圆的基本性质复习(1)_课件
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第一节圆的基本性质复习课件
弦、弦心距四组量中有一组量相等，
那么它所对应的其余三组量也相等。
B
D
（知一推三）
E
A
O
F
C
4、在一个圆中，垂直于弦的直径 平分弦，平分弦所对的弧。
平分弦（此弦非直径）的直径垂直 弦且平分弦所对的弧。
弦的垂直平分线过圆心，并且平分 弦所对的弧。
练习3
如图，已知⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂 足为E。请在图中找出相等的线段或角。
初三数学专题复习
圆的基本性质
基本概念复习
一、定义： 圆是到定点距离等于定长的点的集合。 其中，定点即为此圆的圆心， 定长为此圆的半径。
练习 1 已知：⊙A的半径为3，那么与⊙A
相切，且半径为1的圆的圆心O的轨迹 是什么？
外切：圆心距d=AO=3+1=4； 内切：圆心距d=AO=3-1=2。
示 ．Ｏ
图1
图2
C F
A
O
E
探索提高:
已知:⊙O中,CD⊥直径AB,CE平分∠DCO
交⊙O与E.
求证:A⌒E=B⌒E.
C
A
O
B
D
E
C 又∵CE平分∠DCO，
A
O
D
∴∠DCE=OCE=OEC B∴CD∥OE
E 证明:连接OE
∵CO=EO， ∴∠OCE=∠OEC。
∵CD⊥AB，∴OE ⊥AB。
。
即∠AOE= ∠BOE=90
P
A
O
B
P
解：连接PO，
易得AO=BO=PO。
A
O
B ∴∠A=∠APO； ∠B=∠BPO，
∵∠A+∠AP。O+∠B+ ∠BPO=180
浙教版数学九年级上册3.1 圆的基本性质课件(共26张PPT)
3、以O为圆心，OB为半径
作圆。
所以⊙O就是所求作的
圆。
现在你知道了怎样要 将一个如图所示的破损的 圆盘复原了吗？
方法: 寻求圆弧所在圆的圆心,
在圆弧上任取三点,作其 连线段的垂直平分线,其 交点即为圆心.
已知△ABC，用直尺和圆 规作出过点A、B、C的圆
A
O C
B
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形。
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条
边的垂直平分线的交点
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
BC （图三）
1、比较这三个三角形外心的位置， 你有何发现？
练一练
1.下列命题不正确的是 A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆. C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画 圆. 2.三角形的外心具有的性质是 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形外. D.外心在三角形内.
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动 物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使 这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施 工图.（A、B、C不在同一直线上）
问题： 车间工人要将一个
如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？
第三章_圆的基本性质_复习课精 完整下载ppt课件
知识体系
圆
相关概念
基本性质
基本计算
圆、弦 （直径） 弧、优弧 劣弧、等 圆、同圆 同心圆、 等弧、点 与圆的位 2020/4/22 置关系、 外心等
圆 圆的 圆的 圆的
的
轴对 称性
中心 旋转 对称 不变
确
性性
垂径 定
定理
及推
圆心角、圆 周角、弧、 弦之间的关
论 . 系定理
半径、 弧长、
弦和 扇形
弦心
AC
B
2020/4/22
.
8
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内,
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
2020/4/22
.
9
过三点的圆及外接圆
1.过一点的圆有__无__数____个 2.过两点的圆有__无__数_____个，这些圆的
A AA
●C
C CC
B
O OO
B B
▲▲AABB∠CCC是是＝钝锐9角0角°三三角角形形
➢圆的确定：不在同一直线上
的三点确定一个圆。
2020/4/22
.
6
（2010 新疆乌鲁木齐）如图 2，在平面直角坐标系中，
点 A、B、C 的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，-2），
D 则 ABC 外接圆的圆心坐标是
圆心的都在 连结着两点的线段上的垂. 直平分线
3.过三点的圆有__0_或___1__个
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆 （或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、 到三个村庄距离相等）
圆的基本性质 中考专题复习 教学PPT课件
答案：60°
图 4-4-4
5.如图 4-4-5，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，且 AB＝8，OC＝5，则 DC＝__________.
答案：2
图 4-4-5
知识点 同心圆 等圆
半圆
圆的基 本概念
弧
弦 直径 弦心距 圆心角
圆周角
内容 圆心相同、半径不等的圆叫做同心圆 能够重合的两个圆叫做等圆
答案：10
图 4-4-9
[解题技巧]垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧 相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长的计算中常常 需要添加辅助线(半径或弦心距).利用垂径定理及其推论(“平 分弦”为条件时，弦不能是直径)，将其转化为直角三角形，应 用勾股定理计算.
圆心角、 圆周角、弦、弧间的关系
考向1 圆周角定理 1.(2019 年广东节选)如图 4-4-16，在△ABC 中，AB＝AC， ⊙O 是△ABC 的外接圆，过点 C 作∠BCD＝∠ACB 交⊙O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CF＝AC，连 接 AF. 求证：ED＝EC.
图 4-4-16
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC.
例2：(2019 年陕西)如图 4-4-10，AB 是⊙O 的直径，EF，
EB 是⊙O 的弦，且 EF＝EB，EF 与 AB 交于点 C，连接 OF，
若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是( )
A.20°
B.35° C.40° D.55°
图 4-4-10
[思路分析]连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，
A.55°
圆的基本性质复习(1)-课件
CD
C
D
AC=AD
CE=DE
例1 已知圆O的半径为5，弦长为8，求 AB弦 心距的长。
AC
B
.O
小结：求圆中弦（或弦心距）的长，常作圆心 到弦的垂线段这一辅助线，这样就可出现与半 径相关的直角三角形，利用垂径定理来求
例2 已知圆O的半径为
5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,
弦:连结圆上任意两点的线段
B 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
r
r
等圆：半径相等的两
O1
O2
个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径
不相等的圆。
如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离， r表示圆的半径，那么就有
r
O
d<r
P在圆内；
P
r
O
d=r P
P在圆上；
r
O
C 这个三角形叫做圆的内接
三角形.
如果一个圆经过四边形的各顶点，这
个圆叫做四边形的外接圆。
这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
EB A
O
圆的中心对称性和旋转不变性：
C F D
圆心角定理： AB =CD
AOB= COD
AB=CD
OE=OF
（OE AB于E
OF CD于F）
推论
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
C
A
OB
推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90圆周角所对的弦是直径。
同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等。
D
E
C
D
AC=AD
CE=DE
例1 已知圆O的半径为5，弦长为8，求 AB弦 心距的长。
AC
B
.O
小结：求圆中弦（或弦心距）的长，常作圆心 到弦的垂线段这一辅助线，这样就可出现与半 径相关的直角三角形，利用垂径定理来求
例2 已知圆O的半径为
5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,
弦:连结圆上任意两点的线段
B 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
r
r
等圆：半径相等的两
O1
O2
个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径
不相等的圆。
如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离， r表示圆的半径，那么就有
r
O
d<r
P在圆内；
P
r
O
d=r P
P在圆上；
r
O
C 这个三角形叫做圆的内接
三角形.
如果一个圆经过四边形的各顶点，这
个圆叫做四边形的外接圆。
这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
EB A
O
圆的中心对称性和旋转不变性：
C F D
圆心角定理： AB =CD
AOB= COD
AB=CD
OE=OF
（OE AB于E
OF CD于F）
推论
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
C
A
OB
推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90圆周角所对的弦是直径。
同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等。
D
E
圆的基本性质复习PPT教学课件
⊙O中直径AB与弦MN相交 于点C。∠BCN= 60° ， AC=1，CB=5，求MN
3
C 30° O
如图,已知∠ACD＝30°， BD是直径,则 ∠AOB=__1_20_°
B
D
C
F
A
12
2
O
变式：已知AB 是直径，C，A
B
P，F 是⊙O 上的点，则
∠1+∠2=____
转化思想
2020/12/10
P
4
在 AC半如:B圆图CC弧：=3AA:4BB,上O则为运s⊙in动O∠的(A不B直P与C径=A，如B、DA图B是C重,直、已合径B知)C，,∠则为A弦C∠D，A＝点O3BP0=1°_2，_0_°_
D
C
F
A
变式一：在问题1的条件下，
12
2
O
若C变P关A，式于BF=：直1是已0径⊙，知AO若BA上点对B的P称是点运，直，动P径则到C，=和C点，A D
B
∠1+∠2=____
2020/12/10
P
5
变 中变所求式 点示出式连A二 时三C接：，：吗（圆在(？P31上）点)问求各若仍题A点A是到2B,弧若中P和AB，CPBC的C的=若6交距中，点于点离BP点Q。运(2：Q)动∠P，AACQ到求C=的B弧A3=：长QA1：5B20B的，°Q你如能图
C 6 A
8 10
C
B A
B Q
P P
P
2020/12/10
6
收获
一、知识：垂经定理以及逆定理，圆 周角，圆心角定理。 二、思想：方程思想 、转化思想
三、方法：面积法，构造法，参数法
2020/12/10
7
PPT教学课件
3
C 30° O
如图,已知∠ACD＝30°， BD是直径,则 ∠AOB=__1_20_°
B
D
C
F
A
12
2
O
变式：已知AB 是直径，C，A
B
P，F 是⊙O 上的点，则
∠1+∠2=____
转化思想
2020/12/10
P
4
在 AC半如:B圆图CC弧：=3AA:4BB,上O则为运s⊙in动O∠的(A不B直P与C径=A，如B、DA图B是C重,直、已合径B知)C，,∠则为A弦C∠D，A＝点O3BP0=1°_2，_0_°_
D
C
F
A
变式一：在问题1的条件下，
12
2
O
若C变P关A，式于BF=：直1是已0径⊙，知AO若BA上点对B的P称是点运，直，动P径则到C，=和C点，A D
B
∠1+∠2=____
2020/12/10
P
5
变 中变所求式 点示出式连A二 时三C接：，：吗（圆在(？P31上）点)问求各若仍题A点A是到2B,弧若中P和AB，CPBC的C的=若6交距中，点于点离BP点Q。运(2：Q)动∠P，AACQ到求C=的B弧A3=：长QA1：5B20B的，°Q你如能图
C 6 A
8 10
C
B A
B Q
P P
P
2020/12/10
6
收获
一、知识：垂经定理以及逆定理，圆 周角，圆心角定理。 二、思想：方程思想 、转化思想
三、方法：面积法，构造法，参数法
2020/12/10
7
PPT教学课件
第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
全效优等生
图3－9－4
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
全效优等生
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全效优等生
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
全效优等生
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
全效优等生
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
全效优等生
图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
全效优等生
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
与圆有关的性质复习课(一)PPT课件
圆心、半径、直径
弧、弦、弦心距
半圆、等圆、同心圆
有关概念 圆心角、圆周角
圆的内接多边形
圆的
多边形的外接圆等。
定义
圆的基本性质
重点
圆的轴对称性
圆的中心对称性和旋转不变性
垂径定理 弧、弦、圆心角定理 圆周角定理
基础知识串联
C
1、若直径ＣＤ垂直于弦
O
ＡＢ，请指出图中相等
2弦、有如关图的,计已算知问⊙题O，的常半常径需 长要为过圆5,心弦作AB弦的的长垂8线,则段O，弦 点心到距、AB半的径距、离弦为长的__一.半构
我们常常在看图时“遇直径，想直角”
圆的基本性质综合应用
例1、BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， AB=AF， BF与AD交于E． 求证：AE=BE；
C
F
O
A
ED
B
圆的基本性质综合应用
变式：如图，BC是⊙Ｏ直径，AB是⊙Ｏ 的弦，延长BA到D，使DA=BA，BC与 DC是什么关系？为什么？
C
成直角三角形
O AC B
C
O
A
E
D
⑴在如同图圆，或若等弧圆ＡＤ中＝，弧ＢＤ， 则两∠条Ａ弧Ｏ、Ｄ＝两_条∠_Ｂ_弦_Ｏ_、_Ｄ_两，个 Ａ圆Ｄ心＝角_Ｂ_中_Ｄ_，_ ⑵有如一图组，量若相Ａ等Ｄ＝，Ｂ则Ｄ其，余 则各∠组Ａ量Ｏ对Ｄ＝应_相_∠_Ｂ等_Ｏ_。_Ｄ__，
弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____
⑶如图，若∠ＡＯＤ＝∠Ｂ ＯＤ， B 则弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____， ＡＤ＝__Ｂ_Ｄ___
F
O
A
ED
B
例2、如图，AB是半圆的直径，CO⊥AB，
D是OC的中点，过点D作弦EF∥AB，求证：
弧、弦、弦心距
半圆、等圆、同心圆
有关概念 圆心角、圆周角
圆的内接多边形
圆的
多边形的外接圆等。
定义
圆的基本性质
重点
圆的轴对称性
圆的中心对称性和旋转不变性
垂径定理 弧、弦、圆心角定理 圆周角定理
基础知识串联
C
1、若直径ＣＤ垂直于弦
O
ＡＢ，请指出图中相等
2弦、有如关图的,计已算知问⊙题O，的常半常径需 长要为过圆5,心弦作AB弦的的长垂8线,则段O，弦 点心到距、AB半的径距、离弦为长的__一.半构
我们常常在看图时“遇直径，想直角”
圆的基本性质综合应用
例1、BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， AB=AF， BF与AD交于E． 求证：AE=BE；
C
F
O
A
ED
B
圆的基本性质综合应用
变式：如图，BC是⊙Ｏ直径，AB是⊙Ｏ 的弦，延长BA到D，使DA=BA，BC与 DC是什么关系？为什么？
C
成直角三角形
O AC B
C
O
A
E
D
⑴在如同图圆，或若等弧圆ＡＤ中＝，弧ＢＤ， 则两∠条Ａ弧Ｏ、Ｄ＝两_条∠_Ｂ_弦_Ｏ_、_Ｄ_两，个 Ａ圆Ｄ心＝角_Ｂ_中_Ｄ_，_ ⑵有如一图组，量若相Ａ等Ｄ＝，Ｂ则Ｄ其，余 则各∠组Ａ量Ｏ对Ｄ＝应_相_∠_Ｂ等_Ｏ_。_Ｄ__，
弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____
⑶如图，若∠ＡＯＤ＝∠Ｂ ＯＤ， B 则弧ＡＤ＝_弧__Ｂ_Ｄ____， ＡＤ＝__Ｂ_Ｄ___
F
O
A
ED
B
例2、如图，AB是半圆的直径，CO⊥AB，
D是OC的中点，过点D作弦EF∥AB，求证：
圆的总复习优秀课件1-1
《圆》的 复 习
知识汇总
圆的认识 圆的周长 圆 圆的面积
圆心 半径 直径 扇形
用圆的知识解决问题
1.圆的认识
1. 圆是一个什么样的图形？
圆是由一条曲线围成的封闭图形。 属于平面图形中的一种。
2. 什么叫圆心？怎样确定一个圆的圆心？
o
圆心确定圆的位置。
3.什么是圆的半径、直径，在同圆或等圆中 ，它们有什么关系？
2.圆的半径扩大3倍，直径扩大（ 3）倍，周长扩大（ 3 ）倍； 面积扩大（ 9）倍。
3.小铁环直径是6dm，大铁环直径是8dm。大铁环和小铁环半径的 比是（ 4:3 ）；周长的比是（ 4:3 ）；面积的比是（ 16:9 ） 。如果它们滚过相同的路程，则转动的圈数的比是（ 3:4 ） 。
4. 在一张长60cm，宽40cm的长方形纸上剪一个最大的圆， 则圆的面积是（ 1256 ）cm2。如果剪一个最大的半圆，则 半圆的面积是（ 1413） cm2 。
或
C＝2π r
固定值
3.圆的面积
什么叫圆的面积？
怎么推导出圆的面积计 算公式？
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
将圆分成若干等分。
34 56
2
7
1
8
16
9
15
10
14 13 12 11
圆的面积
将圆分成若干等分。
1 2 34 567 8 1 2 34 567 8 16 15 14 13 12 11 10 9 16 15 14 13 12 11 10 9
片的面积列式为( D )：
A. 3.14×（4²-1² ）
B. 3.14 ×（2²-1² ）
C. 3.14 ×（2.5²-2²）
D. 3.14 ×（3² -2² ）
知识汇总
圆的认识 圆的周长 圆 圆的面积
圆心 半径 直径 扇形
用圆的知识解决问题
1.圆的认识
1. 圆是一个什么样的图形？
圆是由一条曲线围成的封闭图形。 属于平面图形中的一种。
2. 什么叫圆心？怎样确定一个圆的圆心？
o
圆心确定圆的位置。
3.什么是圆的半径、直径，在同圆或等圆中 ，它们有什么关系？
2.圆的半径扩大3倍，直径扩大（ 3）倍，周长扩大（ 3 ）倍； 面积扩大（ 9）倍。
3.小铁环直径是6dm，大铁环直径是8dm。大铁环和小铁环半径的 比是（ 4:3 ）；周长的比是（ 4:3 ）；面积的比是（ 16:9 ） 。如果它们滚过相同的路程，则转动的圈数的比是（ 3:4 ） 。
4. 在一张长60cm，宽40cm的长方形纸上剪一个最大的圆， 则圆的面积是（ 1256 ）cm2。如果剪一个最大的半圆，则 半圆的面积是（ 1413） cm2 。
或
C＝2π r
固定值
3.圆的面积
什么叫圆的面积？
怎么推导出圆的面积计 算公式？
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
将圆分成若干等分。
34 56
2
7
1
8
16
9
15
10
14 13 12 11
圆的面积
将圆分成若干等分。
1 2 34 567 8 1 2 34 567 8 16 15 14 13 12 11 10 9 16 15 14 13 12 11 10 9
片的面积列式为( D )：
A. 3.14×（4²-1² ）
B. 3.14 ×（2²-1² ）
C. 3.14 ×（2.5²-2²）
D. 3.14 ×（3² -2² ）
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课时训练
3.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在
AmB上,则∠C= 30° 。
课时训练
4.如图所示，已知RtΔ ABC中，∠C=90°, AC= 2 ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交
3 AB于P，则AP＝ 3
。
D
A
C
O B
第(5)题
弧的度数
=
m
圆心角的度数
=
2（圆周角的度数）
注意: 弧的度数和角的度数 的相互转化
例3 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
P
Q
G
D
B
E
· 0
F
C
1、已知 ⊙ O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P， 5 AB=6，CP=1，则 ⊙ O的半径为 -------------。 2、已知 ⊙ O的直径为10cm,A是⊙ O内一点，且
知识点3 圆的轴对称性
D
垂径定理：AB是直径 AB CD于E
E B C
CE=DE AC=AD CB=DB
A
推论:
C
（1）平分弦 （不是直径） 的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧 （3）弦的垂直平分线一定经过圆心，并平分 弦所对的另一条弧 （4）平行弦所夹的弧相等
● ●
A
E
3
B
知识点4
圆的旋转不变性
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
如图,在同圆中,OC⊥AB于C,OC`⊥A`B`于C` 。
∵ ， ∴ AB = A`B` （填写一个条件．你有几种填法？你的根据是什么？）
A
在同圆或等圆中：
如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
推论：圆内接梯形是等腰梯形，圆内接平行四边形是矩形
3.6
A
•
B
做圆的直径与找90度的圆周 角也是圆里常用的辅助线
O
C D
已知：如图，△ABC内接于⊙O ，点A、 m 120° B、C把⊙O三等分，则 弧 AB=______ 度， 120°度， ∠AOB=______ ∠ ACB=______ 60° 度
r O2
r O1
等圆：半径相等的两 个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径 不相等的圆。
如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离， r表示圆的半径，那么就有
O
r P r O P d<r P在圆内；
d=r
P在圆上；
r
d>r P
P在圆外.
O
一个点到圆的最小距离为4cm，
最大距离为10cm，则该圆的半径是 。
练一练:
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB ＝8，PO＝13，则⊙O的半径＝＿＿＿＿。 41 圆中跟弦有关的计算 问题，常常需要过圆心 作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离(弦 心距)、半径、一半弦 长构成直角三角形，便 转化 为直角三角 将问题 形的问题。
C
O B A
⑵ 当∠C= 90° 时，A、O、B三点在同一直线上。
C O
推论：半圆（或直径） 所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对弦是 直径。
A
B
⑵圆周角与弧
如图，比较∠C同弧所对的圆 、∠D、∠E的大小
E
C D O
E
周角相等
O F D
A
B
A
如图，如果弧 AB＝弧CD，那么∠E 等弧所对的圆周角相等； 和∠ F是什么关系？反过来呢？ 在同圆中，相等的圆周角
8 OA=3cm,则 ⊙ O中过点A的最短弦长=------------cm 。
3、两圆相交于C、B，AC=100， A C O P B D O A A C E
延长AB，AC分别交
D
50 ⊙ O于D、E，则 E= -------------B
小结
求圆中弦（或弦心距）的长，常作圆心到 弦的垂线段这一辅助线，这样就可出现与半径 相关的直角三角形，利用垂径定理来求。
C O B C' B'
A'
E A
B
C O F D
圆的中心对称性和旋转不变性： 圆心角定理：
AOB= COD
OE=OF （OE AB于E
AB =CD
AB=CD
推论
OF
CD于F）
知识点5 ⑴圆周角 与圆心角
如图： ° ⑴ 如果∠AOB=100°，则∠C= 50。 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一 半。
B
C
所对的弧也相等
E O1 C A D O2
如图，⊙O1和⊙O2是等圆， 等圆也成立 如果弧AB＝弧CD，那么∠E 和∠F是什么关系？反过来 呢？
F
B
D O A
如果一个圆经过四边形的各顶点，这 C个圆叫做四边形的外接圆。
B
这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
E
推论：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角。 A+ C=180 圆内接四边形ABCD CBE= D
圆心、半径、直径
概念 弧、弦、弦心距、等弧 圆心角、圆周角 三角形外接圆、圆的内接三角形 圆的基本性质 点和圆的位置关系
圆
轴对称性 垂径定理 及其逆定理
不在同一直线上的 三点确定一个圆
圆的中心对称性和旋转不变性
圆心角定理 圆周角定理
圆的有关计算
C A . O1 B
弦:连结圆上任意两点的线段
直径:经过圆心的弦 圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （√ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
知识点2
A
●
圆的确定
●
B
O
●
C
圆的确定：不在同一直线上 的三点确定一个圆。
D E A O
B
C 圆的轴对称性：
A
C
B D
垂径定理：AB是直径 AB CD
推论1：AB是直径 CE=E CE=DE AC=AD
CD=DB AB
CD
AC=AD AB CD CE=DE
推论2： AB是直径 AC=AD
（BC=BD）
仔细辩一辩
A
D E C
B C
B
M O
Ａ
P
例2 已知圆O的半径为5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是 cm. 解: 当两条弦在圆心的两侧时 F 4 4 D 过O作OE⊥AB于E点,连接OB, C 3 O 5 由垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3 4 5 OB=5,由勾股定理得:OE=4 延长EO交CD于F,连接OC A B 3 E 3 又∵AB∥CD ∴OF⊥CD 由垂径定理得: CF=DF=0.5CD=4 OC=5,由勾股定理得:OF=3 则EF=OE+OF=7 O C D 5 当两条弦在圆心的同侧时 5 4 F EF=OE-OF=1
课时训练
1.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么 这条弦所对的圆周角为 ( D ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120° 2. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O ， 若 它 的 一 个 外 角 ∠DCE=70°，则∠BOD=( D ) A．35° B.70° C．110° D.140°