【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 第2部分 专题二 第2讲 填空题技法专练(以真题和
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第二讲 “4道”
“4道”保分题专练卷(一)1．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝pm ，AC ＝qn (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3. ∴p ·q ≤9.∴△ABC 的面积的最大值为2132×9＝18932.2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样法从这1 000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)若已知树干周长在30 cm 至40 cm 之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现从这4株树中随机抽取2株，求抽取到的第2株患有虫害的概率．解：(1)∵用分层抽样法从这1 000株树木中随机抽取100株， ∴应该抽取银杏树100×4001 000＝40(株)．∴4＋18＋x ＋6＝40，∴x ＝12.(2)记这4株树分别为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树．记恰好抽取到第2株时发现患虫害的树为事件A ，则A 是指抽取到的第2株是树4.求抽取到的第2株患有虫害的概率，基本事件为(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)，(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)，共计12个，事件A 中包含的基本事件有3个，∴抽取到的第2株患有虫害的概率P (A )＝312＝14.3．设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等． (1)求{a n }的通项公式；(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记c n ＝1log 34b n ＋1·log 34b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －d2，即S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，由S n是等差数列，得到⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d2＝0，S n＝ d2·n ，则d ＝d2且d ＝2a 1＞0，所以d ＝12，a 1＝d 2＝14，a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14.(2)由b 1＝a 1＝14，b 2＝a 2＝34，b 3＝a 5＝94，得等比数列{b n }的公比q ＝3，所以b n ＝14×3n －1，所以c n ＝1log 33n ·log 33n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.4．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是平行四边形，且AA 1⊥底面ABCD ，AB ＝2，AA 1＝BC ＝4，∠ABC ＝60°，点E 为BC 中点，点F 为B 1C 1中点．(1)求证：平面A 1ED ⊥平面A 1AEF ；(2)设二面角A 1ED A 的大小为α，直线AD 与平面A 1ED 所成的角为β，求sin(α＋β)的值．解：(1)证明：∵AB ＝BE ＝2且∠ABC ＝60°， ∴∠AEB ＝60°.∵CE ＝CD ＝2且∠BCD ＝120°，∴∠CED ＝30°， ∴∠AED ＝90°， ∴AE ⊥ED .∵AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥ED ， ∴ED ⊥平面A 1AEF ， ∴平面A 1ED ⊥平面A 1AEF . (2)∵ED ⊥平面A 1AEF ， ∴A 1E ⊥ED ，AE ⊥ED ，∴∠A 1EA 为二面角A 1ED A 的平面角，即∠A 1EA ＝α. sin α＝AA 1A 1E ＝255，cos α＝55. 过A 作A 1E 的垂线，垂足为H ，连接HD ， ∵ED ⊥平面A 1AEF ，∴ED ⊥AH ， ∴AH ⊥平面A 1ED ，∴∠ADH 为直线AD 与平面A 1ED 所成的角β，即∠ADH ＝β， 易得AH ＝455，sin β＝55＝cos α，∴α＋β＝90°，sin(α＋β)＝1.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第一讲 集合、
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )A．13 B．14C．15 D．16解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·武汉模拟)命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0”．6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．(綈q )∧pC ．(綈p )∨qD ．q解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．9．设a ∈R ，则“a －1a －a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤23.对于命题q ，由函数y＝(2a －1)x在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23.二、填空题11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1， 所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}． 答案：{1,2,5}12．(2013·沈阳六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c的取值范围为________．解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，113．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题： ①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π2，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5。
创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破保分题专练卷(二)(含答案详析)
“4道”保分题专练卷(二)1．已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 解：(1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2. 2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则P (A )＝2A 33A 55＝2×3！5！＝110. 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110. (2)由题意知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝A 22A 44A 55＝2！×4！5！＝25，P (X ＝1)＝3A 22A 33A 55＝3×2！×3！5！＝310，P (X ＝2)＝2A 22A 33A 55＝2×2！×3！5！＝15，P (X ＝3)＝A 22A 33A 55＝2！×3！5！＝110.所以随机变量X 的分布列为： 从而有E (X )＝0×25＋1×310＋2×15＋3×110＝1，所以随机变量X 的数学期望为1.3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线．(1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长．解：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°，∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1.又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .∴EF ⊥A 1C .(2)建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设C 1D ＝t (t ＞0)，则B (1,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,2＋t )，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)． ∴11A B ＝(1,0,0)，1AC ＝(0,2，－2)．设平面CA 1B 1的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11A B ＝0，n ·1AC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1， ∴n ＝(0,1,1)． 同理可求得平面DAB 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，－2t ＋2. 由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋22＝2626， 得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n . (1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝log 2n a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2c n c n ＋2的前n 项和为T n ，求满足T n ＜2521(n ∈N *)的n 的最大值． 解：(1)在S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12. 当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋2，∴a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. ∵b n ＝2n a n ，∴b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . (2)∵c n ＝log 2n a n＝log 22n ＝n ， ∴2c n c n ＋2＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2. 由T n ＜2521，得1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜2521， 即1n ＋1＋1n ＋2＞1342. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2(n ∈N *)， 则f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2单调递减， ∵f (4)＝1130，f (5)＝1342， ∴n 的最大值为4.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题三 第二讲 高考中的
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题三 第二讲 高考中的数列(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1－2n－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n . 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32(a n －1)，数列{b n }满足b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，且b 1＝3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)，其前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)对于数列{a n }有S n ＝32(a n －1)，①S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)，②由①－②得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1，n ＝1时，由S 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，则a n ＝a 1·qn －1＝3·3n －1＝3n.对于数列{b n }有b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，可得b n ＋1＝14b n －1＋14，即b n ＋1b n －1＋1＝14.b n ＋1＝(b 1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝42－n ， 即b n ＝42－n－1.(2)由(1)可知c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)＝3n ·log 242－n ＝3n ·log 224－2n ＝3n (4－2n )． T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n ，③3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1，④由③－④得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n ＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.则T n ＝－3＋－3n －11－3＋(2－n )·3n ＋1＝－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n ·3n ＋1.4．(2013·合肥模拟)各项为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }前n 项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n ，使得向量a ＝(2a n ＋2，m )与向量b ＝(－a n ＋5,3＋a n )垂直？请说明理由．解： (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1，当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)由a 2n ＝4S n －2a n －1， ① 得a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1，②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )， ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2n －1. (3)∵a n ＝2n －1，∴a ＝(2a n ＋2，m )＝(2(2n ＋3)，m )≠0，b ＝(－a n ＋5,3＋a n )＝(－(2n ＋9)，2(n ＋1))≠0.∴a ·b ＝0⇔m (n ＋1)＝(2n ＋3)(2n ＋9)＝[2(n ＋1)＋1]·[2(n ＋1)＋7]⇔m (n ＋1)＝4(n ＋1)2＋16(n ＋1)＋7⇔m ＝4(n ＋1)＋16＋7n ＋1. ∵m ，n ∈N *，∴n ＋1＝7，m ＝4×7＋16＋1，即n ＝6，m ＝45. 当且仅当n ＝6，m ＝45时，a ⊥b .5．甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500 mL ，同时从甲、乙两个容器中各取出100 mL 溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n －1(n ≥2，n ∈N *)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a n 、b n .记a 1＝10%，b 1＝20%.(1)试用a n －1，b n －1表示a n ，b n ；(2)求证：数列{a n －b n }是等比数列，数列{a n ＋b n }是常数数列； (3)求数列{a n }，{b n }的通项公式． 解：(1)由题意知，a n ＝400a n －1＋100b n －1500＝45a n －1＋15b n －1，b n ＝400b n －1＋100a n －1500＝45b n －1＋15a n －1.(2)证明：由(1)知，a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)，又因为a 1－b 1≠0，所以数列{a n －b n }是等比数列；a n ＋b n ＝a n －1＋b n －1＝…＝a 1＋b 1＝30%，所以数列{a n ＋b n }是常数数列．(3)因为a 1－b 1＝－10%，数列{a n －b n }是公比为35的等比数列，所以a n －b n ＝－10%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n－1.又因为a n ＋b n ＝30%，所以a n ＝－5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%，b n ＝5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%.6．已知函数f (x )＝2x ＋33x .数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ， n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0042对一切n ∈N *成立，求最小的正整数m .解：(1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23，∴{a n }是以23为公差，首项为a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立．∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －2 0042，即92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<m －2 0042对一切n ∈N *成立， 又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 的增大而增大，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －2 0042. ∴m ≥2 013，即m min ＝2 013.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第二讲“4道”保
“4道”保分题专练卷(四)1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足A ＋C ＝2B ，且cos(B ＋C )＝－1114. (1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．解：(1)∵A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. ∵cos(B ＋C )＝－1114， ∴sin(B ＋C )＝1－cos 2B ＋C ＝5314， ∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B ＝－1114×12＋5314×32＝17. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437，sin A ＝sin (B ＋C )＝5314. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得 c ＝a sin C sin A＝8. S △ABC ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证c n ＋1＜c n ≤13. 解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1， ①得a n ＝2S n －1＋1， ②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＝3n －1.∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6.(2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，∴c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ， ∴c n ＋1－c n ＝1－2n 3n ＋1＜0， c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13. 3．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件的等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，所以m ＋n ＝0.45.由在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1. 所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，抽取的20个零件中，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3，等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10个．记事件A 为“从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，其等级恰好相同”， 则A 包含的基本事件为：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4个．故所求概率为P (A )＝410＝0.4. 4.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；②BA 1⊥平面B 1C 1EF ；(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值．解：(1)证明：①因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面ADD 1A 1，A 1D 1⊂平面A 1D 1DA ，所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA .又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ，所以C 1B 1∥EF .所以EF ∥A 1D 1.②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，而BA 1⊂平面ABB 1A 1，所以BA 1⊥B 1C 1.在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22， 即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F ，又B 1C 1∩B 1F ＝B 1，所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)设BA 1与B 1F 交点为H ，如下图连接C 1H .由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角．在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46 .在直角△BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46， 得sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015. 所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015.。
创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破练习1.6.1算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)(含答案详析)
第一讲 算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)1．(2013·安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )A.34 B.16 C.1112D.2524解析：选C 第一次循环后：s ＝0＋12，n ＝4；第二次循环后：s ＝0＋12＋14，n ＝6；第三次循环后：s ＝0＋12＋14＋16，n ＝8，跳出循环，输出s ＝0＋12＋14＋16＝1112.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A. 1＋12＋13＋…＋110B. 1＋12！＋13！＋ (110)C. 1＋12＋13＋…＋111D. 1＋12！＋13！＋ (111)解析：选B 根据程序框图的循环结构，依次T ＝1，S ＝0＋1＝1，k ＝2；T ＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3；T ＝12×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4；…；T ＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！，k ＝11＞10＝N ，跳出循环，输出结果． 3．(2013·福建高考)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴复数z 在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．4．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选A 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ，∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.5．(2013·陕西高考)观察下列等式 (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……照此规律， 第n 个等式可为________．解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)1．程序框图的逻辑结构顺序结构、条件结构和循环结构． 2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 (1)z 是实数⇔b ＝0； (2)z 是虚数⇔b ≠0；(3)z 是纯虚数⇔a ＝0，且b ≠0. 3．共轭复数复数a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数是a －b i(a ，b ∈R )． 4．复数的四则运算法则(1)(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (2)(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(3)(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．5．两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论 6．数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n≥n0的正整数都成立．[例1](1)(2013·重庆高考)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A．k≤6？B．k≤7?C．k≤8? D．k≤9?(2)(2013·福建高考)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D ．计算数列{2n －1}的前9项和[自主解答] (1)首次进入循环体，s ＝1×log 23，k ＝3；第二次进入循环体，s ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2，k ＝4；依次循环，当第六次进入循环体时，s ＝3，k ＝8，此时终止循环，则判断框内填“k ≤7？”．(2)由程序框图可知：输出S ＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n －1}的前10项和．[答案] (1)B (2)A——————————规律·总结——————————————————识别程序框图应注意的问题对于循环结构的框图的识图问题，应明确循环结构的框图的特征，明确框图中变量的变化特点，根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算，从而确定程序运行的结果．1．某程序框图如图所示，若输出的S ＝26，则判断框内为( )A ．k >2?B ．k >3?C ．k >4?D ．k >5?解析：选B 由程序框图可知，k ＝1时S ＝1；k ＝2时S ＝2×1＋2＝4；k ＝3时S ＝2×4＋3＝11；k ＝4时S ＝2×11＋4＝26.2．执行如图所示的程序框图，输出的结果是________．解析：共循环2 013次，由裂项求和得S ＝11×2＋12×3＋…＋12 013×2 014＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 013－12 014＝1－12 014＝2 0132 014.答案：2 0132 014[例2] (1)(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)·(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ )若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B.－45C.4D.45(3)(2013·广东高考)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4,2)[自主解答] (1)由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i.(2)因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝5(3＋4i )25＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以复数z 的虚部为45.(3)由i z ＝2＋4i ，可得z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )·(－i )i·(－i )＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．[答案] (1)D (2)D (3)C复数运算的技巧复数代数形式的运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，分子、分母同乘分母的共轭复数．3．已知i 为虚数单位，则复数i(2－3i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A i(2－3i)＝2i ＋3＝3＋2i 对应的点为(3,2)，位于第一象限． 4．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.解析：m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：12[例3] (1)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. (2)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．[自主解答] (1)N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.(2)由第一个等式为1，第二个等式为－3，第三个等式为6，第四个等式为－10，……，可得第n 个等式为(－1)n＋1n (n ＋1)2. [答案] (1)1 000 (2)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2——————————规律·总结——————————————————合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．5．已知函数f (x )＝x x ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理可得函数f n (x )的解析式是f n (x )＝________.解析：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n(x >0)． 答案：x(2n －1)x ＋2n(x >0)6．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .答案：n n。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题六 第一讲 算法、复
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题六第一讲算法、复数、推理与证明（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．(2013·北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A．第一象限 B. 第二象限C．第三象限 D. 第四象限解析：选D (2－i)2＝3－4i，其在复平面内对应的点(3，－4)位于第四象限．2．(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i解析：选B (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.3.(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D解析：选B 设点A(x，y)表示复数z＝x＋y i，则z的共轭复数z＝x－y i对应点为B(x，－y)．4．(2013·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7 B．6 C．5 D．4解析：选D 第1次，S＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n＝2，S＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n＝3，S＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n＝4，S＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选 A 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t＜1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s ∈[－3,4]．6．(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S ＜8?B ．S ＜9?C ．S ＜10？D ．S ＜11?解析：选B 程序框图的运行过程为：i ＝1，S ＝0→i ＝1＋1＝2→i 不是奇数→S ＝2×2＋1＝5→符合条件→i ＝2＋1＝3→i是奇数→S ＝2×3＋2＝8→符合条件→i ＝3＋1＝4→i 不是奇数→S ＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i ＝4→结束．根据以上步骤，知应填入条件“S ＜9？”．7．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n＋2n －2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为( )1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.190 B.1110 C.1132D.111解析：选B 由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.9．(2013·西安五校联考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：选A ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n (n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字呈现周期性变化，且最小正周期为 4.记5n(n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 013)＝f (502×4＋5)＝f (5)，∴52 013与55的末四位数字相同，均为3 125.10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )＝( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n－(n －1)(n －2)(n －3) D ．n 3－5n 2＋10n －4解析：选B 因为一个圆将平面分为2块区域，即f (1)＝2＝12－1＋2，两个圆相交将平面分为4＝2＋2块区域，即f (2)＝2＋2＝22－2＋2，三个圆相交将平面分为8＝2＋2＋4块区域，即f (3)＝2＋2×3＝32－3＋2，四个圆相交将平面分为14＝2＋2＋4＋6块区域，即f (4)＝2＋3×4＝42－4＋2，…，平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f (n )＝n 2－n ＋2.二、填空题11．(2013·湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i12．(2013·长春模拟)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝________.解析：由题意可知：1－a i 1＋a i＝－a 2＋a－a＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i.因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2.由－2a 1＋a 2＝45，可知a <0，仅有a ＝－2满足．答案：－213．(2013·武汉武昌区联考)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．解析：S ＝sinπ3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＋…＋sin 2 013π3＝⎝⎛ sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋⎭⎪⎫sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3×335＋sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＝ 3.答案： 314．(2013·浙江高考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析：根据程序框图，可以逐个进行运算，S ＝1，k ＝1；S ＝1＋11×2，k ＝2；S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4，k ＝4；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝95，k ＝5，程序结束，此时S ＝95. 答案： 9515．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W ′＝V ＝8πr 3，故可得W ＝2πr 4. 答案：2πr 416．(2013·济南模拟)给定正整数n (n ≥2)按如图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1,2,3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数．例如n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2 013时最后一行的数是________．1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112解析：设最后一行(第n 行)的数为a n ，则通过计算，容易得到：a 2＝3＝3×20，a 3＝8＝4×21，a 4＝20＝5×22，a 5＝48＝6×23，a 6＝112＝7×24，…，由此，可猜测a n ＝(n ＋1)×2n－2，所以当n ＝2 013时最后一行的数是2 014×22 011.答案：2 014×22 011。
创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破练习2.1.2数形结合思想(含答案详析)
第二讲数形结合思想1．数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a(a>0)与距离互化；将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．[例1] (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 [思维流程][解析] 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1.而由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1(x ∈(－1,0])．如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图像，而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图像交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图像为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－(－1)＝12；直线PO 的斜率为k 2＝0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图像有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2<m ≤k 1，即m ∈⎝⎛⎦⎤0，12. [答案] D——————————规律·总结———————————————————利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像，结合图像得，当x ∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数是8.[2((2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．[思维流程][解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.[答案] (1)(－1,0) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 ————————规律·总结——————————————————————利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．2．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(2,3] B ．[4，＋∞) C ．(1,2]D ．[2,4)解析：选C 设y 1＝(x －1)2，y 2＝log a x ，则y 1的图像为如图所示的抛物线．要使对一切x ∈(1,2)，y 1<y 2恒成立，显然a >1，并且只需当x ＝2时，log a x ≥1，即a ≤2，所以1<a ≤2.[例3] (1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx 的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3(2)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[思维流程][解析] (1)(x －2)2＋y 2＝3表示坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径r ＝3，如图，而y x ＝y －0x －0表示圆上的点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率．该问题转化为如下几何问题：点A 在M (2,0)为圆心，3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知，当点A 在第一象限，且OA 与圆相切时OA 的斜率最大． 连接AM ，则AM ⊥OA ，|OA |＝|OM |2－|AM |2＝22－(3)2＝1，可得yx的最大值为tan ∠AOM ＝3，故选D.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. [答案] (1)D (2)C——————————规律·总结——————————————————————利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题． 第三步：解决几何问题． 第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．8D ．－1解析：选A 分别画出y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x＋3三个函数的图像，如图所示，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x ≤1，32x ＋12，1<x ≤5，x 2－4x ＋3，x >5，f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B (1,2)，所以函数f (x )的最小值是2.4．当0<x <π2，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋4sin 2x sin 2x 的最小值为( )A ．－4B ．－2 2C ．4D ．2 2解析：选D f (x )＝1＋cos 2x ＋2(1－cos 2x )sin 2x ＝3－cos 2x0－(－sin 2x )，它表示点(0,3)与点(－sin 2x ，cos 2x )连线的斜率，而点(－sin 2x ，cos 2x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时是圆x 2＋y 2＝1的左半圆(不含端点)，数形结合可知当过(0,3)的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f (x )最小．设切线方程为y ＝kx ＋3，则|3|k 2＋1＝1⇒k ＝22或k ＝－22(舍)，故f (x )的最小值为2 2.1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图像； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x 2－log a x <0，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B.116≤a ＜1 C ．a >1D ．0<a ≤116解析：选B 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.2．(2013·西城模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点即为函数f (x )与y ＝e x 的图像交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x 的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－e x 有两个零点．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 令x ＋1＝0，得x ＝－1，令log 2x ＝0，得x ＝1；令F (x )＝f (f (x ))＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， ∴4＋4a ·b ＋3＝7，即a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ， ∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. 5．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点)是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A ．2－ 3 B.3－1 C.22D.32解：选B 如图，易知|MF 2|＝c ，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a －c .在△F 1MF 2中，∵MF 1⊥MF 2，又|F 1F 2|＝2c ，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，即2a 2－2ac －c 2＝0.方程两边同除以－a 2得e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<a bc <12.二、填空题7．如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图像与函数y ＝k (x －2)＋4的图像有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k 的范围是⎝⎛⎦⎤512，34.答案：⎝⎛⎦⎤512，348．已知1a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，当ab 取最小值时，方程2－2x ＝b －bax |x |的实数解的个数是________．解析：1ab ＝12⎝⎛⎭⎫1a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 22＝18，当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，则方程1－x ＝2－x |x |，在同一坐标系作出y 1＝－(x －1)和y 2＝2－x |x |的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f (x )的图像，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④. 答案：①③④ 三、解答题10．设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．解：f (x )≤g (x )， 即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ①y ＝43x ＋1－a ， ② ①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系． 设与圆相切的直线为AT ，其倾斜角为α，则有tan α＝43，0<α<π2， ∴sin α＝45，cos α＝35， |OA |＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝2·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝ 2·1＋sin αcos α＝2⎝⎛⎭⎫1＋4535＝6. 要使f (x )≤g (x )在x ∈[－4,0]恒成立，则②所表示的直线应在直线AT 的上方或与它重合，故有1－a ≥6，即a ≤－5.所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]．11．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R )．(1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值．解：(1)因为x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a ，－x 2＋ax ＋1， x <a ， (其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1， 所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a;②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.12．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12. (1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解；(2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(1)所示，从图像可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解．图(1) 图(2)(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(2)所示，从图像看出方程F (x )＝a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题二 保温训练卷(四)
保温训练卷(四)一、选择题1．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2，∴1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝( )A.16 B.723C.1318D.1322解析：选B tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35－141＋35×14＝723.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝52x ，则该双曲线的离心率为( )A.31414B.324C.32D.43解析：选C 依题意，b a ＝52，所以b ＝52a ，c ＝32a .故e ＝32. 4．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A ．y ＝x ＋1的图像上B ．y ＝2x 的图像上C ．y ＝2x的图像上D ．y ＝2x －1的图像上解析：选D 依题意，运行程序框图，输出的点依次为(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，易知这四个点均在y ＝2x －1的图像上．5．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像向左平移π6个单位后，所得函数的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z) 解析：选B 依题意，把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像向左平移π6个单位后，所得函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，所以所得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)． 6．已知实数a 、b 满足等式2a＝3b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中可能成立的关系式有( )A ．①②③B ．①②⑤C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选B 设2a＝3b＝k ，则a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，分别画出y ＝log 2x ，y ＝log 3x 的图像，如图所示，由图可知，正确答案为B.7．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b2ab ，而a ＋b2ab＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k的最小值等于－4.8．在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA ＋PC ＝AB －PB ，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( )A.34B.12C.13D.23解析：选A 2PA ＋PC ＝AB －PB ，即2PA ＋PC ＝AB ＋BP ＝AP ，即PC ＝3AP ，即点P 在边AC 上且|PC |＝34|AC |，即△PBC 与△ABC 在同一底边上的高的比值是34，故面积之比为34.二、填空题9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.解析：由题意知，S 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1241－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝58a 1，a 4＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18a 1，故S 4a 4＝－5.答案：－510．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________. 解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球的半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，故S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π11．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为______________________________．解析：设圆心C的坐标为(x 0，y 0)，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0＋2＝－1，y 0＋12＝x 0－22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.令圆C 的半径为r ，圆心C (0，－1)到3x ＋4y －11＝0的距离d ＝3，∴r 2＝32＋32＝18，∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.答案：x 2＋(y ＋1)2＝18 三、解答题12．以下茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵树的平均数x 和标准差s ；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数为：8,8,9,10，所以平均数x ＝8＋8＋9＋104＝354， 方差s 2＝14⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116，所以标准差s ＝114.(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数为：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数为：9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种可能，其中满足这两名同学的植树总棵树为19的情况有4种，则这两名同学的植树总棵数为19的概率为416＝14.13.如图，在四棱锥P ABCD 中，已知侧面PAD 为等腰直角三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠APD ＝90°，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且AB ＝4，AP ＝PD ＝BC ＝CD ＝2.(1)求证：PA ⊥BD ；(2)若E 为侧棱PB 的中点，求直线AE 与底面ABCD 所成角的正弦值． 解：(1)证明：由已知可得AD ＝BD ＝22，又AB ＝4， ∴BD ⊥AD ，又∵平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面ADP .又∵AP ⊂平面ADP ，∴AP ⊥BD .(2)如图，取AD 的中点O ，连接PO ，OB ，并取OB 的中点H ，连接AH ，EH ， ∵PA ＝PD ，∴PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， ∴PO ⊥平面ABCD . 又∵EH ∥PO ， ∴EH ⊥平面ABCD ，则∠EAH 即为直线AE 与底面ABCD 所成的角， ∵∠APD ＝90°，∴AP ⊥PD ， 又由(1)得AP ⊥BD ，PD ∩BD ＝D ， ∴AP ⊥平面PBD ，∴AP ⊥PB ，故在直角三角形APB 中，PB ＝AB 2－AP 2＝23， ∴PE ＝12PB ＝3，故在直角三角形APE 中，AE ＝AP 2＋PE 2＝7，易知PO ＝AP 2－AO 2＝2，∴EH ＝22. ∴sin ∠EAH ＝EH AE ＝1414. ∴直线AE 与底面ABCD 所成角的正弦值为1414. 14．已知函数f (x )＝ln xx.(1)确定y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若a >0，函数h (x )＝x ·f (x )－x －ax 2在(0,2)上有极值，求实数a 的取值范围． 解：(1)对已知函数f (x )求导得，f ′(x )＝1－ln x x2. 由1－ln x ＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，e]上单调递增，在[e ，＋∞)上单调递减． (2)由h (x )＝xf (x )－x －ax 2，可得h (x )＝ln x －x －ax 2. h ′(x )＝1x －1－2ax ＝－2ax 2－x ＋1x.令φ(x )＝－2ax 2－x ＋1.h (x )＝xf (x )－x －ax 2在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x )＝－2ax 2－x ＋1在(0,2)上有零点，∴φ(0)·φ(2)<0，解得a >－18.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．。
《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：突破练2 Word版含解析
突破练(二)1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC→＝9，求a 的值．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12得 2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )， 即A ＝k π或A ＝π3＋k π，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3.又由于b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c . ∵AB →·AC→＝bc cos A ＝12bc ＝9， ∴bc ＝18，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1.∴a ＝3 2.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(2)若PD ∥平面EAC ，并且二面角B －AE －C 的大小为45°，求PD ∶AD 的值． (1)证明 由于PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC ，又BD ∩PD ＝D ，故AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面EAC . 所以平面EAC ⊥平面PBD .(2)解 连接OE ，由于PD ∥平面EAC ，所以PD ∥OE ，所以OE ⊥平面ABCD ，又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以点O 为坐标原点，射线OA ，OB ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz .设OB ＝m ，OE ＝h ，则OA ＝3m ，A ()3m ，0，0，B (0，m,0)，E (0,0，h )，AB→＝(－3m ，m,0)，BE →＝(0，－m ，h )，向量n 1＝(0,1,0)为平面AEC 的一个法向量，设平面ABE 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )则n 2·AB →＝0，且n 2·BE →＝0， 即－3mx ＋my ＝0且－my ＋hz ＝0. 取x ＝1，则y ＝3，z ＝3m h ， 则n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，3m h ，。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第三讲 基本初等
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5， c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b解析：选C 根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .2．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选D 由已知，得f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，所以f (x )＋f (－x )＝2.因为lg 2，lg 12互为相反数，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 3．(2013·日照模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，5)C ．(2，5)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 由已知得函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，且f (1)＝2，所以0<x 2－4<1，则x ∈(－5，－2)∪(2, 5)．4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A 设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．5．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.6．已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图像(图略)，由图可知，两函数的图像在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点．所以n ＝－1.7．(2013·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －4|，x ≠4，a ， x ＝4，若函数y ＝f (x )－2有3个零点，则实数a 的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ． 2解析：选D 如图，当函数y ＝f (x )－2有3个零点时，等价于函数y ＝f (x )的图像和y ＝2的图像有3个交点，此时必有a ＝2.8．(2013·沈阳模拟)已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 C.⎝⎛⎭⎪⎫110，1D ．(10，＋∞)解析：选C 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝1＋lg a 1－lg a ，由方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a 有正根，即f (x )，g (x )的图像在(0，＋∞)上有交点，如图可知0<1＋lg a1－lg a <1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a >0，1＋lg a1－lg a <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，2lg alg a －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，lg a <0或lg a >1，即－1<lg a <0，则110<a <1.9．已知两条直线l 1：y ＝a 和l 2：y ＝182a ＋1(其中a >0)，l 1与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为m ，n .当a 变化时，n m的最小值为( )A ．4B ．16C ．211D ．210解析：选C 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则x A ＝4－a，x B ＝4a，x C ＝4－1821a +，x D ＝41821a +，则n m ＝4a－41821a +41821a -+－4－a，分子与分母同乘以41821a a ++，可得n m ＝4a ＋182a ＋1＝218221a a ++.又2a ＋362a ＋1＝2a ＋1＋362a ＋1－1≥2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362a ＋1－1＝11，当且仅当2a＋1＝6，即a ＝52时等号成立，所以n m的最小值为211.10．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，－1<x ≤0，f x －＋1，x >0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －2B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n－2解析：选C 当x ∈(－1,0]时，f (x )＝x 3，其端点为(0,0)，然后将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到x ∈(0,1]的图像，其中一端点为(1,1)，….如此平移下去，分别得到x ∈(1,2]，x ∈(2,3]，…的图像，其端点分别为(2,2)，(3,3)，…，又其图像与直线y ＝x 的交点的横坐标即为函数g (x )＝f (x )－x 的零点，易知零点分别为0,1,2,3，…，故其通项公式为a n ＝n －1.二、填空题11．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f－x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 答案：012．(2013·潍坊模拟)若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 在区间[1，e 2]上有解，则实数k 的取值范围是________．解析：原方程在区间[1，e 2]上有解，即方程k ＝ln x －1x在区间[1，e 2]上有解，也就是函数y ＝k 和y ＝ln x －1x 的图像在区间[1，e 2]上有交点．因为y ＝ln x －1x 的导数为2－ln x x，所以可得函数y ＝ln x －1x 在[1，e 2]上单调递增，可知函数y ＝ln x －1x在x ＝e 2处取得最大值1e 2，在x ＝1处取得最小值－1，所以函数y ＝ln x －1x 在[1，e 2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1e 2，从而－1≤k ≤1e2.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1e 13．函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，则f (x )在区间[0,2 012]上零点的个数为________．解析：根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，可得fx ＋52＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2 012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2 010]内有402×3＝1 206个零点，在区间(2 010,2 012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0,2 012]上零点的个数为1 207.答案：1 20714．2013届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．解析：由题意，知总成本C (x )＝20 000＋100 x . 所以总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 答案：30015．(2013·西城模拟)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：f (－x )＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x＋x 是增函数，此时f (x )＝e x＋x ≥f (0)＝1，因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，即函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝k 有两个不同的交点，结合图形可知，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①任意x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②存在x 0∈R ，使ax 0，bx 0，cx 0不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则存在x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0. 解析：(1)由题设f (x )＝0，a ＝b ⇒2a x＝c x⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＝12， 又a ＋b ≤c ，a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，所以12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x⇒0<x ≤1.(2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1，又0<a c <1,0<bc <1，∀x ∈(－∞，1)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x >a c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >b c ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b cx >1，即f (x )>0，所以①正确；由(1)可知②正确；由△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2<c 2，所以f (2)<0.又a ＋b >c ，所以a c ＋bc>1，所以f (1)>0，由零点存在性定理可知③正确．答案：(1){x |0<x ≤1} (2)①②③。
创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破练习2.2.1选择题解题5技法(含答案详析)
第一讲选择题解题 5技法高考数学选择题主要考察考生对基础知识的理解程度、基本技术的娴熟程度以及基本运算的正确程度等方面，着重多个知识点的小型综合，浸透各样数学思想和方法，能充足考察考生灵巧应用基础知识解决数学识题的能力．选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，其基本解答策略是：充足利用题干和选项所供给的信息作出判断．先定性后定量，先特别后推理；先间接后直接，先清除后求解．解题时应认真审题、深入剖析、正确推演、提防疏忽．解答选择题的常用方法主假如直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，假如全部选择题都用直接法解答，不只时间不一样意，甚至有些题目根本没法解答．所以，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来说，选择题属于小题，解题的常用原则是：小题巧解．技法一排除法在解答某些选择题时，能够依据选项的特色，经过灵巧赋值，利用一些特别的对象，如数、点等代当选项进行考证，依据选择题的特色——只有一个选项切合题目要求这一信息，能够间接地获得切合题目要求的选项．[例 1] 已知全集U＝R，A＝{ x|x2－ 2x－ 3>0} ，B＝ { x|2<x<4} ，那么会合 B∩ (?U A)＝ () A． { x|－ 1≤ x≤ 4} B ．{ x|2<x≤3}C． { x|2≤ x<3}D． { x|－ 1< x<4}[思想流程 ][分析 ] C 的差别在于选项2 与A 与选项 D 的不一样之处在于元素－1、 4 能否属于该会合；选项3 能否属于该会合；选项 A 、D 与选项 B、C 的差别可经过查验B 与选项0 能否属于该会合来判断．因为 0?B，所以 0?B∩ (?U A)，故可清除 A 、D ；因为 2?B，所以 2?B∩ (?U A)，故可清除 C.[答案]B—————————规律·总结———————————————————————清除法的使用技巧清除法合用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先依据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否认，再依据另一些条件在减小的范围内找出矛盾，这样逐渐清除(如本例经过二次取值清除 )，直到得出正确的选项．log 2x，x>0 ，1．设函数f(x) ＝log1－ x ， x<0，若 f(a)>f(－ a) ，则实数 a 的取值范围是 ()2A． (－ 1,0)∪ (0,1) B ． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )C． ( －1,0)∪ (1，＋∞ )D． (－∞，－ 1)∪ (0,1)分析：选 C取a＝2考证知足题意，清除 A 、D ；取 a＝－ 2 考证不知足题意，清除 B.2.函数 y＝ f(x)的图像以下图，给出以下命题：①函数 y＝ f( x)的定义域是 [ － 1,5] ；②函数 y＝ f( x)的值域是 (－∞， 0]∪ [2,4] ；③函数 y＝ f( x)在定义域内是增函数；④函数 y＝ f( x)在定义域内的导数f′ (x)>0.此中正确命题的序号是()A．①② B ．①③C．②③D．②④分析：选 A y＝ f(x)的定义域中含有x＝ 3，①②正确；函数 y＝ f(x)在定义域内不是增函数，③④错误．技法二特值法特值法 (也称特例法 )是用特别值 (或特别图形、特别地点 )取代题设广泛条件，得出特别结论，再对各个选项进行查验，从而做出正确选择的方法，常用的特值法有：特别数值、特别数列、特别函数、特别图形、特别角和特别地点等．[例 2]若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝ f(x) 的图像是 ()[思想流程 ][分析 ] 由 f(x)－ 2＝ 0，得 f(x)＝ 2.由图像可知对于 A ，当 f( x)＝2 时， x＝ 0，不建立；对于B ，当 f(x)＝ 2 时，无解；对于 C，当 f(x)＝2 时， x>0，不建立．[答案] D——————————规律·总结————————————————————用特值法解题应注意三点(1)所选用的特例必定要简单，且切合题设条件；(2)特别只可否认一般，不可以必定一般；(3)当选用某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这时要依据题设要求选择此外的特例代入查验，直到找到正确选项为止．3．若 a<0,0< b<1，则 (2A． a>ab>ab )B ．ab2>ab>aC． ab>a>ab2D． ab>ab2>a分析：选B 令 a＝－ 2， b＝ 12，则ab＝－ 1， ab2＝－ 12.故ab2>ab>a.4．设 ?( x)，g(x)，h(x)是R上的随意实值函数，以下定义两个函数(?°g)(x) 和 (?·g)(x)．对随意x∈R， (?°g)(x)＝ ?(g(x)) ， (?·g)(x) ＝?( x)g(x)，则以下等式恒建立的是() A． ((?°g) ·h)(x)＝ (( ?·h)°(g·h))( x)B． (( ?·g)°h)(x)＝ (( ?°h) ·(g°h))( x)C． (( ?°g)°h)( x)＝ ((?°h)°(g°h))( x)D． ((?·g) ·h)( x)＝(( ?·h) ·(g·h))( x)分析：选B取 ?(x)＝－ x， g( x)＝ x2， h(x)＝ x，则((?°g) ·h)( x)＝ (－ x2) ·(x)＝－ x3，(( ?·h)°(g·h))( x)＝ (－ x2)°(x3)＝－ x6，A 错； (( ?·g)°h)( x)＝3323C、D 错．( －x )°(x)＝－ x ， ((?°h) ·(g°h))( x)＝ (－ x) ·(x )＝－ x ， B 对；同理可考证技法三图解法图解法就是将所研究的问题转变为函数的图像或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，综合几何图形的直观特色获得正确选项的一种解题方法，其本质就是数形联合思想的运用．[例 3] 若直角坐标平面内的两点P，Q 知足条件：① P， Q 都在函数 y＝ f(x)的图像上；② P， Q 对于原点对称，则称点对 [P， Q] 是函数 y＝ f(x)的一对“友善点对”(注：点对 [ P，Q]与 [Q， P]看作同一对“友善点对”log 2x x>0 ，则此函数的“友)．已知函数 f(x)＝－ x2－ 4x x≤ 0 ，好点对”有()A．0对C．2 对B．1 对D．3 对[思想流程][分析 ]依据题意，将函数f(x)＝－x2－4x(x≤ 0)的图像绕原点旋转 180°后，获得的图像所对应的分析式为y＝ x2－ 4x(x≥ 0)，再作出函数y＝ lo g2x( x>0) 的图像，以下图．由题意，知函数y＝x2－ 4x(x>0) 的图像与函数 f(x)＝ log2x(x>0)的图像的交点个数即为“友善点对”的对数．由图可知它们的图像交点有 2 个，所以此函数的“ 友善点对” 有2对．[答案] C——————————规律·总结————————————————————用图解法解题应注意的问题图解法是依赖图形的直观性进行剖析的，用这类方法解题比直接计算求解更能抓住问题的本质，并能快速地获得结果．可是运用图解法解题必定要对相关的函数图像、几何图形较熟习，不然错误的图像反而会致使错误的选择．在本例中，假如不可以正确画出分段函数的图像，那么就很难直接依据函数的图像判断出“ 友善点对” 的对数．5．已知实数 a， b 知足等式 2 011a＝2 012b，以下五个关系式：①0<b<a；② a<b<0；③0<a<b；④ b<a<0 ；⑤ a＝ b.此中不行能建立的关系式有 ()A．1个B．2个C．3 个D．4 个分析：选 B设 2 011a＝ 2 012b＝t，以下图，由函数图像，可得(1)若 t>1，则有 a>b>0 ；(2)若 t＝ 1，则有 a＝ b＝ 0；(3)若 0< t<1，则有 a<b<0.故①②⑤可能建立，而③④不行能建立．6．函数 y＝ |log 1 x|的定义域为 [a， b]，值域为 [0,2] ，则区间 [a，b] 的长度 b－a 的最小值2是 ()3A． 2 B.23C． 3 D.4x|的图像，以下图，由y＝0，解得 x分析：选D作出函数 y＝ |log12＝1，由 y＝ 2，解得 x＝4 或 x＝1.所以区间 [a，b] 的长度 b－ a 的最小值为 14－1＝ 3.44技法四正难则反法在解选择题时，有时从正面求解比较困难，能够转变为其反面的问题来解决，马上问题转变为其对峙事件来解决，本质上就是补集思想的应用．[例 4] 若函数 y＝ e x＋ mx 有极值，则实数m 的取值范围是 ()A． (0，＋∞ ) B ．(－∞， 0)C． (1，＋∞ )D． (－∞， 1)[思想流程 ][分析 ]y′＝ (e x＋ mx)′＝ e x＋ m，函数 y＝ e x＋ mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单一函数，即y′＝ e x＋m≥0( 或≤ 0)恒建立，而 e x≥ 0，故当 m≥0 时，函数 y＝ e x＋ mx 在R 上为单一递加函数，不存在极值，所以函数存在极值的条件是m<0.[答案] B——————————规律·总结———————————————————利用正难则反法解决问题的重点应用正难则反法解决问题的重点在于正确转变．在本例中，依据函数有极值获得函数不单一，但从正面没法直接判断，所以能够考虑其反面，即函数在R 上单一，其导函数的值恒大于 0 或恒小于 0.7．设会合A＝{ x|a－ 1<x<a＋ 1， x∈R } ， B＝{ x|1<x<5， x∈R} ，若 A∩ B≠ ?，则实数a的取值范围是 ()A ． { a|0<a<6} C ． { a|a ≤ 0 或分析：选 Aa ≥ 6}当 A ∩ B ＝?时，由图可知B ．{ a|a<2 或 a>4}D ． { a|2≤ a ≤ 4}a ＋ 1≤ 1 或 a － 1≥5，所以a ≤ 0或a ≥ 6.故当A ∩B ≠ ?时， 0<a<6.技法五估 算 法因为选择题供给了独一正确的选项，解答又无需过程， 所以，有些题目不用进行正确的计算，只要对其数值特色和取值界线作出适合的预计，便能作出正确的判断，这就是估量法．估量法常常能够减少运算量，可是增强了思想的层次．m － 3 ， cos θ＝ 4－ 2m π θ[例 5]已知 sin θ＝ m ＋ 5 m ＋ 5 2<θ<π＝ ()，则 tan 2 m －3m － 3 A. 9－ mB.|9－ m|1C ．－ 5D ． 5[思想流程 ][分析 ]因为受条件 2 2θ＝ 1 的限制， m 为一确立的值，从而推知 θ sin θ＋ cos tan 也为一2确立的值，又π π θ π θ2 <θ<π，所以< < ，故 tan >1.4 2 22[答案]D—————————— 规律 ·总结 ———————————————————————估量法的应用技巧估量法是依据变量变化的趋向或极值的取值状况进行求解的方法．当题目从正面分析比较麻烦， 特值法又没法确立正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图像的变化等问题，常用此种方法确立选项．x≤ 0，8．若 A 为不等式组y≥ 0，表示的平面地区，则当 a 从－ 2 连续变化到 1 时，动直y－ x≤2线 x＋ y＝ a 扫过 A 中的那部分地区的面积为 ()3A. 4 B ．17C.4D． 2分析：选C如图知地区的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比 1 大，比S△OAB＝ 1× 2× 2＝ 2 小，应选2C 项．1．选择题设置特色精良易错最近几年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着力考察学生的逻辑思想与直觉思想能力，考察学生察看、剖析、比较、选择简捷运算方法的能力，试题拥有设置精良、运算量不大、试题破解时易错的特色，着力考察学生的解题能力．2．选择题的解题策略灵巧多变选择题的解题策略需要因题而变，对于简单题和大多数中等难度的题，可采纳直接法；与几何图形相关的题，尽可能先画出图形，用数形联合的方法或许几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采纳特别规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．3．选择题的破解技巧多样简捷选择题的解题方法许多，解答选择题的首要标准是正确，其次要求是快速，力争做到又准又快．解数学选择题有两类基本技巧：一是直接法；二是间接法．直接法：指充足利用题干和选项双方面供给的信息，快速、正确地作出判断，是解选择题的基本策略；间接法：解选择题时经过注意到往常各种惯例题的解题思想来指导选择题的解答，或依据选择题的特别性，找寻存在着若干异于惯例题的特别解法．一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其余方法，充足利用题干和选项双方面供给的信息，快速、正确地作出判断，是解选择题的基本策略．[选择题技法专练]1． (2013 成·都模拟 )对于向量a、b、 c 和实数λ，以下命题中的真命题是()A．若a·b＝ 0，则a＝ 0 或b＝ 0B．若λa＝0，则λ＝ 0 或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c分析：选B当 a·b＝0时， a 与 b 也可能垂直，应选项 A 是假命题；当 a2＝ b2时，|a|＝|b|，应选项C是假命题；当 a·b＝a·c 时， b 与 c 也可能垂直，应选项 D 是假命题．2． (2013 重·庆高考 ) 3－a a＋6 ( － 6≤ a≤ 3)的最大值为 ()9A． 9 B.2C． 3 D.322分析：选B法一：因为－ 6≤a≤ 3，所以3－ a≥0， a＋ 6≥ 0，则由基本不等式可知，3－ a a＋ 6 ≤3－ a ＋ a＋ 6＝9，当且仅当 a＝－3时等号建立．2223－ a a＋ 6 ＝3 2819a＝－3法二：－ a＋2＋ 4 ≤2，当且仅当2时等号建立．3．设 m， n 是平面α内的两条不一样直线；l1， l2是平面β内的两条订交直线，则α∥β的一个充足不用要条件是 ()A． m∥ β且 l1∥ α B ．m∥ l1且 n∥ l2C． m∥β且 n∥βD． m∥ β且 n∥ l2分析：选B因为 m? α，l 1? β，若α∥β，则有 m∥ β且 l1∥α，故α∥β的一个必需条件是 m∥ β且 l 1∥ α，清除 A ；因为 m， n? α， l1， l 2?β且 l1与 l2订交，若 m∥ l1且 n∥l2，则 m 与 n 也订交，故α∥ β；若α∥ β，则直线 m 与直线 l 1可能为异面直线，故α∥β的一个充足不用要条件是m∥ l1且 n∥ l 2.4．已知 0<a<1,0<x≤ y<1，且 log a x·log a y＝ 1，那么 xy 的取值范围是 ()2B ．(0， a]A． (0， a ]C. 0，1D. 0，1 a a2分析：选 A∵ 0<a<1,0<x≤ y<1 ，∴ xy>0 ， log a x>0 ， log a y>0 ，∴ log a xy ＝ log a x ＋log a x＝ log a y，即 x＝ y＝ a 时取等号，∴ 0< xy≤ a2. log a y≥ 2 log a x·log a y＝ 2，当且仅当log a x·log a y＝ 1，5． (2013 深·圳模拟 )设 0<a<b<1，则以下不等式建立的是 ()3311A． a >b B.a<bbD． lg( b－ a)<0C． a >1分析：选D对于 A ，结构幂函数 y＝ x3，其在R上为单一递加函数，因为0< a<b<1 ，依据其单一性可知a 3<b3，故 A 错误；对于 B ，1－1＝b－a，因为 0<a<b<1，所以 ab>0，ba b ab1－1＝b－ a 1 1x－ a>0，故b ab >0，所以a> ，故 B 错误；对于 C，结构指数函数 y＝ a ，因为 0<a<b<1，a b所以 a b <1，故 C 错误；对于 D ，结构对数函数 y ＝lg x ，因为 0<a<b<1，所以 0<b － a<1，故lg( b － a)<0，故 D 正确．6． 函数 f( x)＝ |sin x － cos x|＋ sin x ＋ cos x(x ∈ R )的最小值为 ()2A ． 0B ．－ 2C ．－ 2D ．－ 22sin x ， sin x ≥ cos x ，分析： 选 C 依题意， f(x)＝依据函数分析式，作出一个周期内2cos x ， sin x<cos x ， 的函数图像察看即可获得函数f(x)的最小值为－2.7． (2013 陕·西高考 )设 [x] 表示不大于 x 的最大整数，则对随意实数 x ， y 有 ()A ． [－ x]＝－ [x]B ．[2 x] ＝2[ x]C ． [ x ＋ y]≤ [x]＋[y]D ． [x － y] ≤ [x]－[ y]分析： 选 D 取特别值进行判断．当 x ＝ 1.1 时， [ －x]＝－ 2，－ [ x] ＝－ 1，故 A 错；当x ＝ 1.9 时， [2x]＝ 3,2[ x] ＝ 2，故 B 错；当 x ＝ 1.1， y ＝ 1.9 时， [x ＋ y]＝ 3， [x]＋ [y] ＝ 2，故 C 错．x ＝ 1 的实根的个数是 ( )8． 函数 f( x)＝ 1－ |2x － 1|，则方程 f(x) ·2 A ． 0 B ．1 C ． 2D ． 3x1 x分析：选C方程 f(x) ·2 ＝ 1 可化为 f(x)＝ 2，在同一坐标系下分别画出函数y＝ f(x)和 y ＝ 1x的图像，以下图．能够发现其图像有两个交点，所以方程f( x)＝ 122x有两个实数根．π β＋ cos β＝ b ，则 ()9．若 0≤ α<β≤ ， sin α＋ cos α＝ a ， sin4A ． a<bB ．a>bC ． ab<1D ． ab>2π π π 2，从而分析： 选 A 当 α＝ 0 时， a ＝ sin 0＋ cos 0＝ 1；当 β＝ 时， b ＝ sin＋ cos＝444b>a ，而 1<ab ＝ 2<2 ，所以清除 B 、 C 、 D 只有 A 正确．10．已知 f(x)＝1x 2＋sinπ＋x ，则 f ′ (x)的图像是 ()42ABC D1 2π1 21 21分析：选Af(x)＝ 4x＋ sin 2＋ x ＝ 4x ＋ cos x ，故 f ′ (x)＝ 4x ＋ cos x ′ ＝ 2x － sin x ，记 g(x)＝ f ′ (x) ，其定义域为1 1＝－ g(x)，所以R ，且 g(－ x)＝ (－ x)－ sin(－ x)＝－x － sin x 2 2g(x)为奇函数，所以清除B ， D 两项．π π π π π法一： 当 x ＝ 时， g2＝1× － sin＝ － 1<0，故清除 C.22 2241ππ法二： g ′ (x)＝ 2－ cos x ，明显当 x ∈ 0， 3 时， g ′ (x)<0，g(x)在 0， 3 上单一递减，故清除 C.11．设函数 y ＝ xsin x ＋ cos x 的图像上的点 (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若 k ＝ g(x 0)，则函数 k ＝ g(x 0)的图像大概为 ()ABCD分析：选A由题意可得 y ′ ＝ xcos x ，k ＝ g(x 0)＝ x 0cos x 0，因为它是奇函数，所以清除B ，C ；又在y 轴邻近g(x 0)为增函数，所以清除D.12．若函数f(x)＝2sinππ 6x ＋3(－2< x<10) 的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于 B 、 C 两点，则 (OB＋ OC ) ·＝ ( )OAA ．－ 32B ．－ 16C ． 16D ． 32分析：选 D由题意知， 点 A 为 (4,0) ，依据三角函数的图像， 知点 B 、C 对于点 A 对称，设 B(x 1， y 1 )，则－ 1，－ y 1 )， ( OB ＋OC )· ＝ 8×4＝ 32.C(8 xOA13．在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数2的图像交于 P 、Qf(x)＝ x两点，则线段 PQ 长度的最小值是 ( )A ． 1B ．2C ． 3D ． 4分析：选 D由题意知 P 、Q 两点对于原点 O 对称，不如设 P(m ，n)为第一象限内的点，则222 22 24m>0 ， n>0 ， n ＝ 2 ， 所 以 |PQ|＝ |2OP| ＝ 4|OP|＝ 4(m ＋ n ) ＝ 4 m ＋m2m≥ 16 当且仅当 m 2＝42，即 m ＝2时取等号 ，故线段 PQ 长度的最小值是4.m14．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为 S ，前 n 项的积为 P ，前 n 项倒数的和为 M ，则有 ()SSA ． P ＝MB ．P>M2＝ S n 2S nC ． P MD ．P > M分析：选 C取等比数列为常数列：1,1,1， , ，则 S ＝ n ， P ＝ 1， M ＝ n ，明显 P>S和M2S n不建立，应选项 B 和 D 清除，这时选项 A 和 C 都切合要求． 再取等比数列： 2,2,2，, ，P > M则 S ＝ 2n ，P ＝ 2n， M ＝n，这时有 P 2＝ S n，而 P ≠ S，所以选项 A 不正确．2 M M15． (2013 海·淀模拟 )若数列 { a n } 知足：存 在正整数 T ，对于随意正整数 n 都有 a n ＋T ＝ a n建立，则称数列 { a n } 为周期数列，周期为T.已知数列 { a n } 知足 a 1 ＝ m(m>0) ， a n ＋ 1 ＝a n － 1， a n >1，1， 0<a ≤ 1， 则以下结论中错误的选项是()a nnA ．若 m ＝ 4，则 a 5＝ 35B ．若 a 3＝ 2，则 m 能够取 3 个不一样的值C ．若 m ＝ 2，则数列 { a n } 是周期为3 的数列D ．存在 m ∈ Q 且 m ≥ 2，使得数列 { a n } 是周期数列分析：选 D对于 A ，当 a ＝ m ＝4时， a ＝5，a ＝ a － 1＝ 1，a ＝ 4，a＝3，所以选项1524324450<m ≤1，m>1，A 正确；对于B ，当 a 3＝ 2 时，若 a 2>1，则 a 3＝ a 2－ 1＝2，a 2＝ 3， m －1＝ 3 或1 ＝ 3， m由此解得 m ＝4 或 m ＝ 1；若 0<a ≤ 1，则 a ＝ 1＝ 2，a ＝ 1，m>1，0< m ≤ 1，1 或 1＝1，由323 a 222m －1＝ 2m 2此解得 m ＝ 3，所以 m 的可能值是 1， 3， 4，选项 B 正确；对于 C ，当 m ＝2时， a 1＝ 2，2 3 2a 2＝ 2－ 1， a 3＝ 2＋ 1，a 4＝ 2，a 5＝ 2－1，a 6＝ 2＋ 1，, ，此时数列 { a n } 是以 3 为周期的数列，所以选项C 正确．16．已知函数 f(x)＝ x － [x]，此中 [x]表示不超出实数x 的最大整数．若对于 x 的方程 f(x)＝ kx ＋ k 有三个不一样的实根，则实数 k 的取值范围是 ()11 1A. －1，－ 2 ∪ 4，311 1B.－1，－2 ∪ 4，3C. －1，－1 ∪ 1，1342D.－1，－ 1 ∪1，13 42分析：选Bf(x ＋ 1)＝ (x ＋ 1)－ [x ＋ 1]＝ (x ＋ 1)－ ([x]＋ 1)＝ x － [x]＝ f(x) ，即 f(x)是以 1 为周期的函数．当 0≤ x< 1 时， f(x)＝ x－ 0＝x，要使方程 f(x)＝ k(x＋ 1)有三个不一样的实根，则需函数 y＝ f(x)的图像与直线y＝ k(x＋ 1)(y＝ k(x＋ 1)是过点 (－ 1,0)，斜率为 k 的直线 )的图像有三个交点，以下图，知足题意的直线l 应位于直线 l1， l2之间，或位于直线 l3， l 4之间 (此中111包含直线 l 1，l4，不包含直线l 2，l3)，联合图像可知，实数 k 的取值范围是－1，－2∪4，3 .。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题一 第二讲 数学思想
[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x 2－log a x <0，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1 B.116≤a ＜1C ．a >1D ．0<a ≤116解析：选B 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.2．(2013·西城模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数g (x )＝f (x )－e x的零点即为函数f (x )与y ＝ex的图像交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－e x有两个零点．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 令x ＋1＝0，得x ＝－1，令log 2x ＝0，得x ＝1；令F (x )＝f (f (x ))＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2x ＋＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 22x ＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，即a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.5．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点)是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A ．2－ 3 B.3－1 C.22D.32解：选B 如图，易知|MF 2|＝c ，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a －c .在△F 1MF 2中，∵MF 1⊥MF 2，又|F 1F 2|＝2c ，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，即2a 2－2ac －c 2＝0.方程两边同除以－a 2得e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10，10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.二、填空题7．如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图像与函数y ＝k (x －2)＋4的图像有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋ (y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋ 4－x 2的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.答案：⎝⎛⎦⎥⎤512，348．已知1a ＋2b＝1(a >0，b >0)，当ab 取最小值时，方程2－2x ＝ b －bax |x |的实数解的个数是________．解析：1ab ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋2b 22＝18，当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，则方程1－x ＝2－x |x |，在同一坐标系作出y 1＝－(x －1)和y 2＝2－x |x |的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1. 答案：19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f (x )的图像，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④. 答案：①③④ 三、解答题10．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R)． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值． 解：(1)因为x |x －1|＋1＝x ， 所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a ，－x 2＋ax ＋1， x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a;②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0， 所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.11．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤0，g x ，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12.(1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解； (2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(1)所示，从图像可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解．图(1) 图(2)(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(2)所示，从图像看出方程F (x )＝a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题二 第二讲 填空题技
[填空题技法专练]1．(2013·海口模拟)在△ABC 中，若|AB |＝1，|AC |＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则|AC －AB |＝________.解析：依题意得|AB ＋AC |2＝|AC －AB |2，(AB ＋AC )2－(AC －AB )2＝4AC ·AB ＝0，AC ⊥AB ，|AC －AB |＝|BC |＝|AB |2＋|AC |2＝2.答案：22．已知函数f (x )＝(1＋tan x )cos 2x 的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数f (x )的值域为________．解析：f (x )＝(1＋tan x )cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1，所以f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋22. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋223．(2013·济南模拟)复数2i31－i 的虚部为________．解析：∵2i 31－i ＝－2i ＋i2＝1－i ，∴复数2i31－i 的虚部为－1.答案：－14．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 解析：由基本不等式得2x＋4y≥22x×4y＝22x ＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时取得最小值，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34.由于点P 与圆心C 之间的距离|PC |＝2，故切线长＝|PC |2－R 2＝2－12＝62. 答案：625．如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱．已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为________．解析：设棱柱高为2x (0<x <3)，则底面积S ＝6×34×(9－x 2)2，则V ＝Sh ＝6×34(9－x 2)2×2x ＝33(9－x 2)x ＝－33x 3＋273x ，令V ′＝－93x 2＋273＝0，解得x ＝±3，则V max ＝V (3)＝－33×33＋273×3＝54.答案：546．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点F 到一条渐近线的距离为32|OF |，点O 为坐标原点，则此双曲线的离心率为________．解析：由题意知一焦点F (c,0)到直线y ＝bax 的距离为32c ，即bc a 2＋b2＝b ＝32c ，整理得b 2＝c 2－a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫32c 2，解得e ＝c a ＝2.答案：27．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A BCD 的外接球的体积为________． 解析：设AB 、AC 、AD 的长分别为x 、y 、z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，解得x ＝2，y ＝1，z ＝3，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外接球，这个球的半径等于121＋2＋3＝62，故这个球的体积是43π⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.答案：6π8．若锐角α，β，γ满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为________．解析：如图，构造长方体ABCD A 1B 1C 1D 1.设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，∠C 1AB ＝α，∠C 1AD ＝β，∠C 1AA 1＝γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.从而有tan α·tan β·tan γ＝b 2＋c 2a ·a 2＋c 2b ·a 2＋b 2c≥2bc ·2ac ·2ababc＝2 2.当且仅当a ＝b ＝c 时，tan α·tan β·tan γ有最小值2 2. 答案：2 29．(2013·朝阳区统考)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由条件可知，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±3310．若直线x ＝my －1与圆C ：x 2＋y 2＋mx ＋ny ＋p ＝0交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于直线y ＝x 对称，则实数p 的取值范围为________．解析：依题意，直线x ＝my －1与直线y ＝x 垂直，则m ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，y ＝x ，得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋ny ＋p ＝0，得2x 2＋(1－n )x ＋p －n ＋1＝0，则x 1＋x 2＝－1－n 2＝－12×2＝－1，即n ＝－1.从而有2x 2＋2x＋p ＋2＝0，令Δ＝4－8(p ＋2)>0，得p <－32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32 11．(2013·南昌模拟)下列命题中真命题的序号是________(填上所有正确的序号)． ①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R)； ②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<θ≤π；③A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，若AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 一定是锐角三角形；④向量AB ，AC ，BC 满足|AB |＝|AC |＋|BC |，则AC 与BC 同向； ⑤若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .解析：①错误，若b ＝0，a ≠0结论不成立；②正确，因为|a －b |2＝2－2cos θ>1，即cos θ<12，解得π3<θ≤π；③正确，由已知可得四面体三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则底面BCD 易由三垂线定理证明三条高均在三角形内部，即三角形BCD 为锐角三角形；④错误，应共线且反向；⑤错误，当向量b ＝0时结论不成立，因为零向量的方向是任意的，综上可知，命题②③为真命题．答案：②③12.如图，在三棱锥O ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：令OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2，分别取BC ，CA ，AB 边的中点D ，E ，F ，则△OAD ，△OBE ，△OCF 分别是满足条件的截面三角形，且它们均为直角三角形，所以S 1＝12×6×202＝45，S 2＝12×4×402＝40， S 3＝12×2×522＝13，满足S 3<S 2<S 1. 答案：S 3<S 2<S 113．定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．解析：如图所示，线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，解得sin x ＝23，即线段P 1P 2的长为23.答案：2314．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33.所以a n n＝33n＋n －1，设f (x )＝33x＋x －1(x >0)，令f ′(x )＝－33x2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f (x )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.答案：21215．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )＝f (2－x )，在区间[1,2]上是单调递减函数．关于函数f (x )有下列结论：①图像关于直线x ＝1对称； ②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数； ④在区间[－1,0]上是增函数．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：由f (x )＝f (2－x )可知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故结论①正确；因为函数f (x )为奇函数，其图像关于坐标原点对称，图像又关于直线x ＝1对称，故函数f (x )必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故结论②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f (x )在区间[1,2]上是单调递减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是单调递减函数，故结论③正确；因为函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，在区间[1,2]上是单调递减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数f (x )在区间[0,1]上是单调递增函数，又由奇函数的性质可得，函数f (x )在区间[－1,0]上是单调递增函数，故结论④正确．答案：①③④16．(2013·大连模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )︱(x －3)2＋y －2＝45，B ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}，若A ∩B ≠∅，则实数λ的取值范围是________．解析：由题可知，集合A 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝45上点的集合，集合B 表示曲线2|x －3|＋|y －4|＝λ上点的集合，此两集合所表示的曲线中心都在(3,4)处，集合A 表示圆，集合B 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，2。
创新方案(浙江专版)高考数学二轮专题突破(预测演练+提能训
创新方案（浙江专版）高考数学二轮专题突破（预测演练+提能训《创新方案》2021届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题六第3讲概率与统计选择、填空题型（以2021年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2021·湖南高考)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A．抽签法 C．系统抽样法B．随机数法 D．分层抽样法解析：选D 由于被抽取的个体具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．2．(2021·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )2A. 33C. 52B. 5D.9 10解析：选D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－19＝. 03．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为()A．120 C．15 解析：选DB．80 D．150根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4601222＝450，所以该组数据的方差为×(0＋20＋1088＋10＋0＋10＋20＋10)＝150.4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题二 第一讲 选择题技
[选择题技法专练]1．(2013·成都模拟)对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c解析：选B 当a ·b ＝0时，a 与b 也可能垂直，故选项A 是假命题； 当a 2＝b 2时，|a |＝|b |，故选项C 是假命题；当a ·b ＝a ·c 时，b 与c 也可能垂直，故选项D 是假命题． 2．(2013·重庆高考)－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3D.322解析：选B 法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 法二：－aa ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．3．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：选B 因为m ⊂α，l 1⊂β，若α∥β，则有m ∥β且l 1∥α，故α∥β的一个必要条件是m ∥β且l 1∥α，排除A ；因为m ，n ⊂α，l 1，l 2⊂β且l 1与l 2相交，若m ∥l 1且n ∥l 2，则m 与n 也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m 与直线l 1可能为异面直线，故α∥β的一个充分不必要条件是m ∥l 1且n ∥l 2.4．已知0<a <1,0<x ≤y <1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围是( ) A ．(0，a 2]B ．(0，a ]C.⎝⎛⎦⎥⎤0，1a D.⎝⎛⎦⎥⎤0，1a2解析：选 A ∵0<a <1,0<x ≤y <1，∴xy >0，log a x >0，log a y >0，∴log a xy ＝log a x ＋log a y ≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＝log a y ，log a x ·log a y ＝1，即x ＝y ＝a 时取等号，∴0<xy ≤a 2.5．(2013·深圳模拟)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0解析：选D 对于A ，构造幂函数y ＝x 3，其在R 上为单调递增函数，因为0<a <b <1，根据其单调性可知a 3<b 3，故A 错误；对于B ，1a －1b ＝b －a ab，因为0<a <b <1，所以ab >0，b －a >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b，故B 错误；对于C ，构造指数函数y ＝a x ，因为0<a <b <1，所以a b <1，故C 错误；对于D ，构造对数函数y ＝lg x ，因为0<a <b <1，所以0<b －a <1，故lg(b－a )<0，故D 正确．6．函数f (x )＝|sin x －cos x |＋sin x ＋cos x (x ∈R)的最小值为( ) A ．0 B ．－22C ．－ 2D ．－2解析：选C 依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥cos x ，2cos x ，sin x <cos x ，根据函数解析式，作出一个周期内的函数图像观察即可得到函数f (x )的最小值为－ 2.7．(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解析：选D 取特殊值进行判断．当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故B 错；当x ＝1.1，y ＝1.9时，[x ＋y ]＝3，[x ]＋[y ]＝2，故C 错．8．函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 方程f (x )·2x＝1可化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像，如图所示．可以发现其图像有两个交点，因此方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个实数根．9．若0≤α<β≤π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2解析：选A 当α＝0时，a ＝sin 0＋cos 0＝1；当β＝π4时，b ＝sin π4＋cos π4＝2，从而b >a ，而1<ab ＝2<2，所以排除B 、C 、D 只有A 正确．10．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，则f ′(x )的图像是( )解析：选A f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋cos x ′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ， D 两项．法一：当x ＝π2时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12×π2－sin π2＝π4－1<0，故排除C.法二：g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，g ′(x )<0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，故排除C.11．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图像上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图像大致为( )解析：选A 由题意可得y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0，由于它是奇函数，所以排除B ，C ；又在y 轴附近g (x 0)为增函数，所以排除D.12．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数的图像交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32解析：选D 由题意知，点A 为(4,0)，根据三角函数的图像，知点B 、C 关于点A 对称，设B (x 1，y 1)，则C (8－x 1，－y 1)，(OB ＋OC )·OA ＝8×4＝32.13．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图像交于P 、Q两点，则线段PQ 长度的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由题意知P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限内的点，则m >0，n >0，n ＝2m，所以|PQ |2＝|2OP |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16(当且仅当m 2＝4m2，即m ＝2时取等号)，故线段PQ 长度的最小值是4.14．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n D ．P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n解析：选C 取等比数列为常数列： 1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n ，而P ≠S M ，所以选项A 不正确． 15．(2013·海淀模拟)若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n ＋T ＝a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T .已知数列{a n }满足a 1＝m (m >0)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －1，a n >1，1a n，0<a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A ．若m ＝45，则a 5＝3B ．若a 3＝2，则m 可以取3个不同的值C ．若m ＝2，则数列{a n }是周期为3的数列D ．存在m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列解析：选D 对于A ，当a 1＝m ＝45时，a 2＝54，a 3＝a 2－1＝14，a 4＝4，a 5＝3，因此选项A正确；对于B ，当a 3＝2时，若a 2>1，则a 3＝a 2－1＝2，a 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m －1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1，1m＝3，由此解得m ＝4或m ＝13；若0<a 2≤1，则a 3＝1a 2＝2，a 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m －1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1，1m ＝12，由此解得m ＝32，因此m的可能值是13，32，4，选项B 正确；对于C ，当m ＝2时，a 1＝2，a 2＝2－1，a 3＝2＋1，a 4＝2，a 5＝2－1，a 6＝2＋1，…，此时数列{a n }是以3为周期的数列，因此选项C 正确．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 解析：选C 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图像，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图像有三个交点即可，如图只需－14<m <0.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题一 第三讲 数学思想
[数学思想专练(三)]一、选择题1．(2013·南昌模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 是( )A ．－332B.332 C ．－342D.342解析：选C 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又依题意S 3＋S 6＝2S 9，即a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2·a 1－q 91－q，化简得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)·(q 3－1)＝0，因为q ≠1，所以q 3－1≠0，则2q 3＋1＝0，解得q ＝－342. 2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A f (1)＝21＝2，由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2. 若a >0，则f (a )＝2a，因为2a>20＝1，所以f (a )＝－2无解；若a ≤0，则f (a )＝a ＋1，由f (a )＝－2，即a ＋1＝－2，解得a ＝－3，显然满足a ≤0. 综上所述，a ＝－3.3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833 B ．4 3 C.239D ．43或833解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.4．a 、b 、c 、d 是空间的四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ， a ⊥d ，b ⊥d ，那么( ) A ．a ∥b 或c ∥dB ．a 、b 、c 、d 中任何两条直线都不平行C ．a ∥b 且c ∥dD ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线平行解析：选A (1)若a 、b 相交，必须确定一个平面α，由题设知c ⊥α，d ⊥α，则c ∥d ；(2)若a ∥b ，则满足题设条件的直线c 、d 的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面；(3)若a 、b 异面，由c ⊥a ，c ⊥b ，得c 平行或重合于a 、b 的公垂线，同理d 也平行或重合于a 、b 的公垂线，于是c ∥d .综上所述，a ∥b 或c ∥d 必有一个成立．5．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为( )A ．－112，0B.112，0C.112，－112D.14，－112解析：选A A ＝{－4,3}．当k ＝0时， B ＝∅，符合要求；当k ≠0时，x ＝－1k.由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，所以－1k ＝－4或－1k＝3，所以k ＝14或k ＝－13，所以实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 －112，0. 6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)解析：选C 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的范围是{a |－2<a ≤2}． 二、填空题7．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n2；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，a ＋b2＝6⇒a ＋b ＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a ，b )有2×5＋1＝11个．(2)当a ，b 为一奇一偶时，ab ＝6⇒ab ＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a ，b )有2×3＝6个．综上所述，集合A 中的元素共有17个． 答案：178．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前20项的和为________．解析：当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，故奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于1×10＋10×92＝55；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ，故偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为－2101－2＝211－2＝2 046.所以，数列{a n }的前20项之和为55＋2 046＝2 101. 答案：2 1019．若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________． 解析：当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10＝lg x ＋1lg x≥2lg x ·1lg x ＝2；当0<x <1时，y ＝lg x ＋log x 10＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2－lg x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ＝－2. 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ax 3－32(a ＋2)x 2＋6x －3.(1)当a >2时，求函数f (x )的极小值；(2)试讨论函数y ＝f (x )的图像与x 轴公共点的个数．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x －1)，∴易求得函数f (x )的极小值为f (1)＝－a2.(2)①a ＝0，则f (x )＝－3(x －1)2， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；②若a <0，则f (x )的极大值为f (1)＝－a 2>0，f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <0，∴f (x )的图像与x 轴有3个交点；③若0<a <2，则f (x )的极大值为f (1)＝－a 2<0，f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <0， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点， ④若a ＝2，则f ′(x )＝6(x －1)2≥0， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；⑤若a >2，由(1)知f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －342－34<0，f (x )的极小值为f (1)＝－a2<0，∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；综上知，若a ≥0，则f (x )的图像与x 轴只有1个交点；若a <0，则f (x )的图像与x 轴有3个交点．11．(2013·东莞模拟)已知椭圆C 的中心为原点O ，点F (1,0)是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，OA ·OB ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P 为椭圆的上顶点，且存在实数t 使PA ＋PB ＝t PF 成立，求实数t 的值和直线l 的方程．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a 2－b 2＝1. ①∵当l 垂直于x 轴时，A ，B 两点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ， ∴OA ·OB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ＝1－b 4a 2，则1－b 4a 2＝12，即a 2＝2b 4. ②由①②消去a 得2b 4－b 2－1＝0. ∴b 2＝1或b 2＝－12(舍去)．当b 2＝1时，a 2＝2，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线斜率不存在时，易求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22，P (0,1)，所以PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22－1，PB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22－1，PF ＝(1，－1)， 由t 使PA ＋PB ＝t PF ，得t ＝2，直线l 的方程为x ＝1， 当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以PA ＝(x 1，y 1－1)，PB ＝(x 2，y 2－1)，PF ＝(1，－1)， 由PA ＋PB ＝t PF，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝t ，y 1－1＋y 2－1＝－t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝t ，y 1＋y 2＝2－t .因为y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，解得k ＝－1， 此时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，得3x 2－4x ＝0，t ＝x 1＋x 2＝43，所以，当直线斜率存在时，t ＝43，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，综上所述，存在实数t 且t ＝2时，直线方程为x ＝1； 当t ＝43时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1.。
创新设计(浙江专用)2017届高考数学二轮复习 考前增分指导一 技巧——巧解客观题的10大妙招(二)填空题的
填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知 识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出 求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的 区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但 同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言 中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方 法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写 型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项 的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定 性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数 学对象的某种性质，如命题真假的判断等.
方法五 综合分析法 对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用
所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.
【例5】 已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1) ＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题： ①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期 是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点； ④函数f(x)的值域为(－1，1).其中正确的命题序号有________.
(2)随机变量 ξ 的取值为 0，1，2.若 P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1， 则 D(ξ)＝________.
解析 (1)∵tanθ＋π4 ＝12，∴tan θ＝－13，
即3sisnin2θθ＋＝co－s2θcos＝θ1，，又 θ 为第二象限角，解得 sin θ＝ 1100，
cos
θ＝－3 1010.∴sin
θ＋cos
θ＝－
10 5.
(2)由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下
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[填空题技法专练]1．(2013·海口模拟)在△ABC 中，若|AB |＝1，|AC |＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则|AC －AB |＝________.解析：依题意得|AB ＋AC |2＝|AC －AB |2，(AB ＋AC )2－(AC －AB )2＝4AC ·AB ＝0，AC ⊥AB ，|AC －AB |＝|BC |＝|AB |2＋|AC |2＝2.答案：22．已知函数f (x )＝(1＋tan x )cos 2x 的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数f (x )的值域为________．解析：f (x )＝(1＋tan x )cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1，所以f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋22. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋223．(2013·济南模拟)复数2i31－i 的虚部为________．解析：∵2i 31－i＝－＋2＝1－i ，∴复数2i31－i 的虚部为－1.答案：－14．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 解析：由基本不等式得2x＋4y≥22x×4y＝22x ＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时取得最小值，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34.由于点P 与圆心C 之间的距离|PC |＝2，故切线长＝|PC |2－R 2＝2－12＝62. 答案：625．如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱．已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为________．解析：设棱柱高为2x (0<x <3)，则底面积S ＝6×34×(9－x 2)2，则V ＝Sh ＝6×34(9－x 2)2×2x ＝33(9－x 2)x ＝－33x 3＋273x ，令V ′＝－93x 2＋273＝0，解得x ＝±3，则V max ＝V (3)＝－33×33＋273×3＝54.答案：546．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点F 到一条渐近线的距离为32|OF |，点O 为坐标原点，则此双曲线的离心率为________．解析：由题意知一焦点F (c,0)到直线y ＝bax 的距离为32c ，即bc a 2＋b2＝b ＝32c ，整理得b 2＝c 2－a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫32c 2，解得e ＝c a ＝2.答案：27．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A BCD 的外接球的体积为________． 解析：设AB 、AC 、AD 的长分别为x 、y 、z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，解得x ＝2，y ＝1，z ＝3，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外接球，这个球的半径等于121＋2＋3＝62，故这个球的体积是43π⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.答案：6π8．若锐角α，β，γ满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为________．解析：如图，构造长方体ABCD A 1B 1C 1D 1.设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，∠C 1AB ＝α，∠C 1AD ＝β，∠C 1AA 1＝γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.从而有tan α·tan β·tan γ＝b 2＋c 2a ·a 2＋c 2b ·a 2＋b 2c≥2bc ·2ac ·2ababc＝2 2.当且仅当a ＝b ＝c 时，tan α·tan β·tan γ有最小值2 2. 答案：2 29．(2013·朝阳区统考)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由条件可知，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解之得m ＝±33. 答案：±3310．若直线x ＝my －1与圆C ：x 2＋y 2＋mx ＋ny ＋p ＝0交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于直线y ＝x 对称，则实数p 的取值范围为________．解析：依题意，直线x ＝my －1与直线y ＝x 垂直，则m ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，y ＝x ，得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋ny ＋p ＝0，得2x 2＋(1－n )x ＋p －n ＋1＝0，则x 1＋x 2＝－1－n 2＝－12×2＝－1，即n ＝－1.从而有2x 2＋2x＋p ＋2＝0，令Δ＝4－8(p ＋2)>0，得p <－32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32 11．(2013·南昌模拟)下列命题中真命题的序号是________(填上所有正确的序号)． ①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R)； ②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<θ≤π；③A ， B ，C ，D 是空间不共面的四点，若AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 一定是锐角三角形；④向量AB ，AC ，BC 满足|AB |＝|AC |＋|BC |，则AC 与BC 同向； ⑤若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .解析：①错误，若b ＝0，a ≠0结论不成立；②正确，因为|a －b |2＝2－2cos θ>1，即cos θ<12，解得π3<θ≤π；③正确，由已知可得四面体三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则底面BCD 易由三垂线定理证明三条高均在三角形内部，即三角形BCD 为锐角三角形；④错误，应共线且反向；⑤错误，当向量b ＝0时结论不成立，因为零向量的方向是任意的，综上可知，命题②③为真命题．答案：②③12.如图，在三棱锥O ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：令OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2，分别取BC ，CA ，AB 边的中点D ，E ，F ，则△OAD ，△OBE ，△OCF 分别是满足条件的截面三角形，且它们均为直角三角形，所以S 1＝12×6×202＝45，S 2＝12×4×402＝40， S 3＝12×2×522＝13，满足S 3<S 2<S 1. 答案：S 3<S 2<S 113．定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．解析：如图所示，线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，解得sin x ＝23，即线段P 1P 2的长为23.答案：2314．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33.所以a n n＝33n＋n －1，设f (x )＝33x＋x －1(x >0)，令f ′ (x )＝－33x2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f (x )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.答案：21215．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )＝f (2－x )，在区间[1,2]上是单调递减函数．关于函数f (x )有下列结论：①图像关于直线x ＝1对称； ②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数； ④在区间[－1,0]上是增函数．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：由f (x )＝f (2－x )可知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故结论①正确；因为函数f (x )为奇函数，其图像关于坐标原点对称，图像又关于直线x ＝1对称，故函数f (x )必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故结论②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f (x )在区间[1,2]上是单调递减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是单调递减函数，故结论③正确；因为函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，在区间[1,2]上是单调递减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数f (x )在区间[0,1]上是单调递增函数，又由奇函数的性质可得，函数f (x )在区间[－1,0]上是单调递增函数，故结论④正确．答案：①③④16．(2013·深圳模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设AP ＝αAD ＋βAB (α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AP ＝(x ，y )＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，故有3β＝x ，y ＝α，因此z ＝β＋α＝x3＋y ，又由题意圆C 的圆心坐标为(1,1)，且直线BD 的方程为x ＋3y －3＝0，则圆心到直线的距离即为半径R ＝1010，因此圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝110，当直线z ＝x 3＋y 与圆相切时，可得z ＝1或z ＝53，又因点P 在圆的内部，故z ＝β＋α＝x 3＋y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53。