河南省商丘市第一高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题文含解析
河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题文【含答案】
共 10 种
其中至少有 2 人是使用手机支付的
1, 2, a,1, 2,b,1,3, a,1,3,b,2,3, a,2,3,b,1, 2,3共 7 种，
7
故所求概率为 .……………………………12 分
10
20.解：（1） 设椭圆的焦半距为c, 则 OF c, OA a, AF a c.
所以其1 中1又 3e , c a ac
当且仅当 b c 2 3 时等号成立．
综上，边 a 的取值范围为[2 3, ) ．………………………12 分
18 解：（1） 设等比数列的an公比为由题q意, 得
q3 a4 8, 解得q 2 a1
所以an a1qn1 3 2n1 ……………………………2 分
设等差数列的an公差bn为 d, 由题意得
. 3
所以又M到N 的 距1离 kd2= x1 x2 4
6
2k 2 1 1 k 2
4k 2 3
,
O
l
1 .
1 k2
SOMN
1d 2
MN
2
6 2k 2 1 4k 2 3
2
6
2k 2 1 4k 2 3 2 . ……………………………10 分
令t那么4kS2=2 3 3,
2 3 t 1 3 当1且仅1 当2时6取, 等号 t 3
8. 已知函数f是定x义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有x1,x2,
记a则(
f
3
) ,b
f
1,c
f
2
.
3
2
x2 f x1 x1 f x2 0.
x1 x2
A． a c b
B. a b c
C. c b a
2019-2020学年河南省商丘市高二下学期期末考试数学(文)试题及答案
所以所抽取的
2
人中男、女居民各有
1
人的概率为
p
C21C41 C62
8； 15
（2）由 K 2 90 35 20 25 10 2 5 3.841，
60 45 4530
所以在犯错的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评 价有差异.
18.解：（1） A
x
（3）下列三个函数： y kx b k 0 ， y ax2 bx c a 0 ， y loga x a 0, a 1 ，哪些是“自减
函数”？并说明理由．
22．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
1 2
t
（ t 为参数）.以原点 O 为极点，以 x 轴
y
3
3t 2
的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4 sin .
发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
cos
5
i
sin
5
6
在复平面内所对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．已知函数
f
x
ax 1 ax
bx
x2
（a
0且a
1），若
f
2
10 ，则
f
2
（
）
A． 10
B． 7
C． 4
D． 1
9．已知复数 z 满足 z 3 3，则 z 4i （ i 为虚数单位）的取值范围为（ ）
a
数学（文）试题参考答案
1-10DBCDA BCDAB 11-12.AC
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学(理)试卷(解析版)
数学（理科）试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.在ABC V 中，“A 45=o ”是“sinA =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果.【详解】当A 45=o 时，sinA =成立．若当A 135=o 时，满足sinA =．即由“A 45=o ”能推出“sinA =”；反之不一定成立.所以，“A 45=o”是“sinA 2=”的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可 【详解】解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可 【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩由23z x y =+得233zy x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40 B. 80C. 36D. 57【答案】D 【解析】 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题. 6.某个游戏中，一个珠子按如图所示通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A.532B.16C.516D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】从入口到出口4共由5个岔口，每个岔口的概率都是12，根据二项分布的概率计算公式可解 【详解】解：从入口到出口4共有2510C =种走法，其中每一岔口的概率都是12所以珠子从口4出来的概率为52512165P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】考查二项分布的概率计算，基础题.7.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合|||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率. 【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=-1x =-时，b y a=，|||AB OF =，根据对称性，有11,2b b a =⨯∴= )2222,3,b b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题.8.设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解 【详解】解：随机变量~(1,9)X N ，其期望为1因为(0)(1)P X P X a ≤=≥-，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，1011,3a a -=--=故选：B【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题. 9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->， 即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1 B. 34-C. 3-D.13【答案】C 【解析】 【分析】 把253434a a a a =-=代入2534234525341111a a a a a a a a a a a a +++++=+⋅⋅中，用上234594a a a a +++=即可【详解】解：{}n a 是等比数列253434a a a a =-= 234594a a a a +++=253423452534111143934a a a a a a a a a a a a +++++=+==--故选：C【点睛】利用等比数列的性质求值，基础题.11.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 13⎡⎢⎣⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】因为线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，根据垂直平分线的性质，2122PF F F c ∴==，又因为是存在一点P ，焦半径22PF c =必须大于或等于其最小值a c -，由此解不等式，同时注意椭圆的离心率一定小于1.【详解】解：如图，因为线段1PF 的中垂线经过2F ，2122PF F F c ∴==即在椭圆上存在一点P ，使得22PF c =2min 2PF c ≤，12,3,3c a c c a c a -≤≤≥ 又1ca<， 所以椭圆离心率的取值范围是113ca≤<， 故选：A【点睛】已知椭圆上存在一点求椭圆的离心率，注意椭圆的焦半径的最小值是a c -，同时椭圆的离心率一定小于1，基础题.12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 13,48⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,62⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--，所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作出2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象，利用导数等于斜率，求出临界直线的斜率AB AC k k 、即可. 【详解】解：函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象如下：易知21y kx =--恒过点(0,1)A -设直线AC 与ln 2y x x x =-相切于点(,ln 2)C x x x x -，ln 1y x '=-ln 21AC x x x k x-+=故ln 21ln 1x x x x x-+-=，1, 1AC x k ==-设直线AB 与232y x x =+相切于点23,2B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，322y x '=+2312AB x x k x++=，故2313222x x x x +++=1x =-， 31222AB k =-+=- 1122k -<-<-故1412k <<， 故选：B【点睛】已知两个函数图象交点情况，求参数的取值范围，是难题.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()ln 2f x x =+，则不等式()232f x -<的解集为_______.【答案】(2,2)-U 【解析】 【分析】()232f x -<等价于()()231f x f -<，转化成()231,221x x -<-<<L，再由230,x x ->>或()2x <，由()()12可得【详解】解：()ln 2f =+11=2()232f x -<等价于()()231f x f -<()ln 2f x x =+是()0,∞+的增函数()231,221x x -<-<<L又230,x x ->>()2x <由()()12得，不等式()232f x -<的解集为(2,2)-U故答案为：(2,2)-U【点睛】考查利用函数单调性解不等式，注意复合函数的定义域，基础题. 14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．【答案】9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真.命题，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴…； 命题命题q 为真时，所以1a …或()22a ≤-L ，则由()()12得2a -…或1a = 【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m na x ∴…，()11a ∴L …，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--…，所以1a …或()22a ≤-L 若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -…或1a = 故答案为：2a -… 或1a =【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题.16.设函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，若对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)-+∞ 【解析】 【分析】根据()()2x f x g x +=和()()f x g x 、分别奇、偶函数，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+，()(2)0af x g x +…可化为，()()2212222022x x x x a ---++…，令22x xt -=-，则()2222222222x x x xt --+-=+=+，1524t ≤≤，()()2212222022x x x x a ---++…化为，211022a t t ++…，即2a t t ≥--，()2g =t t t --，求出()2g =t t t--最大值即可 【详解】解：函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()(),()()f x f x g x g x ∴-=--= ()()()21x f x g x +=Q L()()()()()22x f x g x f x g x --+-=-+=L由()()12得，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+ ()(2)0af x g x +…可化为()()2212222022x x x x a ---++…122x Q 剟，24x ≤，1224x --≤-≤-15224x x -≤-≤令22x x t -=-，则()2222222222x x x xt --+-=+=+，1524t ≤≤ ()()2212222022x x x x a ---++…化为： 211022a t t ++…，即2a t t≥-- 令()2g =t t t --，()22g =1,t t'-+t ≤<()()22g =10,g t t t '-+<递增154t <≤，()()22g =10,g t t t'-+>递减 ()max g t g==-a ≥-则实数a 的取值范围是：a ≥-故答案为： )⎡-∞⎣【点睛】考查奇偶函数的性质以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小；（2）设ABC V 的面积为a 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）)+∞ 【解析】 【分析】（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC V 的面积为1sin 2bc A ==，得12bc = ，由余弦定理可得：a ≥=，【详解】解：（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC V 的面积为1sin 2bc A ==，解得12bc =由余弦定理可得：a ≥=，当且仅当b c ==.综上，边a 的取值范围为)+∞【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）d =（2）sin 5θ= 【解析】【详解】解法一：（1）等体积法．取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB =OM OB ．CD ，MO ．CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ．平面BCD ，所以MO ．AB ，MO ．平面ABC ．M 、O 到平面ABC 的距离相等．作OH ．BC 于H ，连MH ，则MH ．BC ．求得OH =OC•cos30︒=，MH 2=． 设点θ到平面ACM 的距离为d ，由(0,0,23)BA =u u u r得．即11122332⋅=⋅⋅⋅解得d =（2）延长AM 、BO 相交于E ，连CE 、DE ，CE 是平面与平面BCD 的交线．由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.作BF ．EC 于F ，连AF ，则AF ．EC ，．AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ. 因为．BCE =120°，所以．BCF =60°.2sin 60BF ︒==tan 2AB BF θ==，sin 5θ=.则所求二面角的正弦值为sin θ=解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ．CD ，OM ．CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ．平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图．OB =OM，则各点坐标分别为C （1，0，0），M （0，0），B （0，0），A （0，）.（1）设(,,)n x y z =u u r 是平面MBC的法向量，则BC =u u u r,BM =u u u u r. 由n BC ⊥u u r u u u r得0x +=； 由n BM ⊥u u r u u u u r得BC =u u u r．取．(0,0,23)BA =u u u r，则BA n d n ⋅===u u u r rr ． （2）(CM =-u u u u r ，(1,CA =-u u u r.设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，由11{n CM n CA ⊥⊥u r u u u u ru r u u u r 得0{0x x -+=--+=解得x =，y z =，取1,1)n =u r .又平面BCD 的法向量为2(0,0,1)n =u u r.所以12112cos ,n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u r u u r ， 设所求二面角为θ，则sin θ=.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1212,F F F F =、，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且124AF AF += （1）求椭圆C 的方程；（2）若A 、B 两点关于原点O 的对称点分别为,A B ''，且AOB 90∠=o ，判断四边形ABA B ''是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2245x y +=【解析】 【分析】（1）因为12||F F =，所以c =，124AF AF +=，所以24a =，解得2a =，代入方程即可（2）①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为AOB 90∠=o ，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，22445k m +=，原点O 到直线l的距离d ==同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=②当直线l 的斜率不存在时，同理说明即可 【详解】解：(1)因为12||F F =，所以c =，.因为直线l 与椭圆C 交于，两点，且12||4||AF AF =-，所以12||||4AF AF +=，所以24a =，解得2a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=(2)①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=，222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-，所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 因为AOB 90∠=o ，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++所以22445k m +=，所以原点O 到直线l的距离5d==根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y += ②当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为xn =，不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上、下交点，则((,A n B n ，由90AOB ︒∠=，得OA OB ⊥u u u r u u u r ，22404n n --=，解得245n =，所以此时原点O 到直线l. 根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=. 综上可知，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=【点睛】考查椭圆方程的求法，判断四边形是否存在内切圆转化为判断一定点到四边的距离是否相等，难题20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】 【分析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为：所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题.21.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）若函数()f x 在x =1时取得极值，求实数a 的值； （2）当0＜a ＜1时，求()f x 零点的个数. 【答案】（1）1；（2）两个 【解析】 【分析】(1) 函数()f x 在x =1时取得极值，得(1)0f '=，解得1a =，1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，求单调区间，验证()f x 在x =1时取得极值 （2）(21)(1)()0x ax f x x '+-==，由01,a <<，得11,x a=>()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a+∞，，其极小值为11()ln 1f a a a =+-，21222()110a a a a e f e e e e e ---+=++>+=>，函数()f x 在1(0)a，上有且仅有一个零点，根据ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a ->，又因为01a <<，所以31a a a ->，所以当3a x a->时，()0f x >，根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点. 【详解】解：(1)()f x 定义域为(0)+∞，，22(2)1(21)(1)()ax a x x ax f x x x+--+-='=， 由已知，得(1)0f '=，解得1a =， 当1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，所以()001,f x x <⇔<<'，()01,f x x >⇔>'所以()f x 减区间为(01)，，增区间为(1)，+∞， 所以函数()f x 在1x=时取得极小值，其极小值为(1)0f =，符合题意，所以1a = (2)令(21)(1)()0x ax f x x '+-==，由01,a <<，得11,x a=>所以1()00f x x a <⇔<<'，1()0f x x a>'⇔>， 所以()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a+∞，， 所以函数()f x 在1x a=时取得极小值，其极小值为11()ln 1f a a a =+-， 因为01a <<，所以ln 0a <，11a>， 所以110a-<，所以11()ln 10f a a a =+-<， 因为21222()110a a a a e f e e e e e---+=++>+=>， 根据零点存在定理，函数()f x 在1(0)a ，上有且仅有一个零点， 因为ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a ->，又因01a <<，所以31a a a ->， 所以当3a x a->时，()0f x >， 根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点， 所以，当01a <<时，()f x 有两个零点.【点睛】考查根据函数极值情况确定参数的范围和函数零点个数，难题.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩ (其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=. （1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.【答案】（1）24y x =，22(4)1x y +-=；（2）【解析】【分析】（1）把4y t =代入到24x t =中即可.把222,sin x y y ρρθ=+=代入28sin 150ρρθ-+=（2）直线l 的参数方程为2cos 424sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知22320t t ++=4，因为12320t t =>，可知2212||||||2C A C B t t +=+=4【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-= (2)可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为2cos 4224sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知22320t t ++=4，因1232t t =，可知2212||||||C A C B t t +=+=【点睛】考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程，根据直线方程中参数的几何意义求线段之和，中档题.23.已知()|1||21|f x x x =+--.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【解析】【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
河南省商丘市第一高级中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题文
河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、 若数列{}n a 满足：,,3,2,1,2,111 ===+n a a a n n 则=+++n a a a 21( ) A.121--n B.12-n C.22-n D.121-+n2、已知△ABC 中，1:4:1::=C B A ，则a ：b ：c 等于（ ） A.3:1:1 B.3:2:1 C.1:3:1 D.1:4:13、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则9S =（ ）A. 1B.101 C. 109 D. 301 4、已知向量),1,1(),1,11(yb xa =-=,若,则y x +的最小值为( )A.4B.5C.6D.75、已知0,,>>∈y x R y x ,则( ) A.y x 11> B.y x sin sin > C. y x )21()21(< D. 0ln ln >+y x6、各项均不为零的等差数列中，若),2(,02112++-∈≥=--N n n na na a n n n ，则=20S （ ） A.B.C.D.7、已知锐角ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若A B 2=,则bAa sin 2的取值范围( ) A.)1,33(B.)3,23(C.)3,1(D.)3,33( 8、在等比数列}{n a 中,首项11=a ,且543,2,4a a a 成等差数列, 若数列}{n a 的前n 项之积为n T ,则=9T ( )A.B.C.D.9、在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若C A C A b c a sin cos 5cos sin ,222==-,,则的值为( ）A.2B. 3C. 4D. 510、 △ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能 11、已知的三边长分别为,,,有以下四个命题:(1)以,,为边长的三角形一定存在; (2)以,,为边长的三角形一定存在; (3)以,,为边长的三角形一定存在; (4)以,,为边长的三角形一定存在.其中正确命题的个数为( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④12、设0>>b a ，则abb a a a 1)(122+-+的最小值为（ ） A.2 B. 52 C. 4 D. 24第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13、已知函数()(1)1mf x x x x =+>-+的最小值为5，则=m .14、已知数列}{n a 中,首项11=a ,且321+=+n n a a , 若数列}{n a 的前n 项和=n S __________.15、设不等式表示的平面区域为,若直线1-=kx y 上存在内的点,则实数的取值范围为__________.16、在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若ABC ∆的面积22)c b a S --=（,且8=+c b ,则S 的最大值为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、已知函数.(1)解不等式;(2)若存在实数,使得,求实数的取值范围.18、（1) 若b a ,均为正数，且1=+b a .证明：16)12)(12(≥++ba ；（2）设集合}1|35||{<-=x x A ；集合2{|(21)(1)0}B x x a x a a =-+++≤，若A B A =，求实数a 的取值范围.19、在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知A c a c sin 23,2==， （1）求角C（2）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,.20、在等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,首项71=a ,2a 为整数，且4S S n ≤. (1)求}{n a 的通项公式; (2)设11+=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .21、如图,分别是锐角的三个内角的对边,,.(1)求的值;(2)若点D 在边BC 上且BD CD 3=,ABC ∆的面积为14,求AD 的长度.22、已知数列}{n a 满足11=a ,且),2(221+-∈≥+=N n n a a n n n . (1)求证:数列}2{n na 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式； (2)求数列}{n a 的前n 项和n S .高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题1. B2.C3.C4. A5. C6. D7. A8. B9. B 10. A 11. D 12. D 二．填空题 13. 9 14. 2234n n +-- 15. 3[,4]216. 6417三、解答题： 17.(1)设则,函数,.......2分当时,由得； 当时,由得,当时,由得............4分 综上解集为或............5分(2)即,......6分使不等式成立........7分又.........9分∴,.........10分 18.（Ⅰ） ∵b a ，均为正数，1=+b a)3)(3()2)(2()12)(12(ba ab b b a a b a b a ++=++++=++1623103310=⋅⨯+≥++=b a a b b a a b 当且仅当，即时取等号...........6分（2）由题意解得：24{|}55A x x =<<，{|1}B x a x a =≤≤+ 由AB A =，即A B ⊂，且12a =和11a +=等号不能同时取到，则25415a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，...............10分故所求实数a 的取值范围是12[,]55-..............12分19、解：（1）∵A c a sin 23=， ∴A C A sin sin 2sin 3=，…2分∵),0(π∈A ， ∴0sin ≠A ∴23sin =C ， .......4分 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴3π=C ．…6分（2）∵3π=C ，c =2，由余弦定理及已知条件，得422=-+ab b a ，①…8分又因为△ABC 的面积等于3， 所以3sin 21=C ab ,得4=ab ．②…10分 联立①②，解得2==b a ，…12分20、(1)由71=a ,2a 为整数,所以等差数列}{n a 的公差d 为整数........1分 又4S S n ≤,故0,054≤≥a a ,于是047,037≤+≥+d d ,解得4737-≤≤-d ,......4分 因此2-=d ,故数列}{n a 的通项公式为n a n 29-=.......6分(2) 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==++1111211n n n n n a a a a b ........7分 )11...1111(21...13221321+-++-+--=++++=n n n n a a a a a a b b b b T .......9分)27(7)27171(21)11(2111n nn a a n -=---=--=+.........12分 21、(1)由题知,则,,因为锐角,所以,.....3分由,得,所以........6分(3) 由正弦定理,..........7分又,,解得,............9分所以2=BD ...........10分由余弦定理,,解得37=AD ............12分22、(1)证明:因为,所以,.....3分即,所以数列是等差数列,.......4分且公差,其首项,所以,解得........6分(2)①,.....7分②,①②,得,所以.........12分。
2019-2020学年商丘市九校联考高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年商丘市九校联考高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设复数z =−1+2i ，(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z −在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若l 1：x +(1+m)y =2−m ，l 2：2mx +4y +16=0的图象是两条平行直线，则m 的值是( )A. m =1或m =−2B. m =1C. m =−2D. m 的值不存在3. 以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ζ服从正态分布N(1,σ2)，P(ζ≤5)=0.81，则P(ζ≤−3)=0.19；④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 若(√x +2x )n 展开式中的第5项为常数，则n =( )A. 10B. 11C. 12D. 135. 下列导数公式正确的是( )A. (sina)′=cosa(a 为常数)B. (e −x )′=e −xC. ( sinx)′=−cosxD. (−1x )′=1x 26. 函数的图像在点处切线方程为，则( )A. 4B. 3C. 2D. 17. 定积分∫(2π01−cosx)dx 的值为( )A. 2πB. 2π+1C. −2πD. 2π−18. D 为△ABC 的边BC 的中点，E 为AD 中点，若AD =a ，则(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·EA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a22B. a 22C. −2a 2D. a 29. 三次函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d(b,c ，d ∈R)在区间[−1,2]上是减函数，那么b +c 的取值范围是( )A. (−∞, 152)B. (−∞, −152)C. A(x 0,f(x 0))D. (−∞,−152]10. 设，则函数的零点位于区间( )A. (0,1)B. (−1,0)C. (1,2)D. (2,3)11. 若(3x +)n 的展开式中各项系数的和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有( )A. 2项B. 3项C. 5项D. 6项12. 5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有( )．A. 18B. 24C. 36D. 48二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)=______． 14. 在数列中，，，设，记为数列的前项和，则= ．15. 已知数列{a n }满足a 1=−1，a 2>a 1，|a n+1a n|=2n (n ∈N ∗)，若数列{a 2n−1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n =______．16. 用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n −1<n(n ∈N ∗，且n ≥2)，第一步要证的不等式是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 实数x 取何值时，复数z =(x −2)+(x +3)i ：(1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？18. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，若他们3人分别向目标各发1枪，求命中目标的次数X 的概率分布．19. 7个人排队买电影票，票价为50元.7人中有4个人仅持有50元纸币，其余3个人仅持有100元纸币．若每个人只买一张电能票，且售票处开始售票时，无零钱可找，求在买票过程中没有一个人等候找钱的概率．20. 某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮比赛，规则是：每位教师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，所有参加的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品．某位教师二分球的命中率是12，三分球的命中率是13． (Ⅰ)求该教师恰好投中四个球的概率；(Ⅱ)记该教师获得奖品数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b≠c，且bcosB=ccosC，延长线段BC到点D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，(Ⅰ)求证：∠BAC是直角；(Ⅱ)求tan∠D的值．22.已知函数f(x)=x3+ax2−a2x−1，其中a∈R．(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)若f(x)≥−2对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的最小值；(3)若关于x的不等式f(x)≥0在(−∞,−1]上有解，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：由共轭复数的概念求得z−表示点的坐标得答案．本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．解：∵z=−1+2i，∴z−=−1−2i，则复数z的共轭复数z−在复平面上对应的点的坐标为(−1,−2)，位于第三象限．故选：C．2.答案：B解析：解：若l1：x+(1+m)y=2−m，l2：2mx+4y+16=0的图象是两条平行直线，则应满足1×4=(1+m)×2m得m=1或m=−2，当m=−2时，两直线重合．故选B．由1×4=(1+m)×2m得m=1或m=−2，当m=−2时，两直线重合．本题考查了判断两条直线平行的方法，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了用相关系数判断线性相关性的强弱、考查了正态分布的对称性及系统抽样方法，熟练掌握正态分布的对称性及用相关系数的绝对值的大小与两个随机变量的线性相关性的强弱的关系是关键．利用系统抽样方法的特征判断①是假命题；根据|r|越趋近于1，两个随机变量的相关性越强，判断②是否为真命题；利用正态分布的对称性求得P(ζ≤−3)，可判断③是否为真命题；根据随机变量k2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，判断④是否为真命题．解：①是系统抽样，∴①是假命题；②根据|r|越趋近于1，两个随机变量的相关性越强，得②是真命题；③根据正态分布的对称性，P(ζ≤−3)=P(ζ≥5)=1−0.81=0.19.∴③是真命题；④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故选：C．4.答案：C解析：解：∵(√x+2x)n展开式中的第5项为常数∴n−42=4∴n=12故选C由二项式项的公式表示出第五项，根据未知数的指数为0建立方程求出n本题考查二项式系数的性质，解题的关键是根据项的公式建立方程求n，体现方程的思想．熟练记忆公式是解本题的关键．5.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，sinα为常数，则(sinα)′=0，A错误；对于B，(e−x)′=−e−x，B错误；对于C，(sinx)′=cosx，C错误；对于D，(−1x )′=1x2，D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项中导数的计算，综合即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．6.答案：C解析：本题主要考查了导数的几何意义．利用函数在切点处的导数就是切线的斜率求出f′(5)=−1，根据在切线上，则f(5)=−5+8=3．∴f(5)+f′(5)=−1+3=2．故选 C ．7.答案：A解析：找出被积函数的原函数，然后代入积分上下限计算即可．本题考查了定积分的计算，关键是正确找出被积函数的原函数，正确计算． 解：∫(2π01−cosx)dx =(x −sinx)|02π=2π； 故选A ．8.答案：A解析：解：∵E 为AD 中点，AD =a ，∴EB⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(−12)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−12a 2， 故选：A ．作出图形，依题意可得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用平面向量的数量积即可得答案．本题考查平面向量的数量积的运算，求得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：解：由f(x)=x 3+bx 2+cx +d ， 则f′(x)=3x 2+2bx +c ．要使函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d 的区间[−1,2]上是减函数，则f′(x)=3x 2+2bx +c ≤0在x ∈[−1,2]上恒成立． 所以{f′(−1)≤0f′(2)≤0，即{3−2b +c ≤012+4b +c ≤0．以b 为横轴，c 为纵轴画出可行域如图， 联立{3−2b +c =012+4b +c =0，解得{b =−32c =−6．所以可行域上顶点为(−32,−6)． 则b +c 的最大值为−32−6=−152． 故b +c 的取值范围是(−∞,−152]. 故选：D求出原函数的导函数，由导函数在x ∈[−1,2]上恒成立列出关于b ，c 的不等式组，然后利用线性规划知识求得b +c 的取值范围．本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．10.答案：A解析：试题分析：因为，由零点存在性定理知，在内有零点，有为单调函数，故存在唯一零点，选A ．考点：零点存在定理．11.答案：B解析：令x =1，则22n =1024，∴n =5． T r+1=(3x)5−r ()r=·35−r．含x 的整数次幂即使为整数，r =0，r =2，r =4，有3项．12.答案：C解析：试题分析：解：首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是3×2×1=6，所以是3×2×3×2×1=36种故答案为C考点：排列组合点评：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，本题易出错的地方是甲和乙两个人之间还有一个排列，容易漏掉．13.答案：0.4解析：解：依题意得，随机变量ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3．P(ξ=k)=C4k C23−kC63，k=1，2，3．∴所以X的分布列为：ξ123P153515由分布列可知Eξ=1×15+2×35+3×15=2，∴Eξ2=225，Dξ=Eξ2−(Eξ)2=225−22=0.4，故答案为：0.4．本题是一个超几何分步，用ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3.结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和方差．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查运用概率知识解决实际问题的能力．14.答案：解析：试题分析：则题意可得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，从而有，所以，所以数列的前99项的和为．考点：数列的性质与求和．15.答案：(−1)n⋅2n(n−1)2解析：本题考查了递推关系、数列的通项公式、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列{a n}满足a1=−1，a2>a1，|a n+1a n |=2n(n∈N∗)，可得|a2a1|=2，a2=2，a3=−8，a4=64，…，由于数列{a2n−1}单调递减，数列{a2n}单调递增，可得a n+1a n=−2n，利用“累乘求积”即可得出．解：∵数列{a n}满足a1=−1，a2>a1，|a n+1a n|=2n(n∈N∗)，∴|a2a1|=2，解得a2=2.同理可得：a3=−8，a4=64．∵数列{a2n−1}单调递减，数列{a2n}单调递增，∴a n+1a n=−2n，∴a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=(−1)n×2n−1×2n−2×…×22×2×1=(−1)n×2n(n−1)2．∴a n=(−1)n⋅2n(n−1)2．故答案为：(−1)n⋅2n(n−1)2．16.答案：1+12+13<2解析：解：1+12+13+⋯+12n−1<n(n∈N∗，且n≥2)，左侧的表达式的分母可知第k项是由1，2，3，到2k−1，结束；第一步要证的不等式是：1+12+13<2．故答案为：1+12+13<2．观察不等式的特点，然后写出结果即可．本题考查数学归纳法的应用，注意观察表达式的特征是解题的关键．17.答案：解：z =(x −2)+(x +3)i ．(1)由x +3=0，得x =−3．∴当x =−3时，复数z 为实数；(2)由x +3≠0，得x ≠−3．∴当x ≠−3时，复数z 为虚数；(3)由{x −2=0x +3≠0，解得x =2． ∴当x =2时，复数z 是纯虚数．解析：(1)由虚部等于0求得x 的值；(2)由虚部不为0求得x 的值；(3)由实部为0且虚部不为0求得x 的值．本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．18.答案：解：设甲、乙、丙3名运动员击中目标分别为事件A ，B ，C ，则P(A)=0.7，P(B)=0.8，P(C)=0.85，所以P(A −)=1−0.7=0.3，P(B −)=1−0.8=0.2，P(C −)=1−0.85=0.15，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=P(A −B −C −)=0.3×0.2×0.15=0.009P(X =1)=P(AB −C −)+P(A −BC −)+P(A −B −C)=0.7×0.2×0.15+0.3×0.8×0.15+0.3×0.2×0.85=0.108，P(X =2)=P(ABC −)+P(AB −C)+P(A −BC)=0.7×0.8×0.15+0.7×0.2×0.85+0.3×0.8×0.85=0.407，P(X =3)=P(ABC)=0.7×0.8×0.85=0.476，所以X 的分布列为解析：先利用对立事件的概率求出3名运动均未击中目标的概率，由于3名运动员是否击中目标互不影响，所以随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，然后结合独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得解．本题考查离散型随机变量的分布列、独立事件的概率、对立事件的概率，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．19.答案：解：设a i ，i =1，2，3是3个持有100元纸币的观众，b i ，i =1，2，3，4是4个持有50元纸币的观众，下标号码分别表示他们排队的先后顺序．设A i 表示“第i 个持有100元纸币的观众a i 不需要等候找钱”事件，i =1，2，3．观众a i 与4个持有50元纸币的观众b 1，b 2，b 3，b 4共5个人排队时，a 1不应排在第1的位置，所以P(A 1)=45．在事件A 1发生的条件下，观众a 2与不排在a 1前面的另外3个持有50元纸币的观众共4人排队时，a 2不应排在第1个位置，∴P(A 2|A 1)=34．同理，可知P(A 3|A 1A 2)=23．所以3个持有100元纸币的观众不需要等候找钱的概率为P(A 1A 2A 2)=P(A 1)P(A 2/A 1)P(A 3/A 1A 2)=45×35×23=25．答：买票过程中没有一个人等候找钱的概率为25解析：买票过程中没有一个人等候找钱的概率，即买票过程中可以直接找零．本题考查了条件概率，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，∴概率是P =C 43×(12)4×13+(12)4×(23)3=11108； (Ⅱ)ξ可能取值有1，2，3，4，P(ξ=2)=C 43×(12)4×13+(12)4×C 31×13×(23)2=19，P(ξ=3)=(12)4×C 32×(13)2×23=172，P(ξ=4)=(12)4×(13)3=1432，P(ξ=1)=1−P(ξ=2)−P(ξ=3)−P(ξ=4)=377432．∴ξ的分布列是ξ1234P 377432191721432数学期望是Eξ=377432+29+372+4432=5548．解析：(Ⅰ)该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出；(Ⅱ)ξ可能取值有1，2，3，4，P(ξ=1)=1−P(ξ=2)−P(ξ=3)−P(ξ=4)，P(ξ=2)表示投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球与投三次3分球只投中一次三分球，P(ξ=3)表示投中四个二分球两个三分球，P(ξ=4)表示投中四个二分球与3个三分球，可得ξ的分布列，利用数学期望计算公式即可得出．本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)证明：由正弦定理可得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C，∵b≠c，∴2B+2C=180°，∴B+C=90°，∴∠BAC=180°−90°=90°，(Ⅱ)：如图所示：过点C做CE⊥AC，∵BC=4，BC=4CD，∴CD=1，BD=5，∵∠BAC=90°，∴CE//AB，∴CEAB =DEAD=CDBD=15，设CE=x，则AB=5x，∵∠CAD =30°，∴AE =2x ，AC =√3x ，∴DE DE+2x =15， ∴DE =12x ，∵AB 2+AC 2=BC 2，∴25x 2+3x 2=16，解得x =2√77， 在△CED 中，∠CED =120°，CE =2√77，CD =1， 由正弦定理可得CE sinD =CD sin∠CED ，即sinD =2√77×√321=√217， cosD =√1−sin 2D =2√77， ∴tanD =sinD cosD =√32． 解析：(Ⅰ)根据正弦定理以及二倍角公式即可证明，(Ⅱ)如图所示：过点C 做CE ⊥AC ，根据平行线分线段成比例定理，设CE =x ，则AB =5x ，AD =52x ，再根据勾股定理可得x 的值，再由正弦定理，sinD =√217，再根据同角的三角函数的关系即可求出答案．本题考查了解三角形的有关知识以及平行线分线段成比例定理和正弦定理和同角的三角函数的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．22.答案：解：根据题意得，函数f′(x)=3x 2+2ax −a 2(a ∈R)；(1)当a =1时，f′(x)=3x 2+2x −1=0⇒x =−1或13；令f′(x)>0⇒x <−1或x >13；令f′(x)<0⇒−1<x <13；∴函数f(x)的极大值为f(−1)=−1+1+1−1=0；极小值为f(13)=127+19−13−1=−3227；(2)∵f(x)≥−2对任意的x ∈(0,+∞)恒成立⇔x 3+ax 2−a 2x +1≥0对任意x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=x 3+ax 2−a 2x +1，∴g′(x)=3x 2+2ax −a 2=(3x −a)(x +a)；令g′(x)=0⇒x =−a 或x =a 3；①当a =0时，原式恒成立；②当a ≠0时，只需满足{g(−a)≥0g(a 3)≥0，即{−a 3+a 3+a 3+1≥0a 327+a 39−a 33+1≥0，解得{a ≥−1a ≤3275； ∴a 的最小值为a =−1．(3)∵不等式f(x)≥0在(−∞,−1]上有解⇔f(x)在(−∞,−1]上的最大值≥0；∴f′(x)=3x 2+2ax −a 2=(3x −a)(x +a)，令f′(x)=0⇒x =−a 或x =a 3；∴①当a =0时，f′(x)≥0在(−∞,−1]上恒成立，∴最大值为f(−1)=−1−1=−2<0不满足题意，(舍掉)；②当0<a <1时，只需满足f(−1)=−1+a +a 2−1≥0，解得x ≤−2或x ≥1，不符合题意(舍掉)③当a ≥1时，需满足f(−a)=−a 3+a 3+a 3−1≥0，解得a ≥1；④−1≤a 3<0 时, 即−3≤ a <0 时，只需f(−1)=−1+a +a 2−1≥0，解得x ≤−2或x ≥1，从而−3≤a ≤−2；⑤当a <−3时，只需f(a 3)=a 327+a 39−a 33−1≥0，解得a ≤3275；从而得a <−3 综上，a 的取值范围为(−∞,−2}∪[1，+∞)．解析：(1)带入a =1，通过求导判断出函数的单调性，即可求出极值；(2)将函数≥−2的恒成立问题转化为新函数g(x)=x 3+ax 2−a 2x +1≥0恒成立的问题，通过求导判断出函数的最小值，带入求出a 的范围即可；(3)原题可转化为函数f(x)在(−∞,−1]上的最大值≥0求出a 的范围的问题，通过分情况谈论求出f(x)在(−∞,−1]上的最大值即可，注意分清楚条件．本题主要考查了导数在函数中的应用，综合性强，有难度．。
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学(理)试卷
数学（理科）试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]2.在ABC V 中，“A 45=o”是“sinA =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 45.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40B. 80C. 36D. 576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A.532B.16C.516D. 以上都不对7.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）AC. 28.设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1B. 34-C. 3-D.1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,32⎡⎢⎣⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 13,48⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()ln 2f x x =+，则不等式()232f x -<的解集为_______.14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真.命题，则实数a 的取值范围是________________.16.设函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，若对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A大小；（2）设ABC V 的面积为a 的取值范围.18.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1212,F F F F =、，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且124AF AF += （1）求椭圆C方程；（2）若A 、B 两点关于原点O 的对称点分别为,A B ''，且AOB 90∠=o ，判断四边形ABA B ''是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.的（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）若函数()f x 在x =1时取得极值，求实数a 的值； （2）当0＜a ＜1时，求()f x 零点的个数.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=. （1）求曲线C 1方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.23.已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.。
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学(理)考试试卷
数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M I ( ) A.]2,1[ B.)2,1[ C.]3,2（ D.]3,2[2.已知△ABC 中，“4π=∠A ”是“22sin =A ”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内,复数i 32i15-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )A.10B. 9C.8D. 4 5.已知是等差数列的前项和,若,,则=6S ( )A.40B.80C.36D.576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为()A.325 B. 61 C. 165D.以上都不对 7.己知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A.3B. 2C. 2D. 58.设随机变量)9,1(~N X ，且)1(0(-≥=≤a X P X P ），则实数a 的值为（ ） A.2 B. 3 C. 4 D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则( )A ．a c b << B. a b c << C. c b a << D. b c a<<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++= ( )A.1B. 34-C. 3-D. 1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上,则实数的取值范围是（ ）A.)83,41(B. )21,41(C. )21,61(D. )1,41( 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数x x x f 2ln )(+=,则不等式2)3(2<-x f 的解集为_______.14.已知1x >-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为________.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 16.设函数)(),(x g x f 分别是定义在上的奇函数和偶函数,且xx g x f 2)()(=+,若对]2,21[∈x ,不等式0)2()(≥+x g x af 恒成立,则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A b B a cos 3sin =． (1)求角A 的大小；(2)设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．18.如图与都是边长为的正三角形,平面平面,平面,.(1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值.19.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左.右焦点分别为32||,,2121=F F F F ，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点,且4||||21=+AF AF (1)求椭圆C 的方程；(2)若B A ,两点关于原点O 的对称点分别为B A '',,且ο90=∠AOB ,判断四边形B A AB ''是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg)683895662775 10 6788469株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计 植株存活 1 植株死亡 合计20（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ξ为“植株死亡”的数量，求ξ得分布列和期望ξE ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求ηD .2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数x x a ax x f ln )2()(2--+=.(1)若函数)(x f 在1=x 时取得极值,求实数a 的值； (2)当10<<a 时,求)(x f 零点的个数.选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 442(其中为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为015sin 82=+-θρρ.(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22BC A C +的值.23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试卷参考答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BADBDCCBACAB二．填空题13. )2,3()3,2(Y -- 14. 9 15. 12=-≤a a 或 16. [2,)+∞-2 三.解答题：17.解：（1）sin =3cos a B b A ．由正弦定理可得：sin sin =3sin cos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan 3A =，又(0,)A π∈，所以3A π=．........6分（2）因为3A π=，ABC ∆的面积为1333sin 2bc A bc ==，解得12bc =......8分 由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=， 当且仅当23b c ==时等号成立．综上，边a 的取值范围为[23,)+∞．...........12分 18.取CD 中点O ,连OM OB ,,则CD OM CD OB ⊥⊥,, 又平面⊥MCD 平面BCD ,则⊥MO 平面BCD ,........1分 以O 为原点,直线OM BO OC ,,为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图,3==OM OB ,则各点坐标分别为)0,0,0(O ,)0,0,1(C ,)3,0,0(M ,)0,3,0(-B ,)32,3,0(-A ,2分(1)设),,(z y x n =是平面MBC 的法向量,则)3,3,0(),0,3,1(==BM BC , 由BC n ⊥得03=+y x ;由BM n ⊥得033=+z y ,..........4分 取)1,1,3(--=n ,则距离5152||==n n BA d ..............6分 (2))32,3,1(),3,0,1(--=-=CA CM ,,设平面的法向量为),,(1111z y x n =,由n ⊥1得0311=+-z x ;由n ⊥1得0323111=+--z y x ,......9分 取)1,1,3(1=n ,又平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n , 则51,cos 111=>=<n ,.....11分 设所求二面角为θ,则552cos 1sin 2=-=θθ......12分 19. (1)因为32||21=F F ,所以3c =因为直线l 与椭圆C 交于,两点,且12||4||AF AF =-,所以12||||4AF AF +=,所以24a =,解得2a =,所以2221b a c =-=,所以椭圆的方程为1422=+y x ......4分(2)①当直线l 的斜率k 存在时,设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=,222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-,.....6分所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,,因为ο90=∠AOB ,所以OB OA ⊥,0=⋅,即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++,.....8分所以22445k m +=,所以原点O 到直线l 的距离2||2551m d k ==+..........9分 根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......10分 ②当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x n =,不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上.下交点,则22(4)(4)(,),(,)22n n A n B n ---,由,得,22404n n --=,解得245n =, 所以此时原点到直线的距离为255.根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=. .综上可知,四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......12分 20.(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计15520635.6934.5515713)13412(2022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………6分①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2,3. 其中53)2(3524===C C P ξ， 52)3(3534===C C P ξ………………8分ξ的分布列为：所以55352=⨯+⨯=ξE .………10分②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为532012==p 332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯= ………………12分21.(1))(x f 定义域为)0(∞+，,xax x x x a ax x f )1)(12(1)2(2)(-+=--+=', 由已知,得0)1(='f ,解得1=a ,.....2分 当1=a 时,xx x x f )1)(12()(-+=',所以,100)(<<⇔<'x x f ,,10)(>⇔>'x x f ,所以)(x f 减区间为)10(，,增区间为)1(∞+，,.....4分所以函数)(x f 在1=x 时取得极小值,其极小值为0)1(=f ,符合题意,所以1=a ......5分(2)令0)1)(12()(=-+='x ax x x f ,由,10<<a ,得,11>=ax .....6分所以a x x f 100)(<<⇔<',a x x f 10)(>⇔>',所以)(x f 减区间为)10(a ，,增区间为)1(∞+，a ,所以函数)(x f 在a x 1=时取得极小值,其极小值为aa a f 11ln )1(-+=,.....8分因为10<<a ,所以0ln <a ,11>a,所以011<-a ,所以011ln )1(<-+=aa a f ,因为021212)1(2>+-=+->+-+=ee a e a e a e a ef , 根据零点存在定理,函数)(x f 在)10(a，上有且仅有一个零点,.....10分因为x x ln >,)3()2(ln )2()(22-+=--+>--+=a ax x x x a ax x x a ax x f ,令03>-+a ax ,得a a x ->3,又因为10<<a ,所以aa a 13>-, 所以当a a x ->3时,0)(>x f ,根据零点存在定理,函数)(x f 在)1(∞+，a上有且仅有一个零点,所以,当10<<a 时,)(x f 有两个零点......12分22.(1)曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x =......2分 曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分代入24y x =可知22320t t ++=,.....8分因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分23. (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,当211≤≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]210(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,21(,综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则max ])([32x x f a -≥-,.....6分 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分 则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。
河南省商丘市第一高级中学2020-2021高二下学期期中考试数学(文)试卷
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ） A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]2．在ABC 中，“A 45=”是“sinA =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．45．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A ．40B ．80C ．36D ．576．己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D7．已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系B ．可以预测，当5x =时， 5.37y =C ． 2.09m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.58．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<9．如下图，四边形ABCD 中，135,120BAD ADC ∠=∠=，45,60,3BCD ABC BC ∠=∠==，则线段AC 长度的取值范围是（）A．B ．32⎡⎢⎣C．D ．32⎛⎝ 10．在等比数列{}n a 中，若1634a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A ．1B ．34-C ．3-D ．4311．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()'f x ()12x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．()()()161941f f f -<<+ B ．()()()419161f f f +<<- C ．()()()52411f f f +<<-D ．()()()11452f f f -<<+二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．15．设直线x t =与函数()2f x x =，()2lng x x =的图象分别交于点,M N ，则当MN达到最小值时，t 的值为________．16．已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________.三、解答题17．已知，在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小； （2）设ABC的面积为a 的取值范围.18．已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =，数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n n a b +的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.19．在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为4.（1）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2）现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中 n a b c d =+++） 20．已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（0,1）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求OMN ∆面积的最大值. 21．已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.23．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 4．在解决有关A∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解． 2．A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果. 【详解】当A 45=时，sinA 2=成立．若当A 135=时，满足sinA 2=．即由“A 45=”能推出“sinA =”；反之不一定成立.所以，“A 45=”是“sinA =”的充分不必要条件． 故选A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3．D 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可【详解】 解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题. 4．B 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可 【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩ 由23z x y =+得233z y x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B 【点睛】考查线性规划求最大值，基础题. 5．D 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D 【点睛】考查等差数列求和，基础题. 6．C 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合|||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率. 【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=- 1x =-时，by a=，|||AB OF =，根据对称性，有11,2b b a =⨯∴= )2222,3,b b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C 【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题. 7．C 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x +1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m +3.1+4.3）8.24m+=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题． 8．A 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->， 即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A 【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题. 9．B 【详解】当AC AB ⊥时，AC3sin 2B =，故选B. 10．C 【分析】利用等比数列{}n a 的性质及其16253434a a a a a a =-==，234594a a a a +++=，可得2534234525341111a a a a a a a a a a a a +++++=+，代入即可得出． 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，16253434a a a a a a =-==，234594a a a a +++=，∴253423452534111143934a a a aa a a a a a a a +++++=+==--．故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．C 【解析】如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围．本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围． 12．A 【分析】构造函数()()g x f x =()g x 单调递减，于是()()()1694g g g <<，化简即可得出结论． 【详解】解：1()2x '<，()f x ∴'<，令()()g x f x =()()0g x f x '='<，()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()()()1694g g g ∴<<，即()()()1649342f f f -<-<-， ()()()161941f f f ∴-<<+． 故选：A ． 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，构造()g x 是解题关键，属于中档题． 13．(1,0)(1,)【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值. 试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =. 考点：基本不等式；构造思想和发散性思维. 15．1 【分析】先构造函数：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-，再利用导数求函数的单调性及极值：由22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=，即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，得解．【详解】解：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-， 则22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=， 当01t <<时，()0h t '<，当1t >时，()0h t '>， 即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，即当||MN 达到最小值时，t 的值为1， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题． 16．2a ≤-或1a = 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴； 命题命题q 为真时，所以1a 或()22a ≤-，则由()()12得2a -或1a = 【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m nax ∴，()11a ∴，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--，所以1a 或()22a ≤-若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -或1a = 故答案为：2a - 或1a = 【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题.17．（1）3π；（2）)+∞ 【分析】（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC 的面积为1sin 2bc A ==，得12bc = ，由余弦定理可得：a ==【详解】解：（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC 的面积为1sin 24bc A bc ==，解得12bc =由余弦定理可得：a ==当且仅当b c ==.综上，边a 的取值范围为)+∞ 【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题. 18．(Ⅰ) 4n n a b n +=；（Ⅱ）222323n n n +-⋅+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求解数列的和 试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得2q =. 所以11132n n n a a q --=⋅=⋅.设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得()()44111644413a b a b d +-+-===-.所以()()1114n n a b a b n d n +=++-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432n n b n -=-⋅.数列{}4n 的前n 项和为()21n n +； 数列{}132n -⋅的前n 项和为()321n⋅-所以，数列{}n b 的前n 项和为222323n n n +-⋅+. 19．（1）列联表见解析，有；（2）710【分析】（1）根据已知条件求出老年的人数，青年的人数，即可完成22⨯列联表，并根据此资料求出2K ，即可判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”． （2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ，列出事件数目，然后求解至少有2人是不使用手机支付的概率． 【详解】 解：（1）从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为45∴使用手机支付的人群中的青年的人数为46048⨯=人，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为60-4812=人，所以22⨯列联表为：()()()()()()22210048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中： 使用手机支付的人有6053100⨯=人，使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ，则从这个样本中任选3人有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种其中至少有2人是使用手机支付的()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，故所求概率为710【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查古典概型概率的求法以及计算能力，属于中档题．20．(1) 22143x y +=;(2)3. 【分析】（1）设椭圆的焦半距为c ，结合题意分析可得113e c a a c+=-，结合椭圆的几何性质可得a 、b 的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直，设其方程为y=kx +1，联立l 与椭圆C 的方程，可得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0，结合根与系数的关系可以用k 表示|MN |与O 到l 的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积21243S d MN k ==+=，由基本不等式分析可得答案．【详解】（1）设椭圆的焦半距为c ，则OF c =，OA a =，AF a c =-.所以113e c a a c +=-，其中c e a=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =. 所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形.当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+. 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得()2243880k x kx ++-=.于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是()()22832430k k ∆=++>，这显然成立.设点()11,M x y ，()22,N x y . 由根与系数的关系得122843kx x k +=-+，122843x x k =-+.所以12MN x =-=，又O 到l的距离d =. 所以OMN ∆的面12S d MN ===令2433t k =+≥，那么S ==≤，当且仅当3t =时取等号.所以OMN ∆. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21．（1）当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值.（2）21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.【分析】 （1）求得()1a x afx x x'-=-=，可分0a ≤和0a >两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）当2a =-时，把直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1x k x -=在()0,∞+上没有实数解，令()2ln xg x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，即可求解实数k 的取值范围. 【详解】（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以函数()f x 无极值. ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+ 在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解， 即2ln 1xk x-=在()0,∞+上没有实数解. 令()2ln xg x x =，则有()()221ln x g x x-'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解，解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22．（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l的参数方程为3cos4234sin 442x t y t t ππ⎧=⋅=-⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2320t ++=，因为1232t t =，12t t +=2212||||||C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题 数学(文)【含答案】
河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、 若数列{}n a 满足：,,3,2,1,2,111 ===+n a a a n n 则=+++n a a a 21( ) A.121--n B.12-n C.22-n D.121-+n2、已知△ABC 中，1:4:1::=C B A ，则a ：b ：c 等于（ ） A.3:1:1 B.3:2:1 C.1:3:1 D.1:4:13、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则9S =（ ）A. 1B.101 C. 109 D. 301 4、已知向量),1,1(),1,11(yb xa =-=,若,则y x +的最小值为( )A.4B.5C.6D.75、已知0,,>>∈y x R y x ,则( ) A.y x 11> B.y x sin sin > C. y x )21()21(< D. 0ln ln >+y x6、各项均不为零的等差数列中，若),2(,02112++-∈≥=--N n n na na a n n n ，则=20S （ ）A.B.C.D.7、已知锐角ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若A B 2=,则bAa sin 2的取值范围( ) A.)1,33(B.)3,23(C.)3,1(D.)3,33( 8、在等比数列}{n a 中,首项11=a ,且543,2,4a a a 成等差数列, 若数列}{n a 的前n 项之积为n T ,则=9T ( )A.B.C.D.9、在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若C A C A b c a sin cos 5cos sin ,222==-,,则的值为( ）A.2B. 3C. 4D. 510、 △ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能 11、已知的三边长分别为,,,有以下四个命题:(1)以,,为边长的三角形一定存在; (2)以,,为边长的三角形一定存在; (3)以,,为边长的三角形一定存在; (4)以,,为边长的三角形一定存在.其中正确命题的个数为( ) A.①③B.②③C.②④D.①④12、设0>>b a ，则abb a a a 1)(122+-+的最小值为（ ） A.2 B. 52 C. 4 D. 24第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13、已知函数()(1)1mf x x x x =+>-+的最小值为5，则=m . 14、已知数列}{n a 中,首项11=a ,且321+=+n n a a , 若数列}{n a 的前n 项和=n S __________.15、设不等式表示的平面区域为,若直线1-=kx y 上存在内的点,则实数的取值范围为__________.16、在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若ABC ∆的面积22)c b a S --=（,且8=+c b ,则S 的最大值为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、已知函数.(1)解不等式;(2)若存在实数,使得,求实数的取值范围.18、（1) 若b a ,均为正数，且1=+b a .证明：16)12)(12(≥++ba ；（2）设集合}1|35||{<-=x x A ；集合2{|(21)(1)0}B x x a x a a =-+++≤，若AB A =，求实数a 的取值范围.19、在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知A c a c sin 23,2==， （1）求角C（2）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,.20、在等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,首项71=a ,2a 为整数，且4S S n ≤. (1)求}{n a 的通项公式; (2)设11+=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .21、如图,分别是锐角的三个内角的对边,,.(1)求的值;(2)若点D 在边BC 上且BD CD 3=,ABC ∆的面积为14,求AD 的长度.22、已知数列}{n a 满足11=a ,且),2(221+-∈≥+=N n n a a n n n . (1)求证:数列}2{n na 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式； (2)求数列}{n a 的前n 项和n S .一、选择题1. B2.C3.C4. A5. C6. D7. A8. B9. B 10. A 11. D 12. D 二．填空题 13. 9 14. 2234n n +-- 15. 3[,4]2 16. 6417三、解答题： 17.(1)设则,函数,.......2分当时,由得； 当时,由得,当时,由得............4分 综上解集为或............5分(2)即,......6分使不等式成立........7分又.........9分∴,.........10分18.（Ⅰ） ∵b a ，均为正数，1=+b a)3)(3()2)(2()12)(12(b a a b b b a a b a b a ++=++++=++1623103310=⋅⨯+≥++=b a a b b a a b 当且仅当，即时取等号...........6分（2）由题意解得：24{|}55A x x =<<，{|1}B x a x a =≤≤+ 由AB A =，即A B ⊂，且12a =和11a +=等号不能同时取到，则25415a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，...............10分故所求实数a 的取值范围是12[,]55-..............12分19、解：（1）∵A c a sin 23=， ∴A C A sin sin 2sin 3=，…2分∵),0(π∈A ， ∴0sin ≠A ∴23sin =C ， .......4分 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴3π=C ．…6分（2）∵3π=C ，c =2，由余弦定理及已知条件，得422=-+ab b a ，①…8分又因为△ABC 的面积等于3， 所以3sin 21=C ab ,得4=ab ．②…10分 联立①②，解得2==b a ，…12分20、(1)由71=a ,2a 为整数,所以等差数列}{n a 的公差d 为整数........1分 又4S S n ≤,故0,054≤≥a a ,于是047,037≤+≥+d d ,解得4737-≤≤-d ,......4分 因此2-=d ,故数列}{n a 的通项公式为n a n 29-=.......6分 (2) 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==++1111211n n n n n a a a a b ........7分 )11...1111(21...13221321+-++-+--=++++=n n n n a a a a a a b b b b T .......9分)27(7)27171(21)11(2111n nn a a n -=---=--=+.........12分 21、(1)由题知,则,,因为锐角,所以,.....3分由,得,所以........6分(3) 由正弦定理,..........7分又,,解得,............9分所以2=BD ...........10分由余弦定理,,解得37=AD ............12分22、(1)证明:因为,所以,.....3分即,所以数列是等差数列,.......4分且公差,其首项,所以,解得........6分(2)①,.....7分②,①②,得,所以.........12分。
河南省商丘市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
河南省商丘市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高二下·湖南期中) 某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人．2. （1分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为________．3. （1分）(2013·江苏理) 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为________．4. （2分） (2018高二下·辽源月考) 上方右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空：（1）样本数据落在范围[5，9）的可能性为________；（2）样本数据落在范围[9，13）的频数为________．5. （1分）小明在微信中给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额度，每份至少1分），若这三个红包被甲、乙、丙三人抢到，则甲抢到5分钱的概率为________．6. （1分）有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是________7. （1分） (2016高二上·吉林期中) （文）定义运算 =ad﹣bc，复数z满足 =1﹣2i，且z为纯虚数，则实数m的值为________．8. （1分）若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.9. （1分）一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是________.10. （1分）(2017·太原模拟) （2x+ ﹣1）5的展开式中常数项是________．11. （1分）(2017·闵行模拟) 一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为________（结果用小数表示）12. （1分） (2016高二下·南安期中) 一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=________．13. （1分）(2017·聊城模拟) （x2﹣）5的展开式中常数项为________．14. （1分）设L（A，B）表示直线上全体点组成的集合，“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成________．二、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2016高一下·南市期末) 袋子中放有大小和形状相同的四个小球，它们的标号分别为1、2、3、4，现从袋中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球的标号为a，第二次取出的小球的标号为b，记事件A为“a+b≥6“．（1）列举出所有的基本事件（a，b），并求事件A的概率P（A）；（2）在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2≥12P（A）“的概率．16. （5分）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD 的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．17. （15分）气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：℃）t≤22℃22℃＜t≤28℃28℃＜t≤32℃t＞32℃天数612Y Z由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t（单位：℃）t≤22℃22℃＜t≤28℃28℃＜t≤32℃t＞32℃日销售额X（千元）2568（1）求Y，Z的值；（2）若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；（3）在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．18. （10分） (2015高二下·福州期中) 已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．（2）求（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）n展开式中x2项的系数．19. （10分） (2017高三下·漳州开学考) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB 为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．20. （5分） (2015高二下·屯溪期中) 用数学归纳法证明：2n+2•3n+5n﹣4（n∈N*）能被25整除．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、4-2、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学(文)试卷(解析版)
数学（文科）试卷第I 卷（选择题，共60分）注意事项：答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.在ABC V 中，“A 45=o ”是“sinA 2=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果. 【详解】当A 45=o时，sinA 2=成立．若当A 135=o时，满足sinA 2=． 即由“A 45=o”能推出“sinA 2=”；反之不一定成立. 所以，“A 45=o”是“sinA 2=”的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可 【详解】解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可 【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩由23z x y =+得233zy x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40 B. 80C. 36D. 57【答案】D 【解析】 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题.6.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合|||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率. 【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=- 1x =-时，by a=，|||AB OF =，根据对称性，有11,2b b a =⨯∴=)2222,3,b b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题. 7.已知x ，y 线性回归直线方程为$0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A. 变量x ，y 之间呈现正相关关系B. 可以预测，当5x =时，$5.37y =C. 2.09m =D. 由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =$0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y $的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m的＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y $=0.82x +1.27，b =$0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y $=0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m +3.1+4.3）8.24m+=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝18时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ．【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， .因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A【点睛】考查根据式子结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.9.如下图，四边形ABCD 中，135,120BAD ADC ∠=∠=oo，45,60,BCD ABC BC ∠=∠==o o ，则线段AC 长度的取值范围是（ ）A.B. 32⎡⎢⎣C.D. 32⎛⎝ 【答案】B 【解析】【详解】当AC AB ⊥时，AC3sin 2B =，故选B. 10.在等比数列{}n a 中，若1634a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1 B. 34-C. 3-D.43【答案】C 【解析】的【分析】利用等比数列{}n a 的性质及其16253434a a a a a a =-==，234594a a a a +++=，可得2534234525341111a a a a a a a a a a a a +++++=+，代入即可得出． 【详解】解：Q 数列{}n a 等比数列，16253434a a a a a a =-==，234594a a a a +++=，∴253423452534111143934a a a aa a a a a a a a +++++=+==--．故选：C ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,32⎡⎢⎣⎦C. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围．本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围． 12.定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()'fx()12x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）是A. ()()()161941f f f -<<+B. ()()()419161f f f +<<-C. ()()()52411f f f +<<-D. ()()()11452f f f -<<+【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x =-()g x 单调递减，于是()()()1694g g g <<，化简即可得出结论．【详解】解：Q1()2x '<，()f x ∴'<，令()()g x f x =()()0g x f x '='<， ()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()()()1694g g g ∴<<，即()()()1649342f f f -<-<-， ()()()161941f f f ∴-<<+． 故选：A ．【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，构造()g x 是解题关键，属于中档题．第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1,0)(1,)-?? 【解析】【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或0 11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞. 14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________，【答案】9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.设直线x t =与函数()2f x x =，()2lng x x =的图象分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时，t 的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先构造函数：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-，再利用导数求函数的单调性及极值：由22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=，即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，得解． 【详解】解：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-， 则22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=， 当01t <<时，()0h t '<，当1t >时，()0h t '>， 即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数， 即()()1min h t h =，即当||MN 达到最小值时，t 的值为1， 故答案为：1.【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题．16.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴…； 命题命题q 为真时，所以1a …或()22a ≤-L ，则由()()12得2a -…或1a = 【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m na x ∴…，()11a ∴L …，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--…，所以1a …或()22a ≤-L 若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -…或1a = 故答案为：2a -… 或1a =【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小；（2）设ABC V 的面积为a 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）)+∞ 【解析】 【分析】（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC V 的面积为1sin 2bc A ==，得12bc = ，由余弦定理可得：a ≥=，【详解】解：（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC V 的面积为1sin 24bc A ==，解得12bc =由余弦定理可得：a ≥=，当且仅当b c ==.综上，边a 的取值范围为)+∞【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =，数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n n a b +的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(Ⅰ) 4n n a b n +=；（Ⅱ）222323n n n +-⋅+. 【解析】试题分析：，，）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式； ，，）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求解数列的和 试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得2q =. 所以11132n n n a a q --=⋅=⋅.设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得()()44111644413a b a b d +-+-===-.所以()()1114n n a b a b n d n +=++-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432n n b n -=-⋅.数列{}4n 的前n 项和为()21n n +； 数列{}132n -⋅的前n 项和为()321n⋅-所以，数列{}n b 的前n 项和为222323n n n +-⋅+.19.在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为4.（1）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2）现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中 n a b c d =+++） 【答案】（1）列联表见解析，有；（2）710【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出老年的人数，青年的人数，即可完成22⨯列联表，并根据此资料求出2K ，即可判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”．（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ，列出事件数目，然后求解至少有2人是不使用手机支付的概率．【详解】解：（1）Q 从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为45∴使用手机支付的人群中的青年的人数为46048⨯=人，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为60-4812=人，所以22⨯列联表为：()()()()()()22210048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有6053100⨯=人， 使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ， 则从这个样本中任选3人有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种其中至少有2人是使用手机支付的()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，故所求概率为710【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查古典概型概率的求法以及计算能力，属于中档题． 20.已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113e OF OA AF +=，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（0,1）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求OMN ∆面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=;(2)3. 【解析】 【分析】，1）设椭圆的焦半距为c ，结合题意分析可得113ec a a c+=-，结合椭圆的几何性质可得a，b 的值，代入椭圆的方程即可得答案；，2）由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直，设其方程为y=kx +1，联立l 与椭圆C方程，可得（4k 2+3，x 2+8kx，8=0，结合根与系数的关系可以用k 表示|MN |与O 到l 的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积21243S d MN k ==+=，由基本不等式分析可得答案．【详解】（1）设椭圆的焦半距为c ，则OF c =，OA a =，AF a c =-.所以113e c a a c +=-，其中ce a=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =. 所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形.当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+. 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得()2243880k x kx ++-=.于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是()()22832430k k ∆=++>，这显然成立.设点()11,M x y ，()22,N x y . 由根与系数的关系得122843kx x k +=-+，122843x x k =-+.所以12MN x =-=，又O 到l 的距离d =. 所以OMN ∆的面12S d MN ===令2433t k =+≥，那么S ==3≤，当且仅当3t =时取等号. 所以OMN ∆面积的最大值是3. 的【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值.（2）21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】 （1）求得()1a x afx x x'-=-=，可分0a ≤和0a >两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）当2a =-时，把直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1x k x -=在()0,∞+上没有实数解，令()2ln x g x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，即可求解实数k 的取值范围.【详解】（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,∞+，()1a x af x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以函数()f x 无极值. ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+ 在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解， 即2ln 1xk x-=在()0,∞+上没有实数解. 令()2ln xg x x =，则有()()221ln x g x x-'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解， 解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=. （1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值. 【答案】（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为2cos 4224sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2320t ++=，因为1232t t =，12t t +=2212||||||C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23.已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【解析】 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
河南省商丘市2019-2020学年数学高一下学期理数期中考试试卷B卷
河南省商丘市2019-2020学年数学高一下学期理数期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·邵阳期中) 已知数列满足，且，那么（）A . 8B . 9C . 10D . 112. （2分）已知a,b为非零实数，且a>b，则下列命题成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）已知数列满足则的前10项和等于（）A .B .C .D .4. （2分）△ABC中，AB=， AC=1，∠B=30°则△ABC的面积等于（）A .B . 或C .D . 或5. （2分） (2020高二下·慈溪期末) 已知二次函数的图象经过四点：，，，，其中，则的最大值为（）A . 2B .C .D .6. （2分）已知等比数列中，各项都是正数，且a1, a3 ， 2a2，，成等差数列，则＝（）A . 1－B . 1C . 2D . －17. （2分） (2017高二下·平顶山期末) 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A . 4D . 78. （2分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=,b=,B=1200 ，则a等于（）A .B . 2C .D .9. （2分）在三角形ABC中，下列等式总能成立的是（）A . a cosC=c cosAB . bsinC=csinAC . absinc=bcsinBD . asinC=csinA10. （2分）若数列的前n项和，则数列的通项公式（）A .B .C .D .11. （2分）在中，（）C .D .12. （2分）(2019·湖州模拟) 已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）A . 2018B . 2019C . 2020D . 2021二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为________ 米．14. （1分）等差数列{an}中，已知S4=2，S8=7，则a17+a18+a19+a20 的值等于________．15. （1分）(2019高三上·吉林月考) 直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是________.16. （1分） (2018高一下·北京期中) △ABC的三边长分别为4、5、6，若将三边都减少x后构成一个钝角三角形，则实数x的取值范围是________。
2019-2020学年河南省商丘市第一高级中学高二第一学期期中考试数学(文)试卷
2019-2020学年河南省商丘市第一高级中学高二第一学期期中考试数学（文）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、 若数列{}n a 满足：,,3,2,1,2,111Λ===+n a a a n n 则=+++n a a a Λ21( ) A.121--n B.12-n C.22-n D.121-+n2、已知△ABC 中，1:4:1::=C B A ，则a ：b ：c 等于（ ）A.3:1:1B.3:2:1C.1:3:1D.1:4:1 3、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则9S =（ ）A. 1B.101 C. 109 D.3014、已知向量),1,1(),1,11(yb xa =-=,若,则y x +的最小值为( )A.4B.5C.6D.75、已知0,,>>∈y x R y x ,则( )A.y x 11> B.y x sin sin > C. y x )21()21(< D. 0ln ln >+y x6、各项均不为零的等差数列中，若),2(,02112++-∈≥=--N n n na na a n n n ，则=20S （ ） A.B.C.D.7、已知锐角ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若A B 2=,则bAa sin 2的取值范围( ) A.)1,33(B.)3,23(C.)3,1(D.)3,33( 8、在等比数列}{n a 中,首项11=a ,且543,2,4a a a 成等差数列, 若数列}{n a 的前n 项之积为n T ,则=9T ( )A.B.C.D.9、在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若C A C A b c a sin cos 5cos sin ,222==-,,则的值为( ）A.2B. 3C. 4D. 510、 △ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能 11、已知的三边长分别为,,,有以下四个命题:(1)以,,为边长的三角形一定存在; (2)以,,为边长的三角形一定存在; (3)以,,为边长的三角形一定存在; (4)以,,为边长的三角形一定存在.其中正确命题的个数为( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④12、设0>>b a ，则abb a a a 1)(122+-+的最小值为（ ） A.2 B. 52 C. 4 D. 24第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13、已知函数()(1)1mf x x x x =+>-+的最小值为5，则=m . 14、已知数列}{n a 中,首项11=a ,且321+=+n n a a , 若数列}{n a 的前n 项和=n S __________.15、设不等式表示的平面区域为,若直线1-=kx y 上存在内的点,则实数的取值范围为__________.16、在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若ABC ∆的面积22)c b a S --=（,且8=+c b ,则S 的最大值为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、已知函数.(1)解不等式;(2)若存在实数,使得,求实数的取值范围.18、（1) 若b a ,均为正数，且1=+b a .证明：16)12)(12(≥++ba ；（2）设集合}1|35||{<-=x x A ；集合2{|(21)(1)0}B x x a x a a =-+++≤，若A B A =I ，求实数a 的取值范围.19、在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知A c a c sin 23,2==， （1）求角C（2）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,.20、在等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,首项71=a ,2a 为整数，且4S S n ≤.(1)求}{n a 的通项公式; (2)设11+=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .21、如图,分别是锐角的三个内角的对边,,.(1)求的值;(2)若点D 在边BC 上且BD CD 3=,ABC ∆的面积为14,求AD 的长度.22、已知数列}{n a 满足11=a ,且),2(221+-∈≥+=N n n a a n n n . (1)求证:数列}2{n na 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式； (2)求数列}{n a 的前n 项和n S .高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题1. B2.C3.C4. A5. C6. D7. A8. B9. B 10. A 11. D 12. D 二．填空题13. 9 14. 2234n n +-- 15. 3[,4]2 16. 6417三、解答题：17.(1)设则,函数,.......2分当时,由得； 当时,由得,当时,由得............4分 综上解集为或............5分(2)即,......6分使不等式成立........7分又.........9分∴,.........10分 18.（Ⅰ） ∵b a ，均为正数，1=+b a)3)(3()2)(2()12)(12(ba ab b b a a b a b a ++=++++=++1623103310=⋅⨯+≥++=b a a b b a a b 当且仅当，即时取等号...........6分（2）由题意解得：24{|}55A x x =<<，{|1}B x a x a =≤≤+ 由A B A =I ，即A B ⊂，且12a =和11a +=等号不能同时取到，则25415a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，...............10分故所求实数a 的取值范围是12[,]55-..............12分19、解：（1）∵A c a sin 23=， ∴A C A sin sin 2sin 3=，…2分 ∵),0(π∈A ， ∴0sin ≠A ∴23sin =C ， .......4分 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴3π=C ．…6分（2）∵3π=C ，c =2，由余弦定理及已知条件，得422=-+ab b a ，①…8分又因为△ABC 的面积等于3， 所以3sin 21=C ab ,得4=ab ．②…10分联立①②，解得2==b a ，…12分20、(1)由71=a ,2a 为整数,所以等差数列}{n a 的公差d 为整数........1分 又4S S n ≤,故0,054≤≥a a ,于是047,037≤+≥+d d ,解得4737-≤≤-d ,......4分 因此2-=d ,故数列}{n a 的通项公式为n a n 29-=.......6分 (2) 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==++1111211n n n n n a a a a b ........7分 )11...1111(21...13221321+-++-+--=++++=n n n n a a a a a a b b b b T .......9分)27(7)27171(21)11(2111n nn a a n -=---=--=+.........12分21、(1)由题知,则,,因为锐角,所以,.....3分由,得,所以........6分(3) 由正弦定理,..........7分又,,解得,............9分所以2=BD ...........10分由余弦定理,,解得37=AD ............12分22、(1)证明:因为,所以,.....3分即,所以数列是等差数列,.......4分且公差,其首项,所以,解得........6分(2)①,.....7分②,①②,得,所以.........12分。
2019-2020学年河南省商丘市高二下学期期末联考数学(文)试题解析
绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________一、单选题1．已知集合{}2N 23A x x x =∈->-，{}2,1,1,2B =--，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,1,2-C ．{}2,1-D ．{}1答案：D先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集运算求解. 解：因为{}{}23N 23N 10,12A x x x x x ⎧⎫=∈->-=∈-<<=⎨⎬⎩⎭，{}2,1,1,2B =--， 所以则{}1A B ⋂=． 故选：D ． 点评：：本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知复数()3121i i z i-=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A B C ．2 D ．52答案：B先根据复数乘法与除法法则化简复数z ，再根据复数模的定义求结果. 解：()()()()()31221213111122i i i i i i z i i i i ---+--====-----+，所以z ==. 故选：B 点评：：本题考查复数乘法与除法以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．下列函数中与y x =表示为同一函数的是（ ）A ．21x xy x -=-B ．yC ．2log 2xy =D ．ln x y e =答案：C当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数就是同一个函数，由此逐个分析判断即可 解：因为10x -≠，1x ≠，定义域不同，因而选项A 错误；y x ==，对应关系不同，因而选项B 错误；2log 2x y x ==与给定的函数为同一函数，因而选项C 符合题意； ln (0)x y e x x ==>，定义域不同，因而选项D 错误．故选：C 点评：：此题考查判断两个函数是否是同一函数，判断的依据是定义域和对应关系分别相同即可，属于基础题4．利用反证法证明“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ）A ．a ，b ，c 中至多有一个数大于1B ．a ，b ，c 中至多有一个数小于1C ．a ，b ，c 中至少有一个数大于1D ．a ，b ，c 中都小于1 答案：D根据反证法的假设求解. 解：至少一个的否定为至多0个，即都小于1， 也就是a ，b ，c 中都小于1． 故选：D ． 点评：：本题主要考查反证法，属于基础题.5．设0.20.3a =，0.30.2b =，0.2log 1.03c =，则a ，b ，c 中的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >>答案：A先由对数的性质判断出c 的正负，再由指数函数的性质比较,a b ，进而可得答案 解：因为0.2log 1.030c =<，0.20.30.30.30.30.20a b =>>=>，所以a b c >>． 故选：A ． 点评：：此题考查指数式、对数式比较大小问题，属于基础题6．执行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为M ，从集合M 中任取一个元素a ，则式子3log 6a -取得的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0答案：B根据循环功能，一一循环得到{}3,0,1,8,15M =-，然后由3log 6y a =-的性质求解. 解：第一次循环，输出3y = ，此时2x =-， 第二次循环，输出0y = ，此时1x =-， 第三次循环，输出1y =- ，此时1x =， 第四次循环，输出8y = ，此时2x =，第五次循环，输出15y = ，此时3x =，终止循环， 所以{}3,0,1,8,15M =-，当15a =时，3log 6y a =-取得最大值为2． 故选：B点评：：本题主要考查程序框图中的循环结构以及对数函数的最值问题，属于基础题. 7．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C 由题意666cossincos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos 05π<、6sin05π<即可得解. 解：由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，6cos5π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C. 点评：：本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.8．已知函数()21xxa f x bx x a=+++（0a >且1a ≠），若()210f =，则()2f -=（ ） A ．10- B ．7-C ．4-D ．1-答案：D计算得出()()212f x f x x +-=+，再由()210f =可求得()2f -的值.解： 因为()()()()22221111x x x x x x x xx x a a a a a f x f x bx x bx x x a a a a a ----⋅-+=-+-+++=+++++⋅+22121211x x xa x x a a=++=+++， 所以()()22189f f -+=+=，所以()()2929101f f -=-=-=-． 故选：D ． 点评：：本题考查利用函数解析式求函数值，考查计算能力，属于中等题.9．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ） A ．[]28, B ．103,103⎡⎤-+⎣⎦C ．[]1,9 D ．[]3,8答案：A利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围. 解：()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤， 因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 点评：：本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.10．设函数()2ln 1x x e e f x x x --=++，则该函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B在同一坐标系中作出ln y x =和21y x =--的图象，得到2ln 1y x x =++有非零零点，确定函数的定义域，然后再结合()10f >判断. 解：在同一坐标系中作出ln y x =和21y x =--的图象，如图所示：知2ln 1y x x =++有非零零点，所以函数()f x 的定义域不为()(),00,-∞⋃+∞，故排除选项C ，D ； 当0x >时，()2ln 1f x x x =++，所以()1210f x x x'=++>，又2110f e e ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221110f e e ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在0211,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x =， 又()10f >，排除选项A ， 故选：B ． 点评：：本题主要考查函数图象的识别以及函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11．古人云：“外物之味，久则可厌；读书之味，愈久愈深.”书读得越多，便越能体会到读书的乐趣.2020年4月25日是第25个世界读书日，某中学开展“我读书、我快乐”庆祝世界读书日活动，从各个年级经过遴选，四名同学被推荐参加背诵《唐诗宋词》中著名句段篇活动，被推荐学生依次为甲、乙、丙、丁，为了解他们背诵的情况，问询了该四名学生，有如下答复：①甲说：“乙比丁背的少”；②乙说：“甲比丙背的多”；③丙说：“我比丁背的多”；④丁说：“丙比乙背的多”.经过评审组调研发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个，则四名同学按能够背诵数量由多到少依次为（ ） A ．丁、乙、丙、甲 B ．丁、丙、乙、甲 C ．丙、乙、甲、丁 D ．乙、丁、丙、甲答案：A分别假设甲乙丙丁正确，然后分析其他说法有无矛盾，即可找出正确选项. 解：假设甲说法正确，其他都错误，则甲最少，乙比丁背的少，甲比丙背的少，丙比丁少，丙比乙少，顺序为：丁、乙、丙、甲；假设乙正确，其他错误，则乙最少，根据①知：乙比丁多，矛盾，排除； 假设丙正确，其他错误，则丙最少，根据②知：甲比丙少，矛盾，排除； 假设丁正确，其他错误，则丁最少，根据③知：丙比丁少，矛盾，排除. 故选：A. 点评：：本题考查学生的推理能力，属于中档题. 12．已知函数()22xa xf x -=+的图象关于直线1x =对称，若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<，()()()123g x g x g x ==，则123x x x 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()0,4 C ．()4,6 D ．(]4,6答案：C根据函数()22xa xf x -=+的图象关于直线1x =对称，求得a ，进而求得 ()g x ，利用数形结合法求解. 解：因为()()()2222a a x a xa x x f a x f x -----=+=+=，所以函数关于直线2ax=对称，因为函数()22x n xf x-=+的图象关于直线1x=对称，所以12a=，解得2a=，所以()2log,04,6,46,x xg xx x⎧<≤=⎨-<≤⎩，其图象如下图所示：因为123x x x<<，()()()123g x g x g x==，所以2122log logx x=，2122log logx x-=，22211log log xx=，所以121=x x，所以()12334,6x x x x=∈．故选：C．点评：：本题主要考查函数的对称性和对数函数的图象和性质还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知23a=，4log7b=，则28log63=______．（用a，b表示）答案：1a bb++根据23a=，4log7b=，转化为2log3a=，2log72b=，然后利用换底公式求解. 解：因为23a =，4log 7b =， 所以2log 3a =，2log 72b =，所以()()222822log 79log 63log 63log 28log 47⨯==⨯， 222log 72log 3222log 7221b a a bb b+++===+++.故答案为：1a bb++ 点评：：本题主要考查指数形式与对数形式的互化以及对数的运算法则，换底公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．已知30ax A x x a ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，若1A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围为______．答案：[)3,1--由于1A ∈，3A ∉，所以30,1{330,30,3a aa a a->+-≤+=+或，从而可求出a 的取值范围解：因为1A ∈，3A ∉，所以30,1{330,30,3a aa a a->+-≤+=+或解得31a -≤<-．故答案为：[)3,1-- 点评：：此题考查元素和集合的关系，考查分式不等式的解法，属于基础题15．设函数()(),0,4,0xa x f x f x a x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩（0a >且1a ≠），若()24f =，则()2020f -=______．答案：16先由()24f =求出2a =，从而可得()()2,0,8,0x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，进而可求出()2020f -的值 解：据题得()242f a ==，又0a >，所以2a =，将2a =代入函数()f x ，可得()()2,0,8,0xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，所以()()()4202020124216f f f -==⋅⋅⋅===．故答案为：16 点评：：此题考查分段函数求值问题，属于基础题16．已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18，则实数a 的值为______． 答案：8利用换元法令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，推出()()max min 0g t g t +=，()()max min 2218g t g t a +=+=，进而求出a 的值解：令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，所以()()max max 1f x g t a =++，()()min min 1f x g t a =++， 所以()()()()max min max min 22f x f x g t g t a +=+++． 因为g t 为奇函数，所以()()max min 0g t g t +=，所以()()max min 2218g t g t a +=+=，所以8a =．故答案为：8 点评：：此题考查函数的奇偶性的应用，考查换元法的应用，属于基础题三、解答题17．某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：（1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率；（2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.答案：（1）815；（2）在犯错的概率不超过0.05的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异.（1）根据总人数解得10a =，完善列联表，根据分层抽样比例关系计算得到人数，再计算概率得到答案.（2）计算25 3.841K =>，对比临界值表得到答案. 解：（1）由已知253560a ++=，解得10a =， 所以22⨯列联表如下：用分层抽样抽取6人，则男居民应抽取2人，女居民应抽取4人，所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为112426815C C p C ==； （2）由()2290352025105 3.84160454530K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错的概率不超过0.05的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异. 点评：：本题考查了列联表，独立性检验，分层抽样，概率计算，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.18．已知集合{}22520A x x x =-+≤，函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为B ．（1）若13a =，求()RA B ；（2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围． 答案：（1）()R32A B ⎡⎤⋂=⎣⎦；（2）()4,-+∞. （1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ， 再由13a =,利用一元二次不等式的解法求得对数函数的定义域B ，然后利用集合的基本运算求解.（2）根据A B ⋂≠∅，则在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x ，使不等式2220ax x -+>成立，即关于x 的不等式222a x x >-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，然后令222u x x =-，求得其最小值即可. 解：（1）{}212520,22A x x x ⎡⎤=-+≤=⎢⎥⎣⎦．当13a =时，212203x x -+>，解得3x >+3x <-所以((),33B =-∞⋃+∞，所以R3B ⎡=+⎣．所以()R32A B ⎡⎤⋂=⎣⎦．（2）若A B ⋂≠∅，则说明在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值，使不等式2220ax x -+>成立，即关于x 的不等式222a x x >-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 又222u x x =-，则只需min a u >即可． 又2222111222y x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭． 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，14,2u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以min 4u =-，所以4a >-，即a 的取值范围为()4,-+∞． 点评：：本题主要考查集合的基本运算及其应用以及一元二次不等式的解法和对数函数的定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证:EF 平面1ADC答案：(1)见解析(2)见解析解：试题分析：（1）要证D 为BC 的中点，又AB=AC ，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可； （２）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG ，由（１）易证//EF DG ，从而问题得证． 试题解析： （1）正三棱柱111ABC A B C -，∴ 1C C ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，∴ 1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C ⋂=∴ AD ⊥平面11BCC B ，又正三棱柱111ABC A B C -，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴ AD ⊥ BC ，D 为BC 的中点．（2） 连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG矩形11A ACC ，∴ G 为1A C 的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴1A BC 中，1//DG A B又点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，∴△11A B B 中，1//EF A B ，∴ //EF DG ，又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC∴ //EF 平面1ADC点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．随着各国经贸关系的进一步加深，许多国外的热带水果进入国内市场，牛油果作为一种热带水果，越来越多的中国消费者对这种水果有了一种全新的认识，它富含多种维生素、丰富的脂肪和蛋白质，钠、钾、镁、钙等含量也高，除作生果食用外也可作菜肴和罐头.牛油果原产于墨西哥和中美洲，后在加利福尼亚州被普遍种植.因此加利福尼亚州成为世界上最大的牛油果生产地，在全世界热带和亚热带地区均有种植，但以美国南部、危地马拉、墨西哥及古巴栽培最多，并形成了墨西哥系、危地马拉系、西印度系三大种群，我国的广东、海南、福建、广西、台湾、云南及四川等地都有少量栽培.市场上的牛油果大部分都是进口的.为了调查市场上牛油果的等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数据：（1）已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系，利用前5组数据求出y 关于x 的线性回归方程；（2）若由（1）中线性回归方程得到的估计值与最后一组数据的实际值之间的误差不超过1，则认为所求回归方程是有效可靠的，请判断所求回归直线方程是否有效可靠？ （3）若一果园估计可以收获等级代码数值为85的牛油果980kg ，求该果园估计收入为多少元.参考公式：对一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，b y bx =-.参考数据：516169.6i ii x y==∑，52117820i i x ==∑.答案：（1）0.1849.968y x =+；（2）所求回归直线方程是有效可靠的；（3）该果园预计收入25095.84元.（1）求出x 的平均值x ，y 的平均值y ，再根据公式求出b 和a ，即可得出回归方程； （2）将88x =代入（1）中的回归方程，求出y ，然后用25.8y 和1比较即可判断；（3）将85x =代入回归方程估计出单价，即可计算出收入. 解：（1）由题意，得3848586878585x ++++==，16.818.820.822.82420.645y ++++==，则515222156169.655820.641840.1841782055810005i ii ii x y x yb xx ==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑，20.640.184589.968a y bx =-=-⨯=，故所求回归方程为0.1849.968y x =+；（2）当88x =时，0.184889.96826.16y =⨯+=，所以26.1625.80.361-=<，所以所求回归直线方程是有效可靠的； （3）当85x =，0.184859.96825.608y =⨯+=， 所以25.60898025095.84⨯=（元）， 所以该果园预计收入25095.84元. 点评：：本题考查回归方程的求法以及利用回归方程估计值，属于基础题.21．若函数()f x 满足条件：在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f -=-成立，则称函数()f x 为“自减函数”；反之，若0x 不存在，则称函数()f x 不是“自减函数”．（1）已知函数()2xf x =是“自减函数”，求出对应的0x 的值；（2）证明：函数()0ky k x=≠不是“自减函数”； （3）下列三个函数：()0y kx b k =+≠，()20y ax bx c a =++≠，()log 0,1a y x a a =>≠，哪些是“自减函数”？并说明理由．答案：（1）02x =；（2）证明见解析；（3）当0b =时函数()0y kx b k =+≠与函数()20y ax bx c a =++≠是“自减函数”；当0b ≠时只有()20y ax bx c a =++≠是“自减函数”．理由见解析.（1）由定义可知001222x x -=-，解方程即可求出0x 的值. （2）解方程001k kk x x =--，化简方程判断其是否有解. （3）若是自减函数，则满足在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f -=-成立，分别代入三个函数判断方程是否有解. 解：（1）因为()2xf x =是“自减函数”，所以()()()0011f x f x f -=-，即001222x x -=-，解得0222x =，即02x =． （2）证明：由001k k k x x =--，得20010x x -+=，因为()2141130∆=--⨯⨯=-<，所以此方程无实数解.所以函数()0ky k x=≠不是“自减函数”． （3）函数()y f x =是“自减函数”，即关于x 的方程()()()()0011f x f x f -=-*有解． ①()0y kx b k =+≠关于x 的方程()* 为()1k x b kx b k b -+=+--， 可简化为0b =，所以当0b ≠方程()*无解， 当0b =时，函数()0y kx b k =+=是“自减函数”； 当0b ≠时，函数()0y kx b k =+≠不是自减函数．②()20y ax bx c a =++≠关于x 的方程()*化简为22ax a c =+，12c x a=+， 所以函数()20y ax bx c a =++≠是“自减函数”．③log a y x =（0a >且1a ≠）关于x 的方程()*为()log 1log a a x x -=，化简为1x x -=，即10显然方程无解， 所以函数log ay x =（0a >且1a ≠）不是“自减函数”．综上所述，当0b =时函数()0y kx b k =+≠与函数()20y ax bx c a =++≠是“自减函数”；当0b ≠时只有()20y ax bx c a =++≠是“自减函数”．点评：：本题考查新定义，重点考查函数与方程的思想，化简变形的能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点()1,1M 且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.答案：（130y +-=；()2224x y +-=；（2）2.（1）由参数方程消去参数t 可得直线l 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的互化公式即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线1l 的参数方程代入曲线C 的方程，化为关于t 的一元二次方程后利用参数t 的几何意义可得结论． 解：（1）由直线l的参数方程为1,23x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ，30y +-=，即直线l 的普通方30y +-=，因为4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，又222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2240x y y +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.（2）1l的参数方程为：11,212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入2240x y y +-=得)2120t t +-=，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，1t ，则122t t =-，所以12122t t t t ⋅==， 所以2MA MB ⋅=，即点M 到A ，B 两点的距离之积为2. 点评：：本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义. 23．设函数()12f x x x =-+-. （1）解不等式()5f x x ≥-；（2）若1()1f x a≥-对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：(1) 8(,2][,)3-∞-+∞.(2) 1(,0)[,)2-∞⋃+∞.（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果. （2）()11f x a≥-对x R ∀∈恒成立，等价于()min 11f x a ≥-，而()12f x x x =-+-()()121x x ≥---=，所以111a-≤，从而可得结果. 解：（1）因为()32,11,1223,2x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时325x x -≥-，解得2x -≤； 当12x <<时，15x ≥-，无解； 当2x ≥时，235x x -≥-，解得83x ≥. 所以不等式()5f x x ≥-的解集为][8,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）依题意只需()min 11f x a≥-，而()12f x x x =-+- ()()121x x ≥---=. 所以111a -≤，所以0a <或12a ≥，故实数a 的取值范围是()1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.点评：：绝对值不等式的常见解法：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； （2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题文（含解析）第I 卷（选择题，共60分）注意事项：答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 4．在解决有关A∩B＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.在ABC 中，“A 45=”是“sinA 2=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果. 【详解】当A 45=时，sinA 2=成立．若当A 135=时，满足sinA 2=． 即由“A 45=”能推出“sinA 2=”；反之不一定成立. 所以，“A 45=”是“sinA 2=”的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可 【详解】解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩由23z x y =+得233zy x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40 B. 80C. 36D. 57【答案】D 【解析】 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题.6.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||3|AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B. 2C. 2D. 5【答案】C 【解析】 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合||23||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率.【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=- 1x =-时，by a=， ||23||AB OF =，根据对称性，有1231,32b b a a =⨯⨯∴= ()22223,3,b a b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题.7.已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A. 变量x ，y 之间呈现正相关关系B. 可以预测，当5x =时， 5.37y =C. 2.09m =D. 由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）．【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x +1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m +3.1+4.3）8.24m+=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ．【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()() 1212f x fxx x>()f xx在()0,∞+单调递减，因为函数()f x是定义在R上的奇函数，()()()f x f x f xx x x--==--，()f xx是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()()()11111f fb f-=--==-，()()()222222f f fc--=-==-，()33fa=所以a c b<<故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.9.如下图，四边形ABCD中，135,120BAD ADC∠=∠=，45,60,3BCD ABC BC∠=∠==，则线段AC长度的取值范围是（）A. 2,3⎡⎣ B.332⎡⎢⎣C. 2,3D.332⎛⎝【答案】B【解析】【详解】当AC AB⊥时，AC33sin2B=，故选B.10.在等比数列{}n a中，若163 4a a=-，23459 4a a a a+++=，则23451111a a a a+++=（）A. 1 B. 34- C. 3- D. 43【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列{}n a的性质及其16253434a a a a a a=-==，234594a a a a+++=，可得2534234525341111a a a a a a a a a a a a+++++=+，代入即可得出．【详解】解：数列{}n a是等比数列，16253434a a a a a a=-==，234594a a a a+++=，∴253423452534111143934a a a a a a a a a a a a+++++=+==--．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知F1，F2分别是椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )A.2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.10,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c .∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围．本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围．12.定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()'f x ()12x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A. ()()()161941f f f -<<+B. ()()()419161f f f +<<-C. ()()()52411f f f +<<-D. ()()()11452f f f -<<+【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x =()g x 单调递减，于是()()()1694g g g <<，化简即可得出结论．【详解】解：1()2x '<，()f x ∴'，令()()g x f x =()()0g x f x '='<， ()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()()()1694g g g ∴<<，即()()()1649342f f f -<-<-， ()()()161941f f f ∴-<<+． 故选：A ．【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，构造()g x 是解题关键，属于中档题．第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1,0)(1,)【解析】【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．【答案】9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值. 试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =. 考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.设直线x t =与函数()2f x x =，()2lng x x =的图象分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时，t 的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先构造函数：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-，再利用导数求函数的单调性及极值：由22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=，即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，得解．【详解】解：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-， 则22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=， 当01t <<时，()0h t '<，当1t >时，()0h t '>， 即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数， 即()()1min h t h =，即当||MN 达到最小值时，t 的值为1， 故答案为：1.【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题．16.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴； 命题命题q 为真时，所以1a 或()22a ≤-，则由()()12得2a -或1a =【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m nax ∴，()11a ∴，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--，所以1a 或()22a ≤-若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -或1a = 故答案为：2a - 或1a =【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知，在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小； （2）设ABC 的面积为a 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）)+∞ 【解析】 【分析】（1）sin cos a B A.由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC的面积为1sin2bc A ==，得12bc =，由余弦定理可得：a ==≥≥=【详解】解：（1）sincos a B A .由正弦定理可得：sin sincos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC 的面积为1sin 2bc A ==，解得12bc = 由余弦定理可得：a ==≥≥= 当且仅当b c ==. 综上，边a 的取值范围为)+∞【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =，数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n n a b +的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(Ⅰ) 4n n a b n +=；（Ⅱ）222323n n n +-⋅+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求解数列的和 试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得2q =. 所以11132n n n a a q --=⋅=⋅.设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得()()44111644413a b a b d +-+-===-.所以()()1114n n a b a b n d n +=++-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432n n b n -=-⋅.数列{}4n 的前n 项和为()21n n +； 数列{}132n -⋅的前n 项和为()321n⋅-所以，数列{}n b 的前n 项和为222323n n n +-⋅+.19.在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为4.（1）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2）现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中 n a b c d =+++） 【答案】（1）列联表见解析，有；（2）710【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出老年的人数，青年的人数，即可完成22⨯列联表，并根据此资料求出2K ，即可判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”．（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ，列出事件数目，然后求解至少有2人是不使用手机支付的概率． 【详解】解：（1）从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为45∴使用手机支付的人群中的青年的人数为46048⨯=人，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为60-4812=人，所以22⨯列联表为：()()()()()()22210048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中： 使用手机支付的人有6053100⨯=人， 使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ， 则从这个样本中任选3人有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种其中至少有2人是使用手机支付的()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，故所求概率为710【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查古典概型概率的求法以及计算能力，属于中档题．20.已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（0,1）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求OMN ∆面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=;(2)3. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦半距为c ，结合题意分析可得113ec a a c+=-，结合椭圆的几何性质可得a 、b 的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直，设其方程为y=kx+1，联立l 与椭圆C 的方程，可得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0，结合根与系数的关系可以用k 表示|MN|与O 到l 的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积12S d MN ===，由基本不等式分析可得答案．【详解】（1）设椭圆的焦半距为c ，则OF c =，OA a =，AF a c =-.所以113e c a a c +=-，其中ce a=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =. 所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形.当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+. 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得()2243880k x kx ++-=.于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是()()22832430k k ∆=++>，这显然成立.设点()11,M x y ，()22,N x y . 由根与系数的关系得122843kx x k +=-+，122843x x k =-+.所以12MN x =-=O到l 的距离d =所以OMN ∆的面12S d MN ===令2433t k =+≥，那么S ==≤，当且仅当3t =时取等号.所以OMN∆. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】 （1）求得()1a x afx x x'-=-=，可分0a ≤和0a >两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）当2a =-时，把直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1x k x -=在()0,∞+上没有实数解，令()2ln xg x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，即可求解实数k 的取值范围.【详解】（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,∞+，()1a x af x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以函数()f x 无极值. ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+ 在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1xk x-=在()0,∞+上没有实数解. 令()2ln xg x x =，则有()()221ln x g x x-'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解， 解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.【答案】（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）122【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x =曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为32cos 42324sin 44x t t y t t ππ⎧=⋅=-⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2122320t t ++=，因为1232t t =，12122t t +=2212||||||122C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23.已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【解析】 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。