人教版高中数学必修一1.3《单调性与最大(小)值》教学课件 (共13张PPT)

例5.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h (m)与时间t(s)之间 的关系为 h(t ) 4.9t 2 14.7t 18 ,那么烟花冲出后什么时候是它 爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少?(精确到1m)
解：由二次函数知识知，函数 h(t ) 4.9t 2 14.7t 18, 14.7 当t 1.5时，函数有最大值 2 ( 4.9) 4ac b 2 4 (4.9) 18 14.7 2 h 29 4a 4 ( 4.9)
0 .5
略解：先证函数f ( x ) [2, 6]上是单减的。
因此，函数f ( x )
2 在区间 x 1
O
1
2
3 4 5
6
7
x
2 在区间[2，的两个端点分别取得最大值 6] x 1 和最小值，即在x 2时取最大值，最大值是 2；在x 6时取最
小值，最小值是0.4.
归纳小结
对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点： （1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数 在不同的区间上可以有不同的单调性. （2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质.因 此，定义中的x1, x2 具有任意性，不能用特殊值代替. （3）由于定义都是充要性命题，因此由 f ( x) 是增(减) 函数，且 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) ，这说明单 调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关 系可以“正逆互推”。
例2 物理学中的玻意耳定律p
k ( k为正常数)告诉我们, V 对于一定量的气体，当其体积减小时，压强p将增大.试用
函数的单调性证明之.
k 分析 : 只要证明函数 p 在区间(0, )上是减函数即可. V
证明 : 根据单调性的定义，设V1 , V2是定义域(0, )上的 任意两个实数, 且V1 V2 , 则 k k V2 V1 p(V1 ) p(V2 ) k V1 V2 V1V2 V1 , V 2 ( 0 , ), 得 V1V 2 0; 由 V1 V 2 , 得 V 2 V1 0 V2 V1 又 k 0, k 0,即 p (V1 ) p (V 2 ) 0 p (V1 ) p (V 2 ) V1V2
例1.下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的
图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个 单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数.
归 纳 总例 结 1题 : : (1)证 明 函 数 补 充 f ( x ) 3 x 2在R上 是 增 函 数 . (1)取 值.即 设x1 , x 2是 定 义 区 间 内1 的 任 意个 两 值, 且x1 x 2 . ( 2作 )证 明 f (fx 在 (0过 , )上 是 减 函 数 . ( 2)作 差 变 形 .即 差 f (函 x1 数 ) ()x ), 并 通 因 式 分 解 配 方 2 x ` ` 有理化等方法 ,化 成 便 于 判 断 差 的 符 的 号形 式 . ( 3)定 号.确 定 差 f ( x1 ) f ( x 2 )的 符 号 ,当 符 号 不 确 定 时 ,可 以 进行分类讨论 . (4)判 断.根 据 定 义 作 出 结 论 .
k 即函数p 在区间( 0,)上是减函数. V
1 例3.求 函 数 y x ( x 0) x 的单调区间 .
例4、已知函数y=x2-2x+3在区间 (-∞,a]上单调递减，则a的取值 范围是＿＿.
通过观察图 象，对函数是否 具有某种性质， 作出一种猜想， 然后通过推理的 办法，证明这种 猜想的正确性， 是发现和解决问 题的一种常用数 学方法.
归纳总结 2: 函数单调性定义中的 x1 , x 2 , 有 三 特 征 : (1)同 属 一 个 单 调 区 间 . ( 2)具 有 任 意 性 ,即" 任 意 取 x1 , x 2 " , " 任 意 "二 字 决 不 能 丢 掉 .特 别 注 意 的 是 证 明 单 调 性更 时不 可 随 意 以 两 个 特值 殊替 换 . ( 3)有 大 小 ,通 常 规 定 x1 x 2 .三 者 缺 一 不 可 .
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
图 象 上 升
O
x1
x2
x
y
图 y f ( x) 象 下 f ( x1 ) f ( x2 ) 降
O
x1
x2
x
如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这个区间叫 做y=f(x)的单调区间。
“ f ( x ) x 2 在( , 0)上，随着 x的增大，相应的 f ( x )反 而随着减小 ” ，也可叙述为 :
“ 在( ,0 )上 ， 任 取x 1 , x 2 ,当 x 1 x 2时 , 有 f ( x 1 ) f ( x 2 ).”
单调函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的 定义域为I： 如果对于属于定义域I内某 个区间D上的任意两个自变 量的值 x1, x2 ,当x1< x2 时， 都有f(x1)<f(x2 )，那么就说 f(x)在区间D上是增函数. 如果对于属于定义域I 内区间D上的任意两个自变 量的值 x1, x2 ,当x1< x2 时， 都有f(x1)>f(x2 )，那么就说 f(x)在区间D上是减函数.
（4）最大值、最小值的意义.
y
3 2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 21 O 1 2 1 2 3
3
x
2.观 察 上 述 函 数 图 像 ,指 出
增大 . (1) 当x ( , ), x增 大 时 ,函 数f ( x ) x中 的y值 _______
增大 . ( 2) 当x [0, ), x增 大 时 ,函 数f ( x ) x 2中 的y值 _______
30 25 20 15 10
5
y
即烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29 m.
O 0 . 5 1 1 .5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
x
例6 已知函数 f ( x )
2 ( x [2, 6]), 求函数的最大值和最小值. x 1 y 2 分析：作函数f ( x ) ( x [2, 6]) 3 x 1 2 .5 2 2 的图象如右知, f ( x ) 在区间 1 .5 x 1 1 [2, 6]上是单减的，在端点处取最值.
1.3.1 单调性与最大（小）值
一、回顾引新
观察以下各个函数图象，你能说说它们分别反映了相对应 函数的那些变化规律吗？
y
3 2
1
y
3 2
1
3 21 O 1 2 1 2 3
3
x
3 21 O 1 2 1 2 3
3
x
单调函数的定义
1.分别作出下列函数的图象 : (1) y x (2) y x2
减小 . ( 3) 当x ( ,0), x增 大 时 ,函 数f ( x ) x 2中 的y值 _______
单调函数的定义
“f ( x ) x 2在(0, )上， 随着x的增大，相应的f ( x ) 也随着增大”， 也可叙述为 :
“在( 0,)上，任取x1 , x 2 , 得到f ( x1 ), f ( x 2 ), 当 x1 x 2时, 有 f ( x1 ) f ( x 2 ).”
最大最小值的意义
最大值定义: 一般地,设函数 y= f(x) 的定义域为I,如果存在实数M满 足: (1)对于任意的 x∈I ,都有 f(x)≤M ；(2)存在x0 ∈I, 使得 f(x0 )=M. 那么,我们称M是函数y= f(x)的最大值. 仿照上述定义,你能给出函数y=f(x)的最小值的定义吗? 最小值定义: 一般地,设函数 y= f(x) 的定义域为I,如果存在实数M满 足: (1)对于任意的 x∈I ,都有 f(x) M ；(2)存在x0 ∈I, 使得 f(x0 )=M. 那么,我们称M是函数y= f(x)的最小值.