第9章 图论
9.1-无向树
条基本通路，这与题设条件矛盾。所以，图是连通 的且无回路，是树。
二、无向树的性质（续）
定理9.2 设T=<V,E>为n（n2）阶树，则T中至少有2个叶结点。 证明： (思路) 关键是应用 |E|=|V|-1
练习
已知树T中有度数为4、3和2的分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。
定理 9.1 对于树T=<V,E>，|V|=n，|E|=m，下列性质 成立且相互等价： ① T中无回路且边数m=n-1； ② T是连通图且边数m=n-1； ③ T中无回路，但在T的任何不相邻结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条基本回路。 ④ T是连通图，但删去任何一条边后，所得到的图 不连通。 ⑤ T中每对结点之间有唯一的一条基本通路。
二、无向树的性质（续）
（4） 由性质③来推证性质④。
如果T 不是连通图，则存在两个结点vi和vj，在结点vi 和vj之间没有通路，如果增加边(vi, vj)，不产生回路 ，这与性质③矛盾，因此，T 是连通图。
因为T 中没有回路，所以删除任意一条边，所得到的 图必定不是连通图。
二、无向树的性质（续）
§9.1 无向树
一、基本概念 无向树（简称树）：连通且不含有回路的无向图，常
用T表示。 森林：每个连通分支都是树的无向图。 叶结点（简称叶）：在树T中，度数为1的结点。 内部结点（或分支结点，简称分支点）：在树T中，
度数大于1的结点。
树？ 森林？ 叶？ 内部结点？
二、无向树的性质
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之
电路-第9章 网络图论基础
网络图论图论是数学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
(1)图图(a)电路，如果用抽象线段表示支路则得到图(b)所示的拓扑图，它描述了电路的点和线的连接关系，称为电路的图。
定义：图G 是描述电路结点支路连接关系的拓扑图，它是支路和结点的集合。
1）支路总是连接于两个结点上。
2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。
移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
9.1 网络图论的基本概念(3)有向图：标示了参考方向的图(2)子图：图G1中的所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G 的一个子图。
子图示例9.1 网络图论的基本概念(4)连通图图中任何两结点之间存在由支路构成的路径，则称为连通图。
连通图和非连通图示例9.1 网络图论的基本概念(5)回路从某个结点出发，经过一些支路(一条支路仅经过一次)和一些结点(每个结点仅经过一次)又回到出发点所经闭合路径。
树和非树示例(6)树G1是G 的一个子图，且满足以下三个条件：A 、是连通的；B 、包含G 中所有结点；C 、不包含回路。
G1称为G 的一棵树。
9.1 网络图论的基本概念(7)树支、树支数构成树的支路称为树支。
树支数为：割集示例(8)连支、连支数不属于树的支路称为连支。
连支数为：(9)割集、割集方向移走某些支路，图分成了两个分离的部分，则这些支路的集合称为割集。
割集的方向：从一部分指向另一部分的方向。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL和KVL方程的矩阵形式(1)增广矩阵描述图中结点和支路关联情况的矩阵。
矩阵元素：增广矩阵为n×b 阶矩阵。
图9.2.1图的增广矩阵：9.2.1 关联矩阵A9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式(2)关联矩阵A增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流入1号结点，支路6流出1号结点。
数据结构与算法分析：C语言描述（原书第2版简体中文版！！！）PDF+源代码+习题答案
数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版简体中⽂版！！！）PDF+源代码+习题答案转⾃：/Linux/2014-04/99735.htm数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版中⽂版！！！） PDF+源代码+习题答案数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版）是《data structures and algorithm analysis in c》⼀书第2版的简体中译本。
原书曾被评为20世纪顶尖的30部计算机著作之⼀，作者mark allen weiss在数据结构和算法分析⽅⾯卓有建树，他的数据结构和算法分析的著作尤其畅销，并受到⼴泛好评．已被世界500余所⼤学⽤作教材。
在本书中，作者更加精炼并强化了他对算法和数据结构⽅⾯创新的处理⽅法。
通过c程序的实现，着重阐述了抽象数据类型的概念，并对算法的效率、性能和运⾏时间进⾏了分析。
数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版） PDF下载：百度⽹盘免费下载地址：（本⼈是从这⾥下载的，感谢原博主）全书特点如下： ●专⽤⼀章来讨论算法设计技巧，包括贪婪算法、分治算法、动态规划、随机化算法以及回溯算法 ●介绍了当前流⾏的论题和新的数据结构，如斐波那契堆、斜堆、⼆项队列、跳跃表和伸展树 ●安排⼀章专门讨论摊还分析，考查书中介绍的⼀些⾼级数据结构 ●新开辟⼀章讨论⾼级数据结构以及它们的实现，其中包括红⿊树、⾃顶向下伸展树。
treap树、k-d树、配对堆以及其他相关内容 ●合并了堆排序平均情况分析的⼀些新结果⽬录出版者的话专家指导委员会译者序前⾔第1章引论第2章算法分析第3章表、栈和队列第4章树第5章散列第6章优先队列（堆）第7章排序第8章不相交集ADT第9章图论算法第10章算法设计技巧第11章摊还分析第12章⾼级数据结构及其实现索引。
离散数学——图论
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哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
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图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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第7章 图论 -5二部图、平面图
第9章 图论
2）在G中求最大匹配 把边 (a2,b2) 从 M 中去掉，而把 (a1,b2) 和 (a2,b4) 添加到 M 中， 得到新的匹配M′=(a1,b2),(a2,b4),(a3,b3), (a5,b5)，如下图所示。 对于匹配M′= (a1,b2),(a2,b4),(a3,b3), (a5,b5)重复上述过程， 已找不到M′可扩路。所以M′就是最大匹配。
第9章 图论
在子图H中，任一结点至多与M中的一条边关联且与M1中 一条边关联。因而任一结点的度数是1或2。故H的连通分支是 一条路，或者是一个回路。 如果 H的连通分支是一条路 P，则它是 M 交替路，也是 M1 交替路。如果P的两个端点均与M中的边关联，则P是M1可扩路。 由假设知， M1 是最大匹配，所以，不存在 M1 可扩路，得到矛 盾。如果P的两个端点均与M1的边关联，那么P是一条M可扩路 与题设矛盾。故 P 只能是一个端点与 M 中的边关联，另一个端 点与M1中的边关联，这样P中属于M的边数与属于M1的边数相 等。 如果 H的连通分支是一个回路，回路中的边交替地属于 M 和M1，因而属于M的边数与属于M1的边数相等。 从上面可以看到，H中属于M的边与属于M1的边的数目相 等。再加上既属于M又属于M1的边，可以得出：M中的边数与 M1中的边数相等。所以，M是最大匹配。
第9章 图论
由上述讨论可见：利用可扩路可以增加匹配所含的边数。 不断地寻求G的可扩路，直到再也找不到新的可扩路，就可得 到一个最大匹配。将这个结论写成下列的定理。 定理 7.5.2 设 G=V1,V2,E是二部图， M为G的最大匹配的充分 必要条件是G中不存在M可扩路。 证明：设M为G的最大匹配，下证G中不存在M可扩路。 如果G中存在一条M可扩路，则可以得到比M的边数多1的 匹配，所以M 不是最大匹配，矛盾。所以G 中不存在M 可扩路。 设G中不存在M可扩路，下证M为G的最大匹配。 设M1是最大匹配，证明|M|=|M1|。 考察属于M而不属于M1和属于M1而不属于M中的边，由这 些边连同它们的端点一起构成G的子图H。
图论讲义第9章-网络流理论
注：网络 N 的一个割 K 称为最小割，如果网络 N 中不存在割 K′使得 CapK ′ < CapK 。 推论 9.1.1 设 f * 是网络 N 的一个最大流，K*是 N 的一个最小割，则 Val f * ≤ CapK * . 证明显然。 推论 9.1.2 设 f 是 N 的一个可行流，K 是 N 的一个割，若 Val f = CapK ，则 f 是最大流而
a∈K
−
(S ) =
a∈( S , S )
∑
f (a ) ≥ 0 。
由引理 9.1.1, Val f = f + ( S ) − f − ( S ) ≤ CapK , 可见第 一个结论成立。另外注意到 f + ( S ) = CapK 当且仅当
S K
S
( S , S ) 中每条弧都是 f 饱和的；而 f − ( S ) = 0 当且仅当 ( S , S ) 中每条弧都是 f 零的，故定理的第二个结论也成立。证毕。
v2 v1 x P Q v3 y v6 v4 v5
定义 9.2.2 设 f 是网络 N = (V , x, y , A, C ) 中的一可行流，P 是 N 中一条 x-y 路。如果对于 P 上任一条弧
a ，都有
(1) 若弧 a 是 P 的正向弧，则 Δf ( a ) (2) 若弧 a 是 P 的反向弧，则 Δf ( a )
Байду номын сангаас
§9.1 网络与网络流的基本概念
定义 9.1.1 一个网络 N=(V,A)是指一个连通无环弧且满足下列条件的有向图： (1) 有一个顶点子集 X，其每个顶点的入度都为 0； (2) 有一个与 X 不相交的顶点子集 Y，其每个顶点的出度都为 0； (3) 每条弧都有一个非负的权，称为弧的容量。 注： 上述网络 N 可写作 N=(V, X, Y, A, C)，X 称为网络的发点集或源点集，Y 称为网络的 收点集或汇点集，C 称为网络的容量函数。 例：
离散数学 图论
第10章 图论(Graph Theory )
G1、G2是多重图 G3是线图
G4是简单图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图;
有向图：每条边都是有向边的图称为有向图
（图 10 .1.4 (b))；
无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；
度， 记为 d (v) 。结点v的入度与出度之和称为结 点v的度数，记为 d(v)或deg(v)。
第10章 图论(Graph Theory )
定义:
在无向图中，图中结点v所关联的边数
(有环时计算两次)称为结点v 的度数，记为d(v)
或deg(v) 。
最大度 (G) max{ (v) | v V } d 最小度 (G) min{d (v) | v V }
证明: 设V1和V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结
点集。 由定理10.1.1知
vV1
deg(v) deg(v) 2是偶数之和， 必为偶数，
而2|E|也为偶数， 故 |V1|必为偶数。
V1
是偶数。 由此 deg( )
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
证明: 设G＝〈V ,E〉， |V|＝6， v是G中一结点。 因为v 与G的其余５个结点或者在 G 中邻接， 或者在G 中邻接。 故不失一般性可假定， 有３个结点v1， v2， v3在G中与v邻接。 如果这３个结点中有两个结点（如v1 ， v2 ）邻接， 则它们与v 就是G中一个三角形的３个顶点。 如果这3 个结点中任意两个在G中均不邻接， 则v1， v2， v3就
第九章 生物分子网络与通路
我们用符号k来表示连通度，kout表示出度，kin表 示入度。
在图B中节点A的入度为1，出度为2。
连通度描述了网络中某个节点的连接数量，整个网 络的连通性可以使用其平均值来表示。
对于由N个节点和L条边组成的无向网络其平均连通
度为Knet=2L/N。 连通度较大的节点称为中心节点（hub） 必需基因或其翻译产物的比例在中心节点中出现的 频率显著高于一般节点。
就称为加权网络，赋予的数字称为边的权重。 如果网络中各边之间没有区别，可以认为各边的权 重相等，称为等权网络或无权网络。
权重可以用来描述节点间的距离、相关程度、稳
定程度、容量等等各种信息，具体所代表的意义 依赖于网络和边本身所代表的意义。
加权网络
等权网络
二分网络
如果网络中的节点可分为两个互不相交的集合，而 所有的边都建立在来自不同集合的节点之间，则称
A .无向网络 ；B. 有向网络
加权网络与等权网络
网络中的边在网络中具有不同意义或在某个属性上
有不同的价值是网络中普遍存在的一种现象。
比如交通网中，连接两个城市（节点）的道路（边） 一般具有不同的长度，而在互联网中两台直接相连
的计算设备间通讯的速度也不尽相同。
如果网络中的每条边都赋予相应的数字，这个网络
代谢网络
生物分子网络分类
转录调控网络 分 子 生 转录后调控网络 物 网 络
代谢网络
信号转导网络
分
类 蛋白互作网络 表观遗传调控网络
信号传导网络
生物中的信号传导(Signal transduction)则是指细胞
将一种类型的生物信号或刺激转换为其他生物信号 最终激活细胞反应的过程。 同代谢通路一样，信号传导的过程中多个生物分子 在酶作用下按照一定顺序发生一系列生理化学反应， 由此得到了信号传导通路。 信号传导网络即是指参与信号传导通路的分子和酶 以及其间所发生的生化反应所构成的网络。
[化学]图论Graph Theory-精品文档
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第一章 图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。
其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。
1.1 定义与例题定义1.1：令 V 为非空集合，且E V V ⊆⨯. 序对(),V E 称为(V 上)有向图(directedgraph or digraph)，其中 V 为顶点(vertex)或节点(node)的集合，E 为边(edge)的集合。
我们记(),G V E =表示此图形。
图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。
边的方向由边上的有向箭头表示，如图所示对任意边，如(), b c ，我们说此边接合(incident)顶点, b c ；称b 邻接至(adjacent to) c ；或c 邻接自(adjacent from) b 。
此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。
边(), a a 为一个循环(loop)， 且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。
若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。
定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。
G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。
01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
第九章 图的着色
图的点着色数 着色数的基本性质 Brooks定理 图的边着色数 地图着色问题
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一 个区域图抽象为一个平面图。
二部图判定
n(n>=2)阶无向图G是二部图当且仅当G 中无奇圈当且仅当G是2-可着色 。
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与点着色数有关的几个“常识”
(G)|VG|, 且等号当且仅当G=Kn时成立。 设H是G的子图，若(H)=k, 则(G)k。 若d(v)=k, 则与v相邻的k个顶点着色至多需要
k种颜色。 图G的着色数等于其着色数最大的连通分支
区域和点的对应
四色问题(Four Color Problem)
1852, Francis Guthrie, 注意到英格兰地 图可以用4种颜色染色, 使得相邻区域(有一 段公共边界,不只是有一个公共点)有不同颜 色; 他问其弟 Frederick 是否任意地图都有 此性质?
Frederick Guthrie DeMorgan Hamilton. 1878, Cayley, 提交伦敦数学会.
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应用背景示例
问题1：排考试时间，一方面要总时间尽可 能短(假设教室没问题)，另一方面一个同 学所学的任意两门课不能同时考。
问题2：仓库存放若干种化学制品，其中某 些制品相互接触有可能引发爆炸，为预防 事故，将其隔间存放。要达到安全要求， 至少将该仓库隔成多少间？
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
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Francis Guthrie的猜想
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
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图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
值是个公开的难题。
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图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
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图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计 了一个名为周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十 个端点表示世界上的二十座大城市（见图），提出的问题 是要求游戏者找一条沿着十二面体的棱通过每个端点恰好 一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个给定的图是 否存在一条含所有顶点的回路。
图论
第7章 图论图论是建立和处理离散型数学模型的重要数学工具，它已发展成具有广泛应用的一个数学分支。
图论的发展已有200多年的历史，它最早起源于一些数学游戏的难题研究。
1736年瑞士数学家欧拉（L.Eluer ）发表了关于解决哥尼斯堡七桥问题的一篇文章，标志着图论的正式诞生。
从19世纪中叶到20世纪中叶，图论问题大量出现，如汉密尔顿图问题、四色猜想等。
这些问题的出现进一步促进了图论的发展。
1847年，克希霍夫（Kirchhoff ）用图论分析电网络，这是图论最早应用于工程科学的一个例子。
随着计算机科学的迅猛发展，在现实生活中的许多问题，如交通网络问题，运输的优化问题，社会学中某类关系的研究，都可以用图论进行研究和处理。
图论在计算机领域中，诸如算法、语言、数据库、网络理论、数据结构、操作系统、人工智能等方面都有重大贡献。
本章主要介绍图论的基本概念、基本性质和一些典型应用。
7.1 图的基本概念7.1.1 图的基本概念1.图的定义图在现实生活中随处可见，如交通运输图、旅游图、流程图等。
此处我们只考虑由点和线所组成的图。
这种图能够描述现实世界的很多事情。
例如，用点表示球队，两队之间的连线代表二者之间进行比赛，这样，各支球队的比赛情况就可以用一个图清楚地表示出来。
到底什么是图呢？可用一句话概括：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。
因为上述描述太过于抽象，难于理解，因此下面给出图作为代数结构的一个定义。
定义7.1.1 一个图（Graph ）是一个三元组〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V 是一个非空的节点集合，)(G E 是有限的边集合，G ϕ是从边集合E 到点集合V 中的有序偶或无序偶的映射。
例7.1.1 图G =〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V =},,,{d c b a ，)(G E =},,,,,{654321e e e e e e ，),()(1b a e G =ϕ，),()(2c a e G =ϕ，),()(3d b e G =ϕ，),()(4c b e G =ϕ，),()(5c d e G =ϕ，),()(6d a e G =ϕ。
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研 究了连通图性质和规律，给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
（本课程仅讨论无向图和有向图）
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中：V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即，deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)，或简记为d(v)=d－(v)+d＋(v)
4）最大出度：+(G) =max deg＋(v) | vV
5）最小出度：+(G) = min deg＋(v) | vV
6）最大入度： (G) =max deg－(v) | vV
7）最小入度： (G) = min deg－(v) | vV
解：G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此，图可以简单的表示为：
电子科大图论答案
图论第三次作业一、第六章2.证明：根据欧拉公式的推论，有m ≦l*(n-2)/(l-2), (1)若deg(f)≧4,则m ≦4*(n-2)/2=2n-4;(2)若deg(f)≧5,则m ≦5*(n-2)/3,即：3m ≦5n-10; (3)若deg(f)≧6,则m ≦6*(n-2)/4,即：2m ≦3n-6. 3.证明：∵G 是简单连通图，∴根据欧拉公式推论，m ≦3n-6; 又，根据欧拉公式：n-m+φ=2,∴φ=2-n+m ≦2-n+3n-6=2n-4. 4.证明：(1)∵G 是极大平面图，∴每个面的次数为3， 由次数公式：2m==3φ, 由欧拉公式：φ=2-n+m, ∴m=2-n+m,即：m=3n-6. (2)又∵m=n+φ-2,∴φ=2n-4.(3)对于3n >的极大可平面图的的每个顶点v ，有()3d v ≥，即对任一一点或者子图，至少有三个邻点与之相连，要使这个点或子图与图G 不连通，必须把与之相连的点去掉，所以至少需要去掉三个点才能使()(H)w G w G <-，由点连通度的定义知()3G κ≥。
5.证明：假设图G 不是极大可平面图，那么G 不然至少还有两点之间可以添加一条边e ，使G+e 仍为可平面图，由于图G 满足36m n =-，那么对图G+e 有36m n '=-，而平面图的必要条件为36m n '≤-，两者矛盾，所以图G 是极大可平面图。
6.证明：(1)由()4G δ=知5n ≥当n=5时，图G 为5K ，而5K 为不可平面图，所以6n ≥，（由()4G δ=和握手定理有24m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得6n ≥）对于可平面图有()5G δ≤，而6n ≥，所以至少有6个点的度数不超过5.(2)由()5G δ=和握手定理有25m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得12n ≥，对于可平面图有()5G δ≤，而12n ≥，所以至少有12个点的度数不超过5.二、第七章 2.证明：设n=2k+1,∵G 是Δ正则单图，且Δ>0,∴m(G)==>k Δ,由定理5可知χˊ(G)=Δ(G)+1. 28.解：(1)又：=k(k-1)(k-2)2(k-3)+k(k-1)2(k-2)=k(k-1)(k-2)(k2-4k+5)=k(k-1)(k-2)2(k-3),所以，原图色多项式为：k(k-1)(k-2)2(k2-4k+5)-k(k-1)(k-2)2(k-3)=k(k-1)(k-2)2(k2-5k+8)(2)∵原图与该图同构，又，同构的图具有相同的色多项式，所以原图色多项式为：k(k-1)(k-2)2(k2-5k+8)。
张清华 图论课后题答案
第1章 图论预备知识1.1解：(1) p={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}(2) p={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}} (3) p={,{}}(4) p={,{},{{}},{,{}}}(5)p={,{{a,b}},{{a,a,b}},{{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b}},{{a,b},{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}}} 1.2 解：(1) 真 (2) 假 (3)假 (4)假 1.3 解：(1) 不成立，A={1} B={1,2} C={2} (2) 不成立，A={1} B={1,2} C={1,3}1.4 证明：设(x,y)∈(A ∩B)X(C ∩D) 说明x ∈A ∩B,y ∈C ∩D 由于 x ∈A,y ∈C 所以 (x,y) ∈A X C 由于x ∈B,y ∈D 所以 (x,y) ∈B X D 所以 (x,y) ∈（A X C ）∩（B X D ） 反过来，如果（x,y ）∈(A X C) ∩（B X D ） 由于 (x,y) ∈（A X C ）所以 x ∈A,y ∈C 由于 (x,y) ∈（B X D ）所以x ∈B,y ∈D 所以x ∈(A ∩B) y ∈(C ∩D) 所以 (x,y) ∈(A ∩B)X(C ∩D)所以(A ∩B)X(C ∩D)= (A X C) ∩（B X D ） 1.5 解：Hasse 图φφφφφφφφφ极大元{9,24,10,7} 极小元{3,2,5,7} 最大元{24} 最小元{2}1.6 解(2)关系图为：(3)不存在最大元，最小元为{2}1.7 解：(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>} (2)略(3)I A ⊆R 故R 是自反的。
第9章-计算机领域的典型问题-计算机导论(第4版)(微课版)-袁方-清华大学出版社
汉诺塔问题
➢ 用递归方法求解
➢移动n个盘子的汉诺塔问题，需要移动盘子的次数是n-1个 盘子的汉诺塔问题需要移动盘子次数的2倍加1。
计算机导论
汉诺塔问题
➢ 用递归方法求解
h(n) =2h(n-1 )+1 =2(2h(n-2)+1)+1 =22h(n-2)+2+1 =23h(n-3)+22+2+1 =…… =2nh(0)+2n-1+…+22+2+1 =2n-1+…+22+2+1 =2n-1
➢ NP类问题
➢ 将所有在多项式时间内可以验证的问题称为NP类问题。
➢ NP完全问题
➢ 在NP类问题中，某些问题的复杂性与整个类的复杂性有关，如果 这些问题中的任意一个能在多项式的时间内求解，则所有NP类问 题都能在多项式时间内求解，这些NP类问题称为NP完全问题。
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9.3 并发控制问题
01 生 产 者 - 消 费 者 问 题 02 哲 学 家 共 餐 问 题
生产者-消费者问题
➢ 问题描述
➢有 n 个 生 产 者 和 m 个 消 费 者 ， 在 生 产 者 和 消 费 者 之 间 设置了一个能存放k个产品的货架。
➢只 要 货 架 未 满 ， 生 产 者 p i生 产 的 产 品 就 可 以 放 入 货 架 ， 每次放入一个产品；
➢只 要 货 架 非 空 ， 消 费 者 c j就 可 以 货 架 取 走 产 品 消 费 ， 每次取走一个。
计算机导论
袁方/王兵编写 清华大学出版社出版 《 计算机导论（第4版）》 配 套 课 件
计算机导论
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第9章 图论
第9章 图论
两个图同构必须满足下列条件： ①结点数相同。 ②边数相同。 ③度数相同的结点数相同。
这三个条件是两个图同构的必要条件，不是充分条件。
一般的，用上述三个必要条件判断两个图是不同构的。
第9章 图论
9.1.5补图、子图和生成子图 定义9.1.11 设G=V,E是n阶简单无向图，G中的所有 结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图称为图G 的相对于完全图的补图，简称为G的补图。记为 G 。若 G≌ G ，则称G为自补图。 在图9.9 中，(b)是(a) 的补图，(a)与 (b)同构，所 以(a)是自补图。
第9章 图论
定义9.3.2 若无向图G中的任何两个结点都是连通的， 则称G为连通图。规定，平凡图(一个孤立点）是连通图。 定义9.3.3 设G=V,E是图 ⑴V1V且V1≠，E1 是G中两个端点都在V1 中的边组 成的集合，图G1=V1,E1叫做G的由V1导出的子图，记为 G[V1]。 ⑵E2E且E2≠，V2是由E2中的边所关联的结点组成 的集合，图G2=V2,E2叫做G的由E2 导出的子图，记为 G[E2]。
第9章 图论
9.1.4图的同构 在图论中只关心结点间是否有连线，而不关心结点的 位置和连线的形状。因此，对于给定的图而言，如果将图 的各结点安排在不同的位置上，并且用不同形状的弧线或 直线表示各边，则可以得到各种不同图形。所以，同一图 的图形并不惟一。由于这种图形表示的任意性，可能出现 这样的情况：看起来完全不同的两种图形，却表示着同一 个图。 例如，在图9.6中，(a)和(b)两个图的图形不同，但它们 的结构完全相同，是同一个图。 为了描述看起来不同，而其结构完全相同的图，引入 了同构的概念。
第9章 图论
定理9.2.1 在n阶图G中，若从结点vi到vj(vi≠vj)
存在一条路，则必存在长度小于等于n-1的路
推论 在n阶图G中，若从结点vi到vj(vi≠vj)存在路，则 必存在长度小于等于n-1的初级路。 定理9.2.2 在n阶图G中，若存在结点vi到自身的回路， 则必存在vi到自身长度小于等于n的回路。 推论 在n阶图G中，若存在结点vi到自身的简单回路， 则必存在vi到自身长度小于等于n的初级回路。
第9章 图论
9.1.2结点的度及其性质 定义9.1.5 设G=V,E是图，vV，与v相关联的边数 叫做结点v的 度 。记为deg(v)。规定，自回路为所在结点 增加2度。 在图G=V,E中，度数最大(小)的结点的度叫做图G 的最大(小)度，记为(G)((G))。图G的最大度和最小度 表示为： (G)=max deg(v) | vV (G)= min deg(v) | vV 在图9.1中， (G)=4，(G)=0。
第9章 图论
第9章 图
9.1 图的基本概念
论
9.2 路和回路
9.3 连通图 9.4 图的矩阵表示 9.5 欧拉图和汉密尔顿图 9.6 树 9.7 二部图及匹配 9.8 平面图
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第9章 图论
9.1图的基本概念
9.1.1图 两个个体x，y的无序序列称为无序对，记为(x,y)。 在无序对(x,y)中，x，y是无序的，它们的顺序可以颠倒， 即(x,y)=(y,x)。 定义9.1.1 图G是一个三重组V(G),E(G),G 其中：V(G)是非空结点集。 E(G)是边集。 G是边集到结点的有序对或 无序对集合的函数。
第9章 图论
定理9.1.4 n阶完全图Kn的边数为
Cn
2
Байду номын сангаас
1 2
n ( n 1)
证明：在Kn中，每个结点都与其余的n–1结点相邻接， 即任何一对结点之间都有一条边，故边数应为C n
2
1 2
n ( n 1)
定义9.1.9 设G为n阶简单无向图，若G中每个结点都是k 度的，则称G为k次正则图。
第9章 图论
定义9.2.2 设G=V,E是图，L是 从 v0到vn的路。若v0=vn，则称L为回路。 若L中所有边各异，则称L为简单路。 若此时又有v0=vn，则称L为简单回路。 若L中所有结点各异，则称L为基本路。 若此时又有v0=vn，则称L为基本回路。 若L既是简单路，又是基本路，则称L 为初级路。若此时又有v0=vn，则称L 为初级回路。 在图9.11中，L1是一条简单路。L2 是一条简单路、基本路、初级路。。
第9章 图论
定义9.1.6 设G=V,E是有向图，vV，射入(出)结点 v的边数称为结点v的入(出)度。记为deg－(v) (deg＋(v))。 显然，任何结点的入度与出度的和等于该结点的度数， 即deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)。 定理9.1.2 在有向图中，所有结点入度的和等于所有结点 出度的和。 证明：在有向图中每一条边对应一个入度和一个出 度，为图的入度和出度各增加1。所以，所有结点入度的 和等于边数，所有结点出度的和也等于边数。
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第9章 图论
9.2 路和回路
定义9.2.1 设G=V,E是图，G中的结点与边的交替序列L： v0e1v1e2v2…envn 叫 做 v0 到 vn 的 路 。 其 中 vi-1 与 vi 是 ei 的 端 点 ， i=1,…,n。v0和vn分别叫做路L的始点和终点。路L中边的条数 叫做该路的长度。 例如，在图9.11中， L1：v5e8v4e5v2e6v5e7v3 是从v5到v3的路，v5是始点， v3是终点，长度为4。 L2：v1e1v2e3v3 是从v1到v3的路，v1是始点， v3是终点，长度为2。 在简单图中没有平行边和环，路L：v0e1v1e2v2…envn 完全 由它的结点序列v0v1v2… vn确定。所以，在简单图中的路可以 用结点序列表示。
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第9章 图论
9.3连通图
9.3.1无向连通图 定义9.3.1 在无向图G中，如果结点u和结点v之间存在 一条路，则称结点u和结点v连通。记为u～v。规定，G中任 意结点v和自身连通，即v～v。 在无向图中，如果结点u和结点v连通，即u～v，那么， 结点v和结点u连通，即v～u。所以，无向图结点间的连通 是对称的。 设G=V,E是无向图，在图G的结点集V上建立一个二 元关系R： R=u,v | uV∧vV∧u和v连通 R叫做无向图G的结点集V上的连通关系。 因为R是自反的、对称的、传递的，所以R是V上的等 价关系。无向图G的结点集V上的连通关系是等价关系。
第9章 图论
在图9.15中，设图G为(a)，取V1=a,b,c，则G的 由 V1导出的子图G[V1]是(b)。取E2=(a,b),(d,c)， G的由E2导出的子图G[E2]是(c)。
第9章 图论
定义9.3.4 设G=V,E是无向图， R是V上的连通关系， V/R=ViVi是R的等价类，i=1,…,k 是V关于R的商集， G[Vi]是Vi导出的子图，称G[Vi]( i=1,…, k)为G的连通分支。 G的连通分支数记为W(G)。 设图9.14为G，在G中，连通关系R的三个等价类是 a,b,c，d，e,f,g,h ，它们导出的G的子图分别是图 9.14中的(a)，(b)，(c)。它们都是G的连通分支。G的连通 分支数W(G)=3。 每一个连通分支都是原图的最大的连通子图。
第9章 图论
【例9.1】G=V(G),E(G),G 其中：V(G)=a,b,c,d E(G)=e1,e2,e3,e4 G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a) 试画出G的图形。 解：G的图形如图9.1所示。
第9章 图论
第9章 图论
定义9.1.2 若图G有n个结点，则称该图为n阶图。 定义9.1.3 设G为图，如果G的所有边都是有向边，则 称G为有向图。如果G的所有边都是无向边，则称G为无向 图。如果G中既有有向边，又有无向边，则称G为混合图。 图9.3的(a)是无向图，(b)是有向图，(c)是混合图。
第9章 图论
第9章 图论
定义9.1.12 设G=V,E与G1=V1,E1是两个图。如果 V1V且E1E，则称G1 是G的子图，G是G1 的母图；如果 V1V且E1E，则称G1是G的真子图；如果V1＝V且E1E则 称G1是G的生成子图。 在图 9.10中， (b)是(a)的 子图、真 子图、生 成子图。
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或 无序对直接表示。因此，图可以简单的表示为： G=V,E 其中：V是非空的结点集。 E是边的有序对或无序对组成的集合。 按照这种表示法，例9.1中的图可以简记为： G=V,E 其中：V=a,b,c,d E=(a,b), (b,c), (a,c), (a,a)
在一个图中，若两个结点由一条边(有向边或无向边) 关联，则称其中的一个结点是另一个结点的邻接点。并 称这两个结点相互邻接。 在一个图中不与任何结点相邻接的结点，称为孤立 点。 在一个图中，如果两条边关联于同一个结点，则称 其中的一个边是另一个边的邻接边。并称这两个边相互 邻接。关联于同一个结点的一条边叫做环或自回路。在 有向图中环的方向可以是顺时针，也可以是逆时针，它 们是等效的。 定义9.1.4 由孤立点组成的图叫做零图。由一个孤立 点组成的图叫做平凡图。 根据定义9.1.4，平凡图一定是零图。
第9章 图论
定理9.1.1 在任何图G=V,E中，所有结点度数的和 等于边数的2倍。即： deg( v ) = 2|E|
v V
证明：图的每一条边都和两个结点相关联，为每个 相关联的结点增加一度, 给图增加两度。所以所有结点度 数的和等于边数的2倍。 推论 在任何图G=V,E中，度数为奇数的结点必为 偶数个。
第9章 图论
定义9.3.5 设u，v是无向图G中的任意两个结点，若u 和v连通，则u和v之间最短路的长叫做结点u与结点v的距 离，记为d(u,v)。若u和v不连通，规定，u与v的距离为∞。 即d(u,v)=∞。 设G=V,E是无向图，u、v和w是V中的任意结点，G 的结点间的距离有以下的性质： ① d(u,v)≥0 ② d(u,u)=0 ③ d(u,v)＋d(v,w)≥d(u,w) ④ d(u,v)=d(v,u) 在n阶无向完全图Kn 中，每两个不同结点间都有一条 边，它们的距离是1。在零图中，每两个不同结点间都没 有路，它们的距离都是∞。 在图G中删除一个结点，就是将这个结点与它的所有 关联边全部删除。删除一个边，则仅去掉这个边。