河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学(理)含答案

河北衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤ C ．2a ≥ D ．2a <2.若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A ．52 B ．52- C ． 52或52- D ． 124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A．(0,2B．[,1)2 C. (0,]2 D．2 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A ．B ．C. D ．7.函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图像大致为（ ） A ． B ．C. D ．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等A ． 68B ．17 C.34 D ．369.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞-10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A ．6，3B ．5，2 C. 4，5 D ．2，711.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A12.已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．1(0,]8B ． 5(0,]8 C. 15(0,][,1]88⋃ D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，a =③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形； ④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 20.1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈. （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线lcos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-.（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD13. 2-+ 14.2e 15. ①③ 16. 911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以1*3()n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈. 18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD . 由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又根据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，1OA OB ==，所以OD a =，从而(0,,0)A ，(,0,0)B a，1,0)B ，(0,0,)D a .所以11(,0)CC BB a ==-.由12BC AD =，得1(,,)22C a a a，所以1(,,)2DC a a =-. 设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000000102ax ax az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令01y =，则0x =，0z =(3,1m =. 又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =，所以33cos ,||||31OD m a OD m OD ma⋅〈〉===. 故平面11DCC D与平面11ABB A .19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元），则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）. 综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=（份）， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=（份）， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元），保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）.20.解：（1）由题意知，椭圆离心率c e a ==a =，又221)a c +=， 所以a =2c =，所以2224b ac =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=. 所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=. （2）设000(,)(2)P x y x ≠±，则1002PF y k x =+，2002PF y k x =-， 因为点P 在双曲线22144x y -=上，所以121PF PF k k ⋅=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1PF 的方程为(2)y k x =+， 所以直线2PF 的方程为1(2)y x k=-， 联立22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k +++-=， 所以2122821k x x k +=-+，21228821k x x k -⋅=-+，所以||AB ==22)21k k +=+.同理可得221()]||12()1k CD k +=+221)2k k +=+. 由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠，即411cos ()3||||CD AB θ=+=243=. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=，即0000(2)(2)()()x x yy ---+--=， 又因为22004x y -=，所以202(4)x-===208x =，204y =.即存在满足题意的点P ，且点P 的坐标为(2)±±. 21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a >-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.（2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立， 即1ln 10x e x a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立. 设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-. 当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立； 当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞.（3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x e x x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立. 令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得280t --=. 设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=128t t =-，所以1212||11||||||t t MA MB t t -+==2218==.23.解：（1）()3g x ≥，即|1||1|3x x ++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥.（2）因为2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以()()([2,2])min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()2([2,2])min f x x ≤∈-. 当22a-≤-，即4a ≥时，()(2)424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥；当22a-≥，即4a ≤-时，()(2)424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-；当222a -<-<，即44a -<<时，22()()42242min a a a f x f =-=-+≤，解得a ≥a ≤-所以4a -<≤-或4a ≤<.综上，实数a的取值范围为(,)-∞-⋃+∞.。