高中数学复习课件5-5
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第5讲 三角函数、解三解形
2
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
2025届高中数学一轮复习课件《指数函数》PPT
第29页
求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性 等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一 性质分析判断．
高考一轮总复习•数学
第30页
对点练 4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数 f(x)＝|－2x－x＋15|，，xx≤>22，， 若函数 g(x)＝f(x)－
解析：∵y＝35x 是 R 上的减函数，∴35－13 >35－14 >350，即 a>b>1，又 c＝32－34 <320 ＝1，∴c<b<a.
高考一轮总复习•数学
第11页
4．(2024·四川成都模拟)若函数 f(x)＝13－x2＋4ax 在区间(1,2)上单调递增，则 a 的取值范 围为___－__∞__，__12_ _．
在(4，＋∞)上单调递增．令12x≤4，得 x≥－2，令12x>4，得 x<－2， 代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x 的取值范围，这才是复合函数的单调递增 区间． 而函数 t＝12x 在 R 上单调递减，所以函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为[－2， ＋∞)．
高考一轮总复习•数学
所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)函数 y＝a－x(a>0，且 a≠1)是 R 上的增函数．( ) (2)函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点．( ) (3)若 am>an，则 m>n.( ) (4)函数 y＝ax 与 y＝a－x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．( √ )
人教课标版(B版)高中数学必修5《数列求和》复习课件
∴bn＝－34·23n－1。 ∴an2－1＝－34·23n－1。 ∴an2＝1－43·32n－1。 又 a1＝12>0，an·an＋1<0，
∴an＝(－1)n－1
1－34·23n－1。
对应训练 3 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－a1n，bn＝an－1 2(n∈ N*)，则数列{bn}的通项公式 bn＝____－__13_×__4_n－_1_－__32___。
【规律·方法】 利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32…aan－n1(an≠0)求通项公式的方 法称为累乘法。累乘法是求型如 an＋1＝g(n)an 的递推数列通项公式的基 本方法，其中 g(n)可求前 n 项积。
对应训练 2 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an2＋1－nan2＋ 1
考点二 累乘法求通项公式
【例 2】
若
a1＝1，Sn＝n＋3 2an(n∈N*)，则通项
nn＋1 an＝____2____。
【解析】 由题设知，a1＝1。 当 n>1 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1，∴aan－n 1＝nn＋－11。 ∴aan－n 1＝nn＋－11，…，aa34＝35，aa23＝24，aa12＝3。 以上 n－1 个式子的等号两端分别相乘， 得到aan1＝nn＋2 1，又∵a1＝1，∴an＝nn＋2 1。
数列 求和
学习目标
• 1．掌握等差数列、等比数列的前n项和公式． • 2．掌握一般数列求和的几种常见的方法．
知识梳理
• 一、公式法 • 1．直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和
• (1)等差数列的前n项和公式Sn＝__n_（__a_12＋__a_n_）__ • ＝__n_a_1＋__n_（__n_－2__1）d． (其中a1为首项，d为公差) • (2)等比数列的前n项和公式
高中数学5-5三角恒等变换5-5-2简单的三角恒等变换课件新人教A版必修第一册
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
1－cos sin α
α
2．常见的三角恒等变换： (1)asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(ab≠0)，其中 tan φ＝ba，φ 所在象限由 a 和 b 的符号确定． (2)sin2x＝1－c2os 2x，cos2x＝1＋c2os 2x，sin xcos x＝12sin 2x.
α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
(2)左边＝2sinx2cosx2－2s2isni2nx2xc2ossinxx2cosx2＋2sin2x2
＝4sin22x2sicnosx2cx2o－s xsin2x2＝2ssiinn2xx2＝csionsx2x2＝2s2incox2sc2ox2sx2＝1＋sincoxs x＝右边．
[方法技巧] 三角恒等式证明的五种常用方法
4．和差化积公式：
(1)sin θ＋sin φ＝2sin
θ＋φ 2 cos
θ－2 φ；
(2)sin θ－sin φ＝2cos
θ＋φ 2 sin
θ－2 φ；
(3)cos θ＋cos φ＝2cos
2025届高中数学一轮复习课件《 集合》ppt
高考一轮总复习•数学
第15页
解析：(1)方法一(列举法)：A＝…，－12，12，32，52，72，…， 列举法形象、直观.
B＝…，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…. 显然 A B.
方法二(描述法)：集合
A ＝ xx＝k＋12，k∈Z
＝
xx＝2k＋2 1，k∈Z
，B＝
xx＝2k，k∈Z
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1(1)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数为( )
A．9
B．8
C．5
D．4
(2)(2024·湖南长沙月考)如果集合 A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则实数 a 的
值是( )
A．0
B．4
C．0 或 4
(2)解：①由 x2－8x＋15＝0， 得 x＝3 或 x＝5，∴A＝{3,5}． 若 a＝15，由 ax－1＝0，得15x－1＝0，即 x＝5. ∴B＝{5}．∴B A. ②∵A＝{3,5}，又 B A， 故若 B＝∅，则方程 ax－1＝0 无解，有 a＝0； 若 B≠∅，则 a≠0，由 ax－1＝0，得 x＝1a. ∴1a＝3 或1a＝5，即 a＝13或 a＝15. 故 C＝0，13，15.
高考一轮总复习•数学
第23页
集合间的关系问题的注意点 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况， 勤思考，多练习这一特殊情形． 否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系， 集合的包含关系，转化为区间端点的大小关系，这是一个难点，主要是对端点值的取舍， 尤其注意区别开区间和闭区间. 例如：[－1,2)⊆(2a－3，a＋2]⇒a2＋a－2≥3＜2－. 1， 进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．求得参数 后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
高中数学ppt课件必修5
空集
不含任何元素的集合称为空集 。
相等
如果两个集合A和B的元素完全 相同，则称集合A与集合B相等
。
5
集合的基本运算
01
02
03
04
并集
由所有属于集合A或属于集合 B的元素所组成的集合。
交集
由所有既属于集合A又属于集 合B的元素所组成的集合。
补集
对于一个集合A，由全集U中 所有不属于A的元素组成的集
23
06
数列与数学归纳法
2024/1/28
24
数列的概念及通项公式
数列的定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列的通项公式
表示数列中任意一项与项数之间关系的公式。
常见数列类型
等差数列、等比数列、常数列等。
2024/1/28
25
等差数列与等比数列的性质
等差数列的性质
任意两项的差为常数；中项性质；前n项和公式等。
01
具有某种特定属性的事物的总体，称为集合。
集合的表示方法
Байду номын сангаас02
列举法和描述法。
集合中的元素
03
具有确定性、互异性和无序性。
4
集合间的基本关系
子集
对于两个集合A和B，如果集合 A的任何一个元素都是集合B的 元素，则称集合A是集合B的子
集。
2024/1/28
真子集
如果集合A是集合B的子集，且 A不等于B，则称集合A是集合B 的真子集。
02
余弦函数y=cosx的图像
也是一个以2π为周期的波动曲线，形状像波浪。在[0,π]区间内单调递
减，在[π,2π]区间内单调递增。
2024/1/28
版高中全程复习方略配套课件：5.5数列求和及通项(苏教版·数学理)
第五节 数列求和及通项
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…………三年4考 高考指数:★★★★★
内容 等差数列 等比数列
要求
A
B
C
√
√
数列求和的常用方法 1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式: S nn a1 2 an_ n_ a1_ _ _ n_ _ n_ 2_ _ 1_ _ d_ _ .
②等比数列的前n项和公式:
Sn naa111,aqnqq1__a_1 _11__q_q_n ___q1.
(2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和 的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.
【即时应用】
(1) 1 1 2 21 4 38 1 1 02 1 1 0_ _ _ _ _ _. (2)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n项和
答案:(1)12 (2)1
3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和.
【即时应用】
(1)数列 2 14,4 16,6 18, ,2n21 n2, 的前n项和为____.
(2)已知数列{an}的通项公式是 an
1 , 若Sn=10,则 n n1
n=_________.
【解析】(1) 2n21 n21 2(21n2n12),
Sn
1 2
4
1 46
1 68
1 2n(2n
2)
1［( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )］
224 46
2n 2n 2
1 (1 1 ) 2 2 2n 2
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…………三年4考 高考指数:★★★★★
内容 等差数列 等比数列
要求
A
B
C
√
√
数列求和的常用方法 1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式: S nn a1 2 an_ n_ a1_ _ _ n_ _ n_ 2_ _ 1_ _ d_ _ .
②等比数列的前n项和公式:
Sn naa111,aqnqq1__a_1 _11__q_q_n ___q1.
(2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和 的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.
【即时应用】
(1) 1 1 2 21 4 38 1 1 02 1 1 0_ _ _ _ _ _. (2)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n项和
答案:(1)12 (2)1
3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和.
【即时应用】
(1)数列 2 14,4 16,6 18, ,2n21 n2, 的前n项和为____.
(2)已知数列{an}的通项公式是 an
1 , 若Sn=10,则 n n1
n=_________.
【解析】(1) 2n21 n21 2(21n2n12),
Sn
1 2
4
1 46
1 68
1 2n(2n
2)
1［( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )］
224 46
2n 2n 2
1 (1 1 ) 2 2 2n 2
2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt
高考一轮总复习•数学
第13页
题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn 为{an}的前 n 项和，
S5＝5S3－4，则 S4＝( )
A．7
B．9
C．15
D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 8S6＝7S3，则{an}的公 转化为基本量 a1，q 的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
第26页
对点练 2(1)在等比数列{an}中，a1，a17 是方程 x2－14x＋9＝0 的两根，则a2aa916的值为 ()
A. 14
B．3
C．± 14
D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知 0<a1<1，其前 n 项之积为 Tn，且 T12＝T6， 则 Tn 取得最小值时，n 的值是____9____．
率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍．设第二个音的频率为 f1，第八个
音的频率为 f2，则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D．412 2
答案
高考一轮总复习•数学
第18页
(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，记插 入的 11 个数之和为 M，插入 11 个数后这 13 个数之和为 N，则依此规则，下列说法错误的 是( )
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)a11＋a12＋…＋a18＝a1a＋1aa8 8＋aa2＋2a7a7＋a3a＋3aa6 6＋a4a＋4aa5 5. 巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？
(人教版)高中数学必修5课件：第1章 解三角形1.1.2
高效测评 知能提升
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学 必修5
1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角 余―弦――定→理 另一边 余―正 弦―弦 定――定 理―理 推→论 另两角
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是 三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也 可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂， 但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围， 这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判 断，尽可能减少出错的机会．
6－ 2
2，
故A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或A＝120°时，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
已知两边及一边对角解三角形的方法及注意 事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要 根据题目条件优先选择使用哪个定理．
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第5章 数列 5.1 数列的概念
知的n用n-1代替,两式作差,转化为项之间的关系再求解;若求和,则直接利
用an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)将已知转化为和之间的关系再求解.
对点训练2
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式
1, = 1,
an= 2-3, ≥ 2.
当n=1时,a1=S1=1;
解析法
列出表格来表示数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系
在平面直角坐标系中,数列的图象是一系列横坐标为正整数的
孤立的点(n,an)
将数列用一个数学式子表示出来的方法叫做解析法,可用通项
公式或其他式子表示数列
5.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来
1 021
2 042
2 042
A.-1 022
B.1 022
C.2 043
D.-2 043
由题意,记该数列为{an},显然,正负项间隔出现,偶数项为负;每项都是分数,分
子比分母小 1,分子是偶数构成的数列,即分子是 2n,所以分母是 2n+1,故该
2
数列的通项公式为 an=(-1)
,
2+1
2×1 021
来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
1 , = 1,
显然 S1=a1,而 Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有 an= - , ≥ 2.
-1
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示.( × )
(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.( × )
用an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)将已知转化为和之间的关系再求解.
对点训练2
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式
1, = 1,
an= 2-3, ≥ 2.
当n=1时,a1=S1=1;
解析法
列出表格来表示数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系
在平面直角坐标系中,数列的图象是一系列横坐标为正整数的
孤立的点(n,an)
将数列用一个数学式子表示出来的方法叫做解析法,可用通项
公式或其他式子表示数列
5.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来
1 021
2 042
2 042
A.-1 022
B.1 022
C.2 043
D.-2 043
由题意,记该数列为{an},显然,正负项间隔出现,偶数项为负;每项都是分数,分
子比分母小 1,分子是偶数构成的数列,即分子是 2n,所以分母是 2n+1,故该
2
数列的通项公式为 an=(-1)
,
2+1
2×1 021
来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
1 , = 1,
显然 S1=a1,而 Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有 an= - , ≥ 2.
-1
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示.( × )
(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.( × )
高中数学新课标一轮复习上册5-5市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(2)[答案] × [解析] 函数在自变量离散的地方不存在导 数，必然先把函数的定义域拓展到连续的实数区间才能求导．
(3)[答案] × [解析] 经过 5 次分裂后的细胞总数应为 32.
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(4)[答案] √ [解析] 在横坐标依次成等比数列的条件 下，由 yn＋1－yn＝lgxn＋1－lg xn＝lg xxn＋n 1.而设横坐标构成的等比数 列的公比为 q，即xxn＋n 1＝q.∴yn＋1－yn＝lg q 为常数(n∈N*)．因此 {yn}为等差数列．
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命题规律透视
随着新课标高考的推进，数列在高考中的位置逐步前移，考查的 难度也逐步降低，以等差数列与等比数列这两个模型为重点．数 列多与函数、方程、三角、排列与组合等有关知识相结合，进行 综合命题． 2013·江苏·解答题 2013·上海·解答题 2013·安徽·解答题 2013·课标全国Ⅰ·选择题
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[思路点拨] (1)根据函数思想，结合条件 an＋1＝f(an)，a2＝ f(a1)源自a3＝f(a2)可求得 a2，a3.
(2)利用综合分析法及 an＋1＝f(an)的关系对 an＋1－an≥c 变 形．即为 f(an)－an≥c，再结合函数 f(x)的解析式去证明 f(x)≥x ＋c 即可．
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(3)[答案] × [解析] 经过 5 次分裂后的细胞总数应为 32.
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(4)[答案] √ [解析] 在横坐标依次成等比数列的条件 下，由 yn＋1－yn＝lgxn＋1－lg xn＝lg xxn＋n 1.而设横坐标构成的等比数 列的公比为 q，即xxn＋n 1＝q.∴yn＋1－yn＝lg q 为常数(n∈N*)．因此 {yn}为等差数列．
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随着新课标高考的推进，数列在高考中的位置逐步前移，考查的 难度也逐步降低，以等差数列与等比数列这两个模型为重点．数 列多与函数、方程、三角、排列与组合等有关知识相结合，进行 综合命题． 2013·江苏·解答题 2013·上海·解答题 2013·安徽·解答题 2013·课标全国Ⅰ·选择题
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[思路点拨] (1)根据函数思想，结合条件 an＋1＝f(an)，a2＝ f(a1)源自a3＝f(a2)可求得 a2，a3.
(2)利用综合分析法及 an＋1＝f(an)的关系对 an＋1－an≥c 变 形．即为 f(an)－an≥c，再结合函数 f(x)的解析式去证明 f(x)≥x ＋c 即可．
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人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-2第1课时周期性与奇偶性课件
1234
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？ [提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶 函数，其图象关于y轴对称． 正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
√
√
[跟进训练] 3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y ＝f (x)的图象是( )
A
√B
C
D
B 由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称． 由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
【例1】 求下列函数的周期： (2)f (x)＝|sin x|． [解] 法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|， ∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为π． 法二(图象法)： 作出函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π．
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周 习 期．(数学抽象、逻辑推理) 任 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能 务 正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
1．求下列函数的最小正周期： (3)y＝|cos x|，x∈R． [解] y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
反思领悟 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称． 二看f (x)与f (－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式 化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？ [提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶 函数，其图象关于y轴对称． 正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
√
√
[跟进训练] 3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y ＝f (x)的图象是( )
A
√B
C
D
B 由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称． 由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
【例1】 求下列函数的周期： (2)f (x)＝|sin x|． [解] 法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|， ∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为π． 法二(图象法)： 作出函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π．
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周 习 期．(数学抽象、逻辑推理) 任 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能 务 正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
1．求下列函数的最小正周期： (3)y＝|cos x|，x∈R． [解] y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
反思领悟 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称． 二看f (x)与f (－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式 化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
2025届高中数学一轮复习课件《函数的图象》PPT
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 利用描点法作函数的图象
高考一轮总复习•数学
第6页
二 利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)―a―a<>0―0，，―左右―移―移|―aa个|个―单―单位―位→y＝f(x－a)；
y＝f(x)―b―b<>0―0，，―下上―移―移|―bb个|个―单―单位―位→y＝
高考一轮总复习•数学
第22页
题型
有关函数图象识别的多维研讨
维度 1 知式识图问题
典例 2(2024·天津模拟)函数 f(x)＝xl2n＋|x|2的图象大致为(
)
此类题目，主要通过解析式反映出的特殊信息，去伪存真，而非真的作图象．如：本
例为①偶函数；②特殊信息，f(2)＞0. 仅从此两点即可判断各选项．
函数的零点、最值等信息也很重要.
第29页
高考一轮总复习•数学
第30页
对点练 3(2024·天津静海一中调研)已知函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式 可能为( )
A．f(x)＝14＋＋12lcno|xs |x B．f(x)＝x2ceo|xs| x C．f(x)＝c2o＋s xs·ilnn|xx| D．f(x)＝x22＋＋clno|sx|x
高考一轮总复习•数学
第9页
5．函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称． 6．函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称． 7．函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 可以理解为用“2a－x”和“2b－y”替换 y＝f(x)中的 x，y，得 2b－y＝f(2a－x)，从而 得 y＝2b－f(2a－x)．
人教高中数学必修一A版《弧度制》三角函数研讨说课复习课件
∠就是1弧度的角
B
O
1rad
r
A
l =r
4.弧度的计算公式：|
l （弧度的绝对值等于弧长除以半径）
|
r
注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零。
思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
r
.
①半圆所对的圆心角为：
3
3
3
－ 5 [若 x ＝－5，则 x＝ －5
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3
＝－ 5.]
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6
(2)± 2 019
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(3)[－3，＋∞)
[(1)27 的立方根是 3.
6
(2)因为 x ＝2 019，所以 x＝± 2 019.
6
4
(3)要使 x＋3有意义，则需要 x＋3≥0，即 x≥－3.
B
O
1rad
r
A
l =r
4.弧度的计算公式：|
l （弧度的绝对值等于弧长除以半径）
|
r
注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零。
思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
r
.
①半圆所对的圆心角为：
3
3
3
－ 5 [若 x ＝－5，则 x＝ －5
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[(1)27 的立方根是 3.
6
(2)因为 x ＝2 019，所以 x＝± 2 019.
6
4
(3)要使 x＋3有意义，则需要 x＋3≥0，即 x≥－3.
高中数学必修5(必修五)全套课件(最新整理)
[提示] ∠C＝90°，∠B＝30°，a＝2 3，b＝2.
[问题 2] 试计算sina A，sinb B，sinc C的值，三者有何关系？
[提示]
a sin
A＝
2 sin
630°＝
4
，
b sin
B
＝
sin230°＝
4
，
c sin
C
＝
sin490°＝4，三者的值相等．
• 2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.
• 答案： B
2．在△ABC中，下列式子与sina A的值相等的是( )
A．bc
B．ssiinn
B A
C．sinc C
D．sinc C
解析： 由正弦定理得sina A＝sinc C，
所以sina A＝sinc C，故选C.
答案： C
3．已知△ABC中，a＝ 2 ，b＝ 3 ，B＝60°，那么角A等 于________．
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
已知两边及一边的对角解三角形
已知△ABC中，a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，求B，C 及c.
• [思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理 求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1.
∵30°<C<150°，∴C＝90°，
从而A＝180°－(B＋C)＝60°，
a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴A＝180°－(B＋C) ＝180°－(75°＋45°)＝60°. 又∵sina A＝sinb B， ∴a＝bssiinn AB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6， 同理，c＝ssiinn CBb＝ssiinn 7455°°×2＝ 3＋1.
[问题 2] 试计算sina A，sinb B，sinc C的值，三者有何关系？
[提示]
a sin
A＝
2 sin
630°＝
4
，
b sin
B
＝
sin230°＝
4
，
c sin
C
＝
sin490°＝4，三者的值相等．
• 2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.
• 答案： B
2．在△ABC中，下列式子与sina A的值相等的是( )
A．bc
B．ssiinn
B A
C．sinc C
D．sinc C
解析： 由正弦定理得sina A＝sinc C，
所以sina A＝sinc C，故选C.
答案： C
3．已知△ABC中，a＝ 2 ，b＝ 3 ，B＝60°，那么角A等 于________．
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
已知两边及一边的对角解三角形
已知△ABC中，a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，求B，C 及c.
• [思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理 求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1.
∵30°<C<150°，∴C＝90°，
从而A＝180°－(B＋C)＝60°，
a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴A＝180°－(B＋C) ＝180°－(75°＋45°)＝60°. 又∵sina A＝sinb B， ∴a＝bssiinn AB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6， 同理，c＝ssiinn CBb＝ssiinn 7455°°×2＝ 3＋1.