四川省达州市2021届高三第二次诊断性测试理科数学试卷(PDF版无答案)
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
四川省达州市普通高中2020届高三第二次诊断性测试数学(理科)试题附答案与详解
达州市普通高中2020届第二次诊断性测试数学（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =≤≤，{}1B x x =>，则A B =I （ ） A.(]1,2 B.[]2,4C.()4,+∞D.()2,42.复数21iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，5a 是2a ，14a 的等比中项，则7a =（ ） A.13B.49C.62D.721-4.函数()21ln f x x x x=-+的图象大致是（ ） A.B. C. D.5.101⎫-⎪⎭的展开式中3x -的系数是（ ） A.252B.252-C.210-D.2106.已知双曲线的两条渐近线的方程是0x +=和0x -=，则双曲线离心率是（ ）或5或27.已知[]8,2a∈-，则命题20000,10x x ax∃>++<为假命题的概率（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.18.已知22loga a=，1212bb⎛⎫=⎪⎝⎭，n1sic c=+，则实数a，b，c的大小关系是（）A.b a c<< B.a b c<< C.c b a<< D.a c b<<9.甲烷，化学式4CH，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（）10.在ABC△中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设BE a=u u u r，CD b=u u u r，则AP=u u u r （）A.2233a b-- B.4433a b-- C.3344a b-- D.5544a b--11.已知方程()2sin2002xxωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（）A.17,33⎛⎤⎥⎝⎦B.713,66⎛⎤⎥⎝⎦C.410,33⎛⎤⎥⎝⎦D.113,66⎛⎤⎥⎝⎦12.己知a>0，函数f（x）=|12.已知0a>，函数()2,02,0xf xax xx⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，()2ag xx=-和点()()(),0P m f m m<，将y轴左半平面沿y轴翻折至与y轴右半平面垂直.若()0,1n∃∈，直线x n=分别与曲线()y f x=，()y g x=相交于点A B ，，PA PB =，PAB △面积为2，则实数a 的取值范围为（ ）A.,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.0,9⎛⎝⎦C.(]0,1D.0,9⎛ ⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y 满足约束条件200360x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值是 .14.函数()112122xx f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t = . 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13n n S m -=+，则实数m 的值是 .16.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点.O 是坐标原点，A 是C 上一点，OFA △外接圆B e （B 为圆心）与C 的准线相切，则过点B 与C 相切的直线的斜率 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC △的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求B ；（2）若2,c B =的角平分线1BD =，求ABC △的面积ABC S △.18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图线下培训茎叶图 在线培训直方图（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式有关？（2）成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC CB ===，AB =D 是BC 中点，E 是PD 中点，F 是线段AB 上一动点.（1）当F 为AB 中点时，求证：平面CEF ⊥平面PAB ； （2）当EF ∥平面PAC 时，求二面角E FD C --的余弦值.20.已知动点P 到两点()，)的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =u u u r u u u r.（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）过点()的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求214MN AB -的最大值.21.函数()()ln 1cos f x x x ax =++-. （1）若0x =为()f x 的极值点，求实数a ；（2）若()1f x ≤在(]1,0-上恒成立，求实数a 的范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中[)0,απ∈.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4sin C ρθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于点,A B 两点，点()3,1P ，求PA PB ⋅. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设()124f x x x =-+-. （1）解不等式()5f x ≤；（2）若,,a b c 均为正实数，()f x 最小值为m ，a b c m ++=，求111111a b c +++++.达州市普通高中2020届第二次诊断性测试理科数学参考答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分.3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.B9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[]2,6 14.0.8 15.13- 16.2±三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）()2cos cos 0a c B b C ++=Q ，∴在ABC △中，由正弦定理得，()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ∴++=，()2sin cos sin 0A B B C ∴++=.A B C π++=Q ，2sin cos sin 0A B A ∴+=.A Q 为三角形内角，sin 0A ∴≠，12cos 23B B π=-=. （2）在ABC △中，BD 为角B 的角平分线，23B π=Q ，3ABD π∴∠=，Q 在ABD △中，,2,13A ABDB BD π=∠==，由余弦定理可得AD =222AB BD AD ∴=+，ABD △为直角三角形.即BD AC ⊥，故ABC △为等腰三角形，2AC AD ==，11122ABC A S BD C ∴==⨯⨯⋅=△18.解：（1）根据题意得列联表：()21405703035144.66735105100403k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.4.667 3.841>有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关.（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，在这8个中抽取3个含在线培训个数为ξ.0ξ=，1，2，3()33381056C P C ξ===，()21353815156C C P C ξ===， ()123538301525628C C P C ξ====，()353810535628C P C ξ====. ξ的分布列为： ()150123 1.875565656568E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯==.19.（1）证明：222AC BC AB +=Q ，ABC ∴△为等腰直角三角形，当F 为AB 中点时，CF AB ∴⊥.PA ⊥Q 平面,ABC CF ⊆平面,ABC PA CF ∴⊥.PA AB A =Q I 且都在平面PAB 中，CF ∴⊥平面PAB .CF ⊆Q 平面CEF ，∴平面CEF ⊥平面PAB .（2）解：过点C 作z 轴垂直于平面ABC ，建立如图的空间直角坐标系，()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2P ，()0,1,0D 。
四川省大数据精准教学联盟2021届高三第二次统一监测 数学试题(后附答案及命题说明)
四川省大数据精准教学联盟2021届高三第二次统一监测理科数学注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用05毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合M= {x IO� x�2}, N = {x I2x-I <1}，则MnN=A.{xlO�x�l}B.{xlO�x<l}C.{xl l�x�2}D.{x ll<x�2}2.设i是虚数单位，a,bER,且（2+i)b i=a-4i,则复数a+bi在复平面内所对应的点位千A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(ax+—)5的展开式中x的系数为－80,则a=A.-2B.-1C.士1D.士24.某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现统计了该公司2011年—2020年研发投入（单位：百万）和研发投入占年利润的比，并制成下图所示的统计图．下列说法正确的是20 |．．一一·-－．．．．一·-－·--．．．．．．一．．一．．．．一．．一．．一．．．．．．．一................_＿．．．．．．．．．－．．－－-…..........一．．一.............20%I.. 15%。
-·· 10% -·· 5%四2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020年份一研发投入---研发投入占年利润的比A.2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势B.2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大c.2011年开始，该公司的年利润逐年增加D.2011年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势四川省大数据精准教学联盟 2021届高三第二次统一监测理科数学命题意图及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
2021年四川省高考数学诊断性试卷(理科)
2021年四川省高考数学诊断性试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合0，1，2，，集合，则的子集个数为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：0，1，2，，或，，的子集个数为：．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算求出，然后即可得出子集的个数．本题考查了列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.方胜是汉民族的传统寓意祥纹，由两个菱形压角叠加而成，一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，象征着“同心”在如图所示的二连方胜中任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为不考虑菱形边界的宽度A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设大菱形的边长为2a，其中一个顶角为，则小菱形的边长为a，一个大菱形的面积为：，一个小菱形的面积为：，任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为不考虑菱形边界的宽度：．故选：B．设大菱形的边长为2a，其中一个顶角为，则小菱形的边长为a，进而求出各自的面积，即可求解结论．本题主要考查几何概型的面积比，属于基础题目．3.已知命题p，q是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：是假命题，则p是真命题，推出是真命题，是充分条件，反之，不成立，故选：A．根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．本题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道基础题．4.2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数万人与时间天的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数图像随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，属于指数型函数的特征，只有选项C为指数型函数．故选：C．由题意结合所给曲线的特点确定回归方程的类型即可．本题主要考查函数模型的选项及其应用，属于基础题．5.在的展开式中，常数项为A. 256B. 240C. 192D. 160【答案】B【解析】解：的展开式的通项公式为，由，可得，即有展开式的常数项为．故选：B．由二项式的展开式的通项公式，整理，可令x的指数为0，计算可得所求常数项．本题考查二项式的展开式的通项公式和运用，考查运算能力，属于基础题．6.在中，a，b，c分别是内角A，B，C的边，已知，则角A等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：中，由正弦定理得：，，化简可得：，，，由，可得：．故选：D．中，由条件利用正弦定理可得，化简可得，由此求得A的值．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．7.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据市场预测，甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为和，可能最大亏损率分别为和该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目，在总投资风险不超过的情况下，该投资人可能获得的最大盈利为A. 40万元B. 50万元C. 60万元D. 70万元【答案】D【解析】解：设投资甲、乙两个项目分别为x、y万元，由题意有，且最大盈利为，所以由图知，当过，的交点时有最大值，所以万元，故选：D．根据题设不等关系列出不等式，以及盈利的代数式，然后利用线性规划的方法进行求解即可．本题主要考查了实际应用，以及线性规划等知识，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．8.已知直线l：经过点，则的最小值为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】解：直线l：经过点，，即，．则的最小值为8，故选：C．由题意利用基本不等式，求得的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．9.将函数图象上的每一个点按向量其中和m为常数，且移动后，所得图象关于直线对称，则的值可能为；；；．A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数图象上的每一个点按向量移动后得到，所得图象关于直线对称，，，，，又，当时，；当时，，的值可能为，．故选：A．平移后得到，再结合正弦函数的轴对称，可得，，然后根据的范围限制，即可得解．本题考查三角函数图象的平移变换，正弦函数的轴对称，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.已知其中是双曲线的焦点，圆与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点，已知l的倾斜角为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可设双曲线的一条渐近线方程为，圆化为，圆心，半径为a，l与圆其中相交于A，B两点，由l的倾斜角为，可得，到直线l的距离为，，则，得．故选：C．设出一条渐近线方程，化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求得圆心到渐近线的距离，由已知得到，然后求解三角形即可求得．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．11.设，，，，则a，b，c，d的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，函数是R上的减函数，；是R上的减函数，而是R上的增函数，；是R上的增函数，．再根据，，．综上可得，故选：A．由题意利用指数函数、幂函数的单调性，可得a，b，c，d的大小关系．本题主要考查指数函数、幂函数的单调性，属于中档题．12.已知正方体的棱长为4，且，正方体内的动点P满足，则点P的轨迹所形成图形的面积是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，则3，，设y，，则，所以，化简，即以4，为球心，半径为2的球面，而点P在正方体内，则点P的轨迹是球面的，所以．故选：B．以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，然后根据，求出点P的轨迹，最后利用球的面积公式解之即可．本题主要考查了轨迹方程，解题的关键是求出点P的轨迹方程，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设复数为虚数单位的共轭复数为，则______ ．【答案】【解析】解：，．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.在正四棱柱底面为正方形且侧棱垂直于底面中，，M是BC的中点，则异面直线与所成角的大小为______ ．【答案】【解析】解：设的中点为N，连结BN，，正四棱柱底面为正方形且侧棱垂直于底面中，底面ABCD为正方形，设，则，M，N分别为BC，的中点，故B，所以异面直线与所成的角即为与BN所成的角即，，，则，则，，在中，由余弦定理可得，因为异面直线所成的角的范围为所以，故异面直线与所成角的大小为．故答案为：．先证明，利用异面直线所成角的定义得到即为所求的角，由余弦定理求解即可．本题考查了空间角的求解，主要考查了异面直线所成的角，解题的关键是找到两条异面直线所成的角，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．15.已知直线经过抛物线的焦点F，并交抛物线于A、B两点，在抛物线的准线上的一点C满足，则______ ．【答案】4【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为，由题意可得设，设B在x轴下方，因为，即，属于可得，可得，将代入抛物线的方程可得，所以，即，所以，所以直线AB的方程为：，联立，整理可得，解得：或，所以可得A的横坐标为3，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以，故答案为：4．由抛物线的方程可得焦点F的坐标就及准线方程，设B的坐标，及C的坐标，由向量的关系可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得B的纵坐标，进而可得直线BF的斜率及方程，直线BF的方程与抛物线联立求出A的横坐标，再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出的值．本题考查抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，及由向量得坐标的关系，直线与抛物线的综合，属于中档题．16.已知函数，则______ ；不等式的解集是______ ．【答案】0【解析】解：由题意可知，，，或或，或，即解集为．故答案为：1，．根据函数解析式有，即可求出的结果，对x进行讨论，即可解出不等式的解集．本题考查了分段函数的性质，分类讨论思想，不等式的解法，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点．求证：经过A、B、E三点的截面平分侧棱PD；若底面ABCD，且，求二面角的大小．【答案】证明：设载面ABE与侧棱PD交于点F，连接EF、AF，因为底面ABCD为正方形，所以，又因为平面PCD，且平面PCD，所以平面PCD，又平面ABE，且平面平面，所以，又因为，所以，因为E为PC中点，所以F为PD中点，即截面ABE平分侧棱PD．解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，0，，0，，2，，1，，0，，1，，2，，设平面ABE与平面BEC法向量为y，，v，，，令，1，，，令，0，，．所以二面角的大小为．【解析】根据直线与平面平行关系定理证明；用向量数量积计算二面角余弦值，从而求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．18.团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量最近，某研究性学习小组就是否观看过电影夺冠中国女排对影迷们随机进行了一次抽样调查，其列联表如表单位：人．是否合计青年401050中年302050合计7030100根据列联表以及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否观看过电影夺冠中国女排与年龄层次有关？现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影夺冠中国女排的概率；将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观看过电影夺冠中国女排的人数为，求随机变量的数学期望及方差．参考公式：，其中．参考数据：【答案】解：根据表中数据，计算，因为，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否观看过电影夺冠中国女排与年龄层次有关．依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中，观看过电影的有人，没观看过的有2人，记抽取的3人中有i人观看过电影为事件2，，则，，从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人观看过该电影的概率为：；由题意知，观看过该电影的频率为，将频率视为概率，则随机变量服从二项分布，所以随机变量的数学期望为，方差为．【解析】根据表中数据计算，对照附表得出结论．利用分层抽样方法抽取对应人数，计算所求的概率值；由题意知服从二项分布，由此计算的数学期望和方差．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．19.设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项．求的通项公式；若，求证：，其中【答案】解：设等差数列的公差为d，由，得，因为是与的等比中项，所以，化简得，且，解方程组，得，或，，故的通项公式为或其中．证明：因为，则，于是，于是，故，因为，，于是，其中．【解析】由等差数列的前n项和公式、等比中项的性质、等差数列的通项公式可得关于和d的方程组，解之即可得解；利用列项求和法及基本不等式的应用证明即可．本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和、等比中项的性质、数列的求和，以及不等式的证明，考查方程思想与转化思想的应用，属于中档题．20.设A、F分别为椭圆C：的左顶点和右焦点，B为它的一个短轴端点，已知的面积为．求椭圆C的离心率；经过点F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，当l的方向变化时，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：设椭圆的半焦距为c，由已知得，即，又，所以，所以由于，，所以，解得，所以椭圆的离心率为．由知，，，所以椭圆C的方程可化为，设，，直线l的方程为，联立，联立直线l与椭圆的方程，得，则，，由弦长公式可得，设线段MN的中点坐标为，则，，则MN的垂直平分线方程为，令，得点P的横坐标，于是，故存在常数满足条件．【解析】由的面积为，得，又，化简即可解得e的值．由知椭圆C的方程可化为，设，，直线l的方程为，联立，结合韦达定理可得，，再由弦长公式可得，设线段MN的中点坐标为，由中点坐标公式可得，，进而可得MN的垂直平分线方程令，得点P的横坐标，进而可得与关系，即可得出答案．本题考查椭圆的离心率，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.已知函数．设是的导函数，讨论函数的单调性；当时，求证：．【答案】解：由已知，设，，当时，在R上恒成立，所以在R上恒成立，所以在上单调递增，当时，令得，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，是上的增函数，当时，在是减函数，在上是增函数．由知，当时，在上单调递增，又，所以时，；时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，由知在上单调递增，又，则在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，由知在上单调递减，在上单调递增，且，，所以时，；时，，所以在上单调递减，在单调递增，则，综上所述：函数在上的最小值为1，所以，要证明原不等式只需证明，设，所以，则当时，；时，，即在上单调递减，在上单调递增，则，即，又，故．【解析】对求导得，设，求导得，分两种情况当时，当时，讨论函数单调性．结合的单调性得，要证明原不等式只需证明，设，只需证即可．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：其中为参数以O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系两种坐标系的单位长度相同求曲线C的极坐标方程；设点A的极坐标为，点B在曲线C上运动，求面积的最大值以及此时点B的极坐标．【答案】解：曲线C：其中为参数，整理得，化简得：．根据，转换为极坐标方程为，整理得．的极坐标为，即，所以，当，即时，即点B为时，面积的最大值为6．【解析】直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用极径和三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.设函数，其中a为常数．当时，求不等式的解集；若方程有三个不等实根，求a的取值范围．【答案】解：时，函数，当时，由得：，此不等式恒成立，故，当时，由得：，解得：，故，综上，不等式的解集是；，当时，在其定义域上单调递增，故函数有且只有一个实根；当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；且，故只需使，解得，；当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；且，故不可能有三个实根；综上所述，，即a的取值范围是．【解析】代入a的值，解各个区间上的关于x的不等式，求出不等式的解集取并集即可；化简，从而分类讨论确定函数的单调性及极值，从而解得．本题考查了分类讨论的思想应用及绝对值函数的应用．。
四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题(1)
一、单选题1.已知双曲线(a >4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．92. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）．A．B．C．D．3. 宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n 层的圆球总数为，容易发现：，，，则（）A ．45B ．40C ．35D ．304. 在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）A．B．C．D．5. 为了调查中学生课外阅读古典文学名著的情况，某校学生会从男生中随机抽取了50人，从女生中随机抽取了60人参加古典文学名著知识竞赛，统计数据如下表所示，经计算，则测试成绩是否优秀与性别有关的把握为优秀非优秀总计男生351550女生253560总计6050110附：0.5000.1000.0500.0100.0010.4552.7063.8416.63510.828A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9%6. 为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的学生，将他们的身高数据（单位：cm ）按[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中身高在区间[170，180）内的人数为300，身高在区间[160，170）内的人数为180，则a 的值为（ ）四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题(1)四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题(1)二、多选题三、填空题A ．0.03B ．0.3C ．0.035D ．0.357. 已知曲线的切线过坐标原点，则此切线的斜率为（ ）A ．eB ．C．D．8.若，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．为的一个周期B ．的图像关于直线对称C ．在上单调递增D．的值域为10. 如图，已知正方体的棱长为2，点是的中点，点是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A．B．三棱锥的内切球的体积为C ．三棱锥的体积为D ．直线与平面所成角的最大值为11. 已知正整数，，，2，…，，则对任意的，都有（ ）A．B．C．D．12. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（ ）A ．的最小值为B ．的最小值为C ．椭圆的离心率等于D ．椭圆的离心率等于13. 已知向量若向量与向量共线，则实数k =_________.14.若，则______.15. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b ，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________.四、解答题16. 在中，内角的对边分别是，已知为锐角，且.(1)求的大小；(2)设函数，其图像上相邻两条对称轴间的距离为.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的值域.17. 已知函数定义域为，设.（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）求证：；（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.18. 已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a 的取值范围．19. 已知分别是椭圆的上顶点､右顶点，左､右焦点分别为，到直线的距离为，且到直线的距离与到直线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两个不同的点，为坐标原点，若满足的点正好在椭圆上，求的面积.20. 某人下午5:00下班，他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间，如下表所示：到家时间5:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54迟于5:54乘地铁（天）25931乘公交（天）12467以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立.(1)某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于5:49到家的概率；(2)他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于5:50回家的天数为，求的分布列及数学期望；(3)某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5:48到家的，试求他是乘地铁回家的概率.（直接写出答案）21. 在平行四边形中，，，，沿将折起到，使得．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点是三角形区域内一动点，求的取值范围．。
2025届四川省达州市普通高中高三第二次调研数学试卷含解析
2025届四川省达州市普通高中高三第二次调研数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．232．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C 22D ．223．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞4．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为2233，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．2 C 5D ．35．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）7．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A 5B ．3C ．2D 7 9．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 11．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+=12．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省达州市普通高中2020届高三第二次诊断性测试数学试题(理科)
数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =≤≤，{}1B x x =>，则A B =I （ ） A.(]1,2 B.[]2,4C.()4,+∞D.()2,42.复数21iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，5a 是2a ，14a 的等比中项，则7a =（ ） A.13B.49C.62D.721-4.函数()21ln f x x x x=-+的图象大致是（ ） A.B. C. D.5.101⎫-⎪⎭的展开式中3x -的系数是（ ） A.252B.252-C.210-D.2106.已知双曲线的两条渐近线的方程是0x +=和0x -=，则双曲线离心率是（ ）或5或27.已知[]8,2a ∈-，则命题20000,10x x ax ∃>++<为假命题的概率（ ）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.18.已知22log aa =，1212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n 1si c c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.a c b <<9.甲烷，化学式4CH ，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a ，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（ ）10.在ABC △中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，BE 与CD 交于点P ，设BE a =u u u r ，CD b =u u u r ，则AP =u u u r（ ）A.2233a b -- B.4433a b -- C.3344a b -- D.5544a b -- 11.已知方程()2sin 2002xx ωωω--=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（ ） A.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.713,66⎛⎤⎥⎝⎦ C.410,33⎛⎤⎥⎝⎦ D.113,66⎛⎤⎥⎝⎦12.己知a>0，函数f （x ）=|12.已知0a >，函数()2,032,0x x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，()2a g x x =-和点()()(),0P m f m m <，将y 轴左半平面沿y 轴翻折至与y 轴右半平面垂直.若()0,1n ∃∈，直线x n =分别与曲线()y f x =，()y g x =相交于点A B ，，PA PB =，PAB △面积为2，则实数a 的取值范围为（ ）A.,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.0,9⎛⎝⎦C.(]0,1D.0,9⎛ ⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y 满足约束条件200360x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值是 .14.函数()112122xx f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t = . 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13n n S m -=+，则实数m 的值是 .16.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点.O 是坐标原点，A 是C 上一点，OFA △外接圆B e （B 为圆心）与C 的准线相切，则过点B 与C 相切的直线的斜率 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC △的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求B ；（2）若2,c B =的角平分线1BD =，求ABC △的面积ABC S △.18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图线下培训茎叶图 在线培训直方图（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式有关？（2）成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC CB ===，AB =D 是BC 中点，E 是PD 中点，F 是线段AB 上一动点.（1）当F 为AB 中点时，求证：平面CEF ⊥平面PAB ； （2）当EF ∥平面PAC 时，求二面角E FD C --的余弦值.20.已知动点P 到两点()，)的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =u u u r u u u r.（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）过点()的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求214MN AB -的最大值.21.函数()()ln 1cos f x x x ax =++-. （1）若0x =为()f x 的极值点，求实数a ；（2）若()1f x ≤在(]1,0-上恒成立，求实数a 的范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中[)0,απ∈.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4sin C ρθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于点,A B 两点，点()3,1P ，求PA PB ⋅. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设()124f x x x =-+-. （1）解不等式()5f x ≤；（2）若,,a b c 均为正实数，()f x 最小值为m ，a b c m ++=，求111111a b c +++++. 达州市普通高中2020届第二次诊断性测试理科数学参考答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分.3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.B9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[]2,6 14.0.8 15.13- 16.2±三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）()2cos cos 0a c B b C ++=Q ，∴在ABC △中，由正弦定理得，()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ∴++=，()2sin cos sin 0A B B C ∴++=.A B C π++=Q ，2sin cos sin 0A B A ∴+=.A Q 为三角形内角，sin 0A ∴≠，12cos 23B B π=-=. （2）在ABC △中，BD 为角B 的角平分线，23B π=Q ，3ABD π∴∠=，Q 在ABD △中，,2,13A ABDB BD π=∠==，由余弦定理可得AD =222AB BD AD ∴=+，ABD △为直角三角形.即BD AC ⊥，故ABC △为等腰三角形，2AC AD ==，11122ABC A S BD C ∴==⨯⨯⋅=△ 18.解：（1）根据题意得列联表：()21405703035144.66735105100403k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.4.667 3.841>有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关.（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，在这8个中抽取3个含在线培训个数为ξ.0ξ=，1，2，3()33381056C P C ξ===，()21353815156C C P C ξ===， ()123538301525628C C P C ξ====，()353810535628C P C ξ====. ξ的分布列为：()150123 1.875565656568E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯==.19.（1）证明：222AC BC AB +=Q ，ABC ∴△为等腰直角三角形，当F 为AB 中点时，CF AB ∴⊥.PA ⊥Q 平面,ABC CF ⊆平面,ABC PA CF ∴⊥.PA AB A =Q I 且都在平面PAB 中，CF ∴⊥平面PAB .CF ⊆Q 平面CEF ，∴平面CEF ⊥平面PAB .（2）解：过点C 作z 轴垂直于平面ABC ，建立如图的空间直角坐标系，()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2P ，()0,1,0D 。
四川省成都市2021届高三第二次诊断性检测数学(理科)试题(wd无答案)
四川省成都市2021届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知 i为虚数单位．则复数的虚部为（）A．B．C．D．1(★★) 3. 命题“ ，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，(★★) 4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．则摸出的两个球颜色相同的概率为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，，则的值为（）A．B．C．D．3(★★) 6. 在中，已知，为边中点，点在直线上，且，则边的长度为（）A．B．C．D．6(★★★) 7. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（）A．17B．18C．19D．20(★★) 10. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为．如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：，，）（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．则当取最大值时，的值为（）A．2B．C．D．(★★★★)12. 已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③ 的余弦值的取值范围为；④ 周长的最小值为．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题(★) 13. 已知函数，若，则的值为 ______ ．(★★) 14. 正项数列满足，．若，，则的值为 ______ ．(★★) 15. 设双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为．若点恰好为线段的中点，则直线的斜率的值为 ______ ．(★★★)16. 已知定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．若，，，则，，的大小关系为 ______ ．（用符号“ ”连接）三、解答题(★★★) 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．(★★) 18. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：1234567年）失效费（单位：万元）2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.90（Ⅰ）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 与 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（Ⅱ）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式：相关系数 ．线性回归方程 中斜率和截距最小二乘估计计算公式： ， ．参考数据： ， ，．(★★★) 19. 如图①，在等腰三角形中， ，， ， 满足，．将沿直线 折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． (★★★★) 20. 已知椭圆 ：经过点，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设经过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线与 轴相交于点 ，求△的面积 的取值范围．(★★★★) 21. 已知函数，其中．（Ⅰ）若存在唯一极值点，且极值为0，求 的值；（Ⅱ）讨论在区间上的零点个数．(★★★) 22. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若点在直线上且，射线与曲线相交于异于点的点，求的最小值．(★★) 23. 设函数的最小值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，证明：．。
四川省2021届高三数学下学期第二次诊断考试试题 文
高三数学下学期第二次诊断考试试题 文第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z 满足z(l+i)-2(i 为虚数单位)，则z 的虚部为(A)i (B) -i (C)-l (D)l2．设全集U=R ．集合M={x|x<l}，N={x|x>2}，则(C ∪M)∩N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥2)3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30人，则n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线y=x 3-x 在点(1，0)处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α满足2sin2α= l-cos2α，则tan α= (A) 21 (B)l (C)2 (D)4 6．函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在[1，1]的图象大致为7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f 则函数f(x)的图象的对称轴方程为 (A) Z k kx x ∈-=,4π (B) Z k kx x ∈+=,4π (C) Z k k x ∈=,21π (D) Z k k x ∈+=,421ππ9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P ∥平面α，A 1Q ∥平面α若直线B 1D ∩平面α=M ，则11MB MD 的值为 (A)41 (B) 31 (C) 21 (D) 32 10．如图，双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F 1（-c ，0），F 2（c ，0)，直线abc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为 (A)2 (B) 324 (C) (D) 332 11已知EF 为圆(x-l)2+(y+1)2=l 的一条直径，点M(x ，y)的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则MF ME ⋅的取值范围为 (A)[ 29,13] (B)[4,13] (C)[4,12] (D)[ 27,12] 12．已知函数x x x f ln )(=，g(x)=xe -x ，若存在x l ∈(0,+∞)，x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)成立，则k e x x 212)(的最大值为(A)e 2 (B)e (C) 24e (D) 21e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数f(l)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,20,1x x x x 则f(f(x-1))= ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=3π，a=2，b=3，则△ABC 的面积为 ．15.设直线l ：y=x-l 与抛物线y2=2px （p>0）相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）已知{a n }是递增的等比数列，a 1=l ，且2a 2，23a 3，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设2212log log 1++⋅=n n n a a b ，n ∈N*,求数列{bn}的前n 项和S n . 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为 AB ，BC 的中点．(I)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PE=3，求三棱锥B-PEM 的体积．19. (本小题满分12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：(I)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(I)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将(I)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：20.（本小题满分12分）已知椭圆E: 12222=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点分别为F 1(-l ，0)，F 2(1，0)，点P(1，22)在椭圆E 上． (I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设直线l ：x=my+1(m ∈R)与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2+y 2=a 2相交于C ，D 两点，当|AB|▪|CD|2的值为82 时，求直线x 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-mx-mlnx ，其中m>0．(I)若m=l ，求函数，(l)的极值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+mx ．若g(x)> x1在(1，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==m y m x 22（m 为参数）以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ-ρcos θ+1=0.(I)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点P(2，1)，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求||1||1PN PM +的值 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)设g(x)=-x 2+2ax ，其中a 为常数，若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，。
2021届四川省达州市普通高中高三(下)第二次诊断性测试理综物理试题
2021届四川省达州市普通高中高三（下）第二次诊断性测试理综物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列核反应方程中X 表示α粒子的是（ ）A ．241120H +X He +n →B ．2382349290U Th+X →C ．2351144899205636U +n Ba +Kr +3X →D ．4273021315He +Al P +X →2．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G ，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的角速度是（ ）A B C D 3．如图所示，长木板放在粗糙的水平地面上，一人站在木板上通过细绳向左上方拉木箱，人和木箱一起向左匀速运动，长木板静止不动，已知细绳的拉力为F ，细绳与水平面夹角为30°，长木板、人与木箱质量均为m ，重力加速度为g ，下列说法正确的是（ ）A ．长木板对地面的压力大于3mgB ．长木板对木箱的摩擦力等于2F C ．地面对长木板的摩擦力水平向右D ．长木板对人的摩擦力和对木箱的摩擦力相同4．如图所示，从倾角为θ=30°的足够长的斜面顶端P 以水平速度v 0抛出一小球，落在斜面上Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，则（ ）A． 等于60°B．落在Q点处的速度为2v0C．若初速度变为2v0，小球的水平位移变为原来的2倍D．若初速度变为2v0，PQ间距一定为原来间距的4倍5．图甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，A为理想交流电流表。
线圈绕垂直于磁场的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，产生的电动势随时间变化的图像如图乙所示，已知发电机线圈电阻为10Ω，外接一只阻值为100Ω的电阻，不计电路的其它电阻，则（）A．R两端电压为B．线圈转速为3000r/minC．0.015s时线圈平面与磁场方向垂直D．电流表A A二、多选题6．质量为m=2.0kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平地面做直线运动，0~6s内F与运动方向相同，6~8s内F与运动方向相反，物体的v—t图像如图所示，取g=10m/s2，则（）A．力F的大小为8.0NB．物体与地面间的动摩擦因数为0.2C．0~8s力F的冲量为64N·sD．物体克服摩擦力做的功为96J7．如图所示，两条间距为d的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨足够长，导轨电阻不计，其右端接一阻值为R的电阻。
四川省达州市2023届高三二模数学(理科)试题含答案
达州市普通高中2023届第二次诊断性测试数学试题（理科）（答案在最后）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{14}A x x ∣=-<<，{}2540B x x x =-+≤∣，则A B ⋃=（）A.[-1，4] B.(]1,4- C.(-1，4)D.[-1，4)【答案】B 【解析】【分析】求出集合B ，再由并集的定义即可得出答案.【详解】{}}{254014B xx x x x =-+≤=≤≤∣，因为{14}A x x ∣=-<<，所以A B ⋃=(]1,4-.故选：B . 2.复数13i 22z =+，则1=z （）A.13i 22-+ B.13i 22- C.13i 22+ D.122--【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则即可得到答案.【详解】由题意得211211i4222z --====，故选：B.3.在等比数列{}n a 中，11a =，34a =，则7a =（）A .128- B.128C.64- D.64【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，求出2q 的值，可得出671a a q =，代值计算即可得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2314a q a ==，所以，()36237111464a a q a q ===⨯=.故选：D.4.命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>，则p ⌝为（）A.x ∀∈R ，2210x x x +-+≤ B.x ∀∈R ，2210x x x +-+<C.0x ∃∈R ，0200210x x x +-+< D.0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤【答案】D 【解析】【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出p ⌝.【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>的否定为：0x ∃∈R ，0200210xx x +-+≤.故选：D5.设1F ，2F 是双曲线C ：22143x y -=的左、右焦点，过2F 的直线与C 的右支交于P ，Q 两点，则11||F P F Q PQ +-=（）A.5 B.6C.8D.12【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的定义知1224F P PF a -==，1224FQ QF a -==，则11||F P F Q PQ +-=1212F P PF FQ QF -+-，即可得出答案.【详解】双曲线C ：22143x y -=，则24a =，2a =，由双曲线的定义知：1224F P PF a -==，1224FQ QF a -==，22PQ PF QF =+，所以()111122F P F Q PQ F P F Q PF QF +-=+-+12128F P PF FQ QF =-+-=.故选：C .6.已知130.23π2,log 3,tan 8a b c -===，则（）A.c b a <<B.a b c <<C.b a c <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及正切函数的单调性即可得解.【详解】1030221-<<= ，0.20.2log 3log 10<=，3ππtantan 184>=，b a c ∴<<，故选：C7.果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y （单位：kg ）与干周x （树干横截面周长，单位：cm ）可用模型23012y b b x b x =+-模拟，其中0b ，1b ，2b 均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A.20b =时，y 是偶函数B.模型函数的图象是中心对称图形C.若1b ，2b 均是正数，则y 有最大值D.苹果树负载量的最小值是0b 【答案】C 【解析】【分析】因为23012y b b x b x =+-的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，可判断A ，B ；对函数求导，得出函数的单调性，可判断C ，D .【详解】因为23012y b b x b x =+-的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，故A 不正确；模型函数的图象也不可能是中心对称图象，故B 不正确；()2121223230y b x b x x b b x '=-=-=，则0x =或1223b x b =，若1b ，2b ，均是正数，则12203b x b =>，令0'<y ，则1223b x b >；令0'>y ，则12203b x b <<，所以函数在1220,3b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在122,3b b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，所以当1223b x b =时，y 有最大值，故C 正确；()2121223230y b x b x x b b x '=-=-=，若120,0b b ><，则0'>y ，函数在()0,∞+上单调递增，所以0y b >，苹果树负载量的最小值不是0b ，故D 不正确.故选：C .8.已知向量,,a b c满足2,,1a b a b c a ==⊥-= ，则b c - 的最大值为（）A.1B.1-C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】由向量的运算作出图形进行分析，再由圆的对称性得出b c -的最大值.【详解】如下图所示：圆A 的半径为1，设OA a,OB b,OC c ===，因为1c a -= ，所以点C 在圆A 上，则BC b c =-，由图可知，max 11BC AB =+=，即b c -的最大值为1.故选：A9.三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面,,BCD AB AD AB AD BCD ==⊥ 有两个内角分别为30︒和60︒，则球O 的表面积不能是（）A.12πB.16πC.32πD.48π【答案】C 【解析】【分析】根据面面垂直结合直角三角形三边关系分类讨论确定外接球半径的可能值，即可求表面积，故得答案.【详解】如图取BD 中点为1O ，连接OA因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，又AB AD =，BD 中点为1O ，所以1O A BD ⊥，又1⊂O A 平面ABD ，所以1O A ⊥平面BCD 因为6,AB AD AB AD ==⊥，所以223BD AD ==，1113O A O B O D ===BCD △有两个内角分别为30︒和60︒，所以BCD △为直角三角形①当BD 为斜边时，连接1O C则在BCD △中，1113O C O B O D ===，即11113O A O B O C O D ====，所以1O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，3为半径大小所以球O 的表面积为()24π312π⨯=；②当BC 为60︒内角所对的边时，则不妨取30,90DBC BDC ∠=︒∠=︒，取BC 中点2O ，连接2212,,O D O A O O 则在BCD △中，3BD =，则2,4DC BC ==，所以2222O C O B O D ===，因为12,O O 分别为,BD BC 中点，所以12112O O CD ==，又1O A ⊥平面BCD ，12O O ⊂平面BCD ，所以112O A O O ⊥，则2221122222O A O A O O O C O B O D =+====，所以2O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，2为半径大小所以球O 的表面积为24π216π⨯=；③当BC 为30︒内角所对的边时，则不妨取30,90DCB DBC ∠=︒∠=︒，取CD 中点3O ，连接3313,,O B O A O O 则在BCD △中，3BD =，则6,43BC BC ==33323O C O B O D ===，因为13,O O 分别为,BD CD 中点，所以13132O O BC ==，又1O A ⊥平面BCD ，13O O ⊂平面BCD ，所以113O A O O ⊥，则22311322223O A O A O O O C O B O D =+====，所以3O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，23所以球O 的表面积为(24π348π⨯=；综上，球O 的表面积为12π,16π,48π.故选：C .10.如图，在ABC 中，3AB =，π4ABC ∠=，18BA BC ⋅=，平面ABC 内的点D 、E 在直线AB 两侧，ABD △与BCE 都是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，1O 、2O 分别是ABD △、BCE 的重心.则12O O =（）A.26B.33C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义可求得AB ，求出1BO 、2BO 、12O BO ∠，利用余弦定理可求得12O O 的长.【详解】由平面向量数量积的定义可得π32cos 1842BA BC BA BC BC ⋅=⋅==，解得2BC =延长1BO 交AD 于点G ，延长2BO 交CE 于点H ，则G 、H 分别为AD 、CE 的中点，因为ABD △、BCE 均是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形，且3AB =，62BC =所以，232AD ==，212CE BC ==，则13222BG AD ==，162BH CE ==，因为1O 、2O 分别是ABD △、BCE 的重心，则122322332BO BG ==⨯=2243BO BH ==，又因为1π24ABG ABD ∠=∠=，同理可得π4CBH ∠=，所以，123π4O BO ABG BAC CBH ∠=∠+∠+∠=，由余弦定理可得2221212123π2cos216242642O O BO BO BO BO ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，12O O =.故选：A.11.把腰底比为1:12-（比值约为0.618，称为黄金比）的等腰三角形叫黄金三角形，:1（比值约为1.414，称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的:1的比例关系，常用的A4纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条对角线构成的图形），12AD AB -=.图二是长方体，EF =，22EG EH ==.在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为（）A.13B.16C.14D.18【答案】B 【解析】【分析】确定黄金三角形和和美矩形的个数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】在如下图所示的正五角星中，该图中共有10个三角形，且等腰CDM V 的腰底之比大于1，等腰ABN 的腰底之比小于1，且12AN AD AB ==，则等腰ABN的腰底之比为1::12AN AB -=，则在该五角星中，黄金三角形的个数为5，在如下图所示的长方体中，EF =22EG EH ==，则:EF EH =，:2:1EG EH =，:EG EF =，所以，矩形EHQF 、EFPG 均为和美矩形，所以，长方体中共6个矩形，其中和美矩形的个数为4，所以，图一和图二中共10个三角形，6个矩形，在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为1154216C C 201C 1206P ===.故选：B.12.点()()0000,1,0,,A x y x y B C ><均在抛物线24y x =上，若直线,AB AC 分别经过两定点()()1,0,1,4M -，则BC 经过定点N ，直线,BC MN 分别交x 轴于,D E ，O 为原点，记,OD a DE b ==，则2213a b a b +++的最小值为（）A.12B.14C.13D.15【答案】D 【解析】【分析】利用条件，用0y 表示出,B C 两点坐标，从而求出直线BC 的方程，进而求出定定点N ，再根据条件得到1a b +=，再利用柯西不等式即可求出结果.【详解】如图，由题易知直线,AB AC 斜率均存在，设直线AB 方程为00(1)1y y x x =++，11(,)B x y ，由002(1)14y y x x y x⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，消x 得200(1)(1)4y x y y +=+，即2000(1)04y y x y y -++=，由韦达定理得10044y y y y ==，所以104y y =，代入24y x =，得到1204x y =，所以20044(,)B y y ，设直线方程为0044(1)1y y x x --=--，22(,)C x y ，由00244(1)14y y x x y x-⎧-=-⎪-⎨⎪=⎩，消x 得200(1)(4)(4)(1)4y x y y --=--，即20000(4)(1)404y y x y x y ---+-=，由韦达定理得00204(1)4x y y y -+=-，所以2000020004(1)44444x x y y y y y y ---+=-=--，又因为2004y x =，所以0204(1)4y y y -=-，代入24y x =，得到202204(1)(4)y x y -=-，所以2002004(1)4(1)(,)(4)4y y C y y ----，所以直线BC 的斜率为0000000022200002220000004(1)(1)4144(4)1(1)14(1)4411(4)(4)4y y y y y y y y k y y y y y y y y y y -------====---⎛⎫-+-- ⎪---⎝⎭，所以BC 的方程为0022000(4)44(4y y y x y y y --=--，即20000000000222222000000000(4)4(4)(4)()(4)4(1)444(4)4(4)4(4)y y y y y y y y y y y x x x y y y y y y y y y ------=-+=-⋅-------所以222200000002220004444(1)1444y y y y y y y y x x y y y --+--=-=-+---，即2002041(1)4y y y x y --=--，故直线BC 过定点(1,1)N ，令0y =，得到02004(1)4y x y y -=-，所以02004(1)(,0)4y D y y --，所以02004(1)4y OD y y -=-，2002200004(1)4144y y DE y y y y --=-=--，又因为001,0x y ><，所以20044y x =>，所以02004(1)4y OD y y -=-，2020044y DE y y -=-，又,OD a DE b ==，所以2002200004(1)4144y y a b y y y y --+=+=--，又由柯西不等式知[]2222222((1)(3)((()13a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++++=++≥+⎢⎥⎣⎦++⎣⎦，当且仅当13a b a b =++，即13,44a b ==时，取等号，所以22()5113a b a b +⨯≥++，即221135a b a b +≥++，故选：D.【点睛】解决本题的关键在于，利用条件求出20044(,)B y y ，2002004(1)4(1)(,)(4)4y y C y y ----两点，再利用点斜式表示出直线BC ，进而求出定点N .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为64，则展开式中4x 系数为___________.【答案】12-【解析】【分析】根据二项式系数和求得n ，根据二项式展开式的通项公式求得4x 的系数.【详解】依题意2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为64，所以264n =，即6n =.二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()616C 2r r r x x --⋅⋅-()6262C r rr x -=-⋅⋅.令624,1r r -==，所以展开式中含4x 的系数为()1162C 12-⋅=-.故答案为：12-14.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图，,,A B C 是曲线()y f x =与坐标轴的交点，过点C 的直线1y =与曲线()y f x =的另一交点为D ．若2π3CD =，则AB =___________.【答案】2π【解析】【分析】由题设分析知()y f x =过(0,1)，π(,2)3且π43T >，求出ϕ、ω，根据AB T =求结果即可.【详解】由题设，()y f x =过(0,1)，π(,2)3，则2sin 1π2sin()23ϕωϕ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即1sin 2πsin()13ϕωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又π||2ϕ<，则π6ϕ=，故ππππ2π3362k ωωϕ+=+=+且Z k ∈，即16k ω=+，Z k ∈，显然π43T >，则4π3T >，故2π4π3ω>且0ω>，可得302ω<<，综上，当0k =时，31(0,2ω=∈，故π()2sin()6f x x =+，故2πAB T ==.故答案为：2π.15.如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.【答案】1【解析】【分析】设1AH AC λ= ，其中01λ≤≤，将EF 、EH 、1GC用基底{}1,,AB AD AA 表示，分析可知1GC 、EF 、EH共面，则存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，解出λ的值，即可得出AH 的长度.【详解】设1AH AC λ=，其中01λ≤≤，1122EF AF AE AB AD =-=- ，()111122EH AH AE AB AD AA AD AB AD AA λλλλ⎛⎫=-=++-=+-+ ⎪⎝⎭，11112GC GC CC AB AA =+=+，因为1//GC 平面EFH ，则1GC 、EF 、EH 共面，显然1GC 、EF不共线，所以，存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+，即1111112222AB AD AA m AB AD n AB AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222m n AB mAD nAA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ，因为{}1,,AB AD AA 为空间中的一组基底，所以，11221122m n m n λλλ⎧+=⎪⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得13λ=，因此，11133AH AC AB ===.故答案为：1.16.n S 是数列{}n a 前n 项和，13a =，12441n n a a n +=--，给出以下四个结论：①2121n n a n +=-；②2112122n a a a a a a n n +++=+ ；③()ln 21n S n n >++；④()22ln 21n S n n >++.其中正确的是___________（写出全部正确结论的番号）.【答案】①②③【解析】【分析】分析可知221n a n ⎧⎫-⎨-⎩⎭为常数列，求出数列{}n a 的通项公式，可判断①；求出12n a a a 的表达式，利用等差数列的求和公式可判断②；证明出当01x <≤时，ln 1≤-x x ，可得出212ln 2121n n n +≤--，结合放缩法可判断③；取2n =可判断④.【详解】对于①，因为13a =，()()1244224121212121n n n n a a a a n n n n n +⎛⎫=-=-=-- ⎪--+-+⎝⎭，所以，()12221121n n a a n n +-=-+--，所以，数列221n a n ⎧⎫-⎨-⎩⎭为常数列，则122121na a n -=-=-，所以，22112121n n a n n +=+=--，①对；对于②，123521211321n n a a a n n +=⨯⨯⨯=+- ，令21n b n =+，则()()1211212n n b b n n +-=++-+=⎡⎤⎣⎦，所以，数列{}n b 为等差数列，因此，()2211212321222n n na a a a a a n n n n +++++=+==+ ，②对；对于③，设()1ln x x x ϕ=--，其中01x <≤，则()111x x x xϕ-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，()()10x ϕϕ≥=，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，等号成立，所以，21212ln1212121n n n n n ++<-=---，所以，122235212ln ln ln 3211321n n n S a a a n n n n +⎛⎫=+++=++++>+++ ⎪--⎝⎭ ()3521ln ln 211321n n n n n +⎛⎫=+⋅⋅⋅=++ ⎪-⎝⎭ ，③对；对于④，因为212523433S a a =+=+=+，而()22222ln 2214ln 94ln e 6S +⨯+=+>+=>，故答案为：①②③.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.村民把土地流转给农村经济合作社后，部分村民又成为该合作社职工.下表是某地村民成为合作社职工，再经过职业培训后，个人年收入是否超过10万元的人数抽样统计：年收入超过10万元年收入不超过10万元合计男45550女7525100合计12030150（1）是否有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关？（2）根据合同工期要求，合作社要完成A ，B ，C 三种互不影响的产品加工，拟对至少完成其中两种产品加工的职工进行奖励（每个职工都有加工这三种产品的任务），若每人完成A ，B ，C 中任何一种产品加工任务的概率都是0.8，求某职工获奖的概率（结果精确到0.1）.附①参考公式：()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.②2K 检验临界值表：()20P K k ≥0.100.0100.0010k 2.7066.63510.828【答案】（1）没有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关【解析】【分析】（1）计算2K ，比较临界值，得出结论；（2）某职工获奖为获两项或者获三项两互斥事件，根据互斥事件概率求和公式计算.【小问1详解】由表知，观测值22150(4525755)75 4.688 6.635120305010016K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.∴没有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关.【小问2详解】由题意，设某职工获奖概率为p .则()223333C 0.810.8C 0.80.9P =⨯-+≈，所以某职工获奖的概率为0.9.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PAD ⊥平面ABCD ,60BAD ∠= ,2=AD AB ，PA PD =，O 、E 分别是AD 、BC 的中点.（1）证明：平面PBD ⊥平面POE ；（2）若2AB =，PA =POE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得出PO ⊥平面ABCD ，可得出BD PO ⊥，再证明出BD OE ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以过点O 平行于BD 的直线为x 轴，分别以直线OE 、OP 为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面POE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【小问1详解】证明：：PA PD = ，O 是AD 的中点，PO AD ∴⊥.平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD .BD ⊂Q 平面ABCD ，PO BD ∴⊥，设AB a =，则2AD a =，60BAD ∠= ，在ABD △中，由余弦定理得22222212cos 42232BD AB AD AB AD BAD a a a a a =+-⋅∠=+-⨯⨯=，222AB BD AD ∴+=.，AB BD ∴⊥，E 是BC 中点，四边形ABCD 是平行四边形，则//BE OA ，且BE OA =，所以，四边形ABEO 为平行四边形，//OE AB ∴，则BD OE ⊥，PO OE O = ，PO 、OE ⊂平面POE ，BD ∴⊥平面POE .BD ⊂Q 平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面POE .【小问2详解】解：由（1）知PO OE ⊥，且PO ⊥平面ABCD ，OE BD ⊥，以过点O 平行于BD 的直线为x 轴，分别以直线OE 、OP 为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.2AB =，PA =BD =2AD =，4OP ===，则)1,0A-、()D 、()C 、()0,0,4P ，则)1,4DP =- ，()0,2,0DC =，设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =，则4020m DP y z m DC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取4x =，可得(4,0,m = ，易知平面POE 一个法向量为()1,0,0n =r，cos ,19m n m n m n ⋅==⋅，所以平面PCD 与平面POE所成锐二面角的余弦值为19.19.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+.（1）求tan tan B C ；（2）若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】（1）12（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；（2）分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan A ≤求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.【小问1详解】解：3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+，()()cos cos cos cos cos 3cos b C c B A a B C A ∴+=+.由正弦定理得()()sin cos cos sin cos sin cos cos 3cos B C B C A A B C A +=+.()()sin cos sin cos cos 3cos B C A A B C A ∴+=+.因为0πA <<，则sin 0A >，πA B C ++= ，()sin sin B C A +=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=，所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C -+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan 2B C =.【小问2详解】解：由（1）得1tan tan 2B C =.若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则πB C +>，矛盾，所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，()()tan tan tan tan 2tan tan tan tan 1B CA B C B C B C +∴=-+==-+≤-=--当且仅当2tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角.tan A ≤- ()tan πA -≥，且πA -为锐角，由()()()()()()()22sin πtan πcos πsin πcos π1cos π0sin π0A A A A A A A ⎧--=≥⎪-⎪⎪-+-=⎨⎪->⎪⎪->⎩，解得()sin π3A -≥，即sin 3A ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，3bc =，133sin sin 2223S bc A A ∴==≥⨯=.因此，ABC.20.已知,A F 分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点和右焦点，过F 的直线l 交C 于点,D E .当A到l 的最大距离为4时，163DE =.（1）求C 的标准方程；（2）设C 的右顶点为B ，直线AD 的斜率为1k ，直线BE 的斜率2k .若121k k +=，①求12k k 的值；②比较FD 与2k FE 的大小.【答案】（1）22198x y +=（2）①12；②2FD k FE =【解析】【分析】（1）由题意⊥AF l 时，A 到l 的距离最大为4，此时DE 为通径，列出方程即可得解；（2）①直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1x ty =+，设,D E 的坐标为()()1122,,,x y x y ，联立直线方程与椭圆方程，由根与系数的关系及斜率公式列式可求得12k k ，②由①及121k k +=，求出直线的斜率，联立椭圆求出,D E 的坐标，计算,FD FE 即可得解.【小问1详解】设椭圆C 的焦距为2c ，则222c a b =+.A 到l 的最大距离为4，此时，椭圆的通径为163DE =，24,216.3a c b a+=⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得3,a b ==.所以椭圆C 的标准方程为：22198x y +=.【小问2详解】如图，①分别设,D E 的坐标为()()1122,,,x y x y .因为直线l 过定点()1,0F ，所以当10k =时，20k =；当20k =时，10k =，都与121k k +=矛盾，因此12120,3,3y y x x ≠≠±≠±.设直线l 的方程为1x ty =+，将1x ty =+代入22198x y +=，化简得()228916640t y ty ++-=，1212221664,8989t y y y y t t ∴+=-=-++.121244ty y y y ∴=+.由（1）得()(),3,03,0A B -，()()11211121122221122122232241444823y y ty k x ty y y y y y k y ty ty y y y y x -+-+∴=====+++-.②121k k += ，1212,33k k ∴==.∴直线AD 与直线BE 的方程分别为()()123,333y x y x =+=-.分别由方程组()2213,3198y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩和()2223,3198y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得7168,,1,393D E ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1629833FD FE ∴==，2FD k FE ∴=.21.设函数()21ln 2n f x x x mx x=+--（m 、n 均为实数）.（1）当2m =时，若()f x 是单调增函数，求n 的取值范围；（2）当0n >时，求()f x 的零点个数.【答案】（1）0n ≥（2）()f x 的零点个数是1【解析】【分析】（1）当2m =时，可得出()21ln 22n f x x x x x =+--，求得()3222x x x n f x x'-++=，令()()3220g x x x x n x =-++>，利用导数求出函数()g x 的最小值，分析可知()0f x '≥恒成立，即可得出实数m 的取值范围；（2）令()0f x =可得出2ln 12x n m x x x =+-，设()2ln 12x n h x x x x=+-，则0x >，利用导数分析函数()h x 的单调性与极值，即可得出方程()h x m =的解的个数，即可得解.【小问1详解】解：2m = ，()21ln 22n f x x x x x∴=+--.0x ∴>，且()212n f x x x x =+-+'，即()3222x x x n f x x'-++=.设()()3220g x x x x n x =-++>，则()2341g x x x =-+'，即()()()311g x x x =--'.不等式()0g x '>的解集为()10,1,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以()g x 在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.因为()()01g g n ==，所以，()min g x n =，()f x 为单调增函数，()0f x '∴≥恒成立，即0n ≥.【小问2详解】解：由()21ln 02n f x x x mx x =+--=得2ln 12x n m x x x=+-.设()2ln 12x n h x x x x=+-，则0x >，则()231ln 122x n h x x x -=++'，即()2311ln 22x x x n h x x '⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=.令()211ln 2k x x x =-+，则0x >，且()()()111x x k x x x x+-=-+='.当01x <<时，()0k x '<，()k x 单调递减；当1x >时，()0k x '>，()k x 单调递增.()min 3()102k x k ∴==>，()0k x ∴>.0x >且0n >，()0h x '∴>，()h x ∴在区间()0,∞+单调递增.设()1ln x x x ϕ=--，其中0x >，则()111x x x xϕ-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，()()10x ϕϕ>=，即ln 1x x <-，()113122x n n h x x x x-+∴<+-=-，0t ∀>，当220min 1,32n x t +⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭时，()h x t <.当1x >时，()2ln 1122x n h x x x n x x =+->-，0t ∀>，当()2x t n >+时，()h x t >.∴对任意实数m ，方程()h x m =只有一个解，即()f x 的零点个数是1.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为sin ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（α为参数）.（1）写出C 的普通方程和极坐标方程：（2）设直线()θβρ=∈R 与C 交于点A ，B ，求||AB 的最大值.【答案】（1）2233280x y xy ++-=，283sin 2ρθ=+（或2(3sin 2)80ρθ+-=）；（2）4【解析】【分析】（1）由三角函数的平方关系化简得C 的直角坐标方程；分别将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入C 的直角坐标方程并化简得C 的极坐标方程；（2）设点A ，B 极坐标分别为()1,ρβ，()2,ρβ，则12||AB ρρ=-，由283sin 2ρβ=+得2ρ取得最大值，取12ρ=，22ρ=-得||AB 的最大值.【小问1详解】由曲线C的参数方程sin ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（α为参数）得sin 2x y α+=，cos α=，∴2212x y +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简得C 的直角坐标方程为2233280x y xy ++-=；分别将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入C 的直角坐标方程并化简得C 的极坐标方程为283sin 2ρθ=+（或2(3sin 2)80ρθ+-=）；【小问2详解】设点A ，B 极坐标分别为()1,ρβ，()2,ρβ，则12||AB ρρ=-，由283sin 2ρβ=+知，当π22π()2β=-∈k k Z ，即ππ()4β=-∈k k Z 时，2ρ取得最大值4，根据题意，不妨取12ρ=，22ρ=-，所以||AB 的最大值为4.23.已知函数1()12f x x =-，()||g x x m m =-+，x ∀∈R ，()()f x g x ≤.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最小值时，证明：1()()12f xg x x +≥+.【答案】（1）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式，由112x x -+=得23x =，分别讨论当23m <、23m ≥时()()f m g m 、的大小关系，即可求解；（2）由（1）知m 的最小值为23，根据绝对值不等式的性质即可求解.【小问1详解】由()()11,2f x xg x x m m =-=-+，得()()11,22,21,1,22x x x m x m f x g x x x m x x ⎧-+<⎪-+<⎧⎪==⎨⎨≥⎩⎪-≥⎪⎩，，由112x x -+=得23x =.当23m <时，()()12123f m m m g m =-+>>=，不合题意.当23m ≥时，若2m <，则()()min 121()23f m m m g m g x =-+≤≤==，若()()()min 12,12m f m m m g m g x ≥=-<==.由于射线()()y g x x m =<的斜率-1，小于射线()(2)y f x x =<的斜率12-，射线()()y g x x m =≥的斜率1，大于射线()()2y f x x =≥的斜率12，所以()()f x g x ≤恒成立.所以实数m 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】由（1）知m 的最小值为23，。
四川省达州市高三数学第二次诊断性测试试题理(扫描版,无答案)
四川省达州市2017届高三数学第二次诊断性测试试题理（扫描版,无答
案）
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2021级高三二诊数学(理)答案 (1)
２７７７＋成都市２０１８级高中毕业班第二次诊断性检测 数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共６０分)一、选择题:(每小题５分,共６０分)１．A ; ２．D ; ３．C ; ４．B ; ５．D ; ６．A ; ７．B ; ８．C ; ９．C ; １０．B ; １１．C ; １２．B ．第Ⅱ卷 (非选择题,共９０分)二、填空题:(每小题５分,共２０分) １３．－１;１４．３;１５．１;１６．b ＜c ＜a ．三、解答题:(共７０分)１７．解:(Ⅰ)由已知及正弦定理,得 ２s i n B c o s C －s i n A c o s C ＝s i n C c o s A ．２分 ∴ ２s i n B c o s C ＝s i n A c o s C ＋c o s A s i n C ＝s i n (A ＋C )． ３分 ∵A ＋C ＝π－B ,∴s i n (A ＋C )＝s i n B ． ∴ ２s i n B c o s C ＝s i n B ．４分又 ∵s i n B ≠０,∴c o s C ＝ ２．５分 ２∵ ∈ (０,π),∴ π６分 C C ＝ ４ ．(Ⅱ)由已知及余弦定理,得a c a ２ ＋c ２ －b ２ －b c b ２ ＋c ２ －a ２ ＝b ２． ８分 ２a c２b c化简,得a ２ ＝２b ２．９分 又 ∵a ＝ ２,∴b ＝１．１０分 ∴ △A B C 的面积S △A B C ＝ １a b s i n C ＝ １ × ２ ×１×１．１２分２２ ２ ２１８．解:(Ⅰ)由题意,知x ＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝４, １分 y ＝２９０＋３３０＋３６０＋４４０＋４８０＋５２０＋５９０＝４３０, ２分∑ (x i－x )２ ＝ (１－４)２ ＋ (２－４)２ ＋ (３－４)２ ＋ (４－４)２ ＋ (５－４)２ ＋ (６－４)２i ＝１(７４)２＝ ２８ ３分∴r１４００≈ １４００≈０９９ ５分２８×７０８ １９８２４１４１０因为y 与x 的相关系数近似为０９９,所以y 与x 的线性相关程度相当大,从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系 ６分－BN ２ ＋ MN ２ １４ ,由 {m E →C ＝０,得 {４x １ ＋２y １ ＝０ 令z １ ＝１,得m ＝ (－１,２,１)． ９分(Ⅱ)∵b ^＝ i ∑＝１(xi－x )(y i －y) ＝ ＝０５ ８分i ∑＝１(xi－x)２２８∴a ^＝y －b ^x ＝４３－０５×４＝２３ ９分∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝０５x ＋２３ １０分 将x ＝１０代入线性回归方程,得y ^ ＝０５×１０＋２３＝７３∴估算该种机械设备使用１０年的失效费为７３万元１２分 １９．解:(Ⅰ)如图,在棱A C 上取点G 满足C G ＝２A G ,连接E G ,F G１分∵ B F → ＝２F A → ,∴F G ∥ B C 且F G ＝ １B C３,１又由题意 可得D E ∥BC 且DE ＝ ３B C ∴ DE ＝FG 且DE ∥ FG∴ 四边形D E G F为平行四边形 ３分∴DF ∥ E G又 ∵DF ⊄ 平面A C E ∴DF ∥ 平面A C E,E G ⊂ 平面A C E ,５分(Ⅱ)如图,分别取D E ,B C 的中点M ,N ,连接A M ,M N ,B M由题意,知 M N ⊥ B C ,A M ＝２,M N ＝４,B N ＝３在 R t △ B M N 中,B M ＝ ＝ ３２ ＋４２＝５在△ A B M 中,∵A B ＝ ２９ ,∴A M ２ ＋B M ２ ＝２２ ＋５２ ＝２９＝A B ２∴AM ⊥ BM又A M ⊥D E ,B M ∩ D E ＝ M ,B M ,D E ⊂ 平面 ６分B C E D,∴AM ⊥ 平面BCED７分以 M 为坐标原点,M N →,M E →,M A→ 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 M x yz ． 则 M (０,０,０),A (０,０,２),B (４,－３,０), C (４,３,０),D (０,－１,０),E (０,１,０), F (４,－１,４)３３→→→４４∴ E →C ＝ (４,２,０),E A ＝ (０,－１,２),D E ＝ (０,２,０),D F ＝ (３,０,３) ８分设平 面 A C E 的 一 个 法 向 量 为 m ＝ (x １,y １,z １),平 面 D E F 的 一 个 法 向 量 为 n ＝ (x ２,y ２,z ２)m E A → ＝０ {n D E → ＝０,－y １ ＋２z １ ＝０ ⎧⎪２y ２ ＝０ １, n( １,０,１)． １０→得 ⎨４x ２ ＋ ４z ２ ＝０ 令z ２ ＝ 得 ＝ － 分n DF ＝０⎪⎩３ ３由 ７７ ７３x１－x()t－y yt２４＋２∴c o s＜m,n＞＝m n＝２１１分|m||n|６×２３∴平面A C E与平面D E F所成锐二面角的余弦值为１２分２０．解:(Ⅰ)由已知,得a＝２．∴椭圆C的方程为x２y２＝１１分４＋b２∵椭圆C经过点A(１,３),∴１＋３２＝１,解得b２＝１３分２４４b∴椭圆C的方程为x２＋y２＝１４分(Ⅱ)由题意,知直线l４的斜率存在且不为０,设直线l的方程为x＝t y－１(t≠０), D(x１,y１),E(x２,y２)⎧⎪x＝t y－１⎪由⎨x２２,消去x,得(t２＋４)y２－２t y－３＝０５分⎪⎩４＋y＝１∵Δ＝４t２＋１２(t２＋４)＝１６t２＋４８＞０,∴y１＋y２＝t２２t,y１y２＝－２３６分＋４t ＋４∵F为点E关于x轴的对称点,∴F(x２,－y２)∴直线DF 的方程为y－y１＝y１＋y２(x－x１),即y－y１＝y１＋y２(x－x１)７分令y＝０,则x＝x１＋－t y２１＋t y１y２＝(t y１－１)(y１＋y２)－t y１２＋t y１y２y１＋y２y１＋y２＝２t y１y２－(y１＋y２)＝２t(－３)－１＝－４( ,)y１＋y２２t∴G －４０８分∴△D E G的面积S＝１|B G||y１－y２|＝３２＝令m＝t２＋３,则m∴S ＝m６m１＝１２＝６t２＋３１０分２＋m ＋∵m＋m１∈(＋∞),∴S∈(０,３２∴△D E G的面积S的取值范围为(０,１２分(y１＋y２)２－４y１y２me ２ e ２ ２e ２１－ x ２ x x ２２１．解:(Ⅰ)由已知,可得f ′(x )＝１－ a －a －１＝ (x ＋１)(x －a )(x ＞０)１分 ①若a ≤０,则当x ∈ (０,＋ ∞)时,f′(x )＞０恒成立, ∴f (x )在 (０,＋ ∞)上单调递增,与f (x )存在极值点矛盾;２分②若a ＞０,则由f ′(x )＝０得x ＝a ∴当x ∈ (０,a )时,f ′(x )＜０;当x ∈ (a ,＋ ∞)时,f ′(x )＞０． ∴f (x )在 (０,a )上单调递减,在 (a ,＋ ∞)上单调递增 ∴f (x )存在唯一极小值点x ＝a∴f (a )＝a ＋１－ (a －１)l n a －２＝ (a －１)(１－l n a )＝０３分 ∴a ＝１或a ＝e４分(Ⅱ)①当a ≤１时,f′(x )≥０在 [１,e ２]上恒成立,∴f (x )在 [１,e ２]上单调递增 ∵f (１)＝a －１≤０,f (e ２)＝e ２＋ a －２a , (i )当a ≤０时,f (e ２)＝e ２ ＋ a －２a ＝e ２＋a (１ －２)＞０;e ２ e ２(i i )当０＜a ≤１时,f (e ２)＝e ２＋ a －２a ＞２ a －２a ＝２ a (１－ a )≥０ ∴f (e ２)＞０∴由零点存在性定理,知f (x )在 [１,e ２]上有１个零点; ６分②当１＜a ＜e２时, ∵当x ∈ [１,a )时,f ′(x )＜０;当x ∈ (a ,e ２]时,f′(x )＞０, ∴f (x )在 [１,a )上单调递减,在 (a ,e２]上单调递增 ∴f (x )m i n ＝f (a )＝ (a －１)(１－l n a )(i )当a ＝e 时,f (x )m i n ＝０,此时f (x )在 [１,e ２]上有１个零点; ７分(i i )当１＜a ＜e 时,f (x )m i n ＞０,此时f (x )在 [１,e ２]上无零点; ８分(i i i )当e ＜a ＜e ２时,f (x )m i n ＜０,f (１)＝a －１＞０ (a )当f (e ２)＝ e ２ ＋a －２a ＜０,即 e ４＜a ＜e ２ 时,f (x )在 [１,e ２]上有１个零点; e ２ ２e ２－１ (b )当f (e ２)＝e ２＋a －２a ≥０,即e ＜a ≤e ４时,f (x )在 [１,e ２]上有２个零点; e２２e ２ －１１０分③当a ≥e ２ 时,f′(x )≤０在 [１,e ２]上恒成立,∴f (x )在 [１,e ２]上单调递减 ∵f (１)＝a －１＞０,f (e ２)＝e ２ ＋ (１２ －２)a ≤e ２ ＋ (１２ －２)e ２ ＝－e ２＋１＜０,e e∴f (x )在 [１,e２]上有１个零点 １１分综上,当１＜a ＜e 时,f (x )在 [１,e ２]上无零点; 当a ≤１或a ＝e 或a ＞ e ４ 时,f (x )在 [１,e ２]上有１个零点; e ４ ２e ２－１时,f (x )在 [１,e ２]上有２个零点 １２分当e ＜a ≤６ ２x ⎨ a a a ２ b b b ２a ab b a ２ b２⎪⎩b b ２２．解:(Ⅰ)由曲线C 的参数方程,得曲线C 的普通方程为 (x －１)２ ＋y ２ ＝c o s ２φ ＋s i n ２φ ＝１１分由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρc o s θ,y ＝ρs i n θ ,得 曲线C 的极坐标方程为ρ ＝２c o s θ ,３分 直线l 的极坐标方程为ρc o s θ ＋ ３ρs i n θ －６＝０,即ρs i n (θ ＋ π)＝３ ５分(Ⅱ)设点P 的极坐标为 (ρ１,θ),点Q 的极坐标为 (ρ２,θ),其中０＜θ ＜ π由(Ⅰ)知|O P |＝ρ１ ＝c o s θ６θ,|O Q |＝ρ２ ＝２c o s θ ７分＋ ３s i n ∴ |O P |＝ρ１ ＝６＝６|OQ | ρ２ ２c o s ２θ ＋２ ３s i n θc o s θ １＋c o s ２θ ＋ ３s i n ２θ ＝ ６ π９分１＋２s i n (２θ ＋ ６) ∵０＜θ ＜ π ,∴ π ＜２θ ＋ π ＜ ７π∴ － １ ＜s i n (２θ ＋ π)≤１２ ６ ６ ６ ２６∴当s i n (２θ ＋ π)＝１,即θ ＝ π 时,|O P | 取得最小值２ １０分 ６ ６ |OQ | ２３．解:(Ⅰ)当x ＜－１时,f (x )＝－３x －３－２x ＋１＝－５x －２＞３; １分当 －１≤x ≤ １ 时,f (x )＝３x ＋３－２x ＋１＝x ＋４∈ [３,９]; ２分 ２２当x ＞ １时,f (x )＝３x ＋３＋２x －１＝５x ＋２＞ ９３分综上,当２ ＝－１时,f (x )m i n ＝３,∴ m ＝３ ２(Ⅱ)由(Ⅰ),即证 (１ ＋１＋b ２ )(１ ＋１＋a２)≥９ ５分aa b b∵a ,b ∈ (０,＋ ∞ ),∴ １ ＋１＋b ２ ≥３３ b ２ ,１ ＋１＋a ２ ≥３３a２． ７分 ∴(１ ＋１＋b ２ )(１ ＋１＋a ２ )≥３３ b ２３３ a ２＝９９分⎧⎪１ ＝１＝b ２, 当且仅当 ⎪a a即a ＝b ＝１时,等号成立 １０分⎪１ ＝１＝a２。
四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知四面体外接球的球心与正三角形外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为，则该四面体外接球的体积为（ ）A．B．C．D．2. 若，则（ ）A．B．C ．2D ．43. 已知函数，且，则（ ）A．B．C．D．4. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．5. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ）(附：，则，)A ．36014B ．72027C ．108041D ．1682227. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．8. 已知函数，则方程的实根个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. 已知函数,现将函数的图象沿x 轴向左平移单位后,得到一个偶函数的图象,则（ ）A ．函数的周期为B．函数图象的一个对称中心为C ．当时,函数的最小值为D．函数的极值点为四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题三、填空题四、解答题10. 已知函数和，若，则（ ）A．B．C．D．11. 已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知，，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．13.如图，已知是椭圆的焦点，为椭圆上两点，满足且___14. 函数的周期为，则__________.15.已知三棱锥，，，，二面角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为___________.16. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB=AC=AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．（1）求证：PB 1/平面BDA 1；（2）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值.17. 购鞋时常常看到下面的表格.脚长与鞋号对应表脚长（mm ）220225230235240245250255260鞋号343536373839404142(1)若将表中两行数据看成数列，记脚长为数列，鞋号为数列，试写出关于的表达式，并估计30号童鞋所对应的脚长是多少mm?(2)有人认为可利用线性回归模型拟合脚长x mm和鞋号y之间的关系，请说明合理性；若一名篮球运动员脚长为282mm，请判断该运动员穿多大号的鞋?请说明理由.参考公式：，.18. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：历史物理合计男生12425女生91625合计104050附：，其中．0.1 000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.19. 已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．20. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，且，，，M为的中点，平面平面，直线与平面所成角的正切值为.（1）求四棱锥的体积；（2）在棱上(不含端点)是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.21. 如图，在正四棱柱中，，，E为棱上一点，且平面BDE.（1）求直线与平面BDE所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.。