第八章组合变形构件的强度
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第八章 组合变形构件的强度
8.1概 述
到现在为止,我们所研究过的构件,只限于有一种基本变形的情况,例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件,往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ,当起吊重物时,不仅产生弯曲,由于拉杆BC 的斜向力作用,而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴,若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形;矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形,前者是弯曲与压缩的组合;后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下,构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况,就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件,可以认为各载荷的作用彼此独立,互不影响,即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此,对组合变形构件进行强度计算,可以应用叠加原理,采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是:(1)将作用在构件上的载荷进行分解,得到与原载荷等效的几组载荷,使构件在每组载荷作用下,只产生一种基本变形;(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力;(3)将各基本变形情况下的应力叠加,然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时,可将上述应力进行代数相加;若处于复杂应力状态,则需求出其主应力,按强度理论来进行强度计算。
本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。
8.2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合
在外力作用下,构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况,称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用,这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中,常常还遇到这样一种情况,即载荷与杆件的轴线平行,但不通过横截面的形心,此时,杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合,这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子,如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移,则作用于杆件上的外力可视为两部分:一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩);力偶将使杆件产生弯曲。由此可见,偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。
现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。
设一矩形截面杆,一端固定,一端自由(图8—5a),作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内,并与杆的轴线x 成一夹角ϕ。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解,得到两个分力(图8—5b):
ϕcos P P x = ϕsin P P y =
其中,分力x P 为轴向外力,在此力的单独作用下,杆将产生轴向拉伸,此时,任一横
截面上的轴力x P N =。因此,杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力,其值为
A
N =
'
σ 正应力'
σ在横截面上均匀分布,如图8—5c 所示。
分力y P 为垂直于杆轴线的横向外力,在此力的单独作用下,杆将在Oxy 平面内发生平面弯曲,任一横截面的弯矩为
)(x l P M y -= 此时在横截面上任一点K 的弯曲应力为
Z
I My
=
'
'σ ''σ沿截面高度方向的变化规律,如图8—5d 所示。
由此可见,这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。设在外力作用下杆件的变形很小,这时可应用叠加原理,将拉伸正应力'
σ与弯曲正应力''σ按代数值叠加后,得到横截面上的总应力为
I
My
A N +=
+='''σσσ ( 8—1 ) 设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于(或小于)拉伸正应力,则总应力σ沿截面高度方
向的变化规律如图8—5e(或8—5f)所示。
由于在固定端处横截面上的弯矩最大,因此,该截面为危险截面。从图8—5e 可知,构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于'
σ和''σ均为拉应力,故
总应力为两者之和,由此得最大拉应力为
Z
t W M A N max
max +=
σ ( 8—2 ) 在上边缘,由于'
σ为拉应力,而''σ为压应力,.故总应力为两者之差,由此得最大压应力为
Z
c W M A N max max -=
σ ( 8—3 ) 上两式中的m ax M 为危险截面处的弯矩;。Z W 为抗弯截面系数。
得到了危险点处的总应力后,即可根据材料的许用应力建立强度条件: []t Z t W M A N σσ≤+=
max
max ( 8—4 ) []c Z
c W M A N σσ≤-=
max
max ( 8—5 ) 式中[]t σ和[]c σ分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。
一般情况下,对于抗拉与抗压能力不相等的材料,如铸铁和混凝土等,需用以上两式分
别校核构件的强度;对于抗拉与抗压能力相等的材料,如低碳钢,则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。
对于偏心拉伸的杆件,上述公式仍然成立,只须将式中的最大弯矩m ax M 改为因载荷偏心而产生的弯矩Pe M =即可。若外力P 的轴向分力x P 为压力或偏心压缩时,上述公式中的第一项
A
N
则应取负号。 还应指出,在上面的分析中,对于受横向力作用的杆件,横截面上除有正应力外,还有因剪力而产生的切应力,必要时还需考虑切应力的强度。
例8—1 悬臂吊车如图8—6a 所示,横梁用25a 号工字钢制成,梁长l =4m ,斜杆与横梁的夹角 30=α,
电葫芦重1Q =4kN ,起重量2Q =20kN ,材料的许用应力[]σ=100MPa 。试校核横梁的强度。
解:
(1)外力计算 取横梁AB 为研究对象,其受力图如图8—6b 所示。梁上载荷为
KN Q Q P 2421=+=,右端斜杆的拉力S 可分解为B X 、B Y 两个分力。横梁在横向力P 和A Y 、B
Y 作用下产生弯曲;同时在
A X 和
B X 作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。
当载荷移动到梁的中点时,可近似地认为梁处于危险状态。此时,由平衡条件