OFDM基础理论的数学表达和解析(end)汇总
OFDM基本原理(详细全面)
峰均比降低技术
峰均比定义
峰均比（PAPR）是指OFDM信号的最大振 幅与平均振幅之比。高PAPR会导致信号的 功率放大器出现失真，从而引起频谱扩展 和带内干扰。因此，降低PAPR对于提高 OFDM系统的性能至关重要。
VS
峰均比降低技术
为了降低PAPR，可以采用多种技术，如限 幅滤波、编码、概率密度函数变换等。其 中，限幅滤波是一种简单有效的方法，它 通过限制信号的最大振幅来降低PAPR。然 而，限幅滤波会引入带外干扰和带内失真， 因此在实际应用中需要权衡各种因素。
物联网与智能家居
OFDM技术有望在物联网和智能家居领域得到广泛应用，支持各种 低功耗、低速率的无线通信需求。
频谱共享与认知无线电
通过频谱共享和认知无线电技术，OFDM系统可以更好地利用频谱 资源，提高频谱利用率和系统容量。
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04 OFDM系统性能分析
频域均衡性能分析
频域均衡原理
频域均衡通过在频域上对信号进行预处理，补偿信道对信号 造成的畸变，从而减小信号的误码率。
频域均衡性能影响因素
频域均衡的性能受到信道特性、均衡器设计参数以及信号质 量等因素的影响。
误码率性能分析
误码率定义
误码率是衡量数据传输系统性能的重 要指标，表示接收端错误解码的比特 数与总比特数的比值。
多径干扰抑制
多径干扰
在无线通信中，多径效应会导致信号的传播路径变长，从而引起信号的延迟和衰减。这种延迟和衰减 会导致OFDM子载波之间的正交性被破坏，从而引起多径干扰。为了抑制多径干扰，可以采用频域均 衡技术，对接收到的信号进行滤波处理，以减小多径效应的影响。
信道估计与均衡
信道估计技术用于获取信道的冲激响应，而频域均衡技术则通过调整接收信号的权重，使得信道的畸 变最小化。在实际应用中，通常会采用基于导频的信道估计方法，并在频域中进行均衡处理。
OFDM的基本原理剖析
OFDM的基本原理剖析OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，正交频分复用）是一种多载波调制技术，常用于现代通信系统如无线局域网（WiFi）、移动通信系统（LTE、5G等）中。
下面将对OFDM的基本原理进行剖析。
1.数据分割：将要传输的数据流按照一定规则进行分割，生成一系列小块的数据。
2.填充和映射：对每个小块的数据进行填充，使其长度与子载波数目相等。
然后，将每个小块的数据映射到对应的频分复用子载波上。
3.进行IFFT变换：对每个子载波上的数据进行逆离散傅里叶变换（IFFT），将频域上的信号转换到时域上。
4.加入循环前缀：为了抵消多径信道引起的符号间干扰，对每个时域上的符号加入循环前缀，即将符号的一部分复制到符号末尾。
5.多载波调制：将每个子载波调制成对应的频带信号。
6.并行发送：将所有子载波的信号合并，并通过不同的天线或发射机发送。
7.接收端：接收端通过多个天线或接收机接收信号，并进行频率和相位补偿等处理。
8.串行接收：将接收的信号进行拆分，得到各个子载波的信号。
9.移除前缀和FFT变换：移除每个子载波的循环前缀，并进行离散傅里叶变换（FFT），将时域上的信号转换到频域上。
10.解调和解映射：对每个子载波的信号进行解调和解映射，获取原始数据。
11.数据重组：将解调和解映射得到的数据进行合并，恢复原始数据流。
OFDM技术优点如下：-高频谱利用率：通过将数据流分成多个独立子流，并在频域上进行正交调制，可以充分利用频谱资源。
-高抗干扰性能：由于子载波之间正交，OFDM系统对多路径引起的符号间干扰具有较高的抗干扰性能。
-低传输延迟：每个子载波的传输速率较低，传输延迟相对较低。
-易于频率均衡：OFDM系统可以通过改变子载波的功率分配来实现频率均衡，减少频率衰减引起的性能损失。
总结：OFDM技术通过将高速数据流分解为多个低速子流，并在频域上进行正交频分复用，实现了高频谱利用率、高抗干扰性能和低传输延迟。
OFDM基本原理(详细全面)
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• 有限个子载波的情况 N -1
bk,i=1/N
a
l 0
l, i
exp (j2 lk/N)
ak,i表示第i个符号周期的第l个子载波上的原始符号，bk,i表示ak,i经过IFFT输出
yk,i=exp(jθo)bk,iexp(j2πΔfTk/N)
表示接受端FFT之前的输入，其中θo表示接受端振荡器的相位与射频载波相位的差
zm,i=1/Nexp(jθo)
带入上面值以后
a exp(j2
l, i
N -1
N -1
k(l - m Δf)/N)
l 0
k 0
sin ( (l - m ΔfT)) N -1 z m , i exp (j 0) a l, i exp (j ( )(l - m ΔfT)) (l - m ΔfT) N N l0 sin ( ) N 1
基本原理
众所周知无线通信传输信号的路径有很多，这就 是所谓的多径效应，OFDM的最初提出是为了解决 多径效应对数据传输的影响。高数据传输速率使得 符号周期非常小，如果符号传输出现多径时延，可 能会影响到后面好几个符号。多载波调制可以把高 数据流分成很多个低数据流，这样就使符号周期增 大了，从而大大减弱符号间干扰（ISI），如果在符 号间加上保护间隔，可以完全消除上面提到的ISI。 如果从带宽频域解释OFDM解决ISI的角度，符号带 宽小于信道的相关带宽（相关带宽内幅度恒定，线 性相分复用的技术关键就是实现并保护好子载波间的正交 性，接受端收到的信号x(t)与子载波相乘后通过积分器，不同频 率的载波相乘积分后为零，只有相同载波积分后得到原始符号。 正是由于每个子载波的正交性，我们可以是子载波的频谱重叠并 靠近Nyquist 带宽，从而大大提高了频谱的利用率，所以非常适 合移动场合中的高速传输。多径传输的符号干扰时个头疼的问题 ，OFDM为解决这样的问题在符号间加上保护间隔内，保护间隔 可以不传输任何信号。这样的情况下仍然解决不了信道间干扰（ ICI），子载波之间的正交性遭到破坏，接收端就不能很好的恢复 出原始信号，这点是毁灭性的。OFDM的解决方法是把符号后面 长度是Tg（保护间隔的长度）的部分拿到每个符号的前面当做保 护间隔来传输，这种方法就叫做循环前缀。这样就使得在FFT周 期内，OFDM符号的延时副本所包含的波形的周期个数是整数， 从而解决了ICI。将原符号块最后信号放到原符号块的前部，构成 新序列，时域中原来发送信号与信道响应的线性卷积变为圆周卷 积。
浅析OFDM基础及应用
浅析OFDM基础及应用OFDM（orthogonalfrequencydivisionmulTIplexing）正交频分复用作为一种多载波传输技术，主要应用于数字视频广播系统、MMDS （mulTIchannelmulTIpointdistribuTIonservice）多信道多点分布服务和WLAN服务以及下一代陆地移动通信系统。
一、OFDM基础OFDM是多载波数字调制技术，它将数据经编码后调制为射频信号。
不像常规的单载波技术，如AM/FM（调幅/调频）在某一时刻只用单一频率发送单一信号，OFDM在经过特别计算的正交频率上同时发送多路高速信号。
这一结果就如同在噪声和其它干扰中突发通信一样有效利用带宽。
传统的FDM（频分复用）理论将带宽分成几个子信道，中间用保护频带来降低干扰，它们同时发送数据。
例如：有线电视系统和模拟无线广播等，接收机必须调谐到相应的台站。
OFDM系统比传统的FDM系统要求的带宽要少得多。
由于使用无干扰正交载波技术，单个载波间无需保护频带。
这样使得可用频谱的使用效率更高。
另外，OFDM技术可动态分配在子信道上的数据。
为获得最大的数据吞吐量，多载波调制器可以智能地分配更多的数据到噪声小的子信道上。
应用OFDM来克服码间串扰和邻频干扰技术可以追溯到上世纪60年代中期。
然而，长久以来OFDM的实际应用受限于快速富里叶变换器的速度和效率。
如今，高性能PLD（可编程逻辑器件）技术的成熟造就了OFDM现阶段的应用。
现代单载波调制方式如积分幅度调制（QAM）或积分移相键控调制（QPSK），结合了基本的调幅、调频、调相技术来提供更高的噪声抑制和更好的系统吞吐量。
利用增加的复杂调制技术要求有高性能的数字逻辑，但也允许系统构造者获得更高的信噪比和接近先农限制的频谱有效性。
二、OFDM的应用最近，OFDM已于几例欧洲无线通信应用中被采用，如ETSI标准的数字音频广播（DAB）、陆地数字视频广播（DVB-T）。
ofdm信号表达式
OFDM信号表达式一、背景OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，正交频分复用）是一种用来在传输信道中同时传输多个子载波的技术。
它基于频率分集原理，通过将传输信号分成多个低速子载波来提高传输速率和频谱利用率。
OFDM已广泛应用于无线通信标准中，如Wi-Fi、LTE和5G等。
了解OFDM信号的表达式对深入理解和实现OFDM技术至关重要。
二、OFDM信号表达式的推导1. 基本思想OFDM的基本思想是将整个带宽分为多个子载波，并使子载波之间正交。
这意味着不同子载波之间的频谱互不重叠，从而避免了频率间干扰。
2. 子载波生成在OFDM系统中，首先需要生成一组正交的基础波形。
这组基础波形是由正弦函数构成的，它们具有相等的频率间隔。
这组基础波形是通过将时间域采样序列进行快速傅里叶变换（FFT）来生成的。
3. 调制在OFDM系统中，每个子载波都携带一部分数据。
数据通过调制技术（如QAM或PSK）转换为复数符号，然后与对应的子载波相乘。
这样可以将数据嵌入到子载波中，从而实现并行传输。
4. 傅里叶变换在OFDM系统中，基带信号通过将其与基础波形相乘来调制为频域信号。
然后，对调制后的信号进行逆傅里叶变换（IFFT），得到时域上的OFDM信号。
5. 保护间隔OFDM系统中的相邻子载波之间存在一定的保护间隔，以避免由于传输信道引起的子载波间干扰。
保护间隔可以采用循环前缀技术实现，即在每个OFDM符号前面插入一段来自后面的符号的重复前缀。
三、OFDM信号表达式的数学表示1. 基本符号假设OFDM系统中有N个子载波，每个子载波的带宽为B。
OFDM系统的采样率为Fs，则每个子载波的采样点数为N（相当于采样率Fs的信号长度为1/B）。
2. 子载波生成表达式子载波生成的表达式可以表示为：s(t) = Σ[Sk * g(t - kT)] (k = 0, 1, ..., N-1)其中，s(t)是OFDM信号在时刻t的值，Sk是第k个子载波携带的复数数据符号，g(t)是基础波形。
ofdm的定义式
ofdm的定义式OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，正交频分复用）是一种多载波调制技术，被广泛应用于无线通信系统中，特别是在4G和5G通信系统中。
OFDM把一个宽带信号分成多个窄带子信号，然后将它们进行正交编码，并在频域上进行并行传输，从而提高信道的利用率和抗干扰能力。
OFDM的基本原理是将所传输信号进行频域离散，然后利用正交关系降低子信道间的干扰。
OFDM的信号可以表示为：x(t) = Σ X(k)e^(j2πft)其中，x(t)是OFDM信号的时域表示，X(k)是OFDM信号的频域表示，f是信号的基带频率。
OFDM信号的频域表示可以表示为：X(k) = Σ x(m)e^(-j2πmk/N)其中，N是OFDM信号中子载波的个数，x(m)是时间m处的信号样本。
OFDM信号的频域表示可以通过对时域信号进行离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）得到。
在OFDM系统中，通过将信号分成多个子信号并使它们正交，就可以同时传输多个数据流。
这些子信号的频谱之间相互正交，因此它们之间不会相互干扰。
每个子信号称为一个子载波，每个子载波的带宽相对较窄，可以选择适当的调制方式来提高子载波的传输效率。
OFDM的优势主要体现在以下几个方面：1. 抗多径衰落：OFDM可以通过将信号分成多个子信号，并在频域上正交，从而克服多径衰落造成的码间干扰。
OFDM信号的子载波之间具有独立的频响，可以独立地进行等化和解调。
2. 高频谱效率：OFDM系统可以充分利用频谱资源，通过选择合适的子载波间距和调制方式，实现较高的频谱效率。
同时，OFDM还可以灵活地适应不同的信道条件，根据信道质量自动调整子载波的传输速率。
3. 抗干扰能力强：由于OFDM信号的子载波之间正交，相互之间不会相互干扰。
因此，OFDM具有较强的抗干扰能力，可以降低由于窄带干扰引起的误码率。
4. 低功率消耗：OFDM系统通过将信号分成多个较窄的子信号进行传输，可以降低传输功率，提高能量效率。
ofdm基本原理总结要点
OFDM 基本原理概述设OFDM 信号的符号周期为T ，当N 个子载波的频率之间的最小间N 表示子信道的个数，T 表示OFDM 符号宽度，i d (i =0,1,…,N-1)是分配给每个子信道的数据符号，0f 是第0个子载波载波频率，则从t=s t 开始的OFDM 符号可以表示为100exp 2()(),()0,N i s s s i i d j f t t t t t T s t T π-=⎧⎡⎤+-≤≤+⎪⎢⎥=⎣⎦⎨⎪⎩∑其它 它的等效基带信号是 1()exp 2(),N i s s s i i s t d j t t t t t T T π-=⎡⎤=-≤≤+⎢⎥⎣⎦∑ 式中实部和虚部分别对应于OFDM 符号的同相和正交分量，是集中可以分别与相应子载波的余弦分量和正弦分量相乘，构成最终的子信道信号和合成的OFDM 符号。
信号解调，接收第k 路子载波信号k d 与第k 路解调载波exp[2()]s j t t Tπ--相乘，得到的结果在符号持续时间T 内进行积分，即可获得相应的发送信号k d1^0101exp 2()exp 2()1exp 2()s s s s N t Tk s i s t i N t T i s t i k k i d j t t d j t t dt TT T i k d j t t dt T T d πππ-+=-+=⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=∑⎰∑⎰OFDM 复等效基带信号可以采用离散傅立叶逆变化(IFFT)方法来实现。
令s t =0，t=/kT N (k=0,1,….,N-1)， 即对s(t)以 T/N 的速率进行抽样可以得到12()(/)exp N i i ki s k s kT N d j N π-=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ 01k N ≤≤-式中s(k)即为i d 的IDFT 运算。
接收端为恢复出原始的数据符号i d ，可以对s(k)进行DFT 运算，得到12()exp N i i ki d s k j N π-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 01i N ≤≤-OFDM 文章,时间连续系统模型时，发射机发射的第K 个载波波形时,优----------OFDM 调制举例，假定子载波数量为8，在8个子载波上传送8个二进制数{1 1 1 -1 1 1 -1 1} IFFT 调制为111111111)1)11))2222111111))1)1)111111111811)))1)222211111)1)11))2222j j j j j j jj j j j j j j j j j j j j j jj j j jj j jj ⎡⎢⎢+-+-----⎢⎢----⎢⎢-+-+----⎢⎢⎢----⎢⎢---+-+⎢⎢----------++⎣1111111141))221))1081))221))j jj j j j ⎤⎥⎥⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦发送端模拟信号s （t ）与接收端的模拟信号r （t ）间的关系可表示为max()()(,)()()(,)()r t s t h t n t s t h t d n t τττττ=*+=-+⎰n(t)表示信道上的加性高斯白噪声，h(t, τ)表示t 时刻信道的冲击响应。
OFDM原理解读
OFDM原理解读OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）是一种多载波技术，用于将高速数据信号分成多个低速子载波来传输。
它被广泛应用于无线通信领域，例如Wi-Fi和4G LTE等。
OFDM的原理是利用正交子载波，将高速数据信号分解成一系列低速子载波。
每个子载波都相互正交，使得在频域上避免了子载波之间的干扰。
同时，OFDM还采用了循环前缀技术，用于抵消多径传播引起的信号间干扰。
OFDM系统的工作原理如下：1.数据编码：将要传输的数据进行编码，以确保传输的可靠性和安全性。
编码技术可以包括纠错码、调制方式等。
2.子载波分配：将编码后的数据分配到一系列不重叠的子载波上。
这些子载波之间相互正交，即在一个子载波上发送数据时，其他子载波上不会有信号传输。
3. IFFT（Inverse Fast Fourier Transform）：将子载波从频域转换为时域。
FFT和IFFT是OFDM技术中最关键的运算，用于将时域和频域之间进行转换。
4.循环前缀添加：由于OFDM信号在传输过程中会受到多径传播引起的符号间干扰，因此在每个OFDM符号之前都要添加一个循环前缀。
循环前缀是由OFDM符号的一部分数据复制产生的，用于抵消干扰。
5.并行传输：将添加了循环前缀的OFDM符号并行传输到接收端。
由于每个子载波之间相互正交，因此不会有干扰发生。
6. FFT（Fast Fourier Transform）：接收端使用FFT将接收到的OFDM符号从时域转换为频域。
这样就可以将不同子载波上的数据分开，并进行解调和解码。
7.解码和恢复：对接收到的数据进行解码和恢复，以得到原始数据。
OFDM的优势包括：1.高频谱效率：由于OFDM将高速数据信号分成多个低速子载波进行传输，因此每个子载波的传输速率较低。
这降低了传输过程中的码间干扰和符号间干扰，提高了频谱效率。
2.抗多径干扰：OFDM系统使用循环前缀技术，可以抵消多径传播引起的信号间干扰。
OFDM的基本原理及关键技术
OFDM的基本原理及关键技术OFDM的基本原理及关键技术 1 OFDM的基本原理2 OFDM的模型结构和各部分原理2.1 OFDM结构框图2.2 星座映射2.3 串并转换以及FFT2.4 插入保护间隔2.5 OFDM的解调OFDM即正交频分复用技术，实际上 OFDM是 MCM(Multi-CarrierModulation)，多载波调制的一种。
其主要思想是:将信道分成若干正交子信道，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到在每个子信道上进行传输。
正交信号可以通过在接收端采用相关技术来分开，这样可以减少子信道之间的相互干扰 ICI 。
每个子信道上的信号带宽小于信道的相关带宽，因此每个子信道上的可以看成平坦性衰落，从而可以消除符号间干扰。
而且由于每个子信道的带宽仅仅是原信道带宽的一小部分，信道均衡变得相对容易。
在向B3G/4G演进的过程中，OFDM是关键的技术之一，可以结合分集，时空编码，干扰和信道间干扰抑制以及智能天线技术，最大限度的提高了系统性能。
1 OFDM的基本原理OFDM技术的推出其实是为了提高载波的频谱利用率，或者是为了改进对多载波的调制，它的特点是各子载波相互正交，使扩频调制后的频谱可以相互重叠，从而减小了子载波间的相互干扰。
在对每个载波完成调制以后，为了增加数据的吞吐量、提高数据传输的速度，它又采用了一种叫作HomePlug的处理技术，来对所有将要被发送数据信号位的载波进行合并处理，把众多的单个信号合并成一个独立的传输信号进行发送。
另外OFDM之所以备受关注，其中一条重要的原因是它可以利用离散傅立叶反变换/离散傅立叶变换(IDFT/DFT)代替多载波调制和解调。
OFDM的基本原理是将高速信息数据编码后分配到并行的N个相互正交的载波上，每个载波上的调制速率很低(1/N)，调制符号的持续间隔远大于信道的时间扩散，从而能够在具有较大失真和突发性脉冲干扰环境下对传输的数字信号提供有效地保护。
OFDM的基本原理及技术研究
OFDM的基本原理及技术研究OFDM是一种在无线通信系统中广泛使用的调制技术，它的全称是正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）。
OFDM的基本原理是将高速的数据流分成多个低速的子载波，每个子载波之间相互正交，然后将这些子载波同时发送，从而达到高效率的数据传输和抗多径信道干扰的效果。
首先，OFDM的多载波调制是将一个高速的数据流分成多个低速的子载波，每个子载波都可以独立传输一部分数据。
这样做的好处是可以减小每个子载波的传输速率，从而降低传输过程中的复杂度。
其次，OFDM利用频域等效信道的技术来处理多径信道带来的干扰。
通过将频域信号转换为时域信号，可以将多径信道转化为单径信道，从而简化信道处理的复杂度。
第三，OFDM需要对信道进行估计，以便在接收端进行信号的解调和恢复。
信道估计可以通过参考信号或者导频信号进行，从而准确地估计信道的特性。
最后，OFDM的调制和解调技术主要是采用高效的调制技术，如16QAM、64QAM等，以及调制解调器的设计和实现。
调制和解调过程主要包括信号的调制、傅里叶变换、循环前缀等。
OFDM技术的研究主要集中在以下几个方面：首先，研究如何提高OFDM系统的传输效率。
目前采用的一种方法是通过增加子载波的数量来提高传输速率，但这也会带来更严重的频率选择性衰落和功率噪声。
其次，研究如何抑制多径信道带来的干扰。
多径信道会导致码间干扰，因此需要采取一些技术来进行抑制，例如导频插入、自适应调制等方法。
第三，研究如何提高OFDM系统对于频率偏移和时钟偏移的容忍性。
频率偏移会导致子载波之间的正交性被破坏，而时钟偏移会导致多径信号无法收敛。
最后，研究如何将OFDM技术应用于其他领域，如无线通信系统、音频和视频传输等。
OFDM技术在这些领域的应用具有广阔的前景。
综上所述，OFDM是一种高效率的调制技术，具有抗多径信道干扰的特点。
通过多载波调制、频域等效信道、信道估计和调制解调等关键技术，可以实现高速数据传输和抗干扰的效果。
OFDM的基本原理
OFDM的基本原理正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）是一种用于无线通信的调制技术，它将数据流分成多个低速数据流，每个子流通过一个不同的正交子载波进行传输。
OFDM技术可以将高速数据流分成多个低速子载波进行传输，从而提高了系统的频谱效率和抗衰落性能。
1.将数据流分成多个低速子载波：OFDM将高速数据流分成多个低速子载波进行传输。
每个子载波的宽度远小于信道的相干带宽，因此可以采用低复杂度和低功耗的调制技术进行传输。
2.子载波之间正交：每个子载波的频谱宽度不重叠，并且它们之间正交（即相互垂直）。
这种正交关系可以使得子载波之间相互独立，减少了干扰。
3.增加保护间隔：为了防止子载波之间由于码间干扰引起的干扰，OFDM在每个子载波前后增加了保护间隔。
保护间隔的作用是避免子载波之间的干扰和多径效应带来的碰撞。
4.多径信道的抗干扰性：OFDM技术具有很好的抗多径干扰性能，因为每个子载波被设计成它们之间的符号传输时间迟延相互正交。
这使得OFDM系统能够充分利用频率选择性衰落信道中的频谱资源，减少了多普勒扩展和多址干扰。
5.调制和解调过程：OFDM采用复杂度较低的调制技术，例如正交调幅调制（QAM）或相位偏移键控（PSK）等。
OFDM解调器将接收到的信号划分为一系列不同的子载波，并对每个子载波进行正交解调。
然后，对所有子载波的解调结果进行合并，以重构原始的高速数据流。
6.误码率（BER）性能：OFDM技术通过使用前向纠错编码和自适应调制等技术来改善误码率性能。
这些技术可以在信道质量差的情况下保证高速数据传输的可靠性。
OFDM技术因其频谱效率高、抗多径衰落性能好和频谱资源可利用性高等优点，在无线通信中得到了广泛的应用。
例如，OFDM被应用于WLAN （无线局域网）、WiMAX（全球互操作性无线访问）和LTE（长期演进）等无线通信标准中。
OFDM的基本原理剖析
OFDM的基本原理剖析OFDM（正交频分复用）是一种多载波调制的技术，它在现代无线通信中得到广泛应用。
OFDM的基本原理可以分为三个部分：频域复用，正交性及调制方式。
首先，OFDM通过将频谱分成多个小的子载波来实现频域复用。
在OFDM中，将连续时间信号分割成多个子载波，并在每个子载波上进行调制。
每个子载波的频谱宽度相对较窄，因此每个子载波之间的频谱间隔较宽。
这种方式可以避免子载波之间的干扰，提高频域的利用率。
其次，OFDM通过正交性来减少各个子载波之间的干扰。
在OFDM中，子载波之间相互正交，即每个子载波的频谱与其他子载波的频谱相互垂直。
通过这种正交性，可以避免多径传播引起的符号间干扰，提高系统的抗干扰性能。
最后，OFDM使用不同的调制方式对每个子载波进行调制。
常见的调制方式包括BPSK、QPSK、16-QAM等。
通过选择不同的调制方式，可以在保证带宽效率的同时，提高系统的可靠性。
较高的调制阶数可以提供更高的数据传输速率，但对信号质量要求也更高。
1.分割信号：将连续时间信号分成多个并行传输的子载波，每个子载波具有不同的频率。
2.符号调制：对每个子载波上的信号进行调制，常用的调制方式包括BPSK、QPSK、16-QAM等。
3.离散傅里叶变换（DFT）：对调制后的信号进行离散傅里叶变换，将时域信号转换为频域信号。
4.并行传输：将经过DFT处理的信号并行传输到接收端。
5.频域均衡：接收端对传输信号进行频域均衡，以抵消多径传播引起的干扰。
6.逆离散傅里叶变换（IDFT）：对接收到的信号进行逆离散傅里叶变换，将频域信号转换回时域信号。
7.解调：对经过IDFT处理的信号进行解调，恢复原始信号。
OFDM的优点包括高频谱利用率、较好的抗多径传播性能和高容量传输能力。
由于频谱的高效利用，OFDM可以在有限的频谱带宽内传输更多的数据。
同时，由于正交性的引入，OFDM系统对于时延扩展和频率选择性衰落等多径传播效应具有较好的抵抗能力。
ofdm基本原理总结
OFDM 基本原理概述设OFDM 信号的符号周期为T ，当N 个子载波的频率之间的最小间N 表示子信道的个数，T 表示OFDM 符号宽度，i d (i =0,1,…,N-1)是分配给每个子信道的数据符号，0f 是第0个子载波载波频率，则从t=s t 开始的OFDM 符号可以表示为100exp 2()(),()0,N i s s s i i d j f t t t t t T s t T π-=⎧⎡⎤+-≤≤+⎪⎢⎥=⎣⎦⎨⎪⎩∑其它 它的等效基带信号是 1()exp 2(),N i s s s i i s t d j t t t t t T T π-=⎡⎤=-≤≤+⎢⎥⎣⎦∑ 式中实部和虚部分别对应于OFDM 符号的同相和正交分量，是集中可以分别与相应子载波的余弦分量和正弦分量相乘，构成最终的子信道信号和合成的OFDM 符号。
信号解调，接收第k 路子载波信号k d 与第k 路解调载波exp[2()]s j t t Tπ--相乘，得到的结果在符号持续时间T 内进行积分，即可获得相应的发送信号k d1^0101exp 2()exp 2()1exp 2()s s s s N t Tk s i s t i N t T i s t i k k i d j t t d j t t dt TT T i k d j t t dt T T d πππ-+=-+=⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=∑⎰∑⎰OFDM 复等效基带信号可以采用离散傅立叶逆变化(IFFT)方法来实现。
令s t =0，t=/kT N (k=0,1,….,N-1)， 即对s(t)以 T/N 的速率进行抽样可以得到12()(/)exp N i i ki s k s kT N d j N π-=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ 01k N ≤≤-式中s(k)即为i d 的IDFT 运算。
接收端为恢复出原始的数据符号i d ，可以对s(k)进行DFT 运算，得到12()exp N i i ki d s k j N π-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 01i N ≤≤-OFDM 文章,时间连续系统模型时，发射机发射的第K 个载波波形时,优----------OFDM 调制举例，假定子载波数量为8，在8个子载波上传送8个二进制数{1 1 1 -1 1 1 -1 1} IFFT 调制为111111111)1)11))2222111111))1)1)111111111811)))1)222211111)1)11))2222j j j j j j jj j j j j j j j j j j j j j jj j j jj j jj ⎡⎢⎢+-+-----⎢⎢----⎢⎢-+-+----⎢⎢⎢----⎢⎢---+-+⎢⎢----------++⎣1111111141))221))1081))221))j jj j j j ⎤⎥⎥⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦发送端模拟信号s （t ）与接收端的模拟信号r （t ）间的关系可表示为max()()(,)()()(,)()r t s t h t n t s t h t d n t τττττ=*+=-+⎰n(t)表示信道上的加性高斯白噪声，h(t, τ)表示t 时刻信道的冲击响应。
ofdm系的数学推导
ofdm系的数学推导OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) 是一种高效的数字通信技术，它利用多个正交子载波进行数据传输。
OFDM技术已成为一种常见的数字通信技术，广泛应用于各个领域。
在OFDM技术中，需要进行一系列的数学推导，以便确定信号的传输参数。
本文将对OFDM系的数学推导进行讲解。
1. 子载波的正交性OFDM技术主要利用多个正交子载波进行数据传输。
正交子载波具有相互独立和互不干扰的性质，从而可以提高传输速率和系统容错能力。
在OFDM系统中，正交子载波的个数一般为N。
假设m和n为两个不同的正整数，则第m个子载波f(m)与第n个子载波f(n)的内积为：∫ f(m)(t) f(n)(t) dt由于正交子载波的周期为T，因此可得：∫ f(m)(t) f(n)(t) dt = 0 (m ≠ n)∫ f(m)(t) f(n)(t) dt = T (m = n)这说明正交子载波之间具有正交性，相互之间没有干扰。
2. 调制信号的构造在OFDM系统中，调制信号具有一定的复杂性，需要进行一定的构造。
设原始数据为xn，第k个子载波的频率为fk，则调制信号可表示为：s(t) = Σ xn[k] f(k)(t) exp(j2πfk t)其中k为子载波的编号，f(k)(t)为第k个子载波的频率为fk的正弦波，exp(j2πfk t)为相位旋转，j为虚数单位。
调制信号的构造需要确定原始数据以及子载波的频率、相位等参数，从而构造出符合要求的信号。
3. 分组和FFTOFDM系统中，需要将调制信号进行分组和FFT变换。
具体来说，将发射信号分为多个子信号，每个子信号分别经过FFT变换，然后将多个信号合并成为一段OFDM信号进行传输。
在分组和FFT过程中，需要注意：（1）分组长度必须是2的整数次幂，以方便进行FFT变换。
（2）分组间必须有足够的间隔，以防止相邻分组之间的干扰。
OFDM基础理论的数学表达和解析(end)
OFDM基础理论的数学表达与解析王海舟10/10/2016目录摘要 (3)第一章、概述 (4)第二章、OFDM技术基础理论 (4)2.1芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数 (4)2.2三角级数和三角函数的正交性 (5)2.3周期函数的傅里叶级数的表达 (6)2.4欧拉公式 (8)2.5非周期连续函数的傅里叶积分变换 (10)2.6傅里叶变换的时移特性 (11)2.7单位脉冲函数及其筛选特性 (12)2.8卷积积分和卷积定理 (14)2.9奈奎斯特准则和数字滤波初步 (15)2.10OFDM技术的实现 (17)第三章、OFDM技术基础理论学习的意义 (18)摘要以OFDM技术为基础的LTE通信网络，经过近3年来的高速发展，网络的建设规模方面已经超过GSM网络。
4G的Volte语音业务替代2G的步伐也正在加快，而移动数据业务的发展更是一日千里，成为各个运营商竞争的最重要的战场。
更何况OFDM技术仍将在未来的5G网络中起着技术基石的作用。
我们知道，2G网络历经了10年以上的发展，大批现场工程师得到了充足的培训，同时又拥有长期的实战经验，因而在网络优化工作中得心应手。
相比而言，LTE网络在短时间的发展，致使我们面临短缺具备一定深度基础理论知识的网络优化工程师的情况；尽管工程师能够从多个方面能够取得一些培训，但由于缺少连贯的理论知识对接，这些培训远远不能支持专业的工程师走的更远、走的更深入。
面对这样的困境，本人对OFDM技术要点进行理论梳理，从浩瀚的高等数学、工程数学、通信理论的知识海洋中，颉取最简理论线路，创新进行理论关联和演进的串接，不仅令工程师能够夯实最基础的理论，而且用最简捷的数学理论途径，达到深入理解OFDM技术。
关键词：OFDM、泰勒级数、欧拉公式、傅里叶变换、单位脉冲函数、卷积积分、数字滤波。
第一章、概述做为一线的现场LTE 网络优化工程师，尤其是做为网络优化队伍中资历较深的工程师，有责任带领项目上其他工程师，在全面深入完成日常和专项优化工作的同时，与其他工程师就网络中的技术问题进行共同探讨和学习。
OFDM的基本原理剖析
OFDM的基本原理剖析1 从FDM到OFDM早期发展的无线网络或移动通信系统，是使用单载波调制(Single-carrier Modulation)技术，单载波调制是将要传送的信号(语音或数据)，隐藏在一个载波上，再藉由天线传送出去。
信号若是隐藏于载波的振幅，则有AM、ASK调制系统；信号若是隐藏于载波的频率，则有FM、FSK调制系统；信号若是隐藏于载波的相位，则有PM、PSK调制系统。
使用单载波调制技术的通讯系统，若要增加传输的速率，所须使用载波的带宽必须更大，即传输的符元时间长度(Symbol Duration)越短，而符元时间的长短会影响抵抗通道延迟的能力。
若载波使用较大的带宽传输时，相对的符元时间较短，这样的通讯系统只要受到一点干扰或是噪声较大时，就可能会有较大的误码率(Bit Error Ratio, BER)。
为降低解决以上的问题，因此发展出多载波调制(Multi-carrier Modulation)技术，其概念是将一个较大的带宽切割成一些较小的子通道(Subchannel)来传送信号，即是使用多个子载波(Subcarrier)传来送信号，利用这些较窄的子通道传送时，会使子通道内的每一个子载波的信道频率响应看似平坦，这就是分频多任务(Frequency Division Multiplexing, FDM)观念。
因为带宽是一个有限的资源，若频谱上载波可以重迭使用，那就可以提高频谱效率(Spectrum Efficiency,η)，所以有学者提出正交分频多任务(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)的技术架构。
FDM与OFDM两者最大的差异，在OFDM系统架构中每个子信道上的子载波频率是互相正交，所以频谱上虽然重迭，但每个子载波却不受其他的子载波影响。
图1FDM与OFDM频谱FDM和OFDM频谱互相比较，如图1所示，OFDM所须的总带宽较小，倘若可以提供的载波总带宽是固定的，则OFDM系统架构将可以使用更多的子载波，使得频谱效率增加，提高传输量，而能应付高传输量需求的通讯应用。
ofdm基本原理总结要点
插入 导频
串并 转换
IFFT
并串 转换
RF RX
ADC
去除CP
时间和频 率同步
解码
去交织
数字 解调
信道 校正
并串 转换
FFT
串并 转换
发送端模拟信号 s（ t）与接收端的模拟信号 r（ t）间的关系可表示为
r (t ) s(t ) h (t , ) n (t )
max
s(t
0
)h (t, )d
n(t)
N1
i
s(t )
di exp j 2 ( f 0
i0
)( t T
ts ) , ts
t
ts
T
0, 其它
它的等效基带信号是
N1
i
s(t )
di exp
i0
j2
(t T
ts) ,ts
t
ts
T
式中实部和虚部分别对应于 OFDM 符号的同相和正交分量，是集中可以分别与相应子载波
的余弦分量和正弦分量相乘，构成最终的子信道信号和合成的
数做 IFFT 。
做 IFFT 时，实际上第一个数 ( 一定是实数 ) 定义 DC 成份，第 (N/2+1) 个复数定义最高频率
成分，最后面的 (N/2-1) 个复数定义负频率成分。所以， IFFT 后的信号的频带是 (-fm, fm) 。然后，
如果用基带传输，只能传实部，信号的带宽是 fm ；如果用通带 (即用 RF 载波 ) 传，还可以多传一
S1
和 S2 的信噪比，需要将其幅度放大
2倍
3.3.3 OFDM 的信道估计与均衡
OFDM是一种很适合在多径环境中采用的传输方案。从频域看，多径特性可以描述成频
OFDM知识点总结
OFDM知识点总结一、基本原理1. OFDM的基本原理OFDM技术将高速数据流通过将其分成多个低速数据流并利用多个子载波进行传输，这样可以减少每个子载波的速率，从而降低了单个子载波的频谱需求，提高了信道利用效率。
同时，因为每个子载波可以根据其波特征进行正交分割，所以在传输过程中不会相互干扰，这样就提高了系统的抗干扰能力。
2. 窄带OFDM与宽带OFDM窄带OFDM是指在每个子载波上传输的数据率较低，因此其带宽也比较窄。
而宽带OFDM则是通过增加子载波数量来提高系统的传输速率，从而增加了系统的带宽。
3. FFT（快速傅里叶变换）在OFDM系统中，需要使用FFT算法将时域信号转换为频域信号，以便进行多载波调制。
通过FFT算法可以将高速数据流分成多个低速数据流，并且对每个子载波进行调制。
二、多径效应1. 多径传输通道在无线通信中，信号在传输过程中会经历多个路径传输，这些路径长度不同，导致信号在接收端出现时延、频率偏移等问题，称为多径效应。
在OFDM系统中，多径效应会导致频谱展宽、码间干扰等问题，影响系统的性能。
2. 多径信道估计为了解决多径效应对系统性能的影响，OFDM系统需要进行多径信道估计，即根据接收到的信号来估计在不同路径上的时延、幅度和相位等参数，从而对接收到的信号进行补偿。
三、资源分配1. 频率资源分配在宽带通信系统中，频谱资源是非常宝贵的，因此需要合理分配给不同用户或者应用。
在OFDM系统中，可以采用动态频谱分配的方式，根据用户的需求和系统的负荷情况来动态分配子载波的频谱资源。
2. 功率资源分配除了频率资源外，功率资源也需要进行合理的分配。
在OFDM系统中，可以通过改变子载波的功率来调整系统的传输功率分布，从而实现对系统性能的优化。
四、调制方案1. 常用调制方案OFDM系统中常用的调制方案包括BPSK、QPSK、16QAM、64QAM等。
在选择调制方案时，需要考虑系统的传输速率、信噪比、功耗等因素。
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OFDM基础理论的数学表达与解析王海舟10/10/2016目录摘要 (3)第一章、概述 (4)第二章、OFDM技术基础理论 (4)2.1芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数 (4)2.2三角级数和三角函数的正交性 (5)2.3周期函数的傅里叶级数的表达 (6)2.4欧拉公式 (8)2.5非周期连续函数的傅里叶积分变换 (10)2.6傅里叶变换的时移特性 (11)2.7单位脉冲函数及其筛选特性 (12)2.8卷积积分和卷积定理 (14)2.9奈奎斯特准则和数字滤波初步 (15)2.10OFDM技术的实现 (17)第三章、OFDM技术基础理论学习的意义 (18)摘要以OFDM技术为基础的LTE通信网络，经过近3年来的高速发展，网络的建设规模方面已经超过GSM网络。
4G的Volte语音业务替代2G的步伐也正在加快，而移动数据业务的发展更是一日千里，成为各个运营商竞争的最重要的战场。
更何况OFDM技术仍将在未来的5G网络中起着技术基石的作用。
我们知道，2G网络历经了10年以上的发展，大批现场工程师得到了充足的培训，同时又拥有长期的实战经验，因而在网络优化工作中得心应手。
相比而言，LTE网络在短时间的发展，致使我们面临短缺具备一定深度基础理论知识的网络优化工程师的情况；尽管工程师能够从多个方面能够取得一些培训，但由于缺少连贯的理论知识对接，这些培训远远不能支持专业的工程师走的更远、走的更深入。
面对这样的困境，本人对OFDM技术要点进行理论梳理，从浩瀚的高等数学、工程数学、通信理论的知识海洋中，颉取最简理论线路，创新进行理论关联和演进的串接，不仅令工程师能够夯实最基础的理论，而且用最简捷的数学理论途径，达到深入理解OFDM技术。
关键词：OFDM、泰勒级数、欧拉公式、傅里叶变换、单位脉冲函数、卷积积分、数字滤波。
第一章、概述做为一线的现场LTE 网络优化工程师，尤其是做为网络优化队伍中资历较深的工程师，有责任带领项目上其他工程师，在全面深入完成日常和专项优化工作的同时，与其他工程师就网络中的技术问题进行共同探讨和学习。
而从相互的交流沟通中，发现LTE 网络的基础理论能力问题，是限制工程师工作有效性的关键，这也直接影响到项目优化执行力度。
比如在天线权值的优化方面，在上行多用户feature 的验证等方面等等，均存在事倍功半的情况。
而在回顾和反思公司的技术培训环节，愈发感觉存在数学理论学习的缺失，也促使我本人在项目内的技术交流中，无论是OFDM 理论方面、在天线和MIMO 技术理论方面、还是在SIP 信令方面等等，均基于最基本的理论，和最朴素的逻辑关系。
而作为4G 移动通信网络的基本技术，我认为OFDM 应该是每一个工程师深入理解的技术。
通过回想自我学习的历程，并根据本人对于理论的认识，对庞大的数学理论和通信理论进行梳理，对OFDM 这一理论的知识要点进行整理，并用直白的语音和最简的数学推导，解析出OFDM 真正的含义，以期实现工程师的有最完整的理解。
第二章、OFDM 技术基础理论2.1 芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数公元前5世纪，古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea) 曾提出了一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，如：飞矢不动、阿喀琉斯追乌龟等。
这些哲学悖论在之后的千百年期间，引起大批哲学家和数学家的研究和争论。
无论是亚里士多德的哲学解释还是阿基米德的穷举法，都仅仅得到有限的结果；无论是后来的微积分计算、还是康托尔的集合论的连续统，也都依然不能完全得到所有人们的认同。
即便是当前已经有公认的量子理论的实验，证明了时间和空间具有最小普朗克单位，仍能引起相应的质疑。
在此，我们注意到的是：在18世纪，泰勒公式所揭示的一些连续函数可以用离散的级数和逼近的一般的表达，也就是一个函数可由该函数在某一点的n+1次导数相加求得，或无限逼近求得。
设函数()f x 在闭区间[],a b 上n 阶连续可导，且在(),a b 上n+1阶可导，任意[],∈x a b ，则泰勒公式如下：()()()()()()()()()()()221!2!!=+-+-+⋯+'-+n nn f a f a f a f x f a x a x a x a R x n .此泰勒公式，是不是能够解决芝诺悖论无关紧要，但此公式所表达的意义，对于一些具有n 阶求导的连续函()f x 数来讲，当n 趋于无穷大，余项()n R x 的极限为零时，是可以用泰勒级数来表达。
进一步，如果令函数初始点为0，则该泰勒级数可以以下麦克劳林级数的形式表达：()()()()()()()()2323000001!2!3!!=+++++'⋯+n n n f f f f f x f x x x x R x n我们可以得到这样的结论：某些特定条件下的一个连续函数可以用级数和的形式进行表达（上式中n 为正整数）。
2.2 三角级数和三角函数的正交性我们可以用麦克劳林级数对三角函数sin =y x 进行展开：()()sin =f x x ； ()01'=f ；()()200=f ； ()31(0)=-f ；()()400=f可得：()()35211sin 13!5!21!--=-+-⋯+-+⋯-n n x x x x x n同样可得： ()()242cos 112! 4.12!=-+-⋯+-+⋯nn x x xx n此两个三角函数的级数表达公式，将在后面欧拉公式的证明中用到。
三角函数，如：sin x 、cos x 、sin 2x 、cos 2x 、sin nx 、cos nx 等，在[],ππ-区间具有正交性，这一点不仅从数学的积分公式可以证明，也可以从几何图形中展示。
1、数学积分证明()()1cos cos d cos cos d 2ππππ--⎡⎤=++-⎣⎦⎰⎰kx nx x k n x k n x x （积化和差公式）=()()sin sin 12ππ-⎡⎤+-+⎢⎥+-⎣⎦k n x k n x k n k n=0 (),1,2,3,;=⋯≠k n k n2、几何示意：上图显示，在一个完整的基波周期中，与基波一样，所有谐波正弦信号在x 轴上面的面积和在x 轴下面的面积相等。
不同的若干正弦信号或若干余弦信号相乘之后的信号，依然保持此性质。
OFDM （正交频分多址）技术，就是利用了三角周期函数的正交性，从而使得若干个不同谐波的三角函数在一个整数周期叠加形成符号。
解调时，再利用积分解调出不同的三角函数。
我们可以得到这样的结论：三角函数具有正交性，只要不是一个三角函数与自身相乘，其积分结果总为零。
也就是说，具有正交性的函数之间，没有相关性，相互之间进行相乘之后，也可以从复合信号中被完整解析出来。
这也就是LTE 技术中，具有谐波性质的所有子载波可以叠加成一个符号后，并能够在接收端再被单独解调的原理。
2.3 周期函数的傅里叶级数的表达我们首先要了解周期函数：无论是三角函数还是方波，均可以在一个周期内，对幅度、频率、初相来进行坐标和数值定义。
以最简单正弦函数为例，并设A 为振幅，ω为角频率，φ为初相，t 为时间；()()sin ωϕ=+n n f t A n t=sin cos ωcos sin ωϕϕ+n n A n t A n t令：02=a A ，sin ϕ=n n n a A ，cos ϕ=n n n b A ，ω=t x ； 则，等式右端可表达为三角级数，也称为傅里叶级数：=()01cos sin 2∞=++∑n n n a a nx b nx 对等式两端逐项积分，可得出0a ，n a ，n b 与函数()f x 的关系，也就是说某一个特定连续函数()f x 有着怎样的0a 、n a 、n b ，并用对应的三角级数进行无限逼近的表达？()01d d 2ππππ∞=--=+∑⎰⎰n a f x x x cos d sin d ππππ--⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰n n a nx x b nx x 利用前面讲过的三角函数的正交性，可得：()0d 22πππ-=⎰a f x x ()01d πππ-=⎰a f x x分别用cos nx 和 sin nx 乘以等式两端，并在π-到π进行积分，利用正交性计算可得： ()1cos d πππ-=⎰n a f x nx x()1sin d πππ-=⎰n b f x nx x0a 、n a 、n b 称之为傅里叶系数。
我们可以得到这样的结论：连续周期函数可以用傅里叶级数的形式表达。
也就是说，对其连续函数的分析，等同于对连续周期函数的傅里叶级数的考察。
其中傅里叶系数与周期函数()f x 之间存在对应的积分关系。
（如下图所示）2.4 欧拉公式用三角函数表示和用三角函数计算复杂的函数时，显得极为不便和复杂。
做为三角函数与复函数之间相互表达的桥梁，利用著名的欧拉公式，可提供简捷的方法。
用复函数进行信号分析和计算，成为了最基础和最重要的途径，这一点非常重要。
我们利用前面泰勒级数的结论：234e 11!2!3!4!=+++++⋯xx x x x 令变量x 为复数z ，并已知复数()i =+z x y ，当x =0时，仅余虚部i y 则：()()()23i 111e 1i i i i 2!3!!=++++⋯++⋯ny y y y y n =23453!1111i i 2!4!5!⊥+--++-⋯y y i y y y =243511111i 2!4!3!5!⎛⎫⎛⎫-+-⋯+-+-⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y y y y 再根据前面已经表达的三角级数，可得欧拉公式：i e cos isin =+y y y 也即：i e cos isin =+x x x另一种欧拉公式的表达方式：e cos 2-+=ix ixe xsin 2--=ix ixe e x i运用欧拉公式，我们对前面的傅里叶级数公式进行改写：令：()20021d 2-==⎰T T a c f t t Ti 2-=n n n a b c =()()2222cos d i 1sin d --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰T TT Tf t nwt t f t nwt t T=()()22cos sin d 1ωω--⎰T T f t n t i n t t T=()221e d ω--⎰T in t T f t t T()1,2,3,=⋯n()222ed 2ω--+==⎰T in tn n n Ta ibc f t t T()1,2,3,=⋯n上述三个公式合并为一个：n C =()221e d ω--⎰T in t T f t t T()0,1,2,3,=±±±⋯n则，最终的该连续周期函数()T f x 的傅里叶复指数形式如下：()01ωω∞--=⎡⎤=++⎣⎦∑n n i ti tT n n n f t C C eC e=ω+∞=-∞∑n i tnn C e或者表达式为：()22(e )1ωωττ+∞-=-∞-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑⎰n n Tj t j t T T n Td t f fe T（从本公式开始，将虚数i 更改为j ，是为了更加符合工程理论的表达习惯，后面均以j 表示）我们可以得到这样的结论：利用欧拉公式，可将连续周期函数，用复指数级数形式进行准确表达。