三精考点之高中数学一轮复习最基础考点系列：考点4-9 三角函数的化简求值含解析精品

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2019北师大版高考第一轮复习——三角函数的求值、化简、证明(理)(讲义)

高考第一轮复习——三角函数的求值、化简、证明一、学习目标：1. 理解任意角的三角函数定义，及三角函数线定义。

理解同角三角函数的基本关系（平方关系、倒数关系、商的关系）2. 掌握弧度制与角度制的转换及弧度制下的扇形面积、弧长公式。

3. 掌握三角函数的诱导公式、和差角、倍半角、和差化积、积化和差等公式（半角公式及和差化积、积化和差公式不要求记忆）及其简单的三角恒等变换（求值、化简、证明）二、重点、难点：重点：三角函数的求值、化简、证明。

难点：诱导公式、和差角、倍半角公式的应用。

知识要点解析：（一）任意角与弧度制1. 角的概念推广：正角、负角、零角。

（按角的始边的旋转方向分）（1（2）轴线角：角的终边在坐标轴上的角叫轴线角角的终边在x 轴上的角的集合：}Z k ,k x |x {S ∈π==角的终边在y 轴上的角的集合：}Z k ,2k x |x {S ∈π+π== 角的终边在坐标轴上的角的集合：}Z k ,k 21x |x {S ∈π== （3）终边相同的角的集合：所有与角α有相同终边的角的集合表示为： },2|{z k k S ∈+==απββ 2. 弧度制：（1）角度制与弧度制的转换：角度化弧度：rad 01745.0rad 1801≈π=︒ 弧度化角度：'185730.57)180(rad 1︒≈︒≈︒π= （2）弧长与扇形面积公式：2||2121,||r lr S r l αα===，（α为扇形圆心角，r 为扇形半径）（二）任意角的三角函数定义、诱导公式（1）任意角三角函数定义：设α是任意角，角的终边与单位圆交于P （u ，v ）则：αααtan ,sin ,cos ===uvv u注：（i ）若点P （x ，y ）是角α的终边上一点，则2222cos ,sin yx x yx y +=+=αα)0(,tan ≠=x xyα （ii ）角α在第一、二象限时，0sin >α，角α在第一、四象限时，0cos >α 角α在第一、三象限时，0tan >α（2）诱导公式：掌握απ±，α-，απαπαπ±±±23,2,2k 的诱导公式。

高中数学专题：三角函数的化简与求值

2＋3，
则常数 a＝________.
解析
1＋2cos2x－1 f(x)＝ 2cos x ＋sin
x＋a2sinx＋π4
＝cos x＋sin x＋a2sinx＋π4
＝ 2sinx＋4π＋a2sinx＋π4 ＝( 2＋a2)sinx＋4π. 依题意有 2＋a2＝ 2＋3， ∴a＝± 3.
答案 ± 3
α
＝2
2sin
α＝－2
5
5 .
答案 A
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.已知f(x)＝sin2
x＋4π，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg
1 5
)，则(
)
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝1
解析 a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋4π)
1－cos2lg
2 .
又∵cosπ4－β2＝ 33，－2π<β<0， ∴sinπ4－β2＝ 36，
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∴cosα＋2β＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2 ＝13× 33＋232× 36＝593. 答案 C
＝－41＋34＋1＝23.
点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．
变式训练2 (1)(四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α

（精心整理）高中数学三角函数专题（重要知识点和经典方法大合集）

1 专题复习——三角函数（一）知识梳理1、角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad p p ì=»ïïíæöï=»ç÷ïèøî2、扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n Rl n n R a a a p p ì=ìíï=ïïîïíì=ïïïïíïïïïîî①弧长弧度制为弧度为弧度))②扇形面积②扇形面积S S ①弧长角度制为角度为角度))②扇形面积②扇形面积SS 3、同角三角函数恒等式2222222sin 1cos sin cos 1cos 1sin (sin tan cos 1cos 1tan (tan sin 1tan a a a a a a a a a a a a a aa a ìì=±-ïïïï+=Þ=±-íïïï±ïîïïï=íïïì=±ïï+ïï±íïïï=±ïï+îî①其中其中““”由所在象限确定）②③推论其中其中““”由所在象限确定）4、诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k a p a p a a a p a p a a a p a p a a a a p a a a a p a aa a p a a +=+=-ììïï+=+=-ííïï+=+=îî-=--=ììïï-=-=-ííïï-=-=-îî公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22p p a a a a p p a a a a p p a a a a p pa a a aìïïïïïïïïììí-=+=ïïïïïïííïïï-=+=-ïïïîîïììï-=-+=-ïïïííïïïï-=-+=ïïîîî公式六推论推论11推论推论225、差（和）角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tana b a b a ba b a b a ba b a b a ba b a b a ba ba ba ba ba ba bì-=+ï+=-ïï-=-ïï+=+í-ï-=ï+ï++=ï-î余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tana a a a a aa a aaa a aaa a aaaaìï=Þ=ïï=-ï-ï=-Þ=íï+ï=-Þ=ïïï=ï-î7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c Cì===Dïï===ïïï===íïï=ïï===ïî①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A A bca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cabì+-=+-Þ=ïï+-ï=+-Þ=íïï+-=+-Þ=ïî9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc Aì=ïïï=++Díïï==ïî为底，为底，h h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tw j pw j wpw jw ì=++ï=++ïíï=++ïî最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxp pp pp pp pp pp pp p-ìéù-+Îïêúïëûíéùï+Îêúïëûîì+Î=ïíï+Î=-ïîÎ¹=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为周期性：周期为22且0),0),最小正周期为最小正周期为最小正周期为22.奇偶性：,; (6)2.Rx k k Zk k Zp ppìïïïïïïïïïíïïïïïïïì+ÎïïíïïÎïîî为上的奇函数上的奇函数..①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kp p pp p ppp pp pp-ì-Îïí+ÎïîÎ=ìí+Î=-îÎ¹=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为周期性：周期为22且0),0),最小正周期为最小正周期为最小正周期为22.奇偶性：为上的偶函数上的偶函数..①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2Zk k ZppìïïïïïïïíïïïïÎìïïïíÎïïîî②为中心对称图形，对称中心为（,0),13、正切函数y=tanx 1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan (5),0),.2x x k k Z Rk k k Z k k Z k x k k Z p p p p p p p p p ììü¹+Îíýîþïï+ÎïïïÎ¹íï=ïïìïïíïÎïïîî（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数为奇函数..①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为②是中心对称图形，对称中心为((14、简谐运动sin()y A x w j =+[)2=1(0,0,0,)2x A x T p www pw j j ìïïïï=>>Î+¥íïïïïïî①振幅：①振幅：A A②周期：②周期：T T ③频率：③频率：f=f=其中④相位：x+⑤初相：=0=0时的相位时的相位2222sin cos sin()(tan )0)sin cos cos()(tan )b a x b x a b x aa a a xb x a b x b w w w j j w w w j j ì+=++=ïïí>ï+=+-=ïî①其中1515、三角恒等变换之辅助角公式、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下：证明： asinx w+bcosx w=22a b+(22a a b+sinx w+22b a b+cosx w ),① 令22aa b +=cosj,22ba b +=sinj ,则asin x w +bcos x w=22a b +(sin x w cos j +cos x w sin j ) =22a b+sin(x w +j ) (其中tan j =b a)② 令22a ab +=sin j ,22b a b +=cos j,则asinx w +bcos x w =22a b+(sin x w sin j +cos x w cos j ) =22a b+cos(x w -j ),(其中tan j =a b) 注：其中j的大小可以由sinj 、cosj的符号确定j的象限,再由tanj的值求出；或由tanj =ba和(a,b)所在的象限来确定. 例：化简3sin 2cos 2y x x =+. 法一：逆用差（和）角公式313sin 2cos 22(sin 2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)22666y x x x x x x x p p p =+=+=+=+法二：应用辅助角公式3sin 2cos 22sin(2)6y x x x p=+=+ (其中13tan 363p j j ==Þ=)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用例1: 在△ABC 中，C ＝2B ，AB AC ＝43.(1)求cos B ；(2)若BC ＝3，求S △ABC .解：(1)由C ＝2B 和正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B ＝AB 2AC ＝23(2)设AC ＝3x ，则AB ＝4x . 由余弦定理得(3x )2＝(4x )2＋32－2×2×44x ×3cos B ，即9x 2＝`16x 2＋9－16x ∴7x 2－16x ＋9＝0 解得x ＝1或x ＝97当x ＝1时，AC ＝3，AB ＝4 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×4×4×3×3×53＝2 5.当x ＝97时，AC ＝277，AB ＝367 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C由正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A12cos cos 2bc A bc A \-=Þ=- 又0A p << 23A p\=. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1 \sin B ＝sin C ＝12又0,022B C p p <<<< \B ＝C \△ABC 是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：22sin cos sin()(tan )ba xb x a b x aw w w j j +=++=其中例3：已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+，x R Î（1）求f(x)的最小正周期及最大值；（2）求函数f(x)的单调递增区间；（3）若0,2x p éùÎêúëû，求函数f(x)的值域 .解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++2sin(2)14x p=++（1） f(x)的最小正周期为22T p p ==，最大值为max ()21f x =+. （2）由222,242k x k k Z p p p p p -+£+£+Î得3,88k x k k p p p p p -+££+Î \函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z p pp p éù-++Îêúëû（3）02x p ££ 52444x p p p\£+£2sin(2)124x p \-£+£ 02s i n (2)1214x p \£++£+即0()21f x ££+ \函数f(x)的值域为0,21éù+ëû即时训练：已知函数22(sin cos )23cos 3y x x x =++-，x R Î（1）求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间；（2）当02x p<<时，求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大. 【方法点评】方法一切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步利用同角三角函数的基本关系sin tan cos qq q=，将题设中的切化成弦的形式；第二步第二步计算出正弦与余弦之间的关系；计算出正弦与余弦之间的关系；第三步第三步结合三角恒等变换可得所求结果. 例1已知1tan()2p a +=，则sin cos 2sin cos a aa a-+=（） A ．41 B ．21 C ．41- D ．21-【答案】C 【解析】试题分析：21tan =a ，将原式上下同时除以a cos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-a a aa a a ，故选C. 考点：同角三角函数基本关系学*科网【变式演练1】已知2)tan(-=-a p ，则=+aa 2cos 2cos 1（）A ．3 B. 52 C.25- D.3-【答案】C 【解析】考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式. 方法二统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步解题模板：第一步观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步第二步利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步利用三角恒等变换即可得出所求结果. 例2已知,31tan ,71tan ==b a 则=+)2tan(b a【答案】1 【解析】试题分析：212t a n ta n,t an31tanb b b b===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174ab a b a b++\+===--´考点：两角和的正切公式. 方法三公式活用例3 下列式子结果为3的是（） ①tan25tan353tan25tan35°+°+°°； ②()2sin35cos25cos35cos65°°+°°；③1tan151tan15+°-°；④2tan61tan 6p p -. A. ①②①②B. ③C. ①②③①②③D. ②③④②③④ 【答案】C 【高考再现】1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A． B． C．D．【答案】B 【解析】分析：由公式可得. 详解：，故答案为B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4a = ，则2cos 2sin 2a a +=（）(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4a =，得34sin ,cos 55a a ==或34sin ,cos 55a a =-=-，所以2161264cos 2sin 24252525a a +=+´=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 4.【2017山东，文4】已知3cos 4x=,则cos2x =A.14-B.14C.18-D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6. 【2015高考福建，文6】若5sin 13a =-，且a 为第四象限角，则tan a 的值等于（的值等于（） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin a 、cosa、tan a三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角a的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．6.（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】. 【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得. 详解：，解方程得.学科*网点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确. 7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若72sin 410Ap æö+=ç÷èø， ,4A p p æöÎç÷èø，则sin A 的值为（）A ． 35B ． 45C ． 35或45D ． 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A p p p p p æöæöÎ\+Îç÷ç÷èøèø，所以cos 04A p æö+<ç÷èø，且22cos 1sin 4410A A p p æöæö+=--+=-ç÷ç÷èøèø，所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A AA A p p p p p p éùæöæöæö=+-=+-+=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû，选B. 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将sin A 拆成sin 44A p p éùæö+-ç÷êúèøëû. 2．【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3a =，则sin21cos2aa=+（）A ． 3-B ． 13- C ．13D ． 3【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos a a a a a a===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】0000sin65sin35cos30cos35-=（） A ． 32-B ． 12-C ． 12D ． 32【答案】C 【解析】由题得()0000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===，故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设()0,90a Î°°，若()3s i n 7525a °+=-，则()()sin 15sin 75a a °+×°-= ( ) A ．110 B ． 220 C ． 110- D ． 220-【答案】B 【解析】()()sin 75cos 15a a -=+，所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022a a a ++=+而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522a a a a éùéù+=+-=+-+ëûëû，()75275,255a +Î ，又因为()sin 7520a +<，所以()752180,255a +Î，可求得()4cos 7525a +=- ，那么()()()22342sin 302sin 752cos 752225510a a a éùæöæöéù+=+-+=---=ç÷ç÷êúëûèøèøëû，那么()12sin 302220a +=，故选B. 5．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5a =， 3,22p a p æöÎç÷èø，则cos 3pa æö-=ç÷èø__________．【答案】34310-【解析】∵3cos 5a =， 3,22p a p æöÎç÷èø∴4sin 5a =-∴3143343cos cos cos sin sin 333525210p p pa a a -æöæö-=+=´+-´=ç÷ç÷èøèø 故答案为34310-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识点总结

千里之行，始于足下。

2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识点总结2024届全国新高考数学考试中，三角函数是一个重要的知识点。

以下是三角函数的主要内容和考点总结：1. 基本概念：- 弧度与角度的转换：1弧度=180°/π，1度=π/180弧度。

- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义与关系。

2. 三角函数的图像与性质：- 正弦函数和余弦函数的图像特点：周期为2π，在x轴上的零点为kπ，振幅为1。

- 正切函数的图像特点：周期为π，在x轴上的零点为kπ，无振幅。

- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数、正切函数是奇函数。

- 三角函数的周期性：正弦、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

3. 三角函数的性质与关系：- 三角函数的基本关系：tanx=sinx/cosx，cotx=1/tanx，secx=1/cosx，cscx=1/sinx。

- 三角函数的倒数关系：sinx=1/cscx，cosx=1/secx，tanx=1/cotx。

- 三角函数的平方关系：sin^2x+cos^2x=1，1+tan^2x=sec^2x，1+cot^2x=csc^2x。

4. 三角函数的性质与特殊值：- 正弦函数和余弦函数的取值范围：-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 正切函数和余切函数的取值范围：tanx属于R，cotx属于R。

- 三角函数的特殊值：sin0=0，cos0=1，sin90°=1，cos90°=0，tan45°=1，cot45°=1。

5. 三角函数的解析式与性质：- sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny。

- cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny。

- tan(x±y)=(tanx±tany)/(1∓tanxtany)。

高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。

其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。

两倍角的正弦、余弦、正切。

、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。

要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。

了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。

由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。

2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。

每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。

总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。

（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。

根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。

如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。

（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。

如 2002 年（ 15 ）题。

（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。

一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。

如 2001 年（ 7 ）题。

（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。

（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。

考点15 三角函数式的化简与求值(答案)

，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ）正弦、余弦和（差）与积的互化，即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．

高中一年级三角函数知识点整理

三角函数一．求值与化简1.基本概念与公式（正用、逆用）例1．已知锐角α终边上一点的坐标为()2323sin ,cos ,-求角α=（）（A ）3 （B ）3- （C ）32π- （D ）32-π例2．sin50(1)︒⋅︒．例3．化简：︒⋅︒⋅︒80cos 40cos 20cos .例4．化简：117sin sinsin 242412πππ 例5．化简：1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos +θ-θ+θ+θ++θ+θ+θ-θ例6．化简：例7．．例8．化简cos10(tan10sin 50︒︒︒例9．例10．若32,2π<α<π例11．求tan12tan 33tan12tan 33︒+︒+︒︒的值例12．求tan()tan()tan()tan()6666ππππ-θ++θ+-θ⋅+θ的值例13．求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒的值2.齐次式例1．已知,2tan =α求下列各式的值。

（1）4sin 2cos 5cos 3sin α-αα+α（2）2222sin 3cos 1sin sin cos α+α+α+αα（3）sin cos αα（4）αααα22cos 5cos sin 3sin 2--例2．已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-；（2）2cos sin sin 2++ααα 3.sin cos ,sin cos θθθθ±⋅关系问题例1．已知1sin cos ,(,)842ππθθθ=∈，求cos sin θθ-的值．例2．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 例3．已知(),51cos sin ,,0=+∈θθπθ求下列各式的值。

高考数学一轮复习第四章三角函数三角函数的化简与求值课件

13 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬法·命题法解题法
14 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[考法综述] 此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．主要侧重于两角和与差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值．利用同角三角函数的基本关系式
1－tan2α 1＋tan2α ；
1±sinα＝ sinα2±cosα22 ；
sinα
1－cosα
tanα2＝ 1＋cosα ＝ sinα .
4 辅助角公式
asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ) ，
其中 cosφ＝
a2a＋b2，sinφ＝
b a2＋b2.
8 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
(3)降幂公式
1－cos2α
1＋cos2α
sin2α＝
2
；cos2α＝
2.
(4)其他常用变形 2tanα
sin2α＝si2ns2iαn＋αccoossα2α＝ 1＋tan2α ；
7 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
cos2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝
3．在△ABC 中，tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanA·tanB，则 C 等于( ) π 2π
A.3 B. 3 ππ
C.6 D.4 解析由已知可得 tanA＋tanB＝ 3(tanA·tanB－1)， ∴tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝－ 3，又 0<A＋B<π，∴A＋B＝23π，∴C＝π3.

高考数学第一轮复习三角函数解析要点

高考数学第一轮复习三角函数解析要点三角函数是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应恣意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，查字典数学网整理了三角函数解析要点，协助广阔高中先生学习数学知识!
这一局部的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。

在教学中，我留意到有些先生依然在遇到三角函数标题的时分画直角三角形协助了解，这是十分风险的，也是我们所不倡议的。

三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，曾经发作了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数——弧度制的角。

有了这样一个思想上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个隶属产品(初中三角函数很多时分依靠于相似三角形)，而是一个具有独立意义的函数表现方式。

既然三角函数作为一种函数意义的了解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联络起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了一切的性质。

关于三角函数，除了图象，单位圆作为辅佐手腕，也是十分有效——就似乎配方在二次函数中运用普遍是一个道理。

三角恒等变形局部，并无太多窍门，从教学中可以看出，先生听懂公式都不难，运用起来比拟熟练的都是那些做题比拟多的同窗。

标题做到一定水平，其实很容易发现，高一调查
的三角恒等只要不多的几种题型，在课程与温习中，我们也会注重给先生总结三角恒等变形的〝一致论〞，掌握住降次，辅佐角和万能公式这些关键方法，普通的三角恒等迎刃而解。

关键是，一定要多做题。

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2021年高考数学第一轮温习三角函数解析要点就为大家分享到这里，更多精彩内容请关注高考数学知识点栏目。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

高考数学一轮复习最基础考点系列考点49三角函数的化简求值

专题9 三角函数的化简求值三角函数的化简求值★★★○○○○1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例] 已知α∈(0，π)，化简：＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α＝________.[解析] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos2α2.因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α2>0，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22cosα2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝cos2α2－sin 2α2＝cos α. [答案] cos α[例2] 求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°；[解] 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－－2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.2.求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．3. (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．[解析] (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.1.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝( )A.22B.12C.32D ．－22解析：选A 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－－2sin2＝sin 210°2sin 210°＝22. 2. (1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C 原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C. 3.化简：α＋cos 2α－α－cos 2α＋sin 4α＝________. 解析：α＋cos 2α－α－cos 2α＋sin 4α＝sin 22α－α－22sin 2α·cos 2α＝sin 22α－cos 22α＋2cos 2α－12sin 2α·cos 2α＝－2cos 22α＋2cos 2α2sin 2α·cos 2α＝1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α ＝sin αcos α＝tan α. 答案：tan α4.化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.解析：原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .答案：12cos 2x5.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。

4.2 三角函数的化简与求值

cos =±
tan =±
θ 2
θ 2
1 cos θ , 2
1 cos θ , 1 cos θ
θ 其中符号“±”的选取由角的范围确定. 2
用正余弦来表示正切的半角公式: tan =
α 2
1 cos α sin α = sin α 1 cos α
.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
现三角函数的代数结构,运用相应的三角公式一步一步地化
简为正弦型函数,在解三角方程中,要注意它的多解性,注意题目只要寻找其中的一个钝角.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
x x sin 2 2 2 x x sin cos 2 2
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
2 1 【解析】f(x)= sin x 2
m

=
1 m2 m2 1 1 m2
2
m
=
2m 1 m 2 1 2m 2
.
【答案】C
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
2.cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)等于 ( (A)-sin 1. (B)sin 1. (C)-cos 1.
.
2 2
公式变形:①1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.(升幂公式) ②cos α=
2
1 cos 2α 2
,sin α=
2
1 cos 2α 2
.(降幂公式)
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
三、半角公式
1 cos θ θ sin =± , 2 2

高中数学三角函数知识点归纳总结

高中数学三角函数知识点归纳总结研究必备，欢迎下载《三角函数》。

知识网络】应用弧长公式、同角三角函数诱导，掌握三角函数的基本关系式和公式，理解三角函数的角度制与任意角的概念，研究三角函数的图像和性质、弧度制三角函数和角公式、倍角公式、差角公式的应用。

一、任意角的概念与弧度制1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角。

逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角。

2、同终边的角可表示为计算与化简证明恒等式的应用。

已知三角函数值求角：α=β+k360(k∈Z)°，x轴上角：α=k180(k∈Z)，y轴上角：α=90+k180(k∈Z)。

3、第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角的区分。

第一象限角：0°<α<90°+k360°(k∈Z)；第二象限角：90°<α<180°+k360°(k∈Z)；第三象限角：180°<α<270°+k360°(k∈Z)；第四象限角：270°<α<360°+k360°(k∈Z)。

4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角。

第一象限角：0°<α<90°+k360°(k∈Z)；锐角：0°<α<90°；小于90的角：0°<α<90°。

5、若α为第二象限角，则π/2+2kπ≤α≤π+2kπ，所以在第一、三象限α为第几象限角？2.6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad。

7、角度与弧度的转化：1°≈0.=≈57.30°=57°18'，180°/π。

8、角度与弧度对应表。

角度弧度30° π/645° π/460° π/390° π/2120° 2π/3135° 3π/4150° 5π/6180° π360°2π9、弧长与面积计算公式：弧长l=α×R，面积S=(α/2)×R²，注意：这里的α均为弧度制。

2024届高三数学一轮复习：三角函数知识梳理清单

三角函数知识梳理1.角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

按方向旋转所形成的角叫正角，按方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称作轴线角。

(1)四个象限内的角的集合终边在第一象限：终边在第二象限：终边在第三象限：终边在第四象限：(2)若α为第一象限的角，则2α所在象限为若α为第三象限的角，则2α所在象限为3.终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)⇔.（3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔.（4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔.（5）α终边与θ终边关于原点对称⇔.（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：；α终边在坐标轴上的角可表示为：.4.弧度制(1)1弧度定义：，角α的弧度数的绝对值α=弧长公式：，扇形面积公式：(2)换算关系:1︒=rad ，1rad=︒.5．三角函数定义：⑴设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y 叫作α的正弦，记作sinα；x 叫作α的余弦，记作cosα；yx叫作α的正切，记作tanα.⑵已知角α终边上一点()y x P ,，且r OP =，则有=αsin =αcos =αtan 三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.(3)一些特殊角的三角函数：α000300450600900120013501500180015075αsin αcos αtan 6．同角三角函数的基本关系式：①平方关系；②商式关系.关于公式1cos sin 22=+αα的深化1＋sin 2α＝(sin α＋cosα)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，③一些常用特殊三角函数值：αsin αcos αtan 勾股关系αsin αcos αtan 勾股关系53222534=+1785128735132210314117.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α余弦cos α正切tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。

高考数学第1轮总复习 4.3三角函数的化简、求值(第2课时)课件理(广西专版)

1 4
1
3 4
7，
3
•
题型6：给值求角
• 3. 已知 tan( - ) 1 ,tan - 1 , • 且α，β∈(0，π)，求2 2α-β的7值.
•
因为
tan(2 - ) tan[2( - ) ]
•又
tan[2( - )] tan , 1- tan[2( - )]tan
求cos40°si＋n7s0in°501°＋1＋cos430t°an10°的值．
解：因为 1＋ 3tan10°＝1＋csoins6600°°·csoins1100°° ＝cos60°ccooss1600°°＋cossi1n06°0°sin10° ＝2ccooss1500°°.
所以原式＝cosc4o0s2°＋ 0°× 2sinc25oc0so°1sc02o°0s5°0°
且
(0, ) sin 10 1 ,
2
0 ,
10 2
0
6
,0
故
,
0
2
2
5
,
6 2 .
6
4
• 1.“配角”的思想在给值求值中的应用
• 给值求值的重要思想是沟通已知式与欲求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、分的关系，如：
2· ， ( ) ，
13
cos( ) - 1- sin2( ) - 4,
5
• 所以 sin 2 sin[( - ) ( )]
sin( - )cos( ) cos( - )sin( )
5 (- 4) 12 (- 3) - 56. 13 5 13 5 65
• 【点评】：解决“给值求值”问题的策略是：一方面主要进行角的变换，即所求式子的角如何转化为已知角(或特殊角)之间的和、差、倍的关系，如本题中所求的角2α 就是转化为α+β与α-β的和；另一方面注意角的范围及三角函数符号的确定.

高中数学必修一专题强化训练(七)三角函数的化简期末复习重点知识点

三角函数的化简、求值问题此类问题需要熟记同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切公式、倍角公式以及辅助角公式，在题目中熟练运用公式解答问题。

1. 同角基本关系式(1)平方关系：22sin cos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= 2. 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin παα+=-， cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈诱导公式三：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式四：sin()sin παα-=， cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈3. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角差的余弦公式：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+两角和的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-两角和正弦公式：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-两角和与差的正切公式：tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+4. 倍角公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=- 5. 辅助角公式形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：sin cos a x b x +x x ⎫+⎪⎭令cos ϕϕ==sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=经典例题一．选择题（共7小题）1a n 26t a n 34t a n 26t a n 34(︒︒+︒+︒=A B ．C D ．-2．设t a n 3α=，则22s i n s i n c o s 1ααα-+的值等于 A ．1310B ．C ．2D ．1-3．在A B C∆中，若s in 2c o s A A -，则t a n A 的值为 A ．3- B ．3 C ．3-或D ．3或13-4．tan(150)(cos420)sin(1050)︒-︒-︒的值为A ．B ．12-C D ．-5．函数l o g (4)4(0a y x a =++>，且1)a ≠的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7cos()(2πθ+=A ．35-B ．C ．45-D ．6．若1s i n 221c o s2s i n 2θθθ-=--，则ta n (θ=A ．3-B ．13-C ．D ．37．已知1sin()22πα-=，则3sin(2)(2πα+=A B ．-C ．D ．12-二．填空题（共3小题）8．若关于x 的方程21s i n o s 4m x x m -=+有意义，则m 的取值范围为． 9．已知向量(s i n (),2)a απ=+，(c o s ,1)b α=-，且//a b ，则2c o s s i n 2αα+= ． 10．函数221()c o s s i n 3f x x x =--，(0,)xπ∈的单调递增区间是．三．解答题（共4小题） 11．已知02πα<<，02πβ<<，4s in 5α=，5cos()13αβ+=．（1）求cos β的值；（2）求2sin 2cos 21sin ααα+-的值．、12．计算：（1）s in57s in27c o s30c o s27︒-︒︒︒；（2）t a n 25t a n 25t ︒+13．已知9s i n (5)2c o s (6)c o s ()2()5c o s ()s i n (11)2f ππαπαααπαπα---++=+++．（1）若6πα=-，求()f α值；（2）若α为第三象限角，且3cos()24πα+=，求()f α的值．14．已知函数2()2c o s s i n ()s i n 3s i n c o s 6fx x x x x xπ=-++．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若6()5f α=且04πα<<，求c o s 2α的值．参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】a n 26t a n 34t a n 26t a n 34︒︒+︒+︒a n 26t a n 34t a n (2634)(1t a n 26t a n 34)︒︒+︒+︒-︒︒a n 26t a 1t a n 26t a n 34)︒-︒︒a n 26t a n 26t a n 34︒︒︒．故选：C ．2．【解答】解：因为t a n 3α=，则22222222222s i n c o s 3t a n 1333152s i n s i n c o s 11312s i n s i n c o s t a n s i n c o s t a n ααααααααααααα-++-+⨯-+-+====+++．故选：B ．3．【解答】解：由题意，在A B C∆中，s in 2c o s A A =，所以2222s i n c o s (2c o s c o s 1A A A +=+=，整理可得235c o s o s 02A A +=，解得s in c o s A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin co s A A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），所以sin tan 3cos AA A==-．故选：A ．4．【解答】解：1()t a n (150)(c o s 420)t a n 30(c o s 60)321s i n (1050)s i n 302-︒-︒--︒==-︒︒ 故选：C ．5．【解答】解：对于函数l o g (4)4ay x =++，(0,1)a a >≠，令41x +=，求得3x =-，4y =，可得它的的图象恒过定点(3,4)A -，且点A 在角θ的终边上，可得4s i n 5θ=，则74c o s ()s i n 25πθθ+==．故选：D ．6．【解答】解：因为1s i n 221c o s2s i n 2θθθ-=--，所以222s i n 2s i n c o s c o s 22s i n 2s i n c o s θθθθθθθ-+=-，所以2(s in c o s )22s in (s in c o s )θθθθθ-=-，所以sin c o s 22sin θθθ-=，即3s i nc o s 0θθ+=，所以1tan 3θ=-．故选：B ．7．【解答】解：已知1s i n ()c o s 22παα-==-，1cos 2α∴=-，则231s i n (2)c o s 22c o s 122πααα+=-=-+=，故选：C ．二．填空题（共3小题）8．【解答】解：由已知可得：s i n o s 2s i n ()[2,2]3x x x π=+∈-，则21224m m --+，即21242124m m m m -⎧⎪⎪+⎨-⎪-⎪+⎩，解得4744m m m >-⎧⎪⎨-<-⎪⎩或，所以m 的取值范围为7[,)4-+∞，故答案为：7[,)4-+∞． 9．【解答】解：因为向量(s i n (),2)a απ=+，(c o s ,1)b α=-，且//a b ，所以s i n ()2c o s απα-+=，即s i n 2c o s αα=，可得t a n 2α=，所以2222222s i n c o s 12t a n 122c o s s i n 21112c o s s i n c o s t a n ααααααααα+++⨯+====+++．故答案为：1．10．【解答】解：因为2211()c o s s i n c o s 233f x x x x =--=-，又(0,)x π∈，2(0,2)x π∈，令22x ππ<，解得2x ππ<，可得()f x 的单调递增区间是2π，)π．故答案为：2π，)π．三．解答题（共4小题）11．【解答】解：（1）因为02πα<<，4s in 5α=，所以3c o s 5α=，又因为02πβ<<，5cos()13αβ+=，所以12sin()13αβ+=，所以5312463c o s c o s [()]c o s ()c o ss i n ()s i n 13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=．（2）因为3c o s 5α=，4s in 5α=，所以4324s i n 22s i n c o s 25525ααα==⨯⨯=，2237c o s 22c o s 12()1525αα=-=⨯-=-，所以22424()s i n 255257c o s214125s i n ααα++==----． 12．【解答】解：（1）s i n 57s i n 27c o s 30s i n (3027)s i n 27c o s 30s i n 30c o s 27c o s 30s i n 27s i n 27c o s 30s i n 30c o s 271s i n 30c o s 27c o s 27c o s 27c o s 272︒-︒︒︒+︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒︒︒====︒=︒︒︒︒．（2）由t a n 25t a n 35t a n (2535)1t a n 25t a n 35︒+︒︒+︒=-︒︒，可得t a n 25t a n 1t a n 25t a n 35)︒-︒︒，即t a n 25t a n 25t ︒+︒ 故原式0=．13．【解答】解：（1）由于s i n 2c o s s i n c o s ()s i n s i n s i n f αααααααα--==--，又6πα=-，所以c o s 2()1s in 2f ααα==．（2）因为33c o s ()s i n ,s i n 244πααα+=-==-，又因为α 为第三象限角，所以c o s ()f αα 14．【解答】解：（Ⅰ）函数31()2c os s i n ()s i i n c o s 2c o s (s i nc o s )s i i n c o s 622f x x x x x x x x x xπ=-=-i n 2c o s 22s i n (2)6x x x π-=-，令222262k x k πππππ--+，求得63k x k ππππ-+，可得函数的增区间为[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈．（Ⅱ）6()2s i n (2)65f παα=-=，3sin(2)65πα∴-=，04πα<<，26πα∴-为锐角，4c o s (2)65πα-=-=，33c o s 2c o s [(2)]c o s (2)c o s s i n (2)s i n 666666525210ππππππαααα∴=-+=---=⨯-⨯=．。

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专题9 三角函数的化简求值
三角函数的化简求值
★★★
○○○○
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角公式
1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[例] 已知α∈(0，π)，化简：
＋sin α＋cos α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α
＝________.
[解析] 原式＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
cos α2－sin α24cos
2α
2
.
因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，
所以cos α
2
>0，
所以原式＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos α2－sin α22cos
α
2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α
2＋
sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2
＝cos
2
α2－sin 2α
2
＝cos α. [答案] cos α
[例2] 求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1
tan 5°
－tan 5°；
[解] 原式＝2cos 2
10°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°cos 5°sin 5°－sin 5°
cos 5°
＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 2
5°－sin 2
5°
sin 5°cos 5° ＝
cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°
1
2
sin 10°
＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°
2sin 10°
＝
cos 10°－－
2sin 10°
＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12cos 10°－32sin 10°2sin 10°
＝
3sin 10°2sin 10°＝3
2
.
2.求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．
3. (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010
，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π
4 C.7π4
D.5π4或7π4
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，则2α－β的值为________．
[解析] (1)∵α，β为钝角，sin α＝
55，cos β＝－31010
，
∴cos α＝－255，sin β＝10
10
，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2
2
>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2，2π，
∴α＋β＝7π
4
.
∵tan β＝－17<0，∴π
2<β<π，∴－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－3π
4
.
1.计算：1－cos 2
10°
cos 80°1－cos 20°＝( )
A.
2
2
B.12
C.
32
D ．－
22
解析：选A 1－cos 2
10°cos 80°1－cos 20°
＝
sin 2
10°
sin 10°1－－2sin
2
＝
sin 2
10°
2sin 2
10°＝22
. 2. (1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2
C ．2
D ．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C 原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C. 3.化简：α＋cos 2α－
α－cos 2α＋sin 4α＝________. 解析：
α＋cos 2α－
α－cos 2α＋
sin 4α
＝
sin 2
2α－α－2
2sin 2α·cos 2α
＝sin 2
2α－cos 2
2α＋2cos 2α－12sin 2α·cos 2α
＝－2cos 2
2α＋2cos 2α2sin 2α·cos 2α
＝
1－cos 2α
sin 2α
＝2sin 2α2sin αcos α ＝
sin α
cos α
＝tan α. 答案：tan α
4.化简：2cos 4x －2cos 2
x ＋
12
2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x ＝________.
解析：原式＝－2sin 2x cos 2
x ＋
12
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x
＝
1
2
－sin 2
2
x
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x
＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .
答案：1
2
cos 2x
5.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝1
2.
又
π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2
α＝－32
.
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