2019年高中数学必修二人教A版练习：1.3.2球的体积和表面积含解析
高中数学必修2单元配套练习试题1.3.2球的体积和表面积及参考答案解析
1.3.2球的体积和表面积姓名:___________班级:______________________1.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A.2πB.3πC.4πD.6π 2.正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A.1B.1∶3C.1∶9D.1∶3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( ) A.59倍 B.95倍 C.2倍 D.3倍4.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( )A.1B.2C.3D.45.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( ) A.2倍 B.22倍 C.2倍 D.32倍6.已知四棱锥ABCD S -的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,若此四棱锥的最大体积为18,则球O 的表面积等于( ) A.18π B.36π C.54π D.72π7.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABC ,,AB BC SA ⊥则球O 的表面积等于( )A.4πB.3πC.2πD.π8.已知点,,,A B C D 在同一个球面上,3,4,5AB BC AC ===,若四面体ABCD 体积的最大值为10,则这个球的表面积是( ) A.25π4B.125π4C.225π16D.625π169.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下一个直径为12 cm,深为2 cm的空穴,则该球的表面积为________cm 2.10.如图,半球内有一内接正四棱锥S ΑΒCD -,该四棱锥的体积为,则该半球的表面积为_____________.11.已知正三棱柱111ABC A B C -底面边长为高为3,圆O 是等边三角形ABC 的内切圆,点P 是圆O 上任意一点,则三棱锥111P A B C -的外接球的表面积为______________.12.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克？13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.14.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm 的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料？参考答案1.B【解析】由题意知,该几何体为半球,表面积为大圆面积加上半个球面积,即221π14π13π2S =⨯+⨯⨯=,故选B.考点:球的表面积. 2.D【解析】设正方体的棱长为1,则其内切球的直径为1,半径为12,,半径为2,根据球的体积公式可知两球的体积之比为3312⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭∶1=故选D. 考点:正方体内切球和外接球的体积.3.B【解析】设最小球的半径为1,则最大球的表面积S 大＝36π,S 小＋S 中＝20π,36π9=20π5. 考点:球的表面积. 4.A【解析】设两球的半径分别为R 、r(R ＞r),则由题意得334π4π12π,332π2π6π,R r R r ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得2,1,R r =⎧⎨=⎩故R －r ＝1.考点:球的体积. 5.B【解析】由表面积扩大到原来的2倍可知半径扩大为原来的2倍,则体积扩大到原来的22倍.考点:球的表面积,体积. 6.B【解析】当此四棱锥的体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,设球的半径为R ,因为底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,,高为R ,所以23112)183333V Sh R R R ==⨯⨯==⇒=,所以球的表面积为224π4π336πS R ==⨯=,故选B.考点:四棱锥的体积与球的表面积公式. 7.A【解析】因为SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长,宽,高分别为,,SA AB BC 的长方体的外接球的半径,又因为1,SA AB ==所以221R R ==⇒=,所以球的表面积为24π4πS R ==,故选A. 考点:球的表面积公式.8.D【解析】由222AC BC AB =+可知△ABC 为直角三角形,BC BA ⊥,所以△ABC 的外心2O 为AC 的中点,由四面体的体积公式可知,当顶点D 到平面ABC 的距 离最大时,有最大体积,当2,O D ,球心1O 共线时,顶点D 到平面ABC 的距离最 大,由题可求得此时顶点D 到平面ABC 的距离为5=h ,设球的半径为R ,则球心1O 到圆心2O 的距离为d =则h R =解得825=R ,则球的表面积26254ππ16S R ==,故选D. 考点:三棱锥的体积,球的表面积. 9.400π【解析】设球的半径为r cm,依题意可知22362r r +-=（）,解得10r =, ∴球的表面积为()224π400πcm r =. 考点:球的表面积.10.6π【解析】设所给半球的半径为R ,则四棱锥的高h R =,则AB BC CD DA ====,所以)2133R R =⇒=所以半球的表面积为222ππ6πR R +=.考点:球的表面积. 11.20π【解析】由题设可知三棱锥111P A B C -的外接球过上底面ABC 的内切圆和下底面111A B C 的外接圆,容易算得三棱柱的上、下底面的内切圆与外接圆的半径分别为2,1.设球心O 到上、下底面的距离分别是h h -3,,则由球心距、球半径及截面圆的半径之间的关系可得222)3(41h h R -+=+=,解得2=h ,所以5412=+=R ,故球的表面积为4π520πS =⨯=.考点:三棱柱的几何性质与球的面积公式. 12.(1) 169.6 (2) 1 200π【解析】(1)因为半球的直径是6 cm,所以半径R ＝3 cm, 所以两个半球的体积之和为V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3).又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h＝π×9×2＝18π(cm 3).所以这种“浮球”的体积是V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3).(2)上下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2), 所以1个“浮球”的表面积为S ＝36π＋12π104＝48104π(m 2). 因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S ＝2 500×48104π＝12π(m 2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π＝ 1 200π(克).考点:圆柱、球的体积、表面积. 13.1∶2∶3【解析】设正方体的棱长为a,三个球的半径依次为123,,r r r ,表面积依次为123,,S S S .①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,则有2r 1＝a,12ar =,所以22114ππS r a ==.②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点,则有2r 2＝2a,22r =,所以22224π2πS r a ==.③正方体的各个顶点在球面上,则有2r 3＝3a,32r a =,所以22334π3πS r a ==. 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3. 考点:球的表面积.14.当圆锥形杯子的高为8 cm 时,用料最省【解析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须有V圆锥≥V半球,而V半球＝12×43πr 3＝12×43π×43,V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ,则有13π×42×h≥12×43π×43,解得h≥8.即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S 圆锥侧＝πrl ＝π,所以高为8 cm 时,制造的杯子最省材料. 考点:球的体积,圆锥的体积、表面积.。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第一章 空间几何体 2 含解析
第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。
高中数学必修2球的表面积与体积(含答案)
球的表面积与体积典例1、（2019∙西湖区校级模拟）半径为1的球的表面积等于______________【解析】ππ442==r S变式：半径为2的球的表面积等于_____________【解析】ππ1642==r S典例2、（2019∙红塔区校级月考）棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为__________ 【解析】22,242=∴=r r变式：棱长分别为4，3，2的长方体内接一个球O ，则球的表面积为___________【解析】ππ164,22==∴=r S r典例3、（2019∙城关区校级期末）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为___________ 【解析】πππ1441444,214,1412322222=⋅==∴=∴=++=r S r r 变式：棱长为3的正方体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为___________ 【解析】πππ2742744,227,2733322222=⋅==∴=∴=++=r S r r 典例4、（2019∙肥城市校级月考）若一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体外接球的体积是_____________【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则,321,632⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===c b a bc ac ab 261)3()2(21222=++=∴r ， πππ686634)26(343=⋅⋅==V 变式：若个长方体共一顶点的三个面的对角线分别是,5,2,3则这个长方体外接球的表面积是_________【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则,321,523222222⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+c b a c b c a b a 261)3()2(21222=++=∴r ， πππ6464)26(42=⋅⋅==S 典例5、（2019∙南充期末）若两个球的半径之比为1：3，则这两个球的体积之比为__________ 【解析】271)3(,3,3:1:31313231211221===∴=∴=R R R R V V R R R R 变式：若两个球的体积之比为27：8，则这两个球的表面积之比为__________ 【解析】23,8273434213231323121=∴===r r r r r r V V ππ 典例6、（2019∙十堰模拟）若一个实心球对半分成两半后表面积增加了π4，则原来实心球的表面积为_____ 【解析】πππππ8)2(44,2,2,4222===∴=∴=∴=r S r S S 球圆圆变式：若一个实心球平均分成三份后表面积增加了π12，则原来实心球的体积为_____ 【解析】ππππ33234,2,4,1233==∴=∴=∴=r V r S S 球圆圆典例7、一个正方体的棱长为2，可以完全放进一个球，则这个球的体积是___________ 【解析】πππ33223434,233=⋅⋅==∴=r V r变式：棱长分别为1，2，3的长方体内完全放进一个球，则该球的表面积是__________ 【解析】πππ3413434,133=⋅⋅==∴=r V r 典例8、（2018∙安庆期末）正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长AB=3，侧棱长21=AA ，则该棱柱的外接球表面积等于___________【解析】底面ABC ∆的外接圆半径1)]321(3[32=⋅⋅⋅=r ，,211)2(222=+=+=h r R ππ842==R S 变式：正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为2，侧棱长为4，则该棱柱的外接球的体积为______【解析】底面四边形ABCD 的外接圆半径,1222=⋅=r ,541)2(222=+=+=h r R ππ3520343==R V典例9、（2019∙增城区月考）三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且AB=BC=2，AC=1AA =2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________【解析】ABC ABC AC BC AB ∆∴=∠∴=+,90,0222 外接圆半径1=r ，2112=+=∴R ， ππ842==∴R V变式：三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且0120=∠ABC ，2==BC AB ，61=AA ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________【解析】底面ABC ∆的外接圆半径为2=r ，1332222=+=∴R ，ππ5242==∴R S典例10、（2019∙广元模拟）若三棱锥P-ABC 的底面边长与侧棱长都是3，则它的外接球的表面积为_______【解析】正四面体的边长为3，外接球的球心到各顶点的距离都等于半径R ，过一顶点作底面的垂线，垂足就是底面三角形的中心，故3321332=⋅⋅⋅=r ，63322=-=h ，222)(R h r R -+= 即463,)6(3222=∴-+=R R R ，πππ227)463(4422=⋅==∴R S 。
高中数学必修2第1章-1.3.2球的体积和表面积同步练习题及答案
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】1.3.2球的体积和表面积【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝________．一、选择题1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A．6π6B．π2C．2π2D．3ππ2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的() A．2倍B．22倍C．2倍D．32倍3．正方体的内切球和外接球的体积之比为()A．1∶ 3 B．1∶3C．1∶3 3 D．1∶94．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为()A．1∶2∶3 B．1∶2∶ 3C．1∶22∶3 3 D．1∶4∶75．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()A．25πB．50πC．125πD．以上都不对6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为()A．4∶9 B．9∶4C．4∶27 D．27∶4二、填空题7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．能力提升12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．1．3．2 球的体积和表面积 答案知识梳理1．4πR 2 4 2．43πR 3作业设计1．A [先由面积相等得到棱长a 和半径r 的关系a ＝6π3r ，再由体积公式求得体积比为6π6．] 2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．] 3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a ，外接球的直径等于3a ．] 4．C [由表面积之比得到半径之比为r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，从而得体积之比为V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶33．]5．B [外接球的直径2R ＝长方体的体对角线＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别是长、宽、高)．]6．A [设球半径为r ，圆锥的高为h ，则13π(3r)2h ＝43πr 3，可得h ∶r ＝4∶9．]7．4解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR 地球＝8，故R 地球＝4π(万里)，所以火星的半径为2π万里，其大圆的周长为4万里．8．3 cm解析 设球的半径为r ，则36π＝43πr 3，可得r ＝3 cm ．9．(1)球 (2)球解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为r ． (1)当6a 2＝4πr 2时，V 球＝43πr 3＝6πa 3>a 3＝V 正方体；(2)当a 3＝43πr 3时，S 球＝4πr 2＝63π6a 2<6a 2＝S 正方体．10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ．依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料．11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h)2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h＝315r ．即容器中水的深度为315r ．12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．] 13．解 设正方体的棱长为a ．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2． ③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ， r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2． 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．。
1.3.2 球的体积和表面积
[跟踪训练] 1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为 48π cm2，则球的表面积为________cm2.
256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆 O 是球的过已知半径的大圆， AB 是截面圆的直径，作 OC 垂直 AB 于点 C，连接 OA.由截面面积为 48π cm2， 可得 AC＝4 3 cm.设 OA＝R，则 OC＝12R，所以 R2－12R2＝(4 3)2，解得 R ＝8 cm.故球的表面积 S＝4πR2＝256π(cm2)．
由三视图求球的表面积与体积 例 2、一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注 入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆 锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下 降后减少的体积来建立一个关系式来解决．
2．若球的过球心的圆面的周长是 C，则这个球的表面积是( )
A．4Cπ2
B．2Cπ2
C．Cπ2
D．2πC2
C [由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，所以 S 球面＝4πR2＝Cπ2.]
3．若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积扩大到原来的( )
A．2 倍
B．4 倍
C．8 倍
D．16 倍
C [设气球原来的半径为 r，体积为 V，则 V＝43πr3.当气球的半径扩大到 原来的 2 倍后，其体积变为43π(2r)3＝8×43πr3.]
]
2．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4
cm，则该球的体积是 ( )
A．1030π cm3
B．2038π cm3
C．5030π cm3
D．416313π cm3
高中人教A版数学必修二教师用书第1章 1.3.2 球的体积和表面积 Word版含答案
球的体积和表面积．了解并掌握球的体积和表面积公式．．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)教材整理球的表面积与体积公式阅读教材“练习”以下至“练习”以上内容，完成下列问题．．球的体积设球的半径为，则球的体积＝π.．球的表面积π设球的半径为，则球的表面积＝，即球的表面积等于它的大圆面积的倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()球的体积之比等于半径比的平方．( )()长方体既有外接球又有内切球．( )()球面展开一定是平面的圆面．( )()球的三视图都是圆．( )【解析】()错误．球的体积之比等于半径比的立方．()错误．长方体只有外接球，没有内切球．()错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．()正确．球的三视图都是圆．【答案】()×()×()×()√()()已知球的体积为π，求它的表面积．【精彩点拨】借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．【自主解答】()设球的半径为，则由已知得π＝π，＝.所以球的体积：＝×π×＝π.()设球的半径为，由已知得π＝π，所以＝，所以球的表面积为：＝π＝π×＝π.．一个关键抓住球的表面积公式球＝π，球的体积公式球＝π是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．．两个结论()两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；()两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．．()球的体积是，则此球的表面积是( )．π．π()用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )。
【成才之路】高中数学人教A版必修2练习：1.3.2球的体积和表面积(含答案解析)
第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．如果三个球的半径之比是，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的导学号 92180188( )D ．59倍B ．95倍C ．2倍D ．3倍[答案] B[解析] 设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为导学号 92180189( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 设两球的半径分别为R 、r(R>r)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2r ＝1.故R －r ＝1.3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是导学号 92180190( )D ．6π6B ．π2C ．2π2D ．3π[答案] A[解析] 由6a 2＝4πR 2得aR＝2π3，∴V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝⎛⎭⎫2π33＝6π6.4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是导学号 92180191( ) D ．π3B ．π4C ．π2D ．π[答案] C[解析] 设正方体的棱长为a ，球半径为R ，则3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积 S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，∴S 12＝π2. 5．正方体的内切球与其外接球的体积之比为导学号 92180192( ) A ． 3 B ． C ．3D ．[答案] C[解析] 设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求体积之比为3.6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，则球的表面积为导学号 92180193( )A ．4π(r ＋R)2B ．4πr 2R 2C ．4πRrD ．π(R ＋r)2[答案] C[解析] 解法一：如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC＝R ＋r.由勾股定理得4r 21＝(R ＋r)2－(R －r)2，解得r 1＝Rr.故球的表面积为D 球＝4πr 21＝4πRr.解法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA 、OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr.二、填空题7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________.导学号 92180194[答案]3[解析] 设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝9π2，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3. 8．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________.导学号 92180195[答案] 36π[解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π.三、解答题9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小.导学号 92180196[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，∴R ＝334πa ，r ＝312πa ，∴S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2，S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2，∴S 2<S 3.又6a 2>332πa 2＝354πa 2，即S 1>S 3. ∴S 1、S 2、S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.导学号 92180197[解析] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.一、选择题1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是导学号 92180198( )[答案] B[解析] 选项D 为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B ．2．若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2，则此球的体积为导学号 92180199( )D ．π6 cm 3 B ．6π8 cm 3C ．4π3 cm 3D ．6π6 cm 3[答案] A[解析] 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ， ∴6a 2＝6，∴a ＝1.∴2R ＝1，∴R ＝12.∴球的体积V ＝43πR 3＝43π×(12)3＝π6.3．一个球与一个上、下底为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是导学号 92180200( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3[答案] D[解析] 由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43×πr 3＝32π3解r ＝2.S 底＝12×a×a 2－a 24＝12a·r×3，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 底·2r ＝48 3.4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为导学号 92180201( )D ．2π3＋12 B ．4π3＋16 C ．2π6＋16 D ．2π3＋12[答案] C[解析] 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[4π3(22)3]×12＝16＋2π6，故选C ．二、填空题5．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________.导学号 92180202[答案] 16π[解析] 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.导学号 92180203[答案] 4[解析] 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．三、解答题7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？导学号 92180204[解析] 设取出小球后，容器中水面下降h cm ， 两个小球的体积为V 球＝2[4π3×(52)3]＝125π3(cm 3)，此体积即等于它们的容器中排开水的体积 V ＝π×52×h ， 所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.8．已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径.导学号 92180205[解析] 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上．设外接球半径为R.∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 中心， ∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R)2，即R 2＝(33a)2＋(63a －R)2， 解得R ＝64a ， ∴所求外接球体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.∴OO 1即为内切球的半径，OO 1＝63a －64a ＝612a ， ∴内切球的半径为612a.。
人教A版必修第一章1.3.2《球的体积和表面积》精选题高频考点(含答案)-2
人教A版必修第一章1.3.2《球的体积和表面积》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D【答案】D2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A．12πB．323πC．8πD．4π【答案】A3．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD-的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC CD⊥，且AB CD==2BC=，利用张衡的结论可得球O的表面积为（）A．30 B．C．33 D．【答案】B4．四棱锥P-ABCD的五个顶点都在同一球面上，平面PAB⊥平面ABCD，PA PB⊥，PA PB==ABCD为正方形，则该球的表面积为（）A．32πB．16πC．8πD．64π【答案】A5．已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A．1:3B．1:C．1:9D．1:27【答案】A6．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C7． 如果三个球的半径之比是1︰2︰3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( ) A ．59倍 B ．95倍 C ．2倍 D ．3倍【答案】B8．已知三棱锥A BCD -的四个顶点在以AB 为直径的球面上，,?BC CD CE BD ⊥⊥于E ，1CE =，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为43，则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π【答案】C9．如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A ．12V V =B ．22V V =C ．12V V >D ．12V V <【答案】D10．已知点,,,A B C D 均在球O 上，3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体，则球O 的体积为A ．323πB ．16πC ．32πD ．163π【答案】A11．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则h R=( ) A ．32B ．43C ．54D ．2【答案】B12．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ）A ．:6B :2C ．:2πD ．5:12π【答案】B13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点，且2AB =，若二面角11B BC E --为45︒，则四面体11BB C E 的外接球的表面积为（ ）A ．172π B ．12π C ．9πD ．10π【答案】D14．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C15．已知正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的球面上，2AB =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．323πB ．32πC ．64πD ．643π【答案】D16．四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为积为( )A．9πB．3πC．D．12π【答案】D17．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π【答案】C18．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则: =（）.A．1:1 B．2:1 C．3:2 D．4:1【答案】C19．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．323πB．4πC．2πD．43π【答案】D20．已知三棱锥P ABC-的侧棱长相等，底面正三角形ABC，PA⊥平面PBC时，三棱锥P ABC-外接球的表面积为（）A．B．2C．πD．3π【答案】D二、填空题21．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于________. 【答案】5008122．在三棱锥PABC 中，4PA BC ==，5PB AC ==，PC AB ==锥PABC 的外接球的表面积为________. 【答案】26π23．已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且AB BC ，AC =2，则此三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】8π24．四面体ABCD 中， 2,BC CD BD AB AD AC ======体ABCD 外接球的表面积为__________. 【答案】12π25．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留π）．【答案】26．若三棱锥S ABC -的所有的顶点都在球O 的球面上，且SA ⊥平面ABC ，2SA AB ==，4AC =，3BAC π∠=，则球O 的表面积为__________．【答案】20π27．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且4PA PB ==，则该四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为______.【答案】31615π28．正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，动点P 在对角线BD '上，过点P 作垂直于BD '的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为()y f x =，设(0BP x x =∈，. （1）下列说法中，正确的编号为__________.①截面多边形可能为四边形；②3f ⎛= ⎝⎭③函数()f x 的图象关于x .（2）当x =P ABC -的外接球的表面积为__________. 【答案】②③ 9π29．在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，点P 到底面ABC，若三棱锥P ABC -的外接球表面积为6π，则AC 的长为__________.30．侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____． 【答案】163π. 31．如图所示，六氟化硫()6SF 的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子()F 恰好在正八面体的顶点上，而硫原子()S 恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________.【答案】π.32．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比: V V =圆柱球 ．（用数值作答）【答案】3433．设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45o 角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π,则球O 的表面积等于 . 【答案】8π34．在三棱锥A BCD -中，2BC CD ==，BC CD ⊥，AB AD AC ===三棱锥A BCD -的外接球的体积为______. 【答案】92π 35．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】8π.36．若正四棱锥P ABCD -的底面边长及高均为a ，则此四棱锥内切球的表面积为______．2a 37．四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，PA 与矩形ABCD 所在平面垂直，3,AB AD ==，球O 的表面积为13π，则线段PA 的长为_____________. 【答案】138．已知边长为3的正△ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30°，则球O 的表面积为________． 【答案】16π39．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为92π，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______．【答案】12π40．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为4的菱形，60ABC ∠=o ，AC BD O =I ， 11AC AO ⊥，则三棱锥1A ABD -的外接球的表面积为________. 【答案】72π三、解答题41．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，求该几何体的外接球的表面积。
高一数学人教A版必修2课后训练：1-3-2球的体积和表面积 含解析 精品
1.3.2 球的体积和表面积练习1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶12．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．8∶27B ．2∶3C ．4∶9D ．2∶93．圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( )A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶24．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 5．表面积为16π的球的内接正方体的体积为( )A ．8B ．169CD ．166．圆柱OO ′的底面半径为4，高为163，球M 的体积等于圆柱OO ′的体积，则球M 的半径等于____．7．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1满足：AB 2＋BC 2＋CC 12＝1，则其外接球的表面积为__________．8．(能力拔高题)有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．9．(情景题)盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？10．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)．(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．参考答案1.答案：A2.答案：C3.答案：D4.答案：D5.答案：C6.答案：47.答案：π8.答案：2πa29.解：设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2[4π3×(52)3]＝125π3(cm3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以125π3＝π×52×h，所以h＝53.即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.10. 解：由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体，上半部分是半径为1 m的半球．(1)几何体的表面积为S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π (m2)．(2)几何体的体积为V＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m3)．。
高中数学必修二 球的表面积和体积 答案解析版
1.3.2球的体积和表面积（课时检测题）一、选择题1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比为()A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶1【解析】设两球的半径分别为r ,3r ,则表面积之比为()2241943r r ππ=.【答案】A2.若把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱,则圆柱的高为()A .RB .2RC .3RD .4R【解析】设圆柱的高为h ,则πR 2h=3×43πR 3,所以h=4R.【答案】D3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的()A .1倍B .2倍C .3倍D .4倍【解析】设三个球的半径分别为x ,2x ,3x ,则最大球的体积V 大=×(3x )3=36πx 3,另两球的体积之和V 和=43πx 3+43π×(2x )3=12πx 3,所以V 大=3V 和.43π【答案】C4.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为()A .8πB .323πC .83πD .3【解析】作轴截面如图所示,则OO 1=1.设截面圆的半径为r ,球的半径为R.由已知可得πr 2=π,所以r=1,.故S 球=4πR 2=8π.【答案】A5.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为()A .18πB .30πC .33πD .40π【解析】由三视图可知该几何体是上面为半球,下面为圆锥的组合体,所以表面积S=12×4π×32+π×3×5=33π.【答案】C6.若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等,则圆柱的表面积与球的表面积之比是()A.6∶5B.5∶4C.4∶3D.3∶2【解析】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ,母线长为2R ,则圆柱的表面积为2πR 2+2πR×2R=6πR 2,球的表面积为4πR 2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6πR 2∶4πR 2=3∶2.【答案】D7.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A .9πB .10πC .11πD .12π【解析】该几何体的上部是一个球,其表面积是4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面积是2π×1×3+2π×12=8π.故该几何体的表面积是4π+8π=12π.【答案】D8.球面上有三点A ,B ,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为()A.1200πB.1400πC.1600πD.1800π【解析】∵AB 2+BC 2=182+242=302=AC 2,∴△ABC 为直角三角形,且其外接圆的半径为152AC=,即截面圆的半径r=15.又球心到截面的距离为d=12R (R 为球的半径),∴2221152R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴R=∴球的表面积S=4πR 2=4π×2=1200π.【答案】A★9.表面积为16π的球的内接正方体的体积为()A.8B.169C.9D.16【解析】设表面积为16π的球的半径为r ,则4πr 2=16π,解得r=2.设内接正方体的棱长为a ,2r ,所以.所以内接正方体的体积V=a 3=39=.【答案】C 二、填空题10.已知长方体的8个顶点在同一个球面上,且长方体的体对角线长为4,则该球的体积是.【解析】该球的半径为42=2,则该球的体积是43π×23=323π.【答案】323π11.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等,则球O 的半径为.【解析】设球O 的半径为r ,则43πr 3=23,解得12.若长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1满足AB 2+BC 2+21CC =1,则其外接球的表面积为.【解析】因为外接球的半径12=,所以外接球的表面积为4π×212⎛⎫⎪⎝⎭=π.【答案】π13.已知圆柱OO'的底面半径为4,高为163,球M 的体积等于圆柱OO'的体积,则球M 的半径等于.【解析】设球M 的半径为r ,则43πr 3=π×42×163,解得r=4,即球M 的半径为4.【答案】414.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,那么该球的表面积是.【解析】由三视图可知边长为2的正方体内接于球,则球的半径.所以球的表面积为4πr 2=12π.【答案】12π三、解答题15.一种空心钢球的质量是142g,它的外径是5.0cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm 3,最后结果精确到0.1)【解析】设空心钢球的内径为2x cm,由题意得7.933454142323x ππ⎡⎤⎛⎫⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,则x 3=35142311.327.94π⨯⎛⎫-≈ ⎪⨯⎝⎭.∴x ≈2.24.∴2x ≈4.5,即所求钢球的内径约为4.5cm .16.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于水中.若取出这两个小球,则水面将下降多少厘米?【解析】设取出小球后,容器中的水面下降了h cm,两个小球的体积为V 球=2345125323ππ⎡⎤⎛⎫⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(cm 3),该体积等于它们在容器中排开水的体积V=π×52×h ,所以1253π=π×52×h ,解得h=53.故若取出这两个小球,则水面将下降53cm .17.某个几何体的三视图如图所示(单位:m).(1)求该几何体的表面积S ;(结果保留π)(2)求该几何体的体积V.(结果保留π)【解析】由三视图可知该几何体的下半部分是棱长为2m 的正方体,上半部分是半径为1m 的半球.(1)几何体的表面积为S=12×4π×12+6×22-π×12=24+π(m 2).(2)几何体的体积为V=23+1423⨯×π×13=8+23π(m 3).。
1.3.2球的体积和表面积学案(含解析)新人教A版必修2
1．3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 [导入新知]1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ . 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍． [化解疑难]1．一个关键 把握住球半径 2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 题型一 球的体积与表面积[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3题型二 根据三视图计算球的体积与表面积[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.[类题通法]计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) A．18πB．30πC．33πD．40π题型三球的截面问题[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[类题通法]球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．题型四 1．探究与球有关的组合问题[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．[多维探究]1．球的内接正方体问题若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．2．球内切于正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π63．球的内接正四面体问题若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积．4．球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．5．球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2[方法感悟] 1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)． 2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)． 3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a . [随堂即时演练]1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3D ．1∶12．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12πD ．16π3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 4．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积． (2)已知球的体积为36π，求它的表面积．一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶272．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 23．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶44．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 二、填空题6．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业：1.3.2 球的体积和表面积 Word版含解析.pdf
个球的表面积之比．
解析：设正方体棱长为 a，三个球的半径依次为 R1，R2，R3，则有 2R1＝
a
2
3
a，R1＝ ， 2a＝2R2，R2＝ a， 3a＝2R3，R3＝ a，所以 R1：R2：
2
2
2
R3＝1： 2： 3.所以 S1：S2：S3＝R21：R2：R23＝1：2：3.
即这三个球的表面积之比为 1：2：3.
8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一
个直径为 6 cm，深为 1 cm 的空穴，则该球半径是________ cm，表面
积是________ cm2.
解析：
设球心为 O，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小 圆圆心为 D，AB 为小圆 D 的一条直径，设球的半径为 R，则 OD＝(R－1) cm，
14．一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球，在圆锥内
又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形 SAB 内接于圆 O，
而圆 O1 内切于△SAB. 设圆 O 的半径为 R，则有 4πR3＝972π， 3 所以 R3＝729，R＝9，
答案：A
2．[2019·安徽省合肥市检测]平面 α 截球 O 所得截面圆的半径为 1，
球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( )
A. 6π B．4 3π
C．4 6π D．6 3π
解析：球的半径 R＝
12＋
22＝
4 3，所以球的体积 V＝ π×(
3)3
3
＝4 3π.
答案：B
3．两球的体积之和是 12π，它们的大圆周长之和是 6π，则大球与
人教版数学高一-人教A版必修2练习 1.3.2 球的体积和表面积
．3.2 球的体积和表面积 基础梳理1．球的体积．设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3． 练习1：一个球的半径是2，它的体积为32π3． 2．球的表面积．设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．练习2：一个球的半径是2，它的表面积是16π．练习3：一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的22倍． 练习4：一个球的体积是36π，它的表面积是36π．►思考应用1．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．解析：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d.在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2，即R 2＝r 2＋d 2.2．正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位置？ 答案：都在正方体的中心． 自测自评1．若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积是(A )A ．27πB ．18πC ．9πD ．54π解析：设正方体的棱长为a ，∴6a 2＝54，∴a ＝3，设球的半径为R ，∴(2R)2＝3a 2，4R 2＝27，S ＝4πR 2＝27π.2．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(C )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶8D ．1∶163．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是解析：设大球半径为R ，则43πR 3＝43π×13＋43π×13，∴R 3＝2，R ＝32.题型二 球的内接、外切几何体问题题型三 球的体积、表面积的综合应用►跟踪训练基础达标1．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是(C )A .C 24πB .C 22π C .C 2πD ．2πC 2 解析：由2πR ＝C ，得R ＝C 2π，∴S 球＝4πR 2＝C 2π. 2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(C )A ．32πB ．16πC ．12πD ．8π解析：该几何体是个半球，且半径r ＝2，故其表面积为：S ＝2πr 2＋πr 2＝2π×4＋π×4＝12π.3．正方体的内切球和外接球的半径之比为(D )A .3∶1B .3∶2C ．2∶ 3D .3∶3解析：内切球与外接球的半径之比为正方体棱长与体对角线长之比，即为3∶3.4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(B )A .8π3B .82π3C ．82πD .32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，∴R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3. 5．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离为4 cm ，则球的体积为(C )A .100π3 cm 3B .208π3cm 3 C .500π3 cm 3 D .41613π3cm 3 解析：由球的性质知，球的半径R ＝32＋42＝5， ∴V 球＝4π3×53＝500π3(cm 3)． 6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4 cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，∴R ＝3. 答案：3 cm 巩固提升7．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为________．答案：14π8．球面上有四个点P ，A ，B ，C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的表面积．解析：PA ，PB ，PC 两两互相垂直，将三棱锥补成一个以P 为顶点的正方体，且PA ＝PB ＝PC ＝a ， ∴正方体的对角线长就是球的直径，∴2R ＝3a ，R ＝32a ， ∴这个球的表面积为S 球＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3πa 2. 9．已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．解析：如图所示，设以r 1为半径的截面面积为5π，以r 2为半径的截面面积为8π，O 1O 2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.∴球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.10．如图所示，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色用涂料多少千克(精确到0.1 kg)．解析：(1)由题意，知S正四棱台＝4×12×(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2＝21.85R2，S球＝4πR2，所以这个盖子的表面积为S表＝(21.85＋4π)R2，(2)取R＝2，π＝3.14，得S表＝137.64(cm2)．100个这样的盖子共需涂料约为(137.64×100)÷10 000×0.4≈0.6 kg.1．球的体积比等于半径的立方比，球的表面积之比等于半径的平方比．2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空间几何向平面几何的转化.。
人教版数学高一-A版必修2练习 1.3.2 球的体积和表面积
[A 基础达标]1．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解析：选D.由几何体的三视图可知此几何体是圆柱与球的组合体，其表面积S ＝4πR 2＋2πr 2＋2πrh ，代入数据得S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π.2．表面积为16π的球的内接正方体的体积为( )A ．8B ．169C.6439D ．16 解析：选C.设球的半径为R ，正方体棱长为a ，则4πR 2＝16π，所以R ＝2，因为3a＝4，所以a ＝433，所以V 正方体＝a 3＝⎝⎛⎭⎫4333＝6493. 3．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3B ．4∶9C.2∶ 3 D ．8∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27，所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.4．球面上有三点A 、B 、C ，若AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，且球心到△ABC 所在平面的距离等于球半径的一半，则这个球的表面积为( )A.4003π B ．300π C ．1 200π D ．1 600π解析：选C.设球的半径为R ，由题意得，32R ＝15，所以R ＝103，即S 球＝4πR 2＝1 200π.5．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π， S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝ 323＜1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝ 34π＞1.故选A. 6．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．解析：设球的半径为R ，圆M 的半径为r ，则πr 2＝3π，即r 2＝3.由题意得R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝3，所以R 2＝4，所以4πR 2＝16π.答案：16π7. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4. 答案：48．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意建立方程组，设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12，R ＋r ＝6， 所以R －r ＝2.答案：29．在球面上有四个点P ，A ，B ，C ，如果PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积．解：设这个球的半径为R ，因为PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ＝a ，所以以PA ，PB ，PC 为相邻三条棱可以构造正方体．又因为P ，A ，B ，C 四点是球面上四点，所以球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径，所以2R ＝3a ，R ＝32a ，所以所求体积为43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝32πa 3. 10．有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a ，三个球的半径分别为r 1，r 2，r 3.(1)正方体的内切球球心O 是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①所示，所以2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以此球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各条棱的切点是每条棱的中点，过球心O 作正方体的对角面得截面，如图②所示，所以2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以此球的表面积S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心O 作正方体的对角面得截面，如图③所示，所以2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以此球的表面积S 3＝4πr 23＝3πa 2. 综上，这三个球的表面积之比为S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.[B 能力提升]1．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是( )A ．6πB ．8πC ．12πD ．16π解析：选C.由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R ，则2R ＝23，所以R ＝3，所以S 球表＝4πR 2＝4π×3＝12π.故选C.2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3 解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43πr 3＝323π，得r ＝2.由S 柱底＝12a ×r ×3＝34a 2，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 柱底·2r ＝48 3. 3．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分别为27，43，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点M ，N 之间距离的最大值为________．解析：易求得M ，N 到球心的距离分别为3，2，类比平面内圆的情形可知：当M ，N 与球心共线，且M ，N 在球心两侧时，|MN |取最大值5.答案：54．(选做题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为a ，PB ＝3a ，PD＝a ，PA ＝PC ＝2a ，且PD 是四棱锥的高．(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径；(2)求四棱锥外接球的半径．解：(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．设球的半径为R ，球心为S ，如图，连接SA ，SB ，SC ，SD ，SP .因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S -PAB ，S PBC ，S PCD ，S PAD 与四棱锥S -ABCD 的高都为R ，且它们恰好组合成四棱锥P -ABCD . 因为PD 为四棱锥P -ABCD 的高，PD ＝AD ＝BC ＝a ，四边形ABCD 为正方形，又因为PA ＝PC ＝2a ，PB ＝3a ，所以PB 2＝PA 2＋AB 2＝PC 2＋BC 2，所以△PAB ，△PCB 为直角三角形且全等，所以S △PAB ＝S △PCB ＝12·a ·2a ＝22a 2， S △PDA ＝S △PDC ＝12a 2，S 正方形ABCD ＝a 2， 所以V P ABCD ＝13·a 2·a ＝13a 3， V S PAB ＝V S PBC ＝13·22a 2·R ＝26a 2R ，V S PAD ＝V S PDC ＝13·12a 2·R ＝16a 2R ，V S ABCD ＝13·a 2·R ＝13a 2R ，因为V P ABCD ＝V S PAB ＋V S PBC ＋V S PAD ＋V S PDC ＋V S ABCD ，所以13a 3＝23a 2R ＋13a 2R ＋13a 2R ，即(2＋2)R ＝a ， 所以R ＝⎝⎛⎭⎫1－22a ， 即球的最大半径为⎝⎛⎭⎫1－22a . (2)四棱锥外接球的球心到P 、A 、B 、C 、D 五点的距离均为球的半径，只要找出球心位置即可．由(1)知△PAB 、△PCB 为直角三角形，若M 为斜边PB 的中点，则MA ＝MB ＝MP ＝MC .连接BD ，因为PD ＝a ，PB ＝3a ，BD ＝2a ，所以PB 2＝PD 2＋BD 2，即△PDB 为直角三角形，PB 为斜边，所以MD ＝MB ＝MP ， 所以M 为四棱锥P -ABCD 外接球的球心，所以外接球半径R ′＝12PB ＝32a .。
人教新课标版数学高一-人教A必修二习题 1.3.2球的体积和表面积
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．两个球的半径之比为2∶3，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.2∶ 3 D ．8∶27解析： 设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝4πr 214πr 22＝r 21r 22＝49.故选B. 答案： B2．(2015·德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析： 根据题意球的半径R 满足(2R )2＝6a 2，所以S 球＝4πR 2＝6πa 2，故选B.答案： B3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解析： 由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体，其表面积S ＝4πR 2＋2πr 2＋2πr ·h ，代入数据得S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π.故选D.答案： D4．(2015·唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1∶S2等于()A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．4∶1解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S1＝6π，S2＝4π.所以S1∶S2＝3∶2，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为________．解析：利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝4π(3)3＝43π.3答案：43π6．(2015·吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4，底面边长都为2，则这个球的表面积是________．解析：长方体的体对角线长为22＋22＋42＝26，球的直径是2R＝26，所以R＝6，所以这个球的表面积S＝4π(6)2＝24π.答案：24π7．(2015·河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________ cm，表面积是________cm2.解析：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R－1，则(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5 cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．答案：5100π三、解答题(每小题10分，共20分)8．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．求该几何体的外接球的体积．解析：由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2.由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，d＝16＋16＋4＝36＝6(cm)，所以球的半径为r＝3 cm.因此球的体积V＝4πr3＝43×27π＝36π(cm3)，3所以外接球的体积是36π cm3.9．(2015·大同一中高二(上)月考)如图所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析： 12S 球＝12×4π×22＝8π(cm 2)， S 圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm 2)， S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)． 所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．。
高中数学人教版秋高一数学必修2课后导练：1.3.2球的体积和表面积含解析
课后导练基础达标1两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是（ ）A.1B.2C.3D.4解析：设两球半径分别为r 1和r 2，且r 1≥r 2，则有34π（r 13+r 23）=12π， ∴r 13+r 23=9，又2π（r 1+r 2）=6π， ∴r 1+r 2=3，∴（r 1+r 2）（r 12-r 1r 2+r 22）=9，∴r 12-r 1r 2+r 22=3，∴（r 1+r 2）2-3r 1r 2=3，∴r 1r 2=2，∴（r 1-r 2）2=（r 1+r 2）2-4r 1r 2=9-8=1，∴r 1-r 2=1，故选A.答案：A2三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）A.95倍B.59倍 C.2倍 D.3倍 解析：设三个球的半径分别为r 1、r 2、r 3，则有r 1∶r 2∶r 3=1∶2∶3，令r 1=1，r 2=2，r 3=3，则有S 3=4πr 32=36π，S 1+S 2=4π（r 12+r 22）=20π，故选B.答案：B3如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的面积之比为（ ）A.4∶3B.3∶1C.3∶2D.9∶4解析：作轴截面，设球半径为r ，则AO=2r ，OD=r ，∴∠BAO=30°∴AB=32r ，BE=3r ，∴S 锥∶S 球=3∶2，选C.答案：C4两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个球，这个大球的半径为（ ）A.2B.32C.2D.3421 解析：只需求出大球的体积，就可求出大球的半径，设大球的半径为R ，则有V 大球=34πR 3=2×34π×13=38π， ∴R=32，故选B.答案：B 5一个圆锥的底面直径和高都与同一个球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为（ ）A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶9解析：设球半径为R ，则V 球=34πR 3，圆锥高为2R ，底半径为R ，则V 锥=31πR 2·2R ，∴V 锥∶V 球=1∶2.答案：C 6两球面积之差为60 cm 2，它们的大圆周长之和为30 cm ，两球的直径之差为___________. 解析：设两球半径分别为r 1与r 2，则r 1＞r 2，则有4π（r 12-r 22）=60，又2π（r 1+r 2）=30.∴r 1-r 2=1 cm ，故2（r 1-r 2）=2 cm.答案：2 cm7如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________.解析：设球半径为R ，则高为2R ，∴V 圆柱∶V 球∶V 圆锥=πR 2·2R ∶34πR 3∶31πR 2·2R=3∶2∶1. 答案：3∶2∶18如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了会溢出杯子吗？解：因为V 半球=21×34πR 3=21×34π×43≈134 （cm 3）， V 圆锥=31Sh=31πr 2h=31π×42×12≈201 （cm 3）， 所以冰淇淋融化了不会溢出杯子.综合运用9毛泽东《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”，又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________________万里.解析：∵1833=rR ∴R=2r ，∴1280000=x ， ∴x=40 000=4万里.答案：410两个多面体都有内切球，两内切球的半径相等，这两个多面体的体积之比为p ，全面积之比为q ，则p 与q 的关系为_______________.解析：设两个多面体的表面积为S 1、S 2，体积为V 1、V 2，由题意得V 1=S 1·r ，V 2=S 2·r ，∴V 1∶V 2=S 1∶S 2，即p=q.答案：p=q11在xOy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）、（0，3），求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积.解：该几何体是由一个圆台和一个圆锥组合而成，即在圆台内挖去一个圆锥，圆台的上、下半径分别是1，3，高是2，所以V 圆台=31π（R 2+rR+r 2）h=326π.圆锥的底面半径是1，高是1，所以圆锥的体积V=31πR 2h=31π.所以所求几何体的体积是V=325π. 拓展探究12在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，PD=a ，PA=PC=2a ，且PD 是四棱锥的高.在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径.解：当这个球是四棱锥的内切球时，球半径最大.设球心为O ，半径为R ，则V O —PAB +V O —ABCD +V O —APD +V O —PBC +V O —PDC =V P —ABCD ，即R （S △PAB +S ABCD +S △PAD +S △PBC +S △PDC ）=PD·S ABCD ，由条件知PD=a ，AB=a ，PA=PC=2a.∴BD=2a ，∴PB=3a ，从而由勾股定理逆定理知PA ⊥AB ，PC ⊥BC.∴S ABCD =a 2，S △PAD =21a 2， S △PAB =22a 2， S △PBC =22a 2，S △PDC =21a 2. ∴R （2a 2+2a 2）=a·a 2∴R=222 a.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3.2 球的体积和表面积
【选题明细表】
1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,
由题可知4πR2-4πr2=48π, ①
又2πR+2πr=12π, ②
得R-r=2.
2.(2018·河南平顶山高一期末)长方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D ) (A)25π (B)200π (C)100π (D)50π
解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,
设球半径为r,则2r==5,
则r=,
4πr2=4×()2π=50π.
3.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是( B )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)5
解析:BD=,
AC=2,
CD=OD-OC
=-
=-=1.
解得R=3.
4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )
(A) cm
(B)2 cm
(C)3 cm
(D)4 cm
解析:设球的半径为r,
则V水=8πr2,V球=4πr3,
加入小球后,液面高度为6r,
所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故选D.
5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是( D )
(A)π (B) (C)(D)6π
解析:如图所示,圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,
所以该圆柱底面圆周半径为
r==,
所以该圆柱的体积为V=Sh=π·()2·2=6π.故选D.
6.(2018·湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P ABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为.
解析:正四棱锥P ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为
=4-R,
O,OP=OA=R,PO
或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π.
答案:36π
7.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解:S球=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).
又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V半球=××23=(cm3).
所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).
8.(2018·南昌八一中学高一测试)一个球与一个正三棱柱的三个侧
面和两个底面都相切,已知这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是( D )
(A)96(B)16
(C)24(D)48
解析:设球的半径为R,由πR3=π,得R=2.所以正三棱柱的高为h=4,
设其底面边长为a,得×a=2,a=4.
所以V=×(4)2×4=48.
9.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm, 2.243≈11.240 98).
解:由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×π×()3≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,
而145 000<516 792,
所以钢球是空心的.
设球的内径为2x cm,
那么球的质量为7.9×[π×()3-πx3]=145 000.
解得x3≈11 240.98,
所以x≈22.4,2x≈45(cm).
即钢球是空心的,其内径约为45 cm.
10.(2018·陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积.
解:如图,AE⊥平面BCD,设O为正四面体A-BCD内切球的球心,
则OE为内切球的半径,设OA=OB=R,又正四面体A BCD的棱长为, 在等边△BCD中,BE=,
所以AE==.
由OB2=OE2+BE2,
得R2=(-R)2+,解得R=,
所以OE=AE-R=,即内切球的半径是,
所以内切球的体积为π×()3=π.
11.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由已知知圆锥的底面半径为r,高为h,
所以V圆锥=πr2h,球的半径为r,
所以V球=πr3.又h=2r,
所以V圆锥∶V球∶V圆柱=(πr2h)∶(πr3)∶(πr2h)=(πr3)∶(πr3)∶(2πr3)=1∶2∶3.。