高中数学 第1章 集合章末知识整合 苏教版必修1

【金版学案】2016-2017学年高中数学 第1章 集合章末知识整合 苏
教版必修1
一、元素与集合的关系
[例1] 设集合B ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；
(2)用列举法表示集合B .
解：(1)当x ＝1时，62＋1
＝2∈N，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32
∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x
∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}． 规律方法
1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．
2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．
[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2
－3x ＋2＝0}．
(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来．
解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，
即Δ＝9－8a <0，所以a >98
. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，
所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫23满足要求． ②a ≠0时，则方程ax 2
－3x ＋2＝0有两个相等的实根．
故Δ＝9－8a ＝0，
所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98
. 二、集合与集合的关系
[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围． 分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．
解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪x <－p 4. 又因为因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，且B ⊆A ，
利用数轴所以－p 4
≤－1. 所以p ≥4，
故实数p 的取值范围为{p |p ≥4}．
规律方法
1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．
2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．
[即时演练] 2.设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＜4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．7
D ．8
解析：当x ＝1时，y ＜3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y ＜2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y ＜1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在；当x ≥4时，y ＜0，也不满足y ∈N *.
综上所述，集合P 中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C .
答案：C
三、集合的运算
[例3] 已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∪B ，
分析：先确定集合A ，B ，然后讨论a 的范围对结果的影响．
解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}．
借助数轴表示如图所示．
(1)当a －3≤5，即a ≤8时，
A ∪
B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}．
(2)当a －3＞5，即a ＞8时，
A ∪
B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R}＝R.
综上可知，当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}；
当a ＞8时，A ∪B ＝R.
规律方法
解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．
[即时演练] 3.设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2
－4x ＋3>0}，则集合∁A (A ∩B )＝________．
解析：因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x <1或x >3}，
所以A ∩B ＝{x |－4<x <1或3<x <4}．
所以∁A (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3}．
答案：{x |1≤x ≤3}
四、利用集合的运算求参数
[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．
分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解． 解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，
故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13
时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.
综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．
规律方法
1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.
2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．
[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．
(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；
(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．
解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，
当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；
当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .
则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1
⇒2≤m ≤3.
综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．
(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅；
当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，
则必须⎩
⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．
五、集合的实际应用
[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
分析： 每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn 图―→根据全班有
36名同学列等式
―→得答案
解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．
由全班共36名同学可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36，
解得x ＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．
答案：8
规律方法
解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn 图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn 图来分析．
[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设A ，B 分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U 表示全班人数构成的集合．
设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．
根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.
解得x＝3.
故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.
答案：12。