弹性半空间不规则异质体引起的瑞利波散射

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积分方程法求解瑞利波的散射问题
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对于三维瑞利波散射问题， 直接利用式(1)或式(2) 的积分方程进行分析仍很困难，必须根据瑞利波的特 点对式(1)或式(2)作进一步的变换和化简。 对散射问题， 令总波场位移等于入射波场位 移加散射波场位移， 而散射波场的位移可按级数 展开表示
ui ( X) = ui(i ) (X ) + ∑ ui( p ) ( X) ，
− ∑ ∆C
a =1
N
a mjkl
∫∫∫ G
Ωa
im,j
(X; X′)uk ,l dv ， (4)
(i )
同理，将第(p–1)次散射波场作为第 p 次散射波 场的入射波代入式(2)可得到
( p −1) ui( p ) (X′) = ∑ ∆ρ aω 2 ∫∫∫ Gmi (X; X′)um dv
a =1 Ωa a ( p −1) − ∑ ∆Cmjkl ∫∫∫Gim,j (X; X′)uk ,l dv 。 (5) a =1 Ωa N N
式中
ui (X) 为多个异质体散射问题的总位移场；
─────── 基金项目：国家自然科学基金资助项目（50178050） 收稿日期:20空间不规则异质体引起的瑞利波散射
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ui( i ) (X) 为 入 射 波 引 起 的 位 移 场 ； Gim(X;X ′) 为 Navier-cauchy 方程稳态问题的基本解， 它表示在弹性 体 X′位置处作用一个 m 方向的单位力时在弹性体的 α α X 位置处产生的 i 方向的位移。 ∆Cijkl = Cijkl − Cijkl ；
GAO Guang-yun1, LI Zhi-yi1, QIU Chang2
(1.Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2.Shanghai Pudong Construction Project Management Company Ltd, Shanghai 201201, China)
m q
(7)
式中 V m ( z ) 、 U m ( z ) 表示第 m 个模态的瑞利波所产生 的水平方向位移和竖向位移； W m ( z ) 为第 m 个模态的 乐夫波所产生的水平位移；km 为第 m 个模态的面波波 数；x 为观察点位置；x′为荷载作用点的位置。 gim ( x, y; x' ) 表示位移势： −i g im ( x, y; x' ) = Z im ( z ' ) H (02 ) ( k m R ) ， (8) g m 8cm cm J 1 g 为第 式中 cm 、 cm m 个模态面波的相速度和群速度； ； H (02 ) 为第二类 0 阶 J 1m 为归一化的积分值（见式(9)） 汉克尔函数； R 为荷载作用点与观察点之间的距离。 1 ∞ J1m = ∫ dzρ (U m ) 2 + (V m ) 2 + (W m ) 2 。 (9) 2 0
这样就把对散射波场的位移 ui( p ) ( x, y ) 的求解转 ( p) 换为求解散射波场的势 φm ( x, y ) 。将式(6)和(10)代入 式(5)化简可得
n ( p) φm ( x, y) = ∑∆ρaω 2 ∫∫∫gk ∑ Zkn (z′)φn( p−1) (x′, y′)dv(X′) a=1 Ωa n N ⎡ ⎤ a n ′ φn( p−1) (x′, y′)⎥,l′ dv(X′) ， (11) − ∑∆Cijkl gim , j′ ⎢∑ Zk (Z ) ∫∫∫ a=1 ⎣n ⎦ Ωa N
( p) ui( p ) (x) = ∑ Z im ( z )φm ( x, y ) ， m
(10)
将式 (3) 代入式 (1) 并只考虑第一次迭代的结果 （Born 近似）可以得到
(i ) ui(1) (X′) = ∑ ∆ρ aω 2 ∫∫∫ Gmi (X; X′)um dv
a =1 Ωa N
( p) 式中 φm ( x, y ) 为第 p 次散射场的 m 阶模态面波的位 移势。 依次类推，对第 ( p − 1) 次的散射场也可得到类似 ( p) ( p −1) 的表达式，只需将(6)式中的φm ( x, y ) 改为φm ( x, y ) 。
(i ) um (X′) = um (X) + ∑ ∆ρ aω 2 ∫∫∫ Gim (X; X′)ui dva =1 Ωa N
研究弹性介质内异质体对弹性波的散射问题在许 多工程领域中都有重要意义。前人曾采用经典的波特 征函数展开法、T 矩阵、射线方法、匹配渐进展开法、 等效内含物以及有限元和边界元等数值方法，将散射 问题的研究逐步深入，并取得了一系列的成果[1~6]。 但目前对多个不规则异质体引起的瑞利波散射 问题仍无法求解。 七十年代中期， Gubernatis 等[7]演绎 出一个弹性介质中内含单个任意形状夹杂物时弹性波 散射场的体积分方程。 在此基础上钟伟芳等[8~9]运用多 个步函数推导出有限多个散射体的位移积分方程，并 应用 Born 近似法[10]对积分方程求解。该法在过去主 要用于全空间域中 P 波和 S 波散射问题的研究，对于 在半空间传播中的瑞利波的散射问题的求解还存在很 大困难。 本文将积分方程法的基本原理进一步推广和引 伸，通过一系列复杂的变换得到一个简洁的求解瑞利 波散射问题的积分方程表达式，通过迭代求解就可以 得到任意形状多个异质体引起的瑞利波散射问题的解 答。当对它只进行一次迭代时，就退化为著名的 Born 近似，由于该法是一个不断迭代的过程，适用于散射 波场与入射波场相比变化较大的情况。实例验证，本 文迭代法的收敛速度较快，一般只须迭代三次左右就
第 27 卷 2005 年
第4期 4月
岩
土
工
程
学
报
Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol.27 No.4 Apr.,2005
弹性半空间不规则异质体引起的瑞利波散射
Scattering of Rayleigh wave from irregular obstacles in elastic half-space
高广运 ，李志毅 ，邱
1 1
畅
2
(1.同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2.上海浦东工程建设管理有限公司，上海 201201)
摘
要：从 Lamb 问题的基本解出发，通过对弹性波散射问题的积分方程进行复杂的数学变换和推导，得到了一个适合于瑞利波
散射问题的积分方程的简单表达式，通过迭代求解这个表达式即可解决多个不规则异质体引起的瑞利波散射问题。实例证明本文 方法收敛速度非常快，通常只需迭代 3～4 次即可得到精确的解答。 关键词：瑞利波；Born 近似；不规则异质体；积分方程法 中图分类号：O 347.4 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2005)04–0378–05 作者简介：高广运（1961– ），男，博士，教授，博士生导师，主要从事岩土工程教学和研究工作。
p =1
M
(3)
式中
ui( p ) ( X) 为第 p 次散射波的位移场。
g 式(6)、(8)和(9)中的 U m 、 V m 、 W m 、 cm 和 cm 的 具体计算方法可参见文献[11]。可以看出式(6)是一个 综合考虑瑞利波和乐夫波各阶模态对弹性半空间波场 贡献的一般表达式，对于均匀各向同性弹性半空间而 言无乐夫波的存在， 则式(7)中W m 这一项为 0， 且 m =1； 对于层状地基，当考虑第 m 阶的瑞利波时可令 W m 为 0，当考虑第 m 阶的乐夫波时可令U m 和V m 同时为 0。 将 p 次散射场的位移写成与式(6)同样的形式， 则
能获得满意的结果[11]。
0
引
言 1 弹性波散射问题的积分方程法
假设在弹性区域Ω内有 N 个子域Ω1，Ω2，…，Ω 这些子域分别由表面 S1，S2，…，SN 来界定，对应 N 1 2 N 的弹性常数和质量密度分别记为 C hjkl ，C hjkl ，…，C hjkl 和 ρ1 ， ρ 2 ，…， ρ N 。这些子域的弹性体称为异质体， 它们以外的区域空间Ω―Ω1―…ΩN 属于均匀各向同 性弹性体，弹性常数和质量密度为 C hjkl 和 ρ 。 则弹性介质中内含有限多个任意形状异质体时弹 性波散射位移场的积分方程表达式[2]为
细的表达。这里主要考虑瑞利波的散射问题，因此分 析了半空间基本解中的面波项。对于各向同性或横观 各向同性的弹性体，只考虑面波项的半空间基本解表 达式如下 m (6) Gqi ( X; X' ) = ∑ Z q ( z ) g im ( x, y; X' ) ，
m
式中
Z ( z ) 表示一个算子符号
⎛ ⎜ ⎜ m Zq ( z) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 + W m ( z) ∂ ) ⎞ ∂x ∂y ⎟ 1 ( −W m ( z ) ∂ − V m ( z ) ∂ ) ⎟ ， km ∂x ∂y ⎟ ⎟ m U ( z) ⎟ ⎠ km ( −V m ( z ) ∂
∑ ∆C ∫∫∫ G
a =1 a ijkl Ωa
N
im,j
(X; X′)uk ,l dv ，
(1)
或
ui (X) = ui(i ) (X) + ∑ ∆ρaω 2 ∫∫∫Gim (X; X′)um (X′) dva =1 Ωa
N
∑ ∆C ∫∫∫G
a =1 a mjkl Ωa
N
im,j
(X; X′)uk ,l ′ (X′) dv ， (2)
∆ρ α = ρ α − ρ 。 式 (2) 是 由 Gim(X;X ′)的互 易 关 系 ，
Gim(X;X′ )= Gim(X;X′ )以及 Gim,j(X;X′ )=-Gim,j(X;X′ )， 将式(1)中 X 与 X′进行互换得到的。 式 (1) 和式 (2)就是有限多个任意形状异质体散射 问题的积分方程表达式。它们将复杂的弹性波散射问 题转换为积分方程进行求解，为有限多个任意形状异 质体散射问题的解决提供了强有力的工具。它们反映 了弹性波散射问题的实质，即异质体所引起的散射问 题相当于异质体为一个新的次生波源向各个方向发射 次生波而形成的散射波场。但由于在两式的右边项中 含有未知的总位移场和导数项，求精确解非常困难， 通常用 Born 近似求解积分方程。Born 近似只对式(2) 进行一次迭代，从数学意义上，这样给出的近似解仅 是迭代第一次的解答；从物理角度，这个近似解是用 入射场取代异质体（散射体）内的“精确”位移场而 得到的解答。