三角形中的三角函数问题

三角形中的三角函数问题

一、引言

（一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的考查内容，高考考纲中就明确提出要加强对正、余弦定理的考查．

（二）考纲要求：通过本节的学习掌握正弦定理、余弦定理；并能够应用正弦定理、余弦定理解决问题；同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．

（三）考情分析：应用正弦定理、余弦定理解三角形、求值、求参数范围、恒等变形与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查． 二、考点梳理

1．正弦定理:在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，R 为ABC ∆的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R A B C

===． 变形应用:::sin :sin :sin a b c A B C =；2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =．

2．余弦定理：在ABC ∆中，有2

2

2

2cos a b c bc A =+-，

2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-．

变形应用:如222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2b a c C ba +-=

222

cos 2a c b B ac +-=

． 3．三角形的有关公式：

（1）射影公式如：cos cos a b C c B =+． （2）三角形面积公式：1111

sin sin sin 2222

a S ah a

b C a

c B cb A ∆=

===． 4．熟练掌握下列知识对解三角形有帮助：

（1）sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；sin

cos 22

A B C

+=等． （2）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等角对等边，大边对大角，

大角对大边．

（3）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2

2

2

a b c +=，则90C =︒； 若2

2

2

a b c +>，则90C <︒；若2

2

2

a b c +<，则90C >︒． 三、典型问题选讲

例1．（1）在ABC ∆

中，sin :sin :sin 21)A B C =，则角A 度数是 。 （2）在△ABC 中，A ，B ，C 所对边长分别为a 、b 、c ，且3

π

=A ，b c +

，则)6

sin(π

+

B 的

值是 。

（3）在锐角三角形ABC 中，若B=2A ，则

a

b

的取值范围是_________________。 （4）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的外接圆半径为3,且满足

B

C

A B C sin sin sin 2cos cos -=

,

则B+b=_______。

（5）已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD 的面积为 。.

例2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ．求证：222

sin()

sin a b A B c C

--=．

例3.在ABC ∆中，已知3AB =，cos B =6

，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．

例4.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的

面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数．

例5.在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5

B =．（1）求角

C 的大小；（2）若ABC △求最小边的边长．

跟踪训练

班级 姓名

1.在△ABC 中，BC=1，B=

3

π

，当△ABC 的面积等于3时，tanC=______________。 2.在锐角△ABC 中，角A,B,C 所对边分别是a,b,c,又sinA=

322,则2

sin 2tan 22A

C B ++的值是 。 3.已知△ABC 的三个内角为A,B,C,则当A=__________时，2

cos

2cos C

B A ++取得最大值. 4.在△AB

C 中，已知A C B B C A C B A cos sin sin cos sin sin cos sin sin +=,若a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边，则

2c

ab

的最大值为________________ 5.在△ABC 中，已知bc a A ==

2

,2

1cos ，则△ABC 是 三角形 6.已知锐角三角形ABC 的三边a,b,c 和面积S 满足条件S=k

b a

c 4)(2

2--,又角C 既不是△ABC 的最大角也

不是△ABC 的最小角，则实数k 的取值范围是____________________

7.给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；

(3)若sin 2A+sin 2B+sin 2

C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4 8.设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3

cos cos 5

a B

b A

c -=． （1）求B

A

tan tan 的值； （2）求tan()A B -的最大值．

9.已△ABC 的三个内角A,B,C 对应的边长分别是a,b,c,向量m =(sinB,1-cosB)与向量n

=(2,0)的夹角θ的

余弦值为2

1

。(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求a+c 的取值范围.