算术平均数和几何平均数4
人教版高中数学必修第二册算术平均数与几何平均数4
算术平均数与几何平均数教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.●教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).2.如果a、b是正数，则2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”…时取“＝”号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b⇒2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab⇒a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.●教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤（2ba+）2●教学方法启发式教学法●教具准备投影片两张第一张：记作 A1.差值比较法：Ⅰ.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出投影片 A，请同学们回答：［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出投影片 A ，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面.即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片 B ，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；（3）可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；(4)可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；(5)加法法则a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(6)乘法法则a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac＞bd ；（７）乘方法则a ＞b ＞0⇒a n ＞b n （n ∈N ）；(8)开方法则a ＞b ＞0⇒n n b a >（n ∈N ).为进一步更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程.［生］（a m ＋b m ）－（a m －n b n ＋a n b m －n ）＝（a m －a m －n b n ）＋（b m －a n b m －n ）＝a m －n （a n －b n ）＋b m －n （b n －a n ）＝（a m －n －b m －n ）（a n －b n ）∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0∴当a ＞b ＞0时，则a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n∴（a m －n －b m －n ）（a n －b n ）＞0当a ＝b ＞0时，则（a m －n －b m －n ）（a n －b n ）＝0当b ＞a ＞0时，则b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n∴（a m －n －b m －n ）（a n －b n ）＞0综上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n 时，(a m -n -b m -n )(a n -b n )≥0即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2∵a ，b ∈R∴当a ＝b 时，a －b ＝0 即a 2＋b 2＝2ab当a ≠b 时，a －b ≠0∴（a －b ）2＞0 即a 2＋b 2＞2ab综上所述：若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab .即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a 2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b .定理 如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当a ＝b 时取“＝”号). ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)”为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).［生甲］∵a ，b 为正数 ∴a ＞0，b ＞0∴a ＝（a ）2，b ＝（b ）2 ∴2)(2222b a ab b a ab b a -=-+=-+当a ＝b 即a ＝b 时，2)(2b a -＝0，有ab b a =+2.当a ≠b 即a ≠b 时，2)(2b a -＞0，有ab b a >+2综上所述，当a 、b 为正数时，有ab b a ≥+2(当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［生乙］∵a ，b 是正数 ∴（a ）2＋（b ）2≥2a ·b∴a ＋b ≥2ab显然，当且仅当a ＝b 时，ab b a =+2即ab b a ≥+2.评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）”的一种几何解释(如图所示)以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，ＣB ＝b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.［例题］已知：（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--y x b a b a y x［师］本题结论中，注意y x b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明y x b a b a y x ----与为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)［生］∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0∴（a －b ）（x －y ）＞0即a －b 与x －y 同号 ∴y x b a b a y x ----与均为正数 ∴y x b a b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2(当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝”号) ∴y x b a b a y x --+--≥2. ［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“ab b a ≥+2”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断y x b a b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.Ⅲ.课堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.答案：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2ab ＞0b ＋c ≥2bc ＞0c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .2.已知x 、y 都是正数，求证： (1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：∵x ，y 都是正数 ∴y x ＞0，x y＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)x y y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0 ∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.3.求证：（2ba +）2≤222b a +.分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键.答案：∵a 2＋b 2≥2ab∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2不等式两边同除以4，得222b a +≥（2ba +）2 即（2ba +）2≤222b a +.Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2ba +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2ba +≥ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2ba +）2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a 2＋b 2≥2ab ；2ba +≥ab （a ＞0，b ＞0）的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，(1)若xy ＝P 是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，x ＋y 有最小值2P ；（2）若x ＋y ＝S是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，xy 有最大值41S 2.●板书设计。
算术平均数与几何平均数
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式高中数学中的四个均值不等式是：算术平均数不小于几何平均数，几何平均数不小于调和平均数，调和平均数不小于平方平均数。
这些不等式在数学中有重要的应用，包括概率论、统计学、经济学和物理学。
一、算术平均数不小于几何平均数算术平均数和几何平均数是我们常见的两种平均数。
算术平均数是将一组数据中所有数值之和除以数据的总数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的算术平均数是（1+2+3+4+5）/5=3。
几何平均数则是一组数据中所有数的乘积的n次方根，其中n表示数据的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的几何平均数是（1x2x3x4x5）^(1/5)=2.605。
在一组非负数数据中，算术平均数和几何平均数有如下关系：算术平均数不小于几何平均数。
这个不等式的证明可以采用数学归纳法，对于两个数的情形容易证明。
对于任意个数的情况，则可以用调和平均数来证明。
这个不等式的重要性在于它可以用来证明其他重要的不等式。
二、几何平均数不小于调和平均数调和平均数的定义为n个非零实数的倒数之和再除以n，其中n表示这n个数的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的调和平均数为5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)=3.55。
在一组非负数数据中，几何平均数和调和平均数有如下关系：几何平均数不小于调和平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的几何平均数为2.605，调和平均数为3.55，显然2.605不小于3.55。
三、调和平均数不小于平方平均数平方平均数是一组数据中所有数的平方和的平均数的平方根。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的平方和为1+4+9+16+25=55，平方平均数为(1+4+9+16+25)/5=5.48。
在一组非负数数据中，调和平均数和平方平均数有如下关系：调和平均数不小于平方平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的调和平均数为3.55，平方平均数为5.48，显然3.55不小于5.48。
算术平均数与几何平均数
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b
0,
注意2：等号取到的条件。
推广： 定理：如果
算术平均数与几何平均数
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就 把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三 两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”既送了人情自己又不会亏太多,房东太太琢磨着说,“水电费就不用交了.你提前退租也行,押金全额退返.”“谢谢颜姨.”小便 宜也是便宜,陆羽开心至极.乖巧の女生讨人喜欢,颜姨笑眯眯地加了句,“如果要继续租,你得提前一个月跟我说.”免得大家麻烦.“好.”当天晚上,陆羽仔细清点自己の出行行装,确定无误之后,正要用手机订票,却在此时接到一个电话.“谢妙妙？”稀客呀！按原定の命运,重见谢妙妙应该 是好多年以后.“你要找世外桃源？！”晚上九点多,两人约在陆羽家附近の一间咖
第07课时§6.2算术平均数与几何平均数(4)
一、选择题：
1.设a,b是不相等的正数，则[ ]
A. < < B. < <
C. < < D. < <
2.已知a>b>0，则下列不等式成立的是[ ]
A.a>b> > B.a> > >b
C.a> >b> D.a> > >b
3.已知x>1, y>1，且lgx+lgy=4，则lgx·lgy的最大值是[ ]
A.6B.4 C.2 D.2
9.下列不等式中恒成立的是
A.x+ ≥2B. ≥2C. ≥2 D.2-3x- ≥2
二、填空题：
10.若a,b为正数，且a+b=1，则ab的最大值是;
11.若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是;
12.已知a>b>c，则 的大小关系是;
13.a,b是两个不同的正数，且 ,则ab与a2b2的大小关系是.
三、解答题：
14.已知正数a,b满足ab=a+b+3，求a+b的取值范围.
15.已知x,y∈R+,且2x+3y=6,求log2x+log2y的最大值。
16.如果a>b且ab=1，求证：a2+b2≥2 （a-b）
17.设a,b为正数a、b，且a+b=求证： + ≤2
18.已知tanx=3tany(0<y<x< ),求M=x-y的最大值。
A.4B.2C.1D.1/4
4.已知0<a<b<1, P=log , Q= (log a+log b), M= log (a+b),则P,Q,M
4个基本不等式口诀
4个基本不等式口诀四个基本不等式是数学中的重要概念，它们在不同的领域和问题中都有广泛的应用。
本文将分别介绍这四个基本不等式，并探讨它们的应用。
一、算术平均数大于等于几何平均数算术平均数大于等于几何平均数是数学中的一个基本不等式。
这个不等式的意思是，对于任意一组非负实数，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数。
这个不等式的应用非常广泛。
在统计学中，我们常常使用算术平均数和几何平均数来描述数据的集中程度和变异程度。
在经济学中，这个不等式可以用来解释为什么平均工资水平通常高于中位数工资水平。
在物理学中，这个不等式可以用来证明能量守恒定律。
二、平方平均数大于等于算术平均数平方平均数大于等于算术平均数是另一个重要的基本不等式。
这个不等式的意思是，对于任意一组非负实数，它们的平方平均数大于等于它们的算术平均数。
这个不等式的应用也非常广泛。
在统计学中，平方平均数可以用来衡量数据的离散程度。
在信号处理中，平方平均数可以用来计算信号的能量。
在凸优化中，这个不等式被广泛应用于证明不等式约束问题的最优性条件。
三、算术平均数大于等于调和平均数算术平均数大于等于调和平均数是第三个基本不等式。
这个不等式的意思是，对于任意一组正实数，它们的算术平均数大于等于它们的调和平均数。
这个不等式在概率论和统计学中有着重要的应用。
在概率论中，调和平均数可以用来计算事件发生的平均时间间隔。
在统计学中，调和平均数可以用来计算样本的平均误差。
四、平方平均数大于等于调和平均数平方平均数大于等于调和平均数是最后一个基本不等式。
这个不等式的意思是，对于任意一组正实数，它们的平方平均数大于等于它们的调和平均数。
这个不等式在不同领域中都有广泛的应用。
在信号处理中，平方平均数可以用来计算信号的均方根值。
在电路分析中，这个不等式可以用来估计电路中的功率损耗。
在经济学中，这个不等式可以用来解释为什么平均收入水平通常高于中位数收入水平。
四个基本不等式在数学和其他学科中都有着重要的应用。
简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围
简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围在数学中，平均数是一组数据的代表值，常用来描述数据的集中趋势。
而在平均数中，算术平均数、几何平均数和调和平均数是最常见的三种平均数。
它们分别适用于不同的情况和数据类型，下面我们将对这三种平均数的适用范围进行简要介绍。
1. 算术平均数算术平均数是最为常见的平均数，它可以简单地通过将一组数据相加，然后除以数据的个数来计算得到。
算术平均数适用于对数据的集中趋势进行描述，特别是对数值型数据。
当我们需要了解一组数据的平均水平时，通常会使用算术平均数。
我们可以通过计算学生的平均成绩来了解班级的学习情况，或者通过计算某个地区的平均温度来了解该地区的气候情况。
2. 几何平均数几何平均数是一组数据的乘积的n次根，其中n为数据的个数。
几何平均数适用于描述数据的增长率、比率或倍数关系，特别是对正数的乘积进行平衡处理。
当我们需要计算连续几年的增长率时，就可以使用几何平均数。
另外，几何平均数还常用于计算财务投资的平均收益率，以平衡不同年份的收益率水平。
3. 调和平均数调和平均数是一组数据的倒数的算术平均值的倒数，它适用于描述速度、工作量和时间等方面的平均值。
在实际应用中，调和平均数常用于计算多个数据量的平均值，且数据不受限制，这时调和平均数能够有效地平衡数据的差异性。
在物流行业中，我们通常会使用调和平均数来计算车辆的平均行驶速度，或者计算工人完成某项工作的平均时间。
算术平均数适用于描述数据的集中趋势，几何平均数适用于描述数据的增长率与比率，而调和平均数则适用于平衡数据的差异性。
在实际应用中，我们需要根据不同的情况和数据类型，选择适合的平均数进行分析和描述，以确保得到准确和合理的结论。
个人观点：平均数在日常生活和各行各业中都扮演着重要的角色，它能够帮助人们更好地理解和分析数据，从而做出科学的决策。
懂得不同类型平均数的适用范围，能够更好地应用数学知识于实际工作和生活中。
对平均数的理解和运用至关重要。
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式在高中数学中，均值不等式是一组重要的不等式，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数。
本篇文章将详细介绍这四个均值不等式的定义、特点、证明以及应用。
一、算术平均数不等式算术平均数不等式也称为平均值不等式，是指对于任意非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
算术平均数不等式的特点是，它是一组相对简单但应用广泛的不等式。
证明方法有多种，如引入柯西-施瓦茨不等式、引用对数函数的性质等。
同时，算术平均数不等式与几何平均数不等式、调和平均数不等式和平方平均数不等式共同构成均值不等式的四大基石。
应用方面，算术平均数不等式可以用于证明其他不等式，如根据其性质证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼定理等；还可以用于优化问题的求解，如求解简单平均数、加权平均数等。
二、几何平均数不等式几何平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
几何平均数不等式的特点是，它是一组与比例有关的不等式，反映了乘法的稳定性。
它可以通过对数函数的性质、证明柯西-施瓦茨不等式等方法进行证明。
应用方面，几何平均数不等式可以用于处理带有乘方项的优化问题，如优化几何平均数、加权几何平均数等；还可以用于证明其他不等式，如证明柯西-施瓦茨不等式的基本形式。
三、调和平均数不等式调和平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a _n}}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
算术平均数和几何平均数大小关系证明
算术平均数和几何平均数大小关系证明1. 引言1.1 介绍算术平均数和几何平均数的概念算术平均数和几何平均数是两种常用的平均数概念，在数学和统计学中经常被使用。
算术平均数是一组数值的总和除以数量得到的平均值，它代表了一组数据的平均水平。
而几何平均数是一组数值的乘积开n次方根得到的平均值，它代表了一组数据的平均波动程度。
虽然这两种平均数有着不同的计算方法和概念，但它们之间存在着紧密的数学关系。
算术平均数和几何平均数的关系是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据的分布和趋势。
在实际应用中，我们经常需要比较算术平均数和几何平均数的大小，以便进行更有针对性的分析和决策。
下面我们将详细介绍算术平均数和几何平均数的定义，并探讨它们之间的关系，最终证明算术平均数大于等于几何平均数的结论。
通过这篇文章，希望读者能更加深入地理解算术平均数和几何平均数的意义和作用。
2. 正文2.1 算术平均数和几何平均数的定义算术平均数和几何平均数是数学中常见的两个概念，在统计学和金融学等领域有着广泛的应用。
算术平均数和几何平均数在统计学中起着重要的作用，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和趋势。
接下来我们将分别介绍算术平均数和几何平均数的定义。
算术平均数，也称为平均值，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
假设我们有n个数值，分别为a1、a2、a3、...、an，则这n个数值的算术平均数可以表示为：平均数= (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n算术平均数通常用来表示一组数据中所有数值的中间值，即数据的集中趋势。
当我们需要了解一组数据的整体水平或趋势时，可以使用算术平均数来进行分析。
几何平均数是一组数据中所有数值的乘积开n次方根。
同样假设我们有n个数值，分别为b1、b2、b3、...、bn，则这n个数值的几何平均数可以表示为：几何平均数= (b1 * b2 * b3 * ... * bn) ^ (1/n)几何平均数主要用于表示一组数据中各个数值的平均比率，适用于涉及增长率、比率和百分比等问题的分析。
算术与几何平均数
算术与几何平均数在数学中，平均数是一组数据的一种统计指标，常用于描述数据集中的一般趋势。
其中，算术平均数和几何平均数是两个常用的平均数概念。
本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、算术平均数算术平均数，也称为平均值或平均数，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
它是一种用来表示数据集中心趋势的统计指标。
算术平均数的计算公式如下：算术平均数 = 总和 / 数据个数例如，对于数据集{4, 6, 8, 10}，算术平均数可以通过计算(4 + 6 + 8 + 10) / 4 = 7得到。
算术平均数的应用非常广泛。
它可以用于描述一组数据的典型取值，并可以与其他数据进行比较。
在实际生活中，人们常常使用算术平均数来计算平均成绩、平均工资等。
二、几何平均数几何平均数是一组正数的乘积开n次方根，其中n表示数据的个数。
几何平均数常用于计算相对增长率或变化率。
几何平均数的计算公式如下：几何平均数 = (数值1 * 数值2 * ... * 数值n)的n次方根例如，对于数据集{2, 4, 8, 16}，几何平均数可以通过计算(2 * 4 * 8* 16)的4次方根≈ 6.34961得到。
几何平均数在一些特定的应用场景中非常有用。
例如，在股票市场中，人们常常使用几何平均数计算股票的年化收益率。
另外，几何平均数也用于计算投资组合的平均收益率等。
三、算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数在计算方法和应用领域上存在一些差异。
首先，算术平均数是通过将所有数值相加后除以数据个数得到的，而几何平均数是将所有数值相乘后开n次方根得到的。
这意味着算术平均数关注的是数值的总和，而几何平均数关注的是数值的乘积。
其次，算术平均数常用于描述数据的一般趋势，可以用于计算总体的平均值。
而几何平均数主要用于计算相对增长率或变化率。
最后，算术平均数对数据中的异常值较为敏感，即一个极端值会对算术平均数产生较大的影响。
算术平均数与几何平均数
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1பைடு நூலகம் 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
定理1：如果a, b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
算术平均数与几何平均数(2019年9月)
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
调和平均数平方平均数算术平均数几何平均数关系证明
调和平均数平方平均数算术平均数几何平均数关系证明平均数是统计学中常用的几个概念之一，用来表示一组数据的集中趋势。
常见的平均数有调和平均数、平方平均数、算术平均数和几何平均数。
这四种平均数之间存在一种特殊的关系，下面将对这些平均数的定义和它们之间的关系进行证明。
首先，我们先介绍一下这四种平均数的定义：1.调和平均数（Harmonic Mean）：调和平均数是指一组数据的倒数的算术平均值的倒数。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的调和平均数H就是H = n / (1/x1 + 1/x2 + ⋯ + 1/xn)。
2.平方平均数（Root Mean Square，简称RMS）：平方平均数是指一组数据各个数值的平方的算术平均值的平方根。
如果有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的平方平均数R就是R = sqrt((x1^2 + x2^2 + ⋯ + xn^2) / n)。
3.算术平均数（Arithmetic Mean）：算术平均数是指一组数据的总和除以数据个数，也称为平均值。
假设有n个实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的算术平均数A就是A = (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n。
4.几何平均数（Geometric Mean）：几何平均数是指一组数据的各个数值的乘积的n次方根。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的几何平均数G就是G = (x1 * x2 * ⋯ * xn)^(1/n)。
接下来，我们将证明调和平均数、平方平均数、算术平均数和几何平均数之间的关系。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn。
我们先证明一个重要的不等式：几何平均数不大于算术平均数。
根据算术-几何平均值不等式（AM-GM Inequality），可以得到:G = (x1 * x2 * ⋯ * xn)^(1/n) <= (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n = A接下来，我们将证明调和平均数与平方平均数之间的关系。
几何平均数小于等于算术平均数证明
几何平均数小于等于算术平均数证明。
如果你想深入理解几何平均数小于等于算术平均数的证明，首先需要了解什么是几何平均数和算术平均数。
几何平均数是一组数字的乘积开n次方，而算术平均数是一组数字的总和除以n。
这两个概念看似简单，却蕴含着深刻的数学道理。
1. 深入理解几何平均数的概念让我们来探讨什么是几何平均数。
假设有一组正数a1, a2, ..., an，它们的几何平均数G是这些数的乘积的n次根，即G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)。
这个式子看起来可能有些抽象，但实际上它代表了这组数字的平均增长率，是它们连乘之后开n次方得到的值。
2. 探讨算术平均数的意义和用途接下来，让我们来了解算术平均数。
一组数字a1, a2, ..., an的算术平均数A是这些数的总和除以n，即A = (a1 + a2 + ... + an)/n。
算术平均数在日常生活中被广泛使用，例如计算考试成绩的平均分、测定一个地区的平均气温等。
它代表了一组数字的平均值，是通过将它们的总和均分得到的结果。
3. 证明几何平均数小于等于算术平均数的原理现在，让我们来证明几何平均数小于等于算术平均数。
我们可以通过数学推导和逻辑推理来证明这一点。
假设有一组正数a1, a2, ..., an，它们的几何平均数为G，算术平均数为A。
我们需要证明G <= A。
证明的过程需要运用数学不等式和对数等知识，具体的推导过程略有复杂，但当我们深入地探究其中的数学原理时，会发现这一结论并不是凭空得出的。
它蕴含了数学中的深刻道理和逻辑推理，是数学领域中的一个重要定理之一。
总结回顾：通过本文的讨论，我们深入理解了几何平均数小于等于算术平均数的证明。
我们首先了解了几何平均数和算术平均数的概念，然后探讨了它们的意义和用途，最后通过数学推导和逻辑推理证明了这一重要的数学定理。
这个定理不仅是数学知识的应用，更是思维逻辑和数学推导能力的体现。
个人观点和理解：我个人认为，几何平均数小于等于算术平均数的证明是数学中非常有意义的一个定理。
几何平均数和算术平均数不等式关系
几何平均数和算术平均数不等式关系“同学们，今天咱们来探讨一下几何平均数和算术平均数的不等式关系。
”我站在讲台上对学生们说道。
大家都一脸好奇地看着我，我接着说：“那我们就先来理解一下什么是几何平均数和算术平均数。
比如说有两个数 3 和 6，它们的算术平均数就是它们的和除以 2，也就是(3+6)÷2=4.5；而几何平均数呢，就是这两个数的乘积的平方根，也就是根号下(3×6)=3 倍根号 2，大约等于 4.24。
”我看着学生们似懂非懂的表情，继续解释道：“从这个简单的例子就能看出，一般情况下，算术平均数是大于等于几何平均数的。
这就是它们之间重要的不等式关系。
”为了让学生们更好地理解，我给他们讲了一个实际案例。
“大家想想，有个长方形的花园，长和宽分别是 4 米和 2 米，那这个花园的周长是多少呀？”有学生马上回答：“12 米。
”“对，那它的面积呢？”“8 平方米。
”“很好，那我们来算一下长和宽的算术平均数是多少？”学生们很快算出是 3。
“那几何平均数呢？”大家也算出是根号 8，约等于 2.83。
“你们看，这里的算术平均数 3 就大于几何平均数约 2.83，这就体现了我们刚才说的不等式关系。
”我接着说：“再比如，有两个公司，A 公司的年利润第一年是 100 万，第二年是 400 万；B 公司每年的利润都是 250 万。
那 A 公司两年利润的算术平均数是多少？”学生们计算后回答：“250 万。
”“对，那几何平均数呢？”“200 万。
”“很好，这时候算术平均数 250 万又大于几何平均数200 万。
”“同学们，这种不等式关系在很多实际生活中都有体现。
比如在投资中，我们要考虑不同投资的收益情况，通过比较算术平均数和几何平均数，能帮助我们做出更合理的决策。
”我在黑板上写下几个练习题，让学生们自己去体会和运用几何平均数和算术平均数的不等式关系。
看着他们认真思考和计算的样子，我知道他们正在逐渐理解和掌握这个重要的知识点。
几何平均数小于等于算术平均数证明
几何平均数小于等于算术平均数证明【实用版】目录1.几何平均数与算术平均数的定义2.几何平均数与算术平均数的关系3.几何平均数小于等于算术平均数的证明4.结论正文一、几何平均数与算术平均数的定义几何平均数是指一组数的乘积开 n 次方根，用符号 G 表示。
例如，若有三个数 a、b、c，则它们的几何平均数 G 为 ((a*b*c)^(1/3))。
算术平均数是指一组数的和除以这组数的个数，用符号 A 表示。
例如，若有三个数 a、b、c，则它们的算术平均数 A 为 ((a+b+c)/3)。
二、几何平均数与算术平均数的关系几何平均数与算术平均数之间的关系可以通过一个简单的数学公式表示：G<=A。
也就是说，几何平均数小于等于算术平均数。
三、几何平均数小于等于算术平均数的证明为了证明这个不等式，我们可以使用数学归纳法。
当 n=1 时，不等式显然成立，因为任何数的几何平均数和算术平均数都相等。
现在，假设当 n=k 时，不等式成立，即 G<=A。
我们需要证明当 n=k+1 时，不等式仍然成立。
根据几何平均数和算术平均数的定义，我们可以得到：G_k+1 = ((a_1*a_2*...*a_k*a_(k+1))^(1/(k+1)))A_k+1 = (a_1+a_2+...+a_k+a_(k+1))/((k+1))我们可以将 G_k+1 和 A_k+1 代入不等式 G_k+1<=A_k+1 中，得到：((a_1*a_2*...*a_k*a_(k+1))^(1/(k+1))) <=(a_1+a_2+...+a_k+a_(k+1))/((k+1))接下来，我们需要证明这个不等式成立。
我们可以将右边的式子展开，得到：((a_1*a_2*...*a_k*a_(k+1))^(1/(k+1))) <= (a_1/((k+1)) +a_2/((k+1)) +...+ a_k/((k+1)) + a_(k+1)/((k+1)))两边同时乘以 ((k+1))，得到：a_1*a_2*...*a_k*a_(k+1) <= (a_1 + a_2 +...+ a_k +a_(k+1))*(k+1)这个式子显然成立，因为左边是 k 个数的乘积，右边是 k 个数的和乘以 (k+1)。
描述平均水平的统计指标
描述平均水平的统计指标摘要：一、引言二、平均水平的统计指标概述1.算术平均数2.几何平均数3.调和平均数4.加权平均数三、各平均数计算方法的优缺点四、实际应用案例五、结论正文：一、引言在统计学中，平均水平是一个重要的分析指标。
为了更好地理解和描述数据集的平均特征，我们通常会采用各种平均数来衡量。
本文将对常见的平均水平统计指标进行详细介绍，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数和加权平均数等。
二、平均水平的统计指标概述1.算术平均数算术平均数是最常用的平均数指标，它等于所有观测值之和除以观测值的个数。
计算公式为：平均数= （x1 + x2 + ...+ xn）/ n2.几何平均数几何平均数用于描述数据的增长速度或比例关系。
计算公式为：平均数= √(x1 × x2 × ...× xn) / n3.调和平均数调和平均数适用于数据分布不均匀的情况，计算公式为：平均数= (n × ∑（1/xi）) / (∑（1/xi）)4.加权平均数加权平均数根据各观测值的权重来计算，适用于不同数据的重要性不同的情况。
计算公式为：平均数= （w1 × x1 + w2 × x2 + ...+ wn × xn）/ （w1 + w2+ ...+ wn）三、各平均数计算方法的优缺点各种平均数指标都有其优点和缺点。
算术平均数简单易算，但容易受到极端值的影响；几何平均数适用于增长或减少的趋势分析，但计算过程较为复杂；调和平均数对极端值不敏感，但计算过程较复杂；加权平均数可以根据数据的重要性进行加权处理，但权重的设定具有一定的主观性。
四、实际应用案例1.员工工资统计：企业对员工的工资进行统计时，可以使用算术平均数来描述整体工资水平，以了解公司薪酬待遇的合理性。
2.股票收益分析：在股票市场中，可以使用几何平均数来衡量股票的长期收益情况，以判断投资策略的有效性。
3.产品质量评价：在产品质量评价中，可以使用调和平均数来衡量各项质量指标的相对重要性，以提高产品整体质量。
平均值不等式公式四个
叫做平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数
1.平方平均数：
又名均方根（Root Mean Square），英文缩写为RMS。
它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。
英文名为，一般缩写成RMS。
2.算术平均数：
又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。
它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。
3.几何平均数：
是对各变量值的连乘积开项数次方根。
求几何平均数的方法叫做几何平均法。
如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。
4.调和平均数：
是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。
调和平均数是平均数的一种。
但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。
在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的。
计算结果前者恒小于等于后者。
因而数学调和平均数定义为：数值倒数
的平均数的倒数。
但统计加权调和平均数则与之不同，它是加权算术平均数的变形，附属于算术平均数，不能单独成立体系。
且计算结果与加权算术平均数完全相等。
主要是用来解决在无法掌握总体单位数（频数）的情况下，只有每组的变量值和相应的标志总量，而需要求得平均数的情况下使用的一种数据方法。
计算平均数的三种方法
计算平均数的三种方法计算一个数据集的平均数是一个基本的数学概念，它是衡量数据集的中心位置的一种方法。
一般来说，平均数就是将多个数相加然后除以数的个数，但是在实际的计算中，有三种方法可以计算平均数。
这篇文章将会介绍这三种方法，并指导读者如何使用它们。
方法一：算术平均数算术平均数是最常见的计算平均数的方法。
它的计算公式是将所有数值相加，然后除以数的个数，即 Arithmetic Mean = (a1 + a2 + … + an) / n。
其中，a1至an为数据集中的所有数据，n代表数据集的大小。
为了计算算术平均数，需要首先将数据集中的所有数字加起来，然后除以数字的个数。
例如，如果有一个数字序列是4,8,6,7，那么计算它们的算术平均数就是 (4+8+6+7)/4 = 6.25。
也就是说，这个数字序列的平均值是6.25。
算术平均数是最简单的平均数，它可以体现数据整体的特征，但是它不适用于含有异常值的数据集。
因为异常值的存在会使得平均数受到影响。
方法二：几何平均数几何平均数是计算平均数的另一种方法。
它的计算公式是将所有数据的乘积开n次方，即Geometric Mean = (a1 × a2 ×… × an) ^ (1/n)。
几何平均数可以很好地反映数据集的比例分布特征。
例如，如果一个群体中有50%的人口增长了20%而另外50%的人口增长了10%，那么这个群体的平均增长率就是几何平均数(Geometric Mean)：（1+20%）×（1+10%）^ 0.5 - 1 = 14.14%。
这样平均增长率就能比算术平均数更好地反映出不同组的影响。
方法三：加权平均数如果数据集中的每个数字都有不同的权重，那么使用加权平均数可更好地反映这些数据的重要性。
加权平均数的计算公式是将每个数字与它们的权重相乘，然后将它们相加并除以权重总和，即 Weighted Mean = (w1a1 + w2a2 + … + wnan) / (w1 + w2 + … + wn)。
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教学设计方案 《算术平均数和几何平均数》
（第一课时） 授课人：胡容
一 教材分析
(1)知识结构
本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式: 根据这个结论,又
得到 了一个定理: 并指出了2
a b
+ 为 ,a b 的算术平均数, ab 为 ,a b 的几
何平均数后,随后给出了这个定理的几何解释。
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，又渗透了数行结合、化归等数学思想，所以本节内容是培养学生应用数学知识解决实际问题的好素材。
（2）教学目标
知识目标： (1)认识几何平均数和算术平均数，把握“两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数”这一重要定理;
能力目标： (2)能运用定理求一些函数的最值;
（4)通过对不等式的结构的分析及特征的把握把握重要不等式的
联系; 培养学生数形结合、化归等数学思想。
(5)通过对重要不等式等号成立的条件的分析,培养学生严谨科
学的熟悉习惯,进一步渗透变量和常量的哲学观;
(3)教学重点
本节课的重点内容是把握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”;把握两个正数的和为定值时积有最大值,积为定值时和有最小值的结论,
（4）教学难点：正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值. （5）教学方法：
为突破重难点,教师单方面强调是远远不够的,只有让学生通过自己
的思考、尝试,注重到平均值定理中等号成立的条件,发现使用定理求最值的三个条件“一正,二定,三相等”缺一不可,才能大大加深学生对正确使用定理的理解,培养学生分析归纳问题的能力,帮助学生形成知识体系,灵活把握平均值定理求最值的方法。
二． 教学对象分析：
学生是学习的主体，是学习的主动者。
该班学生的数学基础较差，但
是学习的积极性较高，同学间讨论氛围较为浓厚。
三 教学过程设计：
1、课题引入：故事引入“骗人的平均数”。
2、新知探求：
我们一起看看：ab b a 222≥+成立吗？怎样证明？ 式因为222)(2b a ab b a -=-+≥0 ，所以ab b a 222≥+ 那么当a 、b 满足什么条件时取到“=”号呢？ a = b
得出结论：这就是我们经常用到的重要不等
如果
B
解释：“当且仅当” ：“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的 ． 思考：
)0(1
22≠+=x x x y 的最小值为多少？此时x 的值是多少？
如果令2
2
,b b a a ==，运用上面的结论，你能有什么新的结论吗？ （学生分析，探索结论）
ab b a 2≥+这个不等式是否对任意的实数都成立呢？ 我们看看下面的问题是否正确：
21
≥+x
x （学生讨论分析）
不对，中我用x=-1代入
看来ab b a 2≥+这个公式我们还没有研究透彻，给它加上一个条件
,a b 是正数又如何？等号什么时候成立？
得到定理：如果a ，b
是正数，那么ab b a 2≥+ （当且仅当 时
取“=”号）．
这个不等式我们称为均值不等式，做一下说明：
ⅰ）我们称2
b
a +为a 、
b 的算术平均数，称的几何平均数，
因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
ⅱ）成立的条件是不同的：前者ab b a 222≥+只要求a 、b 都是实数，
而后者ab b a 2≥+要求a 、b 都是正数.
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.
接下来我们简单的了解一下均值不等式的几何意义。
如图
D ’
以长为
，
.过点C 作垂直于直
径AB 的弦DD ′,那么 CD=ab 谁来说明均值不等式的几何意义？
在圆的所有半弦长中，半径是最大的。
3、例题讲解
例1已知,x y 都是正数，
（1） 如果1xy =，求x y +的最小值； （2）
如果1x y +=，求 xy 的最大值.
证明：（1）因为,x y 都是正数，所以
2
x y
+≥
∴ 2x y +≥=（当x y =时取“=”号）， 因此，当x y =时，和 x y +有最小值2. （2）因为,x y 都是正数，所以
2
x y
+≥
∴2x y
+， ∴ 211
().44
xy x y ≤+=（当x y =时取“=”号）
， 因此，当x y =时，积xy 有最大值1
.4
例题点评：在两个证明中的关键步骤：2
x y
+≥xy 为定值以
2
x y
+≤中和x y +为定值，都出现了一端是定值，限定了另一端的变
化范围，这是用不等式求最值的重要依据，换句话说，积为定值和有最小，和为定值积有最大。
例题1变式（此题看学生反应备用）：
已知 都是正数，求证：
（1）如果积 是定值P,那么当
时，和
有最小值
（2）如果和
是定值S ,那么当
时，积
有最大值24
1
S
说明：此例题反映的是利用均值不等式求最值的方法，但应注意三个
条件：
（1）函数式中各项必须都是正数;
（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； （3）等号成立条件必须存在.
例题1的变式：（1）已知(1),(01)y x x x =-<<，求y 的最大值
（2）已知0,m >求
24
6m m
+的最小值 例题点评：一“正”，二“定”,三“相等”。
4、课堂练习：
（1）判断正误：
1、1
2x x
+≥；
2、若0,2π
θ<<
则tan cot θθ+的最小值是2；
3、224
sin ()sin k θθπθ
+≠的最小值是4
（2）1、02(12)x x x >-求时的最大值.
2 、
1.
2 例题点评：正误讨论,这样能够使学生尝试失败,并从失败中找到错误原因,加深对正确解
法的理解,真正把新知识纳入到原有认知结构中. 5、小结
1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用． 2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件． 6、布置作业
1．课本作业；习题
．4，5
2．弹性题： （1）已知0,m >求
24
6m m
+的最小值 讨论：去掉条件0,x >结果还是一样吗？该怎么处理？ （2）已知0x >，求4
3y x x
=--
的值域。
7、板书设计：
定理一 几何解释 定理二 例题、习题分析
作用、使用要点。