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四川省成都树德中学高2012级高二下期期中考试数学理科试题含答案

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2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数()()11iz m m =-++，()R m ∈为纯虚数，则实数m 的值为（）A.1- B.1C.0D.1或1-【正确答案】B【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】解：因为复数()()11i z m m =-++，()R m ∈为纯虚数，所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得1m =，故选：B2.在极坐标系中，过点()1,0且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）A.1ρ=B.sin 1ρθ=C.cos 1ρθ= D.π2θ=【正确答案】C【分析】设点(,)P x y 是所求直线上的任意一点，AOP θ∠=．利用直角三角形的边角关系可得cos OAOPθ=，即可得出．【详解】如图所示，设(,)P x y 是所求直线上的任意一点，AOP θ∠=，1OA =，则cos OAOPθ=，cos 1ρθ∴=．故选：C ．3.利用分析法证明不等式M N >成立，只需证明P N >成立即可，则“P N >成立”是“M N >成立”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】利用分析法证明不等式M N >成立，只需证明P N >成立即可，则P M N N >⇒>，则“P N >成立”是“M N >成立”的充分条件.故选：A .4.已知()00,x y 是圆222x y r +=上一点，则直线200x x y y r +=与圆222x y r +=相切，且()00,x y 为切点，类似的，点()00,x y 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，则以()00,x y 为切点，与椭圆相切的切线方程为（）A.001x x y y +=B.2200x x y y a b +=C.00221x x y ya b -= D.00221x x y ya b+=【正确答案】D【分析】利用换元法，设,,xx ay y b⎧=⎪='⎨'⎪⎪⎪⎩将椭圆转化为圆，先求出过圆上一点圆的切线方程，再转化回椭圆的切线方程.【详解】对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，设,,xx a y y b⎧=⎪='⎨'⎪⎪⎪⎩，则椭圆方程()222210x y a b a b +=>>变为圆221x y ''+=，椭圆上的点()00,x y 的坐标变为00(,)x y ''，且000,x yx y a b ''==，因为过圆221x y ''+=上点00(,)x y ''的切线方程为001x x y y ''''+=，所以可得001x y x ya ab b⋅+⋅=，即过椭圆()222210x y a b a b+=>>上点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.故选：D5.已知复数i z x y =+（x ，R y ∈）对应的点在第一象限，z 的实部和虚部分别是双曲线C 的实轴长和虚轴长，若4z =，则双曲线C 的焦距为（）A.8B.4C. D.2【正确答案】B【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C 的焦距.【详解】复数i z x y =+（x ，R y ∈）对应的点在第一象限，则0,0x y >>，又z 的实部和虚部分别是双曲线C 的实轴长和虚轴长，4z =，则双曲线C 的焦距为4==故选：B6.函数()2ex x f x =的大致图像为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B 错误，再利用特殊值判断D 错误,根据极值点确定C 错误，即得答案.【详解】函数2()e x x f x =中，e 0x >，当0x ≠时,()0f x >,看图像知B 选项错误；函数2()ex x f x =中，e 0x >，当0x =时,()0f x =,看图像知D 选项错误；()()22222e e 2()0e e e x x x xx x x x x x f x x '==-=-=-解得120,2x x ==，故120,2x x ==为函数的极值点，故C 选项不符合，.D 选项正确.故选：A.7.将圆221x y +=经过坐标变换4:2x xy y ϕ''=⎧⎨=⎩后得到的曲线方程为（）A.221641x y += B.22421x y += C.221164x y += D.22142x y +=【正确答案】C【分析】先将42x x y y ''=⎧⎨=⎩反解为42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，再代入221x y +=，最后得到新曲线的方程即可.【详解】因为42x x y y ''=⎧⎨=⎩，所以42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，代入221x y +=，所以得到的新曲线的方程为.221164x y +=故选：C8.已知函数()sin cos f x a x x =+区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的范围是（）A.(],1-∞ B.[)0,∞+C.)+∞D.[)1,+∞【正确答案】D【分析】根据在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，有()0f x '≥恒成立，参变分离求tan y x =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值，进而求出a 的范围.【详解】解：因为函数()f x 的导函数为()cos sin f x a x x '=-，并且()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0f x '≥恒成立，即cos sin 0a x x -≥，则cos sin a x x ≥，即tan a x ³恒成立，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为tan y x =在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1，所以1a ≥.故选.D9.已知0.5e a -=，0.5b =，ln1.5c =，则下列不等关系正确的是（）A.a c b >>B.a b c>> C.b a c>> D.c b a>>【正确答案】B【分析】由256289.e .<<，可得051151617.e ,ln .ln ..-><，即可判断大小关系.【详解】由256289.e .<<，可得0517.1.6e .<<.则050511105172..e ..e-=>>=，故a b >；05151605.ln .ln .ln e .<<=，故b c >.综上，a b c >>.故选：B.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:4E y x =与椭圆C有相同的焦点，点P 为抛物线E 与椭圆C 在第一象限内的交点，直线1PF 与抛物线E 相切，则椭圆C 的长轴长为（）A.2+ B.2+ C.4D.【正确答案】B【分析】先利用题给条件列方程组求得P 的坐标，再利用椭圆定义即可求得椭圆C 的长轴长.【详解】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:4E y x =与椭圆C 有相同的焦点，则2(1,0)F ，1(1,0)F -，设直线1PF 的方程为(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k +-+=①，则2244(2)40k k --=，解之得1k =或1k =-（舍），由①可得2210x x -+=可得1x =，则(1,2)P ，则212,PF PF ==，2122a PF PF ++==，则椭圆C 的长轴长为2+.故选：B.11.关于函数()1ln 14f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且121=x xB.函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且121x x ≠C.函数()f x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =D.函数()f x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x ≠【正确答案】C【分析】求出()f x '，利用()f x 的单调性可得()f x 的大致图象，结合图象可得答案.【详解】函数()()222111410144x xf x x x x x +-⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭=，由()0f x ¢>可得2x >+或2x <-，由()0f x '<可得22x <<所以()f x 在()2+∞，(0,2-上单调递增，在(22+单调递减，且(((12222ll 4n n 2f ⎛-=-=++ ⎝e=10ln 22>-+->，(((12222l l 4n n 2f ⎛=-+=- ⎝e=10ln 22<--<，()3333e e 12110e 4e f --+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()()3333e e 121e 04ef --=>，可得()f x 的大致图象如下，()()01111l 4n1f =--=，所以函数()f x 有三个零点121,,x x ，且120,0x x >>，故AB 错误；故只需验证121=x x 即可，可得211x x =，所以()11111111111114ln l 41n f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝+⎭⎭11111111104n 1n 4l x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---⎝++ ⎪ ⎪⎭⎝=⎭，故C 正确，D 错误.故选：C .12.已知实数a ，b 满足22a b a b +=+，则33+a b 的取值范围是（）A.[]0,2 B.[]0,1 C.[]22-,D.[]1,2【正确答案】A【分析】根据均值不等式可得02a b ≤+≤，进而根据立方和公式化简，构造函数()233f t t t =-，利用导数求解单调性，进而可求值域.【详解】由22a b a b +=+得()()()()222224a b a b a b a b ab a b ab +-+++-=+⇒=≤，故()()()()()222200224a b a b a b a b a b a b +-++≤⇒+-+≤⇒≤+≤，由于()()3322a b a b a b ab+=++-将()()22a b a b ab +-+=和22a b a b +=+代入得()()()()()22333322a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+-++-++++-= ⎪ ⎪⎝⎭=，不妨设[],0,2a b t t +=∈，则()()2323,63f t t t f t t t '=-∴=-，由于当[]()0,2,0t f t ∈'≥，故()f t 在[]0,2t ∈单调递增，故()()()()[]0024,0,4f f t f f t =≤≤=∴∈，故()[]330,22f t a b +∈=，故选:A方法点睛：处理多变量不等式或者函数最值问题的方法（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.二、填空题（每小题5分，共20分）13.复数2i12iz -=+的共轭复数为z ，则z =______.【正确答案】i【分析】现根据复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】()()()()2i 12i 2i 25i 2i 12i 12i 12i 5z -----====-++-，所以i z =.故答案为.i14.在极坐标系中，点π4,6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭B ，则线段AB 的长为______.【正确答案】【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB 的长即可．【详解】由已知π4,6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭B ，∴线段AB的长为AB ==故15.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()01f =，且()()f x f x '>，则不等式()e x f x >的解集为______.【正确答案】()0,∞+【分析】首先构造函数()()xf xg x =e，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.【详解】设函数()()xf xg x =e，()()()()()()20x xx x f x f x f x f x g x ''--'==>e e e e ，所以()g x 单调递增，不等式()()e 1ex xf x f x >⇔>，即()()0g x g >，即0x >，所以不等式的解集为()0,∞+.故()0,∞+16.已知函数()sin f x x x =+，()R x ∈，有以下四个命题：①对0x ∀>，不等式()2f x x <恒成立；②πx =是函数()f x 的极值点；③函数()f x 的图象与x 轴及π2x =围成的区域面积为2π18+；④62sinsin π7π77π+<.其中正确的命题有______.【正确答案】①③④【分析】()sin g x x x =-，确定函数单调递增，计算最值得到①正确，函数单调递增，得到②错误，求积分得到③正确，根据①得到④正确，得到答案.【详解】对①：()2f x x <，即sin 0x x ->，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，函数单调递增，故()()00g x g >=，正确；对②：()1cos 0f x x '=+≥恒成立，函数单调递增，无极值点，错误；对③：()00f =，面积为()ππ22222001ππsin d cos 0011288x x x x x ⎛⎫+=-=--+=+ ⎪⎝⎭⎰，正确；对④：根据①知：sin x x <在()0,∞+上恒成立，则ππsin 77<，故π2π2sin 77<，则62sin sin π7π77π+<，正确.故①③④三、解答题（共70分）17.已知曲线C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ=-，A ，B 是曲线C 上不同的两点，且2OA OB =，其中O 为极点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求点B 的极径.【正确答案】（1）()2221x y -+=；（2）2.【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）利用题给条件列方程组即可求得点B 的极径.【小问1详解】由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得：2243+=-x y x ，所以曲线C 的直角坐标方程为()2221x y -+=；【小问2详解】设(),,0B ρθρ>，则由题意可知()2,A ρθ，将A ，B 坐标代入方程24cos 3ρρθ=-得：2248cos 34cos 3ρρθρρθ⎧=-⎨=-⎩，∴22423ρρ-=，得2ρ=(负值舍去)，∴B的极径为2.18.某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量x （%）与生产成本y （元）之间的数据如下表：x 00.69 1.39 1.79 2.40 2.56 2.94y19324044525354已知生产成本y 与产品蛋白质含量x 之间具有线性相关关系.（1）求生产成本y 关于蛋白质含量x 的回归方程；（2）根据（1）的结果，若公司准备将生产成本提高到60至70元，则判断生产的乳制品蛋白质含量的取值范围.（精确到小数点后两位）参考公式.()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ 参考数据： 1.68x =，()7216.79ii x x =-=∑，()()7181.41i i i x x y y =--=∑.【正确答案】（1）11.9921.86y x =+（2）[]3.18,4.02【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将60y =和70y =代入（1）中回归直线方程求解.【小问1详解】解：由题中数据可得42y =，设生产成本y 关于蛋白质含量x 的回归方程为 y bxa =+ ，∵()()()7172181.411.996.719iii i i x x y y bx x==--===-∑∑ ，∴ 4211.99 1.6821.86ay b x =-⋅=-⨯= ，所以回归方程为11.9921.86y x =+，【小问2详解】当60y =时，由（1）得11.9921.8660x +=.解得 3.18x ≈，当70y =时，由（1）得11.9921.8670x +=.解得 4.02x ≈，所以生产的乳制品蛋白质含量的取值范围为[]3.18,4.02.19.函数()()2exf x xax a =--.（1）若1x =是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断1x =是极大值点还是极小值点；（2）求函数()f x 的单调区间.【正确答案】（1）1a =，极小值点；（2）当2a =-时，函数()f x 在R 上单调递增；当2a <-时，函数()f x 在(),a -∞，()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减；当2a >-时，函数()f x 在(),2-∞-，(),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减.【分析】（1）利用()10f '=，求得1a =，再根据()f x '在1x =两侧的正负，可确定1x =是极大值点还是极小值点；（2）由题意可得()()()e2xf x x x a '=+-，分2a =-、2a <-和2a >-三种情况讨论()f x '的正负，从而即可确定函数单调区间.【小问1详解】解：因为()()()()2e2e 2xx f x xax a x a x x a '=--+-=+-，∵1x =是函数()f x 的极值点，∴()()()1e 1210a f =+-='，解得1a =，当()2,1x ∈-时，()0f x '<，∴()f x 在()2,1-上递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，∴()f x 在()1,+∞上递增，∴1x =是函数()f x 的极小值点；【小问2详解】解：∵()()()e2xf x x x a '=+-，①当2a =-时，()()2e 20xf x x =+≥'在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，②当2a <-时，令()0f x '≥，解得x a <或2x >-，所以函数()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),2a -上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，③当2a >-时，令()0f x '≥，解得<2x -或x a >，所以函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，综上，当2a =-时，函数()f x 在R 上单调递增，当2a <-时，函数()f x 在(),a -∞，()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减，当2a >-时，函数()f x 在(),2-∞-，(),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减.20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAB 为边长为2的正三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E 为线段AD 的中点，PE 与平面ABCD 所成角为45°.（1）求证：平面PCE ⊥平面PBC ；（2）求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）66【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，分别求出平面PCE 与平面PBC 的法向量，利用空间向量证明垂直的方式即可证明；（2）结合（1）的结论，利用空间向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】取AB 中点O ，连接PO 、OE ，由题知PO ⊥平面ABCD∴45PEO ∠=︒，∴PO OE ==又AE AO ⊥，∴AE =，AD =，如图建立空间坐标系，()1,0,0B -，(P，()1,C -，()0E，(1PC =-，(20)CE =-，，设平面PCE 法向量为()111,,x n y z =则11111200x n CE n PC x ⎧⎧-=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+=⎪⎪⎩⎩ ，令11x =，1y =1z =所以(n =，(1PC =-，(00)BC = ，设平面PBC 的法向量为222(,,)m x y z =，则222200m BC m PC x ⎧⎧=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+=⎪⎪⎩⎩，令2x =，21z =-，20y =，可得)1m =-，又00n m ⋅==所以平面PCE ⊥平面PBC ，【小问2详解】由（1）知，(1,0,PA = ，平面PCE 的法向量(n =，所以6cos ,6PA n ==-，所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为6.21.已知过点()0,2的直线与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线与抛物线交于点N .（1）若抛物线在N 点处的切线的斜率等于2，求直线AB 的方程；（2）设()0,11D ，求DAB 与NAB △面积之差的最大值.【正确答案】（1）22y x =+（2）【分析】（1）设直线方程，联立抛物线，韦达定理求出中点横坐标，即可求出N 点坐标，利用导数几何意义即可求出直线斜率，即可求解；（2）利用弦长公式求出弦长AB ，利用距离公式及面积公式列出面积差的关系式，换元，构造函数，利用导数研究最值即可.【小问1详解】设直线AB 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，消y 得2480x kx --=，所以124x x k +=，128x x =-，所以1222M x x x k +==，所以2N x k =，代入抛物线24x y =得()22,N k k ，又函数214y x =的导函数为12y x =，所以抛物线在N 点处的切线的斜率为22kk =，所以2k =所以直线AB 方程为22y x =+；【小问2详解】由（1）问可得12AB x =-=又点()22,N k k到直线AB 的，点()0,11D 到直线AB，所以()22DAB NAB S S S k =-=+△△，令t =≥，所以3182S t t =-，即函数()3182f t t t =-，t ≥则()()2218663f t t t'=-=-，令()0f t '=得t =令()0f t '>t <<()0f t '<得t >，所以函数()f t在区间上单调递增，在)+∞上单调递减，所以t =，函数()3182f t t t =-取到最大为f==即1k =±时，DAB 与NAB △面积之差取得最大值.22.已知函数()()21ln x x xf x =+-.（1）求函数()f x 的最小值；（2）证明不等式()1*12ln 21n nn k n +=>∈+N .【正确答案】（1）2（2）证明见解析【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）结合（1）的结论，得到当1x >ln x >成立，用数学归纳法证明112ln 21n nnk +=>+.【小问1详解】对函数求导可得()211l 1n ln 122f x x x x x x x x ⎛⎫'=--=-- ⎪⎝⎭，令函数()12ln g x x x x =--，则()()2221122110x x x g x x x x x--+'=+-==≥，所以函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()10g =，当()0,1x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()()min 12f x f ==，【小问2详解】由（1）问知()2ln 12x x x +-≥，即()22ln x ->，所以当1x >ln x >成立，现用数学归纳法证明：12ln 21n nnk +=>+当1n=时，4ln32<-=假设当n k =12ln 21k k+⋅⋅⋅+>+成立，则当1n k =+时，12ln 21k k ++⋅⋅⋅+>+212ln 21k k +++⋅⋅⋅>+，12122ln ln 2121k k k k +++⇐+>++，21122ln ln 2121k k k k +++⇐-<++，1122ln 21k k +++⇐<+，令112221k k x +++=+，则1221k x x +-=-n l x ⇐<=lnx <-⇐<⇐<，>，1x ⇐>∵112261,215k k x +++⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，∴1x >，成立，212ln 21k k ++⋅⋅⋅+>+成立，综上，对*n ∀∈N ，均有不等式12ln 21n nnk +=>+成立.1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n n =的n 不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明1n k =+时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.。

2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【正确答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知.()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【正确答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【正确答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【正确答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【正确答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2BCD ．2【正确答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，MN ∴.故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．02a <<B ．2222a -<<C ．22a <-22a >D ．22a >【正确答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得a >故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B．C ．[0,2]D ．[1,2]【正确答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO=，maxPO = [0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【正确答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【正确答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【正确答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【正确答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C ②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为【正确答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C的距离为11|AP n |d |n |⋅=，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则3232cos n n |n ||n |θ⋅=⋅ θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=( ，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(-，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA的距离为144A P n d n ⋅== 由12λμν++=得3d易知12BDA S =(=△则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE，00B D =在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，0B E =，同理可得，0EG GH HF D F ===∴六边形00B D FHGE则其面积26S ==12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为故②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+- ．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【正确答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c+ (a b )c μ∴+= ，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【正确答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ==D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【正确答案】77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA ==11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，1A D =(-，1,BC =(--，11cos |A D BC ||A D ||BC |θ⋅∴==⋅uuu r uu u r uuu r uu u r （2）由题可知1,0,0)A (，1C (-，112,0,0)A C =(-，AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则1111111020m A D x m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则2222020n AD x n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【正确答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)r =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：r则当0r <<()0S r '<，()S r单调递减；当r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当r ()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l ．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)6655【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又 平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，)2,0,0A ,()2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E ，(2P ，232B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,2)PB = ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0022CB n PB n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，cos ,OG n OG n OG n⋅= 由题知π(0,2θ∈，二面角B l A --（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由PO =，又OF =PF ∴sin PO PFO PF ∠=l ∴与平面ABCE22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【正确答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=+++++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。

四川高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

四川高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

一、单选题 1．若，则的虚部为（ ） 43i z =-zzA ．B ．－1C ．D ．i -35i 35【答案】D【分析】直接运用复数运算法则即可.【详解】因，所以，所以虚部为. 43i z =-43i 55z z ==+35故选：D.2．设是平面的一个法向量，是直线l 的一个方向向量，则直线l 与平面()2,0,1u =-α()1,0,2a = α的位置关系是（ ） A ．平行或直线在平面内 B ．不能确定C ．相交但不垂直D ．垂直【答案】A【分析】判断两个向量的位置关系即可得解.【详解】因为，所以， 2020u a ⋅=+-=u a ⊥ 所以直线l 与平面的位置关系是平行或直线在平面内. α故选：A.3．与命题“若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ”等价的命题是（ ）A ．若a ，b ，c 不成等差数列，则B ．若2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 成等差数列 2a c b +≠C ．若，则a ，b ，c 不成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则 2a c b +≠2a c b +≠【答案】C【分析】求出命题的逆否命题即可. 【详解】因为原命题与其逆否命题等价，命题“若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ”的逆否命题为“若，则a ，b ，c 不成等差数2a c b +≠列”. 故选:C.4．在中，“”是“”的（ ） ABC A A B >cos cos A B <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合余弦函数的单调性即可判断. 【详解】因为是三角形的内角，且， ,A B A B >所以，0πB A <<<因为在上单调递减，所以，故充分性成立； cos y x =()0,πcos cos A B <反之，在上单调递减，， cos y x =()0,π0πA <<0πB <<若，则，故必要性成立，cos cos A B <A B >所以在中，“”是“”的充要条件， ABC A A B >cos cos A B <故选：C.5．函数，的单调增区间是（ ）sin cos y x x x =+(),x ππ∈-A ．和B ．和,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．和D ．和,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先求出函数的导数，然后令导数大于零，利用导数求函数的单调增区间即可. 【详解】∵， sin cos y x x x =+∴， sin cos sin cos y x x x x x x '=+-=令且，0'>y (),x ππ∈-当时，，解得，(],0x π∈-cos 0x <2x ππ-<<-当时，，解得或，()0,x π∈cos 0x >02x π<<所以函数的单调增区间是和.,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A .【点睛】本题考查利用导数研究三角函数的单调性，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．设是可导函数，且，则（ ）()f x 0(1)(1)lim 22x f x f x∆→+∆-=∆()1f '=A ．4 B ．－1 C ．1 D ．－4【答案】A【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】,()Δ0Δ0(1Δ)(1)1(1Δ)(1)1limlim 122Δ2Δ2x x f x f f x f f x x →→+-+'-===所以. ()14f '=故选：A.7．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ） ()2,1,2a =- ()2,2,1b = ,a bA B C ．4 D ．8【答案】A【分析】首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正弦值，利用面积公式计算.【详解】解析：设向量的夹角为θ，,a b 3=3=于是＝．由此可得 cos θ=42233-+⨯49sin θ=所以以为邻边的平行四边形的面积为.,a b 12332S =⨯⨯⨯=故选：A8．函数的图象可能为（ ） ()πln cos(2)2f x x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶行排除选项，再利用特殊值即可求解. B,D 【详解】因为函数， ()πln cos(2)ln sin 22f x x x x x =+=-定义域为，且， (,0)(0,)-∞+∞ ()ln sin(2)ln sin 2()f x x x x x f x -=---==-所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项；()f x B,D 当时，，，所以，故排除选项. (0,1)x ∈ln 0x <sin 20x >()ln sin 20f x x x =->C 故选：.A9．已知梯形CEPD 如下图所示，其中，，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正8PD =6CE =方形，现沿AB 进行折叠，使得平面平面ABCD ，得到如图所示的几何体．已知当点F 满PABE ⊥足时，平面平面PCE ，则的值为（ ）()01AF AB λλ=<<DEF ⊥λA ．B ．C ．D ．12234535【答案】D【分析】构建以A 为原点，射线AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点的坐标，进而求面、面的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数. DEF PCE λ【详解】由题意，可构建以A 为原点，射线AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，∴，则，(4,4,0),(0,4,0),(4,0,2),(0,0,4),(4,0,0)C D E P F λ(4,0,2),(4,4,4)PE PC =-=-，(4(1),0,2),(4,4,2)EF DE λ=--=-若是面一个法向量，则，可得， (,,)m x y z = DEF 4(1)204420x z x y z λ--=⎧⎨-+=⎩1(,,2)11m λλλ=-- 若是面一个法向量，则，可得，(,,)n a b c = PCE 4204440a c abc -=⎧⎨+-=⎩(1,1,2)n =∴由面面PCE ，有，解得.DEF ⊥14011λλλ++=--35λ=故选：D10．若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（ ）()32231,0e ,0ax x x xf x x ⎧++≤=⎨>⎩[]22-,a A ．B ．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．(],0-∞1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】先利用导数求出函数在区间上的最大值为，再对的符号分类讨()y f x =[]2,0-()12f -=a 论函数在上的单调性，得出可解出实数的取值范围．()y f x =(]0,2()22f ≤a 【详解】当时，，则．20x -≤≤()32231f x x x =++()()26661f x x x x x '=+=+当时，；当时，．21x -≤<-()0f x ¢>10x -<<()0f x '<所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即．()y f x ==1x -()()max 12f x f =-=当时，函数在上单调递增，由题意可知，，0a >()axf x e =(]0,2()222a f e =≤得，解得，此时，； 2ln 2a ≤1ln 22a ≤10ln 22a <≤当时，且当时，合乎题意；0a =02x <≤()12f x =≤当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意．a<0()axf x e =(]0,2()()2012f f <=<综上所述，实数的取值范围是，a 1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：D11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马：将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知三棱锥为鳖臑，且内接于球O ，球O 的半径，-P ABC 1R =三棱锥的底面为等腰直角三角形，平面，则三棱锥的体积V 的最-P ABC ABC PA ⊥ABC -P ABC 大值为（ ）A ．B C D 14【答案】B【分析】将三棱锥补成为长方体，根据其结构特征结合外接球半径可设长方体的底面边长-P ABC 为，高为h ，即得三棱锥的体积，利用导数法即可求得其最大值. x -P ABC 216V x h =【详解】如图，由题意可将三棱锥补成为长方体，且底面为正方形，即 , -P ABC AB BC =三棱锥的外接球即为长方体的外接球O ，由球O 的半径， -P ABC 1R =可得长方体体对角线,2PC =设长方体的底面边长为，高为h ，则，x 222224,42,x h h x x +=∴=-∈故三棱锥的体积，-P ABC 22111326V x h x h =⨯⨯⨯=则， 2462442)11((2361)8V x x x x -=-=令， 464211()((236142)),8f x x x x x x -∈=-=则， 323)4()(194f x x x '-=令 351,3490x x x -=∴=当，在上单调递增，0x <<()0f x '>()f x，在上单调递减， x <<()0f x '<()f x故的最大值为， ()f x 4616]2431[218f -=⨯=即得V =故选：B【点睛】方法点睛：（1）根据三棱锥的几何特征，可采用割补法，即将三棱锥补为长方体；（2）求解体积的最大值，根据表达式的特征，可采用导数法求最值.12．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式R ()f x ()f x '()()2f x f x '+>()02024f =（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） 2022()2e xf x >+A ．B ．C ．D ．()2020,+∞()0,∞+()2022,+∞()(),02020,-∞⋃+∞【答案】B【分析】根据的结构特征构造函数，并判断其单调性，结合()()2f x f x '+>()e ()2e x x g x f x =-可得的解集，即可求得答案.()02022g =()2022g x >【详解】设，则,()e ()2e x x g x f x =-()()()()()e e 2e e 2x x x xg x f x f x f x f x ⎡⎤=+-='+-'⎣'⎦∵，∴,()()2f x f x '+>()()20f x f x '+->而,故,e 0x >[]()e ()()20xg x f x f x ''=+->∴在R 上单调递增，()g x 又，故， ()02024f =()()0022022g f =-=∴的解集为， ()2022g x >(0,)+∞即不等式的解集为， 2022()2ex f x >+(0,)+∞故选：B【点睛】方法点睛：像此类给出一个关于导数的不等式的问题，要能根据所给不等式的结构特征，构造恰当的函数，从而利用其单调性求得答案.二、填空题13．______．()22041d x x x ++=⎰【答案】/ 3832123【分析】由牛顿-莱布尼茨公式直接运算可得.【详解】.()223223300113841d 2|222333x x x x x x C C C ⎛⎫++=+++=⨯+++-= ⎪⎝⎭⎰故答案为：38314．已知是函数的导函数，若，则______． ()f x '()f x 2()2(2)f x x x f '=-⋅()2f =【答案】43-【分析】对函数求导，令，求出，代入，即可求出答案. ()f x 2x =4(2)3f '=()f x【详解】因为，所以， 2()2(2)f x x x f '=-⋅()22(2)f x x f =-'⋅'令，则，解得：. 2x =(2)42(2)f f =-'⋅'4(2)3f '=所以，所以.28()3f x x x =-164(2)433f =-=-故答案为：.43-15．的导函数______． 2()sin (23)f x x =+()f x '=【答案】()2sin 46x +【分析】根据复合函数的求导法则以及三角函数二倍角公式，即可求得答案. 【详解】由题意得， ()()()()2sin 23cos 2322sin 46f x x x x =+⨯+⨯=+'故答案为：()2sin 46x +16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，P ABCD -ABCD 1AB =2BC =60ABC ∠= 平面，于．给出下列四个结论：①；②平面；③PA ⊥ABCD AE PC ⊥E AB AC ⊥AB ⊥PAC 平面；④，其中正确的选项是______．PC ⊥ABE PC BE ⊥【答案】①②③④【分析】在中，由余弦定理可求出，再由平面，可证出平面ABC A 90BAC ∠= PA ⊥ABCD AB ⊥，再由于，线面垂直的判定定理，可证明平面，根据线面垂直的判定，PAC AE PC ⊥E PC ⊥ABE 可证出，因此可知正确命题的个数.PC BE ⊥【详解】对于①：已知，，，由余弦定理可知1AB =2BC =60ABC ∠= ，所以，由勾股定理逆定理得，2222cos603︒=+-⋅=AC AB BC AB BC 222=AC AB BC +AB AC ⊥①正确.对于②：平面，平面 PA ⊥ ABCD AB ⊂ABCD ，AB PA ∴⊥又因，，平面，平面 AB AC ⊥PA AC A = PA ⊂PAC AC ⊂PAC 所平面AB ⊥PAC所以②正确.对于③：因平面，平面 AB ⊥PAC PC ⊂PAC 得,AB PC ⊥又,，平面,平面, AE PC ⊥AB AE A = AB ⊂ABE AE ⊂ABE 所以平面，③正确.PC ⊥ABE 对于④：由平面，平面，得，④正确. PC ⊥ABE BE ⊂ABE PC BE ⊥故答案为：①②③④.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足，命题q ：实数x 满足．22320x mx m -+<2(2)1x +<(1)若，且为真，求实数x 的取值范围；2m =-p q ∨(2)若，且p 是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 0m <q ⌝【答案】(1)()4,1--(2)(]1,3,02⎡⎫-∞-⋃-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分别求出两个命题为真时的范围，再根据为真，x p q ∨可得为真或为真，即可得解；p q （2）由p 是的充分不必要条件，得对应的集合是对应集合的子集，进而可得答案. q ⌝p q ⌝【详解】（1）当时，p ：，即， 2m =-2680x x ++<42x -<<-由，得，2(2)1x +<31x -<<-若为真，即， p q ∨{}{}{}423141x x x x x x -<<-⋃-<<-=-<<-所以实数x 的取值范围；()4,1--（2）若，p ：，即； 0m <22320x mx m -+<2m x m <<q ：，：或，31x -<<-q ⌝3x ≤-1x ≥-且p 是的充分不必要条件，则或，q ⌝03m m <⎧⎨≤-⎩021m m <⎧⎨≥-⎩即或， 3m ≤-102m -≤<故实数m 的取值范围为．(]1,3,02⎡⎫-∞-⋃-⎪⎢⎣⎭18．已知函数．32()2f x x x x =-++(1)求曲线在点处的切线方程； ()f x ()()0,0f (2)求经过点的曲线的切线方程． ()1,3A ()f x 【答案】(1) 20x y -+=(2)或 2y x =+21y x =+【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）切点为，可得，根据导数的几何意义求出在点处的切线方程，(),m n 322n m m m =-++(),m n 再根据切线过点求出切点，即可得解.()1,3A 【详解】（1）函数的导数为，32()2f x x x x =-++2()321f x x x -'=+可得曲线在点处的切线斜率为1，切点为， ()f x ()()0,0f ()0,2所以曲线在点处的切线方程为，即； ()f x ()()0,0f 2y x -=20x y -+=（2）设切点为，可得，(),m n 322n m m m =-++由的导数，可得切线的斜率为，()f x 2()321f x x x -'=+2321m m -+切线的方程为，()()3222321()y m m m m m x m --++=-+-由切线经过点，可得，()1,3()()32232321(1)m m m m m m --++=-+-化为，解得或1，2(1)0m m -=0m =，()()02,13f f ==则切线的方程为或， 2y x -=()321y x -=-即或．2y x =+21y x =+19．在四棱锥中，底面，，，，P ABCD -PD ⊥ABCD //CD AB 1===AD DC CB 2AB =DP =．(1)证明：；BD PA ⊥(2)求与平面所成的角的余弦值．PD PAB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；BD ⊥PAD （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，PAB 结合同角的三角函数关系即可求得答案.【详解】（1）∵，，，则四边形为等腰梯形，//CD AB 1===AD DC CB 2AB =ABCD 作出梯形的高，则, ABCD DE 21122AE -==则梯形的高为∴DE =BD ==则,可得，222AB AD BD =+DA BD ⊥又∵底面，底面，∴，PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥平面，∴平面，,,AD PD DAD PD =⊂ PAD BD ⊥PAD 而平面，∴．PA ⊂PAD BD PA ⊥（2）以D 为原点，为x 轴正向，为y 轴正向，为z 轴正向，建立空间直角坐标系，DADBDP则，，， ()1,0,0A ()B (P 则,(1,0,PA PB == 设平面的一个法向量为，PAB (,,)n x y z = 则，令， 0n PA x n PB⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ x 1,1y z ==∴平面的一个法向量为，， PAB )n = (DP =故cos ,||||n DP n DP n DP ⋅〈〉===⋅ 设与平面所成的角为， PD PAB π,[0,2θθ∈则，cos sin θθ∴==即与平面． PD PAB 20．已知函数.()(2)x f x e a x =-+（1）当时，讨论的单调性；1a =()f x （2）若有两个零点，求的取值范围.()f x a 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. ()f x (,0)-∞(0,)+∞1(,)e+∞【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单1a =调增区间和减区间；（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令()f x (2)0xe a x -+=2x e a x =+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. ()(2)2xe h x x x =≠-+【详解】（1）当时，，，1a =()(2)x f x e x =-+'()1x f x e =-令，解得，令，解得，'()0f x <0x <'()0f x >0x >所以的减区间为，增区间为；()f x (,0)-∞(0,)+∞（2）若有两个零点，即有两个解，()f x (2)0x e a x -+=从方程可知，不成立，即有两个解， 2x =-2xe a x =+令，则有， ()(2)2x e h x x x =≠-+'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++令，解得，令，解得或，'()0h x >1x >-'()0h x <<2x -2<<1x --所以函数在和上单调递减，在上单调递增，()h x (,2)-∞-(2,1)--(1,)-+∞且当时，，<2x -()0h x <而时，，当时，，2x +→-()h x →+∞x →+∞()h x →+∞所以当有两个解时，有， 2x e a x =+1(1)a h e >-=所以满足条件的的取值范围是：.a 1(,)e+∞【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结x y e =(2)y a x =+(2,0)-x y e =果.21．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正切值.M ABC -【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；DM ⊥BMC （2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即M A AB 可求出结果.【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.CMD ⊥ABCD CD 因为，平面，BC CD ⊥BC ⊂ABCD 所以平面，平面，BC ⊥CMD DM ⊂CMD 故,因为是上异于，的点，且为直径， BC DM ⊥M A CDC D DC 所以，又，平面，DM CM ⊥BC CM C =I ,BC CM ⊂BMC 所以平面，而平面，DM ⊥BMC DM ⊂AMD 故平面平面；AMD ⊥BMC （2）以D 为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间DA x DC y 直角坐标系.D xyz -当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.CD 由题设得，()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设是平面MAB 的法向量，则(),,n x y z = 即，可取， 00n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020x y z y -++=⎧⎨=⎩()1,0,2n = 又是平面的一个法向量，因此 DAMCD， cos ,n DA n DA n DA ⋅=== []0π,,n DA ∈ 得， sin ,n DA = tan ,2n DA = 所以面与面所成二面角的正切值是.MAB MCD 222．已知函数． ln(1)()x f x x+=(1)判断在的单调性；()f x ()0,∞+(2)若，证明：． 0x >()2e 1ln(1)x x x -+>【答案】(1)在为减函数；()f x ()0,∞+(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再判断该导数在上的正负作答. ()f x ()0,∞+（2）等价变形要证的不等式，再利用（1）的结论，证明即可推理作答.e 1x x <-【详解】（1）函数，，求导得， ln(1)()xf x x +=,()0x ∈+∞2ln(1)1()x x x f x x -++'=设，，则， ()ln(1)1x g x x x=-++,()0x ∈+∞2211()0(1)1(1)x x x g x x x x +--'=-=<+++于是在为减函数，，则， ()g x ()0,∞+()()00g x g <=()0f x '<所以在为减函数.()f x ()0,∞+（2）当时，，而， 0x >2ln(1)(e 1)ln(1)e 1x x x x x x x +-+>>-⇔ln e ln[(e 1)1]e 1e 1e 1x x x x x x -+==---因此原不等式等价于， ln(1)ln[(e 1)1]e 1x x x x +-+>-由（1）知，是上的减函数， ln(1)()x f x x+=()0,∞+于是要证原不等式成立，只需要证明当时，，0x >e 1x x <-令，求导得，因此函数是上的增函数， ()e 1x h x x =--()e 10x h x '=->()h x ()0,∞+则，即，从而，()()00h x h >=e 1x x <-()(e 1)x f x f >-即，所以． ln(1)ln[(e 1)1]e 1e 1x x x x x x +-+>=--2e 1)ln((1)x x x -+>。

高二数学理期中测试参考答案2012

高二数学理期中测试参考答案2012

高二数学理期中测试参考答案二、填空题11、226->226- 12、5213、4 14、(21)2n n x x -+ 15、①④三、解答题16、解：（1）321()33f x x ax x =-+2'()23f x x ax ∴=-+∵x =3是函数321()33f x x ax x =-+的一个极值点2'(3)230f x ax ∴=-+=解得2a = 经检验，2a =符合题意。

故a 的值为2(2)由（1）知，321()233f x x x x =-+，2'()43(1)(3)f x x x x x =-+=--∴当13x x ∴<>或时，'()0f x >；当13x <<时，'()0f x <()f x ∴的单调递增区间为(,1)(3,)-∞+∞和，单调递减区间为(1,3)当1x =时，()f x 取极大值43；当3x =时，()f x 取极小值0. 17、【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A BC C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知: sin sin c C a A==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14，所以ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯18.（1）234212,,325a a a ===猜想：21n a n =+（2）证明：略19、证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD.所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-= 设PB 与AC 所成角为θ，则4632226cos =⨯=.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-= 设P （0，－3，t ）（t>0）， 则),3,1(t BP --=设平面PBC 的法向量),,(z y x m =, 则0,0=⋅=⋅m m所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x令,3=y 则.6,3t z x ==所以)6,3,3(t m = 同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(t n -= 因为平面PCB ⊥平面PDC,所以n m ⋅=0，即03662=+-t解得6=t所以PA=620.解：（1）2y x = 2y x ∴=∴在点A 处切线l 的方程为22()y a a x a -=-即220ax y a --=（2）()S a =122322122001111(2)()|()33212x ax a dx x ax a x a a a ⎰-+=-+=-+=-+ 01,a <<∴ 当12a =时，()S a 有最小值11221、（1）根据题意有2222604(602)2408S x x x x =---=-28(15)1800x =--+（0<x<30）, 所以x=15cm 时包装盒侧面积S 最大. （2）根据题意有22)2)(30)(030)2V x x x =-=-<<，所以，'(20),V x =-当020,x <<时，0,2030V V x V ''><<递增;当时，V <0,递减， 所以，当x=20时，V 取极大值也是最大值.此时，包装盒的高与底面边长的比值为x 12=60－2）. 即x=20包装盒容积V （cm 3）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为12。

2023_2024学年四川省成都高二下册期中考试数学(理)试题(附答案)

2023_2024学年四川省成都高二下册期中考试数学(理)试题(附答案)

2023_2024学年四川省成都高二下册期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，则（ ）i 1ii z -=z =A ．1B C D ．2【正确答案】B【分析】由复数的四则运算可得，再由复数模的计算公式求解即可.1i z =--【详解】解：因为，21i (1i)i(i i )1i i i i z --⋅===--=--⋅.=故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．16【正确答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以，解得，8789909193888990919055x+++++++++=2x =故乙的平均成绩，8889909192905++++=则乙成绩的方差.222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==故选：A.3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20x y -=C 为（ ）A ．2B C D 【正确答案】D【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率.ba 【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，20,2x y y x -==所以.2,b c e a a =====故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（ ）αA ．若，，则B ．若，，则m α n α∥m n ∥m α⊥n α⊥m n ∥C ．若，，则D ．若，，则m α⊥m n ⊥n α∥m α m n ⊥n α⊥【正确答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若，，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；m α n α∥对于B ，若，，由线面垂直的性质定理得，故B 正确；m α⊥n α⊥m n ∥对于C ，若，，则或，故C 错误；m α⊥m n ⊥n α∥n ⊂α对于D ，若，，则n 与相交、平行或，故D 错误．m α m n ⊥αn ⊂α故选：B ．5．“”是“直线与直线平行”的（ ）4m =()34420m x y -+-=220mx y +-=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C 【分析】由直线与直线平行可求得的值，集合充分条()34420m x y -+-=220mx y +-=m 件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线与直线平行，()34420m x y -+-=220mx y +-=则，解得.()()23442342m m m m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩4m =因此，“”是“直线与直线平行”的充要条件.4m =()34420m x y -+-=220mx y +-=故选：C.6．执行该程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（ ）a b 3528=aA ．B ．C ．D ．171428【正确答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，，，成立，成立，则；35a =28b =a b ¹a b >35287a =-=第二次循环，，，成立，不成立，则；7a =28b =a b ¹a b >28721b =-=第三次循环，，，成立，不成立，则；7a =21b =a b ¹a b >21714b =-=第四次循环，，，成立，不成立，则.7a =14b =a b ¹a b >1477b =-=，则不成立，跳出循环体，输出的值为.7a b ==a b ¹a 7故选：B.7．函数的图像大致是（ ）()()22e xf x x x =-A ．B ．C ．D ．【正确答案】B 【分析】由函数有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数的单调性与极值()f x ()f x 情况即可判断作答．【详解】由得，或，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C ()0f x =0x =2x =由求导得，()()22e xf x x x =-()()22e xx x f '=-当或，x <x()0f x ¢>当时，，x <()0f x'<于是得在和上都单调递增，在上单调递减，()fx (,-∞)+∞(所以在处取极大值，在D 不满足，B 满足．()f x x =x =故选：B8．已知曲线(为参数).相交于不同的两点，1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩θy+=C ,A B则的值为ABA ．BC ．1D 12【正确答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：，再求出圆心到直线的距22(1)1x y -+=(1,0)离，则弦长d AB =详解：根据 ，求出曲线C 的普通方程为，22cos sin 1θθ+=22(1)1x y-+=圆心到直线的距离，所以弦长，选C.(1,0)d AB ==点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算 ，属于中档题．9．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为C ()222210x y a b a b +=>>F l 20x y --=C A B P 的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）AB OP 12-C A ．B ．22184x y +=22195x y +=C ．D ．22173x y +=221106x y +=【正确答案】A【分析】由与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出的关l 22,a b 系即可计算作答.【详解】依题意，焦点，即椭圆C 的半焦距，设，，(2,0)F 2c =1122(,),(,)A x y B x y 00(,)P x y 则有，两式相减得：，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=而，且，即有，1201202,2x x x y y y +=+=0012y x =-2212122()()0b x x a y y --+-=又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符l 12121y y x x -=-222a b =2224a b c -==228,4a b ==合题意，所以椭圆的方程为.C 22184x y +=故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，22DF AF ==若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．B C．D 413926【正确答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得ABD ∆3AD =1BD =120ADB ∠=︒，AB ==所以DF AB所以所求概率为.24=13DEF ABC S S ∆∆=故选A.本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2PA AB ==，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（ ）4=AD EPC PCD BE A ．BCD35【正确答案】D【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标A AB AD AP x y z 系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面与直线所成角的余弦值.PCD BE 【详解】因为平面，四边形为矩形，PA ⊥ABCD ABCD 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角A AB AD AP x y z 坐标系，则、、、、，()2,0,0B ()2,4,0C ()0,4,0D ()002P ,,()1,2,1E 设平面的法向量为，，，PCD (),,n x y z =()2,0,0DC =u u u r()0,4,2DP =-u u u r则，取，可得，，20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()0,1,2n = ()1,2,1BE =- 所以，cos ,BE n BE n BE n⋅===⋅所以，，sin ,BE n === 因此，面与直线PCD BE 故选：D.12．已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是()ln 1f x x ax=+-1x 2x 12x x <（ ）①；②；③；④；01a <<122x x a +<121x x ⋅>2111x x a ->-A ．个B ．个C ．个D ．个1234【正确答案】C 【分析】由可得，设，其中，则直线与函数()0f x =1ln x a x +=()ln 1x g x x +=0x >y a =的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构()g x ()g x 造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭10x a <<()h x 析出、，利用不等式的基本性质可判断④.1211e x x <<<1210x x a <<<【详解】由可得，令，其中，()0f x =ln 1x a x +=()ln 1x g x x +=0x >则直线与函数的图象有两个交点，，y a =()g x ()2ln xg x x '=-由可得，即函数的单调递增区间为，()0g x '>01x <<()g x ()0,1由可得，即函数的单调递减区间为，()0g x '<1x >()g x ()1,+∞且当时，，当时，，如下图所示：10e x <<()ln 10x g x x +=<1e x >()ln 10x g x x +=>由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对；01a <<y a =()g x 对于②，由图可知，，1211e x x <<<因为，由可得，由可得，()11ax f x a x x -'=-=()0f x ¢>10x a <<()0f x '<1x a >所以，函数的增区间为，减区间为，则必有，()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1210x x a <<<所以，，则，110x a <<121x a a ->令，其中，()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10x a <<则，则函数在上单调递减，()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭()h x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，即，即，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭又，可得，()20f x =()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭因为函数的单调递减区间为，则，即，②错；()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭212x x a >-122x x a +>对于③，由，两式相加整理可得，1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩()1212ln 22x x x x a a ++=>所以，，可得，③对；()12ln 0x x >121x x >对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对.1211e x x <<<11x ->-21x a >2111x x a ->-故选；C.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：122x x a +<122x x a +>①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调()()()2g x f x f a x =--()y f x =()y g x =性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得12x a x <<()()12f x f x =()1g x ()g a 与零进行大小比较；()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；()y f x =(),a +∞2x 12a x -（2）证明（或）（、都为正数）：212x x a <212x x a >1x 2x ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()y f x =()y g x =②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得12x a x <<()()12f x f x =()1g x ()g a 与零进行大小比较；()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；()y f x =(),a +∞2x 21a x （3证明极值点偏移：121212ln ln 2x x x xx x -+<<-①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；1212ln ln x x x x --③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数，则______．()sin cos f x x x=+π4f ⎛⎫'=⎪⎝⎭【正确答案】0【分析】求出，代值计算可得出的值.()f x 'π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭【详解】因为，则，故.()sin cos f x x x =+()cos sin f x x x '=-πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭故答案为.014．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：ˆ12.60.6yx =+x23 3.5 4.57y26384360a则表中的值为___________.a 【正确答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为，23 3.5 4.5745++++=则y 的平均值，解得，2638436012.640.65a++++=⨯+88a =故88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有成立，则a 的取值范围是 __.()()()211212x f x x f x a x x -<-【正确答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于，构造，由函数单调性的定义()()1212f x af x a x x ++＜()()f x a h x x+=可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于,令，则不等式等价于h （x 1）()()1212f x af x a x x ++＜()()f x a h x x+=＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则，所以h '（x ）在()e 3x ax a h x x +-+=2e e 30x x x a x -+-=≥[1，+∞）上恒成立，即x e x ﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故（﹣∞，3].16．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，F 28y x =()2,0M -N NFNM 点恰好在以、为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．N M F【正确答案】2+【分析】作出图形，分析可知与抛物线相切时，取最小值，设直线的方MN 28y x =NFNM MN 程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出的值，进而可求出点的坐2x my =-m N 标，利用双曲线的定义求出的值，结合的值可得出，即为所求.a c 22221b c a a =-【详解】抛物线的焦点为，其准线为，如下图所示：28y x =()2,0F :2l x =-过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，N NE l ⊥E NF NE=易知轴，则，//EN x NMF MNE ∠=∠所以，，cos cos NF NEMNE NMF MN MN==∠=∠当取最小值时，取最大值，此时，与抛物线相切，NF NMNMF ∠MN 28y x =设直线的方程为，联立可得，MN 2x my =-228x my y x =-⎧⎨=⎩28160y my -+=则，解得，264640m ∆=-=1m =±由对称性，取，代入可得，解得，代入直线的1m =28160y my -+=28160y y -+=4y =MN 方程可得，即点，2x y =-2x =()2,4N 则224NF =+==设双曲线的标准方程为，()222210,0x y a b a b -=>>由双曲线的定义可得，所以，，24a MN NF =-=-)21a =又因为，则，2c =1c a ==所以，.)222221112b c a a =-=-=+故答案为.2+三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）.以原点O 为极点，x122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.2sin 4cos 0ρθθ-=(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设，求的值.()2,0M MA MB【正确答案】，0y --=24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴消去t 可得直线l 的普通方程为.0y --=∵曲线C 的极坐标方程为，即，2sin 4cos 0ρθθ-=22sin 4cos 0ρθ-ρθ=又∵，，cos x ρθ=sin y ρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为.24y x =（2）将（t 为参数）代入，122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24y x =得，显然，即方程有两个不相等的实根，238320t t --=0∆>设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是，，1t 2t 则，，1283t t +=12323t t =-∴.12323MA MB t t ==18．已知函数，若曲线在处的切线方程()32f x x x ax b=-++()y f x =()()0,0f 为．1y x =-+(1)求，的值；a b (2)求函数在上的最小值．()y f x =[]22-,【正确答案】(1)；1a =-1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.[]22-,【详解】（1）由已知可得．()01f b ==又，()232f x x x a'=-+所以．()01f a '==-（2）由（1）可知，，()321f x x x x =--+()2321f x x x '=--令，解得或，()0f x ¢>13x <-1x >所以在和上单调递增，在上单调递减．()f x 12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭[]1,21,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭又，，()29f -=-()10f =所以函数在上的最小值为．()y f x =[]22-,9-19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【正确答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的[)80,9015531015⨯=+[]90,100人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：分．()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10[)80,90[]90,100人，所以在分组中抽取的人数为人，记为a ，b ，c ，[)80,9015531015⨯=+在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，[]90,100所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=其中两人得分都在的情况只有，共有1种，[]90,100(){}12所以两人得分都在的概率为．[]90,100110P =20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，，平面ABCD ，且．PD//QA PD ⊥22PD QA ==(1)求证：平面QAB ；BC ⊥(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平面ABCD ，，可得平面ABCD ，进而得到，PD ⊥PD//QA QA ⊥QA BC ⊥结合，进而得证；BC AB ⊥（2）以为轴，为轴，为轴，为原点建立空间直角坐标系，找出平面DA x DC y DP z D 与平面的法向量，根据两面的法向量即可求解．PBQ PCD 【详解】（1）证明：∵平面ABCD ，，PD ⊥PD//QA ∴平面ABCD ．QA ⊥∵平面ABCD ，BC ⊂∴．QA BC ⊥在正方形ABCD 中，，BC AB ⊥又，AB ，平面QAB ，AB QA A ⋂=QA ⊂∴平面QAB ．BC ⊥（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D为原点，则有，，，，，()2,2,0B ()002P ,,()2,0,1Q ()0,2,1QB =-()2,0,1PQ =-设平面PBQ 的一个法向量为，(),,m x y z =则有，得，00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020y z x z -=⎧⎨-=⎩令，则，，，2z =1x =1y =()1,1,2m = 易知平面PCD 的一个法向量为，()1,0,0n =r设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为，α则cos m n m n α⋅===⋅ 即平面PBQ 与平面PCD21．已知椭圆、，为的()2222:10x y Ca b a b +=>>1F 2F P C 上顶点，且的周长为12PF F △4+(1)求椭圆的方程；C (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为()0,2M l C A B AOB ∠O 坐标原点），求直线的斜率的取值范围．l k【正确答案】(1)2214x y +=(2)2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出、的值，进而可求得的值，由此可得出椭a c b 圆的方程；C （2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，将l l 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由结合可求得的取值l C 0∆>0OA OB ⋅>k 范围.【详解】（1）设椭圆的半焦距为．C c 因为的周长为①12PF F △1212224PF PF F F ac ++=+=+因为椭圆②C ca=由①②解得，，所以椭圆的方程为．2a =c 1b ==C 2214x y +=（2）若直线轴，此时，直线为轴，则、、三点共线，不合乎题意，l x ⊥l y A O B 设直线的方程为，设、，l 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 联立，()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，解得，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->234k >由韦达定理可得，，1221641kx x k +=-+1221241x x k =+则，()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++又为锐角，、、不共线，则，AOB ∠A O B cos 0AOB ∠>即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ ，解得，所以，，解得，22164041k k -=>+204k <<2344k <<2k -<<2k <<所以实数的取值范围为．k 2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数.()2ln f x x x ax a=-+（1）若，求的取值范围；()f x a ≤a （2）若存在唯一的极小值点，求的取值范围，并证明.()f x 0x a ()0210a f x -<<【正确答案】（1）（2）；证明见解析；1[,)e +∞12a <【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为恒成立，然后研究的单调ln xa x ≥ln ()x g x x =性，求出最大值； （2）通过研究在内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确()f x '()0,∞+定的零点范围及单调性，可以通过研究的零点、符号来确定的单调性，和()f x '()g x '()f x '特殊点（主要是能确定符号的点）处的函数值符号，从而确定的极值点的存在性()f x '()f x 和唯一性．【详解】(1)的定义域为.()f x ()0,∞+由，得在恒成立，()f x a≤ln xa x ≥()0,x ∈+∞转化为maxln ()x a x ≥令，则，ln ()x g x x =21ln ()xg x x -'=∴在单调递增，在单调递减，ln ()xg x x =()0,e (),e +∞∴的最大值为，∴.()g x 1(e)g e =1a e ≥∴的取值范围是.a 1[,)e +∞(2)设，则，，.()()g x f x '=()ln 12g x x ax=+-1()2g x a x '=-0x >①当时，恒成立，在单调递增，a<0()0g x '>()g x ()0,∞+又，()1120g a =->212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以存在唯一零点.()g x ()10,1x ∈当时，，()10,x x ∈()()0f xg x '=<当时，.()1,1x x ∈()()0f xg x '=>所以存在唯一的极小值点.()f x 01x x =②当时，，在单调递增，，0a =()ln 1g x x =+()g x ()0,∞+1(0g e =所以在有唯一零点.()g x ()0,∞+1e 当时，，1(0,)∈x e ()()0f x g x '=<当时，.1(,1)x e ∈()()0f x g x '=>所以存在唯一的极小值点.()f x 01x e =③当时，令，得；0a >()0g x '>1(0,)2x a ∈令，得，()0g x '<1(,)2x a ∈+∞∴在单调递增，在单调递减，()g x 1(0,2a 1(,)2a +∞所以的最大值为()g x 1()ln(2)2g a a=-④当时，，，，102a <<1()0g e <()1120g a =->1()02g a >21212()212(110l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用)11111()20aag eae a --=-<由函数零点存在定理知：在区间，分别有一个零点，()g x ()0,1()1,+∞2x 3x 当时，；()20,x x ∈()()0f xg x '=<当时，；()23,x x x ∈()()0f xg x '=>所以存在唯一的极小值点，极大值点.()f x 02x x =3x ⑤当时，，12a ≥102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()()0f x g x '=≤所以在单调递减，无极值点.()f x ()0,∞+由①②④可知，a 的取值范围为，1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当时，；()00,x x ∈()0f x '<所以在单调递减，单调递增.()f x ()00,x ()0,1x 所以.()0(1)0f x f <=由，得.()000ln 120f x x ax '=+-=00ln 21x ax =-所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+，[]00(1)(1)1x a x =-+-21/21因为，，0(0,1)x ∈1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭所以，010x -<()01112102a x +-<⨯-=所以，即；()0(21)0f x a -->()021f x a >-所以.()0210a f x -<<本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。

四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 4名同学分别报名参加足球队､篮球队､乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（ ）A. 81种B. 64种C. 24种D. 12种2. 下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若，则 D. 若，则3. 已知数列满足，，则数列前2025项的积为（ ）A. 2B. 3C.D. 64. 如图，射线和圆，当从开始在平面上绕端点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ）AB. C. D.5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）A. 14B. 12C. 6D. 36. 已知数列满足，，则等于（ ）.[]1ln(21)21x x '-=-0(1)(1)lim(1)x f x f f x∆→-∆-'=∆πcos4y =πsin 4y '=-2()(1)f x f x x '=-(1)1f '={}n a 12a =111nn na a a ++=-{}n a 12-{}n a 2542a a -=6a ={}n a 11a =()11N+*+-=∈n n n n a a na a n naAB.C.D.7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）9. 等差数列的前n 项和为，若，则下列结论正确的是（ ）AB. C. D.10. 设是三次函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ）A. 拐点为 B. 有极值点，则C. 过的拐点有三条切线D. 若，，则11. 已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）A. 当时， B. 当时，C. 不存在，使得成立D. 恒成立，则第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）..的22n n -222n n -+22n n-222n n -+2()sin cos f x x x x x =++1(ln )ln2(1)f x f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(,)e +∞(0,)e 10,(1,)e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x (),f x 'R ()f x ()1e f =()()e xf x f x +<'R ()()2e xf x x <-(),2-∞()2,+∞(),1-∞()1,+∞{}n a n S 9100,0a a <>109S S >170S <1819S S >190S >()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =32()f x x bx cx =++()f x ,33bb f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 230b c ->()f x 3b =-1c =(2)()2f x f x -+=-()e xf x x =()lng x x x =1x ∈R ()20,x ∈+∞()()12f x g x t ==0t >12x x t=0t >12eln t x x ≤t ()()12f x g x =''()()f x g x mx >+2m ≤12. 已知等比数列前项和为，若，，则________．13. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答）14. 已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是__________.四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）15. 在数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.16. 已知函数.（1）当时，求的单调区间，并求的极值；（2）若函数在区间上的最大值为，求的值.17. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目的资金为万元.（1）求数列的通项公式.（2）求至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；（3）若，，求数列的前项和.18. 已知函数.（1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，（i ）方程在上有唯一的实根，求的取值范围；（ii ）函数.若，是方程的两个实根，求证：.的{}n b n n T 31T =67T =9T =()12,0,x x ∈+∞12x x <()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-a {}n a 616a =()()1,n n a a n *+∈N 30x y -+={}n a 2nn n b a ={}n b n T ()ln f x ax x =+1a =-()f x ()f x ()f x (0,e)3-a n n a {}n a lg 20.3=1(1049)n b n a =-21n n n c b b +={}n c n n S ()e 1x f x ax =+-2a =()y f x =(0,0)1a =-()f x m =[1,2]-m ()()1)e 2(x f x b x F x +-+=1x 2x ()1F x =12123e e 2e x x x x +-+>19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：e e ch()2x xx -+=e e sh()2x xx --=sh(2)x =0x >sh()x x *22sh sh sh(2)sh(1)432(N )111tan121tan tan tan23n nn n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++>∈+成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）【15题答案】【答案】（1）； （2）.【16题答案】【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值； （2）.【17题答案】【答案】（1）（2）12年 （3）【18题答案】【答案】（1） （2）（i ）或；（ii ）证明略【19题答案】【答案】（1） （2），理由略 （3）证明略4348(],2-∞32n a n =-1(35)210n n T n +=-⋅+(0,1)(1,)+∞(1)1f =-2e a =-158002504n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭31142224n S n n =--++3y x =0m =21e 3em <≤-sh(2)2sh()ch()x x x =⋅sh()x x >。

成都市树德实验中学数学高二下期中经典测试题(答案解析)

成都市树德实验中学数学高二下期中经典测试题(答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13 C ．23D ．562．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=3．(0分)[ID ：13553]函数()()()sin 102f x x πωϕωϕ=++><，的部分图像如图所示，将()f x 的图像向右平移4π个单位长度后得函数()g x 的图像，则()g x =（）A ．2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．sin 213x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭4．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）A ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5．(0分)[ID ：13621]已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79-B ．29-C ．29D ．796．(0分)[ID ：13618]已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43D ．328．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A ．32B ．32-C ．34D ．34-9．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．010．(0分)[ID ：13572]将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点302P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则ϕ的值可以是（ ）A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 11．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 12．(0分)[ID ：13544]若函数3的部分图像如右图所示，则()y f x =的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-+C ．2sin(2)6y x π=--D ．2sin(2)6y x π=-13．(0分)[ID ：13543]已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+（ ）A ．54B ．15 C ．54-D ．15-14．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 15．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[ID ：13725]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．17．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．18．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.19．(0分)[ID ：13705]在各棱长都等于1的正四面体O ABC -中，若点P 满足1)(OP xOA yOB zOC x y z =++++=,则OP 的最小值为_____________.20．(0分)[ID ：13700]在△ABC 中，60A ∠=°，M 是AB 的中点，若|AB|=2，|BC|=23，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________.21．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.22．(0分)[ID ：13678]菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为____________． 23．(0分)[ID ：13671]已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，若2AO AB AC =+，且AO AB =，则向量BA 在向量CB 上的投影为_____24．(0分)[ID ：13668]若对n 个向量12,,,n a a a 存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k ，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12,,,n a a a 为“线性相关”，以此规定，能说明123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=线性相关”的实数123,,k k k 依次可取的一组值是____________（只要写出一组答案即可）25．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.三、解答题26．(0分)[ID ：13819]已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.27．(0分)[ID ：13768]已知2,1a b ==，且a 与b 的夹角为3π（1）求32a b +；（2）若()()32a b ka b +⊥-，求实数k 的值.28．(0分)[ID ：13744]设122018PP P ⋯是半径为l 的圆O 内接正2018边形，M 是圆上的动点．（1）求122334201720181PP P P P P P P PM +++⋯+-的取值范围； （2）求证：222122018MP MP MP ++⋯+为定值，并求出该定值． 29．(0分)[ID ：13732]（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2＋√px －p ＋1＝0（p ∈R ）两个实根. （Ⅰ）求C 的大小（Ⅱ）若AB ＝3，AC ＝√6，求p 的值 30．(0分)[ID ：13805]已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，求使向量()2a bλ-与()3a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．A 5．A 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B 11．A 12．A13．D14．B15．A二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际17．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别19．【解析】根据题意可得∵点P满足可得∴点P是平面ABC内的一点又∵正四面体O﹣ABC 是各棱长都等于1∴当点P与O在ABC上的射影重合时等于正四面体的高此时=且达到最小值故答案为20．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应21．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力22．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N点在点C处在上的投影最大所以的最大值为：23．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向24．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的25．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案 【详解】222211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222sin α=+， 123sin α=，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础2．A解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．3．D解析：D 【解析】 【分析】由图像可知，代入点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭和30,2⎛⎫⎪⎝⎭则可计算出()f x 表达式，再根据平移知识点左加右减即可得出()g x 表达式． 【详解】由函数()sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的部分图象知31sin 2ϕ+=，即1sin 2ϕ=.因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ．所以()sin 16f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象上．所以sin 166ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以2(Z)662k k πππωπ+=+∈．因为0>ω，结合图象可知2ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象．则()sin 21sin 21463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】根据三角函数图像求表示时一般代入特殊点，如最值点和图像与坐标轴的交点进行运算．函数平移左加右减，注意平移的时候是x 整体变化，如果有系数记得加括号．4．A解析：A 【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.5．A解析：A 【解析】 【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由题知，．若，，选项C 满足；若，，，其中，，函数周期，选项A 满足；若，，，其中，，函数周期，选项B 满足；若,则，且周期为．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是D ．故本题正确答案为D ．7．C解析：C【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】 ()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ， 当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆ ∴ 23ωπππ+≤，403ω∴<≤ ， 综上可知403ω<≤. 故选C【点睛】 本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.8．B解析：B22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，3,cos sin 42ππααα<<∴-=-，故选B. 9．B解析：B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅ 10．B解析：B【解析】 试题分析：依题意，因为()f x 、()g x 的图象都经过点3P ⎛ ⎝⎭，所以()3sin {3sin 22θθϕ=-=，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，即k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈．在()6k k Z πϕπ=--∈中取1k =-，即得56πϕ=，选B ． 考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到()()sin 22g x x θϕ=+-，再由函数均经过3P ⎛ ⎝⎭，将0x =代入两个函数可得()3sin {3sin 22θθϕ=-=，由22ππθ-<<，得3πθ=和223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，解出k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈，再取k 值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错． 11．A解析：A【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ【详解】 因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-， 所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈ 因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A. 【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．A解析：A【解析】【分析】 代入特殊值法，分别代入304x x π==或，排除各个选项，即可． 【详解】由()01f =可排除B 、D，由34f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ，故选A. 【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等． 13．D解析：D【解析】【分析】分子分母同除以cos α，可化为关于tan α的式子，代入tan 2α=即可求解.【详解】 sin 3cos tan 32sin cos 2tan 1αααααα--=++, ∴sin 3cos 2312sin cos 2215αααα--==-+⨯+, 故选：D【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题.14．B解析：B【解析】由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CMAC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．A解析：A【解析】【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形.【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形.故选：A【点睛】 本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：2114 【解析】 【分析】 在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值．【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=，由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，所以207BC =海里,由正弦定理可得21sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=， 因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以27cos ACB ∠=， 所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=． 【点睛】 本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．17．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量 解析：16-【解析】【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解.【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅ cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-，故答案为：16-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别 解析：()0,2【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案．【详解】三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+，当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =．但是因为P 在三角形ABC 内，01x y ∴<+<，01x <<，01y <<,02x x y ∴<++<,即2y x +的取值范围是(0,2).故答案为：(0,2)【点睛】本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．19．【解析】根据题意可得∵点P 满足可得∴点P 是平面ABC 内的一点又∵正四面体O ﹣ABC 是各棱长都等于1∴当点P 与O 在ABC 上的射影重合时等于正四面体的高此时=且达到最小值故答案为 6 【解析】根据题意，可得∵点P 满足()1OP xOA yOB zOC x y z =++++=，()()AP OP OA y OA OB z OA OC =-=----可得AP yBA zCA =--∴点P 是平面ABC 内的一点．又∵正四面体O ﹣ABC 是各棱长都等于1，∴当点P 与O 在ABC 上的射影重合时，OP 等于正四面体的高， 此时OP =6且OP 达到最小值． 故答案为63. 20．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应 解析：2316【解析】【分析】先对DB 、DM 用AB 、DA 表示,并可将DB DM ⋅整理成关于DA 的二次函数,由余弦定理可解得4AC =,即确定DA 的范围,进一步求得其最小值【详解】由题,DB DA AB =+,12DM DA AM DA AB =+=+, ()222113322cos1202222DB DM DA AB DA AB DA AB DA AB DA DA ⎛⎫∴⋅=+⋅+=++⋅=++⨯⨯︒ ⎪⎝⎭22332322416DA DA DA ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 设AC x =,由余弦定理得,2222cos60BC x AB AB x =+-︒,即(222222cos 60x x =+-⋅⋅⋅︒,整理后可得2280x x --=,解得4x =或2x =-（舍）[]0,4DA ∴∈∴当34DA =时, DB DM ⋅取得最小值为2316 故答案为2316【点睛】本题考查数量积的应用,考查余弦定理的应用,考查平面向量基本定理的应用,考查二次函数求最值,考查运算能力21．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案.【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点 则2211x x x -=∴=故答案为：1【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.22．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N 点在点C 处在上的投影最大所以的最大值为：解析：9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知，当AN 在AM 上的投影最大时，AM AN 最大.从图可以看出，当N 点在点C 处，AN 在AM 上的投影最大，所以AM AN 的最大值为：1·()?()92AM AC AD AB AB AD =++=. 23．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向解析：－1【解析】【分析】因为2AO AB AC =+可知，ABC ∆为直角三角形，又AO AB =可知，ABO ∆为等边三角形，故所求投影为cos120BA ＝1-．【详解】因为2AO AB AC =+，所以O 为BC 的中点，即ABC ∆为直角三角形，又AO AB =可知，ABO ∆为边长为2的等边三角形，故向量BA 在向量CB 上的投影为cos120BA ＝1-．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查向量中点公式的应用以及向量投影的求法．24．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的解析：4,2,1--【解析】【分析】利用题中的定义设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解．【详解】设k 11a +k 22a +k 330a =，则123232020k k k k k ++=⎧⎨-+=⎩ 123,,k k k 依次可取的一组值是4,2,1--故答案为4,2,1--【点睛】本题考查理解题中给的新定义、向量的坐标运算、平面向量的基本定理．25．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4【解析】【分析】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围.【详解】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -. ()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4.【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题26．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ， ＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．27．（146 （2）514【解析】 【分析】（1）根据向量的模的计算公式2a a =即可求出；（2）由()()32a b ka b +⊥-可得，()()320a b ka b +⋅-=，由此计算即可求出k 的值． 【详解】（1）()2223232912494121cos4463a b a ba ab b π+=+=+⋅+=⨯+⨯⨯+=；（2）因为()()32a b ka b +⊥-，所以()()320a b ka b +⋅-=， 即()2232320ka k a b b +-⋅-=，亦即122320k k +--=，解得514k =． 【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用以及利用向量数量积解决垂直问题．28．（1）[0]2，（2）证明见解析，该定值为4086 【解析】 【分析】（1）推导出1223342017201811201812018||||||PP P P P P P P PM PP PM MP +++⋯+-=-=，由此能求出12233420172181||PP P P P P P P PM +++⋯+-的取值范围． （2）推导出1220180OP OP OP ++⋯+=，从而222222122018122018...()()()+++=-+-+⋯+-MP MP MP OP OM OP OM OP OM ()22221220181220182()2018OP OP OP OM OP OP OP OM =++⋯+-⋅++⋯++，由此能证明222122018MP MP MP ++⋯+为定值，并能求出该定值． 【详解】（1）因为122018PP P ⋯是半径为l 的圆O 内接正2018边形，M 是圆上的动点122334201720181||PP P P P P P P PM ∴+++⋯+- 1201812018||||=-=PP PM MP ， 122334201720181||PP P P P P P P PM ∴++++-的取值范围是[0]2，．（2）把122018,,,OP OP OP 这2018个向量都旋转22018π后，122018,,,OP OP OP 不变，∴和向量旋转22018π弧度后也不变， 1220180OP OP OP ∴+++=，222122018MP MP OP ∴++⋯+()2222122018()()OP OM OP OM OP OM =-++⋯+-- ()2222220181220181...2()2018=+++-⋅++⋯++OP OP OP OM OP OP OPOM12201820182()2018OM OP OP OP =-⋅++++=40201820201886=-⋅+OM . 【点睛】本题考查向量和的模的取值范围的求法，考查向量的平方和为定值的证明，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于常考题型．29．（Ⅰ）C ＝60°；（Ⅱ）－1－√3 【解析】（Ⅰ）由已知，方程x 2＋√3px －p ＋1＝0的判别式 △＝（√3p ）2－4（－p ＋1）＝3p 2＋4p －4≥0 所以p≤－2或p≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB ＝－√3p ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－（1－p ）＝p≠0 从而tan （A ＋B ）＝tanA+tanB 1−tanAtanB=−√3p p=−√3所以tanC ＝－tan （A ＋B ）＝√3 所以C ＝60°（Ⅱ）由正弦定理，得 sinB ＝ACsinC AB=√6sin6003=√22解得B ＝45°或B ＝135°（舍去） 于是A ＝180°－B －C ＝75° 则tanA ＝tan75°＝tan （45°＋30°）＝tan450+tan3001−tan450tan30=1+√331−√33=2+√3所以p ＝－√3（tanA ＋tanB ）＝－√3（2＋√3＋1）＝－1－√3考点：本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.30．(()6,6【解析】 【分析】根据题意便知()()230a b a b λλ-⋅->，从而根据条件进行数量积的运算便可得出2760λλ-+<，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出λ的取值范围. 【详解】()2a b λ-与()3a b λ-夹角为锐角时，()()()()2222232634630a b a b a a b bλλλλλλλλ-⋅-=-+⋅+=-++>；解得16λ<<；当λ=()2a b λ-与()3a b λ-分别为()26a b -与)3b -同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数λ的取值范围为(()6,6.【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式，此题容易漏掉考虑向量同向的情况.。

学期高二期中联考数学(理)(附答案)

学期高二期中联考数学(理)(附答案)

成都市“五校联考”高2012级第四学期期中试题数学(理科)(全卷满分:150分完成时间:120分钟)一选择题(本题共10个小题,每小题5分)1.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D) 既不充分也不必要条件2. 双曲线的虚轴长是( )(A)2 (B) (C) 4 (D) 43.已知命题:,则( )A. B.C. D.4.下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x∈R,lg x<1D.∃x∈R,tan x=25.设曲线在点处的切线斜率为,则点的坐标为( )A､B､C､D､6.下列说法中正确的是( )A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真7.已知点P()满足,则点P运动后得到的图象为( )A.一直线和一椭圆B.一线段和一椭圆C.一射线和一椭圆D.两射线和一椭圆8.过双曲线的右焦点且与右支有两个交点的直线,其倾斜角范围是( )( A )( B )( C ) ( D )9.过点(2,-1)引直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 3D.410.已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,该椭圆离心率e的取值范围是( )A. B. C. D.二.填空题(每小题5分,共25分)11. 已知F1,F2是椭圆的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在中,若有两边之和是10,则第三边的长度为________12.设双曲线的渐近线方程为,则的值为________13.双曲线的一个焦点为,则的值为__________｡14.已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,f n(x)=f n-1′(x)(n∈N*,n≥2),则= ｡15.设点A,B的坐标分别为,.直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率之积为.则下列说法正确的是________(1)当时,点M的轨迹是双曲线,(其中(2)当时,点M的轨迹是部分椭圆,(其中(3)在(1)的条件下,点是曲线上的点｡且,则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围为(4)在(2)的条件下,过点满足的点M总在曲线的内部,则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是三.简答题(本题共6个小题,共75分)16.(本题12分)双曲线与椭圆有相同焦点,且经过点,求其方程｡17.(本题12分)给出下列命题:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0.(2)p:m<-2;q:方程x2-x-m=0无实根.(3)已知四边形M,p:M是矩形;q:M的对角线相等.试分别指出p是q的什么条件.18.(本题12分)已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A､B两点,且AB=2时,求直线l的方程.19(本题12分).已知椭圆过点,长轴长为,过点C(-1,0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A､B.(1)求椭圆的方程;(2)若线段AB中点的横坐标是求直线l的斜率;20. (本题13分)已知一动圆M,恒过点F,且总与直线相切,(Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(Ⅱ)探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.21.(本题14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在轴上的截距为,l交椭圆于A､B两个不同点.(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)求证直线MA､MB与轴始终围成一个等腰三角形.成都市“五校联考”高2012级第四学期期中试题数学(理科参考答案)一． 选择题:1. C 2. D 3. C 4.B 5.B 6. D 7. D 8.C 9. C 10.B二．填空题:11. 6 12. 2 或-2 13. -1 14. 0 15. (2)(3)(注12, 15题只填对一个给2分,有错不给分) 三．简答题(此答案仅是参考,考生如有其它解法,请阅卷老师酌情给分)16. 解:椭圆2213627y x +=的焦点为(0,3),3c ±=……………… 2分设双曲线方程为222219y x a a-=-……………… 5分过点,则22161519a a -=-……………… 7分 得24,36a =或,而29a <,……………… 10分24a ∴=,双曲线方程为22145y x-=｡……………… 12分17. 解. (1)∵x -2=0⇒(x -2)(x -3)=0;而(x -2)(x -3)=0⇒/ x -2=0.∴p 是q 的充分不必要条件.………………………… 4分 (2)∵m <-2⇒方程x 2-x -m =0无实根;方程x 2-x -m =0无实根⇒/ m <-2.∴p 是q 的充分不必要条件.…………………………8分 (3)∵矩形的对角线相等,∴p ⇒q ; 而对角线相等的四边形不一定是矩形. ∴q ⇒/ p .∴p 是q 的充分不必要条件.…………………………12分18. 解: 将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4＋2a |a 2＋1=2.解得a =-34.…………………5分 (2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.…………………8分解得a =-7或a =-1.故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0. ……12分 19. 解:(1)∵椭圆长轴长为5,522,52=∴=∴a a又∵椭圆过点)1,2(-,代入椭圆方程得35,115)2(222=∴=+-b b∴椭圆方程为,135522=+yx即5322=+y x…………………..5分(2)∵直线)0,1(-C l 过点且斜率为k, 设直线方程为)1(+=x k y 由0536)13(:)1(53222222=-+++⎩⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得设),,(),,(2211y x B y x A ∵线段AB 中点的横坐标是,21-则,1)21(221-=-⨯=+x x 即.33,11362221±=-=+-=+k k k x x 解得 …………12分20. 解: (1) 因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切,所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离.所以,点M 的轨迹是以F 为焦点, l 为准线的抛物线,且12p=,2p =,所以所求的轨迹方程为24y x =…………………5分 (2) 假设存在A,B 在24y x =上,所以,直线AB 的方程:211121()y y y y x x x x --=--,即 221112221()444y y y y y x y y --=--即AB 的方程为:211124()4y y y x y y -=-+,即22121121()4y y y y y y x y +--=-即:12()(164)0y y y x ++-=,令0y =,得4x =,所以,无论12,y y 为何值,直线AB 过定点(4,0) …………………13分21. 解:(1)设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得∴椭圆方程12822=+y x …………………5分(2)∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距为m 又21=OMK∴l 的方程为:mx y +=21由422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y∵直线l 与椭圆交于A ､B 两个不同点,,0)42(4)2(22>--=∆∴m m∴m 的取值范围是}022|{≠<<-m m m 且…………………9分(3)设直线MA ､MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设21,21),,(),,(2221112211--=--=x y k x y k y x B y x A 则042222=-++m mx x 由可得42,222121-=-=+m x x m x x而)2)(2()2)(1()2)(1(21,21211221221121----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k ……………11分)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x)2)(2(4442422122=--+-+--=x x m m m m∴k 1+k 2=0故直线MA ､MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. ………………14分。

成都市树德中学数学高二下期中复习题(含答案)

成都市树德中学数学高二下期中复习题(含答案)

一、选择题1．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3) C ．y =2sin(2x −π4) D ．y =2sin(2x −π3) 2．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（ ） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角3．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13 C ．23D ．564．(0分)[ID ：13583]已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 5．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．13+B ．2C ．22+D ．06．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 7．(0分)[ID ：13557]已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（ ） A ．1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-8．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心9．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ）A B ．C ．D ．12±10．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89C ．79D ．79-11．(0分)[ID ：13565]已知函数()()sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．C ．-2D ．212．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 13．(0分)[ID ：13543]已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+（ ）A ．54B ．15 C ．54-D ．15-14．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．3π B ．2π C ．23πD ．56π15．(0分)[ID ：13538]3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825B ．2425±C ．725-D ．725二、填空题16．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .17．(0分)[ID ：13680]函数y=sin2x+2sin 2x 的最小正周期T 为_______.18．(0分)[ID ：13666]设a b ，为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是____________．19．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．20．(0分)[ID ：13663]已知向量a →，b →均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b -等于___________；21．(0分)[ID ：13662]函数f (x )3 x +cos x 的最大值是___________. 22．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．23．(0分)[ID ：13642]已知向量||3,||2==a b ，且(2)()5a b a b -⋅+=，则a 在a b+投影为______．24．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为 ． 25．(0分)[ID ：13631]若cos 2cos()3ααπ=+，则tan()6πα+=______________．三、解答题26．(0分)[ID ：13821]已知函数2()cos (23cos )sin f x x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m 有解，求实数m 的取值范围． 27．(0分)[ID ：13790]已知点()0,2A 、()4,4B 、12OM t OA t OB =+. （1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；（2）若14cos t θ=，2sin t θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）若22t a =，求当OM AB ⊥，且ABM ∆的面积为12时，a 和2t 的值.28．(0分)[ID ：13757]设()2cos 22cos 16f x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．29．(0分)[ID ：13748]已知向量()()()2,3,5,4,1,32OA OB OC λλ=-=-=-+. （1）若ABC ∆为直角三角形，且B 为直角，求实数λ的值. （2）若点,,A B C 能构成三角形，求实数λ应满足的条件.30．(0分)[ID ：13747]在平面直角坐标系中，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义()22'a b a a bb⋅=-⋅．（1）若()12a =，，()1,1b =-，求'a ； （2）设()12b =，．证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量'a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．A 3．C 4．D 5．A 6．B7．A8．A9．A10．C11．A12．C13．D14．A15．C二、填空题16．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确17．【解析】考点：此题主要考查三角函数的概念化简性质考查运算能力18．【解析】试题分析：因为向量满足所以当所以＋≤＝当且仅当＝即时等号成立所以的最大值考点：1平面向量模的运算性质；2平面向量的运算19．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义20．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力21．【解析】由22．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题23．【解析】【分析】由向量的数量积的运算公式求得进而求得再利用投影的公式即可求解得到答案【详解】由题意根据向量的数量积的运算公式可得可得所以又由即在上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数24．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】函数y =2sin(2x +π6)的周期为π，将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π4)+π6)]=2sin(2x −π3)， 故选D.2．A【解析】 【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．C解析：C 【解析】 【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案 【详解】222211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11222sin α=+， 123sin α=，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础4．D解析：D 【解析】【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.5．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 7．A解析：A 【解析】 试题分析：设，则，因()//a b b +，所以，，只有A 满足考点：向量共线的条件8．A解析：A 【解析】 【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||ACAC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB ACOP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．A解析：A 【解析】 【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴sin cos αα+====故选A ． 【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．10．C解析：C【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3,8x π=代入到()f x 即可． 【详解】由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T ππω== 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得sin 44g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得A=2,则()2sin 2.f x x =所以332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=， 即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．D解析：D 【解析】 【分析】分子分母同除以cos α，可化为关于tan α的式子，代入tan 2α=即可求解. 【详解】sin 3cos tan 32sin cos 2tan 1αααααα--=++, ∴sin 3cos 2312sin cos 2215αααα--==-+⨯+, 故选：D 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题.14．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=， 即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.解析：C 【解析】 【分析】 由3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】由题意可得3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．二、填空题16．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确 解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.17．【解析】考点：此题主要考查三角函数的概念化简性质考查运算能力 解析：π【解析】sin 23(1cos 2)2sin(2)3,.3y x x x T ππ=+-=-+∴=考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.18．【解析】试题分析：因为向量满足所以当所以＋≤＝当且仅当＝即时等号成立所以的最大值考点：1平面向量模的运算性质；2平面向量的运算 解析：22【解析】试题分析：因为向量c 满足()c a b a b -+=-，所以()a b c a b c a b -=-+≥-+，当所以c a b ≤+＋a b -≤222(||)a b a b ++-＝222(22)22a b +=，当且仅当a b +＝a b -，即a b ⊥时等号成立，所以c 的最大值22．考点：1、平面向量模的运算性质；2、平面向量的运算．19．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义 解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉- 21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为．考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．20．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力【解析】 【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果. 【详解】2239619611a b a b a b -=+-⋅=+-⨯⨯=【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.21．【解析】由 解析：2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.22．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题 解析：2136AB AC - 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的运算，将DP 用AB ，AC 表示出来. 【详解】依题意()12122323DP DC CP AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-. 故答案为：2136AB AC -.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.23．【解析】【分析】由向量的数量积的运算公式求得进而求得再利用投影的公式即可求解得到答案【详解】由题意根据向量的数量积的运算公式可得可得所以又由即在上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数解析：.5 【解析】 【分析】由向量的数量积的运算公式，求得4a b ⋅=-，进而求得||5a b +=，再利用投影的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得22(2)()25a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=， 可得4a b ⋅=-，所以222||()25a b a b a a b b +=+=+⋅+=，又由()945||5a ab a b ⋅+-==+，即a 在a b +上的投影为5．故答案为：5 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的投影的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．24．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 解析：【解析】 试题分析：，答案为．考点：同角三角函数的平方关系与商数关系25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求【解析】【分析】由cos 2cos()3ααπ=+化为cos 2cos()6666ααππππ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭,再利用两角和与差的余弦公式，再同时除以cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】因为cos 2cos()3ααπ=+，所以cos()2cos()6666ππππαα+-=++，cos()cos3sin()sin6666ππππαα+=+，所以tan()63πα+=.故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值，主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求式；条件与所求都要变形，找到联系.恰当利用角的变换有时可简化运算.考查运算能力，属于中档题.三、解答题 26．（1）π；（2）2m ≤. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数()f x 进行化简，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出()f x 的最大值，即可知m 的取值范围. 【详解】（1）22()cos cos sin 2cos 2f x x x x x x x =+-=+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期T=π.（2）由题意可知，不等式()f x m 有解，即()max m f x ≤， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故当262x ππ+=，即6x π=时()f x 取得最大值，且最大值26f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 从而可得2m ≤. 【点睛】对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.27．（1）()(),11,0-∞--；（2）⎡⎢⎣⎦；（3）5a =±，225t =. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出2t 的取值范围；（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质可求出OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）根据OM AB ⊥，转化为0OM AB ⋅=，结合ABM ∆的面积列出方程组，可求出a 与2t 的值. 【详解】（1）点()0,2A 、()4,4B ，()122124,24OM t OA t OB t t t =+=+，若点M 在第二或第三象限，且12t =，则2240440t t <⎧⎨+≠⎩，解得20t <且21t ≠-.因此，实数2t 的取值范围是()(),11,0-∞--；（2）()4,2AB =，()2124,24OM t t t =+，OM ∴在AB方向上的投影为4cos ,OM AB OM OM AB AB⋅⋅===θϕ+==，锐角ϕ满足cos 13ϕ=，sin ϕ=.因此，OM 在AB 方向上投影的取值范围是⎡⎢⎣⎦； （3）()2124,24OM t t t =+，124240OM AB t t ⋅=+=，且22t a =，216t a ∴=-，()224,8OM a a =-，点M 到直线:240AB x y -+=的距离为2d =，且25AB =ABM ∆的面积为22112041222ABMS AB d a ∆=⋅=⨯=+=，解得a =2225t a ==.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量投影的计算以及三角形的面积问题，同时也涉及了三角恒等变换思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.28．（1）()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2【解析】 【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解出x 的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用A 为锐角和12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求得A ；利用余弦定理和基本不等式可求得1bc ≤，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.【详解】()1cos 2cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 223332f x x x x x x x xπππ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为：(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,663A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭62A ππ∴+=，即3A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2212b c bc bc bc bc +-=≥-=（当且仅当b c=时取等号）1sin 2ABC S bc A ∆∴==≤（当且仅当b c =时取等号）即ABC ∆【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.29．(1)2λ=;(2)2λ≠-. 【解析】分析：（1）由B 是直角，得BA BC ⊥，即0BA BC ⋅=，可列出关于λ的方程，解方程即可求实数λ的值；（2）由三点是三角形的三个顶点，可得三点,,A B C 不共线，利用向量共线的性质求三点出共线时λ的范围，然后求其补集即可的结果. 详解：（1）若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒ ∴有0AB BC ⋅=∵()()7,7,6,32AB OB OA BC OC OB λλ=-=-=-=-- 即：()()767320,2λλλ--+-=∴= （2）若点A B C 、、能构成三角形，则A B C 、、不共线∴()()73276λλ--≠- ∴实数λ应满足的条件 是2λ≠-点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.30．（1）()2,1；（2）证明见解析，直线方程为724250x y +-=. 【解析】 【分析】（1）根据'a 的定义，利用向量数量积、模、数乘的坐标运算，计算出'a 的值. （2）设出a 的坐标，求得'a ，通过坐标变换的知识，结合a 的终点在直线3450x y ++=上列方程，化简后证得'a 的终点轨迹是一条直线并求出此直线的方程.【详解】（1）依题意，()()()()()222212'1,21,1a b a a b b ⋅⨯-+=-⋅=-⋅-()()()1,21,12,1=--=. （2）设(),a x y =，则()22'a ba ab b ⋅=-⋅()()2,21,25x y x y +=-⋅⋅()2448,,5555x y x y x y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭3443,5555x y x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.令()''3443,,5555x y x y x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，即34554355x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨='⎪--⎪⎩，解得34554355x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--'''⎩'⎪，由于(),a x y =的终点在直线3450x y ++=上，所以''''334544355550x y x y ⎛⎫--⎛⎫⋅++= -⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，化简得''724250x y +-=.所以位置向量'a 的终点轨迹是一条直线，且直线方程为724250x y +-=.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模和数乘的坐标运算，考查坐标变换的知识，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

成都市树德实验中学数学高二下期末经典测试题(答案解析)

成都市树德实验中学数学高二下期末经典测试题(答案解析)

一、选择题1．化简12sin(2)cos(2)ππ+-⋅-得( ) A ．sin2cos2+ B ．cos2sin2- C ．sin2cos2-D ．cos2sin2±-2．已知e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是单位向量，且e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =0，向量a ⃑ 与e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 共面，|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1，则数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=（ ） A ．定值－1B ．定值1C ．最大值1，最小值－1D ．最大值0，最小值－1 3．将函数()()()()sin 23cos 20f x x x ϕϕϕπ=+++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ等于（ ） A ．6π-B ．6π C ．4π D ．3π 4．已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A ．1B ．25C ．25-D ．-15．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形6．在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ） A ．2CP a b =+B ．CP a b =-C ．12CP a b =- D ．1233CP a b =+ 7．在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形8．设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( )A ．[)4,5ππ B ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦9．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．4-B ．3-C ．12D ．3411．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．D ．12．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是( ) A ．60︒ B ．120︒C ．30D ．90︒13．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．0C ．12-D ．2-14．已知角6πα-的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()5,12P -， 则7cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．17226-B ．7226-C ．226D ．22615．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．25二、填空题16．已知|a|=1，()b=13，，()b a a -⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_______________. 17．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.18．已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______. 19．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝()()11f x f x +-，则f (2018)= ________.20．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________．21．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.22．设向量(,2)OA k =，(4,5)OB =，(6,)OC k =，且AB BC ⊥，则k =__________． 23．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．24．函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<< 的部分图象如图所示，则ϕ= ________.25．已知平面向量(,)a m n =，平面向量(,)b p q =，（其中,,,Z m n p q ∈）． 定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)=b ，则a b ⊗=_____________； 若(5,0)a b =⊗，且5a <，5b <，则a =_________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值；（2）求sin 24B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 27．设函数f (x )=cosx −cos (x −π3),x ∈R .（1）求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，b=1，c=√3，求a 的值.28．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ； （2）平面1APC 平面1B CD ．29．已知(1,2),(2,2),(1,5)a b c ==-=-．若a b λ-与b c +平行，求实数λ的值． 30．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225,105（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．B4．C5．B6．D7．C8．A9．D10．B11．C12．B13．C14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质两个向量的数量积的定义求得向量与向量的夹角的余弦值可得向量与向量的夹角的值【详解】由题意可得即为向量与向量的夹角）求得故答案为【点睛】本题主要考查向量的模17．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线18．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平19．-3【解析】【分析】由已知分析出函数f（x）的值以4为周期呈周期性变化可得答案【详解】∵函数f（x）满足：f（1）=2f（x+1）=∴f（2）=﹣3f（3）=﹣f（4）=f（5）=2……即函数f（x20．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言21．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定22．7【解析】分析：根据向量的线性运算求得根据向量垂直时坐标间满足的关系即可求得k的值详解：根据向量的坐标运算因为所以解得点睛：本题考查了向量的线性运算坐标运算和垂直时坐标间的关系综合性强但难度不大23．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量24．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk∈Z∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中25．（05）【解析】【分析】【详解】本题自定义：（其中）已知若则=又且则不妨在内任取两组数和为了满足即取和此时恰好满足则三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的二倍角公式和完全平方式结合角在各个象限中的符号化简即可得到答案. 【详解】==，∵22ππ<<，∴sin2cos20->.∴原式sin2cos2=-. 故选C. 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号的应用，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】由题意可设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，a ⃑ =(x,y)，再表示向量的模长与数量积， 【详解】由题意设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，则向量a ⃑ =xe 1⃑⃑⃑ +ye 2⃑⃑⃑ =(x,y)，且|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1， 所以a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ =(x −1,y −1)， 所以(x −1)2+(y −1)2=1， 又a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ =(x −2,y −2)，所以数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=x(x −2)+y(y −2)=(x −1)2+(y −1)2−2=1−2=−1， 故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

四川省成都市高二数学下学期期中试题 理(含解析)

四川省成都市高二数学下学期期中试题 理(含解析)

四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。

）1. 在三棱柱中，若，则等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵直三棱柱ABC−A1B1C1中,，∴= + =+=.故选：D.2. 函数，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解答：f( x)=sin x+e x，∴f′(x)=cos x+e x，∴f′(0)=cos0+e0=1+1=2，故选：B3. 已知表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】如图, ,但相交,错;,但,错;,但 ,错;故本题选4. 函数的单调递减区间是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解答：f′(x)=，令f′(x)<0，解得：1<x<e，故f(x)在(1,e)递减，故选：D.5. 在棱长为的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：取的中点，连接，再取的中点，连接，则为异面直线所成的角，在中，，由余弦定理，可得，故选A．考点：异面直线所成的角的求解．6. 已知函数，若，且，则下列不等式中正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】为奇函数，所以；因为，所以，由可知函数单调递增，所以，移项可得7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：该几何体是四棱锥，，．考点：三视图，棱锥的体积．8. 若对任意的，恒有成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解答：因为对任意的x>0,恒有ln x⩽px−1⇒p⩾恒成立，设f(x)=只须求其最大值，因为f′(x)=,令f′(x)=0⇒x=1，当0<x<1时,f′(x)>0，当x>1时,f′(x)<0，故f(x)在x=1处取最大值且f(1)=1.故p的取值范围是[1,+∞).故选D.9. 甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成。

四川省成都树德中学高二数学下学期期中试题 理

四川省成都树德中学高二数学下学期期中试题 理

高2012级第四期期中考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为( )A. 若a ＞b ，则有2a≤2b－1.B. 若a≤b，则有2a≤2b－1.C. 若a≤b，则有2a ＞2b －1.D. 若2a≤2b－1，则有a≤b.2. 抛物线=22y x 的焦点坐标是( ) .A.1(,0)2B.-1(,0)2 C. 1(0,)8 D.-1(0,)8 3.函数()f x ,则'-=(4)f （ ）.A.-16B.-13C.16D.134. 直线x －y ＋m ＝0与圆x2＋y2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为( )．A ．m ＜1B ．－3＜m ＜1C ．－4＜m ＜2D ．0＜m ＜15.已知椭圆+=2211216x y ，则以点-(1,2)M 为中点的弦所在直线方程为( ).A.-+=38190x yB. +-=38130x yC. -+=2380x yD. +-=2340x y 6.已知O 为坐标原点，直线=+y x a与圆+=224x y 分别交于A,B 两点．若⋅=-2OA OB ，则实数a 的值为（ ）.A ．1B ．2C ．1±D ．2±7. 在R 上可导的函数()f x 的图形如图所示，则关于x 的不等式'⋅<()0x f x 的解集为（ ）.A 、-∞-(,1)(0,1)B 、-+∞(1,0)(1,)C 、--(2,1)(1,2)D 、-∞-+∞(,2)(2,)8.已知双曲线-=>>22221(0,0)x y a b a b 与抛物线=>22(0)y px p 有一个共同的焦点F, 点M 是双曲线与抛物线的一个交点, 若=5||4MF p, 则此双曲线的离心率等于( ). 1-1Oyx2-2A. 2B. 39.已知P 是双曲线-=>>22221(0,0)x y a b a b 的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e ，下列命题正确的是( ). A.双曲线的焦点到渐近线的距离为a ; B.若=12||||PF e PF ，则eC.△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b ;D.若∠F1PF2的外角平分线交x 轴与M, 则=11||||MF e PF .10.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：≥+()F x kx b 和≤+()G x kx b 恒成立，则称此直线=+y kx b 为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数=∈=<=21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e xx .有下列命题： ①=-()()()F x f x g x在∈(x 内单调递增;②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且b 的最小值为-4; ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且k 的取值范围是-(4,0]; ④()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”=-y e .其中真命题的个数有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，请将答案填写在答题卷上相应的位置。

四川省高二下学期期中考试数学(理)试题

四川省高二下学期期中考试数学(理)试题

高2级期中考试数学试题（时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，则（ ）{}{}21,2,3,4,60A B x x x ==--<∣A B ⋂=A. B. C. D.{}2{}1,2{}2,3{}1,2,32.如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A.甲所得分数的极差为22B.乙所得分数的中位数为18C.两人所得分数的众数相等D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数3.已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）)(,a b ==- b a A.C.-1D.14.若实数满足约束条件，则的最小值为（ ）,x y 220100x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩2z x y =-A.0 B.2 C.4 D.65.若，且，则（ ） ,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭()sin ααβ=-=sinβ=C. D. 121106.已知函数，则（ ）()sin ,0621,0x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩()()21f f -+=C. D. 72527.中，角的对边分别为，.若向量，，且C AB A,,A B C ,,a b c (),cos m a A =- ()cos n C c =-，则角的大小为（ ）0m n ⋅= A A. B. C. D.6π4π3π2π8.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（） mA.5B.6C.D.879.若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且ABCD O 'O OO '=的表面积的最小值为（ ）OC. D. 32π48π10.已知函数，则“是“函数在处取得极小值”的（ ）()()221x f x x a x e =++a =()f x 1x =-A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知双曲线C ：的左，右焦点分别为，又点22221(0,0)x y a b a b-=>>()()12,0,,0F c F c -.若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值23,2b N c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C M 24MF MN b +>C 范围为（ ）A. B.C. D. )∞⎛⋃+ ⎝()∞⋃+12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为x ln 210x x kx k -++>()2,∞+k （） A.2 B.3 C.4 D.5第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表：y x （单位：万元） x 01 2 3 4 （单位：万元）y 10 15 20 30 35 已知销售额与宣传费用具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则的值为y x ˆˆ9y bx=+ˆb __________.14.已知曲线（为参数）.若点在曲线上运动，点为直线上的2cos C :sin x y θθ=⎧⎨=⎩θP C Q :20l x y +-=动点，则的最小值为__________.PQ15.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，()f x ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),8f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则不等式的解集为__________.()()sin22cos20f x x f x x +>'()sin21f x x <16.已知抛物线的焦点为，准线为.若位于轴上方的动点在准线上，线段2C :2(0)y px p =>F l x A l 与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________.AF C B 1AF AF BF -=C 三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.3()32f x x ax =-+()y f x =1x =30x y m ++=（1）求实数，的值；a m （2）求在区间上的最值.()f x [1,2]18.（本小题满分12分）已知等比数列的前项和为，公比，且为的等差中项，.{}n a n S 1q >21a +13,a a 314S =（1）求数列的通项公式{}n a （2）记，求数列的前项和.2log n n n b a a =⋅{}n b n n T 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，P ABCD －PAD ⊥ABCD PA PD ，＝AB AD PA PD ⊥＝，，分别为的中点.60AD CD BAD ⊥∠︒，＝M N ，AD PA ，（1）证明：平面平面； BMN∥PCD（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.6,AD CD ==BMN BCP 20.（本小题满分12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，且该椭圆过点2222:1(0)x y C a b a b+=>>12(F F 12A ⎫⎪⎭，.（1）求椭圆的标准方程；C （2）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称()40B ，l l C P Q ，P x 的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值.P 'P Q 'x D DPQ A 21.（本小题满分12分）已知函数. ()212x f x axe x x =--（1）讨论在上的单调性；()f x ()0,∞+（2）若时，方程有两个不等实根，，求证：. 0a >()21ln 2f x x x =-1x 2x 21212x x x x e -->22.（本小题满分10分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为xOy ()1,1P l 1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩t O 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.x C 4cos ρθ=（1）求曲线的直角坐标方程；C （2）若直线与曲线相交于两点，求的最小值. l C ,A B 11||||PA PB +高2021级期中考试数学试题参考答案一､选择题1-5BDAAB 6-10СВВСА 11-12CA二､填空题：（每小题5分，共20分）13.6.515. 16. ,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭22y x =三､解答题：共70分.17.解：（1），2()33f x x a '=-∵曲线在处的切线方程为，3()32f x x ax =-+1x =30x y m ++=∴解得，. (1)333(1)333f a f a m =-=-⎧⎨=-=--'⎩2a =0m =（2）由（1）知，，则，3()62f x x x =-+2()36f x x '=-令，解得()0f x '=x =∴在上单调递减，在上单调递增，()f x 又，，，(1)1623f =-+=-3(2)26222f =-⨯+=-3622f =-+=-∴在区间上的最大值为，最小值为()f x [1,2]2-2-18.（1）由题意，得.又，()21321a a a +=+312314S a a a =++=∴，∴，()222114a a +=-24a =∵，∴或， 344414S q q =++=2q =12q =∵，∴.1q >2q =∴.2224·22n n n n a a q --===（2）由（1），知.∴.2n n a =2log 2n n n n b a a n =⋅=⋅∴. ()1231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯∴.()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ∴2341222222n n n T n +-=+++++-⨯ . ()()11212212212nn n n n ++-=-⨯=---∴.()1122n n T n +=-+19.（1）连接60BD AB AD BAD =∠=︒，，为正三角形.ABD ∴∆为的中点，.M AD BM AD ∴⊥平面，,,AD CD CD BM ⊥⊂ ABCD BM CD ∴∥又平面平面，平面.BM ⊄,PCD CD ⊂PCD :BM ∥PCD 分别为的中点， M N ，AD PA ，MN PD ∴∥又平面，平面，平面. MN ⊄PCD PD ⊂PCD MN∴∥PCD 又平面，，,BM MN ⊂BMN BM MN M = 平面平面. ∴BMN∥PCD （2）连接. PM 平面平面，平面平面，平面，， PAD ⊥ABCD ABCD ⋂PAD AD =PM ⊂PAD PM AD ⊥平面PM ∴⊥ABCD 又两两垂直,,,BM AD MB MD MP ⊥∴以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐M ,,MB MD MP x y z 标系M xyz-，则，6,AD CD == (0,0,0),(0,0,3),(0,3,0)M P A-330,,,22N B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭设平面的法向量，平面的法向量 BMN ()111,,m x y z =r BCP ()222,,n x y z =r ，330,,22MB MN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 得 00m MB m MN ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩由111033022y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩(0,1,1)m ∴= 可取，((BC BP =-=- 00n BC n BP ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩由22223030y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩2,3)n ∴= 可取cos,||||m nm nm n⋅∴〈〉====平面与平面∴BMN BCP20.（1）由椭圆的定义可得122a AF AF=+，142==解得.2a=又，2221b a=-=所以椭圆的标准方程为C2214xy+=（2）由题意可设直线的方程为.l4(0)x my m=+≠设，则.()()1122,,,P x y Q x y()11,P x y'-由，消去可得22414x myxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，x()2248120m y my+++=()2216120,12m m∆=->∴>121222812,44my y y ym m-∴+==++，()21212121P Qy y y ykx x m y y'++==--直线的方程为.∴P Q'()()211121y yy y x xm y y++=--令，可得y=()2111214m y y yx myy y-=+++2121221222244444 1.884mmy y mmxmy y mm⋅+∴=+=+=+=-+-+(1,0)D∴DPQ BDQ BDPS S S∆∆∆∴=-121||2BD y y=⋅-==令，(0,)t t=∈+∞则当且仅当，即时等号成立，266316164DPQ t S t t t∆==++…4t =m =±面积的最大值为 DPQ ∴A 3421.（1）由题意得. ()()()()1e 11e 1x x f x a x x x a '=+--=+⋅-因为，所以.0x >10x +>当时，，，所以在上单调递减.0a ≤e 10x a -<()0f x '<()f x ()0,∞+当时，令，则.0a >e 10x a -=ln x a =-①若，则，当时，，所以在上单调递增； 1a ≥ln 0x a =-≤0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+②若，则，当时，，所以在上单调递减；01a <<ln 0x a =->()0,ln x a ∈-()0f x '<()f x ()0,ln a -当时，，所以在上单调递增.(ln ,)x a ∈-+∞()0f x ¢>()f x ()ln ,a -+∞综上，当时，在上单调递减；0a ≤()f x ()0,∞+当时，在上单调递增；1a ≥()f x ()0,∞+当时，在上单调递减，在上单调递增.01a <<()f x ()0,ln a -()ln ,a -+∞（2）证明：方程，即， ()21ln 2f x x x =-e ln 0x ax x x --=因为，则， ()e ln 0x ax x x -+=()e ln e0x x ax x -=令，，所以函数在上单调递增，()e 0x t x x =>()1e 0x t x '=+>e x t x =()0,∞+因为方程有两个实根，，令，，()e ln 0x ax x x -+=1x 2x 111e x t x =222e x t x =则关于t 的方程也有两个实根，，且，ln 0at t -=1t 2t 12t t ≠要证，即证，即证，即证，21212e x x x x -->12212e e e x x x x ⋅>212e t t >12ln ln 2t t +>由已知，，整理可得， 1122ln ln at t at t =⎧⎨=⎩∴()()12121212ln ln ln ln a t t t t a t t t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=--不妨设，即证，即证， 120t t >>12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>-()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++令，即证，其中， 12t s t =()21ln 1s s s ->+1s >构造函数，， ()()()21ln 11s g s s s s -=->+()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立. ∴()g s ()1,+∞1s >()()10g s g >=22.解：（1），.4cos ρθ= 24cos ρρθ∴=由直角坐标与极坐标的互化关系，.222x y ρ=+cos x ρθ=曲线的直角坐标方程为.∴C 2240x y x +-=（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得l C .()22sin 2cos 20t t αα+--=，()22sin 2cos 80αα∆=-+> 可设是方程的两个实数根，∴12,t t 则，. 122cos 2sin t t αα+=-1220t t =-< 11PA PB ∴+=121212121211t t t t t t t t t t +-+==，当时，等号成立.==≥=4πα=的最小值为.11PA PB ∴+。

四川省成都市高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

四川省成都市高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

一、单选题1．函数f （x ）=1+sinx ，其导函数为f （x ），则f （）=（ ）''3πA ．B ．C ．D1212-32【答案】A【分析】先求导，再代值计算即可．【详解】函数f （x ）=1+sinx ，其导函数为f′（x ）=cosx ，∴，1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪'⎝⎭故选A.【点睛】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．2．设点，，.若，则点的坐标为（ ） ()1,1,1M ()2,1,1A -()0,0,0O OM AB =B A ． B ．C ．D ．()1,0,2-()3,2,0()1,0,2()3,2,0-【答案】B【分析】根据向量的相等求解即可.【详解】设，则，(,,)B x y z (2,1,1)AB x y z =--+而，则有，()1,1,1OM = OM AB = 213112110x x y y z z -==⎧⎧⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩所以. (3,2,0)B 故选：B3．函数的单调递增区间是（ ）()2ln 2f x x x =-A ．B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．，D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数大于零，可求出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，()f x (0,)+∞由，得，()2ln 2f x x x =-()21144x f x x x x-'=-=令，得， ()0f x ¢>102x <<所以函数的单调递增区间为，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．6π8π10π12π【答案】A【分析】由三视图可知几何体为一个圆锥体和圆柱体组合而成，利用圆锥体、圆柱体的体积公式即可求几何体体积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个底面半径为1，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为3的圆锥组成； 故这个零件的体积.221231263V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=故选：A5． （ ）π0sin d x x =⎰A ． B ． C ． D ．1-12-2【答案】D【分析】求出被积函数的原函数即可求解. 【详解】∵，()cos sin x x '-=∴，ππ00sin d cos cos π+cos0=2x x x =-=-⎰故选：.D 6．函数的导函数等于（ ）()()2e ln 1xf x x =-()f x 'A ．B ． ()21e 2ln 11x x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦212e 1xx +-C ．D ． 21e 2ln(1)1x x x ⎡⎤-+⎢-⎣⎦212e 1xx +-【答案】A【分析】利用导数的求导法则及其复合函数的求导法则求解. 【详解】由导数的乘法运算法则得， ()()222e 1()2e ln 1e 2ln 111x xx f x x x x x '=--=----⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21e 2ln 11x x x -+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故选：.A 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小()y f x =()y f x '=()y f x =(),a b 值点的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．1234【答案】A【分析】结合导函数图象确定正确选项.【详解】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，0x ()'00f x =()'0f x <()'0f x >由图可知，一共有个点符合. 1故选：A8．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ）．()323f x x x a =-+a A ． B ． ()(),04,-∞+∞ ()(),80,-∞-+∞ C ． D ．[]0,4()8,0-【答案】A【解析】由解析式知，即可判断的单调性并确定极值：极大值，极小2()36f x x x '=-()f x (0)f a =值，由有且仅有一个零点知或，即可求的取值范围. (2)4f a =-()f x (0)0f <(2)0f >a 【详解】由题意知：，2()36f x x x '=-∴时，得或；时，得. ()0f x '>2360x x ->0x <2x >()0f x '<2360x x -<02x <<∴在上递增，上递减，上递增，()f x (,0)-∞(0,2)(2,)+∞当时，有极大值，当时，有极小值， 0x =(0)f a =2x =(2)4f a =-∴只有当或时，函数有且仅有一个零点， (0)0f a =<(2)40f a =->()f x ∴或， a<04a >故选：A【点睛】关键点点睛：利用导数讨论的单调区间，进而确定极值，根据有且仅有一个零点()f x ()f x 列不等式求参数范围.9．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D-11,AB BC AA ===1AD 1DB 为（ ） ABC ．D ．15【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解即可.【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则1A 11AB x 11A D y 1AA z ,,,,(00A ,()10,1,0D (D ()11,0,0B∴,,(10,1,AD = (11,1,DB =-∴11cos ,AD DB= 故选：.A10．在三棱锥中，平面，，，.三棱锥-P ABC PA ⊥ABC AB BC ⊥1==PA AB AC=-P ABC 的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ） O O AB ．2C D【答案】D【分析】根据几何体的垂直关系，找到球心，再求球的半径. O 【详解】平面，平面，PA ⊥ ABC BC ⊂ABC ，PA BC ∴⊥又，且，AB BC ⊥ PA AB A = 平面，BC ∴⊥PAB 又平面，PB ⊂PAB ，BC PB ∴⊥所以是两个直角三角形和的斜边，取的中点，PC PAC PBC PC O 点到四点的距离相等，即点是三棱锥的外接球的球心，O ,,,P A B C O -P ABCPC ==即球. O 故选：D.11．函数，是函数的极大值点，则a 的取值范围是（ ）()211e 2e 22x xf x x ax ax a =⋅-+-+1x =A ． B ．C ．D ．(),e -∞-(),2e -∞-()2,e -∞-()2,2e-∞-【答案】A【分析】对函数求导得，然后分，，和讨论函数()(1)(e )x f x x a '=-+0a ≥e a <-a e =-0e a >>-的极值，从而可求出a 的取值范围【详解】由，得()211e 2e 22x xf x x ax ax a =⋅-+-+， ()e e 2e e e (1)(e )x x x x x x f x x ax a x ax a x a '=+-+-=-+-=-+当时，，0a ≥e 0x a +>所以当时，，当时，， 1x >()0f x '>1x <()0f x '<所以是函数极小值点，不合题意，1x =当时，由，得或，a<0()0f x '=1x =ln()x a =-当，即时，当或时，，当时，，所ln()1a ->e a <-1x <ln()x a >-()0f x '>1ln()x a <<-()0f x '<以为函数的极大值点，为函数的极小值点，1x =ln()x a =-当，即时，，则在上递增，所以函数无极值，ln()1a -=a e =-()0f x '≥()f x R 当，即时，当或时，，当时，，ln()1a -<0e a >>-ln()x a <-1x >()0f x '>ln()1a x -<<()0f x '<所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，不合题意， ln()x a =-1x =综上，a 的取值范围是， (),e -∞-故选：A12．已知函数，则函数的零点个数为（ ） ()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()()211e =--⎡⎤⎣⎦F x f f x f x A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】C【分析】令，将问题转化为，结合图象判断出直线与的图象()f x t =()211ef t t =+211e y t =+()f t 的交点个数，再由的函数图象即可判断零点个数. ()f x 【详解】令，则由可得．作出的函数图象如图()f x t =()()2110e F x f t t =--=()211e f t t =+()f x 所示：当直线与相切时，切点为，，则，解得；1y kx =+e xy =()00,x y e xy '=000e e 1xx kkx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩00,1x k ==当直线与相切时，切点为，则，解得，1y kx =+ln y x =()11,x y 11111ln k x kx x⎧=⎪⎨⎪+=⎩2121e e x k ==,∴直线与的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为，且， 211e y t =+()f t 1234,,,t t t t 1234t t t t ＜＜＜由图象可知，由的函数图象可知无解，有1解，212340001e t t t t <<<==,,,()f x ()1f x t =()2f x t =有3解，有2解． ()3f x t =()4f x t =∴有6个零点．()F x故选：C ．二、填空题13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为________. (1,1,1)A xOy B 【答案】(1,1,1)-【分析】利用关于平面对称的点的特征求出答案即可.xOy 【详解】点关于平面对称的点的坐标满足坐标不变，坐标变成相反数， xOy ,x y z 即点关于平面的对称点的坐标为. (1,1,1)A xOy B ()1,1,1-故答案为：.()1,1,1-14．已知，，且，则向量与的夹角为__________ ()1,0,1a = (),1,2b x =r 3a b ⋅= a b【答案】6π【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用夹角公式求夹角.x 【详解】因为，，， ()1,0,1a = (),1,2b x =r 3a b ⋅=所以，解得；23x +=1x =cos ,a b a b a b⋅===因为，所以.[],0,a b π∈ ,6a b π= 故答案为：.6π15．若函数在上是单调增函数，则的取值范围是________. ()ln mf x x x=-[)1,+∞m 【答案】[1,)-+∞【分析】根据单调性与导数正负的关系，即可求导求解. 【详解】由得，()ln m f x x x=-221()m x m f x x x x +'=+=由于在上是单调增函数，故在上恒成立，故()ln mf x x x=-[)1,+∞0x m +≥[)1,+∞，101m m +≥⇒≥-故答案为：[1,)-+∞16．若，则实数的最大值为________.()e 1ln ln 0xa x x a ----≥a 【答案】e【分析】将不等式化为，令，即，利用导数ln e e ln x ax x ax +≥+()()e 0xf x x x =+>()()ln f x f ax ≥分析函数单调性，即可得到，即恒成立，令，利用导数ln x ax ≥ln ln a x x ≤-()()ln 0g x x x x =->分析函数单调性，进而求得，进而求解.()min g x 【详解】由，()()e 1ln ln 00xa x x a x ----≥>则，ln e ln e ln x ax x ax ax ax +≥+=+令，即，()()e 0xf x x x =+>()()ln f x f ax ≥所以，()e 10xf x '=+>所以函数在上单调递增， ()f x ()0,∞+由，可得， ()()ln f x f ax ≥ln ln ln x ax a x ≥=+即恒成立， ln ln a x x ≤-所以， ()min ln ln a x x ≤-令， ()()ln 0g x x x x =->则， ()111x g x x x-'=-=令，则；令，则， ()0g x '>1x >()0g x '<01x <<所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()g x ()0,1()1,+∞所以， ()()min 11g x g ==所以，即， ln 1a ≤0e a <≤所以实数的最大值为. a e 故答案为：.e三、解答题17．已知函数在处取得极大值.()322f x x ax bx a =+++=1x -1(1)求的值；,a b (2)求曲线过点的切线方程. ()y f x =()0,1【答案】(1)，1a =1b =(2)或 10x y -+=1y =【分析】（1）由题意得到关于，的方程组，求解方程组即可求解； a b （2）根据导数的几何意义求解即可.【详解】（1）由，则，()322f x x ax bx a =+++()234f x x ax b '=++因为函数在处取得极大值， ()f x =1x -1所以，()()13401121f a b f a b a ⎧-=-+=⎪⎨-=-+-+='⎪⎩解得，，1a =1b =此时，()()()2341311f x x x x x '=++=++令，则或；令，则，()0f x ¢>1x <-13x >-()0f x '<113x -<<-所以函数在和上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞-1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭故在处取得极大值，满足题意. ()f x =1x -综上，，.1a =1b =（2）由（1）得，，，()3221f x x x x =+++()2341f x x x '++=当为切点时，， ()0,1()01f '=即切线斜率为1，所以切线方程为，即.1y x -=10x y -+=当不为切点时，设切点为，，()0,1()320000,21x x x x +++00x ≠则，()32200000002113410x x x f x x x x +'++-=++=-解得（舍去）或， 00x =01x =-即切点为，切线斜率为0， ()1,1-所以切线方程为.1y =综上所述，曲线过点的切线方程为或.()y f x =()0,110x y -+=1y =18．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ，M 为PC 中点．P ABCD -PA ⊥(1)求证：平面MBD ；//PA (2)若，求直线BM 与平面AMD 所成角的正弦值． 2AB AD PA ===【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD 的法向量，由向BM量夹角的计算公式，可得答案.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ， 由四边形ABCD 为矩形，可知O 为AC 中点，M 为PC 中点， 所以，//OM PA 又平面，平面， OM ⊂MBD PA ⊄MBD 所以平面MBD.//PA （2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， A ,,AB AD AP ,,x y z 则 ，()()()()0,0,0,2,0,0,1,1,1,0,2,0A B M D 所以， ()()()1,1,1,1,1,1,0,2,0BM AM AD =-==设平面的法向量为，AMD (,,)n x y z =则，00n AM x y z n AD y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩令，则，1x =()1,0,1n =-设直线与平面所成角为，则BM AMD θsin cos BM θ=〈所以直线与平面 BM AMD19．函数.(),x f x e ax a R =-∈（1）当时，求的极值；1a =()f x （2）当时，恒成立，求实数的最大值.0x >()0f x ≥a 【答案】（1）极小值为：，无极大值；（2）．()f x ()01f =e 【分析】（1）将a 的值带入，求出函数的导数，根据导函数的符号可确定函数的单调()f x ()f x 性，根据极值定义求出函数的极值即可；（2）利用分离变量的方法，构造函数，通过导()xe g x x =数求得最小值，则，从而求得所求的最大值．()g x ()min a g x ≤【详解】（1）时，，则1a =()x f x e x =-()1x f x e '=-令，解得()0f x '=0x =当时，，单调递减；当时，，单调递增0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x ¢>()f x 极小值为：，无极大值()f x \()01f =（2）当时，由得： 0x >()0f x ≥xe a x≤令，则 ()x e g x x =()()221x x x x e xe e g x x x --'==令，解得：()0g x '=1x =当时，，单调递减；当时，，单调递增01x <<()0g x '<()g x 0x >()0g x '>()g x()()min 1g x g e ∴==a e ∴≤实数的最大值为∴a e 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方法将问题转变为参数与函数最值之间的关系，通过求解函数的最值得到结果. 20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x 万件，还需投入万0.1x 元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月()p x 21() 4.112p x x x =-++产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全8()13ln 0.1p x x x x=--+部售完．(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个y x 月生产口罩所获得的利润；(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到） 0.1参考数据：． ln 20.69≈【答案】(1)；7.5万元 214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元【分析】（1）利润等于销售收入减去固定成本减去原材料费（2）分段函数的最值，先分段求，再比较，较大的是最大值【详解】（1）当时； 05x <<22114.1110.1422y x x x x x =-++--=-+当时， 5x ≥8813ln 0.110.112ln y x x x x x x=--+--=--故月利润y 关于月产量x 的函数关系式为 214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩当时， 3x =19437.52y =-⨯+⨯=故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．（2）当时，， 05x <<22114(4)822y x x x =-+=--+故当时，y 取得最大值，最大值为8万元；4x =当时，， 5x ≥812ln y x x=--． 22188x y x x x'-=-+=当时，，当时，，58x ≤<0'>y 8x >0'<y 所以在上单调递增，在上单调递减， 812ln y x x=--[5,8)(8,)+∞故当时，y 取得最大值，且．8x =max 12ln81113ln 28.9y =--=-≈因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.98>8.9万元．21．如图，在三棱柱中，，． 111ABC A B C -11222AC AA AB AC BC ====160BAA ∠=︒(1)证明：平面平面．ABC ⊥11AA B B (2)设P 是棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．1CC 1A BC 11PA B 【答案】(1)证明见解析.【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角的余弦值.【详解】（1）设，在四边形中，∵，，连接，2AB =11AA B B 124AA AB ==160BAA ∠=︒1A B∴由余弦定理得，即 2221112cos6012A B AA AB AA AB =+-⋅︒=1A B =∵，∴22211A B AB AA +=1A B AB ⊥又∵，∴，22211A B BC A C +=1A B BC ⊥AB BC B ⋂=∴平面，1A B ⊥ABC ∵平面，1A B ⊂11AA B B ∴平面平面ABC ⊥11AA B B（2）取AB 中点D ，连接CD ，∵，∴AC BC =CD AB ⊥由（1）易知平面，且CD ⊥11AA B B CD =如图，以B 为原点，分别以射线BA ，为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系B -xyz 1BA则，，，，，，(2,0,0)A 1AC 1(B-1(C -P ，，,， 11(2,0,0)A B=-1(0,A P = ()10,BA = (BC = 设平面的法向量为，则 ，得， 11PA B (,,)n x y z = 11100n A B n A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x -=⎧⎪⎨=⎪⎩令，则，即取，1y =1z =(0,1,1)n = 设平面的法向量，则，得， 1A BC (,,)m x y z '''= 100BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00x ''⎧=='⎪⎨⎪⎩令，即取，x '=1z '=-)1m =-所以cos ,n m ==所以平面A 1BC 与平面11PA B22．已知函数其中，为的导函数. 2()(2)ln 2,f x ax a x x=-+-+R a ∈()f x '()f x (1)讨论函数的单调性； ()f x (2)若，试讨论函数在上的零点个数．0a >()f x ()1,e 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）求导，根据导函数的两个零点的大小关系结合导数的正负即可求解，（2）由（1）单调性的结果，分别求解函数的最值，结合最值即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，()f x (0,)+∞2222(2)2(2)(1)22()ax a x ax x a f x a x x x x '-++--+=-+==①当时，令得；令得.0a ≤()0f x '<1x >()0f x '>01x <<②当时，令得；令得. 02a <<()0f x '<21x a<<()0f x '>201x x a <或③当时，在恒成立.2a =()0f x '≥x ∈R ④当时，令得；令得. 2a >()0f x '<21x a<<()0f x '>201x x a <或综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；0a ≤()f x (0,1)(1,)+∞当时，在上单调递增，在上单调递减； 02a <<()f x ()20,1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭和，2(1,a 当时，在上单调递增；2a =()f x (0,)+∞当时，在上单调递增，在上单调递减. 2a >()f x ()20,1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2(,1)a （2）①当时，在上单调递增，，故在上没有零点；2a ≥()f x (1,e)()()12f x f a >=≥()f x (1,e)②当，即时，在上单调递减，要使在上有零点，则 20e a <≤2e a≥()f x (1,e)()f x (1,e) ，解得； ()()102e e 0e f a f a a ⎧=>⎪⎨=--<⎪⎩20e(e 1)a <<-③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 22e a <<21e a <<()f x 2(1,a 2(,e)a 由于， . (1)0f a =>()()()2224e e 1e 120e e e ef a =-->--=->令 ， ()()()()2222ln 22ln 1ln242ln2g a f a a a a a a a ⎛⎫==-+-+=+-++- ⎪⎝⎭令， 2()()ln ln 2h a g a a a'==+-则 ，所以在上单调递减 ()220a h a a -'=<()h a 2(,2)e 故，即，()()21h a h >=()0g a '>所以在上单调递增，， ()g a 2(,2)e ()2420e e g a g ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭所以在上没有零点.()f x (1,e)综上所述，当时，在上有唯一零点；20e(e 1)a <<-()f x (1,e)当时，在上没有零点.2e(e 1)a ≥-()f x (1,e)【点睛】本题考查了导数的综合运用，含参求解单调性时，要注意分类讨论，不重不漏.用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷(含解析)

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2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填在答题卷指定的位置上）1．（4分）下面命题中，正确命题的个数为（）①桌面是平面；②一个平面长3米，宽2米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间的点、线、面构成的；A．1B．2C．3D．42．（4分）如果OA∥O1A，OB∥O1B，那么∠AOB与∠A1O1B1（）A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对3．（4分）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°4．（4分）下面说法错误的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D．经过一条直线和一点，有且只有一个平面5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条6．（4分）棱柱的侧面一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形7．（4分）两直线不平行是这两直线是异面直线的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（4分）分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．可能共面，也可能异面9．（4分）已知直线a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线10．（4分）已知球的半径为6cm，则它的体积为（）A．36πcm3B．144πcm3C．288πcm3D．864πcm3 11．（4分）下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次收尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面12．（4分）已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件13．（4分）已知斜线段长是它在平面α上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，则异面直线DD1与AB之间的距离为（）A．B．1C．D．15．（4分）如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥SBB．二面角S﹣AB﹣D与二面角S﹣BC﹣D相等C．AB∥平面SCDD．平面SAB⊥平面SBC二、填空题：（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）16．（4分）若正方体的对角线长为a，那么正方体的表面积为．17．（4分）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为．18．（4分）用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是．19．（4分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大的铅球，那么，这个大铅球的表面积是．20．（4分）已知一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是．三、解答题：（本大题共7小题，满分70分。

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中监测数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中监测数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中监测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“02x ∃>，320020x x -<”的否定为A ．2x ∀>，3220x x -≥B ．2x ∀>，3220x x ->C ．02x ∃<，320020x x -≥D ．02x ∃<，320020x x ->2．已知复数3i3iz -=+，则z 的虚部为A ．45B ．4i5C ．35D ．35i3．函数f （x ）=2ln x －x 2的单调递增区间为A ．（－∞，－1）B ．（1，+∞）C ．（－1，1）D ．（0，1）4．用数学归纳法证明“nn n n ++++++12111 ≥2411（n ∈N *）”时，由n =k 到n =k +1时，不等试左边应添加的项是A ．221121+++k k B ．)2(21+k C ．2111221121+-+-+++k k k k D ．11221121+-+++k k k 5．已知a =（2，0，2），b =（3，0，0）分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是A ．（1，0，0）B ．（0，1，0）C ．（0，0，1）D ．（1，1，1）6．设m ∈R ，“m =－1”是“复数z =（m 2－m －2）+（m 2－3m －2）i 为纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是①y =cos x ，x ∈R 是三角函数；②三角函数是周期函数；③y =cos x ，x ∈R 是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①8．函数f （x ）的导函数是)(x f '，下图所示的是函数)()1(x f x y '⋅+=（x ∈R ）的图像，下列说法正确的是A ．x =－1是f （x ）的零点B ．x =2是f （x ）的极大值点C ．f （x ）在区间（－2，－1）上单调递增D ．f （x ）在区间[－2，2]上不存在极小值9．若函数y =f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f （x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．y =sin xB ．y =ln xC ．y =e xD ．y =x 310．设双曲线12222=-by a x （0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）、（0，b ）两点，且原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率A ．2B ．332C ．2和332D ．2和311．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为x 3+y 3－3axy =0．某同学对a =1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误．．的．是A ．曲线不经过第三象限B ．曲线关于直线y =x 对称C ．曲线与直线x +y =－1有公共点D ．曲线与直线x +y =－1没有公共点12．芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，成产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立3个科研小组，用A ，B ，C 三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为21sin 31=a ，31sin 21=b ，87cos31=c （单位：毫米），则三种芯片原料厚度的大小关系为A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若方程191622=-+-my m x 的图形是双曲线，则实数m 的取值范围是．14．在平面上，点（x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离公式为2200||BA C By Ax d +++=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，1，－3）到平面x +2y +3z +3=0的距离为．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BB 1C 1C 上一点，若A 1P ∥平面AEF ，则下列说法正确的是．①线段A 1P 的最大值是25②A 1P ⊥B 1D③A 1P 与DE 一定异面④三棱锥B －A 1PC 1的体积为定值16．若实数a ，b 能使不等式x ln x －a ln x ≥x +b 对任意x ∈R +恒成立，则ab的取值范围是是．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（本题满分10分）设F 为抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点D 的横坐标为1，︱AB ︱=3．求点D 到抛物线C 的准线的距离和抛物线C 的方程．18．（本题满分12分）已知函数f （x ）=ax 2－1－2ln x ，a ∈R ．（1）当a =1时，求证：f （x ）≥0；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）已知函数f （x ）=21ax 2+（2a －1）x －2ln x ．（1）当a =1时，求在点（2，f （2））处的切线方程；（2）当a ＞0时，求证：f （x ）≥a254-．20．（本题满分12分）已知四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥BC ，BC ∥AD ，PA =2AD =2，PD =5．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若AB =BC =2，PB =22，线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G －AD －P 的余弦值为552？若存在，求出PC PG 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）设函数f （x ）=（x －1）3－ax +b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）=f （x 0），其中x 1≠x 0，求x 1+2x 0的值．22．（本题满分12分）如图，A 、F 是椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左顶点和右焦点，P 是C 上在第一象限内的点．（1）若P （1，23），FP ⊥x 轴，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的离心率为e （21＜e ＜1），0=⋅PF P A ，求直线PA 的倾斜角θ的正弦．OFAxPy试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）ACDDBABBAACA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．9＜m ＜1614．71415．①④16．（－∞，－1]三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．解：过A 、B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为E 、H ，则根据抛物线的定义，有AF =AE ，BF =BH ，所以AE +BH =AF +BF =AB =3．因此在直角梯形ABHE 中，点D 到抛物线C 的准线的距离232=+=BH AE d ．………………5分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据抛物线的定义有︱AF ︱=︱AE ︱=12x p +，︱BF ︱=︱BH ︱=22x p+，∴︱AF ︱+︱BF ︱=︱AB ︱=p +x 1+x 2=3，而x 1+x 2=2，∴p =1，故抛物线C 的方程y 2=2x ．……………………10分另解：显然直线l 的斜率k 存在且不为0，设方程为2(px k y -=，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立y 2=2px 和2(p x k y -=，消去y ，整理，得04)21(222=++-p x kp x ，∴x 1+x 2=)21(2kp +，x 1x 2=42p ，于是︱AB ︱2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2－4x 1x 2]=9，代入整理，得2p （1+k 2）=3k 2．（1）注意到221(2=+kp ．（2）所以由（1）（2）解得p =1，k =2±，因此，抛物线C 的方程为y 2=2x ．18．（本题满分12分）证明：（1）当a =1时，f （x ）=x 2－1－2ln x （x ＞0），f （1）=0，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，当x =1时，函数f （x ）取得最小值，因此f （x ）≥f （1）=0，即f （x ）≥0．……………………6分（2）xax x f 22)(-='，x ＞0，①当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，至多有一个零点，不符合题意．②当a ＞0时，x a x a x a xax x f )1)(1(222)(-+=-='，可得当x =a1时，函数f （x ）取得最小值．当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞．∵函数f （x ）有两个零点，∴f （x ）min =0ln 1ln211)1(<=--=a aaf ，解得0＜a＜1．∴实数a 的取值范围是（0，1）．……………………12分法二由f （x ）=ax 2－1－2ln x =0，得a =2ln 21x x+．设h (x )=2ln 21xx+，∵f （x ）有两个零点，∴a =h （x ）有两个解．又h ′(x )=342ln 42)ln 21(2x x x xx x x -=⋅+-⋅．由h ′(x )＞0，得ln x ＜0，∴0＜x ＜1；由h ′(x )＜0，得ln x ＞0，∴x ＞1，∴函数h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h （x ）max =h （1）=1．当x →0时，h （x ）→－∞，当x →+∞时，h （x ）→0，画出h (x )=2ln 21xx+的草图，如图所示，由a =h （x ）有两个解，可知0＜a ＜1，故实数a 的取值范围是（0，1）．19．解：（1）当a =1时，x x x x f ln 221)(2-+=，x ＞0，则xx x f 21)(-+='，2)2(='f ，而f （2）=4－2ln 2，所以在点（2，f （2））处的切线方程为y =2（x －2）+4－2ln 2，即y =2x －2ln 2．……………………4分（2）对f （x ）求导得xx ax x a ax x f )2)(1(2)12()(+-=--+='，x ＞0．当a ＞0时，令f ′（x ）=0⇒x =a 1，所以x ∈（0，a1）时f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）单调递减；当x ∈（a1，+∞）时f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）单调递增，所以f （x ）min =f （a 1）=221ln 2+-aa ．只需证明221ln 2+-aa ≥a 254-⇔11ln -+aa ≥0（a ＞0）恒成立．设11ln )(-+=x x x g ，x ＞0，则22111)(xx x x x g -=-='，x ＞0．当x ∈（0，1）时，)(x g '＜0，函数g （x ）单调递减；当x ∈（1，+∞）时，)(x g '＞0，函数g （x ）单调递增；所以g （1）=0是g （x ）的极小值，故g （x ）≥g （1）=0，表明11ln -+aa ≥0（a ＞0）恒成立，故f （x ）≥a254-．……………………12分20．解：（1）由已知可知，PB ⊥BC ，BC ∥AD ，所以PB ⊥AD ．因为PA =2AD =2，PD =5，所以PA 2+AD 2=PD 2，所以PA ⊥AD ．所以AD ⊥平面P AB ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ．……………………4分（2）由AB =BC =2，PB =22，得PA 2+AB 2=PB 2，所以AB ⊥PA ，说明AB ，AD ，AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示坐标系，则A （0，0，0），D （0，1，0），P （0，0，2），C （2，2，0）．设线段PC 上存在一点G ，即PC PG λ=（0≤λ≤1），使二面角G －AD －P 的余弦值为552，因为PC =（2，2，－2），则PG =（2λ，2λ，－2λ），所以G （2λ，2λ，2－2λ），AG =（2λ，2λ，2－2λ），AD =（0，1，0）．因为AB ⊥平面ADP ，所以平面ADP 的法向量为AB 方向的单位向量b =（1，0，0）．设平面GAD 的法向量a =（x ，y ，z ），则()22220AG a x y z AD a y λλλ⎧⋅=++-+⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令z =λ，得a =（λ－1，0，λ），因为二面角G －AD －P 的平面角β为锐角，所以552122|1||||||,cos |cos 2=+--=⋅=><=λλλβb a b a b a ，解得31=λ（舍去负值）．故线段PC 上存在一点G 使二面角G －AD －P 的余弦值为552，此时31=PC PG ．………………12分21．解：（1）由f （x ）求导，可得)(x f '=3（x －1）2－a ．下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有)(x f '≥0恒成立，所以f （x ）的单调递增区间为（－∞，+∞）；②当a ＞0时，令)(x f '=0，解得31ax ±=．当x 变化时，)(x f '，f （x ）的变化情况如下表：x （－∞，31a -）31a -31a -31a +31a +（31a+，+∞）)(x f '+0－0+f （x ）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f （x ）的单调递减区间为31a -31a +，单调递增区间为（－∞，31a-），（31a +，+∞）．……………………6分（2）因为f （x ）存在极值点，所以由（1）知a ＞0，且x 0≠1，由题意，得)(0x f '=3（x 0－1）2－a =0，即a =3（x 0－1）2．进而由f （x 1）=f （x 0），其中x 1≠x 0，得（x 1－1）3－ax 1+b =（x 0－1）3－ax 0+b ⇔（x 1－1）3－（x 0－1）3－ax 1+ax 0=0⇔[（x 1－1）－（x 0－1）][（x 1－1）2+（x 1－1）（x 0－1）+（x 0－1）2]－a （x 1－x 0）=0⇔（x 1－1）2+（x 1－1）（x 0－1）+（x 0－1）2－a =0⇔（x 1－1）2+（x 1－1）（x 0－1）－2（x 0－1）2=0⇔[（x 1－1）+2（x 0－1）][（x 1－1）－（x 0－1）]=0⇔（x 1+2x 0－3）（x 1－x 0）=0⇔x 1+2x 0=3． (12)分22．解：（1）由已知可得c =1，所以a 2=b 2+1．又点P （1，23）在椭圆C ：12222=+b y a x 上，所以149122=+ba ．联立，解得a 2=4，b 2=3，因此椭圆C的方程为13422=+y x ．……………………4分（2）由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2=b 2+c 2，ace =．设点P 的坐标为P （x 0，y 0），则),(00y x a P A ---=，),(00y x c PF --=，∵0=⋅PF P A ，∴PF P A ⊥，表明△PAF 是直角三角形，于是0))((2000=+---=⋅y x c x a PF P A ，∴2000020)())((x x a c ac x c x a y --+=-+=．①∵P 是椭圆C 上在第一象限内的点，∵1220220=+by a x ，即22202202b a y a x b =+．②将①代入②得222002202])([b a x x a c ac a x b =--++，即0)()()(22022022=-+-+-b ac a x a c a x a b ，∴0)]())[((20220=-+-+b ac a x a b a x ，由于x 0+a ＞0，∴只有0)()(2022=-+-b ac a x a b ，得2220)(ba b ac a x --=．∵c =ea ，b 2=a 2－c 2，∴222220)1()(ee e a c a c ac a x -+=-+=．③根据椭圆的定义，有002)(||ex a x ca e PF -=-=，而c a AF +=||，∴在Rt △PAF 中，有ca ex a AF PF +-==0||||sin θ．④将③代入④得ee e e e e ae a a ae ae ae c a e e e a e a -=+-=++--=+-+⋅-=1)1(1)()1(sin 2222θ．……………………12分解法二：由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2=b 2+c 2，ace =，则直线PA 的方程为y =（x +a ）tan θ，20πθ<<．（*）将直线PA 的方程与椭圆方程联立，消去y 后，得（b 2+a 2tan 2θ）x 2+2a 3tan 2θ·x +a 4tan 2θ－a 2b 2=0．（**）OFAxPy因为点A （－a ，0）和P （x 0，y 0）的坐标满足方程（*）和（**），所以，有θθ222230tan tan 2)(a b a a x +-=-+，即θθ2222220tan )tan (a b a b a x +-=，y 0=（x 0+a ）tan θ=θθ2222tan tan 2a b ab +．若0=⋅PF P A ，则PF P A ⊥，表明△PAF 是直角三角形，从而有︱PA ︱2+︱PF ︱2=︱AF ︱2，∴（x 0+a ）2+y 02+（x 0－c ）2+y 02=（a +c ）2，∴x 02+y 02+（a －c ）x 0=ac ．将x 0、y 0代入上式，得222222222)tan ()tan (θθa b a b a +-+2222242)tan (tan 4θθa b b a ++θθ222222tan )tan )((a b a b c a a +--=ac ．去分母，整理，得)2())(()2()(tan 22222222ac a c a c a c a ac b a a c a b +---=+--=θ=2222)()2)(())((a ac c a a c c a a c a c a --=-+-+，将c =ea 代入，得12)1(tan 22--=e e θ⇔12)1(sin 1sin 222--=-e e θθ⇔222)1(sin e e -=θ，于是e e -=1sin θ．解法三：过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，设P （x 0，y 0），则有︱AF ︱=a +c ．∵0=⋅PF P A ，∴PA ⊥PF ，得︱PA ︱=︱AF ︱·cos θ=（a +c ）cos θ，︱PF ︱=（a +c ）sin θ．由︱PA ︱2=︱AF ︱·（a +x 0），得（a +c ）2cos θ=（a +x 0），∴a +x 0=（a +c ）cos 2θ⇒x 0=（a +c ）cos 2θ－a ．根据椭圆的定义有，002)(||ex a x ca e PF -=-=，而c a AF +=||，∴sin θ=ca ex a +-0，即a －ex 0=（a +c ）sin θ⇒]sin )([10θc a a e x +-=，∴a c a c a a e--+=+-)sin 1)((]sin )(12θθ由ac e =，得c =ea 代入上式，整理得e sin 2θ－sin θ+1－e =0，显然sin θ≠1，所以，得sin θ=e e -1．O F A x Py Q。

2020-2021成都市树德实验中学(西区)高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)

2020-2021成都市树德实验中学(西区)高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)

2020-2021成都市树德实验中学（西区）高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ） A ．3B ．212C ．22D ．25．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．67．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β8．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ） A ．3B ．22C ．23D ．2510．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．111．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶5 D ．3∶212．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________15．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是__________．16．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________. 17．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.18．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.19．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题21．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭.（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（2）若3πθ=，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.22．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积23．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 截得弦长为2. （1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.24．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．25．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程． 26．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．4．D解析：D 【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PAPA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．B解析：B 【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．9．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为 10， 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．10．A解析：A 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 3【解析】 【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin . 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126AO AO ==，易知232sin 36θ==. 故答案为：33【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④ 【解析】 【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论． 【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错； 对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错； 对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④ 【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．15．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件解析：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =． 随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥， 得CB ⊥平面ADB ，则CB BD ⊥．又2CD =，1BC =，则BD =． 因为1AD =，2AB =， 所以AD BD ⊥，故12t =． 综上，t 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.16．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两解析：【解析】 【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=， 由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为 【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.17．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝2，由此能求出该球的表面积．【详解】由题意得该三棱锥的面PCD的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD O1D＝1，OB＝OD，得OB∴三棱锥P﹣BDC的外接球半径R，∴该球的表面积S＝4πR2＝474π⨯＝7π．故答案为：7π．【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．18．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心解析：523π【解析】【分析】如图所示，根据外接球的球心O恰好是CD的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ， 由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==⨯⨯=， 解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123CO =， 所以22223133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α解析：②④ 【解析】 【分析】对每一个选项分析判断得解. 【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确． 故答案为②④ 【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得r =ABC V 中，2AB AC ==，BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离d ==点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC V 所在平面截球所得圆（即ABC V 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法. 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）4【解析】 【分析】（1）证明DE ∥BC ，DE ⊥平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，由面面垂直的判定定理即可证出平面ABD ⊥平面ABC ；（2）取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，所以AO ⊥平面BCDE ，所以以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(00A ,，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）由题意可知DE 为ABC V 的中位线，所以//DE BC BC ， 因为90B =o ∠，所以BC AB ⊥，所以DE AB ⊥，因为图（2）所示的空间图形是由ABC V 沿中位线DE 翻折得到的，所以DE AD ⊥，DE BD ⊥，又AD BD D =I ， 所以DE ⊥平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABD ⊥平面ABC ；（2）由（1）可知二面角A DE C --的平面角即为ADB ∠，所以3πθ∠==ADB ，因为AD BD =，所以ABD △为等边三角形，如图取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，Q 平面ABD ⋂平面BCDE BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCDE ，所以以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设图1等腰直角ABC V 中4AB =，则图2中2AD BD AB ===，则()003A ,,，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -， 所以()1,0,3AB =-uu u r ，()1,4,3=-u u u r AC ，()1,2,3=--u u u rAE ，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r，所以有00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即30430x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，取()3,0,1m =u r ，设直线AE 与平面ABC 所成的角为α，所以6sin cos ,m AE m AE m AEα⋅=<>==⋅u r u u u r u r u u u r u u r u u u u r ，所以直线AE 与平面ABC 所成的角的正弦值为64.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及空间中直线与平面所成角的求法，解题时要会用法向量求线面角.22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，由5,4GD DE ==，42,4GC CF ==得223GE GD CF =-=224GF GC CF =-=， 所以5EF =，在EFG V 中 ，有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，得CF ⊥平面EFG ， 所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG ;（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ，则125EG GF GH EF ⋅== 因为平面CDEF ⊥平面EFG ，得GH ⊥平面CDEF ，1163CDEF CDEF V S GH =⋅=23．（1）()()22111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r > 圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离： 111222d +-==， 则2222111222r d ⎛=+=+= ⎝⎭∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切. ②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+ 则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离：1d ==解得： 43k =，即34k =则切线方程为： 3460x y -+=综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+= 24．（1）()()22314x y -+-=（2）【解析】 【分析】（1）首先列出圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222S PM PM =⨯⨯⨯=，这样求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>．由题意得()()()()222222250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨=-⎩解得3,1,x y =⎧⎨=⎩从而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()22314x y -+-=． （2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以12PMC S PM CM PM =⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥，所以PM ==因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以3PC ≥=，则245PM PC =-≥，即225PMC S S =≥V ．故四边形PMCN 的面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合. 25．（1）；（2）.【解析】 试题分析：解题思路：（1）因为圆与直线x+y ﹣1=0相切，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先判定过P 点的最短弦所在直线与过P 点的直径垂直，再进行求解.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识. 试题解析：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=2．圆的圆心坐标为C （1，﹣2），则过P 点的直径所在直线的斜率为﹣， 由于过P 点的最短弦所在直线与过P 点的直径垂直， ∴过P 点的最短弦所在直线的斜率为2，∴过P 点的最短弦所在直线的方程y+=2（x ﹣2），即4x ﹣2y ﹣13=0. 考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系. 26．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=. 【解析】 【分析】（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由1020x y -=⎧⎨-=⎩可求得定点坐标.由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1l 的方程. 【详解】解：（1）12//l l Q ，21a ∴=，解得1a =±检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l 当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l 综上：1a =±.（2）解：1:20l ax y a +--=Q 整理可得()120a x y -+-= ，由1020x y -=⎧⎨-=⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQ k -==+，则1l 的斜率113PQk k =-=- ， 即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=. 【点睛】本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P 到直线1l 的距离最大.易错点是做第一问时，求出1a =± 后未检验.对于已知直线平行，根据系数关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证.。

2012年四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷及答案解析

2012年四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷及答案解析

2012年四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的．1．（5分）2x3+x2﹣13x+6的因式是（）A．2x﹣1B．x+2C．x﹣3D．x2+12．（5分）计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2009+2010﹣2011﹣2012＝（）A．0B．﹣1C．2012D．﹣20123．（5分）简化，所得结果正确的是（）A．＝1++B．＝1﹣+C．＝1+﹣D．＝1﹣﹣4．（5分）设b＜a＜0，，则等于（）A．B．﹣C．﹣3D．35．（5分）如图，AD是圆内接△ABC的边BC上的高，AE是圆的直径，AB＝，AC＝1，则AE•AD＝（）A．B．C．2D．6．（5分）关于x的方程：k（k+1）（k﹣2）x2﹣2（k+1）（k+2）x+k+2＝0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（）A．2B．3C．4D．57．（5分）a、b都是自然数，且123456789＝（11111+a）（11111﹣b），则（）A．a﹣b是奇数B．a﹣b是4的倍数C．a﹣b是2的倍数，但不一定是4的倍数D．a﹣b是2的倍数，但不是4的倍数8．（5分）已知abc≠0，而且，那么直线y＝px+p一定通过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限9．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，CA＝CB＝3，D是BC上一点，且＝，点M 是斜边AB上一动点，则△CMD的周长的最小值是（）A．1+B．1+C．1+2D．1+10．（5分）如果对于某一特定范围内的x的任意允许值，P＝|10﹣2x|+|10﹣3x|+|10﹣4x|+|10﹣5x|+…+|10﹣10x|为定值，则此定值是（）A．20B．30C．40D．5011．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，现有以下结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b≥m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．（5分）已知方程：x3﹣3x2+（m+2）x﹣m＝0的三个互不相等的实数根为一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜1B．m＞C．＜m＜1D．1＜m＜二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）由小到大排列各分数：，，，，，是．14．（4分）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[﹣0.3]＝﹣1．则[]＝．15．（4分）已知△ABC三内角A、B、C满足：A≥B≥C，且A＝2C，则角B的取值范围是．16．（4分）已知x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10都是正整数，且x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10＝24，若x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的最大值与最小值的和是．三、解答题：本大题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．18．（9分）计算下列各题（1）（1﹣）0+（）﹣2++2|sin60°﹣1|；（2）++++（3）+++…+．19．（8分）n为大于2的正整数，大家知道：1+2+3+…+n＝，请看下面的计算：∵（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1∴n＝1时，23﹣13＝3×12+3×1+1n＝2时，33﹣23＝3×22+3×2+1n＝3时，43﹣33＝3×32+3×3+1…n＝n时，（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1把以上的n个等式相加得：（n+1）3﹣1＝3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n 所以，3（12+22+32+…+n2）＝（n+1）3﹣（n+1）﹣3，即12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）类比上述方法，求13+23+33…+n3．20．（12分）如图，在边长为2的正△ABC内有一点P，它到三边BC、AB、AC的距离分别是PD、PE、PF．求：（1）PD+PE+PF的值；（2）PD2+PE2+PF2的最小值；（3）△DEF面积的最大值．21．（12分）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．22．（12分）如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB＝4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．（1）若PC＝PD，求PB的长．（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2＝4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．23．（12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用y 表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：y＝（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）一个数学难题，需要55（或以上）的接受能力，上课开始30分钟内，求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟？（3）如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，填写下表：x51015202530y再计算六个y值得平均值M，它能高于45吗？2012年四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的．1．【分析】将2x3+x2﹣13x+6利用分组分解法分解因式，注意首先拆项可得：2x3+x2﹣10x ﹣3x+6，然后将前三项作为一组，后两项作为一组分解即可求得答案．【解答】解：∵2x3+x2﹣13x+6＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2）＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3）＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．故选：A．【点评】此题考查了因式分解的知识．此题难度较大，解题的关键是将原多项式拆项，利用分组分解法求解；还要注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解，四项或四项以上的采用分组分解法．2．【分析】原式除去第一项，以及后三项，两两结合，利用化为相反数两数之和为0计算，即可得到结果．【解答】解：原式＝1+[（2﹣3）+（﹣4+5）+（6﹣7）+（﹣8+9）+…+（2006﹣2007）+（﹣2008+2009）]+（2010﹣2011）﹣2012＝1﹣1﹣2012＝﹣2012．故选：D．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．3．【分析】先通分，再得出完全平方式，最后根据二次根式的性质开出来，即可得出答案．【解答】解：＝＝＝＝＝1+＝1+﹣，故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质和分式的加法法则的应用，主要考查学生的计算能力．4．【分析】对已知条件进行转化，分别求出a+b与a﹣b的值，然后代入即可得到答案．【解答】解：∵，∴±2ab+±2ab，∴（a+b）2＝ab，（a﹣b）2＝ab，∴，∴＝±3，又∵b＜a＜0，∴a+b＜0，a﹣b＞0∴＝﹣3故选：C．【点评】本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对已知条件进行转化及符号的确定是正确解答本题的关键．5．【分析】先连接BE，再证出∠ABE＝90°，∠ADB＝90°，∠ABE＝∠ADB，再根据∠AEB＝∠ACB，证出△AEB∽△ACD，得出AE•AD＝AB•AC，最后把AB＝，AC＝1代入计算即可．【解答】解；连接BE，∵AE是圆的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠ADB，∵∠AEB＝∠ACB，∴△AEB∽△ACD，∴＝，∴AE•AD＝AB•AC，∵AB＝，AC＝1，∴AE•AD＝×1＝；故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、圆周角定理，关键是作出辅助线构造相似三角形．6．【分析】分类讨论：当k（k+1）（k﹣2）＝0且（k+1）（k+2）≠0，原方程为一元一次方程，此时k＝0或2；当k（k+1）（k﹣2）≠0，原方程为一元二次方程，再解Δ＝4[（k+1）（k+2）]2﹣4k（k+1）（k﹣2）（k+2）＝0得到k＝﹣2或﹣．【解答】解：当k（k+1）（k﹣2）＝0且（k+1）（k+2）≠0，原方程只有一个实数解，解得k＝0或2；当k（k+1）（k﹣2）≠0且Δ＝4[（k+1）（k+2）]2﹣4k（k+1）（k﹣2）（k+2）＝0时，原方程只有一个实数解，解得k＝﹣2或﹣．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元一次方程的解．7．【分析】由已知等式可判断a、b均为偶数，将等式右边展开，即（11111+a）（11111﹣b）＝111112+11111（a﹣b）﹣ab，而等式左边123456789被4除余1，再分别讨论等式右边展开式的整除性，得出结论．【解答】解：由已知等式可知a、b均为偶数，∵（11111+a）（11111﹣b）＝111112+11111（a﹣b）﹣ab，123456789被4除余1，其中111112被4除余1，ab被4除余0，∴11111（a﹣b）被4除余0，∴a﹣b是4的倍数．故选：B．【点评】本题考查了整数的整除性．关键是明确已知等式左右两边的数奇偶性相同．8．【分析】先根据，列出方程，然后根据一次函数的性质即可得出答案．【解答】解：由条件得：①a+b＝pc，②b+c＝pa，③a+c＝pb，三式相加得2（a+b+c）＝p（a+b+c）．∴有p＝2或a+b+c＝0．当p＝2时，y＝2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c＝0时，不妨取a+b＝﹣c，于是p＝＝﹣1，（c≠0），∴y＝﹣x﹣1，∴直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系及比例的性质，难度不大，关键是根据a+bc＝b+ca＝c+ab＝p列出方程，然后讨论求解．9．【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形得出∠BAC的度数，由CA＝CB＝3，D是BC 上一点，且＝求出AD的长，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′，由线段垂直平分线的性质可知，AD＝AD′，∠DAD′＝2∠BAC＝90°，在Rt△ACD′中根据勾股定理即可求出CD′的长，故可得出结论．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB＝3，D是BC上一点，且＝，∴AD＝2，CD＝1，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′，∵点D于点D′关于直线AB对称，∴AD＝AD′＝2，∠DAD′＝2∠BAC＝90°，在Rt△ACD′中，CD′＝＝＝，∴△CMD的周长的最小值＝CD′+CD＝+1．故选：D．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．10．【分析】若P为定值，则化简后x的系数为0，由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简．【解答】解：∵P＝|10﹣2x|+|10﹣3x|+|10﹣4x|+…+|10﹣10x|为定值，∴求和后，P最后结果不含x，亦即x的系数为0．∵2+3+4+5+6+7＝8+9+10．∴x的取值范围是：10﹣7x≥0且10﹣8x≤0或10﹣7x≤0且10﹣8x≥0解得：≤x≤；∴P＝（10﹣2x）+（10﹣3x）+…+（10﹣7x）﹣（10﹣8x）﹣（10﹣9x）﹣（10﹣10x）＝60﹣30＝30．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，利用已知得出P的表达式化简后x的系数为0进而求出是解题关键．11．【分析】利用二次函数图象的开口方向，对称轴，与x、y轴的交点，以及特殊的x＝1、﹣1、2或﹣2的特殊值，进行判定退出即可．【解答】解：①如图，抛物线开口方向向下，则a＜0．对称轴为x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＞0，抛物线与y轴交点（0，c）的纵坐标c＞0，所以，abc＜0．故①错；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以b＞a+c，故②错；③当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故以③正确；④因为a＝﹣b，又a﹣b+c＜0，所以2c＜3b，④正确；⑤因为当m＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b＞m（am+b）），⑤正确．综上所知③④⑤正确．故选：B．【点评】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，注意抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点以及一些特殊的函数值．12．【分析】由x3﹣3x2+（m+2）x﹣m＝0，利用因式分解法可得：（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0，即可求得有一根为1，设x1，x2是x2﹣2x+m＝0的两根，又由x3﹣3x2+（m+2）x﹣m＝0的三个互不相等的实数根为一个三角形三边的长，可得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝m，（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1，x2＝4﹣4m，又由|x1﹣x2|＜1，可得4﹣4m＜1，继而求得答案．【解答】解：∵x3﹣3x2+（m+2）x﹣m＝（x3﹣x2）﹣[2x2﹣（m+2）x+m]＝x2（x﹣1）﹣（2x﹣m）（x﹣1）＝（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0，∴x﹣1＝0或x2﹣2x+m＝0，∴有一根为1，∵x3﹣3x2+（m+2）x﹣m＝0的三个互不相等的实数根，∴x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根为一个三角形三边的长，∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1，设x1，x2是x2﹣2x+m＝0的两根，则x1+x2＝2，x1•x2＝m，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1，x2＝4﹣4m，∵|x1﹣x2|＜1，∴4﹣4m＜1，解得：m＞，∴实数m的取值范围是：＜m＜1．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系、根与系数的关系、根的判别式以及因式分解的应用．此题难度较大，注意能得到（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0是解此题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．【分析】本题比较复杂，如果先把分子通分再比较分母的大小即可．【解答】解：∵＝；＝，＝，＝，＝，＝，∴＜＜＜＜＜．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，利用估算法比较有理数的大小也是一种常用的方法．14．【分析】根据定义的内容解答即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴13＜16﹣＜14，∴3＜＜4，∴﹣1＜＜0，∴[]＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，准确估算无理数的大小是解题的关键．15．【分析】利用已知条件和三角形内角和定理列出不等式组，解不等式组即可．【解答】解：根据题意，得．则C＝，因此．解不等式组得：45°≤B≤72°．故答案是：45°≤B≤72°．【点评】本题主要考查了三角形边角关系，解题的关键是掌握三角形内角和定理，难度不大．16．【分析】由题意可知，当10个数都相等时式子有最小值，而此时这10个数不是正整数，所以式子的最小值一定出现在2或3处，分别验证即可确定最小值；当式子中的一个整数尽量取最大，就能式所求的式子的值最大，此时其它数就需要尽量小，根据此思想能够确定式子的最大值．【解答】解：∵x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10＝24，当10个数都相等时，x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的值最小，此时这10个数分别是2.4，∵x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10都是正整数，∴当其中9个是2，1个是6时，x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的值是4×9+36×1＝72，当其中4个是3，6个是2时，x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的值是4×9+6×4＝60，∴x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的最小值是60，当其中9个是1，1个是15时，x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的值最大，最大值为225+9＝234，∴x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的最大值与最小值的和是294，故答案为：294．【点评】本题考查数字的变化规律，熟练掌握平方数的特点，根据整数的特点，通过分析计算求出式子的最大值和最小值是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【分析】用反证法证明就可以代入特殊值来看看，令b＝4，c＝5可以证明命题①不正确，b＝1，c＝，可以证明命题③不正确若，命题②正确可证明．【解答】解：令b＝4，c＝5可以证明命题①不正确．若b＝1，c＝，可以证明命题③不正确．命题②正确，证明如下由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．则c＞＞，c＞＞0故a2+ab+c＝+（c﹣）＞0【点评】本题考查灵活运用反例的能力以及灵活掌握不等式的能力．18．【分析】（1）根据了零指数幂和负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值得到原式＝1+9++1+2（1﹣），然后去括号合并即可；（2）把每个分数化为两个分数的差的，然后进行加减运算；（3）先分母有理化得到分母为两个连续整数的积，再化为两个二次根式的减法，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝1+9++1+2（1﹣）＝1+9++1+2﹣＝13；（2）原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝（1﹣）＝；（3）原式＝+++…+＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．19．【分析】根据题意得，（n+1）4﹣n4＝4n3+6n2+4n+1，按照题中规律计算出13+23+33…+n3即可．【解答】解：∵（n+1）4﹣n4＝4n3+6n2+4n+1，∴n＝1时，24﹣14＝4×13+6×12+4×1+1n＝2时，34﹣24＝4×23+6×22+4×2+1n＝3时，44﹣34＝4×33+6×32+4×3+1…n＝n时，（n+1）4﹣n4＝4n3+6n2+4n+1，把以上的n个等式相加得：（n+1）4﹣14＝4×（13+23+33…+n3）+6×（12+22+32+…+n2）+4×（1+2+3+…+n）+n，∴4×（13+23+33…+n3）＝（n+1）4﹣1﹣6×（12+22+32+…+n2）﹣4×（1+2+3+…+n）﹣n，整理得：4×（13+23+33…+n3）＝n2（n+1）2，∴13+23+33…+n3＝n2（n+1）2．【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出由高次向低次的转化规律是解题的关键．20．【分析】（1）如图1中，连接P A，PB，PC，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法解决问题即可．（2）由（PE﹣PF）2≥0，（PE﹣PD）2≥0，（PF﹣PD）2≥0，推出PE2+PF2≥2PE•PF，PE2+PD2≥2PE•PD，PF2+PD2≥2PF•PD，由（PE+PF+PD）2＝PE2+PF2+PD2+2PE•PF+2PE•PD+2PD•PF，推出PE2+PF2+PD2＝3﹣（2PE•PF+2PE•PD+2PF•PD），推出PE2+PF2+PD2≥3﹣（PE2+PF2+PE2+PD2+PF2+PD2），可得PE2+PF2+PD2≥1解决问题．（3）如图2中，作FH⊥DP交DP的延长线于H．首先证明S△PDF＝•PD•PF，同法可证，S△PDE＝•PD•PE，S△PEF＝•PE•PF，根据S△DEF＝S△PDF+S△PED+S△PEF＝（PD•PF+PE•PD+PE•PF）＝（2PD•PF+2PE•PD+2PE•PF）≤（2PE2+2PF2+2PD2）≤，解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，连接P A，PB，PC，过点A作AH⊥BC于H．∵S△ABC＝S△P AB+S△P AC+S△PBC，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，∴•BC•AH＝•AB•PE+•AC•PF+•BC•PD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴AH＝PE+PF+PD，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝2，∠ABH＝60°，∴AH＝AB•sin60°＝，∴PE+PF+PD＝．（2）∵（PE﹣PF）2≥0，（PE﹣PD）2≥0，（PF﹣PD）2≥0，∴PE2+PF2≥2PE•PF，PE2+PD2≥2PE•PD，PF2+PD2≥2PF•PD，∵（PE+PF+PD）2＝PE2+PF2+PD2+2PE•PF+2PE•PD+2PD•PF，∴PE2+PF2+PD2＝3﹣（2PE•PF+2PE•PD+2PF•PD），∴PE2+PF2+PD2≥3﹣（PE2+PF2+PE2+PD2+PF2+PD2），∴3PE2+3PF2+3PD2≥3，∴PE2+PF2+PD2≥1，∴当PE＝PF＝PD时，PD2+PE2+PF2的最小值为1．（3）如图2中，作FH⊥DP交DP的延长线于H．∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵PD⊥BC，PF⊥AC，∴∠PDC＝∠PFC＝90°，∴∠DPF＝120°，∴∠FPH＝60°，∴S△PDF＝•PD•FH＝•PD•PF•sin60°＝•PD•PF，同法可证，S△PDE＝•PD•PE，S△PEF＝•PE•PF，∴S△DEF＝S△PDF+S△PED+S△PEF＝（PD•PF+PE•PD+PE•PF）＝（2PD•PF+2PE•PD+2PE•PF）≤（2PE2+2PF2+2PD2）≤，∴△DEF的面积的最大值为．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，完全平方公式，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考压轴题．21．【分析】（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，），B（2，0）分别代入，得到a，b方程组，解出a，b，得到直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，再代入反比例函数解析式确定m的值；（2）由y＝﹣x+2和y＝﹣联立解方程组求出C点坐标（3，﹣），利用勾股定理计算出OC的长，得到OA＝OC；在Rt△OAB中，利用勾股定理计算AB，得到∠OAB＝30°，从而得到∠ACO的度数；（3）由∠ACO＝30°，要OC′⊥AB，则∠COC′＝90°﹣30°＝60°，即α＝60°，得到∠BOB′＝60°，而∠OBA＝60°，得到△OBB′为等边三角形，于是有B′在AB 上，BB′＝2，即可求出AB′．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，），B（2，0）分别代入，得，解得k＝﹣，b＝2∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2；∵点D（﹣1，a）在直线AB上，∴a＝+2＝3，即D点坐标为（﹣1，3），又∵D点（﹣1，3）在反比例函数的图象上，∴m＝﹣1×3＝﹣3，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（2）过C点作CE⊥x轴于E，如图，根据题意得，解得或，∴C点坐标为（3，﹣），∴OE＝3，CE＝，∴OC＝＝2，而OA＝2，∴OA＝OC，又∵OB＝2，∴AB＝＝4，∴∠OAB＝30°，∴∠ACO＝30°；（3）∵∠ACO＝30°，而要OC′⊥AB，∴∠COC′＝90°﹣30°＝60°，即△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为60°时，OC′⊥AB；如图，∴∠BOB′＝60°，∴点B'在AB上，而∠OBA＝60°，∴BB′＝2，∴AB′＝4﹣2＝2．【点评】本题考查了利用待定系数法求图象的解析式．也考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式和旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．22．【分析】（1）由于PC，PD都是切线，那么三角形ACP和PDB就都是直角三角形，那么我们可以用勾股定理来表示出PC2和PD2，由于PC＝PD，那么可得出关于CA2、AP2、PB2、BD2的比例关系式，已知了AC，BD，AB的值如果我们用PB表示出AP，就能在这个比例关系式中求出PB的值；（2）方法同（1）类似只不过相等改成了PC2+PD2＝4，可用（1）的方法先求出PB的长，然后根据PB的取值范围来判断有几个符合条件的值；（3）要两个三角形相似，已知的条件有∠ACP＝∠BDP＝90°，AC：BD＝2：1，那么只要让PC：PD＝2：1，就能构成三角形相似判定中两组对应边对应成比例且夹角相等的条件，两三角形相似后∠CP A＝∠CPB，如果延长CP那么CP延长线与PD组成的角中，PB正好是角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，可得出B到CP延长线的距离等于半径BD的长，因此CP与⊙B也相切．【解答】解：（1）∵PC切⊙A点于C，∴PC⊥AC，PC2＝P A2﹣AC2，同理PD2＝PB2﹣BD2，∵PC＝PD，∴P A2﹣AC2＝PB2﹣BD2设PB＝x，P A＝4﹣x代入得x2﹣12＝（4﹣x）2﹣22，解得x＝，1＜＜2，即PB的长为（P A长为＞2），（2）假定存在一点P使PC2+PD2＝4，设PB＝x，则PD2＝x2﹣1 PC2＝（4﹣x）2﹣22，代入条件得（4﹣x）2﹣22+x2﹣1＝4，代简得2x2﹣8x+7＝0解得x＝2±，∵P在两圆间的圆外部分，∴1＜PB＜2即1＜x＜2，∴满足条件的P点只有一个，这时PB＝2﹣，（3）当PC：PD＝2：1或PB＝时，也有△PCA∽△PDB，这时，在△PCA与△PDB中或，∠C＝∠D＝90°，∴△PCA∽△PDB，∴∠BPD＝∠APC＝∠BPE（E在CP的延长线上），∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等，∵⊙B与PD相切，∴⊙B也与CP的延长线PE相切．【点评】本题主要考查了切线性质的判定以及相似三角形的判定，具有一定的综合性，难度较大．23．【分析】（1）根据已知中的函数解析式，分析出函数的增减性，求出函数的最大值点，及取最大值时，自变量的取值范围，可得答案．（2）根据题意，构造不等式y≥55，另外根据分段函数的解析式，分段讨论后，综合讨论结果可得答案；（3）根据（1）中解析式以及x的取值范围分别代入求出y的值，进而求出平均数即可．【解答】解：（1）0＜x≤10时，有y＝﹣0.1x2+2.6x+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9，对称轴x＝13在区间（0，10]右边，故当0＜x≤10时，y递增，最大值为：当y＝10时，10＝﹣0.1×（﹣3）2+59.9＝59；显然，当16＜x≤30时，y递减，y＜﹣3×16+107＝59．因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟；（2）依题意，当0＜x≤10时，令y≥55，则（x﹣13）2≤49，∴6≤x≤10；当10＜x≤16时，y＝59符合要求；当16＜x≤30时，令y≥55，则x≤17，因此，学生不低于55的接受能力的时间共有17﹣6＝11（分钟）；（3）当x＝5，则y＝﹣0.1×52+2.6×5+43＝53.5，当x＝10，则y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59，当x＝15，则y＝59，当x＝20，则y＝﹣3×20+107＝47，当x＝25，则y＝﹣3×25+107＝32，当x＝30，则y＝﹣3×30+107＝17，∴（53.5+59+59+47+32+17）≈44.58＜45，答：计算六个y值得平均值M，它不能高于45．【点评】本题考查了分段函数，分段函数分段处理是解答分段函数时，最常用的方法，它是分类讨论思想在解答函数问题时的简单应用．第16页（共16页）。

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高2012级第四期期中考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为( )A. 若a ＞b ，则有2a ≤2b －1.B. 若a ≤b ，则有2a ≤2b －1.C. 若a ≤b ，则有2a ＞2b －1.D. 若2a ≤2b －1，则有a ≤b . 2. 抛物线=22y x 的焦点坐标是( ) .A.1(,0)2B.-1(,0)2C. 1(0,)8D. -1(0,)83.函数()f x ,则'-=(4)f （ ）.A.-16B.-13C.16D.134. 直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为( )．A ．m ＜1B ．－3＜m ＜1C ．－4＜m ＜2D ．0＜m ＜15.已知椭圆+=2211216x y ，则以点-(1,2)M 为中点的弦所在直线方程为( ).A.-+=38190x yB. +-=38130x yC. -+=2380x yD. +-=2340x y 6.已知O 为坐标原点，直线=+y x a 与圆+=224x y 分别交于A,B 两点．若⋅=-2OA OB ，则实数a 的值为（ ）.A ．1B ．2C ．1±D ．2± 7. 在R 上可导的函数()f x 的图形如图所示，则关于x 的 不等式'⋅<()0x f x 的解集为（ ）. A 、-∞-(,1)(0,1) B 、-+∞(1,0)(1,) C 、--(2,1)(1,2)D 、-∞-+∞(,2)(2,)8.已知双曲线-=>>22221(0,0)x y a b a b与抛物线=>22(0)y px p有一个共同的焦点F, 点M 是双曲线与抛物线的一个交点, 若=5||4MF p , 则此双曲线的离心率等于( ). A. 2B. 3C.D.9.已知P 是双曲线-=>>22221(0,0)x y a b a b的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e ，下列命题正确的是( ).A.双曲线的焦点到渐近线的距离为a ;B.若=12||||PF e PF ，则eC.△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为b ;1-1Oyx2-2D.若∠F 1PF 2的外角平分线交x 轴与M, 则=11||||MF e PF . 10.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：≥+()F x kx b 和≤+()G x kx b 恒成立，则称此直线=+y kx b 为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数=∈=<=21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x.有下列命题：①=-()()()F x f x g x在∈(x 内单调递增;②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且b 的最小值为-4; ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且k 的取值范围是-(4,0]; ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”=-y e .其中真命题的个数有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，请将答案填写在答题卷上相应的位置。

11. “x >1”是“>2x x ”的____________条件(填充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要).12. 与双曲线-=221916x y 有共同的渐近线，并且过点A (6,82)的双曲线的标准方程为__________．13. 已知点M 是抛物线=24y x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C:-+-=22(4)(1)1x y 上，则+||||MA MF 的最小值为__________.14.一轮船行驶时，单位时间的燃料费u 与其速度v 的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km 时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化.已知该轮船最高速度为25km/h, 则轮船速度为 km/h 时，轮船航行每千米的费用最少. 15．下列命题正确的有___________①已知A,B 是椭圆+=22134x y 的左右两个顶点, P 是该椭圆上异于A,B 的任一点,则⋅=-34AP BP k k .②已知双曲线-=2213y x 的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则⋅12PA PF 的最小值为－2.③若抛物线C :=24x y 的焦点为F ，抛物线上一点(2,1)Q 和抛物线内一点(2,)R m >(1)m ，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分∠RQF ；④已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,'=->>(1)0,()()0(0)f xf x f x x , 则不等式>()0f x 的解集是-+∞(1,0)(1,).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.已知圆C 过原点且与--=40x y 相切，且圆心C 在直线+=0x y 上.(1)求圆的方程；(2)过点(2,2)P 的直线l 与圆C 相交于A,B 两点, 且=|AB|2, 求直线l 的方程.17. 已知抛物线=2:C y x .命题p: 直线l 1:=+1y kx 与抛物线C 有公共点. 命题q: 直线l 2:=-1()4y k x 被抛物线C 所截得的线段长大于2. 若∧p q 为假, ∨p q 为真,求k 的取值范围.18.设函数-=--2()(1)x f x x x e . (1)求f (x )的单调区间和极值;(2)关于x 的方程f (x )=a 在区间-[1,4]上有两个根,求a 的取值范围.19.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为(0,2)A ，右焦点F与点B 的距离为2。

(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率≠0k 的直线=-:2l y kx 使直线l 与椭圆相交于不同的两点M,N 满足=||||AM AN ，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由。

20.如图，已知直线l 与抛物线=24x y 相切于点P(2,1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2,0) .（1）若动点M 满足⋅+=2||0AB BM AM ，求点M 的轨迹C ；（2）若过点B 的直线l （斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF21.已知函数=+=+≠-=21()ln ,()(1)(1),()2f x x a xg x a x a H x f (1)若()f x 的单调减区间是(0,1),求实数a 的值;(2)若函数(),()f x g x 在区间[1,2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；(3)α、β是函数()H x 的两个极值点，α<β，β∈(1,]e 。

求证：对任意的αβ∈12,[,]x x ，不等式-<12|()()|1H x H x 成立.高2012级第四期期中考试数学试题（理科）参考答案选择题:BCBDC DAADC填空题:11.充分不必要 12.-=2216436y x 13.4 14.20 15.②③④16.解：（1）由题意设圆心-(,)C a a ,则C 到直线--=40x y 的距离等于||CO ,d 解得=1a , ∴其半径r ∴圆C 的方程为22(1)(1)2x y -++= (6分)(2)由题知,圆心C 到直线l 的距离=1d . (8分) 当l 的斜率不存在时,l :x=2显然成立 (9分) 若l 的斜率存在时,设-=-:2(2)l y k x ,由=1d =1,解得=43k , ∴--=:4320l x y . (11分) 综上,直线l 的方程为x =2或4x -3y -2=0. (12分) 17.解:若p 为真,联立C 和l 1的方程化简得+-+=2(21)10k x k x .=0k 时,方程显然有解;≠0k 时,由∆≥0得≤14k 且≠0k . 综上≤14k (4分) 若q 为真, 联立C 和l 2的方程化简得-++=2222(1)0216k k k x x ,=0k 时显然不成立;∴+=+122112x x k,由于l 2是抛物线的焦点弦, 故=++=+>1221|AB|12x x p k,解得-<<11k 且≠0k . (8分)∵∧p q 为真, ∨p q 为假,∴p,q 一真一假.若p 真q 假, 则≤-1k 或=0k ; 若q 真p 假, 则<<114k .综上≤-1k 或=0k 或<<114k . (12分)18. 解:(1) ()(3)x f x x x e -'=--,由'=()0f x 得=或03x (2分)(4分)由上表得, f (x )的单调增区间为(0,3),单调减区间为-∞(,0),+∞(3,); 当x=0时f (x )有极小值-1,当x=3时, f (x )有极大值-35e .(6分)(2)由题知,只需要函数y = f (x ) 和函数y =a 的图像有两个交点. (7分)--==4(1),(4)11e f e f ,所以->>>(1)(3)(4)(0)f f f f由(1)知f (x )在,当-[1,0)上单调递减, (0,3)上单调递增,在(3,4]在上单调递减. (10分)∴当-=35a e 或--<<4111a e 时, y = f (x ) 和y =a 的图像有两个交点.即方程f (x )=a 在区间-[1,4]上有两个根. (12分)19.解：（1）依题意，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则其右焦点坐标为22,)0,(b a c c F -= ，由=||FB 22，即2(24c +=，解得22=c 。

又 ∵2=b ，∴ 12222=+=b c a ，即椭圆方程为141222=+y x 。

(4分)（2）方法一:由||||AN AM =知点A 在线段MN 的垂直平分线上，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1412222y x kx y 消去y 得12)2(322=-+kx x 即012)31(22=-+kx x k （*） ( 5分)由0≠k ,得方程(*)的0144)12(22>=-=∆k k ,即方程(*)有两个不相等的实数根。

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