第八章组合变形构件的强度

第八章 组合变形构件的强度

8．1概 述

到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。

由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。

本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。

8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合

在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。

现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。

设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角ϕ。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)：

ϕcos P P x = ϕsin P P y =

其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横

截面上的轴力x P N =。因此，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力，其值为

A

N =

'

σ 正应力'

σ在横截面上均匀分布，如图8—5c 所示。

分力y P 为垂直于杆轴线的横向外力，在此力的单独作用下，杆将在Oxy 平面内发生平面弯曲，任一横截面的弯矩为

)(x l P M y -= 此时在横截面上任一点K 的弯曲应力为

Z

I My

=

'

'σ ''σ沿截面高度方向的变化规律，如图8—5d 所示。

由此可见，这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。设在外力作用下杆件的变形很小，这时可应用叠加原理，将拉伸正应力'

σ与弯曲正应力''σ按代数值叠加后，得到横截面上的总应力为

I

My

A N +=

+='''σσσ ( 8—1 ) 设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于(或小于)拉伸正应力，则总应力σ沿截面高度方

向的变化规律如图8—5e(或8—5f)所示。

由于在固定端处横截面上的弯矩最大，因此，该截面为危险截面。从图8—5e 可知，构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于'

σ和''σ均为拉应力，故

总应力为两者之和，由此得最大拉应力为

Z

t W M A N max

max +=

σ ( 8—2 ) 在上边缘，由于'

σ为拉应力，而''σ为压应力，．故总应力为两者之差，由此得最大压应力为

Z

c W M A N max max -=

σ ( 8—3 ) 上两式中的m ax M 为危险截面处的弯矩；。Z W 为抗弯截面系数。

得到了危险点处的总应力后，即可根据材料的许用应力建立强度条件： []t Z t W M A N σσ≤+=

max

max （ 8—4 ） []c Z

c W M A N σσ≤-=

max

max （ 8—5 ） 式中[]t σ和[]c σ分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。

一般情况下，对于抗拉与抗压能力不相等的材料，如铸铁和混凝土等，需用以上两式分

别校核构件的强度；对于抗拉与抗压能力相等的材料，如低碳钢，则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。

对于偏心拉伸的杆件，上述公式仍然成立，只须将式中的最大弯矩m ax M 改为因载荷偏心而产生的弯矩Pe M =即可。若外力P 的轴向分力x P 为压力或偏心压缩时，上述公式中的第一项

A

N

则应取负号。 还应指出，在上面的分析中，对于受横向力作用的杆件，横截面上除有正应力外，还有因剪力而产生的切应力，必要时还需考虑切应力的强度。

例8—1 悬臂吊车如图8—6a 所示，横梁用25a 号工字钢制成，梁长l =4m ，斜杆与横梁的夹角 30=α，

电葫芦重1Q ＝4kN ，起重量2Q ＝20kN ，材料的许用应力[]σ＝100MPa 。试校核横梁的强度。

解：

(1)外力计算 取横梁AB 为研究对象，其受力图如图8—6b 所示。梁上载荷为

KN Q Q P 2421=+=，右端斜杆的拉力S 可分解为B X 、B Y 两个分力。横梁在横向力P 和A Y 、B

Y 作用下产生弯曲；同时在

A X 和

B X 作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。

当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件