不变因子
不变因子
§8.3 不变因子
推论 两个 s × n 的λ − 矩阵 A(λ )、B(λ ) 等价
⇔ 存在一个 s × s可逆矩阵 P (λ ) 与一个 n × n 可逆
矩阵 Q(λ ) ，使
B(λ ) = P ( λ ) A(λ )Q (λ ).
∴ f (λ ) = g (λ ).
§8.3 不变因子
（2）若λ − 矩阵 A(λ ) 的标准形为 ）
d1 ( λ ) O d r (λ ) D( λ ) = 0 O 0 为首1多项式 多项式， 其中 d1 (λ ),L d r (λ ) 为首 多项式，且
的行列式因子所唯一确定. 即 d1 (λ ),L , d r (λ ) 由 A(λ ) 的行列式因子所唯一确定 的标准形唯一. 所以 A(λ ) 的标准形唯一
§8.3 不变因子
个行列式因子满足： （4）秩为 r 的 λ −矩阵的 r 个行列式因子满足： ）
Dk (λ ) Dk +1 (λ ), k = 1,2,L , r − 1.
1、定义 、
设 λ －矩阵 A(λ ) 的秩为 r ，对于正整数 k ，1 ≤ k ≤ r ,
A(λ )中必有非零的 k 级子式， A(λ ) 中全部 k 级子式 级子式，
的首项系数为1的最大公因式 的首项系数为 的最大公因式 Dk (λ ), 称为 A(λ ) 的
k 阶行列式因子（determinant divisor）. 行列式因子（ ）
4
§8.3 不变因子
练习 求 A(λ ) 的不变因子
λ −1 A( λ ) = L 0 0
矩阵论课件
第二章
第一节
矩阵与约当标准形
矩阵
第二节 不变因子及初等因子
第三节 约当标准形 第四节 凯莱—哈米尔顿定理 最小多项式
4 December 2014 河北科技大学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
矩阵论
第一节
定义 设 P
矩阵
为数域, 为数字，P[ ] [ ]为关于 中的元素(数)为元素的矩
4 December 2014
河北科技大学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 设 矩阵 A( ) aij
阵，且 rank( A( )) r ，则
矩阵论
m n
为非零的多项式矩
A( )
d1 ( ) d 2 ( ) r ( ) 0 J ( ) 0 0 d ( ) r 0 0 0 diag d1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ), 0, , 0 --称为 A( )的 Smith (史密斯)标准形.
矩阵论
Dn ( ) a ;
n
Dn1 ( )
4 December 2014
D1 ( ) 1.
河北科技大学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
矩阵论
定义 把 矩阵 A( ) 的每个次数大于零的不变因子
在复数域 [ ]中分解成标准分解式，即分解成首项 系数为1的互不相同的一次因式方幂的乘积，所有 这些一次因式 的方幂 ( 相同的必须按出现次数 计 算) ，称为 A( )的初等因子.
[ ]中分解成标准分解式，所有出现的一次因式的
标准形)
方幂就是 A( )的全部初等因子.
初等因子的定义
第八章 λ－矩阵 §5 初等因子
A ∈ C n×n , 将特征矩阵 λ E A 进行 3、(定理 设 定理9) 、 定理
初等变换化成对角形
h1 ( λ ) h2 (λ ) D( λ ) = O hn (λ )
第八章 λ－矩阵 §5 初等因子
三、初等因子的求法
1、(引理 若多项式 f1 (λ ), f 2 (λ )都与 g1 ( λ ), g2 ( λ ) 、 引理 引理1)若多项式 互素， 互素，则
( f1 (λ ) g1 (λ ),
证：令
f 2 ( λ ) g2 (λ ) ) = ( f1 (λ ), f 2 (λ ) ) ( g1 (λ ), g2 (λ ) )
与
( λ λ )ki +1,1 g ( x ) 0 1 i 0 (λ λ1 )ki 1 gi +1 ( x )
等价. 等价
第八章 λ－矩阵 §5 初等因子
从而 D(λ ) 与对角矩阵 D1 (λ ) =
(λ λ1)k11 g1( x) O ki+1,1 (λ λ1) gi ( x) ki 1 (λ λ1) gi+1( x) O (λ λ1)kn1 gn( x)
一、初等因子的定义 二、初等因子与不变因子的关系 三、初等因子的求法
一、初等因子的定义
把矩阵 A ∈ C n×n 的每个次数大于零的不变因子 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些 一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 的初等因子. 称为A的初等因子 称为 的初等因子
第4节Jordan标准形
可逆矩阵
称一个n阶矩阵A()是可逆的，如果存在一个矩阵 B() ，使得
A()B() =B()A()=I
记A()的逆矩阵为A-1() 定理 一个n阶矩阵A()是可逆的充要条件为它的行 列式是一个非0的数。
说明：对矩阵而言，满秩矩阵不一定可逆。
2、矩阵的初等变换
定义 下面三种变换称为矩阵的初等变换
k n 2
k ni 1
i
C
1 k k 1
k i
k i
C ni ni
2、Jordan形矩阵 由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵为Jordan 形矩阵，简称Jordan形。
J diagJ1 , J 2 ,, J s C nn
第四节
矩阵的Jordan标准形
一、Jordan块矩阵与Jordan形矩阵 二、Jordan分解定理 三、Jordan标准形的求法
一、Jordan块矩阵与Jordan形矩阵
1、Jordan块定义 称下面结构的上三角形矩阵为Jordan块矩阵，简称 Jordan块
i 1 C n n J ( i ) 1 i
1 c2 ( 2 1) c1 0 c3 ( 1) c1 0
1 c2 c3 0 0
0
2 3
0 0
2 0
1 2 1 1 2 0 0 3 2
如果矩阵A()经过有限次行或列的初等变换后变为矩 阵B() ，则称A()与B()是等价的，记为A( ) B( )
利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得： 命题
A( ) B( ) 充要条件是存在两个可逆矩阵
矩阵论定义定理总结
矩阵论1．行列式的相关知识：1.1定义：由2n 个数ij a (,1,2,...,)i j n =组成的一个n 阶行列式为1212121112121222(...)12 (12)(1)...n j j jnnn n j j j n j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑即所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212...j j j n n a a a 的代数和，其中每一项的符合由排列12...n j j j 的奇偶性决定。
n 阶行列式的展开原理：定义1.1.2在n 阶行列式D 中，任选k 行和 k 列（k n ≤），将其交叉点上的2k 个元素按原来位置排成一个k 阶行列式M ，称为D 的一个k 阶子式。
在D 中划去M 所在之k 行k 列后余下的2()n k -个元素按照原来位置排成的n-k 阶行列式M '，称为M 的余子式。
定义1.1.3设D 的k 阶子式M 在D 中所在行列指标分别是12,,...,k i i i和12,,...,k j j j ，则称1212()()(1)k k i i i j j j A M ++++++'=-•为M 的代数余子式，其中M '为M 的余子式。
定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定k 行(11)k n ≤≤-，则由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D 。
定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.1.7）的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠则方程组（1.1.7）有唯一解，且/(1,2,)i i x D D i n ==，其中i D 是将D 中第i 列换成（1.1.7）式右端的常数项12,,,n b b b 所得的行列式，即1,11,111112,12,22122,1,1i i n i i n i n i n i nn nnna a ab a a a a b a D a a a b a -+-+-+=(1,2,,)i n =该定理通常称为克莱姆法则。
初等因子
( j )
ki j
( ki j 1)
就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d1 ( x ), d 2 ( x ),, d n ( x )满足
d i ( x ) | d i 1 ( x ), i 1,2,, n 1
从而有
( j )
ki j
| ( j )
( j ) , ( j ) , , ( j )
k1 j
k2 j
kn j
j 1,2,, r
在 D( ) 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角 矩阵 D( )与 D( )等价. 此时 D( ) 就是 E A 的 标准形， 且所有不为1的 ( j ) 初等因子.
§5 初等因子
1 1 1 4 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 0 ( 1)2
则 A( ) 与 B ( ) 等价.
§5 初等因子
证：首先， A( ) B( ) , 从而 A( ), B( ) 二阶行列式因子相同. 其次，由引理1，有
f1 ( ) g1 ( ),
f 2 ( ) g2 ( )
f 2 ( ) g1 ( ), f1 ( ) g2 ( ) f1 ( ), f 2 ( ) g1 ( ), g2 ( )
f ( ) g ( ) 0 1 1 A( ) 0 f ( ) g ( ) 2 2 f ( ) g ( ) 0 2 1 B( ) 0 f ( ) g ( ) 1 2
高等代数 第9章矩阵的标准型 9.2 行列式因子和不变因子
B( ). 此时 B ( ) 的每个 k 级子式或 ① A( )
i , j
者等于 A( ) 的某个 k 级子式， 或者与 A( ) 的某个
k 级子式反号. 因此， f ( ) 是 B ( ) 的 k 级子式的
公因式， 从而
i c
f ( ) g( ).
因此， A() 与 B() 既有相同的各级行列式因
子，又有相同的秩.
证毕
推论 等价的 - 矩阵具有相同的秩，
反之，不然.
1 1 例如 A( ) 0 , B( ) 1
二、标准形的唯一性
若 矩阵 A( ) 的标准形为 d1 ( ) d ( ) r D( ) 0 0 其中 d1 ( ), d r ( ) 为首1多项式，且
0 0
0 0
1 0
0 1 ; 1
(1) 等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子， 因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元 素的个数 r ; A() 的 k 级行列式因子就是
Dk ( ) d1 ( )d1 ( )dk ( ) (k 1,2,, r ). (2)
于是
d1 ( ) D1 ( ), D2 ( ) d 2 ( ) , D1 ( ) Dr ( ) d r ( ) . Dr 1 ( )
2
0
0 2 , 0 1
0 3 2 1 . 1
D2 1 .
2 0 A( ) 0 0 0
0 0 2 1
又
《高等工程数学》科学出版社 吴孟达版习题答案 章
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]Ta 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。
证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。
余略。
5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。
解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。
南航《矩阵论》第3章Jordan_标准形
0 1 0 0 0 1 0 0 ( 1)2 2
所以A的初等因子为
故A的标准形为
或
如何求相似变换矩阵？ 由定理3.5.1知道，方阵与标准型J 是相似的， 即存在可逆矩阵T，使得：A=TJT-1，求法如下： 设 ，
由 A=TJT-1 得AT=TJ,即
所以：
解方程并选择适当的
即得。
例 3.5.2 求方阵
的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。
解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：
故 A 的初等因子为
从而A 的Jordan标准形为
再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为T，则A=TJT-1 ，对于T 按列分块 记为
从而：
整理后的三个方程为：
0
0 0
0 0 ( 1) 0
0 0 0 ( 1)( 1)
例3.5.1 求矩阵
的Jordan标准形。
解 先求出A的初等因子。对
运用初等变
换可以得到
0 1 1 I A 4 3 0 1 0 2
矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字
矩阵的对应运算有相同的运算定律。
数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且 性质相同。
例 n阶数字矩阵A的特征矩阵I-A是矩阵。
例如 n阶数字矩阵A的特征矩阵I-A秩为n。
因为 |I-A| 是的n次多项式，所以IA的秩为n，即I-A满秩。
反过来，如果知道了A()的秩和初等因子，因为
A()的秩确定了不变因子的个数，则同一个一次
因式的方幂做成的初等因子中，方次最高的必在
dr()的分解中，方此次高的必在dr-1()的分解中，
行列式因子,不变因子,初等因子之间的关系
行列式因子,不变因子,初等因子之间的关系
行列式因子是构成行列式的元素，可以被用来表示它的值，而不变因子是行列式的属性，与它的值有关，而初等因子是独立的因子，与行列式的值无关。
行列式因子是构成行列式的元素，可以用来表示它的值。
行列式的元素可以被分解为各个元素，可以给出行列式的因子。
这些因子可以看作是构成行列式的“基础”，即使在改变行列式的值也不会变化，因此也被称为“不变因子”。
而初等因子则是和行列式中的因子无关的单独因子，它们可以用来表示行列式的值，而不会影响行列式因子的值。
它们可以通过行列式的因子来推倒，但是它本身的定义与行列式的因子无关，因此它们也称为“独立因子”。
行列式因子，不变因子和初等因子之间的关系可以用下面的表格来总结：
I因子类别I概念I与行列式的关系I
I行列式因子I构成行列式的元素，可用来表示其值I与行列式的值有关I
I不变因子I行列式的属性，与它的值有关I与行列式的值相关I I初等因子I独立的因子，与行列式的值无关I与行列式的值无关I
总之，行列式的因子，不变因子和初等因子之间的关系是，行列式因子是构成行列式的元素，可以用来表示它的值；不变因子是行列式的属性，与它的值有关；而初等因子是独立的因子,与行列式的值无关。
矩阵行列式因子
矩阵行列式因子
矩阵行列式因子是矩阵的一种重要概念，它与矩阵的标准型、秩以及不变因子等概念密切相关。
具体来说，对于一个给定的矩阵A，其所有k级子式的首项系数为1的最大公因式称为A的k阶行列式因子。
对于n阶矩阵A，其所有n阶子式的首项系数为1的最大公因式称为A的行列式因子。
矩阵的行列式因子具有以下性质：
1.如果矩阵A可逆，那么它的行列式因子D_k一定存在且不为0，也就是说D_k\neq 0。
此时，矩阵A的秩等于其所有非零k阶行列式因子的个数。
2.如果两个矩阵具有相同的行列式因子，则它们具有相同的秩。
也就是说，如果矩阵A和B的行列式因子相同，那么它们的秩相等。
3.经过初等变换，矩阵的秩和其各级行列式因子不会发生变化。
也就是说，如果矩阵A经过初等变换得到矩阵B，那么A和B具有相同的秩和相同的各级行列式因子。
在实际应用中，矩阵的行列式因子可以用于研究矩阵的性质和计算，例如求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆、计算逆矩阵等等。
因此，熟练掌握行列式因子的概念和性质是十分必要的。
结构方程模型六因子
结构方程模型六因子
结构方程模型（Structural Equation Modeling，简称SEM）是一种用来分析多变量数据的统计方法，可以用来评估和验证理论模型的度量和结构方面的适配度。
六因子的SEM模型可以根据具体研究问题的需要来构建，下面是一个可能的六因子SEM模型的示例：
1. 因果因子：这个因子代表可能对其他因子产生直接影响的变量。
例如，一个研究关于学习成绩的模型中，因果因子可以是家庭背景、教育质量等。
2. 表现因子：这个因子代表一系列的观测变量，用来度量或表示其他因子的潜在构造。
例如，一个研究关于个体智力的模型中，表现因子可以是智力测试中的不同维度，如语言能力、计算能力等。
3. 中介因子：这个因子代表对因果关系的解释。
例如，一个研究关于教育对就业的影响的模型中，中介因子可以是就业技能或职业培训。
4. 潜变量因子：这个因子代表不直接观测到的变量，是通过多个指标进行测量的。
例如，一个研究关于幸福感的模型中，潜变量因子可以是生活满意度、积极情感等。
5. 观测变量因子：这个因子代表直接观察到的变量，用来度量潜变量因子。
例如，一个研究关于心理健康的模型中，观测变量因子可以是焦虑症状、抑郁症状等。
6. 误差项：这个因子代表未被模型解释的变异或错误。
以上是一个可能的六因子的SEM模型示例，具体的模型构建需要根据具体研究问题的需要进行确定。
因子分析中的因子提取技巧(九)
因子分析是一种常用的统计方法，用于发现背后隐藏的结构，帮助研究者理解数据背后的规律。
在因子分析中，因子提取技巧是非常重要的，它直接影响到最终的结果和解释。
本文将就因子分析中的因子提取技巧展开讨论。
因子分析是一种用于探索变量之间关系的多元统计技术。
它的基本思想是将多个变量的方差分解为共性方差和独立方差，通过寻找共性方差来揭示变量之间的内在联系。
因子提取是因子分析的第一步，它决定了最终得到的因子解的数量和结构。
因子提取的目标是从一组观察变量中提取出尽可能少但又尽可能多的因子，以解释变量之间的关系。
在因子提取过程中，有几种常用的因子提取技巧。
其中最常见的是主成分分析法（PCA）和常用因子分析法（CFA）。
主成分分析法是一种基于变量之间的协方差或相关系数矩阵的线性变换技术，它旨在找到能够解释原始变量大部分方差的线性组合。
主成分分析法的优点是能够提供最大的数据解释能力，但缺点是因子通常难以解释。
常用因子分析法则是一种通过最大似然估计或最小二乘法来提取因子的技术，它旨在找到一组共同因子，以解释原始变量之间的共性方差。
常用因子分析法的优点是能够提供更容易解释的因子结构，但缺点是对数据的要求较高，需要满足一定的假设。
除了PCA和CFA之外，还有其他一些因子提取技巧。
例如，最大方差法、最小残差因子分析法、最大似然法等。
这些方法各有优劣，适用于不同的数据和研究问题。
在选择因子提取技巧时，研究者需要根据自己的研究目的、数据特点和假设条件来进行选择，以确保得到合理、可靠的因子解。
在进行因子提取时，还需要考虑因子数目的确定。
因子数目的确定是一个关键问题，它直接影响到最终的因子解的解释和解释能力。
一般来说，可以通过主成分分析的特征值、累积方差贡献率、平行分析、拟合优度指标等方法来确定因子数目。
在确定因子数目时，需要综合考虑这些指标的结果，以确保得到合理的因子数目。
另外，因子提取还需要考虑旋转技巧。
因为在因子提取后得到的因子结构通常是旋转不变的，即同一个因子解可以通过旋转得到多个等价的解。
高等代数§8.3 不变因子
公因式， 从而
i c
f ( ) g ( ) .
② A ( ) B ( ). 此时 B ( ) 的每个 k 级子式或
者等于 A ( ) 的某个 k 级子式，或者等于 A ( ) 的某个
k 级子式的 c倍.
因此，f ( )是 B ( ) 的 k 级子式的
§8.3 不变因子
一、行列式因子 二、不变因子
一、行列式因子
1. 定义：
设 －矩阵 A ( ) 的秩为 r ，对于正整数 k ，1 k r ,
A ( )中必有非零的 k 级子式， A ( ) 中全部 k 级子式
ห้องสมุดไป่ตู้
的首项系数为1的最大公因式 D k ( ), 称为 A ( ) 的
k 阶行列式因子.
注：
若 秩 A ( ) r ，则 A ( ) 有 r 个行列式因子.
2. 有关结论
1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级
行列式因子.
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 设 A ( ) 经过一次初等变换变成 B ( ) ，f ( ) 与
D 3 1.
A
2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
又
D1 D 2 , D 2 D 3
D1 D 2 1.
A ( ) 的第n个行列式因子 D n 1.
又 A ( ) 的n个行列式因子满足:
Dk ( ) Dk 1 ( ) , k 1, 2, , n 1.
拉姆达矩阵
λ-矩阵一、λ矩阵的不变因子及初等因子定义1 设多项式矩阵()A λ的秩1r ≥，而1k r ≤≤. ()A λ中所有k 阶子式的首相系数为1的最大公因子()k D λ，称为()A λ的k 阶行列式因子. 当k r >时，由秩的定义可知()0k D λ=. 另外，为了讨论方便，规定0()1D λ=.定理1 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子. 因而等价的矩阵有相同的各阶行列式因子.定义2 1()()()i i i D d D λλλ−=（1,2,,i r =⋯），称为()A λ的不变因子. 规定：()0i d λ=()n i r ≥>. 暗含了1()()i i d d λλ+的结论.定义3 下面的矩阵称为λ-矩阵()A λ的Smith 标准形12()()()()00r d d J d λλλλ=⋱⋱.定理2 λ-矩阵()A λ的Smith 标准形是唯一的.推论1 λ-矩阵()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的行列式因子或有相同的不变因子.定义4 设λ-矩阵()A λ的不变因子为12(),(),,()r d d d λλλ⋯. 将()i d λ分解为C 上的一次因式之积：11112221221211221212()()()()()()()()()()()()s srs r r k k k s k k ks k k k rs d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ =−−− =−−−=−−− ⋯⋯⋯⋯⋯()∗ 其中12,,,s λλλ⋯互不相同，0ij k ≥，1,1.i r j s ≤≤≤≤ 因1()()i i d d λλ+，所以1,,11,1.ij i j k k i r j s +≤≤≤−≤≤ 在()∗中所有指数大于零的因子(),11,1,0ij kj ij i r j s k λλ−≤≤−≤≤>称为()A λ的初等因子.由初等因子求不变因子：由初等因子的定义可知，如果给定()A λ的不变因子，则其初等因子就唯一确定. 反之，如果给定了()A λ的所有初等因子及()A λ的秩，则其不变因子也唯一确定. 不妨设()A λ的秩为r . 把()A λ的所有初等因子按不同的一次因子分类，并按各因子的幂从大到小排成一个有r 列的表（若某一行或若干行的初等因子不足r 个，则在后面补1，直到够r 个为止）：1,11111,22121,1111222(),(),,()(),(),,()(),(),,()r r r r r s rs s k k k k k k k k k s s sλλλλλλλλλλλλλλλλλλ−−− −−− −−−−−− ⋯⋯⋯⋯⋯其中1,10,1.rj r j j k k k j s −≥≥≥≥≤≤⋯ 因而1212()()()(),1.i i i k k k i s d i r λλλλλλλ=−−−≤≤⋯至此可知，当已知一个λ-矩阵()A λ的秩r 后，求不变因子或行列式因子的问题等价于求初等因子的问题.定理3 设λ-矩阵()A λ为分块对角阵12()()()()s B B A B λλλλ=⋱ 则各子块(),1,2,,i B i s λ=⋯的初等因子的全体构成()A λ的全部初等因子. 次定理给出一个求λ-矩阵()A λ的Smith 标准形的方法： （1） 先将()A λ通过初等变换化为准对角阵的形式：12()()((),(),,())s A B diag B B B λλλλλ→=⋯使得每块()i B λ的初等因子（或不变因子）可以相对来说容易求出来；（2） 求出每块()i B λ的初等因子；（3） 把()i B λ的所有初等因子放在一起，即得到()A λ的初等因子，进而求 出()A λ的不变因子及Smith 标准形.注意：这个方法不是求Smith 标准形的唯一方法，可以用定义求. 先求各阶行列式因子，再求不变因子，然后写出Smith 标准形即可. 二、Jordan 标准形 定义5 形如111i ii i i i i m m J λλλλ×=⋱⋱ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块，i C λ∈，通常记为()i m i J λ.定义6 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J=⋱ 称为Jordan 标准形.定义7 设n n A C ×∈，E A λ−称为数字矩阵A 的特征矩阵.定理4 复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔E A λ−与E B λ−等价.推论2复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔A 与B 的特征矩阵E A λ−与E B λ−有相同的不变因子或有相同的初等因子.定理5（Jordan 标准形定理） 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似. 这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列顺序外被A 唯一决定. 我们称其为A 的Jordan 标准形，并记为.A J推论3 复矩阵A 与对角阵相似⇔E A λ−的初等因子都是一次的.我们简称λ-矩阵E A λ−的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子.设A n n C ×∈的所有互不相等的特征值为12,,,s λλλ⋯，并设它们的重数分别为12,,,s k k k ⋯，则1si i k n ==∑. 设i λ对应的初等因子为12(),(),,()is i i i kk k i i i λλλλλλ−−−⋯.其中111,,0,1,2,,,1,2,,.i is s s ij i ij ij i j i j k k k n k j s i s =====>==∑∑∑⋯ 每个初等因子对应一个Jordan 块(),1,2,,,1,2,,.ij k i i J j s i s λ==⋯⋯ 则A 的Jordan 标准形为()111212112,,,,,,,,,s s s ss sA k k k k k k J diag J J J J J J =⋯⋯⋯⋯其中Jordan 块的顺序可以换. 可见，A J 的Jordan 块由A 的初等因子唯一决定.若记1(,,)i is ii k k J diag J J =⋯，即i J 为与特征值i λ相关联的Jordan 块生成的准对角矩阵，则12(,,,).A s J diag J J J =⋯Jordan 标准形的变换矩阵的求法：幂零矩阵的定义：设n n A C ×∈ 且0A ≠，若m N +∃∈使10,0m m A A −=≠，则称方阵A 为幂零矩阵. 其中m 称为A 的幂零指数.引理1 A 为幂零矩阵⇔A 的特征值全是零.定理6 设n n A C ×∈ 且0A ≠，A 是幂零指数为m 的幂零矩阵. 设A J 有s 个Jordan 块，第i 个Jordan 块的阶数为i n . 则（1）{}12max ,,,s m n n n =⋯；（2）A 的零度（线性方程组0AX =解空间的维数）等于A J 的块数s ； （3）记A J 中k 阶Jordan 块的个数为k l ，k A 的零度为k η，1k n ≤≤. 则112222,l s ηηη=−=− 112,2.k k k k l k m ηηη−+=−−≤≤注：由于0A ≠，A J 与A 相似，则0A J ≠，故2m n ≤≤. 当,k m =m n =时1.n n η+=设A 为如上定义的幂零矩阵，则存在可逆矩阵P 使1A P AP J −=. 可推出.A AP PJ =不妨设0104,010A n J==. 可见2m =. 对P 按列分块1234(,,,)P αααα=，可得1234123413010(,,,)(,,,)(0,,0,)010A αααααααααα==由此可得P 的各个列向量应满足的方程组分别为1213430,,0,A A A A αααααα====这表明13,αα是特征向量，而24,αα是广义特征向量. 具体操作如下：取13,αα为0AX =的一组基本解组，再由2143,A A αααα==去解24,αα. 对不是幂零矩阵的方阵有类似的方法，现在已4阶的Jordan 块为例，设111A J λλλλ=由A AP PJ =可得1234123411(,,,)(,,,)1A λλααααααααλλ=即11212323434,,,A A A A αλαααλαααλαααλα==+=+=+可得1213243()0,(),(),()A E A E A E A E λαλααλααλαα−=−=−=−=可见1α是特征向量，234,,ααα是广义特征向量.注意：变换矩阵P 并不唯一. 线性方程组解的不唯一性，决定了P 的不唯一性. 三、最小多项式定义8 设n n A F ×∈，()f x 是多项式，若()0f A =，则称()f x 是A 的零化多项式.由哈密顿—凯莱定理可知，任何方阵的特征多项式是该矩阵的零化多项式，因此零化多项式总是存在的. 并且存在无穷多个次数最低的零化多项式，称其中唯一的首一多项式（首相系数为1的多项式）为A 的最小多项式，记作()A m x 或().m x定理7 设()m x 是A 的最小多项式，()f x 是A 的任一零化多项式，则()().m x f x定理8 设A 是数域F 上的任意方阵，0F λ∈. 则0λ是A 的特征值⇔0λ是A的最小多项式()m x 的零点.注：此定理表明数域F 上的方阵的最小多项式的根（零点），包含了该矩阵在数域F 上的特征值. 若F C =，则()0m x =的所有根就是A 的所有特征值. 另外，分块对角矩阵的最小多项式等于各块的最小多项式的最小公倍式. 定理9 相似矩阵具有相同的最小多项式.定理10 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似⇔A 的最小多项式()m x 没有重根. 推论4 设n 阶方阵A 的一个零化多项式为()f x ，若()f x 无重根，则A 可以对角化.注：A 的任何一个零化多项式()f x 的根，包含了A 的所有特征值. 特征多项式、最小多项式与初等因子的关系：设n n A C ×∈，多项式(),()f m λλ分别为A 的特征多项式和最小多项式. 由于A 是数字矩阵，则A 的特征矩阵E A λ−一定满秩，即()r E A n λ−=，故E A λ−的Smith 标准形的秩为n . 这表明A 有n 个不变因子. 设A 的不变因子为12(),(),,()n d d d λλλ⋯. 则12()()()(),()().n n f d d d m d λλλλλλ=⋅⋅⋅=⋯知道这个关系后，若给出了方阵A 的阶数与其最小多项式()m λ，再由给出的条件结合1()()i i d d λλ+的永恒条件，就可求出A 的不变因子. 四、特征值的几何重数与代数重数n 阶矩阵A 的特征多项式1212()()()()s n n n A s f E A λλλλλλλλ=−=−−−⋯其中12,,,s λλλ⋯为A 的所有互不相同的特征值. 显然1si i n n ==∑. 我们称j n 为特征值(1,2,,)j j s λ=⋯的代数重数. 对(1,2,,)j j s λ=⋯，其所对应的线性无关的特征向量的个数等于齐次线性方程组()0j E A X λ−=的解空间的维数，记此数为j g ，称其为j λ的几何重数.定理11 特征值的几何重数不超过其代数重数.定理12 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵⇔其每个特征值的代数重数等于几何重数⇔所有特征值的几何重数之和为.n定理13 设n 阶矩阵A 的n 个特征值为12,,,n λλλ⋯，()f x 为任一多项式. 则()f A 的n 个特征值为12(),(),,()n f f f λλλ⋯.推论5 若()f x 是A 的零化多项式，则12()()()0.n f f f λλλ====⋯ 几何重数、代数重数与Jordan 标准形的关系：沿用之前对A 及其Jordan 标准形A J 的相关符号，则i λ的几何重数等于i J 中的Jordan 块的块数；i λ的代数重数等于i J 的阶数.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1 λ－矩阵
§2 λ－矩阵 在初等变换下 的标准形
§3 不变因子
§4 矩阵相似的条件 §5 初等因子
§6 若尔当(Jordan)标准形 的理论推导
§8.3 不变因子
一、行列式因子 二、不变因子
§8.3 不变因子
一、行列式因子
1、定义
设 －矩阵 A(的) 秩为 ，r对于正整数 ，k 1 k r, A( )中必有非零的 k级子式， A(中 )全部 级k子式 的首项系数为1的最大公因式 Dk (称), 为 A的( )
A(的 )第n个行列式因子 Dn 1.
§8.3 不变因子
又 A(的) n个行列式因子满足:
Dk ( ) Dk1( ), k 1,2,L , n 1.
Dk ( ) 1, k 1, 2,L , n.
从而不变因子
dk ()
Dk ( ) Dk1( )
1,
k 1,2,L ,n
所以，A(的) 标准形为 E.
§8.3 不变因子
证：必要性显然. 只证充分性.
若A(与) B(有) 相同的行列式因子，则 A( ) 与 B(也) 有相同的不变因子， 从而 A(与) B( ) 有相同的标准形， 所以 A(与) B(等价) .
§8.3 不变因子
（2）若 n 的n 矩阵 可A(逆 )，则 的A不(变) 因子全部为1，A(的) 标准形为单位矩阵 ，E即 A( ) 与 E等价. 证：若 A(可) 逆， 则 A( ) ， d为一d 非零常数.
§8.3 不变因子
注意 A可(逆) 与A(等) 价.E
§8.3 不变因子
（3）（定理6） A( ) 可逆 A(可 )表成一些初等
矩阵的乘积.
证：A(可) 逆 与A(等) 价E
存在初等矩阵 P1,L , Ps ,Q1,L Qt , 使
A( ) P1L Ps EQ1L Qt P1L PsQ1L Qt .
D2 D1
1,
d3
D3 D2
12 .
§8.3 不变因子
2 1 0 0
(2)
A( )
0
2 1
0
0 0 2 1
0
0
0 2
解：
1 0 0
Q 2 1 0 1,
0 2 1
D3 1.
§8.3 不变因子
又 D1 D2 , D2 D3 D1 D2 1. 而 D4 A 24 .
证：设 矩阵 A(的 )标准形为
d1( )
O
D(
)
dr ( )
0
O
0
其中 d1( ),L d为r (首)1多项式，且
di ( ) di1( ), i 1,2,L r 1,
§8.3 不变因子
由（2），A(的) 级k 行列式因子为
Dk ( ) d1( )d2( )L dk ( ), k 1, 2,L r.
§8.3 不变因子
2） A( ) ic B( ). 此时 B(的) 每个 级k子式 或者等于 A(的) 某个 级k子式， 或者等于 A( )的某个 k级子式的 c倍. 因此，f (是) B的( ) 级子k 式的公因式. 从而 f ( ) g( ).
§8.3 不变因子
3） A i j B .
列式因子是不变的．
设 A(经) 过一次初等变换变成 B，( ) 与f ( ) g( ) 分别是 A( )与 B( )的 k级行列式因子．
下证 f ，g分三种情形：
§8.3 不变因子
1）A( ) i, j B( ). 此时 B(的) 每个 级k子式 或者等于 A(的) 某个 级k子式， 或者与 A(的)某个 k 级子式反号， 因此，f (是) B(的 ) 级子k 式的公因式. 从而 f ( ) g( ).
即 di1 ( )L dik ( ).
§8.3 不变因子
而这种 k级子式的最大公因式为
d1( )d2( )L dk ( ). 所以，A(的) 级k 行列式因子 Dk ( ) d1( )d2( )L dk ( ), k 1, 2,L r.
§8.3 不变因子
（3）（定理4） 矩阵的标准形是唯一的.
k 级行列式因子（determinant divisor）.
注意
若秩 A( )，则r 有A(个)行列r 式因子.
§8.3 不变因子
2、有关结论
（1）（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的 各级行列式因子.
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子）
§8.3 不变因子
证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行
§8.3 不变因子
推论 两个 s 的n 矩 阵 、A( )等B价( )
存在一个s 可s 逆矩阵 P与(一) 个 可n 逆n 矩阵 Q(，) 使 B( ) P( )A( )Q( ).
§8.3 不变因子
例1 求 矩 阵的不变因子
2 0 0
(1)
A(
)
0
0
0 0 12
解： A(的) 非零1级子式为: 2 , , 12 .
n1
dn A an an1 L a1 n1 n.
§8.3 不变因子
此时B(中) 包含 i两, j行的和不包含
i 行的那些
k 级子式与 A(中 )对应的 级k子式相等；
B( ) 中包含 i行但不包含 行j 的 级k 子式，
按 i行分成 A(的 )一个 级k子式与另一个 级子k 式
的 (倍) 的和，
即为 A(的) 两个 级k子式的组合，
§8.3 不变因子
因此 f (是) B的( )级子k式的公因式， 从而 f ( ) g( ). 同理可得， g( ) f ( ). f ( ) g( ).
D1 1
§8.3 不变因子
A( ) 的非零2级子式为:
2
0
0
2 1,
0 ( 1)2 ,
0 ( 1)2
2
0
0
12
13 .
D2 1.
§8.3 不变因子
又 D3 A 2 13 .
所以，A的 不变因子为 ：
d1 D1 1,
d2
A( ) 的不变因子为
d1 d2 d3 1, d4 24 .
§8.3 不变因子
练习 求 A(的 )不变因子
0 0 L 1 0 L
A L L L L
0 0 0 L 0 0 0 L
0 an
0 L
an1 L
1
a2 a1
答案:
d () d () 1
1
§8.3 不变因子
证：Q A(与) D等(价) ， A( ) 与 D( )有相同的秩与行列式因子. 在 D(中) ，若一个 级k子式包含的行、列指标不
完全相同，则这个 k级子式为零.
所以只需考虑由 i1, i2 ,L行i与k i1,列i2 ,组L 成ik 的
k
级子式 (1 i1, i2 ,L ik r ),
§8.3 不变因子
二、不变因子
1、定义
矩阵 A(的 )标准形
d1( )
O
D(
)
dr ( )
0
O
0
的主对角线上的非零元素 d1( ),d2( ),L ,dr ( ) 称为 A(的) 不变因子（invariant divisor）.
§8.3 不变因子
2、有关结论
（1）（定理5） 矩阵 A(、) B(等 )价 A( )、B( )有相同的不变因子. A( )、B( )有相同的行列式因子.
于是
d1( ) D1( ),
d2 ( )
D2( ) , D1( )
L,
dr()
Dr ( ) Dr1( )
即 d1( ),L ,dr ( ) 由 A(的) 行列式因子所唯一确定.
所以 A(的) 标准形唯一.
§8.3 不变因子
（4）秩为 r的 矩 阵的 个r 行列式因子满足： Dk ( ) Dk1 ( ), k 1,2,L , r 1.
§8.3 不变因子
（2）若 矩阵 A(的 )标准形为
d1( )
O
D(
)
dr ( ),L d为r (首)1多项式，且
di ( ) di1( ), i 1,2,L r 1, 则 A(的) 级k行列式因子为
Dk ( ) d1( )d2( )L dk ( ), k 1, 2,L r.