2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)数学期中试卷带解析答案

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2016-2017学年江苏省江阴市四校高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年江苏省江阴市四校高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题1．已知A 1110985m n =⨯⨯⨯⨯ ，则()0,+∞为___________ 【答案】18【解析】因为A 1110985m n =⨯⨯⨯⨯ ，所以()11,11517,18n m m n ==-+=+= ，故答案为18 .2．若11mini i+=+（,,m n R i ∈为虚数单位），则mn 的值为____. 【答案】1-【解析】因为11mini i +=+，所以可得11{11m m i n mn n =-=+⇒⇒=-=- ，故答案为1- .3．给出下列演绎推理：“整数是有理数，，所以-3是有理数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写．【答案】-3是整数【解析】试题分析：由演绎推理三段论可知，整数是有理数，-3是整数，所以-3是有理数；【考点】演绎推理三段论的应用4．设Z x ∈，则方程2551616x x x C C --=的解集．．是__________ 【答案】{}1,3【解析】由2551616x x x C C --= 可得255x x x -=-或者()()25516x x x -+-= ，解得1x = 或3x = ，方程的解集为{}1,3 ，故答案为{}1,3.5．用反证法证明命题“若11,0,x y 2,,x yx y y x++>+>且则中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是________. 【答案】假设11,x yy x++ 两者都大于或等于2 【解析】由于“1x y + ， 1y x +中至少有一个小于2 ”的反面是: “1x y+ ， 1yx +都大于或等于2 ”,故用反证法证明命题: “若0,0x y >> 且2x y +> ,则1x y+ ， 1yx +中至少有一个小于2”时,应假设1x y + ， 1y x +都大于或等于2 ,故答案为1x y+ 和1yx +都大于或等于2 .6．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）【答案】30【解析】试题分析：由题意得，从7个人中不讲顺序的挑3个人，共有3537=C 种，除掉不符合题意的事件有：3名全部是女生的有133=C 种，3名全部是男生的有434=C 种，所以符合题意的选法共有30种【考点】1.组合及简单计数原理；2.对立事件的概念；7．复数(,)z x yi x y R =+∈，且2z -=yx的最大值为。

江苏省无锡市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

江苏省无锡市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a ﹣2）x ﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a 的值为 3 ．解：直线（a ﹣2）x ﹣y+3=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan45°=a﹣2=1，所以a=3； 2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t 秒时的速度为v （t ）=3t 2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为 12 米/秒2．【解：∵v （t ）=3t 2﹣1，∴v'（t ）=6t ，根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），∴v'（2）=6×2=12， 3．圆x 2+y 2+4x ﹣4y ﹣8=0与圆x 2+y 2﹣2x+4y+1=0的位置关系是相交．解：圆x 2+y 2+4x ﹣4y ﹣8=0，即（x+2）2+（y ﹣2）2 =16，表示以（﹣2，2）为圆心、半径等于4的圆．圆x 2+y 2﹣2x+4y+1=0，即（x ﹣1）2+（y+2）2=4，表示以（1，﹣2）为圆心、半径等于2的圆．两个圆的圆心距为d==5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，4．在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AA 1=2AB ，则异面直线BD 1与CC 1所成角的正切值为．解：∵在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1∥BB 1，∴∠B 1BD 1是异面直线BD 1与CC 1所成角，设AA 1=2AB=2，则B 1D 1=，BB 1=2，∴tan ∠B 1BD 1==．∴异面直线BD 1与CC 1所成角的正切值为．5．设两条直线x+y ﹣2=0，3x ﹣y ﹣2=0的交点为M ，若点M 在圆（x ﹣m ）2+y 2=5内，则实数m 的取值范围为（﹣1，3）．解：由题意可知：，解得，交点（1，1），交点M 在圆（x ﹣m ）2+y 2=5的内部，可得（1﹣m ）2+1＜5，解得﹣1＜m ＜3．∴实数m 的取值范围为：（﹣1，3）．6．若点A （﹣6，y ）在抛物线y 2=﹣8x 上，F 为抛物线的焦点，则AF 的长度为 8 ．解：由于抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0），其准线方程为x=2，该抛物线的一点A 到y 轴距离为6，则点A 到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm 2，若母线与底面所成角为60°,则此圆锥的底面半径为5．解：设圆锥的底面半径为R ，则母线长为2R ，∵圆锥的侧面积是50πcm 2，∴50π=π×R ×2R ，解得R=5cm ．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3大小关系为 S 2＜S 3＜S 1 ．解：设球的半径为 R ，正方体的棱长为 a ，等边圆柱的底面半径为 r ，且它们的体积都为 V ，则V=，解得，a=，r=，∴S 1=6×a 2=6（）2=6=， S 2=4πR 2=4π（）2=，S 3=2π=． ∴S 2＜S 3＜S 1．9．给出下列三个命题：①若命题p ：2是实数，命题q ：2是奇数，则p 或q 为真命题；②记函数f （x ）是导函数为f′（x ），若f′（x 0）=0，则f （x 0）是f （x ）的极值； ③“a=3”是“直线l 1：：x+ay ﹣3=0，l 2：（a ﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是 ① ．解：对于①，因为命题p 为真，∴p 或q 为真命题，故正确；对于②，例如函数f （x ）=x 3满足f′（0）=0，但f （0）不是f （x ）的极值，故错；对于③，当a=0时，直线l 1：：x+ay ﹣3=0，l 2：（a ﹣1）x+2ay+1=0平行，故错；10．（文）设f （x ）=sinx ﹣2cosx+1的导函数为f′（x ），则f′（）=．解：f （x ）=sinx ﹣2cosx+1的导函数为f′（x ）=cosx+2sinx ，∴f′（）=cos+2sin=﹣+2×=，11．（2016秋•无锡期末）（理）设向量=（2，2s ﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t ﹣2），且∥，则实数s+t=．解：∵∥，∴存在实数k ，使得=k ，则，解得k=，s=，t=6．∴s+t=．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是③④．解：正四面体的平面展开图还原成正四面体，如图：①中，GH与EF是异面直线，故①错误；②中，BE与MN相交于点N，故②错误；③中，∵GH∥AD，∴GH与AF成60°角，故③正确；④中∵MN∥AF，∴MN∥平面ADF故④正确．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．解：如图|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；∴|F|=b，又∵M为PF的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF|=2b，∴|PF|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a，∴c=a，∴e==．14．已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为[，+∞）．解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+为减函数，由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），若若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，令g′（x）=e x﹣3a=0，则e x=3a，即x=ln3a，若ln3a≤1，即3a≤e，此时g（x）＞g（1）=e﹣3a，此时由e﹣3a≤2a得：≤a≤，若ln3a＞1，即3a＞e，g（x）=（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[，+∞）15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a ﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是[] ．解：由题意，圆心C（1，﹣2）在直线ax+by+c=0上，可得a﹣2b+c=0，即c=2b﹣a．直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，即a（2x+y﹣3）+b（4﹣x）=0，由，可得x=4，y=﹣5，即直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，∵|CA|=4∴CH最小为5=，CH最大为4，∴线段CH长度的取值范围是[]．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）（2016秋•无锡期末）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．解：（1）若l1∥l2，则，∴m=6，∴l1：x﹣2y﹣1=0，l2：x﹣2y﹣6=0∴l1，l2之间的距离d==；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m（3﹣m）=+，∴m=时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3=0．17．（14分）（2016秋•无锡期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ∥平面APD．证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PB⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PB，∵AD=AB=BC，∠BAD=90°，∴BD=AD，BC=2AD，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BD，∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（2）∵AP∥平面BDQ，∴AP∥OQ，∵OQ⊄平面APD，AP⊂平面APD，∴OQ∥平面APD．18．（14分））已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．解：（1）设M的方程为x2+（y﹣b）2=r2，（1，1）代入，可得1+（1﹣b）2=r2，①∵直线l与圆M相切，∴ =r，②由①②可得b=3或，∴M的方程为x2+（y﹣3）2=5，或x2+（y﹣）2=，（2）因为直线l的方程为y=2x+n 所以直线l′的方程为y=﹣2x+n．与抛物线联立得x2+12x﹣6n=0．△=144+24n①当n=﹣6，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；，切点坐标为（﹣6，6）②当n≠﹣6，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．19．（16分）（2016秋•无锡期末）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．解：对于集合A，由m2﹣am＜12a2，故（m﹣4a）（m+3a）＜0，对于集合B ，解，解得：﹣4＜m ＜2；①a ＞0时，集合A ：﹣3a ＜m ＜4a ，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：0＜a ＜；②a ＜0时，集合A ：a ＜m ＜﹣3a ，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：﹣＜a ＜0，综上：a ∈（﹣，0）∪（0，）．20．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；（2）若二面角D 1﹣CE ﹣D 为π，求λ的值．解：（1）设正方体的棱长为1，分别以DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），O （，0），C （0，1，0），D 1（0，0，1），D （0，0，0），设E （x 0，y 0，z 0），∵=，∴=，∴（x 0，y 0，z 0﹣1）=（，，﹣x 0），解得x 0=，y 0=，z 0=，E （，，），∴=（，，），CD 1=（0，﹣1，1），∴cos＜，＞==，∴异面直线DE与CD所成角的余弦值为．1E的法向量为=（x，y，z），（2）设平面CD1=（，0），=（0，﹣1，1），=（0，1，0），则，取z=1，得=（1，1，1），由=λ，得E（，，），=（，，），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣2，得=（﹣2，0，λ），∵二面角D﹣CE﹣D为π，1∴|cos|==，∵λ＜2，解得λ=8﹣2．21．（16分）（2016秋•无锡期末）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a的取值范围．解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣，f′（1）=1﹣a，f（1）=a﹣2，故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的曲线方程是：y﹣（a﹣2）=（1﹣a）（x﹣1），即（a﹣1）x+y﹣2a+3=0，又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为：2x+y﹣3=0，故a=3；（2）由于f′（x）=，①若a≤0，对于x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，+∞）递增，故函数的递增区间是（0，+∞）；②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（3）a＞0时，直线即y=﹣（a+1）x+2（a﹣1），令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]=lnx++（a+1）x﹣2a，g′（x）=，∵a＞0，x＞0，∴a+1＞0，x+1＞0，且∈（0，1），当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）在（0，）递减，x＞时，g′（x）＞0，g（x）在（，+∞）递增，故x=时，g（x）取得最小值ln+a+1+a﹣2a=1+ln，∵曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，故g（x）≥0，=1+ln＞0，＞，a＞，故g（x）min故a的范围是（，+∞）．22．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．1（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是点C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交直线l 于点Q ．①设直线OQ ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值；②当点P 运动时，试判断点Q 与以BP 为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．解（1）：由离心率e===，可得a 2=4b 2，∵过点F 垂直于x 轴的直线被椭圆所截得弦长为1，∴ =1，解得b=1，a=2，∴椭圆C 方程为+y 2=1．（2）①证明：令P （x 0，y 0），点A （﹣2，0）则直线PA 的方程为y=（x+2），令x=2，得y=，则Q 点的坐标为（2，）∴k 1=，k 2=． ∴k 1•k 2=，∵P （x 0，y 0）满足+y 2=1，则 ∴k 1•k 2=﹣，②以BP 为直径的圆的方程为（x ﹣2）（x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）=0，把Q 点（2，）代入方程左边，得（﹣y 0）=4=4•=4•．（*），∵x 0∈（﹣2，2），∴x 0+2＞0，∴（*）＞0，∴Q 与以BP 为直径的圆外，。

【精品】2016年江苏省无锡市江阴市南菁高中高二上学期期中数学试卷带解析答案

2015-2016学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有条． 2．（5分）命题“∀x ＜0，x 2﹣x +1＞0”的否定是． 3．（5分）抛物线y=4x 2的准线方程为． 4．（5分）“﹣4＜a ＜2”是“方程+=1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．（5分）若l ，m ，n 是三条互不相同的空间直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（填所有正确答案的序号）． ①若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥n ； ②若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β；③若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m ； ④若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β．6．（5分）已知抛物线y 2=8x 的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为． 7．（5分）圆锥的体积为π，底面积为π，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为．8．（5分）过点M （5，2）且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是． 9．（5分）设椭圆的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．11．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为．13．（5分）已知A为椭圆=1上的动点，MN为圆（x﹣1）2+y2=1的一条直径，则AM•AN的最大值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q．R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，则线段NQ长的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={（x，y）|x2+（y+1）2≤1}，B={（x，y）|x+y=4m}，命题p：A∩B=∅，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．16．（12分）如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．17．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，﹣2），B（1，1）两点，且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）过圆C内一点P（1，﹣1）作两条相互垂直的弦EF，GH，当EF=GH时，求四边形EGFH的面积．（3）设直线l与圆C相交于P，Q两点，PQ=4，且△POQ的面积为，求直线l 的方程．18．（16分）如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P，作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AB⊥平面BCC1B1；（2）求平面APQ将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比；（3）试判断直线AQ是否与平面A1C1P平行，并说明理由．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），的离心率为，且经过点（1，），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：AP⊥OM；（3）试问•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：=1（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．①若MO=2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．2015-2016学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有6条．【解答】解：在正方体的每个面上都有一条棱和对角线AC1异面，它们分别为：A1B、B1C、D1C、A1D、B1D1、BD共有6条，故答案为6．2．（5分）命题“∀x＜0，x2﹣x+1＞0”的否定是∃x＜0，x2﹣x+1≤0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＜0，x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x＜0，x2﹣x+1≤0”．故答案为：∃x＜0，x2﹣x+1≤0．3．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．4．（5分）“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【解答】解：∵﹣4＜a＜2，∴，当a=﹣1时，a+4=2﹣a=3，方程+=1是圆，∴“﹣4＜a＜2”推不出“方程+=1表示椭圆”，∵方程+=1表示椭圆，∴，∴解得﹣4＜a＜﹣1或﹣1＜a＜2，∴“方程+=1表示椭圆”⇒“﹣4＜a＜2”，∴“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．5．（5分）若l，m，n是三条互不相同的空间直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是④（填所有正确答案的序号）．①若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n；②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；③若l⊥n，m⊥n，则l∥m；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β．【解答】解：①若α∥β，l⊂α，则l∥β，当n⊂β，则l不一定平行n，可能是异面直线，∴①错误；②根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l⊂α，只有l垂直于两个平面的交线，才有l⊥β，∴②错误．③垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，可能是异面直线，∴③错误．④根据线面垂直的性质可知，若l⊥α，l∥β，则α⊥β成立，∴④正确．故答案为：④6．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：7．（5分）圆锥的体积为π，底面积为π，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为．【解答】解：∵圆锥的底面积为π，故圆锥的底面半径r=1，又∵圆锥的体积为π，故圆锥的高h=2，故圆锥的母线长l==3，设该圆锥侧面展开图的圆心角大小为θ，则=，故θ=，故答案为：8．（5分）过点M（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是2x+y﹣12=0或2x﹣5y=0．【解答】解：当直线过原点时，可设方程为y=kx，代入点M（5，2），可得k=，故方程为y=x，即2x﹣5y=0；当直线不过原点时，可设方程为，代入点M（5，2），可得a=6，故方程为，即2x+y﹣12=0；故所求方程为：2x+y﹣12=0或2x﹣5y=0，故答案为：2x+y﹣12=0或2x﹣5y=09．（5分）设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是．【解答】解：过F1且垂直于x轴的弦长等于，点F1到l1的距离为﹣c，由条件知，=﹣c，即=，∴=，故答案为：．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．11．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= 1：24．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为[0，] ．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故答案为：[0，]．13．（5分）已知A为椭圆=1上的动点，MN为圆（x﹣1）2+y2=1的一条直径，则AM•AN的最大值为15．【解答】解：如图，圆（x﹣1）2+y2=1在椭圆内，椭圆上的所有点只有左顶点到圆心（1，0）距离最远，由题意可设圆的直径的两个端点为M（1+cosθ，sinθ），N（1﹣cosθ，﹣sinθ），又A（﹣3，0），∴=（4+cosθ，sinθ），=（4﹣cosθ，﹣sinθ），则•=16﹣cos2θ﹣sin2θ=15．∴AM•AN的最大值为15．故答案为：15．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q．R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，则线段NQ长的最小值为．【解答】解：设R（x0，y0），则，解得x0=，=1﹣．直线RM的方程为：y=﹣（x﹣t）．与圆O：x2+y2=1得N点横坐标为，所以NQ==，所以当t2=，即t=时，NQ最小为．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={（x，y）|x2+（y+1）2≤1}，B={（x，y）|x+y=4m}，命题p：A∩B=∅，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由命题p为真命题，则d=＞1…（3分）解得：m＞或m＜﹣…（5分）（2）若命题q为真命题，则，解得：0＜m＜…（8分）∵“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p，q一真一假…（9分）若p真q假，则m≥或m＜﹣…（11分）；若p假q真，则0＜m≤…（13分）综上：m的取值范围为m≥或m＜﹣，或0＜m≤…（14分）16．（12分）如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．【解答】解：（1）∵四边形A A1 C1C为矩形，∴AC⊥CC1，又平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，CC1B1 B∩A A1 C1C=CC1，∴AC⊥平面CC1B1 B，∵BC1⊂平面CC1B1 B，∴AC⊥BC1，∵四边形CC1B1 B为菱形，∴B1C⊥BC1，又B1C∩AC=C，AC⊂平面A1C，B1C⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C；（2）取AA1的中点，连接DF，EF，∵四边形A A1 C1C为矩形，E，F分别是C1C，AA1的中点，∴EF∥AC，又EF⊄平面平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF∥平面AB1C，又D，F分别是A1 B1和AA1的中点，∴DF∥A B1，又DF⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴DF∥平面AB1C，∵EF∩DF=F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，∴平面DEF∥平面AB1C，∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C．17．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，﹣2），B（1，1）两点，且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）过圆C内一点P（1，﹣1）作两条相互垂直的弦EF，GH，当EF=GH时，求四边形EGFH的面积．（3）设直线l与圆C相交于P，Q两点，PQ=4，且△POQ的面积为，求直线l 的方程．【解答】解：（1）因为A（2，﹣2），B（1，1），所以k AB==﹣3，AB的中点为（，﹣），故线段AB的垂直平分线的方程为y+=（x﹣），即x﹣3y﹣3=0，…（2分）由，解得圆心坐标为（0，﹣1）．…（3分）所以半径r满足r2=12+（﹣1﹣1）2=5．…（4分）故圆C的标准方程为x2+（y+1）2=5．…（5分）（2）∵EF=GH，∴C到直线EF，GH的距离相等，设为d …（6分）则=1，即d=…（7分）∴EF=GH=2=3…（8分）∴四边形EGFH的面积S=×=9…（9分）（3）设坐标原点O到直线l的距离为h，因为△POQ的面积S==，∴h=．①当直线l与x轴垂直时，由坐标原点O到直线l的距离为知，直线l的方程为x=或x=﹣，经验证，此时PQ≠4，不适合题意；…（11分）②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+b，由坐标原点到直线l的距离为h==，得k2+1=25b2（*），…（12分）又圆心到直线l的距离为c=，所以PQ=2=4，即k2+1=（1+b）2（**），…（13分）由（*），（**）解得．…（15分）综上所述，直线l的方程为3x+4y﹣1=0或3x﹣4y+1=0．…（16分）18．（16分）如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P，作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AB⊥平面BCC1B1；（2）求平面APQ将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比；（3）试判断直线AQ是否与平面A1C1P平行，并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=3，BC=4，∴AC=12﹣3﹣4=5，从而有AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，又∵AB⊥BB1，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC 1B1．解：（2）∵BP=AB=3，CQ=AC=7，∴S BCQP===20，==20．∴V A﹣BCQP又∵=S ABC•AA1=，∴平面APQ将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比为：=．（3）直线AQ与平面A1C1P不平行．理由如下：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，A（3，0，0），Q（0，4，7），A1（3，0，12），C1（0，5，12），P（0，0，3），=（﹣3，4，7），=（3，0，9），=（0，5，9），设平面A 1C1P的法向量，则，取x=3，得=（3，，﹣1），∵=﹣9+﹣7=≠0，∴直线AQ与平面A1C1P不平行．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），的离心率为，且经过点（1，），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：AP⊥OM；（3）试问•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】（1）解：∵椭圆的离心率为，且经过点（1，），∴，解得a=2，c==b，∴椭圆C的方程为；（2）证明：设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x﹣2），设P（x1，y2），联立，化为（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣4=0，解得x1=，x2=2．∴y 1=k（x1﹣2）=，∴P，由y=k（x﹣2），令x=﹣2，解得y=﹣4k，∴M（﹣2，﹣4k），=（﹣2，﹣4k），又=．∴==0，∴．即AP⊥OM．（3）===4．∴=4为定值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：=1（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．①若MO=2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．【解答】解：（1）由=1，得，又a＞b＞0，∴曲线C1如图，则，解得a2=8，b2=1．因此所求椭圆的标准方程为；（2）①设M（x，y），A（m，n），则由题设知：，．即，解得，∵点A（m，n）在椭圆C2上，∴，即，亦即．∴点M的轨迹方程为；②（方法1）设M（x，y），则A（λy，﹣λx）（λ∈R，λ≠0），∵点A在椭圆C2上，∴λ2（y2+8x2）=8，即（i）又x2+8y2=8（ii）（i）+（ii）得，∴．当且仅当λ=±1（即k AB=±1）时，．（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0）．解方程组得，，∴，．又解得，，∴．由于===，当且仅当1+8k2=k2+8时等号成立，即k=±1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S△AMB=．当k=0，S△AMB=；当k不存在时，S△AMB=．综上所述，△AMB 面积的最小值为．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：PABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2016-2017年江苏省无锡市高三(上)数学期中试卷和答案

（ 3 ）设 cn=
，问是否存在正整数 m ，使得 cm•cm+1•cm+2+8=3
（cm+cm+1+cm+2）． 20．（16 分）已知函数 f（x）=
，定义域为[0，2π]，g（x）为 f（x）的导
函数．（1）求方程 g（x）=0 的解集；（2）求函数 g（x）的最大值与最小值；（3）若函数 F（x）=f（x）﹣ax 在定义域上恰有 2 个极值点，求实数 a 的取值范围．
丁 4 类产品的数量之比为 1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取 60 件，
则乙类产品抽取的件数为
．
3．（5 分）函数 y= + 的定义域为
．
4．（5 分）已知集合 A={1，2a}，B={a，b}，若 A∩B={ }，则 A∪B=
．
5．（5 分）执行如图所示的流程图，则输出的 M 应为
6．（5 分）若复数[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则 x+y=
a11=
．
13．（5 分）已知正实数 a，b 满足 a+3b=7，则 + 的最小值为
．
14．（5 分）已知正实数 x，y 满足 +2y﹣2=lnx+lny，则 xy=
．
二、解答题：（本大题共 6 小题，共计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（14 分）已知三点 A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P 为平面 ABC 上的一点， =λ +μ ，且 • =0， • =3．
2．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁 4 类产品共计 1200 件，已知甲、乙、丙、

江苏省无锡市20162017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为米/秒2．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是．10．设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．11．（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．14．已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为．15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ ∥平面APD．18．（14分）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．19．（16分）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．20．（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．21．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a 的取值范围．22．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为3．【考点】直线的倾斜角．【分析】由题中线的倾斜角和斜率的关系得到a．【解答】解：因为直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan45°=a﹣2=1，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了直线的倾斜角．直线的倾斜角为α，那么它的斜率为tanα（α≠90°）．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为12米/秒2．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），然后利用导数求解即可．【解答】解：∵v（t）=3t2﹣1，∴v'（t）=6t，根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），∴v'（2）=6×2=12，故答案为：12．【点评】本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，比较基础．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置关系为相交．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =16，表示以（﹣2，2）为圆心、半径等于4的圆．圆x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4，表示以（1，﹣2）为圆心、半径等于2的圆．两个圆的圆心距为d==5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于基础题．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，∴tan∠B1BD1==．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为（﹣1，3）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出两条直线的交点坐标，以及圆的圆心的距离小于半径，求解即可得答案．【解答】解：由题意可知：，解得，交点（1，1），交点M在圆（x﹣m）2+y2=5的内部，可得（1﹣m）2+1＜5，解得﹣1＜m＜3．∴实数m的取值范围为：（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|的值．【解答】解：由于抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），其准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为5．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，利用圆锥的侧面积是50πcm2，求出此圆锥的底面半径．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，∵圆锥的侧面积是50πcm2，∴50π=π×R×2R，解得R=5cm．故答案为5．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为S2＜S3＜S1．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，由此能比较S1，S2，S3大小．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，解得，a=，r=，∴S1=6×a2=6（）2=6=，S2=4πR2=4π（）2=，S3=2π=．∴S2＜S3＜S1．故答案为：S2＜S3＜S1．【点评】本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体、球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是①．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由命题p为真，得p或q为真命题；②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值；③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行；【解答】解：对于①，因为命题p为真，∴p或q为真命题，故正确；对于②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值，故错；对于③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行，故错；故答案为：①【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．10．（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）=cosx+2sinx，∴f′（）=cos+2sin=﹣+2×=，故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题．11．（2016秋•无锡期末）（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数k，使得=k，则，解得k=，s=，t=6．∴s+t=．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是③④．【考点】棱柱的结构特征．【分析】正四面体的平面展开图还原成正四面体，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：正四面体的平面展开图还原成正四面体，如图：在①中，GH与EF是异面直线，故①错误；在②中，BE与MN相交于点N，故②错误；在③中，∵GH∥AD，∴GH与AF成60°角，故③正确；在④中，∵MN∥AF，∴MN∥平面ADF，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出简图，由图中可得线段的长，从而得到b=2a，进而求双曲线的离心率．【解答】解：如图|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；∴|F|=b，又∵M为PF的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF|=2b，∴|PF|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a，∴c=a，∴e==．故答案为．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．14．已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对任意的x∈（0，1），f（x）的值域为（2a，+∞），要使∃x2∈R，使f（x1）=g（x2），则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，对a进行分类讨论，得出a的范围．【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+为减函数，由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），若若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，令g′（x）=e x﹣3a=0，则e x=3a，即x=ln3a，若ln3a≤1，即3a≤e，此时g（x）＞g（1）=e﹣3a，此时由e﹣3a≤2a得：≤a≤，若ln3a＞1，即3a＞e，g（x）=（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[，+∞）故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了全称命题，对数函数的图象和性质，利用导数研究函数的最值，难度中档．15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是[] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】确定直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，即可求出线段CH长度的取值范围．【解答】解：由题意，圆心C（1，﹣2）在直线ax+by+c=0上，可得a﹣2b+c=0，即c=2b﹣a．直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，即a（2x+y﹣3）+b（4﹣x）=0，由，可得x=4，y=﹣5，即直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，∵|CA|=4∴CH最小为5=，CH最大为4，∴线段CH长度的取值范围是[]．故答案为[]．【点评】本题考查直线过定点，考查线段CH长度的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）（2016秋•无锡期末）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条平行直线间的距离．【分析】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．【解答】解：（1）若l1∥l2，则，∴m=6，∴l1：x﹣2y﹣1=0，l2：x﹣2y﹣6=0∴l1，l2之间的距离d==；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m（3﹣m）=+，∴m=时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3=0．【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•无锡期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ ∥平面APD．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明CD⊥PB，CD⊥BD，即可证明CD⊥平面PBD；（2）证明AP∥OQ，即可证明OQ∥平面APD．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PB⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PB，∵AD=AB=BC，∠BAD=90°，∴BD=AD，BC=2AD，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BD，∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（2）∵AP∥平面BDQ，∴AP∥OQ，∵OQ⊄平面APD，AP⊂平面APD，∴OQ∥平面APD．【点评】本题考查空间线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2016秋•无锡期末）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用待定系数法，求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程．（2）求出对称直线的方程与抛物线联立方程组，利用相切求解即可．【解答】解：（1）设M的方程为x2+（y﹣b）2=r2，（1，1）代入，可得1+（1﹣b）2=r2，①∵直线l与圆M相切，∴=r，②由①②可得b=3或，∴M的方程为x2+（y﹣3）2=5，或x2+（y﹣）2=，（2）因为直线l的方程为y=2x+n所以直线l′的方程为y=﹣2x+n．与抛物线联立得x2+12x﹣6n=0．△=144+24n①当n=﹣6，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；，切点坐标为（﹣6，6）②当n≠﹣6，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法，以及对称知识的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（16分）（2016秋•无锡期末）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】通过讨论a的范围，分别求出关于A、B的不等式的解集，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：对于集合A，由m2﹣am＜12a2，故（m﹣4a）（m+3a）＜0，对于集合B，解，解得：﹣4＜m＜2；①a＞0时，集合A：﹣3a＜m＜4a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：0＜a＜；②a＜0时，集合A：a＜m＜﹣3a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：﹣＜a＜0，综上：a∈（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的运算以及不等式问题，是一道中档题．20．（2016秋•无锡期末）（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与CD1所成角的余弦值．（2）求出平面CD1E的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），设E（x0，y0，z0），∵=，∴=，∴（x0，y0，z0﹣1）=（，，﹣x0），解得x0=，y0=，z0=，E（，，），∴=（，，），CD1=（0，﹣1，1），∴cos＜，＞==，∴异面直线DE与CD1所成角的余弦值为．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），=（，0），=（0，﹣1，1），=（0，1，0），则，取z=1，得=（1，1，1），由=λ，得E（，，），=（，，），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣2，得=（﹣2，0，λ），∵二面角D1﹣CE﹣D为π，∴|cos|==，∵λ＜2，解得λ=8﹣2．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（16分）（2016秋•无锡期末）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣，f′（1）=1﹣a，f（1）=a﹣2，故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的曲线方程是：y﹣（a﹣2）=（1﹣a）（x﹣1），即（a﹣1）x+y﹣2a+3=0，又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为：2x+y﹣3=0，故a=3；（2）由于f′（x）=，①若a≤0，对于x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，+∞）递增，故函数的递增区间是（0，+∞）；②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（3）a＞0时，直线即y=﹣（a+1）x+2（a﹣1），令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]=lnx++（a+1）x﹣2a，g′（x）=，∵a＞0，x＞0，∴a+1＞0，x+1＞0，且∈（0，1），当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）在（0，）递减，x＞时，g′（x）＞0，g（x）在（，+∞）递增，故x=时，g（x）取得最小值ln+a+1+a﹣2a=1+ln，∵曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，故g（x）≥0，故g（x）min=1+ln＞0，＞，a＞，故a的范围是（，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22．（16分）（2016秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率e，可得a2=4b2，由过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，可得=1，解出即可得出．（2）①由椭圆方程求出两个顶点A的坐标，设出P点坐标，写出斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0，把点Q代入得到方程左边大于0，即可判断Q与以BP为直径的圆外．【解答】解（1）：由离心率e===，可得a2=4b2，∵过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，∴=1，解得b=1，a=2，∴椭圆C方程为+y2=1．（2）①证明：令P（x0，y0），点A（﹣2，0）则直线PA的方程为y=（x+2），令x=2，得y=，则Q点的坐标为（2，）∴k1=，k2=．∴k1•k2=，∵P（x0，y0）满足+y2=1，则∴k1•k2=﹣，②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0，把Q点（2，）代入方程左边，得（﹣y0）=4=4•=4•．（*），∵x0∈（﹣2，2），∴x0+2＞0，∴（*）＞0，∴Q与以BP为直径的圆外，【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案。

江苏省江阴四校高二数学上学期期中试题

2018—2019学年高二期中考试数学学科试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1。

命题“1sin ,≤∈∃*x N x ”的否定是 ▲ ． 2。

直线310x y ++=的倾斜角的大小是 ▲ ．3。

“1>x ”是“12>x ”的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要"“既不充分也不必要"之一）。

4。

平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程 ▲ 。

5. 若圆C 经过（1，0），(3，0）两点，且与y 轴相切，则圆C 的标准方程为_____▲ ____. 6。

点P 是直线02=-+y x 上的动点,点Q 是圆122=+y x 上的动点，则线段PQ 长的最小值为 ▲ .7. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4,AA 1＝6．若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ▲ ．8. 若将一圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥体积为__▲ ．9。

椭圆1163622=+y x 焦点为21,F F ,P 为椭圆上一点，且21PF PF ⊥,则21F PF ∆的面积为 ▲ ． 10. 已知βα,是不同的平面，l m ,是不同的直线，给出下列4个命题： ①若,,//αα⊂m l 则;//m l ②若,,//,m l l =⊂βαβα 则;//m l ③若α⊂m m l ,//则α//l ；④若,//,ααm l ⊥则.m l ⊥ 则其中真命题为 ▲ .11. 若命题“R x ∈∃，使01)1()1(2≤+---x a x a ”是假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ 。

12。

在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax+y ﹣2=0与圆心为C 的圆(x ﹣1)2+(y ﹣a)2= 相交于A,B 两点，且△ABC 为正三角形，则实数a 的值是 ▲ ．13. 在平面直角坐标系中,若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的取值范围是___▲ _。

江苏高二高中数学期中考试带答案解析

江苏高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________4.圆截直线所得的弦长为8，则的值是________5.已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是________6.如果直线和直线都平行于直线，则之间的距离为_______7.已知圆的方程为，过点的圆的三条弦的长分别为，若成等比数列，则其公比的最大值为_________．8.已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则过点的圆的方程为_________9.设，若直线与圆相切，则的取值范围是_________10.已知，，若方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______11.已知，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最大负整数的值为________12.设直线：，圆：，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是_________13.已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是__________14.如图，在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆与圆交于两点，若是圆上的动点且交轴与，则的最大值为________．15.如图，已知点为圆与圆在第一象限内的交点．过的直线被圆和圆所截得的弦分别为，（，不重合），若，则直线的方程是______．二、解答题1.已知圆，直线与圆相交于不同的两点，．（1）求实数的取值范围；（2）若弦的垂直平分线过点，求实数的值．2.已知圆．（1）若，过点作圆的切线，求该切线方程；（2）若为圆的任意一条直径，且（其中为坐标原点），求圆的半径．3.已知圆：，过原点作两条不同的直线，与圆都相交．（1）从分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，求直线的方程；（2）若，且，与圆分别相交于，两点，求△面积的最大值．4.已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．（1）求圆的方程；（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．5.已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知⊙和点.过作⊙的两条切线，切点分别为且直线的方程为．(1)求⊙的方程；(2)设为⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．7.已知圆，圆，经过原点的两直线满足，且交圆于不同两点交，圆于不同两点，记的斜率为（1）求的取值范围；（2）若四边形为梯形，求的值．8.已知圆，两个定点，，其中，．为圆上任意一点，且（为常数)．（1）求常数的值；（2）过点作直线与圆交于两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．江苏高二高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______【答案】【解析】斜率,由直线的点斜式方程可得,即.2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．【答案】【解析】斜率，令，为上的奇函数，当时，有，当时，有，∵，∴，∴当时，的值域为，因此，动直线的倾斜角的范围为．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________【答案】【解析】由题可知，圆的一般方程化成标准方程为，圆心坐标为（-1,2），将圆心坐标代入到直线方程中，得出。

【精编】2016-2017年江苏省无锡市江阴市四校联考高一(上)数学期中试卷带解析答案

2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈N}，则M∩N=．2．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则此幂函数的解析式为f（x）=．3．（5分）设函数f（x）=（x﹣4）0+，则函数f（x）的定义域为．4．（5分）函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点．5．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为．6．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣+2，若f（﹣2）=1，则f（2）=．7．（5分）若m∈（0，1），a=3m，b=log3m，c=m3则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为．8．（5分）函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，则实数m的取值范围．9．（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围．10．（5分）已知函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=．11．（5分）函数的单调增区间为．12．（5分）已知函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，则a的取值范围是．13．（5分）若关于x的方程log|x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a 的取值范围是．14．（5分）若已知f（e x+）=e2x+，关于x的不等式f（x）+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|＞0}，集合B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若B∪C=B，求实数m的取值范围．16．（14分）已知A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，函数f（x）=log2x（x∈A）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数h（x）=[f（x）]2﹣log2（2x），求函数h（x）的值域．17．（15分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使甲厂有盈利，求产量x的范围；（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？18．（15分）已知函数f（x）=a﹣为奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．19．（16分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．20．（16分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈N}，则M∩N={0，1} ．【解答】解：∵集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈Z}={0，1，2，3}，∴M∩N={0，1}，故答案为：{0，1}．2．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则此幂函数的解析式为f（x）=．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；∵函数的图象过点（8，2），∴8α=2，解得α=；∴f（x）=，故答案为：3．（5分）设函数f（x）=（x﹣4）0+，则函数f（x）的定义域为（1，4）∪（4，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1且x≠4，故函数的定义域是（1，4）∪（4，+∞），故答案为：（1，4）∪（4，+∞）．4．（5分）函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．【解答】解：当x﹣1=1，即x=2时，y=log a（x﹣1）+2=0+2=2，∴函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．5．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1} ．【解答】解：由题意：不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），可知a＜0，由ax2+bx+c=0可知其根x1=﹣1，x2=3，由韦达定理可得：，可得：b=﹣2a，c=﹣3a．那么：不等式ax2﹣bx+c＞0转化为：a（x2+2x﹣3）＞0，∵a＜0，∴x2+2x﹣3＜0，解得：﹣3＜x＜1．所以不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}．故答案为：{x|﹣3＜x＜1}．6．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣+2，若f（﹣2）=1，则f（2）=3．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣+2，f（﹣2）=1，则f（2）=8a﹣+2=﹣（﹣8a++2）+4=﹣1+4=3．故答案为：3．7．（5分）若m∈（0，1），a=3m，b=log3m，c=m3则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为a＞c＞b．【解答】解：因为m∈（0，1），所以b=log3m＜0，1＜a=3m＜31=3，0＜c=m3＜13=1，所以a＞c＞b．故答案为a＞c＞b8．（5分）函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，则实数m的取值范围[﹣1，0] ．【解答】解：m=0时：f（x）=﹣2x+3，在R上递减，符合题意；m≠0时：函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，f（x）是二次函数，对称轴x=≤﹣1，且m＜0，解得：﹣1≤m＜0，综上：﹣1≤m≤0，故答案为：[﹣1，0]．9．（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴不等式f（x2﹣2）＜f（2），等价为f（|x2﹣2|）＜f（2），∵函数在[0，+∞）上是单调增函数，∴|x2﹣2|＜2，解得﹣2＜x＜2，x≠0故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．10．（5分）已知函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=7．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（4）=log34+4﹣5＞0，f（3）=log33+3﹣5＜0，∴函数f（x）=log3x+x﹣5的零点一定在区间[3，4]，函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，∴a=3，b=4，a+b=7．故答案为：7．11．（5分）函数的单调增区间为[2，+∞）．【解答】解：令t=﹣x2+4x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x﹣2）2+4 的减区间为[2，+∞），故答案为[2，+∞）．12．（5分）已知函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f （x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，可知函数是减函数，可得，解得a．故答案为：（﹣∞，]．13．（5分）若关于x的方程log|x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是a＞1．【解答】解：画出函数y=log|x+a|和y=|2x﹣1|的图象，如图示：，结合图象：a＞1，故答案为：a＞1．14．（5分）若已知f（e x+）=e2x+，关于x的不等式f（x）+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．【解答】解：由题意f（e x+）=e2x+=（e x+）2﹣2，令e x+=t，（t），则g（t）=（t）2+∴f（x）的解析式为：f（x）=（x）2+，（t），∴f（x）∈[2，+∞）∴不等式f（x）+m≥0转化为：f（x）≥﹣m恒成立，∵f（x）min=2，∴2≥﹣m即可恒成立．解得：m≥﹣1．实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|＞0}，集合B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若B∪C=B，求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）集合A={x|＞0}={x|x＞7或x＜﹣2}，…（2分）B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}={x|﹣4＜x＜7}，…（4分）所以∁R A={x|﹣2≤x≤7}…（5分）所以（∁R A）∩B=[﹣2，7）…（7分）（2）因为B∪C=B，所以C⊆B…（8分）①当C=∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，此时B⊆A…（10分）②当C≠∅时，，即2≤m＜4，此时B⊆A…（13分）综上所述，m的取值范围是{m|m＜4}…（14分）16．（14分）已知A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，函数f（x）=log2x（x∈A）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数h（x）=[f（x）]2﹣log2（2x），求函数h（x）的值域．【解答】解：（1）设t=2x，∵A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，∴t2﹣6t+8≤0，解得2≤t≤4，∴x∈[1，2]，即函数f（x）的定义域为[1，2]；（2）设u=log2x，由（1）u=log2x∈[0，1]，∴，∴h（x）∈[]．17．（15分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使甲厂有盈利，求产量x的范围；（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）f（x）=R（x）﹣G（x）=，…（5分）（2）①当0≤x≤5时，由﹣0.4x2+2.4x﹣2＞0，得：x2﹣6x+5＜0，解得1＜x＜5．所以：1＜x＜5．…（7分）②当x＞5时，由6.2﹣x＞0解得x＜6.2．所以：5＜x＜6.2．综上得当1＜x＜5或5＜x＜6.2时有y＞0．…（9分）所以当产量大于100台，小于620台时，且不为500台时，能使工厂有盈利．…（10分）（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=1.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．答：当工厂生产300台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）18．（15分）已知函数f（x）=a﹣为奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由于函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）；∴a﹣=﹣a+；∴2a=；∴a=1．（2）任意x1，x2∈R，且x1＜x2；f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+；=＜0；∵x1＜x2∴0＜＜∴＞0，所以，f（x1）＜f（x2）；则f（x）为R上的单调递增函数．（3）因为f（x）=1﹣为奇函数，且在R上为增函数；所以由f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，得到：t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2对t∈R恒成立；化简后：2t2﹣（m﹣2）t﹣m+1＞0；所以△=（m﹣2）2+8（m﹣1）＜0；∴﹣2﹣2＜m＜﹣2+2；故m的取值范围为：（﹣2﹣2，﹣2+2）．19．（16分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）∴对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x﹣1）2+1又f（0）=3∴a=2∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1∴（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立化简得m＜x2﹣3x+1设g（x）=x2﹣3x+1则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1∴m＜﹣120．（16分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．（2分）又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（4分）（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则（8分）故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（10分）（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则（14分）故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m 取最大值（18分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

江苏省江阴四校2016-2017学年高二第二学期期中数学试卷文

2016-2017学年第二学期高二期中考试数学（文科）一、填空题(每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上)．1、已知复数z 满足i z i +=-1)1(，则z 的模为____▲______．2、已知集合{}|47M x x =-≤≤，{}3,5,8N =，则M N =____▲_____．3、命题“R x ∀∈，220x +>”的否定是_ ▲ 命题．（填“真”或“假”之一）4、函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是 ▲ ．5、已知函数2()2f x x x =-在定义域[1,]n -上的值域为[1,3]-，则实数n 的取值范围 ▲ ．6、已知数列{}n a 中，2,11≥=n a 时，,121-+=-n a a n n 猜想n a 的表达式是 ▲ ．7、函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_______▲__________．8、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =+-(b 为常数)，则(1)f -的值为 ___▲____．9、若f (x )为奇函数，且在(-∞，0)上是减函数，又f (-2) = 0，求不等式x ·f (x )＜0的解集为 ▲ ．10、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是___▲___．11、已知实数a ≠0，函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a ) = f (1＋a )，则a 的值为_▲__．12、设函数f (x )是定义在(-1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f (a – 2) – f (4 – a 2)＜0，实数a 的取值范围______▲________． 13、已知f (x )是定义在R 上函数，且)(1)23(x f x f -=+当x ∈[0，3)时，f (x )=|212|2+-x x ．若函数y = f (x )– a 在区间[–3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是__▲___．14 、已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,)(2x ax x ax x x f ，若2121,,x x R x x ≠∈∃使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤).15、设关于x 的不等式x (x －a －1)<0(a ∈R )的解集为M ,不等式x 2－2x －3≤0的解集为N .(1)当a ＝1时，求集合M ；(2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围．16、设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题p 为真命题时，a 的取值集合为N ．当""N x ∈是""M x ∈的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．。

2016-2017年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．2．（5分）直线l过点A（﹣1，3），B（1，1），则直线l的倾斜角为．3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．5．（5分）圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为．6．（5分）已知正三棱锥的底面边长是3，高为，则这个正三棱锥的侧面积为．7．（5分）将直线l1：x﹣y﹣3=0，绕它上面一定点（3，0）沿逆时针方向旋转15°得直线l2，则l2的方程为．8．（5分）直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．9．（5分）已知命题p：x2﹣5x﹣6≤0；命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．10．（5分）过点M（1，﹣2）的直线l将圆C：（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是．11．（5分）已知两条不同的直线m，n与两个不重合的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；其中真命题的是．（填序号）12．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为．13．（5分）已知圆A：x2+y2=1，圆B：（x﹣3）2+（y+4）2=10，P是平面内一动点，过P作圆A、圆B的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知三角形的顶点为A（2，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1），求：（1）AC边上的中线BD所在直线的方程；（2）AB边上的高CE所在直线的方程．16．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．17．（14分）设命题p：∀x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（16分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（I）求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．19．（16分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．20．（16分）已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC 为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．2．（5分）直线l过点A（﹣1，3），B（1，1），则直线l的倾斜角为．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ==﹣1，∴θ=，故答案为：．3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）【解答】解：当a=3时，直线可化为3x+2y+1=0和3x+2y﹣2=0，显然平行；若直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行，则a（a﹣1）﹣2×3=0，且3×1﹣a（﹣2）≠0，解之可得a=3或a=﹣2，故直线平行推不出a=3，故前者是后者的充分不必要条件．故答案为：充分不必要4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为2．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，∴∠A1EA是直线AE与平面A1B1C1D1所成的角，也就是直线AE与平面ABCD所成角．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2a，则A1E=a，AA1=2a，∴tanA1EA==2．故答案为：2．5．（5分）圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=9．【解答】解：以点（3，0）为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是（x﹣3）2+y2=9．故答案为（x﹣3）2+y2=9．6．（5分）已知正三棱锥的底面边长是3，高为，则这个正三棱锥的侧面积为．【解答】解：由题意：可知底面是边长为3的正三角形，正三棱锥的高为，（如图）AO=，BC=BD=DC=3，AO⊥平面BDC，∵△BDC是边长为3的正三角形，∴OE=，∴AE=，∴正三棱锥的侧面积S=．故答案为：．7．（5分）将直线l1：x﹣y﹣3=0，绕它上面一定点（3，0）沿逆时针方向旋转15°得直线l2，则l2的方程为x﹣y﹣3=0．【解答】解：∵直线l：x﹣y+3=0的斜率为1，故倾斜角为45°，∴直线l2的倾斜角为45°+15°=60°，斜率为tan60°=，∴直线l2的方程为y﹣0=（x﹣3），即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=0．8．（5分）直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．【解答】解：由于圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9则圆心（3，2），半径为3设圆心（3，2）到直线y=kx+1的距离为d，由弦长公式得，AB=2＞4，故d2＜5，即，化简得（k﹣2）（2k+1）≤0，∴﹣＜k＜2，故答案为：．9．（5分）已知命题p：x2﹣5x﹣6≤0；命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（0，3] ．【解答】解：命题p：x2﹣5x﹣6≤0，则﹣1≤x≤6，命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），则3﹣m≤x≤3+m，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，（“=”不同时成立），解得：m≤3，故m∈（0，3]，故答案为：（0，3]．10．（5分）过点M（1，﹣2）的直线l将圆C：（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是x+2y+3=0．【解答】解：当劣弧最短时，MA与直线l垂直．所以k l•k AM=﹣1，圆心坐标为（2，0）得到直线AM的斜率k AM=2，所以k l=﹣所以过M（1，﹣2）的直线l的方程为：y+2=﹣（x﹣1）化简得x+2y+3=0．故答案为：x+2y+3=0．11．（5分）已知两条不同的直线m，n与两个不重合的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；其中真命题的是②③④．（填序号）【解答】解：对于①，若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，则①错误；对于②，由垂直与同一平面的两直线平行可知：②为真命题；对于③，若m∥α，则存在l⊂β，使m∥l，由m⊥β，可得l⊥α，结合面面垂直的判定定理可得α⊥β，即③也为真命题．对于④，由m⊥α，n⊥β，m∥n，利用面面平行的判的定理可知：则α∥β；故④为真命题，故答案为：②③④．12．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为54．【解答】解：由球的表面积公式，得4πR2=12π，∴R=．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=，∴a=6．∴该正三棱柱的体积为：V=S•h=•a•a•sin60°•h=×6×6×2=54．底故答案为：5413．（5分）已知圆A：x2+y2=1，圆B：（x﹣3）2+（y+4）2=10，P是平面内一动点，过P作圆A、圆B的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为．【解答】解：设P（x，y），依题意，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，PE=PD，所以x2+y2﹣1=（x﹣3）2+（y+4）2﹣10，整理得：3x+4y﹣8=0，P到坐标原点距离的最小值就是原点到3x+4y﹣8=0的距离，∴P到坐标原点距离的最小值为．故答案为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为a≥3．【解答】解：圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），圆的圆心（a，3﹣a），半径为1，点N为圆M上任意一点，若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，|ON|≥2，|ON|的最小值为：|OM|﹣1，可得﹣1≥2，解得a≥3或a≤0（舍去）．故答案为：a≥3．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知三角形的顶点为A（2，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1），求：（1）AC边上的中线BD所在直线的方程；（2）AB边上的高CE所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意：AC的中点，∴，∴，化简得：2x﹣9y+2=0，故BD的直线方程为：2x﹣9y+2=0；（2）由题意得：，∵AB⊥CE，∴k AB•k CE=﹣1，∴k CE=﹣1，∴y+1=﹣（x+5），化简得：x+y﹣4=0，故CE的直线方程为：x+y﹣4=0．16．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．【解答】解：（1）连接AC，则AC∥A1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，则EF∥A1C1，故EF∥平面A1BC1（7分）（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，则A1C1⊥平面D1DBB1（12分）又A1C1⊂平面A1BC1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1（14分）17．（14分）设命题p：∀x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：p：不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）对x∈R恒成立，∴∴0＜a＜4．…（3分）q：设两个圆的圆心距为d．∴．∵两圆外离，∴d＞|a|+2，∴|a|＜3，∴﹣3＜a＜3．…（6分）∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p，q一真一假．…（8分）①p真q假时，，∴3≤a＜4…（10分）②p假q真时，，∴﹣3＜a≤0．…（12分）综上所述，实数a的取值范围为（﹣3，0]∪[3，4）．…（14分）18．（16分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（I）求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离为，∴，又∵M在l的下方，∴8a﹣3＞0，∴8a﹣3=5，a=1，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．（4分）（Ⅱ）设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6．由方程组，得C点的横坐标为，∵|AB|=t+6﹣t=6，∴，由于圆M与AC相切，所以，∴；同理，，∴，∴，（10分）∵﹣5≤t≤﹣2，∴﹣2≤t+3≤1，∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4，∴，．（13分）19．（16分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=BC又∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，又M为BC中点，∴BC⊥AM而PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN（II）∵又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1∴三棱锥N﹣AMC的体积S•AN△AMC=（III）存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，∵N，E分别为PA，PD中点，∴又在菱形ABCD中，∴，即MCEN是平行四边形∴NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE∴MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时．20．（16分）已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC 为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，B（0，2）、M（2t，t2），∴|BM|==；∴以M为圆心、BM为半径的圆方程为（x﹣2t）2+（y﹣t2）2=t4+4，∴其交x轴的弦，∴，解得，t=±2，∴⊙M的方程为（x±4）2+（y﹣4）2=20；（Ⅱ）假设存在存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切；∵，y M=t2，∴存在一条平行于x轴的定直线y=﹣1与⊙M相切；（Ⅲ）在△BDE中，设∠DBE=θ，且DE为弦，故，由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE边上的高为2；由三角形的面积相等得：，∴；由余弦定理得，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE×cosθ，∴，∴，∴=，故当时，的最大值为．。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2017-2018年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题“∀x∈N，n2＞2n”的否定是．2．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为．3．（5分）是直线l1：x+2ay﹣1=0和直线l2：（a+1）x﹣ay=0平行的条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）4．（5分）若圆C的半径为1，点C与点（2，0）关于点（1，0）对称，则圆C 的标准方程为．5．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是．6．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是．7．（5分）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．8．（5分）直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．9．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆过点，离心率为，则椭圆C的方程为．10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是．（填写所有正确命题的序号）．11．（5分）已知实数x，y满足方程，则的取值范围是．12．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为．13．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）求过点A（1，3），斜率是直线y=﹣4x的斜率的的直线方程；（2）求经过点A（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．16．（14分）如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB，使AB=2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG=GC．求证：（1）FG∥平面AED；（2）平面DAF⊥平面BAF．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p∧q 为假命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18．（16分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；（2）求证：AC⊥平面DEF；（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=CA，求证：MN∥平面DEF．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|=|OA|，求直线l 的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题“∀x∈N，n2＞2n”的否定是∃x∈N，n2≤2n．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈N，n2＞2n”的否定是”的否定为：∃x∈N，n2≤2n；故答案为：∃x∈N，n2≤2n2．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为2x+y﹣1=0．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点P（﹣1，3）的坐标代入得﹣2+3+c=0，∴c=﹣1，故所求的直线的方程为2x+y﹣1=0，故答案为2x+y﹣1=0．3．（5分）是直线l1：x+2ay﹣1=0和直线l2：（a+1）x﹣ay=0平行的充分不必要条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）【解答】解：由﹣a﹣2a（a+1）=0，解得a=0或﹣．经过验证都满足条件，因此a=0或﹣．∴是直线l1：x+2ay﹣1=0和直线l2：（a+1）x﹣ay=0平行的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4．（5分）若圆C的半径为1，点C与点（2，0）关于点（1，0）对称，则圆C 的标准方程为x2+y2=1．【解答】解：设点C（x，y），由点C与点（2，0）关于点（1，0）对称，利用中点坐标公式得：=1，=0；解得：x=0，y=0；又半径为R=1，所以圆C的标准方程为：x2+y2=1．故答案为：x2+y2=1．5．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是45°．【解答】解：连接AB1，∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，∴EF∥AB1∵AB∥CD∴∠B1AB为EF和CD所成的角，∵△ABB1中，AB=AB1，AB⊥AB1，∴∠B1AB=45°．∴EF和CD所成的角的大小是45°．故答案为：45°．6．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：根据题意，直线xsinα+y+2=0变形为y=﹣sinαx﹣2，其斜率k=﹣sinα，则有﹣1≤k≤1，则其倾斜角的范围为：[0，]∪[，π）；故答案为：：[0，]∪[，π）7．（5分）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．【解答】解：圆锥的母线l==r．V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．∵==，∴a=r．∴==．故答案为：．8．（5分）直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆过点，离心率为，则椭圆C的方程为．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在x轴上，若其离心率e=，则有e2===1﹣=，则b2=a2，又由椭圆C过点，则有+=1，联立两式解可得a2=4，b2=3，则椭圆C的方程为：；故答案为：．10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是①④．（填写所有正确命题的序号）．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β，知：在①中，α∥β⇒l⊥m，由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；在②中，α⊥β⇒l与m相交、平行或异面，故②错误；在③中，m∥α⇒l与β相交或平行，故③错误；在④中，l⊥β⇒α∥β⇒m∥α，故④正确．故答案为：①④．11．（5分）已知实数x，y满足方程，则的取值范围是．【解答】解：设=k，即kx﹣y=0，整理方程，可得x2+y2﹣4x+1=0（y≥0）方程表示圆心坐标为（2，0），半径r=的半圆（y≥0的部分），当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即，解得：k=±，则k的取值范围是[0，]．故答案为[0，]12．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为．【解答】解：圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4的圆心坐标为（a，﹣2），半径为2，圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心坐标为（﹣b，﹣2），半径为1，由圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，可得，即|a+b|=3，要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，则a+b=3，∴ab．故答案为：．13．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值为4．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0可化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆心坐标为C（﹣1，2），代入直线2ax+by+6=0得：﹣2a+2b+6=0，即点（a，b）在直线l：﹣x+y+3=0，过C（﹣1，2），作l的垂线，垂足设为D，则过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长DE最短，于是有CE=，CD==3，∴由勾股定理得：DE==4．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．∵+=1，+=1，相减可得：+=0，把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=k代入可得：+=0，又•k=，∴﹣=0，解得=．∴e==．故答案为：．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）求过点A（1，3），斜率是直线y=﹣4x的斜率的的直线方程；（2）求经过点A（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．【解答】解：（1）斜率是直线y=﹣4x的斜率的的直线斜率k=﹣4×=﹣．利用点斜式可得：y﹣3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y﹣13=0．（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：y=﹣x．直线不经过原点时，设直线方程为：=1，把点A（﹣5，2）代入可得：+=1，解得a=﹣．化为：x=2y+1=0．16．（14分）如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB，使AB=2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG=GC．求证：（1）FG∥平面AED；（2）平面DAF⊥平面BAF．【解答】证明：（1）∵DG=GC，AB=CD=2EF，AB∥EF∥CD，∴EF∥DG，EF=DG．∴四边形DEFG为平行四边形，∴FG∥ED．又∵FG∥平面AED，ED⊂平面AED，∴FG∥平面AED．…（7分）（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面BAF，又∵AD⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF..…（14分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p∧q 为假命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真：由题可知，0＜8﹣m＜m，解得4＜m＜8…（3分）若命题q为真：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点则圆心O到直线l的距离：，解得…（7分）∵命题p∧q为假命题，且命题p∨q为真命题，∴若p真q假，则，解得…（10分）若q真p假，则，解得…（13分）综上：实数m的取值范围是…（14分）18．（16分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；（2）求证：AC⊥平面DEF；（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=CA，求证：MN∥平面DEF．【解答】（1）解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，∴三棱锥D﹣ABC的体积V==．（2）证明：取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）解：连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．当CN=CA时，CF=CN，∴MN∥OF．∵MN⊄平面DEF，OF⊂平面DEF，∴MN∥平面DEF．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|=|OA|，求直线l 的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，则|BC|=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）+=，即=﹣=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使=﹣=，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即=，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…（2分）又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…（6分）当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…（8分）直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…（12分）由OM∥l，得=…（14分）=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…（16分）。

江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学(解析版) Word版含解析

2017-2018江苏省无锡市江阴四校学年高二上学期期中考试数学一、填空题：共14题1. 命题“”的否定是_____________.【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“”的否定是故答案为2. 过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是________.【答案】【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P（－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0。

考点：两条直线的位置关系3. 是直线和直线平行的_______条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)【答案】充分不必要条件【解析】若l1//l2,则=,则a=0或,经检验都符合题意，所以l1//l2充要条件是a=0或，故是a=0或的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4. 若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为______________.【答案】【解析】因为点与点关于点对称,所以点C的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为.故答案为5. 已知正方体分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是______.【答案】【解析】连接DC1,分别是正方形和的中心,所以分别为的中点，故DC1//EF,则DC1与所成的角即为和所成的角，大小为故答案为6. 直线的倾斜角的取值范围是______________.【答案】【解析】由直线方程可得直线的斜率为,所以直线=的倾斜角的取值范围是故答案为7. 设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,若,则的值为____________.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，因此考点：圆锥体积及侧面积8. 直线被圆截得的弦长为2,则实数的值为___________.【答案】-2【解析】圆=,则圆心(a,0),半径为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离为,即=,则.故答案为-29. 在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为,则椭圆的方程为_________________.【答案】【解析】由题意可得,求解可得===,所以椭圆的方程为=.故答案为10. 已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,.给出下列命题:①;②;③;④.其中正确的命题是____________.【答案】①④【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由可得或,又,则m,l的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,又,由线面垂直的判定定理可知,的位置关系可能不垂直,故③错误; 由,又,所以,故④正确.故答案为①④11. 已知实数满足方程=,则的取值范围是______.【答案】【解析】方程=化为,表示的图形是一个半圆,令,即y=kx,如图所示,当直线与半圆相切时,k=,所以的取值范围是故答案为12. 已知圆=与圆=相外切,则的最大值为_______.【答案】【解析】因为圆=与圆=相外切,所以,两边平方可得a2+b2+2ab=9,又因为a2+b2≥2ab,所以ab≤,所以ab的最大值为.故答案为13. 若圆=关于直线=对称,过点作圆的切线,则切线长的最小值是________.【答案】4【解析】因为圆=关于直线=对称,所以圆心在直线=上,所以,即,又圆的半径为,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为=,所以切线长的最小值为=.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b)与圆心的距离最小时...................【答案】故答案为点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二、解答题：共6题15. (1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;(2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.【答案】(1);(2) 所求直线方程为或.【解析】试题分析：(1)由已知直线求出所求直线的斜率,再利用直线方程的点斜式求解即可;(2)分两种情况讨论:当直线过原点时,设所求直线方程为, 当直线不过原点时,设所求直线方程为=,则结论易得.试题解析：(1)所设求直线的斜率为,依题意==直线经过点所求直线方程为,即.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为=将(-5,2)代入所设方程,解得,所求直线方程为,当直线过原点时,设所求直线方程为,将(-5,2)代入所设方程,解得=,所求直线方程为=,即;综上:所求直线方程为或.16. 如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB,使AB＝2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG＝G.求证:(1)FG∥平面AED;(2)平面DAF⊥平面BAF.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)根据题意证明四边形DEFG为平行四边形,则FG∥ED,由线面平行判定定理，结论易证得;(2)由面面垂直的性质定理证明AD⊥平面BAF,由面面垂直的判定定理易证出结论.试题解析：(1)证明:(1)DG＝GC,AB＝CD＝2EF,AB∥EF∥CD,EF∥DG,EF＝DG.四边形DEFG为平行四边形,FG∥ED.又FG∥平面AED,ED⊂平面AED,FG∥平面AED.(2)平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD＝AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,AD⊥平面BAF,又AD⊂平面DAF,平面DAF⊥平面BAF.17. 在平面直角坐标系中,设命题:椭圆的焦点在轴上;命题:直线与圆有公共点.若命题为假命题,且命题为真命题,求实数的取值范围.【答案】实数的取值范围是【解析】试题分析：命题为真:由题可知,;命题为真:与圆有公共点,则,又知命题p与q一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题为真:由题可知,,解得若命题为真:与圆有公共点,则圆心到直线的距离: =,解得命题为假命题,且命题为真命题,若真假,则解得若真假,则解得综上:实数的取值范围是18. 如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面为的中点,在棱上,且.(1)求三棱锥的体积;(2)求证:平面;(3)若为中点,在棱上,且,求证:平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由求解即可;(2)在底面中,取的中点,连接,由题意证明,利用面面垂直的性质定理证明平面,则可得,即可证明结论;(3) 连接,,设,证明,则∥,即可证明结论.试题解析：(1)因为△是正三角形,且,所以.又⊥平面,故==S△BCD.(2)在底面中,取的中点,连接,因,故.因,故为的中点.为的中点,故∥,则故因平面平面,故平面平面.△是正三角形,为的中点,故,故平面.平面,故.又,故平面.(3)当时,连接,.设,因为的中点,为中点,故为△的重心,.因==,故,所以∥.又平面平面,所以∥平面.点睛：本题主要考查空间几何体的体积、线面与面面平行与垂直的判定与性质,考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.19. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+,求实数t的取值范围.【答案】（1）圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1；（2）直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0；（3）实数t的取值范围是2-2,2+2].【解析】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，. （1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离因为而所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.20. 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.(1)求椭圆的方程;(2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）定点的坐标为.（3）当时,的最小值为.【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率,左顶点为易得结论;(2)直线的方程为,联立椭圆方程消去y,由根与系数的关系,求出点P坐标,根据题意,则结论易得;(3)设的方程可设为,联立椭圆方程,求出点M坐标,=,结合基本不等式求解即可.试题解析：(1)椭圆的离心率,左顶点为,==椭圆的标准方程为.(2)直线的方程为,由消元得===当时, ==,点为的中点,的坐标为则=直线的方程为,令,得点坐标为假设存在定点使得,则,即=恒成立,恒成立,,即,定点的坐标为(3),的方程可设为.由,得点的横坐标为=由,得====, 当且仅当=即时取“=”,当时,的最小值为.点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、两条直线的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了方程思想与计算能力.。

《解析》江苏省无锡市江阴市四校联考2016-2017学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈N}，则M∩N=．2．幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则此幂函数的解析式为f（x）=．3．设函数f（x）=（x﹣4）0+，则函数f（x）的定义域为．4．函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点．5．关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为．6．已知函数f（x）=ax3﹣+2，若f（﹣2）=1，则f（2）=．7．若m∈（0，1），a=3m，b=log3m，c=m3则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为．8．函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，则实数m的取值范围．9．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围．10．已知函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=．11．函数的单调增区间为．12．已知函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，则a的取值范围是．13．若关于x的方程log|x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是．14．若已知f（e x+）=e2x+，关于x的不等式f（x）+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|＞0}，集合B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若B∪C=B，求实数m的取值范围．16．已知A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，函数f（x）=log2x（x∈A）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数h（x）=[f（x）]2﹣log2（2x），求函数h（x）的值域．17．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使甲厂有盈利，求产量x的范围；（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？18．已知函数f（x）=a﹣为奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．19．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈N}，则M∩N={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】由题意知集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1＜n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={m|﹣3＜m＜2}，N={n|﹣1＜n≤3，n∈Z}={0，1，2，3}，∴M∩N={0，1}，故答案为：{0，1}．2．幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则此幂函数的解析式为f（x）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】用待定系数法，求出幂函数y=f（x）的解析式【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；∵函数的图象过点（8，2），∴8α=2，解得α=；∴f（x）=，故答案为：3．设函数f（x）=（x﹣4）0+，则函数f（x）的定义域为（1，4）∪（4，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及指数幂的意义得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1且x≠4，故函数的定义域是（1，4）∪（4，+∞），故答案为：（1，4）∪（4，+∞）．4．函数y=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的图象恒过定点（1，0），求出该题的答案即可．【解答】解：当x﹣1=1，即x=2时，y=log a（x﹣1）+2=0+2=2，∴函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．5．关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用一元二次方程的根与不等式的关系与韦达定理，用a来表示b，c，带入不等式ax2﹣bx+c＞0即可求解．【解答】解：由题意：不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），可知a＜0，由ax2+bx+c=0可知其根x1=﹣1，x2=3，由韦达定理可得：，可得：b=﹣2a，c=﹣3a．那么：不等式ax2﹣bx+c＞0转化为：a（x2+2x﹣3）＞0，∵a＜0，∴x2+2x﹣3＜0，解得：﹣3＜x＜1．所以不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}．故答案为：{x|﹣3＜x＜1}．6．已知函数f（x）=ax3﹣+2，若f（﹣2）=1，则f（2）=3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性转化求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣+2，f（﹣2）=1，则f（2）=8a﹣+2=﹣（﹣8a++2）+4=﹣1+4=3．故答案为：3．7．若m∈（0，1），a=3m，b=log3m，c=m3则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为a＞c ＞b．【考点】对数值大小的比较．【分析】由m∈（0，1），根据对数式的性质得到b=log3m＜0，由指数函数的单调性得到1＜a＜3，0＜c＜1，则a，b，c的大小可以比较．【解答】解：因为m∈（0，1），所以b=log3m＜0，1＜a=3m＜31=3，0＜c=m3＜13=1，所以a＞c＞b．故答案为a＞c＞b8．函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，则实数m的取值范围[﹣1，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】通过讨论m的范围，结合二次函数的性质，求出m的范围即可．【解答】解：m=0时：f（x）=﹣2x+3，在R上递减，符合题意；m≠0时：函数f（x）=mx2﹣2x+3在[﹣1，+∞）上递减，f（x）是二次函数，对称轴x=≤﹣1，且m＜0，解得：﹣1≤m＜0，综上：﹣1≤m≤0，故答案为：[﹣1，0]．9．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围（﹣2，0）∪（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数f（x）是偶函数，将不等式f（x2﹣2）＜f（2），等价转化为f（|x2﹣2|）＜f（2），然后利用函数在[0，+∞）上是单调增函数，进行求解．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴不等式f（x2﹣2）＜f（2），等价为f（|x2﹣2|）＜f（2），∵函数在[0，+∞）上是单调增函数，∴|x2﹣2|＜2，解得﹣2＜x＜2，x≠0故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．10．已知函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（4）=log34+4﹣5＞0，f（3）=log33+3﹣5＜0，∴函数f（x）=log3x+x﹣5的零点一定在区间[3，4]，函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，∴a=3，b=4，a+b=7．故答案为：7．11．函数的单调增区间为[2，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】令t=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得t的减区间．【解答】解：令t=﹣x2+4x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x﹣2）2+4 的减区间为[2，+∞），故答案为[2，+∞）．12．已知函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【分析】利用已知条件判断函数的单调性，通过分段函数列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=满足对任意的x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，可知函数是减函数，可得，解得a．故答案为：（﹣∞，]．13．若关于x的方程log|x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是a＞1．【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数图象，结合图象求出a的范围即可．【解答】解：画出函数y=log|x+a|和y=|2x﹣1|的图象，如图示：，结合图象：a＞1，故答案为：a＞1．14．若已知f（e x+）=e2x+，关于x的不等式f（x）+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用换元法求解出f（x）的解析式，求出f（x）的值域，带入不等式f（x）+m≥0恒成立，再实数m的取值范围．【解答】解：由题意f（e x+）=e2x+=（e x+）2﹣2，令e x+=t，（t），则g（t）=（t）2+∴f（x）的解析式为：f（x）=（x）2+，（t），∴f（x）∈[2，+∞）∴不等式f（x）+m≥0转化为：f（x）≥﹣m恒成立，∵f（x）min=2，∴2≥﹣m即可恒成立．解得：m≥﹣1．实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|＞0}，集合B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若B∪C=B，求实数m的取值范围．【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）利用分式不等式的解法求出集合A，函数的定义域求出集合B，求出A的补集，即可求解结果．（2）利用并集关系，转化为子集关系，求解m即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）集合A={x|＞0}={x|x＞7或x＜﹣2}，…B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}={x|﹣4＜x＜7}，…所以∁R A={x|﹣2≤x≤7}…所以（∁R A）∩B=[﹣2，7）…（2）因为B∪C=B，所以C⊆B…①当C=∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，此时B⊆A…②当C≠∅时，，即2≤m＜4，此时B⊆A…综上所述，m的取值范围是{m|m＜4}…16．已知A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，函数f（x）=log2x（x∈A）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数h（x）=[f（x）]2﹣log2（2x），求函数h（x）的值域．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）设t=2x，把（2x）2﹣6•2x+8≤0转化为关于t的一元二次不等式求得t的范围，进一步求得x的范围得答案；（2）设u=log2x，由（1）u=log2x∈[0，1]，然后利用配方法求得函数的值域．【解答】解：（1）设t=2x，∵A={x|（2x）2﹣6•2x+8≤0}，∴t2﹣6t+8≤0，解得2≤t≤4，∴x∈[1，2]，即函数f（x）的定义域为[1，2]；（2）设u=log2x，由（1）u=log2x∈[0，1]，∴，∴h（x）∈[]．17．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使甲厂有盈利，求产量x的范围；（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由G（x）=2.8+x．通过f（x）=R（x）﹣G（x得到解析式；（2）利用分段函数分别盈利时，取得x的范围，即可．（3）当x＞5时，当0≤x≤5时，分别求解函数的最大值即可．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…f（x）=R（x）﹣G（x）=，…（2）①当0≤x≤5时，由﹣0.4x2+2.4x﹣2＞0，得：x2﹣6x+5＜0，解得1＜x＜5．所以：1＜x＜5．…②当x＞5时，由6.2﹣x＞0解得x＜6.2．所以：5＜x＜6.2．综上得当1＜x＜5或5＜x＜6.2时有y＞0．…所以当产量大于100台，小于620台时，且不为500台时，能使工厂有盈利．…（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=1.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=3时，f（x）有最大值为1.6（万元）．答：当工厂生产300台时，可使赢利最大为1.6万元．…18．已知函数f（x）=a﹣为奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）直接利用奇函数的定义f（﹣x）=f（x），可求出a值；（2）直接利用函数的单调性定义证明即可；（3）利用奇函数与单调性直接转化为t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2对t∈R恒成立，从而求出m的取值范围．【解答】解：（1）由于函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）；∴a﹣=﹣a+；∴2a=；∴a=1．（2）任意x1，x2∈R，且x1＜x2；f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+；=＜0；∵x1＜x2∴0＜＜∴＞0，所以，f（x1）＜f（x2）；则f（x）为R上的单调递增函数．（3）因为f（x）=1﹣为奇函数，且在R上为增函数；所以由f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，得到：t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2对t∈R恒成立；化简后：2t2﹣（m﹣2）t﹣m+1＞0；所以△=（m﹣2）2+8（m﹣1）＜0；∴﹣2﹣2＜m＜﹣2+2；故m的取值范围为：（﹣2﹣2，﹣2+2）．19．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）∴对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x﹣1）2+1又f（0）=3∴a=2∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1∴（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立化简得m＜x2﹣3x+1设g（x）=x2﹣3x+1则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1∴m＜﹣120．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值2016年11月26日。

江苏省无锡市高二第一学期数学期中考试试卷含答案

江苏省无锡市高二第一学期数学期中考试试卷一、单选题1.如果向量()2,1,3a =-，()1,4,2b =-，()1,1,c m =-共面，则实数m 的值是（） A.-1B.1C.-5D.52.设,x y R ∈，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,2,2c =-，且a c ⊥，b c ∥，则a b +=（）A.B.3D.43.直线L 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线124x y-=平行，则直线L 的方程是（） A.240x y --= B.230x y +-= C.20x y -=D.230x y -+=4.已知在圆M ：224240x y x y +-+-=内，过点()0,0O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（） A.6 B.8 C.10D.125.过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等，则这条直线的方程是（） A.460x y +-=B.460x y +-=C.2370x y +-=或460x y +-=D.3270x y +-=或460x y +-=6.设1F 是双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C 上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为（）A.y x =B.y =C.12y x =±D.2y x =±7.已知P 为直线20x y +-=上的点，过点P 作圆O ：221x y +=的切线，切点为M ，N ，若90MPN ∠=︒，则这样的点P 有（） A.0个 B.1个C.2个D.无数个8.已知M ，N 分别是曲线1C ：224470x y x y +--+=，2C ：2220x y x +-=上的两个动点，P 为直线10x y ++=上的一个动点，则PM PN +的最小值为（）C.2D.39.以下命题正确的是（）A.直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则l 与m 垂直 B.直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的一个法向量()1,1,1n =--，则l α∥ C.平面α，β的法向量分别为()10,1,3n =，()21,2,6n =，则αβ∥D.平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()1,,n u t =是平面α的法向量，则1u t += 10.下列说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C.直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 11.以下四个命题表述正确的是（）A.直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B.圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+=的距离都等于1C.曲线1C ：2220x y x ++=与曲线2C ：22480x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m = D.已知圆C ：224x y +=，点P 为直线144x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,112.以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（）A.双曲线221169x y -=与椭圆2214924x y +=有相同的焦点 B.在平面内，设A ，B 为两个定点，P 为动点，且PA PB k +=，其中常数k 为正实数，则动点P 的轨迹为椭圆C.方程22310x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D.过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若4AB =，则这样的直线l 有且仅有3条13.以椭圆221259x y +=长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为__________. 14.已知空间三点()0,2,3A ，()2,5,2B ，()2,3,6C -，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为__________.15.P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2AB =，6PA =，则1B 到平面PAD 的距离为__________.16.据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风.台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距离城市1203km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北30°方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为__________.四、解答题17.如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒.（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，试用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求1AB 与1BC 所成角的余弦值.18.已知ABC △的顶点()4,1A ，AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为250x y --=. （1）求点B 坐标；（2）求BC 边所在直线方程.19.设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()0,4，离心率为35.（1）求C 的方程；（2）若过点()3,0且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求弦长AB . 20.三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，160CBB ︒∠=，AB AC ⊥，AB AC =，12BC AB ==（1）求证：面ABC ⊥面11BB C C ；（2）在线段11C A 上是否存在一点M ，使得二面角11M CB C --为6π，若存在，求出111C M C A 的值，若不存在，请说明理由.21.已知圆C ：22240x y x y m ++-+=与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M .（Ⅰ）求圆C 的圆心坐标及半径；（Ⅱ）若点P 运动到()2,4-处，求此时切线l 的方程；（Ⅲ）求满足条件2PM PO =的点P 的轨迹方程.22.已知ABC △的三个顶点()1,0A -，()1,0B ，()3,2C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的标准方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】由各量共面，可知存在x ，y ，使得a xb yc =+，列出方程组，求出实数m 的值. 本题考查实数值的求法，共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 【解答】解：∵向量()2,1,3a =-，()1,4,2b =-，()1,1,c m =-共面， ∴存在x ，y ，使得a xb yc =+， ∴()()2,1,3,4,2x y x y x my -=-+-+，∴24123x y x y x my -+=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，解得13x =，73y =，1m =.∴实数m 的值是1. 故选：B. 2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于中档题.根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得x ，y ，可得()0,1,1a =，()1,1,1b =-，解得()1,0,2a b +=，再由模长公式求解. 【解答】解：(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,2,2c =-，因为a c ⊥，b c ∥，则2220122x y-+=⎧⎪⎨=⎪-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以()0,1,1a =，()1,1,1b =-，则()1,0,2a b +=，所以5a b +=.3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，两直线平行的运用，属于中档题. 由于所求直线与124x y -=平行，可设为024x ym -+=，由于直线平分圆，可知直线经过圆心，故求出圆心坐标代入所设直线方程，求出m ，即可求解.【解答】解：因为直线L 与124x y-=平行，故设直线L 为：024x ym -+=，圆22240x y x y +--=即()()22125x y -+-=，圆心坐标为()1,2，由于直线L 将圆平分，故圆心在L 上，将1x =，2y =代入L 的方程，得0m =，故L 方程为：20x y -=，故选C.4.【答案】D 【解析】【分析】本题考查直线与圆的方程的应用，考查点与圆的位置关系，考查弦长公式的运用，属于中档题.化圆的方程为标准方程，求出圆心和半径，判断点()0,0与圆的位置关系，以及线段AC ，BD 的位置关系，然后解出AC 、BD ，即可求四边形ABCD 的面积. 【解答】解：将圆M 的方程化成标准形式为()()22219x y -++=，所以圆心为()2,1-，半径为3；由于点()0,03，则点()0,0在圆内，则最长弦AC 是直径，最短弦BD 的中点是()0,0O ，且AC BD ⊥.236AC =⨯=，4BD ==，则11641222ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=. 故选D.5.【答案】D 【解析】本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于中档题. 分两种情况讨论：①过()1,2P 且与直线AB 平行的直线；②过点()1,2P 与线段AB 的中点()3,1C -的直线，分别求解即可. 【解答】解：由题意得53442AB k --==--，线段AB 的中点为()3,1C -分两种情况讨论：①过()1,2P 且与直线AB 平行的直线满足题意，其方程为()241y x -=--，整理得460x y +-=②过点()1,2P 与线段AB 的中点()3,1C -的直线满足题意，其方程为()()132113y x ---=---，整理得3270x y +-=故满足条件的直线方程是460x y +-=或3270x y +-=，故选D.6.【答案】C 【解析】【分析】本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查运算能力. 运用中位线定理，可得2OQ PF ∥，212OQ PF =，结合直角三角形即可得到a ，b 关系，则可得到渐近线方程. 【解答】解：不妨记1F 是双曲线C 的下焦点，设2F 是双曲线C 的上焦点，记1A 是双曲线C 的下顶点，2A 是双曲线C 的上顶点，画出如图所示的图象，由于O 为12F F 的中点，Q 为线段1PF 的中点，则由中位线定理可得2OQ PF ∥，212OQ PF =，由1PF 与以线段12A A 为直径的圆相切于点Q ，则OQ a =，22PF a =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -=，即有14PF a =，则12QFa =，由1OQ PF ⊥，由勾股定理可得()2222a a c +=，即2225a a b =+，则224a b =，即12a b =. ∴C 的渐近线方程为12a y x xb =±=±.故选：C.7.【答案】B 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 求出圆的圆心到直线的距离，然后判断选项即可. 【解答】解：连接OM ，ON ，则90MPN ONP OMP ∠=∠=∠=︒，所以四边形OMPN 为正方形，因为圆的半径为1，所以2OP =圆心O 到直线20x y +-=2 所以符合条件的P 只有一个，故选B.8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，涉及圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想，属于拔高题.求出圆2C 的圆心关于直线10x y ++=的对称的圆的方程，得到当P 点在12C C '连线与直线10x y ++=的交点处时PM PN +取得最小值，据此即可解答. 【解答】解：曲线1C ：224470x y x y +--+=，即()()22221x y -+-=，为圆心为()12,2C ，半径11r =的圆，曲线2C ：2220x y x +-=，即()2211x y -+=，为圆心为()21,0C ，半径21r =的圆，设圆2C 关于直线10x y ++=对称的圆的方程2C '：()()221x a y b -+-=，则有()110220111a bb a +⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，即2C '：()()22121x y +++=，则2C '的圆心为()1,2--，半径31r =，则圆心()21,0C -关于10x y ++=的对称点为()21,2C '--，那么()()2212121221225PC PC PC PC C C ''⎡⎤+=+≥=⎤--+⎡⎣--⎦⎦=⎣，而11PM PC r =-，23PN PC r'=-，∴122523PM PN PC PC '+=+-≥-=. 故选 D.9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，属于中档题. A ，根据直线l 、m 的方向向量a 与a 垂直，得出l m ⊥；B ，根据直线l 的方向向量a 与平面α的法向量n 垂直，不能判断l α∥；C ，根据平面α、β的法向量1n 与2n 不共线，不能得出αβ∥；D ，求出向量AB 与BC 的坐标表示，再利用平面α的法向量n ，列出方程组求出u t +的值. 【解答】解：∵11211202a b ⎛⎫⋅=⨯-⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，∴a b ⊥，∴直线l 与m 垂直，A 正确； ∵()()()0111110a n ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=，∴a n ⊥，∴l α∥或l α⊂，B 错误； ∵()10,1,3n =，()21,2,6n =，∴1n ，2n 不共线，所以α与β不平行，故C 错误； ∵()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -， ∴()1,1,1AB =-，()1,1,0BC =-， ∵向量()1,,n u t =是平面α的法向量，∴00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩，则1u t +=，D 正确.故选A.10.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率，判断直线方程的求法、对称知识以及直线的截距的应用，属于中档题. 由题意对四个选项逐一判断即可. 【解答】解：当直线的倾斜角为90°时，直线不存在斜率，所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，故A 正确；点()0,2与()1,1的中点坐标13,22⎛⎫⎪⎝⎭满足直线方程1y x =+，并且两点的斜率为：-1，所以点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1，故B 正确；直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为：2，-2，与坐标轴围成的三角形的面积是：12222⨯⨯=，故C 正确；经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =，所以D 不正确；故选ABC.11.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查直线系方程，圆系方程及其应用，直线与圆，两圆的公切线条数问题（圆与圆的位置关系），属综合题，难度较大.根据直线系方程判定A ；根据圆心到直线的距离与半径的关系判定B ；利用两圆的相切判定C ；利用圆系方程求得直线AB 的含参数方程，利用直线系思想方法判定D. 【解答】解：对于A ，直线()()34330m x y m m R ++-+=∈，变形为()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线过定点()3,3-，故A 选项错误；圆224x y +=，圆心()0,0O ，半径为2r =，圆心O 到直线l ：0x y -+=的距离为1d ==，又因为1r d -=，31r d +=>，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l 的距离都等于1，故B 正确；曲线1C ：2220x y x ++=的圆心为()1,0-，半径为1，曲线2C ：22480x y x y m +--+=的圆心为()2,4因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，1=，解得4m =，所以C 正确； D.因为P 是直线144x y+=上一动点，所以设()00,P x y ，则004x y +=.因为圆224x y +=的两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，所以OA PA ⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为()()000x x x y y y -+-=①，又224x y +=②，②-①得，直线AB 的方程为：004x x y y +=， ∵004x y +=，∴直线AB 经过定点()1,1，所以D 正确. 故选BCD.12.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查椭圆的概念和性质，双曲线的概念和性质，属于中档题.得出双曲线221169x y -=和椭圆2214924x y +=的各自焦点即可分析A 选项，由椭圆的定义可分析B 选项，根据椭圆和离心率的取值范围可分析C 选项，考虑直线l 的斜率存在和不存在两种情况，从而可分析D 选项.【解答】解：对于A 选项，双曲线221169x y -=与椭圆2214924x y +=的焦点均为()5,0±，故A 正确；对于B 选项，根据椭圆的定义，在平面内，设A ，B 为两个定点，P 为动点，当PA PB k AB +=>时，动点P 的轨迹为椭圆，故B 错误；对于C 选项，方程22310x x -+=的两根为11x =，212x =，1不能为椭圆和双曲线的离心率，故C 错误；对于D 选项，双曲线2212y x -=的右焦点为)F ，()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l的斜率不存在时，x =2212y x -=中，可得2y =，所以4AB =；当直线l的斜率存在时，设其直线方程为：(y k x =，联立2212y x -=，可得()()22222230k x x k -+-+=，显然22k ≠，则有()()422212212212422316160232k k k k x x k x x k ⎧=+-+=+>⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=-⎪-⎩△，所以()21224142k AB x k+=-===-，解得2k =±，故D 正确.故选AD.13.【答案】221169x y -= 【解析】【分析】本题主要考查椭圆及双曲线的几何性质、标准方程，属基础题. 根据条件求出双曲线的a 、b 、c 值，即可求出方程. 【解答】解：由椭圆方程可知所求双曲线的焦点为()5,0-，()5,0，顶点为()4,0-，()4,0.则设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，所以4a =，5c =，则3b ==.所以所求双曲线方程为221169x y -=. 故答案为221169x y -=.14.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.由()2,3,1AB =-，()2,1,3AC =-，可得AB AC ⋅，AB ，AC ，cos AB AC BAC AB AC⋅∠=⋅，sin BAC∠的值，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为sin S AB AC BAC =⋅⋅∠，计算即可. 【解答】解：()2,3,1AB =-，()2,1,3AC =-， ∴4334AB AC ⋅=-+-=-，22AB == (AC =-=∴2cos 714AB AC BAC AB AC⋅∠===-⋅∴sin BAC ∠==∴以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为sin sin S AB AC BAC AB AC BAC =⋅⋅∠=⋅⋅∠==故答案为15.【解析】【分析】本题考查点到平面的距离，属于中档题.建立空间直角坐标系，求出平面P AD 的法向量，1B A 的坐标，利用距离公式，即可得到结论. 【解答】解：因为正方体1111ABCD A B C D -，所以111AA A D ⊥，111AA A B ⊥，1111A D A B ⊥，则以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为2AB =，6PA =()10,0,0A ，()12,0,0B ，()0,0,2A ，()0,2,2D ，又可求得正四棱锥P ABCD -()()22622-=，则可得点()1,1,4P ，则()0,2,0AD =，()1,1,2AP =，设平面PAD 的法向量是(),,m x y z =，则∴由00m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得2020y x y z =⎧⎨++=⎩，取1z =得()2,0,1m =-，∵()12,0,2B A =-， ∴1B 到平面PAD 的距离1655B A m d m⋅==. 故答案为：55. 16.【答案】6小时【解析】【分析】本题考查了直线和圆的方程的实际应用，属于中档题.以A 为坐标原点，分别以正东，正北方向为x ，y 轴，建立坐标系，写出台风中心的运动轨迹的方程31203y x =--，求出603AE =，写出圆A 的方程，即可求出120CD =，即可求解. 【解答】解：以A 为坐标原点，分别以正东，正北方向为x ，y 轴，建立坐标系，则()603,180P -，台风中心的运动轨迹的方程为3603180y x =--，即3120y x =-，城市A 到直线31203y x =--的距离为603km 113AE ==+，圆A 的方程为222120x y +=，当台风中心到达C 时，城市开始受台风侵袭，当台风中心到达D 时，城市受台风侵袭结束，()222120603120km CD =-=，那么该城市受台风侵袭的时长为()1206h 20=. 故答案为6小时.17.【答案】解：（1）由题意得，1BC a BC a c b =+=+-，因为底面边长和侧棱长都等于1，且1160BAA CAA ∠=∠=︒， ∴12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， ∴()21BC a c b =+-2222221111112a b c a c a b b c =+++⋅-⋅-⋅=+++--（2）由（1）同理，求得()213AB a b=+=，()()11AB BC a b a c b ⋅=+⋅+-2211111112222a a c ab a b bc b =+⋅-⋅+⋅+⋅-=+-++-=，设1AB 与1BC 的夹角为， ∴11116cos 623AB BC AB BC θ⋅===⨯. 即1AB 与1BC 6. 【解析】本题主要考查了空间向量的运算和利用空间向量的数量积求夹角的知识点，属于中档题. （1）根据，1BC a BC a c b =+=+-，因为底面边长和侧棱长都等于1，且1160BAA CAA ∠=∠=︒，即可求得12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，从而可求出1BC ，即可求解. （2）同（1）的方法求出1AB ，再求出11AB BC ⋅，然后利用夹角公式求1AB 与1BC 所成角的余弦值即可. 18.【答案】解：（1）因为AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，所以直线AB 的斜率为53，则直线AB 的方程为：53170x y --=，联立方程：53170250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得2x =-，9y =-，即点B 坐标为()2,9--；（2）设点A 关于直线250x y --=对称的点为()1,A m n ，则点1A 在直线BC 上，且直线250x y --=为线段1AA 的垂直平分线，所以有：41250221142m n n m ++⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得125m =，95n =，即1129,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,9B --，所以直线BC 方程为：2711450x y --=.【解析】本题考查直线方程的求解，注意直线的点斜式，线段中点坐标公式的应用，注意最后没有特殊要求要把直线化成一般式，属于中档题.（1）先求直线AB 的斜率，则AB 边是高是斜率，由点斜式得到方程；联立方程组得到所求；（2）设点A 关于直线250x y --=对称的点为()1,A m n ，则点1A 在直线BC 上，且直线250x y --=为线段1AA 的垂直平分线，建立关于m ，n 的方程组求得1A 坐标，得到BC 方程. 19.【答案】解：（1）将()0,4A 代入C 的方程得2161b=，∴4b =，又35c e a ==，得222925a b a -=，即2169125a -=，∴5a =， ∴椭圆C 的方程为2212516x y += （2）过点()3,0且斜率为45k =的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，消去y 得()22312525x x -+=，即2380x x --=， ∴123x x +=，128x x =-∴21415AB x =-==. 【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，弦长公式的应用，属于基础题.（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a 、b 、c 关系式，即可求出a 、b 的值，即可求C 的方程；（2）利用直线过点()3,0且斜率为45，写出直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式即可求解.20.【答案】（1）证明：取BC 中点O ，连AO ，1B O ， ∵AB AC =，AB AC ⊥，2BC =，∴1AO =，AO BC ⊥，又1BC BB =，160CBB ∠=︒， ∴1OB BC ⊥，13OB =，又12AB =，∴22211OA OB AB +=，∴1AO OB ⊥，∵1BC OB O ⋂=，BC ⊂面11BB C C ，1OB ⊂面11BB C C ， ∴AO ⊥面11BB C C ， ∵AO ⊂面ABC ， ∴面ABC ⊥面11BB C C（2）解：由（1）可知OA ，OB ，1OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,1A ，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()13,0B ，设111C MC A λ=，()11101C M C A λλ=≤≤， ()13,0BB =-，()1,0,1CA =，()11,3,0CB =，()11111113,CM CC C M BB C A BB CA λλλλ=+=+=+=-+，设平面1CMB 的法向量为()1,,n x y z =，则11200n CB n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()30,130.x y x z λλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩ 取3x =，则3y =63z λλ-=，故1633,3,n λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()20,0,1n =是面11BB C C 的一个法向量，∴1212cos612n n n n π⋅===， ∵01λ≤≤，∴23λ=. 即存在一点M 满足条件，且11123C M C A =. 【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是拔高题.（1）取BC 中点O ，先由线面垂直的判定定理得出AO ⊥面11BB C C ，再由面面垂直的判定定理得出即可；（2）建立空间直角坐标系，设111C MC A λ=，()11101C M C A λλ=≤≤，求出两个平面的法向量，再由二面角11M CB C --为6π，即可求出λ的值，即可得到答案. 21.【答案】解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为()()22125x y m ++-=-，因为圆C 与y 轴相切，所以51m -=，所以4m =，即圆心()1,2C-，半径为1；（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 方程为：2x =-，此时与圆C 相切；当斜率存在时，设直线l ：()24y k x =++，则圆心到l 的距离1d ==，解得34k =-，此时l 的方程为34100x y +-=，所以切线方程为2x =-或34100x y +-=；（Ⅲ）设(),P x y ，则()()22222121PM PC MC x y =-=++--，222PO x y =+，因为2PM PO =，所以224PMPO =，即()()()22221(214x y x y ++--=+，化简得22332440x y x y +-+-=，所以点P 的轨迹方程为22332440x y x y +-+-=【解析】本题考查圆的方程，圆的切线，以及动点轨迹，注意求切线时不能漏解，属于中档题.（Ⅰ）将圆C 化成标准方程()()22125x y m ++-=-，利用圆与y 轴相切，可得51m -=，求得m 及半径；（Ⅱ）分别考虑斜率存在与不存在时的两种情况，利用圆心到l 的距离等于半径可求得切线方程；（Ⅲ）设(),P x y ，利用2PM PO =及两点间距离公式即可求出P 点轨迹方程.22.【答案】解：（1）由ABC △的外接圆为圆H ，可得圆心H 在AB 的垂直平分线上.因为()1,0A -，()1,0B ，所以点H 在y 轴上.设()0,H y ，因为BH CH =，所以()22222132BH CH y y =⇒+=+-，解得3y =. 所以()0,3H，r BH ==所以圆H 的标准方程是()22310x y +-= （2）当直线l 的斜率存在时，设l ：()23230y k x kx y k -=-⇒-+-=由弦长为2和r =可得圆心H 到直线l的距离3d ==，所以3d ==，即()()221391k k +=+，解得43k =. 所以l ：()4233y x -=-，即4360x y --= 当直线l 的斜率不存在时，l ：3x =，联立()22310,3,x y x ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩解得34x y =⎧⎨=⎩，或3,2.x y =⎧⎨=⎩ 此时弦长为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为4360x y --=或3x =（3）因为()1,0B ，()0,3H ，所以直线BH 的方程为13y x +=，即330x y +-= 设(),P m n ，因为点P 在线段BH 上，所以330m n +-=且[]0,1m ∈，所以33n m =-.设(),N x y ，因为M 为PN 的中点，所以33,,2222m x n y m x m y M +++-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设圆C ：()()22232x y r -+-=，由M ，N 在圆C 上得()()22222232,3332,22x y r m x m y r ⎧-+-=⎪⎨+-+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 整理得()()()()222222326314x y r x m y m r⎧-+-=⎪⎨+-+--=⎪⎩. 若M ，N 存在，则方程组有解，即圆心为()3,2C ，半径为r 的圆与圆心为()6,31C m m '-+，半径为2r 的圆有公共点. 根据两圆位置关系可知22r r CC r r '-≤≤+，即3r r ≤≤在[]0,1m ∈时恒成立，所以()()22223139r m m r ≤-+-≤，整理得2222101210,9101210r m m r m m ⎧-+⎨≥-+≤⎩在[]0,1m ∈时恒成立，所以()()22min 22max 1012109101210r m m r m m ⎧-+⎪⎨-+⎪≤⎩≥. 设()223321012101055f m m m m ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1m ∈，所以()32,105f m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2232,5910,r r ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩即2103295r ≤≤，解得35r ≤≤ 若M 为PN 的中点，则点P 在圆C 外，所以()()2232m n r -+->，即()()222313m m r -+->在[]0,1m ∈上恒成立，所以()22min 3210121055r m m r <-+=⇒<.综上所述，r ∈⎣⎭【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长问题，中点公式，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.（）求出圆心坐标与半径，即可求出圆H 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，列式求解即可；（3）设(),P m n ，(),N x y ，圆C ：()()22232x y r -+-=，将点M ，N 代入圆C ，若M ，N 存在，则方程组有解，即圆心为()3,2C ，半径为r 的圆与圆心为()6,31C m m '-+，半径为2r 的圆有公共点，根据两圆位置关系可知22r r CC r r '-≤≤+，由不等式组即可求得圆C 的半径r 的取值范围，再由点P 在圆C 外，综合可得r 的范围.。

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2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．2．（5分）直线l过点A（﹣1，3），B（1，1），则直线l的倾斜角为．3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．5．（5分）圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为．6．（5分）已知正三棱锥的底面边长是3，高为，则这个正三棱锥的侧面积为．7．（5分）将直线l1：x﹣y﹣3=0，绕它上面一定点（3，0）沿逆时针方向旋转15°得直线l2，则l2的方程为．8．（5分）直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．9．（5分）已知命题p：x2﹣5x﹣6≤0；命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．10．（5分）过点M（1，﹣2）的直线l将圆C：（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是．11．（5分）已知两条不同的直线m，n与两个不重合的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；其中真命题的是．（填序号）12．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为．13．（5分）已知圆A：x2+y2=1，圆B：（x﹣3）2+（y+4）2=10，P是平面内一动点，过P作圆A、圆B的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知三角形的顶点为A（2，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1），求：（1）AC边上的中线BD所在直线的方程；（2）AB边上的高CE所在直线的方程．16．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．17．（14分）设命题p：∀x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（16分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（I）求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．19．（16分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．20．（16分）已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC 为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．2016-2017学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡指定位置处.1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．2．（5分）直线l过点A（﹣1，3），B（1，1），则直线l的倾斜角为．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ==﹣1，∴θ=，故答案为：．3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）【解答】解：当a=3时，直线可化为3x+2y+1=0和3x+2y﹣2=0，显然平行；若直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行，则a（a﹣1）﹣2×3=0，且3×1﹣a（﹣2）≠0，解之可得a=3或a=﹣2，故直线平行推不出a=3，故前者是后者的充分不必要条件．故答案为：充分不必要4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为2．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1D1的中点，∴∠A1EA是直线AE与平面A1B1C1D1所成的角，也就是直线AE与平面ABCD所成角．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2a，则A 1E=a，AA1=2a，∴tanA1EA==2．故答案为：2．5．（5分）圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=9．【解答】解：以点（3，0）为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是（x﹣3）2+y2=9．故答案为（x﹣3）2+y2=9．6．（5分）已知正三棱锥的底面边长是3，高为，则这个正三棱锥的侧面积为．【解答】解：由题意：可知底面是边长为3的正三角形，正三棱锥的高为，（如图）AO=，BC=BD=DC=3，AO⊥平面BDC，∵△BDC是边长为3的正三角形，∴OE=，∴AE=，∴正三棱锥的侧面积S=．故答案为：．7．（5分）将直线l1：x﹣y﹣3=0，绕它上面一定点（3，0）沿逆时针方向旋转15°得直线l2，则l2的方程为x﹣y﹣3=0．【解答】解：∵直线l：x﹣y+3=0的斜率为1，故倾斜角为45°，∴直线l2的倾斜角为45°+15°=60°，斜率为tan60°=，∴直线l2的方程为y﹣0=（x﹣3），即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=0．8．（5分）直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是．【解答】解：由于圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9则圆心（3，2），半径为3设圆心（3，2）到直线y=kx+1的距离为d，由弦长公式得，AB=2＞4，故d2＜5，即，化简得（k﹣2）（2k+1）≤0，∴﹣＜k＜2，故答案为：．9．（5分）已知命题p：x2﹣5x﹣6≤0；命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（0，3] ．【解答】解：命题p：x2﹣5x﹣6≤0，则﹣1≤x≤6，命题q：x2﹣6x+9﹣m2≤0（m＞0），则3﹣m≤x≤3+m，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，（“=”不同时成立），解得：m≤3，故m∈（0，3]，故答案为：（0，3]．10．（5分）过点M（1，﹣2）的直线l将圆C：（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是x+2y+3=0．【解答】解：当劣弧最短时，MA与直线l垂直．所以k l•k AM=﹣1，圆心坐标为（2，0）得到直线AM的斜率k AM=2，所以k l=﹣所以过M（1，﹣2）的直线l的方程为：y+2=﹣（x﹣1）化简得x+2y+3=0．故答案为：x+2y+3=0．11．（5分）已知两条不同的直线m，n与两个不重合的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；其中真命题的是②③④．（填序号）【解答】解：对于①，若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，则①错误；对于②，由垂直与同一平面的两直线平行可知：②为真命题；对于③，若m∥α，则存在l⊂β，使m∥l，由m⊥β，可得l⊥α，结合面面垂直的判定定理可得α⊥β，即③也为真命题．对于④，由m⊥α，n⊥β，m∥n，利用面面平行的判的定理可知：则α∥β；故④为真命题，故答案为：②③④．12．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为54．【解答】解：由球的表面积公式，得4πR2=12π，∴R=．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=，∴a=6．∴该正三棱柱的体积为：V=S•h=•a•a•sin60°•h=×6×6×2=54．底故答案为：5413．（5分）已知圆A：x2+y2=1，圆B：（x﹣3）2+（y+4）2=10，P是平面内一动点，过P作圆A、圆B的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为．【解答】解：设P（x，y），依题意，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，PE=PD，所以x2+y2﹣1=（x﹣3）2+（y+4）2﹣10，整理得：3x+4y﹣8=0，P到坐标原点距离的最小值就是原点到3x+4y﹣8=0的距离，∴P到坐标原点距离的最小值为．故答案为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的取值范围为a≥3．【解答】解：圆M：（x﹣a）2+（y+a﹣3）2=1（a＞0），圆的圆心（a，3﹣a），半径为1，点N为圆M上任意一点，若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，|ON|≥2，|ON|的最小值为：|OM|﹣1，可得﹣1≥2，解得a≥3或a≤0（舍去）．故答案为：a≥3．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知三角形的顶点为A（2，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1），求：（1）AC边上的中线BD所在直线的方程；（2）AB边上的高CE所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意：AC的中点，∴，∴，化简得：2x﹣9y+2=0，故BD的直线方程为：2x﹣9y+2=0；（2）由题意得：，∵AB⊥CE，∴k AB•k CE=﹣1，∴k CE=﹣1，∴y+1=﹣（x+5），化简得：x+y﹣4=0，故CE的直线方程为：x+y﹣4=0．16．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．【解答】解：（1）连接AC，则AC∥A1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，则EF∥A1C1，故EF∥平面A1BC1（7分）（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，则A1C1⊥平面D1DBB1（12分）又A1C1⊂平面A1BC1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1（14分）17．（14分）设命题p：∀x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：p：不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）对x∈R恒成立，∴∴0＜a＜4．…（3分）q：设两个圆的圆心距为d．∴．∵两圆外离，∴d＞|a|+2，∴|a|＜3，∴﹣3＜a＜3．…（6分）∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p，q一真一假．…（8分）①p真q假时，，∴3≤a＜4…（10分）②p假q真时，，∴﹣3＜a≤0．…（12分）综上所述，实数a的取值范围为（﹣3，0]∪[3，4）．…（14分）18．（16分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（I）求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离为，∴，又∵M在l的下方，∴8a﹣3＞0，∴8a﹣3=5，a=1，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．（4分）（Ⅱ）设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6．由方程组，得C点的横坐标为，∵|AB|=t+6﹣t=6，∴，由于圆M与AC相切，所以，∴；同理，，∴，∴，（10分）∵﹣5≤t≤﹣2，∴﹣2≤t+3≤1，∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4，∴，．（13分）19．（16分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=BC又∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，又M为BC中点，∴BC⊥AM而PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN（II）∵又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1∴三棱锥N﹣AMC的体积S•AN△AMC=（III）存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，∵N，E分别为PA，PD中点，∴又在菱形ABCD中，∴，即MCEN是平行四边形∴NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE∴MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时．20．（16分）已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC 为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，B（0，2）、M（2t，t2），∴|BM|==；∴以M为圆心、BM为半径的圆方程为（x﹣2t）2+（y﹣t2）2=t4+4，∴其交x轴的弦，∴，解得，t=±2，∴⊙M的方程为（x±4）2+（y﹣4）2=20；（Ⅱ）假设存在存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切；∵，y M=t2，∴存在一条平行于x轴的定直线y=﹣1与⊙M相切；（Ⅲ）在△BDE中，设∠DBE=θ，且DE为弦，故，由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE边上的高为2；由三角形的面积相等得：，∴；由余弦定理得，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE×cosθ，∴，∴，∴=，故当时，的最大值为．。