山东省德州市武城二中高中数学 《直线方程的一般式》学案 新人教A版必修2
人教A版高中数学必修二导学案直线的一般式方程
3.2.3直线的一般式方程一、学习目标：1、知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法： 学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、使用说明及学法指导:注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答。
牢记直线方程常见的几种形式，比较各种直线方程的形式特点和适用范围,多复习记忆。
平行班完成学案的AB 类题目.四、知识链接：点斜式方程：)(00x x k y y-=-斜截式方程：b kx y += 两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--五、学习过程：B 问题１（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？我们把关于关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式B 问题2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？C 问题3、在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 重合。
A 例1已知直线经过点A （6，-4），斜率为34-，求直线的点斜式和一般式方程。
A 例2把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
C 问题４、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？六、达标检测：第９９页A 练习第１，２，３ 习题３.２A 组１，１０.小结（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
高中数学直线方程部分学案新课标人教A版必修2
本章知识结构如下：从几何直观到代数表示（建立直线的方程）从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量）1．“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素－－点和倾斜角。
给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。
2．“直线的方程”一节首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线。
3．“直线的交点坐标与距离公式” 通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合。
通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。
第一节 直线的倾斜角与斜率(一)(倾斜角与斜率的概念)【自学导航】1. 直线的倾斜角定义:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（１）特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定倾斜角α＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （２）倾斜角的范围________2.直线的斜率的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（垂直于x 轴的直线斜率＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿） 3、已知1122(,),(,)A x y B x y 则AB 的斜率为＿＿＿＿＿＿＿＿． 4、对斜率k 的定义及对斜率与倾斜角关系的理解K=0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． k>0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． k<0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 垂直于x 轴的直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿＿＿．【问题探究】〖问题一〗求下列直线l 的斜率：（１）经过点)4,2(-A ，)4,3(--B ； （２）直线的倾斜角为0120．〖问题二〗如右图中，菱形ＯＡＢＣ中，060=∠AOC ，求菱形各边与对角线的倾斜角与斜率．〖问题三〗已知两点)1,2P的直线l与线段ＡＢ总有公共点，,0(-(-A，)2,3(B，若过点)1你能求出直线l的倾斜角与斜率的取值范围吗？【当堂练习】１．已知直线的倾斜角，指出直线的斜率：(1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）150°２.直线l经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是３.过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或44.若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则有( )A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k25．已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是 .6．已知P(3，m )在过M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是【拓展提升】A 组1．若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 2.已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________. 3．已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21，则x = 4．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值是( )A.a =4,b =0B.a =－4,b =－3C.a =4,b =－3D.a =－4,b =35．已知直线l 的倾斜角α为0135，点)1,4(-A ，)3,(-x B ，则x 的值为（ ）Ａ．8-Ｂ．4-Ｃ．０Ｄ．８6．若三点)3,2(A ，)2,3(-B ，),21(m C 共线，求m 的值．７．在同一直角坐标系中，画出经过点)2,0(A 并且斜率分别为2，2-，1-，１，０的五条直线．B 组８．如果直线l 经过A (－1,2m)、B (2，2m )二点，求直线l 的斜率K 的取值范围．９．光线从点)1,2(A 出发，射入y 轴上的点Ｐ，再由y 轴反射经过点)3,4(B ，试求点Ｐ的坐标及入射光线与反射光线所在直线的斜率．第一节 直线的倾斜角与斜率(2)(两条直线的平行与垂直)【自学导航】1.平面内不重合的两条直线的位置关系有______与____________.2.不重合的两条直线1l ,2l 的斜率分别为1k ,2k ,则(1)1l ∥2l ⇔________; (2)21l l ⊥⇔_________________ 3.特例:(1)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率也不存在时,则它们都垂直于_______,互相_____.(2)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率为0时,它们互相_____________【问题探究】〖问题一〗四边形ABCD 的顶点为)222,2(+A ,)2,2(-B ,)222,0(-C ,)2,4(D ,试判断四边形ABCD 的形状.〖问题二〗已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.〖问题三〗 已知点)1,1(A ,)2,2(B ,)3,3(-C ,求点D,使得CD ⊥AB,且CB ∥AD.【当堂练习】直线013:1=++y ax l ,0)2(:2=+-+a y a x l ,它们的倾斜角分别为1α,2α,斜率分别为1k ,2k .(1)=a _____时, 1α=1500;(2 ) =a _____时,2l ⊥x 轴;(3) =a _____时, 1l ∥2l ; (4) =a _____时, 1l 与2l 重合;;(5) =a _____时,2l ⊥2l .【拓展提升】A 组１．已知直线1l 经过两点(-1,-2)和(-1,4),直线2l 经过两点)1,2(,)6,(x ,且1l ∥2l ,则x=( ) A.2B.-2C.4D.12.下列说法正确的是( )A.平行的两条直线的斜率存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角相等C.垂直的两条直线的斜率的乘积为1-D.只有斜率相等的两条直线才一定平行3．经过点),2(m P - 和)4,(m Q 平行于斜率等于1的直线,则m 的值为( ) A.4B.1C.1或4D.1或34．已知直线l 与经过两点)2,3(-M ,)3,2(-N 的直线垂直,则直线l 的倾斜角为( ) A.60B.1200C.450D.13505．已知△ABC 的三个顶点)1,5(-A ,)1,1(B ,)3,2(C ,则其形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定6.已知直线1l 与2l 的斜率是方程0142=--x x 的两根, 则1l 与2l 的位置关系为_________. 7.已知直线1l 的斜率为2, 2l 过点)2,1(--A ,)6,(x B ,且1l ∥2l ,则=x 91log ___________.8.已知点)3,1(-M ,)2,1(N ,),5(y P ,且090=∠NMP ,则=y _________________. 9.已知点A(1,-1),)2,2(B ,)0,3(C 三点,求点D,使四边形ABCD 为平行四边形.B 组10.已知△ABC 的顶点)1,5(-A ,)1,1(B ,),2(m C ,若三角形ABC 为直角三角形,求m 的值.11．已知过原点的直线与函数x y 8log = 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作y 轴的平行线与x y 2log =的图象交于C 、D 两点。
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A 版必修2一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 一般式（general form ）：，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y 轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l 的直线方程是；经过点，且垂直于直线l 的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）与重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.四．自主探究例题精讲：【例1】已知直线：，：，问m 为何值时：（1）； （2）.解：（1）时，，则，解得m ＝0.（2）时，, 解得m ＝1.【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.解：直线l:3x+4y －12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.【例4】直线方程的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交.（3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线.（5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五．目标检测（一）基础达标1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）.A. B. C. D. 以上均不可能2．若，则直线必经过一个定点是（）.A. B. C. D.3．直线与两坐标轴围成的面积是（）.A． B． C． D．4．（xx京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（，12）在此直线上，则＝．（二）能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.9．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.（三）探究创新10．已知直线，，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.2019-2020年高中数学《3.2.4互斥事件》教案新人教版必修3【教学目标】1、用集合的观点理解互斥与对立事件；2、注意一题多解，和方法的灵活性。
【人教A版】高中数学必修二：3.2.3直线的一般式方程学案设计 新人教A版必修2
第三章直线与方程3.2 直线的方程3.2.3 直线的一般式方程学习目标1.明确直线方程一般式的形式特征,了解直线与二元一次方程的关系;2.会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距;3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.合作学习一、设计问题、创设情境问题1:我们前面学习了直线的几种形式的方程,它们分别是什么形式?这些方程中都有几个变量,为什么?这些方程的共同特征是什么?问题2:平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?问题3:设直线l是平面内任意一条直线,它的方程可以怎样写出?由于直线l是任意的,其斜率一定存在吗?应该怎样处理?二、学生探索、尝试解决问题4:二元一次方程有没有一般形式?能写出来吗?其中的系数A,B可以任意取值吗?问题5:方程2x+3y+6=0表示直线吗?它表示的是怎样的一条直线?每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线吗?三、信息交流、揭示规律问题6:方程x-2y+=0表示的直线与方程2x-4y+3=0表示的直线是否相同?只有当A,B,C 都确定时,方程Ax+By+C=0表示的直线才确定吗?四、运用规律、解决问题【例题】把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率以及它在x 轴与y轴上的截距,并画出图形.问题7:结合例题思考:二元一次方程的解和对应的直线上的点有什么关系?方程和直线能联系起来是谁的“功劳”?五、变式演练、深化提高变式训练:(1)直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程.(2)设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)上一点.证明:这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.六、信息交流、教学相长问题8:直线的一般式方程与前面学习的其他形式的直线方程的联系与区别是什么?七、反思小结,观点提炼问题9:(1)求直线方程应具有多少个条件?求出直线方程后应该将方程化为哪种形式?(2)二元一次方程Ax+By+C=0描述的是数x和y之间的一种关系,而直线是几何图形,它们是如何联系起来的?这体现了什么数学思想?今后我们能用直线的方程研究直线的问题吗?布置作业课本P100习题3.2A组第11题,B组第3,4,5题.参考答案一、问题1:四种;点斜式、斜截式、两点式、截距式;两个,x和y,因为直线的方程是描述直线上任意一点的坐标(x,y)的方程;都是关于x和y的二元一次方程.问题2:对任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0,y0),然后可以按照其斜率k是否存在,分两种情形求其方程.①当直线l的斜率k存在时,其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程;②当直线l的斜率k不存在时,即直线l的倾斜角α=90°时,直线的方程为x-x0=0,也可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.由①②可知,平面上的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.问题3:可以在直线上任取一点P0(x0,y0),再设其斜率为k,然后用点斜式写出来;不一定;按照斜率是否存在分类讨论.二、问题4:有;二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0;A,B不可以同时为零.问题5:表示过(0,-2)且斜为-的直线;当B≠0时,方程可变形为y=-x-,它表示过点(0,-),斜率为-的直线.当B=0时,A一定不为0,方程可变形为x=-,它表示过点(-,0),且垂直于x轴的直线.三、问题6:将两方程都化成斜截式后得到的方程都为y=x+,因此两方程表示的直线是相同(重合)的.当B≠0时,方程Ax+By+C=0可变形为y=-x-,因此只需确定两个比值即能确定直线;当B=0时,方程Ax+By+C=0可变形为x=-,因此只需再确定的值即可.四、【例题】解:将直线l的一般式化成斜截式y=x+3.因此,直线l的斜率k=,它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x-2y+6=0中,令y=0,得x=-6.即直线l在x轴上的截距是-6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-6,0),B(0,3).过点A,B作直线,就得直线l的图形.问题7:一一对应,即二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成一条直线;直角坐标系.五、变式演练习,深化提高变式训练:(1)x+3y-3=0或x+2y=0.(2)证明:因为点P0(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上一点,所以Ax0+By0+C=0,即C=-Ax0-By0,代入Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0.六、信息交流,教学相长问题8:其他形式的方程都可以转化为一般式方程;其他形式的方程都不能表示与x轴垂直的直线,而一般式方程可以表示平面上任何位置的所有直线,也就是说它更具有一般性.七、反思小结、观点提炼问题9:(1)两个;一般式.(2)通过直角坐标系使得二元一次方程Ax+By+C=0的每一组解(x,y)与直线上的每一个点有了一一对应的关系;数形结合;应该可以.。
高中数学 必修二(3.2.3 直线的一般式方程)示范教案 新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°. 由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课 新知探究 提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程. ②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B A ，在y 轴上的截距为-BC的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化. ④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下： 形 式 方程 局限 各常数的几何意义 点斜式 y-y 1=k(x-x 1) 除x=x 0外 (x 1,y 1)是直线上一个定点,k 是斜率 斜截式 y=kx+b除x=x 0外 k 是斜率,b 是y 轴上的截距 两点式121121x x x x y y y y --=-- 除x=x 0和y=y 0外 (x 1,y 1)、(x 2,y 2)是直线上两个定点 截距式by a x +=1 除x=x 0、y=y 0及y=kx外a 是x 轴上的非零截距,b 是y 轴上的非零截距一般式Ax+By+C=0无当B≠0时,-BA是斜率,-BC是y 轴上的截距 应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32 例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.。
高中数学直线方程部分学案新课标人教A版必修2
本章知识结构如下：从几何直观到代数表示（建立直线的方程）从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量）1．“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素－－点和倾斜角。
给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。
2．“直线的方程”一节首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线。
3．“直线的交点坐标与距离公式” 通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合。
通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。
第一节 直线的倾斜角与斜率(一)(倾斜角与斜率的概念)【自学导航】1. 直线的倾斜角定义:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （１）特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定倾斜角α＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （２）倾斜角的范围________2.直线的斜率的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（垂直于x 轴的直线斜率＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿） 3、已知1122(,),(,)A x y B x y 则AB 的斜率为＿＿＿＿＿＿＿＿． 4、对斜率k 的定义及对斜率与倾斜角关系的理解K=0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． k>0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． k<0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 垂直于x 轴的直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿＿＿．【问题探究】〖问题一〗求下列直线l 的斜率：（１）经过点)4,2(-A ，)4,3(--B ； （２）直线的倾斜角为0120．〖问题二〗如右图中，菱形ＯＡＢＣ中，060=∠AOC ，求菱形各边与对角线的倾斜角与斜率．〖问题三〗已知两点)1,2(-A ，)2,3(B ，若过点)1,0(-P 的直线l 与线段ＡＢ总有公共点，你能求出直线l 的倾斜角与斜率的取值范围吗？【当堂练习】１．已知直线的倾斜角，指出直线的斜率：(1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）150° ２.直线l 经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是３.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或4 4.若图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则有( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 25．已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .6．已知P(3，m )在过M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是【拓展提升】A 组1．若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为2.已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________. 3．已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21，则x = 4．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值是( )A.a =4,b =0B.a =－4,b =－3C.a =4,b =－3D.a =－4,b =3 5．已知直线l 的倾斜角α为0135，点)1,4(-A ，)3,(-x B ，则x 的值为（ ）Ａ．8-Ｂ．4-Ｃ．０Ｄ．８6．若三点)3,2(A ，)2,3(-B ，),21(m C 共线，求m 的值．７．在同一直角坐标系中，画出经过点)2,0(A 并且斜率分别为2，2-，1-，１，０的五条直线．B 组８．如果直线l 经过A (－1,2m)、B (2，2m )二点，求直线l 的斜率K 的取值范围．９．光线从点)1,2(A 出发，射入y 轴上的点Ｐ，再由y 轴反射经过点)3,4(B ，试求点Ｐ的坐标及入射光线与反射光线所在直线的斜率．第一节 直线的倾斜角与斜率(2)(两条直线的平行与垂直)【自学导航】1.平面内不重合的两条直线的位置关系有______与____________.2.不重合的两条直线1l ,2l 的斜率分别为1k ,2k ,则(1)1l ∥2l ⇔________; (2)21l l ⊥⇔_________________ 3.特例:(1)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率也不存在时,则它们都垂直于_______,互相_____.(2)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率为0时,它们互相_____________【问题探究】〖问题一〗四边形ABCD 的顶点为)222,2(+A ,)2,2(-B ,)222,0(-C ,)2,4(D ,试判断四边形ABCD 的形状.〖问题二〗已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.〖问题三〗 已知点)1,1(A ,)2,2(B ,)3,3(-C ,求点D,使得CD ⊥AB,且CB ∥AD.【当堂练习】直线013:1=++y ax l ,0)2(:2=+-+a y a x l ,它们的倾斜角分别为1α,2α,斜率分别为1k ,2k .(1)=a _____时, 1α=1500;(2 ) =a _____时,2l ⊥x 轴;(3) =a _____时, 1l ∥2l ; (4) =a _____时, 1l 与2l 重合;; (5) =a _____时,2l ⊥2l .【拓展提升】A 组１．已知直线1l 经过两点(-1,-2)和(-1,4),直线2l 经过两点)1,2(,)6,(x ,且1l ∥2l ,则x=( )A.2B.-2C.4D.1 2.下列说法正确的是( )A.平行的两条直线的斜率存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角相等C.垂直的两条直线的斜率的乘积为1-D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 3．经过点),2(m P - 和)4,(m Q 平行于斜率等于1的直线,则m 的值为( ) A.4 B.1 C.1或4 D.1或34．已知直线l 与经过两点)2,3(-M ,)3,2(-N 的直线垂直,则直线l 的倾斜角为( ) A.600 B.1200 C.450 D.13505．已知△ABC 的三个顶点)1,5(-A ,)1,1(B ,)3,2(C ,则其形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定6.已知直线1l 与2l 的斜率是方程0142=--x x 的两根, 则1l 与2l 的位置关系为_________. 7.已知直线1l 的斜率为2, 2l 过点)2,1(--A ,)6,(x B ,且1l ∥2l ,则=x 91log ___________.8.已知点)3,1(-M ,)2,1(N ,),5(y P ,且090=∠NMP ,则=y _________________.9.已知点A(1,-1),)2,2(B ,)0,3(C 三点,求点D,使四边形ABCD 为平行四边形.B 组10.已知△ABC 的顶点)1,5(-A ,)1,1(B ,),2(m C ,若三角形ABC 为直角三角形,求m 的值.11．已知过原点的直线与函数x y 8log = 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作y 轴的平行线与x y 2log =的图象交于C 、D 两点。
高中数学人教A版必修2导学案设计：3.2.3直线的一般式方程(学生版)
章节
3.2.3 课题直线方程的一般式
教学目标1.探究直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其形式特征；
2.会把直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程化为一般式方程；
3.会把直线的一般式方程转化为斜截式、截距式，进而求直线的斜率与截距。
教学重点直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化．教学难点直线的一般式方程的理解和应用．【复习回顾】
1.直线方程的四种特殊形式：
（1）点斜式：
直线l经过点
000
(,)
P x y，且斜率为k，直线l的方程。
（2）斜截式：
直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，直线l的方程。
（3）两点式：
经过
111
(,)
P x y，
2221212
(,)(,)
P x y x x y y
≠≠的直线方程。
（4）截距式：
在x，y轴上的截距分别为,a b（不为零）的直线方程。
2.根据下列条件写出直线的方程：
（1）斜率为3，且经过点(5,3)
A；（2）过点(3,0)
B-，且垂直于x轴；
（3）斜率为4，在y轴上的截距为-2；（4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；（5）经过(1,5),(2,1)
C D
--两点；（6）在x y轴上的截距分别为-3，-1.
课前预习案
【新知探究】
探究一、直线与二元一次方程的关系
问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程来表示吗？。
最新人教A版必修2高中数学 3.2.3 直线的一般式方程教案
使学生理解二元一次 方程的系数和常数项 对直线的位置的影响 。
3、在方程 Ax By C 0 中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线 教师引导学生回顾前面所学过的与 x 轴平行 和重合、与 y 轴平行和重合的直线方程的形式。 然后由学生自主探索得到问题的答案。 （1） 平行于 x 轴；（2）平行于 y 轴；（3）与
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备课人 课题 §3.2.3
授课时间 直线的一般式方程 明确直线方程一般式的形式特征；会把直线方程的
教 知识与技能 学 方程的点斜式、两点式化为一般式。 目 过程与方法 标 情感态度价值观 重点 难点 教 认识事物之间的普遍联系与相互转化； 启发引导，对比归纳 一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；会把直线
使学生体会把直线方 程的点斜式转化为一 般式，把握直线方程 一般式的特点。
x 轴重
合；（4）与 y 重合。 例5已知直线经过点A（6，4），斜率为 程。 学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈 教 学 小 结 课 后 反 思 。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约 定：一般按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列；
4 ，求直线的点斜式和一般式方 3
使学生体会直线方程
x 项的系数为正； x ， y 的系数和常数项一般不 的一般式化为斜截式
出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成 一般式。 例6把直线 l 的一般式方程 x 2 y 6 0 化成斜 截式，求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴上 3 的截距，并画出图形 ，和已知直线方程的 一般式求直线的斜率 和截距的方法。
直线方程的一般式。 对直线方程一般式的理解与应用 教学内容 教学环节与活动设计
学
设计Biblioteka 11、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以 用一个关于 x, y 的二元一次方程表示吗？
2014人教A版数学必修二《直线方程的一般式》学案
山东省德州市武城二中高中数学必修二《直线方程的一般式》1.重点：直线方程的一般式及各种形式的互化。
2.难点：据所给条件选取恰当形式求直线的方程，及对直线与二元一次方程关系的理解。
【学习过程】（一）自主学习（阅读课本，完成下列问题）1.任何关于x 、y 的二元一次方程0=++C By Ax （022≠+B A ）都表示；反之，任何的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
2.方程0=++C By Ax （022≠+B A ）叫做直线的，当0≠B 时，斜率B A k -=，当0=B 时，直线的斜率不存在；当0≠⋅B A 时，它在x 轴上截距为AC-，在y 轴上截距为BC-.（二）思考直线方程有哪几种形式，分别代表了怎样的直线？ 【例题分析】例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程。
（1）斜率是3，且经过点)3,5(A ；（2）过点)0,3(-B ，且垂直于x 轴； （3）斜率为4，在y 轴上的截距为2-； （4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； （5）经过)5,1(-A 、)1,2(-B 两点； （6）在x 、y 轴上的截距分别是3-，1-.例2.设直线l 的方程为)(02)1(R a a y x a ∈=-+++.（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （3）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围。
例3.（1）在直线)3(2-=+x k y 中，k 取任意实数，可得无数条直线，这无数条直线的共同特征是；（2）不论m 取何值，直线03=++-m y mx 恒过定点。
【反馈练习】1.直线l 的方程为0=++C By Ax ，若直线l 过原点和二、四象限，则（ ）A.⎩⎨⎧>=00B C B.⎪⎩⎪⎨⎧>>=000A B C C.⎩⎨⎧<=00AB CD.⎩⎨⎧>=00AB C2.过点)3,2(A ，)3,5(-B 的直线方程的一般式为（ ）A.3=xB.03=-xC.3=yD.03=-y3.直线031=-+-k y kx ，当k 变化时，所有直线都恒过点（ ）A.（0，0）B.（0，1）C.（3，1）D.（2，1）4.直线方程的一般式0=++C By Ax 可以化成斜截式方程的条件是，可以化成截距式方程的条件是。
人教A版高中数学必修二新课标教案直线的一般式方程
巩固所学知识和方法。
学生独立完成，教师检查、评价。
问题
设计意图
师生活动
8、小结
使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
9、布置作业
使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。
先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在 轴上的截距。求直线与 轴的截距，即求直线与 轴交点的横坐标，为此可在方程中令 =0，解出 值，即为与直线与 轴的截距。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）都表示一条直线吗？
使学生理解直线和二元一次方程的关系。
使学生理解直线方程的一般式的与其他形
学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：
新人教A版必修2高中数学学案教案： 3.2.3直线的一般式方程
数学 3.2.3直线的一般式方程教案 新人教A 版必修2授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）一、教学目标1、知识与技能（1）探索并掌握直线方程一般式的形式特征；（2）掌握直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化的方法；（3）了解在直角坐标系中，平面上的直线与x 、y 的一次方程是一一对应的。
2、过程与方法通过直角坐标系中直线与二元一次方程对应关系的探究，体会直线的一般式与平面上直线的关系，学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情感态度与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法； 难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系。
三、教材分析：1、提示概念内涵，反映客观事物的本质属性（1）联系旧知识，引入新概念；——回顾直线方程的特殊形式，说明它们都具有局限性，通过扩大概念的外延，引出新概念：一般式。
（2）充分用课本，剖析新概念；——“讲授新课”一段，分两个方面，每方面又分两种不同情况进行讨论；教学过程中又适当借助图形，最后得出“平面上的直线与二元一次方程一一对应”的结论。
（3）设计小例题，强化新概念；——例1具体地说明了直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点；例2除了说明一般式化斜截式，由已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法，强化这堂课的新概念外，也重温了前面所学过的知识——由方程如何画直线。
2、进行概念教学，注意运用数学方法，培养学生能力（1）抓住课题是字母系数方程的机会，进行“两分法”教学，培养全面、系统、周密地讨论问题的能力；（2）抓住“特殊式”与“一般式”在一定条件下可以互化，在解题中可以培养多向思维的能力。
四、教学过程（一）复习引入：1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：练习1：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8，– 2），斜率是21-；（)8(212--=+x y ） （2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（y – 2 = 0） （3）经过点P 1（3，– 2），P 2（5，– 4）；（353)2(4)2(--=-----x y ）O y xl x 1 O y x（4）在x 轴，y 轴上的截距分别为23，– 3。
高中数学(323 直线的一般式方程)教案(pdf)新人教A版必修2 教案
课题： 3.2.3直线的一般式方程教学内容：直线方程的一般式教学目的：掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式.教学重点：直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点：直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，及直线方程各种形式的互化.教学过程：一、课前复习在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.二、讲解新课提出问题(1)坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x ,y 的二元一次方程?(2)关于x ,y 的一次方程的一般形式A x +B y +C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?引入新课知识点1直线方程的一般式:A x +B y +C=0（其中A,B 不同时为0）(1)在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y =kx +b .2°当α=90°时，它的方程可以写成x =x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.(2)当B≠0时，方程可化为y =-B A x -B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x =-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论：关于x ,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x ,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把A x +B y +C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.指出:(1)一般地，需将所求的直线方程化为一般式.(2)特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形.形式方程局限各常数的几何意义点斜式y -y 1=k (x -x 1)除x =x 0外(x 1,y 1)是直线上一个定点,k是斜率斜截式y =kx +b除x =x 0外k 是斜率,b 是y 轴上的截距两点式121121x x x x y y y y −−=−−除x =x 0和y =y 0外(x 1,y 1)、(x 2,y 2)是直线上两个定点截距式by a x +=1除x =x 0、y =y 0及y =kx外a 是x 轴上的非零截距,b 是y 轴上的非零截距一般式A x +B y +C=0无当B≠0时,-B A 是斜率,-BC 是y 轴上的截距三、典例解析例1已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y +4=-34(x -6).化成一般式，得4x +3y -12=0.例2把直线l 的方程x -2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0，①移项，去系数得斜截式y =2x＋3.②由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y =0，可得x =－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （略）.例3（1）一条直线和y 轴相交于点P (0，2），它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的方程.（2）菱形的两条对角线长分别等于8和6，并分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.（3）求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：（1）设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝54，cos α＝±2)54(1−＝±53，∴tan α＝±34，∴由点斜式得：y －2＝±34x ，即y ＝34x ＋2，y ＝－34x ＋2为所求.（2）设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示.根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称.所以A (－４，0)，C （４，0），B （0，3），D （0，－3）。
高中数学3.2.3《直线一般式方程》导学案新人教A版必修2
3.2.3 《直线的一般式方程》导教案【学习目标】1、知识与技术：（ 1）明确直线方程一般式的形式特色；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，从而求斜率和截距；（ 3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法：学会用分类议论的思想方法解决问题。
3、感情态度与价值观：（1）认识事物之间的广泛联系与互相转变；（2）用联系的看法看问题。
【要点难点】1、要点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
【学法指导】注意逐字逐句认真审题，认真思虑、独立规范作答。
切记直线方程常有的几种形式，比较各样直线方程的形式特色和合用范围, 多复习记忆。
平行班达成教案的AB 类题目 .【知识链接】：点斜式方程：y y0k(x x0 )斜截式方程： y kx b 两点式：y y1x x1 (x1 x2 , y1 y2 )y2y1x2x1【学习过程】B 问题１（ 1）平面直角坐标系中的每一条直线都能够用一个对于x, y 的二元一次方程表示吗？（ 2 ）每一个对于x, y的二元一次方程Ax By C 0（A，B不一样时为0）都表示一条直线吗？我们把对于对于x, y 的二元一次方程Ax By C0（A，B不一样时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式B 问题 2、直线方程的一般式与其余几种形式的直线方程对比，它有什么长处？C 问题 3、在方程Ax By C0 中，A，B，C为什么值时，方程表示的直线（ 1）平行于x轴；（ 2）平行于y 轴；（3）与 x 轴重合；（4）与 y 重合。
A 例 1 已知直线经过点A（ 6， -4 ），斜率为4，求直线的点斜式和一般式方程。
3A 例 2 把直线l的一般式方程x 2 y 60 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
C问题４、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？【基础达标】第９９页 A 练习第１，２，３习题３ . ２ A 组１，１０.小结（1）请学生写出直线方程常有的几种形式，并说明它们之间的关系。
高中数学 3.2.3 直线的一般式方程学案 新人教a版必修2
3.2.3 直线的一般式方程课前预习学案一、预习目标通过预习同学们知道直线的方程都可以写成关于,x y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？二、预习内容1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.2.直线的方程都可以写成关于,x y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？提示：讨论直线的斜率是否存在。
3.任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
学习重点：直线方程的一般式。
学习难点：对直线方程一般式的理解与应用。
二、学习过程探究一：方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C为何值时，方程表示直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。
探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？答:探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？例1.已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和一般式方程.分析：直接用点斜式写出，然后化简。
解变式：求经过A（3，-2）B（5，-4）的直线方程，化为一般式。
例2、把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
分析：对式子变形，考察对截距的理解。
变式：已知直线经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。
反思总结二元一次方程的每一组解都可以看与平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组的集合，就是坐标满足二元一次方程的体点的集合，这些点的集合组成了一条直线。
平面直角坐标系就是把方程和曲线连起的桥梁。
我们已经学习了直线的一般式方程，那么，直线方程之间的区别与联系是什么？关键是理解方程和直线之间的关系。
高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修2
高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案新人教A版必修23.2.3直线的一般式方程学案一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 一般式（general form ）：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B-，y 轴上截距为C B-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=；经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=. 点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.【例4】直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交.（3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线.（5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五．目标检测（一）基础达标1．如果直线0Ax By C++=的倾斜角为45︒，则有关系式（）.A. A B=B. 0A B+= C. 1AB= D. 以上均不可能2．若0a b c-+=，则直线0ax by c++=必经过一个定点是（）.A. (1,1)B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)--3．直线1(0)ax by ab+=≠与两坐标轴围成的面积是（）.A．12ab B．1||2ab C．12abD．12||ab4．（2019京皖春）直线（32-）x+y=3和直线x+（23-）y=2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为13，则m，n的值分别为（）.A. 4和 3B. －4和 3C. －4和－3D. 4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= . 7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ．（二）能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B(4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.（三）探究创新10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.。
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1.重点：直线方程的一般式及各种形式的互化。
2.难点：据所给条件选取恰当形式求直线的方程，及对直线与二元一次方程关系的理解。
【学习过程】 （一）自主学习（阅读课本，完成下列问题）
1.任何关于x 、y 的二元一次方程0=++C By Ax （022≠+B A ）都表示 ； 反之，任何 的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
2.方程0=++C By Ax （022≠+B A ）叫做直线的 ，当0≠B 时，斜率
B A k -
=，当0=B 时，直线的斜率不存在；当0≠⋅B A 时，它在x 轴上截距为A
C -，在y 轴上截距为B C -. （二）思考
直线方程有哪几种形式，分别代表了怎样的直线？
【例题分析】
例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程。
（1）斜率是3，且经过点)3,5(A ；
（2）过点)0,3(-B ，且垂直于x 轴；
（3）斜率为4，在y 轴上的截距为2-；
（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；
（5）经过)5,1(-A 、)1,2(-B 两点；
（6）在x 、y 轴上的截距分别是3-，1-.
例2.设直线l 的方程为)(02)1(R a a y x a ∈=-+++.
（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
（3）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围。
例3.（1）在直线)3(2-=+x k y 中，k 取任意实数，可得无数条直线，这无数条直线的共同特征是 ；
（2）不论m 取何值，直线03=++-m y mx 恒过定点。
【反馈练习】
1.直线l 的方程为0=++C By Ax ，若直线l 过原点和二、四象限，则（ ）
A.⎩⎨⎧>=00B C
B.⎪⎩
⎪⎨⎧>>=000A B C C.⎩⎨⎧<=00AB C D.⎩⎨⎧>=00AB C 2.过点)3,2(A ，)3,5(-B 的直线方程的一般式为（ ）
A.3=x
B.03=-x
C.3=y
D.03=-y
3.直线031=-+-k y kx ，当k 变化时，所有直线都恒过点（ ）
A.（0，0）
B.（0，1）
C.（3，1）
D.（2，1）
4.直线方程的一般式0=++C By Ax 可以化成斜截式方程的条件是 ，可以化成截距式方程的条件是 。
5.在下面各情况下，直线0=++C By Ax （A 、B 不同时为零）的系数A 、B 、C 间的关系是：
（1）直线与x 轴平行时， ；
（2）直线与y 轴平行时， ；
（3）直线过原点时， 。
6.ABC ∆中，顶点)3,1(A ，AB 边上中线所在直线方程为012=+-y x ，AC 边上中线所在直线方程为01=-y ，求ABC ∆各边所在直线方程。