九年级数学用频率估计概率1
九年级数学上册高效课堂(人教版)25.3用频率估计概率(第1课时)教学设计
设计具有挑战性的问题，让学生运用所学知识进行解决，提高学生的应用能力。同时，鼓励学生进行创新设计，将频率估计概率的方法应用于其他领域。
5.总结反馈，查漏补缺
在课堂结束前，组织学生进行总结，回顾本节课所学内容，查漏补缺。教师针对学生的反馈，进行针对性的辅导和解答。
6.课后作业，巩固提高
2.设计一个试验，用来估计某一天气事件（如下雨）的概率，并记录试验过程和结果。要求试验次数至少为50次，并在作业本上绘制出频率变化图。
“同学们可以结合生活实际，设计一个试验来估计天气事件的概率。通过绘制频率变化图，我们可以更直观地观察到频率与概率之间的关系。”
3.根据课堂所学，思考频率估计概率 Nhomakorabea实际生活中的应用，并撰写一篇不少于300字的心得体会。
“今天我们学习了频率估计概率，谁能来说说频率与概率之间的关系？”
2.学生回答后，教师进行点评，强调频率估计概率的注意事项。
“对，频率是用来估计概率的，但需要大量试验才能得到较准确的结果。”
3.教师鼓励学生在生活中多观察、多思考，将所学知识应用于实际问题。
“希望同学们能够将我们学到的频率估计概率的方法，运用到生活中去，解决实际问题。”
九年级数学上册高效课堂（人教版）25.3用频率估计概率（第1课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握频率的概念，能运用频率来估计事件发生的概率。
2.能够通过大量重复试验，观察并记录事件发生的频率，从而对事件发生的概率进行估计。
3.能够运用频率估计概率的方法，解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.通过对频率与概率的关系的探讨，培养运用数学知识解决实际问题的意识。
（二）过程与方法
人教版数学九年级上册25.3《用频率估计概率(第1课时)》教学设计
3.的意识，提高学生的实践能力。
4.培养学生的团队合作精神，让学生在合作交流中学会尊重他人、倾听他人意见，提高人际交往能力。
5.培养学生勇于探索、不断进取的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极向上的态度，增强克服困难的信心。
3.学生在合作交流中，如何有效地倾听、表达、沟通，提高团队合作效率。
教学设想：
1.创设情境，引入新课：通过生活中的实例，如彩票中奖概率、投篮命中率等，引出频率的概念，激发学生的兴趣。
2.自主探究，理解概念：让学生自主进行实验，收集数据，计算频率，进而引导学生发现频率与概率之间的关系。
3.合作交流，解决问题：分组讨论，让学生在小组内分享实验过程和结果，互相借鉴，提高解决问题的能力。
2.解释频率与概率的关系：通过实际例子，如抛硬币实验，引导学生发现频率在大量实验中趋于稳定，且稳定值接近于概率。
3.操作演示：教师进行实验演示，如抛硬币、掷骰子等，让学生观察并记录实验数据，计算频率。
4.方法讲解：教师详细讲解如何利用频率来估计概率，以及在实际操作中需要注意的问题。
（三）学生小组讨论，500字
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，教师引导学生进行以下思考：
1.回顾频率的定义，总结频率与概率之间的关系。
2.梳理用频率估计概率的方法，强调实验数据的重要性。
3.反思本节课的学习过程，分享学习心得和收获。
4.提醒学生课后继续思考频率与概率的关系，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的用频率估计概率的知识，检验学生对课堂内容的掌握情况，特布置以下作业：
3.实践性：作业要注重实践，引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。
北师大版九年级数学上册第三章 概率的进一步认识用频率估计概率
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
n
00
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
n
(1)请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近
0.6 （精确到 0.1）； (2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) =
0.6 .
的概率是多少? 口袋中有 3 个红球、7 个白球，共 10 个球，则随机 摸出红球的概率是 3 .
10
一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果， 事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的 概率为：P A m
n
(2)一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜 色外都相同. 如果不将球倒出来数，那么你能设计一 个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？ 方案：每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球 放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理 论概率.
练一练
1. 判断正误
（1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全
部是正面，则正面向上的概率是 1.
错误
（2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5
附近.
正确
（3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取
1000 只灯泡，一定有 10 只次品.
错误
想一想 (1) 一个口袋中有 3 个红球、7 个白球，这些球除颜色 外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球
抽屉原理：把 m 个物品任意放进 n 个空抽屉里( m >
人教版数学九年级上册2用频率估计概率(第1课时)上课课件
用列举法求概率的条件是什么? (1)实验的所有结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等.
当实验的所有结果不是有限个;或各种 可能结果产生的可能性不相等时.又该 如何求事件产生的概率呢?
2．任务1
买彩票
从1到40的号码中选取一个， 买40张彩票一定能中奖吗？
把它放回口袋，不断重复上述过程，小亮共摸了 100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋 中的红球大约有（ ）个。
•
A.45 B.48 C.50 D.55
小结
用频率估计概率的方法：
• 1、做大量重复实验 • 2、统计事件产生的频率 • 3、用频率估计事件产生的概率
优点：
适用范围更广，对不能用列举法求概率的随机事 件，可以通过大量重复实验估计其概率。的频率在＿＿0＿.9 ＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.＿9 ＿．
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m )
n
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
抛掷次数 n
2 048 4 040 10 000 12 000 24 000
“正面向上” 的次数 m
1 061 2 048 4 979 6 019 12 012
“正面向上” 的频率 m n
0.518 0.506 9 0.497 9 0.501 6 0.500 5
4．归纳方法
对一般的随机事件，在做大量重复实验时，随着实 验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定 数的附近摆动，显示出一定的稳定性.
初三数学上学期同步讲解：用频率估计概率
用频率估计概率一、知识点1. 用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝m n.二、标准例题：例1：做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（）A．概率等于频率B．频率等于12C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【解析】A、概率不等于频率，A选项错误；B、频率等于正面朝上的次数总次数，B选项错误C、概率是稳定值不变，C选项错误D、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。
故答案为：D总结：此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。
例2：“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”【答案】D【解析】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确；D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．故选D．总结：本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．例3：下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】（1）见解析；（2）0.5.【解析】（1）根据题意得：28÷50=0.56；60÷100=0.60；78÷150=0.52；104÷200=0.52；123÷250≈0.49；152÷300≈0.51；350÷251≈0.50；见下表：(2)由题意得：投篮的总次数是50+100+150+200+250+300+350=1400(次)，投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796(次)，则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次,投中的概率约为：796 1400≈0.5.故答案为：0.5.总结：本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率.例4：为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．（1）填空：样本容量为，a＝；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．【答案】（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．解：（1）5415100360÷=，所以样本容量为100；B组的人数为100153515530----=，所以3010030100a=⨯=，则30a=；故答案为100，30；（2）补全频数分布直方图为：（3）样本中身高低于160cm的人数为153045+=，样本中身高低于160cm的频率为450.45 100=，所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．总结：本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．三、练习1．以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是2 3B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是1 2D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是1 2【答案】D解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项D正确，故选：D．2．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选：C．3．某运动员投篮5次，投中4次，则该运动员下一次投篮投中的概率为（）A．15B．14C．45D．不能确定【答案】D【解析】因为投中是不确定的事件，所以下次投篮投中的概率不能确定.故选：D4．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】B【解析】解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1-20%-50%=30%，故此选项正确；∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选：B．5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（）A．朝上的点数是6的概率B．朝上的点数是偶数的概率C．朝上的点数是小于4的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【答案】D【解析】A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为16，故此选项错误；B. 掷一枚正六面体的骰子，点数为偶数的概率为12，故此选项错误；C．掷一枚正六面体的骰子，点数小于4的概率为12，故此选项错误；D．掷一枚正六面体的骰子，点数为3的倍数的概率为10.333，故此选项正确；6．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：当n越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到0.01）【答案】0.82.【解析】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.82，故答案为：0.82.7．有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______.【答案】20【解析】解：石块标记3的面落在地面上的频率是15100=320，于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是3 20．故答案为：3 20．8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表：投中的频率根据上表，该运动员投中的概率大约是__________（结果精确到0.01）．【答案】0.85【解析】由表格可知，该运动员大量投篮时，投中的频率稳定在0.85附近，所以该运动员投中的概率大约是0.85. 故答案为：0.85.9．某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为_________________（精确到0.01）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树_________万棵.【答案】0.86 5【解析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86．（2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 10．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了60次试验，试验的结果如下：①填空：此次实验中“3点朝上”的频率为________；②小红说：“根据实验，出现3点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．【答案】（1）①110；②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）16． 【解析】解：（1）①∵实验中“3点朝上”的次数有6次，总数为60， ∴此次实验中“3点朝上”的频率为6÷60=110； ②小红的说法不正确，∵利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有代表性，∴小红的说法不正确；（2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况：，，，，， ，∴和为2的有1种， 和为3的有2种， 和为4的有3种， 和为5的有4种， 和为6的有5种， 和为7的有6种， 和为8的有5种， 和为9的有4种， 和为10的有3种， 和为11的有2种， 和为12的有1种，两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大， 则最大概率为：6÷36=16．11．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3． （1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数． 【答案】（1）50；（2）60 【解析】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）=50（个） （2）设小明放入红球x 个．根据题意得：200.5100xx+=+解得：x =60（个）．经检验：x =60是所列方程的根． 答：小明放入的红球的个数为60．12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）假如摸一次，摸到黑球的概率P=；（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只.【答案】（1）0.6；（2）0.4；（3）20.【解析】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6（2）摸到黑球的概率P=1-0.6=0.4（3）盒子里黑颜色的球有50×0.4＝20．13．“五一”期间，某商场推出“购物满额即可抽奖”活动.商场在抽奖箱中装有1个红球、2个黄球、3个白球、8个黑球，每个球除颜色外都相同，红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖，黑球代表谢谢参与.获得抽奖机会的顾客每次从箱子中摸出一个球，按相应颜色对应等级兑换奖品，每次所摸得球再放回抽奖箱，摇匀后由下一位顾客抽奖.已知小明获得1次抽奖机会.(1)小明是否一定能中奖___________；(填是、否)(2)求出小明抽到一等奖的概率；(3)在这个活动中，中奖和没中奖的机会相等吗？为什么？如果不相等，可以如何改变球的个数，使中奖和没中奖的机会相等？(只写一种即可)【答案】(1)否；(2)小明抽到一等奖的概率是114；(3)见解析.【解析】解：(1)否；(2)球的个数有123814+++=(个)，而红球有1个所以小明抽到一等奖的概率是1 14；(3)因为黑球的个数有8个，所以没有中奖的概率是84 147=，则中奖的概率是43177 -=，因为43 77≠，所以中奖和没中奖的机会不相等，可以减少2个黑球使中奖和没中奖的机会相等.（答案不唯一）.14．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）上表中的a=；（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？【答案】(1) 0.58;(2) 0.6;(3)白球12(个),黑球8 (个)【解析】(1)a=290500=0.58，故答案为：0.58；(2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：0.60；(3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个).答：黑球8个，白球12个.15．一个袋中装有7个红球，8个黑球，9个白球，每个球除颜色外都相同．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率；（2）若先从袋中拿出7个红球和(5)m m>个黑球，再从剩下的球中摸出一球．①若事件“再摸出的球是白球”为必然事件，求m的值；②若事件“再摸出的球是白球”为随机事件，求m 的值，并求出这个事件概率的最小值． 【答案】（1）724；（2）①8m =；②6m =，911. 【解析】解：（1）从袋中随机摸出一个球是红球的概率7778924==++．（2）①由题意袋中，都是白球，8m =． ②由题意6m =或7或8，当6m =时，这个事件概率的最小，最小值911=． 16．小明在一个不透明的口袋里装若干个白球，要求本学习小组的其他成员在不允许将球倒出来数的情况下，估计白球的个数.小组成员小华应用了统计与概率的思想和方法解决了这个问题.他拿了8个黑球放入口袋里，将球搅匀.然后学习小组进行有放回的摸球实验，下表是活动进行中的一组统计数据.请你根据以上统计数据，帮助小华解答下列问题：（1）补全上表中的有关数据，并估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）估计口袋里白球的个数. 【答案】（1）0.4；（2）12. 【解析】（1）上表中的有关数据是0.399，当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近0.4.（2）设白球的个数为x ，则80.48x =+，解得12x =.。
用频率估计概率 (1)
0.9
50
270 400 750 1500
49
230 360 641 1275
0.98
0.85 0.9 0.855 0.850
3500
7000 14000
2996
5985 11914
0.856
0.855 0.851
根据上表，回答下列问题：
１、从表中可以发现，Ａ类幼树移植成活的频率在 0.9 左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律 _____
生了1头白色的小奶牛,据统计,平均出生1千万头牛才
会有1头是白色的,由此估计出生一头奶牛为白色的概 率为多少?
P=1/10000000
4. 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据 如下：
抽取 台数
50
100
200
300
500
1000
优等 品数
40
92
192
285
478
954
（1）计算表中优等品的各个频率； （2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？
练一练
1.如果某运动员投一次篮投中的概率为0.8,下列说法对吗?为什么? (1)该运动员投5次篮,必有4次投中. (2)该运动员投100次篮,约有80次投中.
2.对一批西装质量抽检情况如下:
抽检件数 正品件数 200 190 400 390 600 576 800 773 1000 967 1200 1160
求抽取一件衬衫是优等品的概率约是多少？ 抽取衬衫2000件，约有优质品几件？
例２ 某射手进行射击，结果如下表所示：
射击次 数n ２０ １００ ２００ ５００ ８００
击中靶 心次数 m 击中靶 心频率 m/n
１３
九年级数学利用频率估计概率
置信水平和置信区间的概念
1 2
置信水平
表示估计的概率值在真实概率值周围的可信程度， 通常用百分比表示。
置信区间
表示估计的概率值所在的可能范围，通常用区间 表示。
3
置信水平和置信区间之间的关系
置信水平越高，置信区间越窄，估计的精度越高。
05 总结与展望
总结频率与概率的关系
01
频率是概率的近似值
在大量重复实验中，某一事件发生的频率会趋近于该事件发生的概率。
样本大小对频率稳定性的影响
样本越大，频率越稳定，估计的概率越准确。
样本大小与置信水平的关系
样本越大，置信水平越高，置信区间越窄，估计的精度越高。
随机误差和系统误差的影响
随机误差
由于随机抽样而产生的误差，可以通 过增加样本量来减小。
系统误差
由于抽样方法、测量工具或实验设计 等因素产生的误差，需要改进抽样方 法、提高测量精度或调整实验设计来 减小。
02 利用频率估计概率的方法
长期频率稳定性
定义
应用Leabharlann 长期频率稳定性是指当试验次数趋于 无穷时，某一随机事件的相对频率趋 于该事件的概率。
在现实生活中，许多概率可以通过长 期频率稳定性来估计，例如抛硬币正 面朝上的概率约为0.5。
原理
通过大量重复试验，观察某一随机事 件的相对频率，可以近似估计该事件 的概率。
概率论在金融领域的应用
金融领域涉及大量的不确定性和风险，概率论在金融领域的应用十分广泛。未来，随着金 融市场的不断发展和风险管理需求的增加，概率论在金融领域的应用将更加重要和迫切。
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因此，可以通过实验中事件发生的频率来估计概率。
新人教版九年级上册25.3用频率估计概率
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频 率． (2)王强说：“根据试验，一次试验中出现向上点数为5的概 率最大．” 李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好 是100次．”请判断王强和李刚说法的对错. (3)如果王强与李刚各抛一枚骰子．求出现向上点数之和为5
的倍数的概率.
变化(集中)趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数附近，
这个常数就是所求概率的估计值.同时要明确，频率只是一
个估计值，不同的试验受试验次数及试验条件的影响，所得 到的结果可能有所不同.
Байду номын сангаас
1.(2010 ·南充中考)在“抛掷正六面体”的试验中，如果正 六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、
(1)求参加此次活动得到海宝玩具的频率？
(2)请你估计袋中白球的数量接近多少？
【思路点拨】应用频率估计概率与生产生活实际联系密切， 是数学生活化的重要体现，解题关键是理解概率的意义、频 率与概率的关系，结合方程的思想解决问题 .
【自主解答】(1)参加此项游戏得到海宝玩具的频率
m 8 000 m 1 ，即 n 40 000 n 5
【解析】(1)根据频率与概率的关系，此次统计是大规模的， 所以可以用字母出现的频率估计其概率； (2)不可以，一篇只有200个字母的文献，出现E的频率就有 不确定性，因其数量太少.
用频率估计概率时一定要注意试验的次数及
试验条件对试验结果的影响.用试验估计概率时，必须经过
大量的试验，再用频率的稳定值估计概率 .同时理解概率只
(2)设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P(红球)= 8 . 8 1
m m
5
解得m=40，∴白球接近40-8=32(个)
(含答案)九年级数学人教版上册课时练第25章《25.3 用频率估计概率》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第25章概率初步25.3用频率估计概率一、选择题（共8小题）1.以下说法合理的是A.小明做了次掷图钉的实验，发现次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B.某彩票的中奖概率是，那么买张彩票一定有张中奖C.某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是D.小明做了次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是2.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：抛掷次数正面朝上的频数若抛掷硬币的次数为，则“正面朝上”的频数最接近A. B. C. D.3.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是A.个B.个C.个D.个4.一个盒子中装有颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到蓝色幸运星的频率为A. B. C. D.5.下列对于随机事件的概率的描述：抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是，所以抛掷该硬币次时，就会有次“正面朝上”；一个不透明的袋子里装有个黑球，个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是；测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中环以上”的频率总是在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中环以上”的概率是其中合理的有A. B. C. D.6.某小组作“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”7.黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面个推断：当时，黄豆发芽的频率是，所以黄豆发芽概率为；根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为；若时，估计黄豆发芽的粒数约为其中正确的个数为每批粒数发芽的粒数发芽的频率A.个B.个C.个D.个8.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有三个推断：当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是其中合理的是A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题）9.某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为______．10.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：抽取瓷砖数合格品数合格品频率则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是______精确到11.为了解某校九年级学生每周的零花钱情况，随机抽取了该校名九年级学生，他们每周的零花钱元统计如下：组别元人数根据以上结果，随机抽查该校一名九年级学生，估计他每周的零花钱不低于元的概率是______．12.袋子中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，摸了次后，发现有次摸到红球，请你估计这个袋子中红球约有个13.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用如图是刘军老师的健康码示意图，用打印机打印在边长为的正方形区域内为了估计图中阴影部分的总面积，刘军老师在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在左右，由此可估计阴影部分的总面积约为______．三、解答题（本大题共3小题）14.一个不透明袋子中有个红球，个绿球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，搅匀，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于，求的值．若，小明两次摸球摸出一球后，不放回，再摸出一球，请用树状图画出小明摸球的所有结果，并求出两次摸出不同颜色球的概率．15.任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的点数为的概率为下列说法正确吗？为什么？任意抛掷一枚均匀的骰子次，朝上面的点数为的次数为次．任意抛掷一枚均匀的骰子次，朝上面的点数为的次数大约为次．16.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？请画树状图或列表计算：从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球，这两只球颜色不同的概率是多少？5/5参考答案1-89、10、11、12、13、14、解：利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为，则，解得；画树状图为：共有种等可能的结果数，其中两次摸出的球的颜色不同的结果共有种，所以两次摸出的球颜色不同的概率．15、不正确．抛掷次，试验次数太少，概率不能用来代替频率来估计频数．正确，抛掷次，试验次数已充分多，概率可以代替频率来估计频数．16、解：根据图表给出的数据可得，当很大时，摸到白球的频率将会接近；答案为：；由摸到白球的概率为，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：只，黑颜色的球有只；画树状图为：共有种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占种，所以两只球颜色不同的概率．。
(部编)人教数学九年级上册《25.3 用频率估计概率 用频率作为概率的估计值》教案_5
“用频率估计概率（第1课时）”教学设计一、内容和内容解析内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“25.3用频率估计概率”（第一课时）.内容解析：不确定现象大量存有于自然界和人类社会中，概率正是研究这种现象、揭示其统计规律并协助我们形成决策的数学工具. 且随着生产的发展和科学技术水平的提升，概率在现实生活和科学预测中的作用愈加广泛和重要，掌握概率的基本知识和思想方法已成为现代社会公民必备的素养.率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之后对概率的进一步研究. 教材这样编排其主要意图有三：1、遵从概率的产生及发展规律. 历史上概率（指客观概率）的定义经历了三个阶段：①概率的古典定义；②概率的统计定义；③概率的公理化定义. 2、符合学生的认知规律. 概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻. 3、相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性，它不受列举法求概率两个条件的限制，适用范围更广.所谓频率，是在相同条件下实行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变. 而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存有的，与试验次数无关. 从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会表现出明显的规律性：随着样本量的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率. 1713年，瑞士大数学家雅各布·伯努利对这个客观规律性从理论上给予了证明，并提出了大数定律中的伯努利定律. 基于此，我们能够用这个稳定的频率作为事件发生的概率──“一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P（A）=P. ”这也就是概率的统计定义. 它突破了对随机事件发生结果的等可能性与有限性的限制，揭示了偶然性中蕴含的必然规律. “频率稳定性”是概率统计定义的核心，相比古典定义“用频率估计概率”更具普适性，它是求概率最基本的方法.教学重点：了解用频率估计概率的必要性和合理性.二、目标和目标解析：目标：了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统计定义；能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率；培养学生的动手水平和处理数据的水平，培养学生的理性精神.目标解析：1、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性. 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.2、结合生活实例，能进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.3、在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的动手水平、处理数据的水平，进一步增强统计意识、发展概率观点，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作精神.三、教学问题诊断分析1、因为学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为姚明一次罚篮的结果进与不进是等可能的）会依然采取列举法，这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够，对事件发生的可能性大小分析不透彻所致.2、频率在一定水准上能够反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下，能够近似地作为这个事件的概率. 概率是巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势，是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，是客观存有的，与试验次数无关. 频率与概率是从量变到质变，是对立统一的. 对于初学者，对两者关系的理解，还需要一个循序渐进的过程.3、容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件. 这个问题的出现也是对概率思想的内涵把握不够所致. 概率是针对大量重复试验来说的，如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合理的估计概率.教学难点：大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率之间关系的理解.四、教学过程：（一）情景引入：问题1：姚明罚篮一次命中概率有多大？播放“NBA”（美国男子篮球职业联赛）08—09赛季火箭队VS奇才队的比赛片段，在姚明罚篮球出手后，画面停滞，屏幕显示：问题：姚明罚进的概率有多大？学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法：甲：100% 姚明是世界明星嘛！乙：50% 因为只有进和不进两种结果，所以概率为50%. 丙：80% 姚明很准的，大概估计有80%的可能性.同学们，你们同意谁的观点？学生充分交流后，老师对不同说法实行适当的评价，并借机复习用列举法求概率的条件，引导学生分析进与不进的可能性不相等，不能用列举法来求概率.师：那它究竟有没有规律，或者说还有没有其它的办法探求概率呢？屏幕上闪烁显示08—09赛季姚明罚篮命中率86. 6%.师：姚明的命中率从何而来？（统计结果）怎么统计的？（罚中个数与罚球总数的比值）这个比值叫什么？（这实际上就是频率，这种方法实际上就是用频率估计概率）在此基础上，导出课题.设计意图：从学生熟悉、感兴趣的事物和最喜欢的球星引入，激发学习兴趣的同时，得出姚明罚篮命中的可能性不相等，由此引发认知冲突，导入新课.（二）试验探究问题2：怎样用频率估计概率？1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？设计意图：已知概率的情况下引入试验，基于以下原因：（1）抛掷硬币试验所需条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）用频率估计概率能够和前两节学习的概率的古典定义统一，两种不同的方法求得的是同一个概率，且概率的统计定义比古典定义更具一般性.2、试验一（掷硬币试验）（配合亲切童声播放）全班共分8个小组，每小组5人，共抛50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.（1）抛掷要求：①抛掷时请将书本文具收入课桌内；②两人一组合，完成25次抛掷，一人抛一人画“正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次；③抛的高度要达到自己坐姿的头顶高度，若硬币掉在地上，本次不作记录.（2）组长职责：①检查组员抛掷是否符合要求；②收集本组数据，把数据录入教师机中的抛掷情况表. 全班共同填写硬币抛掷统计表（表3），将第1组数据填在第一列，第1、2组的数据之和填在第二列，……8个组的数据之和填在第8列.设计意图：①“在相同条件下”使数据更真实有效；②合理分组，能够减少劳动强度，加快试验速度，同时在培养动手水平与探索精神中，培养团队协作精神.表1（个人抛掷情况统计表）表2（小组抛掷情况统计表）表3（硬币抛掷统计表）设计意图：这几个图表的给出能够准确有效地引导学生在有限的课堂时间内高效率地得到相关的试验数据及整理描述数据，为分析数据作准备. 同时，试验整个操作过程均由学生参与完成，教师仅仅作为组织者参与其中，注重学生的投入水准──能否积极、主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的建议与意见；注重学生在活动中表现出的实践水平、思维水平、团队意识.问题3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？3、分析数据全班填写表3得到硬币正面向上频率的同时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：①随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动？②随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0. 5的左右摆动幅度有何规律？（学生从折线图1中难以发现）师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的发现，历史上有很多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.引导学生注重数学家的严谨，师：还有一位数学家，做了八万多次的试验.观察频率在0. 5附近摆动幅度有何规律？观察折线图2：③请大家分析，两个折线图反映的规律有何区别？什么原因造成了不同？学生得出：图一，试验次数少一些，“正面向上”的频率在0. 5左右摆动的幅度大一些.④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.）⑤数学家为什么要做那么多试验？⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到0. 5时，“反面向上”的频率表现什么规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？师生共同小结：至此，我们就验证了能够用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.设计意图：这六个问题的设置，循序渐进，促使学生更深入的分析数据，学生发现大量重复试验时频率稳定于概率，在头脑中再现了知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习成为一种再创造的过程.问题4：从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不着地，估计一下哪种事件的概率更大.试验二（抛掷图钉试验）试验规则：1、全班分成8个小组，每小组5人，每组共完成50次试验，两人一组合完成25次试验，统一从数学课本高度处落下，做好记录；2、每个小组的组长汇总50次试验的结果，并报给教师，教师利用电子表格自动得出各组频率及累加后频率，绘制折线图.表4（小组抛掷图钉统计表）表5（图钉抛掷统计表）从表中能够发现，“图钉尖着地”的频率在左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计从一定高度落下的图钉，图钉尖着地的概率是.设计意图：学生通过抛掷硬币试验，初步得出大量重复试验时硬币正面向上的频率具有稳定性，能够用试验方法获得概率，但对于试验结果不具有等可能性的随机事件（如姚明罚篮一次进与不进可能性不等）是否具有稳定性尚不清楚，意在进一步说明频率的“稳定性”.（三）揭示新知问题5：为什么能够用频率估计概率？师：其实，不但仅是掷硬币、掷图钉事件有规律，人们在大量的生产生活中发现：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性.引出瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明频率具有稳定性，介绍其家族前后三代共出13位大数学家和大物理学家，实行数学史的教育.师：因为大量重复试验的频率具有稳定性，由此可根据这个稳定的频率来估计概率.归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=P.教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不但适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的随机事件，我们也能够用频率来估计概率.设计意图：引入瑞士数学家雅各布·伯努利的故事，增加学生学习数学的兴趣，同时，增加学习自信心，通过比较概率的统计定义与古典定义，引导学生发现用频率估计概率思想方法的重要作用.问题6：随机事件的概率P（A）有什么范围？对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）可能小于0吗？可能大于1吗？设计意图：通过探求取值范围，促动学生对用频率估计概率的内涵有更深一层的理解.（四）巩固练习问题7：“抢”某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：①计算表中相对应的“射中9环以上”的频率（精确到0. 01）；②这些频率稳定在哪一个常数附近？③根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0. 1）.设计意图：巩固新知，知能升级.问题8：“辩”（1）天气预报说下星期一降水概率为90%，下星期三降水概率为10%，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你认为他说的对吗？（2）抛掷硬币100次，一定有50次正面向上吗？抛掷2n次一定有n次正面向上吗？（3）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中的概率为5分之4对吗？（4）小明的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个7位的数码，如能与开奖结果一致，则获特等奖；如果有相连的6位数码准确，则获一等奖；……；依次类推，小明的爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！小明爸爸的说法准确吗？”设计意图：通过对生活中实例的辨析，进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重复试验来说的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中反映出来. 反过来，试验次数太少时，有时不能合理估计概率.问题9：“议”频率与概率有什么区别与联系？学生思考、讨论后全班交流. 此处重点强调学生理解，若不能概括、归纳，则直接出示答案.设计意图：明晰频率与概率的联系与区别，渗透辩证思想，同时，深化新知，突破难点. （五）总结反思问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课学习的主要内容，并揭示蕴涵的数学思想方法.设计意图：通过小结与反思，使学生对本节课的内容有一个整体的理解和理解，对核心思想方法有了更深的体会. 同时，培养学生归纳概括水平和语言表达水平.（六）课后作业（投针试验）（1）在一个平面上画一组间距为d=4cm的平行线，将一根长度为l=3cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交. 根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与任一直线相交的概率.（2）在投针试验中，如果间距d=4cm、针长l=3cm时针与任一直线相交的概率为p，则当d 不变l减小时概率p会如何变化？当l不变d减小时概率p会如何变化？（在试验中始终保持l ＜d）（3）查阅资料，了解布丰投针实验及概率公式p=，知道可用概率的方法得到圆周率π的近似值，了解蒙特卡罗方法.设计意图：复习巩固新知，培养动手水平，体验数学文化.。
人教版九年级数学上册《25.3用频率估计概率》课件(共27张PPT)
3 B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比5为3︰8
C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的
D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是喜欢足球
练习巩固
3．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他相
同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中
白球可能有( D )．
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活 的频率．随着移植数n越来越大，频率 m 会越来越稳定，于是就可以把频
n 率作为成活率的估计值．
从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳 定．当移植总数为14 000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植 成活的概率为0.9．
转动转盘的次数n
落在“铅笔”的次数m
落在“铅笔”的频率
m n
100 150 200 500 800 1 000 68 111 136 345 546 701
（2） 请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3） 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
（4） 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大
如果随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化在0．5的左右摆动幅度不完全是越来越小，本次实验依然不能称为严格意义上的大量重复实验． 2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 902，于是可以估计幼树移植成活的概率为 ． 例2 某水果公司以2元/kg的成本价新进了10 000 kg的柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适 ？ 2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
约是多少(精确到1°）．
25.3用频率估计概率(1)教学设计
初中九年级数学《26.3用频率估计概率》第一课时教学设计蚌埠市怀远界沟学校何建超一、教学内容解析《用频率估计概率》是沪科版教材九年级下册第二十六章第三节，前两节已经学习了概率的定义，并利用列举法求一些有限等可能事件的概率，本节将从统计试验结果的角度去研究概率，即通过频率研究概率。
教材在讨论完设置的掷硬币试验后，归纳得出用频率估计概率的方法，用频率估计概率将不受试验结果个数有限和等可能条件的限制，因此适用范围比用概率的古典定义更广。
教材设置了一个投币实验，一方面让学生亲自动手试验获得数据，另一方面给出历史上投币实验的数据，为学生发现规律提供帮助，通过亲手试验和历史数据，学生能够用自己在统计中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小，大量试验得出的稳定性数据0.5和我们用列举法求出的概率是同一个数值，从另外一个方面佐证了只要试验重复次数足够多，可以用频率去估计概率。
于是教材给出了概率的统计定义，这将有利于学生从整体上更好的把握概率的内涵，与前节学习的概率的古典定义达到统一。
二、教学目标解析根据学生已有的认知结构和生活经验，制定以下教学目标：1、从频率稳定性的角度了解概率的意义；【设计目的】让学生感知在试验过程中频数的发生是一个随机事件，用质地均匀的硬币投掷又是等可能事件，计算出的频率只能作为概率发生的估计值。
2、经历试验、统计整理、分析、归纳、确认等数学活动进而了解并感受概率意义的过程，引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界，进一步发展学生合作交流的意识和能力；【设计目的】让学生经历、感受数学是过程这一重大意义，把学生置于整个活动过程中，亲身体验频率的统计过程，深刻理解用频率估计概率的内涵，并在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
3、通过对问题的分析，理解用频率估计概率的方法，理解概率的思想，会用试验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
鲁教版数学九年级下册6.3《用频率估计概率》教学设计1
鲁教版数学九年级下册6.3《用频率估计概率》教学设计1一. 教材分析鲁教版数学九年级下册6.3《用频率估计概率》是学生在学习了概率的基本概念和计算方法之后，进一步学习用频率来估计概率的内容。
通过本节课的学习，学生能够理解频率与概率之间的关系，学会用频率来估计概率，并能够运用这一方法解决实际问题。
教材通过具体的实例和活动，引导学生探究频率与概率的关系，培养学生的探究能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经学习了概率的基本概念和计算方法，对概率有一定的理解。
但是，学生对用频率来估计概率的方法可能还不够熟悉，需要通过实例和活动来进一步理解和掌握。
此外，学生在解决实际问题时，可能还不太会运用频率来估计概率，需要通过练习和应用来提高。
三. 教学目标1.知识与技能：理解频率与概率的关系，学会用频率来估计概率。
2.过程与方法：通过实例和活动，培养学生的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的决心。
四. 教学重难点1.重点：频率与概率的关系，用频率来估计概率的方法。
2.难点：如何运用频率来估计概率，解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解概率的基本概念和计算方法，引导学生理解频率与概率的关系。
2.探究法：学生进行小组探究，通过实例和活动，引导学生发现频率与概率的关系。
3.实践法：让学生通过解决实际问题，运用频率来估计概率，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示实例和活动。
2.实例和活动材料：准备一些实例和活动材料，用于引导学生探究频率与概率的关系。
3.练习题：准备一些练习题，让学生在课堂上和课后进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生思考频率与概率的关系。
例如，抛硬币实验，让学生观察抛硬币的频率分布，引导学生思考频率与概率之间的关系。
2.呈现（15分钟）呈现一些实例和活动，让学生通过观察和参与活动，发现频率与概率的关系。
人教版九年级上册数学《用频率估计概率》概率初步PPT教学课件(第1课时)
新知探究 跟踪训练
一粒木质中国象棋“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字, 它的反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可 能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于 棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率, 某试验小组做了棋子下掷的试验,试验数据如下表： (1) 请将数据表补充完整；
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
(3) 这个试验说明了什么问题? 在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次 数的增加，稳定在常数56.5%附近.
频率
概率
试验值或使用时的统计 值
理论值
区 别
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、 与试验人、试验时间、
试验地点有关
试验地点无关
联 系
试验次数越多，频率越趋向于概率
(2)根据上表的数据，在下图中标注出对应的点.
正面向上的频率 1 0.5
O 100 200 300 400 抛掷次数
请同学们根据试验所得的数据想一想：“正面向上” 的频率有什么规律？
可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上” 的频率在0.5附近摆动. 随着抛掷次数的增加,在0.5附 近摆动的幅度越来越小.
填完表后，从表中可以看出，随着柑橘质量的增加， 柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500 kg时的 损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1 (结果保留小数点后一位).由此可知，柑橘完好的概率 为0.9.
解：根据估计的概率可以知道，在10 000kg柑橘中完好 柑橘的质量为10 000×0.9=9 000(kg)， 完好柑橘的实际成本为 (元/kg) 设每千克柑橘的销价为x元，则应有(x-2.22)×9 000=5 000， 解得 x≈2.8. 因此，出售柑橘时每千克定价大约2.8元可获利润5 000
北师大版九年级数学课件-用频率估计概率
0.098 0.099
课
500
51.54
0.103
时
学
從上表可以看出，柑橘損壞的頻率在常數__0_.1__左右擺動，並且隨統
练
計量的增加這種規律逐漸__穩__定__，那麼可以把柑橘損壞的概率估計為這
個常數．如果估計這個概率為0.1，則柑橘完好的概率為__０__.９___．
根據估計的概率可以知道，在10 000千克柑橘中完好柑橘的品質為 10 000×0.9＝9 000千克，完好柑橘的實際成本為
435
0.87
600
530
0.88
700
624
0.89
800
718
0.90
900
814
0.90
1000
倍
981
0.98
速 一般地，1 000千克種子中大約有多少是不能發芽的？
课
时
解:這批種子的發芽的頻率穩定在0.9即種子發芽的概
学
率為90%,不發芽的概率為0.1, 不發芽的概率為10%
练
所以: 1000×10%=100千克
成活率（m） 8
成活的頻率（ m） n
0.80
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
倍
750
662
0.883
速
1500
1335
0.890
课
3500
3203
0.915
时
7000
6335
0.905
学
9000
8073
0.897
练
14000
12628
九年级数学： 用频率估计概率教案(第一课时)
27.3 利用频率估计概率（第1课时）教学目标：1．理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．掌握用模拟实验求概率的方法及其他们的应用。
重难点、关键：重点：讲清用频率估计概率的条件及方法。
难点与关键：比较用列举法求概率与用频率估计概率的条件与方法。
疑难分析：1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.教学过程：一、复习引入请同学们口答下面几个问题：1.用列举法求概率的条件是什么？2.用列举法求概率的方法是什么？3.A=事件，P(A)的取值范围是什么？4.列表法、树形图法是不是列举法，他在什么时候应用？二.展示学习目标（口述）1.理解用频率估计概率的条件及方法。
2.应用用频率估计概率的方法解决一些实际问题。
三.出示自学提示，布置自学任务阅读课文第99页的内容，根据要求完成下面的实验和问题（课前完成）：1.实验：前后两排学生为一组，每组同学掷一枚硬币50次，记录硬币正面向上的频数，求出正面向上的频率。
2.根据表25-4思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何规律？3.你认为在什么情况下采用频率估计概率的办法？4.对一个随机事件A，用频率估计的概率P(A)可能小于0吗？可能大于1吗？5.思考：抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5，是不是抛掷10次一定会有5次正面向上？四.教师组织引导学生梳理知识1.完成实验任务。
（1）汇总，填写表格.（2）完成绘图.（3）思考：频率在那个数左右浮动？2.针对提出的问题，各小组回报学习结果。
3.归纳总结。
4.例题选讲例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中各次比赛进球的频率。
浙教版数学九年级上册《2.3 用频率估计概率》教案1
浙教版数学九年级上册《2.3 用频率估计概率》教案1一. 教材分析浙教版数学九年级上册《2.3 用频率估计概率》是对概率论的一个初步介绍。
本节内容通过实例让学生理解频率与概率的关系，学会如何利用频率来估计概率，并能够运用这一方法解决一些实际问题。
教材通过具体的实验和数据分析，引导学生感受概率论的基本思想，为后续学习更深入的概率知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数据分析能力，对随机事件有一定的认识。
但用频率估计概率这一概念对学生来说较为抽象，需要通过具体的实例和操作来深入理解。
在教学过程中，教师应关注学生的认知水平，尽可能地让学生通过自主探究、合作交流来掌握这一概念。
三. 教学目标1.让学生了解频率与概率的关系，理解用频率估计概率的方法。
2.培养学生通过实验和数据分析来探究问题、解决问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和实际应用能力。
四. 教学重难点1.重点：频率与概率的关系，用频率估计概率的方法。
2.难点：如何引导学生通过实验和数据分析来理解用频率估计概率的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习用频率估计概率的方法。
2.运用实验教学法，让学生亲自动手进行实验，观察频率与概率的关系。
3.采用合作交流的学习方式，让学生在讨论中深入理解用频率估计概率的方法。
六. 教学准备1.准备相关实验材料，如骰子、卡片等。
2.设计好实验方案，确保实验结果具有可重复性。
3.准备相关练习题，以便在巩固环节进行练习。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个简单的实验引入课题，例如抛硬币实验，让学生观察正面朝上的频率。
提问：这个频率与概率有什么关系？如何用频率来估计概率？呈现（10分钟）教师呈现实验结果，引导学生思考频率与概率的关系。
通过多次实验，让学生观察频率的波动情况，探讨如何用频率来估计概率。
操练（10分钟）学生分组进行实验，每组选择一个随机事件，如掷骰子、抽卡片等，记录实验结果，计算频率。
人教版九年级数学下册精品教案 用频率估计概率1
25．3 用频率估计概率教案11．理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律．2．结合具体情境掌握如何用频率估计概率．3．通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．一、情境导入养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？二、合作探究探究点一：频率【类型一】频率的意义某批次的零件质量检查结果表：(1)计算并填写表中优等品的频率；(2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率．解析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优等品的概率．解：(1)填表如下：(2)0.8【类型二】频率的稳定性在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________________________．解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来愈接近于一个常数，这个常数即为它的概率．故答案是：接近16.探究点二：用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( ) A ．可能有5次正面朝上 B ．必有5次正面朝上C ．掷2次必有1次正面朝上D ．不可能10次正面朝上解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是错误!，因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上．选项B 、C 、D 不一定正确，选项A 正确，故选A .方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．【类型二】推算影响频率变化的因素“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以球的总数为1000×0.2＝200，故答案为：200.方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．【类型三】 频率估计概率的实际应用 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．解析：设鱼塘中估计有x 条鱼，则5∶200＝30∶x ，解得：x ＝1200，故答案为：1200. 方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．三、板书设计教学过程中，强调频率与概率的联系与区别．会用频率估计概率解决实际问题.25．3 用频率估计概率教案2【教材分析】《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。
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3.某射击运动员在同一条件下练习射 击,结果如下表所示:
射击次数n
击中靶心次数m 击中靶心频率m/n
10
8
20
19
50
44
100
92
200
178
500
452
(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中. (2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率约是_____.
作业设计 1.设计一个统计池塘鱼的数量的方案. 2.课本P162第3题P163第5题.
课堂检测
1.经过大量试验统计,香樟树在我市的移植 的成活率未95%. (1)吉河镇在新村建设中栽了4000株香樟 树,则成活的香樟树大约是________株. (2)双龙镇在新村建设中要栽活2850株香 樟树,需购幼树______株.
2.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和 黑球个若干个,每个球出了颜色外没有任何区别. (1)小王通过大量反复实验(每次取一个球,放回搅 匀后再取)发现,取出黑球的概率稳定在1/4左右, 请你估计袋中黑球的个数. (2)若小王取出的第一个是白球,将它放在桌上,从 袋中余下的球中在再任意取一个球,取出红球的 概率是多少?
； / 时时计划群
hxh69kyd
在的，帕子好歹是乐韵拿出来„„“我不清楚。”宝音摇摇头，“不过秀姐姐，你知道笙儿为何来得晚了些吗？”“为何？”明秀呼吸急促 了一些。她只知这是宝音回屋的必经之路，而且没什么人，估算宝音一定会回屋整装，就于此处守株待兔。说起来，宝音过来得是晚了些， 有什么特殊原因吗？“笙儿听到一个消息，文大娘在找一个私相授受的人。”宝音露出一点点狡黠的笑意。第六十六章 胜负已分看星芒(4) “„„！”明秀等着宝音说下去。宝音果然没有令明秀失望：“据说文大娘接到线报，外头有个小厮，写了本帐簿传进来。比什么没有拷边、 没有刺绣的棉布，更能找到主人哦！那簿子上有字，有笔迹可核对，肯定是那小厮写的。写的什么呢？看来是鬼画符中夹杂着几行无关痛痒 的文字，实则每行头上几个字连起来读，”羞赧的咬咬嘴唇，“是女孩家不宜看、不宜说的话。”“„„”明秀回想簿子上的内容。她良好 的记忆力帮助她拼出了这句话：想再亲你小嘴。“！”明秀面上血红。这么露骨，这么无耻，这么的——岂有此理！那些村话果然不是宝音 写的罢？那是谁？是——乐韵出府探父病时，托人写的？“所以呢，”宝音慢条斯理继续道，“笙儿本以为四姐姐没有时间在这里的，毕竟 喜事近了，还是尽快回去收拾一下比较好。”明秀心砰砰快要跳出腔子。她从没被人逼到这步田地。她，苏明秀！一不小心，那么点点儿失 察，竟然被暗算，简直不能容忍！怒火中烧，她真想把玉笙掐死在这里，但又忽生出一种奇异的感觉，确认一句：“我想文大娘现在，应该 不在我的院子里？”“应该不在。”宝音柔和道，“大娘忙着，笙儿想不出她现在为何要找到姐姐院子里去。”明秀顿了顿：“你为什么这 样做？”既已把簿子送到明秀手里，本可做得更绝一些，至少赶紧让文大娘人赃并获，反正她不敢说出用染了自己药渍的帕子威胁筱筱背主 的事，恐怕要壮士断腕、牺牲筱筱。这样对宝音不好吗？为什么让给明秀烧掉簿子的时间！换了明秀，就绝不会给对手留这样的余地。再回 想开去，木屐里的那块石子，要是搁到明秀碗里，说不定戳破明秀的嘴、硌掉明秀的牙！宝音也没有那样尝试，只是放在布套上让她看见， 给她一个警告。为什么，步步留情？如果宝音可以老实说的话，会告诉明秀：“因为这就是宝音的风格。我很抱歉，下不去狠手。这一点叫 我自己也很遗憾。”可惜在明秀逼视的目光下，宝音只能柔声道：“因为我们是姐妹啊。”明秀“切”了一声，意颇不屑。亲生姐妹尚且可 以争得你死我活呢！何况这种表亲，虽说一处长大，叫着姐姐妹妹——“我们是一处长大的。”宝音诚恳的张着眼睛，“姐姐，我们是一样 的人，流着一样的血。”明秀没有马上回答，起身，踱了
1)同桌合作完成表25-6. (2)根据表中数据填空: 0.1 这批柑橘损坏的概率是______,则完好柑橘 0.9 的概率是_______, 如果某水果公司以2元/千克的成本进了 10000千克柑橘,则这批柑橘中完好柑橘的 9000 质量是________, 若公司希望这些柑橘能够 2.8 获利5000元,那么售价应定为_______ 元/千 克比较合适.
讨论:如果你是柑橘销售商,在整个销售过程 中应注意些什么?
一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能结 果发生的可能性相等时, 可以用 Ｐ（Ａ）＝m/n的方式得出概率.当试验的所有 可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可 能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率, 即在同样条件下,大量重复试 验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估 计这个事件发生
材料1：
o.5 则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率为＿＿
材料2：
0.9 则估计油菜籽发ห้องสมุดไป่ตู้的概率为＿＿＿
国家在明年将继续实施山川秀美工程,各地 将大力开展植树造林活动.为此林业部要考 查幼树在一定条件下的移植成活率,应采用 什么具体做法?
(1)阅读教材P157.158的相关内容,完成表 25-5 (2)思考:在实验时为了使实验结果更接近 现实情况,需要注意些什么问题? 小组讨论:在进行移植试验时,移植的总数 是越多越好还是越少越好?