命题逻辑
逻辑学：命题逻辑
第二章 命题逻辑
第二节 复合命题及其推理
负命题
负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命 题。例如： (1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
20语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：
首先，有的语句不能直接表达命题，如： •（1）西南大学在重庆吗? •（2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。
真值表的作用
•p •T •F •¬p F T
根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。
2018年8月17日星期五
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负命题
根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与 p相同，真值表如下：
•p •T •F •¬p •F •T •¬¬p •T •F
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命题的分类
简单命题
非模态命题 命 题
模态命题 复合命题
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命题分析的层次
将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待
•
•
——研究关于联结词的推理(命题逻辑)
——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)
命题逻辑ppt课件
按从左到右的顺序运算; 2:假设遇有括号时，应该先进展括号中的运算.
留意: 本书中运用的 括号全为圆括号〔〕.
2.2 命题公式
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
命题变项与合式公式
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个结合词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的言语表达方式。 4：写出遇到析取结合词二义性时的判别方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，阐明各公式的层次
(p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) 6：写出命题公式的定义
pq r
pq
000
0
001
0
010
1
011
1
100
1
101
1
110
1
111
1
r (pq)r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
公式的类型
定义2.9 设A为一个命题公式 (1) 假设A在它的各种赋值下取值均为真，那么称A为重言 式(也称永真式) (2) 假设A在它的各种赋值下取值均为假，那么称A为矛盾 式(也称永假式) (3) 假设A至少存在一组赋值是成真赋值，那么称A为可满 足式
3.析取式与析取结合词“∨〞
定义2.3 设 p,q为二命题，复合命题“p或q 〞称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取结合词，并规定
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例即将:p以∨下命q题为符真号化当且仅当p与q至少有一个为真。 此处(1)定2或义4是的素析数.取式p∨q表示的是一种相容性
第1章 命题逻辑
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
联结词“∨”的定义真值表
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
1.2 逻辑联结词(Logical Connectives) 1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化. (1) 李平既聪明又用功. (2) 李平虽然聪明, 但不用功. (3) 李平不但聪明,而且用功. (4) 李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功. 则 (1) P∧Q (2) P∧┐Q
个值:真（用 T(true)或1 表 示）、假 （用F(false) 或0表 示） 。 ✓ 真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。 ✓ 假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
说明：“∧” 属于二元(binary)运算符. 合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真 时，运算结果才为真，否则为假。
命题逻辑基本推理公式
命题逻辑基本推理公式(1) P∧Q⇒P .(2)¬( P→Q)⇒P .(3)¬(P→Q)⇒¬Q.(4) P⇒P ∨Q.(5)¬P⇒P →Q.(6) Q⇒P →Q.(7) ¬P∧(P∨Q) ⇒Q.选言推理否定式(8) P∧(P→Q) ⇒Q. 假言推理肯定前件式(9) ¬Q∧(P→Q) ⇒¬P .假言推理否定后件式(10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒P→R. 三段论(11) (P↔ Q)∧(Q↔R) ⇒P↔R. 双条件三段论(12) (P→R)∧(Q→R)∧( P ∨Q) ⇒R. 二难推理(13) (P→Q)∧(R→S) ∧(P ∨R)⇒Q∨S. 二难推理(14) (P→Q)∧(R→S) ∧¬(Q∨¬S)⇒¬P ∨¬R. 破坏二难推理(15) (Q→R) ⇒(( P∨Q)→(P ∨R)) .(16) (Q→R) ⇒(( P→Q)→(P→R)) .使用真值表法证明这些推理公式是容易的。
若从语义上给予直观说明也是不难的. 如公式(2), ¬(P →Q) ⇒P . 公式( 3), ¬(P →Q)⇒Q. 意思是说, 若P →Q 不成立( 取假), 必有 P 为真, 还有 Q 为假. 这从P →Q 的定义可知, 因只有当 P = T 而 Q = F 时, P →Q = F. 又如公式( 7), ¬P ∧(P ∨Q)⇒Q. 意思是说, P 不对, 而P ∨Q 又对, 必然有 Q 对.公式( 8) , P ∧(P →Q) ⇒Q 常称作假言推理, 或称作分离规则, 是最常使用的推理公式。
公式(10) , (P →Q) ∧(Q→R)⇒P →R 常称作三段论。
日常语言运用：(1) 此人既呆又笨为真，则此人笨为真。
(2)(3)并非“犯错蕴涵失败“，即是说，”如果犯错，那么失败“为假命题,则必有犯错且不失败的例子。
命题逻辑
p T T F F
q T F T F
pq T F T T
例如： p:今天天气晴朗； q:我们去海滩。
p q: 如果今天天气晴朗，我们就去海滩。
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离散数学及其应用
联结词
蕴涵式：pq •p为蕴涵前件，q为蕴涵后件 •p是q的充分条件，q是p的必要条件 •表示：“如果p，则q”，“如果p，那么q”，“当p则q”，“p仅 当q”等。
p q的真值表
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离散数学及其应用
其它联结词
定义1.1.10 设p、q是任意两个命题, p q可表示复合命题“p和 q的或非”, 称为或非联结词。命题p q 称为p和q的或非式。 当且仅当p和q的真值同时为假时，p q的真值为真. p p q的真值表 T T F F q T F T F pq F F F T
如：
把自然语言表示的命题翻译成由命题变量和逻辑联结词组成 的表达式，进行判断和推理
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离散数学及其应用
例题
三个客人坐在餐馆，服务生问：“每个人都要咖啡吗？”， 第一位客人回答：“我不知道。”接着第二位客人也回答： “我不知道。”最后，第三位客人回答：“不是每个人都要咖
啡。”一会儿，服务生回来，将咖啡递给需要的客人。请问服
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离散数学及其应用
联结词
（三）析取
定义1.1.6 设p、q表示任意两个命题, p q 可表示复合命题
“p或q”。当且仅当p和q的真值同时为假时，p q的真值为 p q p q 假。 T p q的真值表： T F 例如： p: 今天去看电影； q: 今天去公园。 F p q: 今天去看电影或今天去公园。 T F T F T T T F
4.一个由命题常元或命题变元、联结词和括号所组成的符号串
命题逻辑(联言、选言、负命题)
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。
想想看
• 两个女学生走进一餐厅，翻开桌上的菜单，突 然眼前一亮，‚看，熊掌！每盘20元，来两盘 怎么样？‛‚人们都说熊掌名贵，价钱也不贵， ok!‛一会儿，她们吃完了，叫来招待员结帐， 招待员开出帐单：‚一共4025元‛‚什么？你 没搞错吧？‛学生几乎吓晕了。‚熊掌每盘 2000元，你看菜单。‛学生仔细一看，果然是 2000元，中间没有小数点。这下她们急得要哭 了。这时老板出来了，看了几眼付不起钱的学 生，‚没钱，就将证件留下。‛她们乖乖的将 证件交出。学生会出面交涉，老板斩钉截铁说： ‚一分也不能少，如果三天之内不把钱付清， 便立即向法院起诉。……学生只好自认倒霉， 一律师知道了，帮他们追回了所被敲诈的钱。 如何讨？
• 规则： 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件 • 推理蕴涵式为： • （p↔q）∧p →q • （p↔q）∧q →p • （p↔q）∧ p → q • （p↔q）∧ q →p • 某甲犯了罪当且仅当某甲应受刑罚处罚； • 某甲是案犯当且仅当某乙是案犯；
• 负判断由支命题和联结词‚并非‛构成。负 命题的逻辑联结词‚并非‛可以用否定词 ‚‛来表示。 • 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 ‚没有‛、‚不‛、‚这是假的‛、‚这是 错误的‛等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。 • 负命题的形式：并非p，也可表示为： p • 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
第 1 章 命题逻辑
第 1 章命题逻辑数理逻辑是用数学方法研究思维规律和推理过程的科学，而推理的基本要素是命题，因此命题逻辑是数理逻辑最基本的研究内容之一，也是谓词逻辑的基础。
由于数理逻辑使用了一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此，一般又称之为符号逻辑。
数理逻辑和电子计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计、逻辑电路、开关理论等计算机应用和理论研究提供了必要的理论基础。
一、命题与命题变量在日常生活中，人们不仅使用语句描述一些客观事物和现象，陈述某些历史和现实事件，而且往往还要对陈述的事实加以判断，从而辨其真假。
语句可以分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句等，其中只有陈述句能分辨真假，其他类型的语句无所谓真假。
在数理逻辑中，我们把每个能分辨真假的陈述句称作为一个命题。
陈述句的这种真或假性质称之为真值或值，这就是说真值包含“真”和“假”。
因而命题有两个基本特征，一是它必须为陈述句：二是它所陈述的事情要么成立(真)，要么不成立(假)，不可能同时既成立又不成立，即它的真值是惟一的。
命题可按其真值分为两类。
若一个命题是真的，则称其真值为真，用1或T表示，称该命题为真命题；若一个命题是假的，则称其真值为假，用0或F表示，称该命题为假命题。
命题还可根据其复杂程度分类。
只是由一个主语和一个谓语构成的最简单的陈述句，称为简单命题或原子命题或原始命题。
简单命题不可能再分解成更简单的命题了，它是基本的，原始的。
当然，也有一些命题并不是最基本的，它们还可以分解成若干个简单命题。
由若干个简单命题通过联结词复合而成的更为复杂的新命题称为复合命题或分子命题。
复合命题仍为陈述句。
任意有限个简单或复合命题，还可用若干不同的联结词复合成极为复杂的复合命题。
简单命题和复合命题的真值是固定不变的，故又可称为命题常量或命题常元，简称为命题。
而有些陈述句尽管不是命题，但可以将其变成命题，它的真值是不固定的、可变的，这种真值可变化的陈述句称为命题变量或命题变元。
命题逻辑
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道 不是命题，悖论
6
命题符号： 用来表示命题符号。
通常用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示命题。 例如，令 p：2 是有理数，则 p 的真值为0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1 命题符号分类：
0 v(A ) 1
若v(B ) 1且v(C ) 0
else
7、若A为等价式(B C) ，则
1 v(A ) 0
若v(B ) v(C )
else
成真赋值：当v(A)=1时，称v满足A，记为v 成假赋值：当v(A)=0时，称v不满足A，记为v 例、A=pq v(p)=1,v(q)=0, v(A)=1 v(p)=0,v(q)=0, v(A)=0
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判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 qr 1 1 0 1 1 1 0 1 p(qr) 1 1 1 1 1 1 0 1 pq (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
这些联结词有明确的含义，注意与自然语言对应词的联系与区别 !
否定词符号
设p是一个命题， p称为p的否定式。 p是真的当且仅当p是假的。 p 1 p 0
0
例、 p： 上海是一个大城市。 p：上海不是一个大城市。
1
合取词符号
设p，q是两个命题，命题 “p并且q”称为p，q的合取， 记以pq，读作p且q。 pq是真的当且仅当p和q都是真的。 例、 p：22=5， q：雪是黑的 pq：22=5并且雪是黑的
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
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命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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第三章.命题逻辑
第三章命题逻辑重点：掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；利用真值表技术和公式转换方式求公式的主析取范式和主合取范式；利用规则、基本等价和蕴涵公式、三种不同的推理方法完成命题逻辑推理；难点：如何正确地掌握对语言的翻译，如何利用推理方法正确的完成命题推理。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支、计算机学科、人工智能、语言学等学科均有十分密切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加广泛的应用前景。
要很好地使用计算机，就必须学习逻辑。
数理逻辑分五大部分。
在离散数学中仅介绍命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑是谓词逻辑的基础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。
对于命题逻辑，下面从六个知识点来加以阐述。
3.1 命题符号化及联系结词1 命题有确切真值的陈述句称为命题。
所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时间，具体的对象，具体的位置等情况下能唯一确定真值的。
命题分为两种：(1) 简单命题：不能分解为更为简单的句子的命题。
(2)复合命题：能够分解为更为简单的命题。
2 命题联结词关于联结词，有如下几点要注意：（1）此联结词是联结的句子与句子之间的联结，而非单纯的名记号、形容词、数词等的联结；（2）此联结词是两个句子真值之间的联结词，而非句子的具体含义的联结，两句子之间可以无任何的内在联系；（3）联结词与自然语言之间的对应并非一一对应，如合取联结词“∧”对应了自然语言中的“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”、“并且”、“和”、“与”等。
如蕴涵联结词“→”，P →Q 对应了自然语言中的“加P 则Q ”，“只要P 就Q ”，“P 仅当Q ”，“只有Q 才P ”，“除非Q 否则乛P ”等。
如等价联结词“←→ ”对应了自然语言中的“等价”、“并且仅当”、“充分必 ”等。
如析取联结词∨是对应相容的或(中兼的或)。
3.2 命题公式及分类一般称具有确切真值的简单命题叫命题常量，用P ，Q ，R ，…等表示。
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
离散数学第3章 命题逻辑
0
0
0
1 1 0 0
1 0 1 0
0
13
一般来说, 只要不是非常明显的不可兼就使用.
例 p: 今天晚上我在寝室上自习, q :今天晚上我去电影 院看电影. 今天晚上我在寝室上自习或去电影院看电影。 p q.
14
5. 蕴涵(条件)联结词 : p q p: 我有时间, q : 我去看望我的父母. p q : 如果我有时间, 那么我去看望我的父母 . “”相当于“如果…那么…”, “若…则…”,等. p q 可读作“(若)p则q”. p称为前件, q称为后件.
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 1 0
12
4. 异或联结词 : p q “不可兼或”, 它表示两者不能同时为真
例 p: 明天去深圳的飞机是上午八点起飞, q :明天去深圳 的飞机是上午八点半起飞. p q: 明天去深圳的飞机是上午八点或上午八点半起飞 . p 1 1 0 q 1 0 1 pq 0 1 1 p q pq 1 1 1
2
例
判断下列语句是否是命题. 2 + 3 = 5. √ 大熊猫产在我国东北. √ x > 3. 立正！ 这朵花真漂亮！ 你喜欢网络游戏吗? 1+1=10. √ 火星上有生物. √ 我说的都是假话. 小王和小李是同学. √ 你只有刻苦学习,才能取得好成绩. √
3
2. 命题的真值 命题的真值就是命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0 在数理逻辑中, 更多时候逻辑真是用 T(True) 或 t, 逻辑假用 F(False) 或 f 表示的.
离散数学 第6章 命题逻辑
(P Q) R m1 m3 m5 m6 m7 (1,3,5,6,7)
三、主合取范式
如组成合取范式的每一个括号中都包括所有的命题 变项或其否定形式，则该合取范式称为主合取范式。 在主合取范式中的每一个括号是一个包括所有的命题 变项或其否定形式的简单析取式，称为大项。 如果将大项中各命题变项看成为0，其否定看成为1, 按字母顺序排列后的二进制数为i,该大项表示为 M i ， 注意：M 1不是 (P Q R) ，而是 ( P Q R) 例如，在某命题公式A中P,Q,R为(0,0,1)和(1,1,1)时真 值为0，则A的主合取范式可记作为：
(P Q R) (P Q R) (1,7)
由主析取范式可直接求出主合取范式
例如，上面的例3 ( P Q) R 主析取范式已经求得，为 那么，它的主合取范式为：
(1,3,5,6,7)
( P Q R) ( P Q R) (P Q R)
5。等价 如果两个命题P和Q有 P Q P Q 的真值表 同时又有 Q P 则记作 P Q P Q P Q P Q 就是 ( P Q) (Q P) 0 0 1 合取、析取和等价都满足交换 0 1 0 律，而蕴含是不满足交换律的。 1 0 0 P 例如， Q Q P , P Q Q P 1 1 1 P Q Q P 在一个命题公式中如果没有括号， 各种联结词的运算顺序从先到后依次为：
例题5： 用真值表证明命题公式P ( P Q R) 是重言式 解： P ( P Q R) P Q R PQ R 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
命题逻辑的基本概念
命题逻辑的基本概念第一节命题一、什么是命题命题是一个非真即假（不可兼）的陈述句。
有两层意思，首先命题是一个陈述句，而命令句、疑问句和感叹句都不是命题。
其次是说这个陈述句所表达的内容可决定是真还是假，而且不是真的就是假的，不能不真又不假，也不能又真又假。
凡与事实相符的陈述句为真语句，而与事实不符的陈述句为假语句。
这就是说，一个命题具有两种可能的取值（又称真值）为真或为假，又只能取其一。
通常用大写字母T表示真值为真，用F表示真值为假，有时也可分别用1和0表示它们。
因为只有两种取值，所以这样的命题逻辑称为二值逻辑。
我们把以这种非真必假的命题作为研究对象的逻辑称为古典逻辑，但也有人反对关于命题的这种观点，认为存在既不真也不假的命题，例如：直觉主义逻辑、多值逻辑等。
举例举例说明命题概念：1. "雪是白的"。
是一个陈述句，可决定真值，显然其真值为真，或说为T，所以是一个命题。
2. "雪是黑的"。
是一个陈述句，可决定真值，显然其真值为假，或说为F，所以是一个命题。
3. "好大的雪啊！"不是陈述句，不是命题。
4. "一个偶数可表示成两个素数之和"（哥德巴赫猜想）。
是命题，或为真或为假，只不过当今尚不知其是真命题还是假命题。
5. "1+101=110"。
这是一个数学表达式，相当于一个陈述句，可以叙述为"1加101等110"，这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假，而在二进制范围中真值为真。
可见这个命题的真值还与所讨论问题的范围有关。
举例举例：下列句子都是命题（1）8小于12。
（2）8大于12。
（3）21世纪末，人类将住在月球。
（4）任何一个大于5的偶数可表成两个素数的和。
（1）显然为命题，它陈述了一个事实。
（2）表示了一个错误的判断，故为假，又是一个陈述句，故为命题。
（3）也是命题，虽然现在还不知道真假，但到21世纪末，就能知其真假，故它是不为真必为假的一个陈述句，即为命题。
命题逻辑数学
命题逻辑数学
命题逻辑是数学中的一种逻辑体系，它研究的对象是命题和逻辑推理。
命题是一个陈述句，它要么是真（True），要么是假（False），而不可能既真又假。
命题逻辑可以用逻辑符号来
表示命题之间的关系和逻辑推理。
命题逻辑使用逻辑符号来表示命题之间的关系，常见的逻辑符号有：
- 逻辑与（∧）：表示“且”的关系，只有当两个命题都为真时，逻辑与才为真。
- 逻辑或（∨）：表示“或”的关系，只要两个命题中有一个为真，逻辑或就为真。
- 非（¬）：表示取反的意思，对于一个命题，非真即假，非
假即真。
- 蕴含（→）：表示“如果...那么...”的关系，如果一个命题为真，那么另一个命题也为真。
- 等价（↔）：表示“当且仅当”的关系，当两个命题都为真或
都为假时，等价为真。
命题逻辑在数学中有广泛的应用，它可以用来描述和分析数学中的命题和逻辑推理的过程。
通过使用逻辑符号和逻辑规则，可以进行逻辑推理和证明。
命题逻辑为数学提供了一个严谨的逻辑基础，使得数学推理能够更加清晰和准确。
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•不能分解为更简单的陈述句的命题称为原子命题 或简单命题 •由原子命题,联结词和标点符号组成的命题，称为 复合命题. •常用大写的英文字母来表示命题，称为命题标识 符,一个命题标识符如果表示确定的命题称为命题 常量, 如果表示任意的命题称为命题变元。
•用一个具体的命题“代入”命题变元,称为对命题 变元进行指派。
P F F T T 表 6-1-2 Q F T F T P Q F F F T
“ ”是一个二元运算
定义4.1.3 析取词 设P , Q 是命题，复合命题“ P 或 Q ” 称为 P,Q 的析
取式, 记作 P Q。“”称为析取联结词.
P Q为真当且仅当P ,Q中至少有一个为真。
P F F T T 表 6-1-3 Q F T F T P Q F T T T
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吸收律
（Absorption Laws）
P（PQ） P P（PQ） P
摩根律
（De Morgan Laws）
（PQ） PQ （PQ） PQ
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定义4.2.4 设A是命题公式并且A是命题公式A的一部分,则
称A是A的子公式。
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例:证明 1) P ∧ (P Q) P ∧ Q 2) (P Q) ∧ (P Q ) P 3) P Q Q P
4) Q (P (P Q)) Q P
5) (PQ) (PQ ) (QP) 6 ) (PQ) ( PQ) 7) P (Q R ) (P∧ Q) R Q (P R )
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定义4.2.2 设A（P1, , Pn）为命题公式，
(1)如果所有指派都是A的成真指派，则称 A为重言式. 重言式又被称为永真式或永真公式。 (2)如果A（P1, , Pn）至少有一个成真指派，
则称命题公式A（P1, , Pn）为可满足式.
(3)如果所有指派都是A的成假指派，则称 A为矛盾式。 矛盾式又被称为永假式或永假公式。
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B ( P1, P2 , …, Pn) A ( P1, P2 , …, Pn)
case2 A= B C, B,C中连接词个数≤n-1,由归纳假设 B(P1, P2 , …,Pn) B ( P1, P2 , …, Pn) C(P1, P2 , …,Pn) C ( P1, P2 , …, Pn) A(P1, P2 , …,Pn) (B(P1, P2 , …,Pn) C(P1, P2 , …,Pn) ) B(P1, P2 , …,Pn) C(P1, P2 , …,Pn) B ( P1, P2 , …, Pn) C ( P1, P2 , …, Pn) A ( P1, P2 , …, Pn)
命题的符号化
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例：(1)设 P表示命题“天下雪”。 Q表示命题“我去看电影”。 R表示命题“我有时间”。 试以符号表示下列命题： 1）天不下雪 2）如果天不下雪，那么我去看电影 3）我去看电影，仅当我有时间 4）如果天不下雪，且我有时间，那么我去看电影
请将下列命题符号化 （2）如果天不下雪，那么我去看电影，否则我不去看电影 （否则我在家复习功课）
( 3 ) 如果A,B是合式公式,则(A B), (A B), (A B), (A B)是合式公式; (4) 当且仅当能有限次地应用(1)、（2）、（3） 所得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串
才是合式公式。
约定:
(1)命题公式最外层的括号可以省略. (2)联结词的优先次序依次为、 、 、 、
第四章 命题逻辑
4.1
命题和联结词
•能判断真假,但不会既能真又能假的陈述句称为命题. •命题的判断结果称为命题的真值. •真值只有“真”或“假”两种.(二值逻辑) •通常以“1”或“T”表示真；以“0”或“F”表示假。 •当一个命题为真时，说命题的真值为真；否则说命题 的真值为假。 •真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假 命题。
例如: 求P (Q R )的子公式 解: P, Q , R ,(Q R ), P (Q R ) 是P (Q R )的子公式.
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代换规则 设A, A和B是命题公式，A是A的子公式, 用 B替换A在A中的一 处或多处出现,得到的公式记 为B，若A B，则A B。 例: 设 A= P ∧ (P Q) A= (P Q) B = P Q B = P ∧ ( P Q ) ∵ P Q P Q ∴ P ∧ (P Q) P ∧ ( P Q )
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引理 设A和A是对偶式,P1, P2 , …,Pn是出现在A和A中的命
题变元,则 A(P1, P2 , …,Pn) A ( P1, P2 , …, Pn) A ( P1, P2 , …, Pn) A (P1, P2 , …,Pn) 证明:
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(7)只有睡觉才能恢复疲劳. P:睡觉. Q:恢复疲劳. Q P (8)只要我还有一口气,我就要战斗. P:我有一口气. Q:我要 战斗. P Q (9)不经一事,不长一智. P:经一事. Q:长一智. P Q (10)张明正在睡觉或游泳. 张明正在睡觉而没游泳或张明正在游泳而没睡觉. P: 张明正在睡觉. Q:张明正在游泳. (P Q) (Q P)
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例
(3)他虽聪明但不用功. P:他聪明. Q :他用功. P Q
(4)除非你努力,否则你将失败. P:你努力 . Q: 你失败. P Q (5)除非天气好,我才骑自行车上班 . P:我骑自行车上班 . Q: 天气好. P Q (6)小王晚上要回家,除非下大雨. P:天下大雨 . Q:小王晚上回家. Q P
对A中出现的连接词个数n作归纳证明.
归纳基础: n=0,设 A(P)=P,则A (P)=P, A (P) = P, A ( P)= P, A (P) A ( P) 归纳假设: 设连接词个数n<k时结论成立. 归纳证明:当连接词个数n=k时,k >0 case1 A= B,B中连接词个数是n-1,由归纳假设 B(P1, P2 , …,Pn) B ( P1, P2 , …, Pn) A(P1, P2 , …,Pn) B(P1, P2 , …,Pn)
可兼或
“”是一个二元运算
定义4.1.4 排斥析取词 设P,Q是命题，复合命题“ P, Q中仅有一个成立 ”
称为 P,Q 的排斥析取式, 记作 P Q。“ ”称为排斥
析取联结词. P Q为真当且仅当P与Q的真值不相同。
表 6-1-4 P F F T T Q F T F T P Q F T T F
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一些转换
（Some Conversions）
PQ PQ ( PQ） PQ PQ (PQ ) (QP ) PQ QP（是可交换的） PQ QP （是可交换的） P（QR） （PQ）R（是可结合的） P（QR） （PQ）R（是可结合的） P（QR） （PQ）（ PR）(对可分配） P（QR） （PQ）（PR）(对可分配）
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4.2 真值表和逻辑等价
•真值表
设A（P1, , Pn）为命题公式，将A在 P1, , Pn的每一组指派下取值的 情况列 成表,这样的表称为A的真值表。
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例:
求以下公式的真值表
(1 )(P P) 解: (P P)的真值表 P F T P T F P P F F
定理4.2.2 设A、B、C是任意命题公式 ,
(1)AA
(2)若A B,则B A.
(3)若A B且B C,则A C
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•基本的逻辑等价式 表4-2-1
否定 析取 合取 蕴涵 (Negation） (Disjunction） (Conjunction） (Implication） PT T PT T PT P PF P P P PF P PF F TP P PP P PP P FP T PP T PP F PP T
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•逻辑等价
定义4.2.3
设A和B是两个命题公式，如果对它们所含变
元的每一组真值指派，A和B的真值均相同， 则称A和B是逻辑等价(Logic Equivalence)的。 逻辑等价又被称为逻辑恒等或逻辑等值。 记作A B。
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定理4.2.1 设A和B是两个命题公式 ,A和B是逻 辑等价的当且仅当A B是重言式。 证明 略
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定义4.2.1 设A(P1, , Pn) 为命题公式，如果对命题变元
P1, , Pn的一组指派使A的真值取真，则称该指派
为A的成真指派,若使得A的真值取假,则称该指派
为A的成假指派。
例: (P (Q R))的 成真指派是: FFF,FFT,FTF,FTT,TFF,TFT,TTT 成假指派是: TTF
定义4.1.1 否定词 设P为一个命题,复合命题“非P”称为P的否定式,
记作 P, “”称为否定联结词.
பைடு நூலகம்
P为真当且仅当P为假。
P F T 表 6-1-1 ¬ P T F
“”表示命题的否定.
“” 是一个一元运算.
定义4.1.2 合取词
设P,Q是命题，复合命题“P并且Q”称为P,Q的合 取式, 记作P Q。 “ ”称为合取联结词. P Q为真当且仅当 P 为真且Q为真。
(2 )(P P) 解: (P P)的真值表 P F T