骑车行驶的路程为
2
m.
问题中的等量关系是
小明骑车行驶的路程 ＝ 小亮骑车行驶的路程
.
由此列出方程 2t10.01t2 3t. 2
此方程通过移项，可以写成 0.01t22t0.
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
根据题意，可以列方程
(352x)2900.
此方程通过移项，可以写成
(352x)29000.
问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校
还有1km处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别为3m/s和
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含 有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次 方程.它的一般形式是
a x 2 b x c 0 ( a ,b ,c 是 常 数 项 ， a 0 )
其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
练习
如果左边一列中的方程是右边一列中所说的类型， 那么用线把它们连结起来：
路程为 3t m, 2t 10.01t2
小亮骑车行驶的路程为
2
m.
问题中的等量关系是
小明骑车行驶的路程 ＝ 小亮骑车行驶的路程
.
由此列出方程 2t10.01t2 3t. 2
此方程通过移项，可以写成 0.01t22t0.
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
湘教版九年级上1.3一元二次方程的应用课件ppt
y2 28 1 7. 22 2
从而当x1 7或x1 7时.
2
2
(y5)2 9y2的值等于40.
说一说
一元二次方程 a x 2 b x c 0（ a 0 ） ，
当系数满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？
当 b24ac0 时，方程有两个相等的实数根.例3 当Biblioteka 取什么值时，关于x 的一元二次方程
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
作业：
P27 A组 1 、2
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
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You made my day!
我们，还在路上……
例1 当x取什么值时，一元二次多项式 x2 x 2 与 一元一次多项式 2 x 1 的值相等？
解 x2x22x1.
原方程可以写成 x23x10.
这里
a 1 ， b 3 ， c 1 ,
b 2 4 a c 3 2 4 1 1 1 3 0 ,
因此 x3 133 13, 21 2 2
x2(2xt)2 1
有两个相等的实数根？
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25 . 4
根据平方根的意义，得 x=
25 或 x= 25 ， 4 4
x1=
因此，原方程的根为
5 5 ，x2= . 2 2
例题讲解
例2 解方程：（2x+1）2 =2.
解：根据平方根的意义，得 2x+1=
2 或 x= 2 ，
因此，原方程的根为
x1=
2 1 2 1 ，x2= . 2 2
2
（3） (x+3) -16=0 ， 解 原方程可以写成 2 2 (x+3) -4 = 0， 把方程左边因式分解，得 (x+3+4)(x+3-4)=0. 由此得出 x+7=0 或 x-1=0. 解得 x1 ， x 2
2
解
（4） (1-2x) -3=0 ， 原方程可以写成 (1-2x)2- ( 3)2= 0， 把方程左边因式分解，得 (1-2x+ 3 )(1-2x- 3)=0. 由此得出 1-2x+ 3 =0 或 1-2x- 3 =0. 解得 x 1+ 3 ， x2 1- 3 2 1 2
对于实际问题中的方程 x2 -2500=0 而言，x2=-50是否 符合题意？ 答：x2=-50不合题意，因为圆的半径不可能为负数， 应当舍去 . 而x1=50符合题意，因此该圆的半径为50 cm.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
例题讲解
例1 解方程：4x2-25=0.
解：原方程可化为 x2=
练习
解下列方程： （1）9x -49=0； （3）(x+3)2-16=0；
2
（2）36-x =0； （4）(1-2x)2-3=0.
2
（1） 9x -49=0 ， 原方程可以写成 解 2 2 (3x) -7 = 0， 把方程左边因式分解，得 (3x+7)(3x-7)=0. 由此得出 3x+7=0 或 3x-7=0. 解得 x1 7 ，x2 7 . 3 3 2 （2） 36-x =0 ， 原方程可以写成 解 62-x2 = 0， 把方程左边因式分解，得 (6+x)(6-x)=0. 由此得出 6+x=0 或 6-x=0. 解得 x1 6 ，x2 6 .
2
2.2.1 配方法
第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程
动脑筋
如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程：x2 -2500=0 呢 ？表明 x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=
2500 或 x= 2500 .
x1=50, x2=-50.
因此，原方程的解为
说一说