材料习题解答第五章

则 =15MPa , =-15MPa , =τ，α=135 时 =0, =0
代入式（5-3）（5-4）
=0
=0 (自然满足)
由上式解得 =15MPa
主应力可由公式（5-8）求
MPa
因此三个主应力为： =0， =0， =-30MPa
MPa
5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa）。试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。
由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0)
半径 =100
5-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变 和 。试求所受拉力F。已知材料弹性常数E、ν，圆杆直径d。
题5-14图
解：
围绕K点取单元体，两截面分别沿ε’和ε”方向。如下图所示
由广义胡克定律
联求解得
我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取
b) =40MPa, =0, =－30MPa，属于二向应力状态
c) =20MPa, =10MPa, =－30MPa，属于三向应力状态
5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
题5-3图
解：
a)取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：
=50MPa , =30MPa , =0,α=－30
3)最大切应力等于由 画出的应力圆的半径： MPa
(c)解：由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20，20）和D （30，-20）
连DD 交 轴于C,以C为圆心，DD 为直径作圆，即为应力圆，如图所示
1）斜截面与x轴正方向夹角为60 (顺),因此由D顺时针量120 得E点
= =34.82MPa， = =11.65MPa
解：
由公式（5-36）可求主应力：
前后面为自由表面，也为主平面， =0
由题意知 =0
由胡克定律 =
所以
=
=
所以
5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45°方向的正应变 ，空心圆轴外径为D,内外径之比为α。试求外力偶矩T。材料的弹性常数E、ν均为已知。
题5-17图
解：
受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45 和135 面上主应力取得极大值和极小值，为主平面， =τ， = -τ
有
Pa
比轴两式有 =48000N=48kN
5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成60°方向上的正应变 ，直径d=20mm，材料的弹性模量 。试求载荷F。
题5-19图
解：
A点应力状态如图所示
由公式（5-3）
由胡克定律
又 =
所以 =37233.7N=37.23kN
5-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。已知：AB原长为a，与轴线成45°，B点在中性层上，梁高为h，宽为b，弹性模量为E，泊松比为ν，弯矩为M。
由此可确定 - 面内的D、D’两点，连接D、D’交于C。以C为圆心，DD’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60 ，在应力圆上，由D逆时针量取120 得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：
=60MPa， =3.7MPa
（2）求主应力及其方程
应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：
由公式（5-3、5-4)得:
由胡克定律
又τ= ，
所以
5-16一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为10×10×10mm3，铝材的弹性模量E=70GPa，ν=0.33。试求铝块受到F=6kN的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。
题5-16图
解：
F力作用面为一主平面，其上的正应力为 MPa = -60MPa
带入式（5-3），（5-4）得
=45MPa
=-8.66MPa
b)取水平轴为x轴，根据正负号规定：
= -40MPa , =0 , =20 MPa ,α=120
带入公式，得：
=7.32MPa
= =7.32MPa
c)取水平轴为x轴，则
= -10MPa , =40MPa , = -30MPa,α=30
代入公式得：
MPa（压应力）
MPa
MPa
2）作各单元体的应力圆
A点： MPa， =46.875MPa
B点： MPa， MPa， ， =27.3MPa
C点： 18.75MPa， 0， =-18.75MPa， =18.75MPa
5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。
题5-7图
= =40MPa
5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面α和β上的应力分别为 ； 。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径R。
题5-13图
解：
已知 =40MPa, =200MPa, =60MPa, =60MPa
由上面两组坐标可得应力圆上两点D1,D2,连D1D2,作其垂直平分线交σ轴于C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。
2）应力状态见下图。
c)1)危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；
2）应力状态见下图。
d)1）危险点：杆件表面上各点；
2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
题5-2图
解：a) =50MPa, = =0,属于单向应力状态
由胡克定律
= =
代入化简得 所以τ=
由受扭圆轴表面上一点剪应力公式
5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45°方向的线应变 ，材料的弹性模量 , 。试求梁上的载荷F之值。
题5-18图
解：
K点的应力状态如图所示
其中τ由公式（3-40）求得
又K点有 ，135 方向有 ，代入到胡克定律
5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图
解：a)1)危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；
2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b)1)危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；
5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：(1)梁上各指定点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。
题5-6图
解：
1）各点的单元体及应力
由梁的静力平衡求得 kN
A,B,C三点所在截面上的弯矩 Nm
剪力 kN
Pa=93.75MPa（压应力）
根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得：
又 =
所以F= A=
5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30°方向的线应变 。试求外力偶矩T。已知圆轴直径d,弹性模量E和泊松比ν。
题5-15图
解：
围绕K点沿ε30 方向和与之垂直的方向取单元体如左图
由沿横纵截面单元体如右图
带入公式，得:
=30 MPa
= = 30MPa
(2)求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
= MPa
按代数值 得
MPa， MPa， MPa
由公式（5-7）可求得主应力方向
= ， =
最大主应力 的方向与x轴正向夹角为顺时针
3）最大切应力
由公式（5-20） MPa
b）解：（1）求指定斜截面上的应力
取水平轴为x轴， =60MPa , = -20MPa , = -30MPa,α= -30
b)解：首先做应力圆：其中D（0，-20）D （50，+20）
1）斜截面与y轴正方向夹角45 （逆），因此从D 逆时针量2 =90 得E点：
= =5MPa， = =25Mpa
2) = =57MPa， = = -7Mpa
按照 得 =57MPa， =0MPa， =-7MPa
主应力方向：最大主应力与y轴夹角为 （顺）
=τ
三向应力状态：一个主应力为零
先做一二向应力状态的应力圆，得 再由 和 分别作应力圆
三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态
5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa）。
题5-9图
解：
画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则
=？, =50MPa , =？，α=30 时 =80MPa, =0
2）主应力及其方位
应力圆与 轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：
= =37MPa， = = -27Mpa
因此 =37MPa， =0MPa， =-27MPa
由D 到A的夹角为逆时针38.66 ，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33 所得截面上的正应力。
3）最大切应力为由 画出的应力圆半径 MPa
代入式（5-3）（5-4）
=80Mpa
=0
=70MPa , = MPa
可做应力圆如图所示
由应力圆可求的三个主应力分别为
=80MPa， =40MPa， =0MPa
最大切应力为 =40MPa
5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切应力τ和三个主应力。
题5-10图
解：
画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴
d) e) f)
题5-11图
5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知： 。试求主应力和最大切应力。
题5-12图
解：
=80MPa , =40MPa , =τ， =50MPa,α=60